O princípio dos trabalhos virtuais e o equilíbrio dos sistemas de corpos rígidos

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1 O princípio dos trabalhos virtuais e o equilíbrio dos sistemas de corpos rígidos Manuel Ritto Corrêa Conteúdo 1 Introdução A mecânica analítica Trabalho e trabalho elementar de uma força O PTV aplicado ao equilíbrio de uma partícula Organização Corpos rígidos Introdução O movimento de corpo rígido Problemas planos O PTV aplicado a um corpo rígido Invariância do trabalho relativamente ao ponto de redução Trabalho elementar de um binário e de uma carga distribuída Sobre a natureza infinitesimal dos deslocamentos virtuais no contexto do PTV Sistemas de corpos rígidos Constrangimentos Forças aplicadas e forças de ligação Deslocamentos virtuais A condição dos trabalhos virtuais O PTV aplicado aos sistemas de corpos rígidos Exemplo de aplicação Forças elásticas, de contacto e de atrito Aplicações a mecanismos Introdução Coordenadas generalizadas e forças generalizadas Determinação de configurações de equilíbrio Determinação da relação de forças para assegurar equilíbrio Aplicações a estruturas isostáticas Utilização do PTV em estruturas isostáticas Libertações de reações ou esforços Procedimento Vigas Pórticos Determinação de centros instantâneos de rotação na presença de libertações de deslocamentos internos Cálculo de deslocamentos virtuais com base na propagação de deslocamentos sem determinar centros de rotação

2 5.8 Vantagens do PTV na determinação de reações e esforços em estruturas Energia potencial e estabilidade do equilíbrio Introdução Forças conservativas e energia potencial Equilíbrio como ponto de estacionariedade da energia potencial Estabilidade do equilíbrio

3 1 Introdução 1.1 A mecânica analítica Existem duas alternativas para o estabelecimento das equações do movimento, as quais podem ser designadas, respetivamente, por mecânica vetorial e por mecânica analítica. Enquanto a mecânica vetorial parte diretamente das leis de Newton envolvendo explicitamente grandezas vetoriais tais como forças e velocidades, a mecânica analítica lida preferencialmente com grandezas escalares tais como trabalho e energia cinética. A mecânica analítica de Lagrange é uma reformulação das leis de Newton, no sentido em que não é mais geral nem produz diferentes resultados. Para analisar o movimento de partículas isoladas, as duas formulações são na prática totalmente equivalentes. Porém, para sistemas com constrangimentos, resultantes de ligações externas ou internas, a mecânica analítica providencia uma abordagem mais simples de aplicar e com um formalismo mais elegante. Enquanto na mecânica vetorial as forças de ligação externas e internas desempenham um papel importante, a mecânica analítica incorpora diretamente os constrangimentos na definição dos graus de liberdade do sistema e não considera explicitamente essas forças de ligação, diminuindo assim o número de variáveis (incógnitas). A mecânica analítica é particularmente útil em problemas conservativos onde as forças podem ser obtidas a partir de uma energia potencial e onde a energia total se conserva. Já na presença de forças de atrito (dissipativas), cujos valores são dependentes de forças de ligação as reações normais, é geralmente vantajosa a abordagem da mecânica vetorial. No presente texto, aborda-se unicamente o caso estático de sistemas com um número finito de graus de liberdade. Dito por outras palavras, ocupa-se do equilíbrio de sistemas de corpos rígidos. Como é sabido, para estes sistemas (ou estruturas) a aplicação dos métodos da mecânica vetorial consiste no desenho dos diagramas de corpo livre e na escrita das equações de equilíbrio (forças e momentos) para cada corpo rígido. Em contrapartida, a abordagem da mecânica analítica para o caso estático toma a forma do princípio dos trabalhos virtuais, que constitui o objeto destes apontamentos. Embora neste texto apenas se estude o equilíbrio de corpos rígidos, vale a pena referir que este princípio é de aplicação também a corpos deformáveis, desempenhando um papel muito importante na disciplina de Resistência de Materiais, onde torna mais fácil o cálculo de deslocamentos em estruturas compostas por barras deformáveis. Note-se que, nesse contexto, a estrutura não se comporta mais como um conjunto de corpos rígidos pelo que é necessário também contabilizar o trabalho de todas as forças internas. 1.2 Trabalho e trabalho elementar de uma força O conceito do trabalho de uma força é fulcral no enunciado do PTV, recordando-se de seguida as definições fundamentais. O trabalho de uma força F (de valor constante) é dado pelo produto da força pelo deslocamento r do seu ponto de aplicação na direção da força. Essa relação é expressa matematicamente através do produto interno, W = F r Em vez de calcular o trabalho num deslocamento finito, é também possível calcular o trabalho elementar, isto é o trabalho realizado sobre um deslocamento infinitesimal dr, dw = F dr 3

4 Como é natural, o trabalho total pode ser obtido por integração do trabalho elementar W = A dw = A F dr = F A dr = ( r F ) r A = F r onde se teve em conta que, por ser constante, a força F pode passar para fora do integral. Deste modo, conclui-se que o trabalho da força constante é independente do caminho percorrido pela força, interessando apenas conhecer o deslocamento total, dado pela diferença entre as posições final () e inicial (A), ou seja r = r r A Para além de forças constantes, existem outras forças, ditas conservativas, cujo trabalho realizado depende apenas do deslocamento total. Mas como se verá, o princípio dos trabalhos virtuais assenta essencialmente no trabalho elementar, pelo que para os nossos propósitos é suficiente a consideração de forças constantes. 1.3 O PTV aplicado ao equilíbrio de uma partícula Para introduzir a ideia base por detrás do PTV, começa-se por considerar a sua aplicação a uma partícula, mostrando-se que o PTV é totalmente equivalente às equações de equilíbrio, podendo ser deduzido a partir delas. Uma partícula está em equilíbrio se se verifica a equação R = n Fi = 0 i=1 onde F i representa cada uma das n forças que atuam sobre essa partícula. Esta equação é, evidentemente, uma equação vetorial cuja satisfação equivale a satisfazer cada uma das suas componentes (1, 2 ou 3, consoante a dimensão do espaço considerado). Considere-se agora um deslocamento virtual δr, o qual é um deslocamento infinitesimal imaginado, independente do deslocamento real da partícula ou das forças que nele atuam. Justamente para reforçar a sua natureza virtual, não real, substitui-se o «d», habitualmente utilizado no cálculo matemático para denotar variação infinitesimal, por um delta «δ». Fazendo o produto interno da equação de equilíbrio com este deslocamento δr tem-se o trabalho virtual δw dado por ( n ) δw = Fi δr = 0, δr ou δw = i=1 n Fi δr = 0, i=1 É trivial reconhecer que se a partícula está em equilíbrio então o trabalho virtual total (de todas as forças) é nulo. Reciprocamente, se o trabalho virtual é nulo para qualquer deslocamento virtual arbitrário então pode concluir-se que n i=1 Fi = 0, isto é, que a partícula está em equilíbrio. Esta observação permite-nos escrever o enunciado do PTV para uma partícula: Uma partícula está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças for nulo para qualquer deslocamento virtual. δr 4

5 À primeira vista, não é evidente o que se ganha com esta reformulação. Na verdade, as vantagens do PTV só aparecem em problemas envolvendo constrangimentos e a partícula em consideração não os tem. Mas abrimos caminho para a aplicação do PTV a situações mais gerais, importando, desde já, chamar a atenção para os seguintes aspetos: (i) O princípio é expresso por uma única equação escalar envolvendo a anulação do trabalho virtual δw. A forma muito geral com que é enunciado irá facilitar a sua aplicação noutros contextos. (ii) Introduz-se o conceito de deslocamento virtual δr, como um deslocamento infinitesimal imaginado. É importante que o deslocamento virtual seja arbitrário, pois, apenas dessa forma a equação escalar do PTV é equivalente à equação vetorial do equilíbrio. (iii) Observa-se que, para a partícula isolada, o deslocamento virtual não precisa de satisfazer qualquer constrangimento. Além disso, não é, para já, evidente a razão de se exigir que o deslocamento seja infinitesimal. 1.4 Organização Na secção 2 analisa-se o equilíbrio de corpos rígidos isolados na perspetiva do PTV, introduzindo as rotações virtuais na descrição dos deslocamentos virtuais. Na secção 3 a análise é alargada a sistemas de corpos rígidos, mostrando-se como os constrangimentos externos e internos dão origem ao conceito de deslocamentos virtuais compatíveis, na prática reduzindo o número de graus de liberdade do sistema e, também, o número de incógnitas e de equações de equilíbrio. No campo das aplicações, o PTV é usado na secção 4 para a determinação de configurações de equilíbrio em mecanismos, o que exige quantificar de uma forma precisa a geometria das configurações do mecanismo. Em alternativa, é possível estabelecer qual a relação de forças que assegura o equilíbrio do mecanismo numa dada configuração. Na secção 5 mostra-se como, recorrendo à introdução de libertações fictícias, o PTV pode ser utilizado para a obtenção de reações e esforços em estruturas isostáticas a partir das cargas aplicadas com base numa única equação de equilíbrio a do PTV e sem necessidade de calcular quaisquer outras forças de ligação (externas ou internas). Uma muito breve introdução ao conceito de estabilidade de equilíbrio é apresentada na secção 6. O autor agradece aos professores Carlos Tiago e Luís Guerreiro a ajuda na revisão do texto. 5

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7 2 Corpos rígidos 2.1 Introdução Nesta secção aborda-se o equilíbrio de corpos rígidos isolados, formulado na perspetiva do PTV. Começa-se por descrever sucintamente a cinemática dos corpos rígidos, dando particular atenção aos movimentos elementares, tanto no espaço tridimensional como no plano. Depois, opta-se por introduzir o PTV como um princípio (sem demonstração) e posteriormente verificar que ele é equivalente à versão estática das leis de Newton e da sua generalização para corpos rígidos. Esta opção permite evidenciar as vantagens do formalismo da mecânica analítica: todas as equações de equilíbrio derivam de um princípio geral e da consideração das relações cinemáticas relevantes para o problema em causa. Mostra-se que o trabalho de um sistema de forças pode ser feito a partir dos seus elementos de redução, aproveitando-se para se obter expressões para o cálculo do trabalho de um momento ou de uma carga distribuída. A secção termina com uma discussão sobre a necessidade de considerar movimentos virtuais infinitesimais e não finitos. 2.2 O movimento de corpo rígido Por definição, um corpo rígido é um corpo no qual a distância entre quaisquer dois pontos se mantém inalterada. Deste modo, o movimento de qualquer ponto do corpo fica definido se conhecermos qual a sua translação e a sua rotação. A matemática do movimento finito de um corpo rígido no espaço tridimensional não é a mais simples, envolvendo, por exemplo, a definição de uma matriz de rotação e conceitos como a não comutatividade da composição de movimentos. Mas para os propósitos do PTV interessa exclusivamente o movimento elementar (infinitesimal), mais simples de descrever matematicamente, já que tanto a translação como a rotação podem ser descritos por vetores, ao mesmo tempo que é possível decompor o movimento numa soma de parcelas. O campo de deslocamentos elementares é análogo ao campo de velocidades num corpo rígido. A lei de propagação das velocidades no interior de um corpo rígido é v = v A + ω A (1) Na prática, esta lei significa que o movimento pode ser decomposto na soma de uma translação com uma rotação: a velocidade de um ponto pode ser obtida somando à velocidade de translação de um ponto A (tomado como referência) a velocidade que resulta da rotação de em torno de A. A escolha do ponto A é arbitrária. Face à semelhança formal entre a lei de propagação de velocidades (1) e a lei de propagação de momentos de um sistema de forças M = M A + A R = M A + R A (2) existe uma analogia completa entre os dois campos e as suas propriedades. A transformação da lei de propagação de velocidades na lei de propagação de deslocamentos elementares é feita a partir das definições de velocidade linear e velocidade angular v = dr dt ω = dθ dt dr = v dt dθ = ω dt As quantidades dr e dθ representam respetivamente a translação e rotação elementares do corpo rígido. Analogamente ao vetor velocidade angular ω, o vetor rotação elementar dθ tem a 7

8 direção do eixo de rotação e o sentido de acordo com a regra da mão direita (ou da progressão de um saca-rolhas). Multiplicando a lei de propagação de velocidades por dt obtemos a lei de propagação de deslocamentos elementares num corpo rígido, dr = dr A + dθ A (3) É importante tomar consciência de que, à parte o factor de escala dt que lhes altera as dimensões de grandeza física, os deslocamentos elementares comportam-se no essencial como velocidades. Em particular, a parcela de rotação dθ A é perpendicular a A. Então, se A for um ponto fixo ( dr A = 0 ), o deslocamento elementar dr é tangente à trajetória descrita pelo ponto. Neste aspeto, os deslocamentos elementares têm muito mais a ver com velocidades (também tangentes à trajetória) do que com deslocamentos finitos (os quais seguem a trajetória). De resto, o campo de deslocamentos elementares num corpo rígido herda as propriedades do campo de velocidades que se recordam aqui: propriedade projetiva : dr A A = dr A ou dra λ A = dr λ A ; invariantes : invariante vetorial dθ e invariante escalar dr dθ; eixo central : se o invariante vetorial dθ é não nulo, existe um eixo central onde os deslocamentos elementares são mínimos (em módulo) e paralelos a dθ. A propriedade projetiva de que goza o campo de deslocamentos elementares tem uma interpretação física clara. Como são iguais as projeções dos deslocamentos dr A e dr sobre a linha que os une, concluímos que os dois pontos A e mantêm a sua distância relativa de acordo, portanto, com a indeformabilidade do corpo rígido. Observe-se que se se tratasse de movimentos não elementares, a propriedade projetiva não se manteria verdadeira. Com base nos valores dos invariantes é possível a identificação de quatro casos de redução: repouso elementar : dθ = 0 ; dr = 0 ; translação elementar : dθ = 0 ; dr 0 ; rotação elementar : dθ 0 e dr dθ = 0; translação mais rotação elementar : dθ 0 e dr dθ 0. Quando existe, o eixo central recebe a designação geral de eixo helicoidal instantâneo ou, no caso da rotação elementar, de eixo instantâneo de rotação, sendo o eixo em torno do qual se dá a rotação elementar. 2.3 Problemas planos As aplicações mais habituais do PTV envolvem problemas planos, pelo que vale a pena dedicar- -lhes uma atenção especial. Nestes problemas é possível estudar o movimento num dado plano o plano do problema, admitindo-se que todos os pontos do corpo se movem em planos que lhe são paralelos. A rotação elementar, se existir, é perpendicular ao plano do problema, podendo concluir-se que o último caso de redução está excluído pois forçosamente se tem dr dθ = 0. À intersecção do eixo instantâneo de rotação com o plano do problema dá-se o nome de centro instantâneo de rotação. 8

9 Na figura 1 representa-se uma rotação elementar num movimento plano, estando assinalada a posição do respetivo centro instantâneo de rotação C (o qual pode ser ou não ser um ponto do corpo). Sendo nulo o deslocamento no centro instantâneo de rotação, a direção dos deslocamentos dos pontos do corpo é perpendicular à linha que os une ao centro instantâneo de rotação. dr dr A y A dθ dθ A C x A Figura 1: Movimento plano e centro instantâneo de rotação. Reciprocamente, se forem conhecidas as direções do deslocamento elementar de dois pontos, basta traçar linhas perpendiculares a esses deslocamentos a partir desses pontos para localizar o centro instantâneo de rotação. No caso das linhas serem paralelas pode concluir-se que o corpo está em translação instantânea. Note-se que em qualquer destes casos é suficiente conhecer a direção, não sendo necessário saber o sentido ou quantificar o deslocamento elementar. Apenas no caso muito particular de as duas linhas traçadas serem coincidentes é necessária mais informação sobre o valor dos deslocamentos elementares. O centro instantâneo de rotação é muito útil para o cálculo expedito de deslocamentos elementares. Com efeito, recorrendo novamente à figura 1, o deslocamento elementar do ponto A pode ser determinado com base no produto externo, dr A = dθ ex ey ez CA = 0 0 dθ x A y A 0 = y A dθ e x + x A dθ e y Dito por outras palavras, a componente horizontal do deslocamento é dada pelo braço na vertical vezes a rotação elementar enquanto a componente vertical do deslocamento é dada pelo braço na horizontal vezes a rotação elementar. Quanto ao sentido dessas componentes, elas são facilmente determinadas a partir do desenho. 2.4 O PTV aplicado a um corpo rígido Tomando como ponto de partida o enunciado do PTV para a partícula, introduzido na secção 1.3, admitamos como princípio o seguinte enunciado para corpos rígidos: Um corpo rígido está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças for nulo para qualquer deslocamento virtual, que seja um movimento elementar de corpo rígido. Claramente, as únicas alterações foram a substituição da palavra «partícula» pela expressão «corpo rígido» e a especificação de que os deslocamentos virtuais consistem em movimentos de corpo rígido. Vejamos quais as consequências desta modificação. 9

10 Considere-se então um corpo rígido no qual estão aplicados n forças, como representado na figura 2. Seja P i o ponto de aplicação da força F i. F 2 F 1 P 1 P 2 P 3 A... P n... P i Fi F n A M A R F 3 Figura 2: Equilíbrio de corpo rígido. Para que o trabalho virtual de um sistema de forças aplicado a um corpo rígido seja nulo para qualquer movimento virtual de corpo rígido é necessário que os elementos de redução sejam nulos. O deslocamento virtual, sendo um movimento elementar de corpo rígido, satisfaz a lei de propagação (3). Então, o deslocamento elementar de cada um dos pontos onde estão aplicadas forças é dado por δri = δr A + δθ r i onde ri = AP i é o vetor de posição do ponto de aplicação de cada força relativamente ao ponto A. Enquanto os pontos P i pertencem geralmente ao corpo rígido, 1 o ponto A escolhido como base para o cálculo de deslocamentos pode ser qualquer. Se A não pertencer ao corpo, δr A representa o deslocamento do ponto A, imaginando que ele se desloca solidariamente com o corpo. O trabalho virtual é obtido somando as contribuições de todas as forças, o qual pode ser expresso como δw = n Fi δr i (4) i=1 ou, em termos da translação e rotação elementares, δw = n i=1 ( δra Fi + δθ ) r i = n Fi δr A + i=1 n Fi δθ r i Usando as propriedades do produto misto de vetores 2 e a comutatividade do produto interno, é possível manipular a última parcela para n Fi δθ r i = n δθ ri F i = i=1 n ri F i δθ i=1 i=1 i=1 Então, observando que δr A e δθ são constantes que definem o movimento de corpo rígido e que portanto podem ser postas em evidência em cada um dos somatórios, concluímos que ( n ) ( n ) δw = Fi δr A + ri F i δθ = R δr A + M A δθ (5) i=1 1 Na verdade pode ser qualquer ponto da linha de ação de cada uma das forças. 2 Isto é, a b c = b c a = c a b, para quaisquer vetores a, b e c. i=1 10

11 onde R e M A são os elementos de redução do sistema de forças dados por R = M A = n i=1 Fi n ri F i A aplicação do PTV a um corpo rígido revela-nos então que i=1 δw = R δr A + M A δθ = 0, δr A, δθ { R = 0 M A = 0 A arbitrariedade dos deslocamentos (e rotações) virtuais implica que a anulação do trabalho virtual seja equivalente a que a resultante e o momento resultante do sistema de forças sejam nulos. Em conclusão, o enunciado simples do PTV, complementado com as apropriadas relações cinemáticas, é equivalente às leis de equilíbrio de um corpo rígido: equilíbrio de forças e equilíbrio de momentos. Aqui partiu-se do PTV para chegar às equações de equilíbrio de um corpo rígido, mas podíamos ter feito precisamente o contrário: «demonstrar» o PTV a partir das equações de equilíbrio. É pois totalmente arbitrário qual o ponto de partida da teoria razão pela qual o PTV é encarado como um princípio, como possível alternativa às leis de Newton. 3 Do ponto de vista da mecânica vetorial, o equilíbrio de um corpo rígido exige o equilíbrio de forças a versão estática da segunda lei de Newton mas também o equilíbrio de momentos, o qual necessita de ser tomado como um postulado adicional. 4 Em contrapartida, na perspetiva da mecânica analítica, o equilíbrio de momentos surge naturalmente associado a uma rotação virtual. Do ponto de vista filosófico pode, portanto, argumentar-se que o enunciado do PTV constitui uma formulação alternativa das leis de equilíbrio «mais elegante». Contudo, há que reconhecer que, do ponto de vista prático, esta reformulação das equações de equilíbrio não traz (ainda) diferenças significativas. 2.5 Invariância do trabalho relativamente ao ponto de redução O trabalho é uma grandeza escalar sendo, portanto, invariante face a transformações de coordenadas (o produto interno de dois vetores não depende da orientação dos referencial em que são escritas as coordenadas das forças e dos deslocamentos). O cálculo do trabalho virtual é também independente do ponto do corpo rígido em que é feita a redução do sistema de forças. Para mostrar este resultado basta utilizar a lei de propagação de momentos (2) em conjunto com a lei de propagação de deslocamentos elementares (3): δw = R δr A + M A δθ = R ( M δr A + + ) A R δθ = R δr A + M δθ + A R δθ = R δr A + M δθ + δθ A R = ( δra R + δθ ) A + M δθ = R δr + M δθ 3 O presente texto lida apenas com o caso estático. Mas vale a pena referir que recorrendo ao princípio de d Alembert o PTV pode ser generalizado ao caso dinâmico estando na base das equações de Lagrange. 4 Em alternativa, o equilíbrio de momentos pode também ser deduzido considerando o corpo como um conjunto de partículas, recorrendo ao equilíbrio de forças e a uma versão «mais forte» da terceira lei de Newton, na qual as forças de ação e de reação não só são iguais e opostas mas também partilham a mesma linha de ação. 11

12 Mais uma vez, os pontos A e, embora sirvam para descrever o movimento virtual do corpo e para calcular os elementos de redução do sistema de forças, podem ser quaisquer. Não pode deixar de observar-se que esta invariância é fruto da semelhança formal que caracteriza as duas leis de propagação. Esta dualidade entre uma relação estática (a propagação de momentos) e uma relação cinemática (a propagação de deslocamentos elementares) é típica da mecânica estrutural, desempenhando um papel muito importante na análise de estruturas. 2.6 Trabalho elementar de um binário e de uma carga distribuída A expressão a que chegámos para o cálculo do trabalho virtual de um sistema de forças permite-nos facilmente deduzir quanto vale o trabalho elementar de alguns casos particulares de sistemas de forças atuando em corpos sujeitos a movimentos de corpo rígido. Um binário é um sistema constituído por duas forças com linhas de ação paralelas, de igual intensidade mas sentidos opostos. Do estudo dos sistemas de forças sabemos que os elementos de redução de um binário são um vetor principal R nulo e um momento resultante M que é independente do ponto onde é calculado, pelo que podemos omitir a indicação do ponto de redução. Em consequência, um binário é um sistema equivalente a conjugado (ou momento). Particularizando a expressão (5) tem-se δw = M δθ Isto é, o trabalho elementar é dado pelo produto interno do momento de um binário com o vetor rotação elementar (é indiferente se o movimento elementar é virtual ou real) do corpo rígido. De resto, esta mesma expressão aplica-se a outros sistemas de (mais que duas) forças que sejam também equivalentes a conjugado. Cargas distribuídas são forças aplicadas que estão distribuídas por um volume, área ou linha. Se todas as forças distribuídas têm a mesma direção e sentido então o sistema de forças é inevitavelmente equivalente a força única. É portanto possível substituir o sistema de forças distribuídas por uma única força (a resultante R) atuando sobre a sua linha de ação (coincide com o eixo central do sistema de forças). Então, escolhendo um ponto qualquer Q dessa linha de ação, onde o momento M Q é nulo, o trabalho virtual é δw = R δr Q + M Q δθ = R δr Q Isto significa que o trabalho de uma carga distribuída num movimento de corpo rígido pode ser calculado multiplicando (produto interno) a resultante da carga distribuída pelo deslocamento de um ponto da linha de ação dessa resultante. Observe-se que qualquer destas expressões só é válida se todas as forças que constituem o sistema de forças estiverem aplicadas ao mesmo corpo rígido. 2.7 Sobre a natureza infinitesimal dos deslocamentos virtuais no contexto do PTV É importante notar que os deslocamentos virtuais considerados têm de ser infinitesimais ou, mais precisamente, apenas podem envolver rotações infinitesimais. Para mostrar que assim é considere-se um exemplo muito simples de um corpo rígido sujeito a duas forças iguais e opostas (e partilhando a mesma linha de ação) tal como representado na figura 3. Sejam A e os pontos de aplicação das duas forças. É evidente que o corpo está em equilíbrio. De acordo com essa condição, o trabalho virtual total deverá ser nulo para qualquer movimento de corpo rígido. Numa translação infinitesimal ou não isso é evidente, já que o trabalho de uma das forças é simétrico ao realizado pela outra (ou a translação é perpendicular às forças e o trabalho de ambas as forças é nulo). 12

13 F A F corpo rígido em equilíbrio rotação infinitesimal (ampliada) δw = 0 rotação finita δw 0 Figura 3: Corpo rígido em equilíbrio sujeito a rotação virtual infinitesimal e rotação finita. Porém, com as rotações é necessário mais cuidado. Tomem-se por exemplo as duas rotações indicadas na figura: uma infinitesimal embora exagerada para melhor leitura do desenho e outra finita, ambas em torno do ponto médio entre os pontos de aplicação das forças. No primeiro caso, os deslocamentos virtuais dos pontos de aplicação das forças são perpendiculares às forças e nenhuma das forças produz trabalho. Portanto, ao equilíbrio corresponde trabalho nulo, o que está de acordo com o enunciado do PTV. No segundo caso, os pontos A e descrevem dois arcos de círculo, pelo que o trabalho de ambas as forças é negativo. Ou seja, neste segundo caso da rotação finita, a condição de equilíbrio não é equivalente à anulação do trabalho. Por isso, a afirmação por vezes proferida que os deslocamentos virtuais usados no contexto do PTV são infinitesimais por conveniência, de modo a simplificar os cálculos, não é verdadeira: os deslocamentos virtuais são infinitesimais por necessidade, por só assim a anulação do trabalho virtual ser equivalente ao equilíbrio. No fundo, esta observação é uma consequência de o equilíbrio ser uma condição local, no sentido em que depende apenas do estado do sistema em configurações vizinhas, infinitesimalmente próximas. 13

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15 3 Sistemas de corpos rígidos 3.1 Constrangimentos Em vez de partículas ou corpos rígidos isolados, iremos agora considerar sistemas de corpos rígidos sujeitos a constrangimentos, isto é, um conjunto de corpos rígidos com ligações entre eles e com ligações ao exterior. É aliás para estes sistemas com constrangimentos que o PTV ganha a sua principal razão de ser. Convém começar por esclarecer que, para os nossos propósitos, só consideramos constrangimentos que podem ser escritos sob a forma de uma equação do tipo 5 f( r 1, r 2, r 3,...) = 0 (6) onde r i representa a posição de um ponto genérico do corpo. A própria condição de corpo rígido é um constrangimento deste tipo, já que as posições entre quaisquer dois pontos de um corpo rígido satisfazem r i r j d ij = 0 onde d ij representa a distância entre os dois pontos. É aliás a existência deste constrangimento que permite ter em conta apenas os seis graus de liberdade no movimento de corpo rígido. Optando à partida por descrever o movimento dos corpos rígidos por uma translação e por uma rotação, as equações de constrangimento deverão naturalmente ser expressas na forma f( r 1, r 2, r 3,..., θ 1, θ 2, θ 3,...) = 0 (7) onde agora r i e θ i representam a translação e a rotação 6 de cada corpo rígido. Em particular, interessa-nos considerar os constrangimentos cinemáticos que resultam das ligações exteriores e interiores de um determinado sistema de corpos rígidos. Nas ligações ao exterior há (pelo menos) um deslocamento ou rotação que está impedido, de acordo com um determinado aparelho de apoio. Nas ligações interiores lidamos com corpos rígidos ligados entre si de modo a que o deslocamento (ou rotação) relativo de dois pontos um de cada corpo seja nulo. A figura 4 ilustra situações comuns, no contexto de uma estrutura plana. No apoio móvel horizontal em A o deslocamento vertical está impedido (mas não o deslocamento horizontal ou a rotação), pelo que a equação de constrangimento toma a forma r A A e y = 0 r A Ay = 0 5 Por poderem ser expressos por uma diferencial exata estes constrangimentos designam-se por holónomos. Além disso, admitimos adicionalmente que são independentes do tempo. Apenas constrangimentos holónomos permitem reduzir o número graus de liberdade e a introdução de coordenadas generalizadas. Existem constrangimentos não holónomos que envolvem relações diferenciais não integráveis. Um exemplo deste tipo é o associado a um carro que se desloca sobre uma superfície plana. O deslocamento está condicionado pela posição das rodas, pelo que o carro não pode, por exemplo, deslocar-se diretamente para a direita. No entanto, o carro pode manobrar para a frente e para trás de forma a vir a ocupar a posição pretendida à direita (ou outra qualquer). Existe, portanto, um constrangimento sobre o movimento instantâneo que não se traduz numa relação total do tipo da equação (6). Já um comboio circulando sobre carris constitui um constrangimento holónomo. Outro exemplo de constrangimentos que não podem ser expressos na forma (6) são os que correspondem ao contacto unilateral, que apenas podem ser expressos por inequações e não por equações. 6 A descrição de uma rotação finita no espaço tridimensional envolve dificuldades não abordadas aqui. Para os nossos propósitos, basta saber que o formato exibido em (7) é válido para problemas planos (nesse caso a rotação de um corpo rígido é descrita por um escalar) ou para problemas tridimensionais envolvendo pequenas rotações (infinitesimais). 15

16 y P P C P F y F x F x C F y P M C R Cx F A x d F A R Ay Figura 4: Exemplos de constrangimentos e respetivas forças de ligação numa estrutura plana composta por dois corpos rígidos. O trabalho das forças de ligação (nos apoios e na ligação rotulada) é necessariamente nulo. Na rótula em na ligação entre duas barras o deslocamento é o mesmo em qualquer uma das barras (mas as rotações não), pelo que r A r C = 0 { r A x = rc x r A y = rc y o que, na prática, é uma equação vetorial a que correspondem duas equações escalares (uma para cada componente). É também possível incluir rotações nas equações de constrangimento. Por exemplo, o encastramento deslizante em C implica que 3.2 Forças aplicadas e forças de ligação r C Cx = d e θ C C = 0 Como foi estudado nos capítulos referentes ao equilíbrio de corpos rígidos e ao equilíbrio de estruturas, a cada deslocamento impedido, em absoluto ou em termos relativos, corresponde uma força de ligação: reações de apoio nas ligações exteriores ou forças internas constituindo pares ação reação nas ligações internas. em entendido, se em vez de deslocamentos considerarmos rotações, as forças de reação ou de ligação são substituídas por momentos. Quando se analisa separadamente o equilíbrio de cada um dos corpos rígidos estas forças de ligação têm, evidentemente, que ser tomadas em conta. Recorde-se que apenas as forças exteriores devem ser consideradas nas equações de equilíbrio de um corpo rígido, atendendo a que os efeitos de forças interiores se anulam. Considerando individualmente cada corpo rígido, todas as forças de ligação são forças exteriores, independentemente de corresponderem a apoios ou ligações internas do sistema de corpos rígidos em análise, e, portanto, devem ser explicitamente consideradas. Do ponto de vista da aplicação do PTV, em vez de classificar as forças como exteriores e interiores, é mais conveniente classificá-las em forças de ligação forças associadas a um constrangimento do tipo (6). É portanto o caso das reações de apoio, das forças interiores dentro de um corpo rígido, do esforço axial num fio inextensível ou das forças de uma ligação entre dois corpos rígidos. forças aplicadas todas as outras. No contexto dos sistemas de corpos rígidos, interessa essencialmente considerar o peso próprio, sobrecargas (o peso de outros corpos suportados pela estrutura) ou forças aplicadas que são conhecidas à partida. Para melhor explicar a diferença entre forças aplicadas e de ligação retome-se o exemplo plano da figura 4. Admita-se que a estrutura (um mecanismo) está sujeita às forças aplicadas representadas à esquerda. Nos diagramas de corpo livre de cada uma das barras, desenhados à 16

17 direita, identificam-se tanto as forças aplicadas (a preto) como as forças de ligação (a vermelho). De facto, de acordo com a classificação apresentada, por estarem associadas a constrangimentos, constatamos que as reações (exteriores) em A e C, mas também as forças de ligação (interiores) na rótula são forças de ligação. Já a força horizontal F aplicada em A e o peso P das barras A e C são forças aplicadas Deslocamentos virtuais Se antes tínhamos adotado para deslocamentos virtuais, movimentos elementares de uma partícula ou de um corpo rígido sem qualquer constrangimento adicional (que não a condição de corpo rígido), iremos agora naturalmente incorporar os constrangimentos exteriores e interiores de um sistema de corpos rígidos nos deslocamentos virtuais a que o iremos sujeitar. Retomando o exemplo da figura 4, os movimentos (elementares) de corpo rígido das barras A e C deverão respeitar δr A Ay = 0; δr A x = δr C x ; δr A y = δr C y ; δr C Cx = 0; δθ C = 0 de modo a que os deslocamentos virtuais sejam compatíveis com as ligações externas (em A e C) e internas (em ). Como é evidente, para que seja possível submeter uma estrutura constituída por barras rígidas a deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações é necessário que esta seja um mecanismo (estrutura hipostática). Uma estrutura constituída por barras rígidas que seja isostática ou hiperestática não se pode mexer e está necessariamente em equilíbrio. Finalmente note-se que, sempre que os constrangimentos em consideração são expressos por uma equação, todos os deslocamentos virtuais são reversíveis, isto é, podem ser dados em qualquer sentido. 3.4 A condição dos trabalhos virtuais No essencial, a classificação atrás apresentada permite distinguir as forças aplicadas, que podem realizar trabalho, das forças de ligação, que respeitando os constrangimentos, estão impedidas de o fazer. Retome-se o exemplo da figura 4. No que diz respeito às reações de apoio, é evidente que o seu trabalho tem que ser nulo: a reação vertical R Ay está aplicada no ponto A que só tem deslocamento horizontal, a reação horizontal R Cx está aplicada no ponto C que só tem deslocamento vertical e o momento de reação M C está aplicado no corpo rígido C que apenas pode ter movimento de translação. Menos evidente é o caso das forças de ligação entre corpos. As forças de ligação na rótula constituem um par de forças acção reação (em termos das suas componentes, dois pares de forças). Como a rótula se pode mover, o trabalho individual de cada uma das forças pode ser não nulo, mas o trabalho total será forçosamente nulo. Para constatar que assim é, basta observar que as forças são simétricas, mas os deslocamentos são iguais, isto é F A = F C δr A = δr C pelo que δw = F A δr A + F C δr C = 0 7 Os pesos das barras são cargas distribuídas, mas, de acordo com o explicado na secção 2.6, as cargas distribuídas aplicadas num mesmo corpo rígido podem ser substituídas pela sua resultante. 17

18 Também é nulo o trabalho das forças internas no interior de um corpo rígido. Para demonstrar esta afirmação é necessário admitir que as forças entre duas partículas genéricas A e de um mesmo corpo rígido constituem um par ação reação que partilham a mesma linha de ação, F A = F λ A F = F A = F λ A e usar a propriedade projetiva do movimento elementar de corpo rígido, δw = F A δr A + F ( λ δr = F A δr A λ A ) δr = 0 Mostrou-se então a partir da terceira lei de Newton 8 que o trabalho das forças de ligação é nulo. No entanto, na formulação da mecânica analítica, prefere-se simplesmente admitir como postulado esse resultado que recebe o nome da condição dos trabalhos virtuais: O trabalho virtual das forças de ligação é nulo para qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações. 3.5 O PTV aplicado aos sistemas de corpos rígidos Se em vez de um corpo rígido considerarmos um conjunto de corpos rígidos, podemos somar as contribuições de todos os corpos rígidos. Como o trabalho é uma grandeza escalar, a expressão (4) continua a ser válida, desde que o somatório seja estendido a todas as forças aplicadas ao sistema, δw = n Fi δr i i=1 As forças atuando num dado ponto material podem ser divididas em forças de ligação e forças aplicadas, Fi = F i apl + F i lig Existe aqui um ponto subtil. Quando considerado isoladamente, todas as forças exteriores que atuam num corpo rígido são forças aplicadas. Porém, como discutido anteriormente, quando englobamos vários corpos rígidos num único sistema, apenas as forças que não estão associadas a constrangimentos são forças aplicadas. Introduzindo esta divisão na expressão do trabalho leva a δw = n ( Fi apl + ) lig F i δr i = i=1 n apl Fi n lig δr i + Fi δr i i=1 i=1 Se apenas considerarmos deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações, pela condição dos trabalhos virtuais o último somatório é nulo, pelo que, para um sistema em equilíbrio δw = n apl Fi δr i = 0 (8) i=1 Estamos agora em condições de generalizar o PTV a sistemas de corpos rígidos: Um sistema de corpos rígidos está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças aplicadas for nulo para qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações. 8 Na verdade, foi necessário admitir a «versão forte» da terceira lei de Newton, isto é admitir também que a ação e a reação têm a mesma linha de ação. 18

19 Comparando este enunciado com o relativo a partículas podemos fazer as seguintes observações: (i) O princípio continua a ser expresso por uma única equação escalar envolvendo a anulação do trabalho virtual das forças aplicadas. As forças de ligação (reações, forças entre corpos e no interior de cada corpo rígido) não precisam de ser consideradas, o que constitui a grande vantagem da aplicação do PTV. (ii) Os deslocamentos virtuais têm agora de estar em harmonia com os constrangimentos, respeitando as ligações ao exterior, as ligações entre corpos e a indeformabilidade de cada corpo rígido. (iii) Dentro dos limites impostos pelos constrangimentos, os deslocamentos virtuais são deslocamentos infinitesimais arbitrários, podendo ser em ambos os sentidos (reversíveis). 3.6 Exemplo de aplicação Como primeira aplicação do PTV a um sistema de corpos rígidos, considera-se o exemplo da figura 5 no qual um bloco retangular de peso P deslizando sem atrito sobre um plano inclinado é mantido em equilíbrio através de um peso Q, ligado ao primeiro através de um cabo inextensível passando em duas roldanas que rodam sem atrito. Pretende-se determinar o valor de Q. x A P x α Figura 5: Mecanismo de 1 grau de liberdade, envolvendo plano inclinado, cabo e roldanas. Este problema é facilmente resolúvel desenhando os diagramas de corpo livre dos dois blocos, observando que a força de tração no cabo é constante e escrevendo duas equações de equilíbrio: na direção vertical para o bloco Q e na direção paralela ao plano inclinado para o bloco P (de modo a não envolver a reação normal). Mas não deixa de ser interessante a resolução com base no PTV. Assim, comece-se por constatar que, admitindo o cabo inextensível, se tem que a soma dos comprimentos de três troços é constante e que, consequentemente, a soma das suas variações virtuais é nula x A + x + x = L δx A + 2 δx = 0 δx A = 2 δx Trata-se pois de um problema de um único grau de liberdade. Então, o anulação do trabalho virtual permite identificar a pretendida relação de forças, δw = P sen α δx A + Q δx = ( 2P sen α + Q) δx = 0 Q = 2P sen α Para a escrita desta expressão teve-se em conta que o deslocamento vertical do peso P vale sen α δx A. Observe-se que, por se tratarem de forças de ligação, nem a força de tração no cabo nem a reação normal do plano inclinado sobre o peso P precisaram de ser explicitamente consideradas. Q 19

20 3.7 Forças elásticas, de contacto e de atrito Nas aplicações do PTV que temos em vista iremos considerar principalmente sistemas de corpos rígidos com ligações exteriores e interiores ideais (rígidas). Mas, para uma apresentação mais completa, discutiremos brevemente os casos de forças elásticas, forças de contacto unilateral e das forças de atrito. Numa primeira leitura deste documento, correspondente ao primeiro contacto com o PTV, esta discussão pode ser ignorada. forças elásticas A classificação das forças atrás apresentada, distinguindo forças aplicadas das forças de ligação, pode ter consequências aparentemente algo paradoxais quando generalizada a corpos deformáveis ou com ligações flexíveis. Considere-se o caso de dois corpos ligados por uma mola elástica: à luz da classificação acima apresentada, a força de ligação transmitida pela mola não pode ser classificada como força de ligação, já que, atendendo à deformabilidade da mola, o constrangimento não pode ser expresso por uma equação do tipo (6). Dito de outro modo, ao contrário das forças aqui classificadas como forças de ligação, a força elástica da mola realiza trabalho, devendo, portanto, ser classificada como força aplicada. O mesmo acontece com os esforços de uma estrutura deformável (constituída por barras que não possam ser consideradas rígidas). Este tópico é analisado na disciplina de Resistência de Materiais. forças de contacto unilateral Quando existe contacto unilateral os constrangimentos são expressos por inequações em vez de equações. Nesse caso, os deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações apenas podem acontecer num sentido o que se traduz na perda de contacto e deixam de ser reversíveis, como até aqui admitido. Para ter em conta este tipo de constrangimentos e a existência de deslocamentos virtuais não reversíveis, é possível reformular o PTV, expressando-o também na forma duma inequação: no equilíbrio, o trabalho virtual das forças aplicadas deve ser não positivo para deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações (e não necessariamente nulo como no enunciado apresentado anteriormente). Por exemplo, um bloco assente numa superfície horizontal (sem atrito) pode deslocar-se (realmente e virtualmente) para cima mas não para baixo. Quando o bloco está em equilíbrio a reação normal é uma força de ligação com a mesma intensidade mas sentido oposto ao peso, o qual é a única força aplicada. Para deslocamentos virtuais para o lado, o trabalho do peso é nulo. Porém, para deslocamentos virtuais para cima o trabalho da força aplicada é negativo. Problemas envolvendo a potencial perda de contacto, ou, reciprocamente, a formação de novos contactos não são aqui estudados. forças de atrito Havendo contacto entre corpos, o movimento tangencial relativo é condicionado pela existência de atrito (seco) entre as duas superfícies. Do ponto de vista da aplicação do PTV é fundamental distinguir duas situações. Se a força máxima de atrito não é atingida, não há deslizamento relativo entre as superfícies pelo que o contacto funciona exatamente como um apoio fixo, o qual se traduz por um constrangimento do tipo (6). Neste caso, para deslocamentos virtuais que respeitem o constrangimento, a força de atrito não realiza trabalho e pode ser classificada como uma força de ligação, como qualquer outra reação. Problemas com apoios envolvendo atrito sem deslizamento não necessitam portanto de qualquer cuidado especial. 20

21 Porém, em problemas em que o atrito é vencido e existe deslizamento, não existe um constrangimento absoluto, pelo que as forças de atrito produzirão trabalho em geral e, portanto, se quiséssemos utilizar o PTV, teriam que ser classificadas como forças aplicadas e o seu trabalho contabilizado. Note-se, porém, que a quantificação da força máxima de atrito requer o conhecimento da reação normal, a qual é uma força de ligação que não produz trabalho e que, portanto, não é explicitamente considerada na abordagem do PTV. Por esta razão, se se põe a hipótese de haver deslizamento é geralmente preferível a via da mecânica vetorial, a qual envolve desenhar os diagramas de corpo livre e escrever as equações de equilíbrio para cada corpo rígido, nas quais participam todas as forças (incluindo reações normais e forças de atrito). 21

22 22

23 4 Aplicações a mecanismos 4.1 Introdução Um mecanismo é um sistema de corpos rígidos cujas ligações interiores e exteriores permitem algum tipo de movimento. Um corpo rígido tem seis graus de liberdade no espaço (três componentes de translação e três componentes de rotação) e três graus de liberdade no plano (duas componentes de translação e uma componente de rotação). Num conjunto de corpos rígidos isolados estes números devem ser multiplicados pelo número de corpos, mas cada equação de constrangimento (correspondente a uma ligação entre corpos ou ao exterior) faz naturalmente diminuir o número de graus de liberdade do sistema. No vocabulário das estruturas, um mecanismo é uma estrutura hipostática, sendo o número de graus de liberdade dado pelo grau de hipoestatia. Nesta secção, começa-se por introduzir os conceitos de coordenadas e forças generalizadas, para depois exemplificar dois tipos de aplicações do PTV a mecanismos: (i) determinação de configurações de equilíbrio e (ii) determinação da relação de forças para assegurar equilíbrio numa dada configuração. 4.2 Coordenadas generalizadas e forças generalizadas Como os mecanismos se podem mover, podem adotar a forma de configurações distintas. O número de graus de liberdade de um mecanismo coincide com o número de coordenadas generalizadas que são necessárias para descrever a sua configuração genérica. Estas coordenadas generalizadas podem ser coordenadas cartesianas, deslocamentos relativos, ângulos ou uma sua combinação. A escolha de quais as coordenadas generalizadas é um procedimento algo arbitrário. A única exigência é que as coordenadas generalizadas escolhidas definam inequivocamente a configuração genérica. Por exemplo, na estrutura representada na figura 4 existe apenas um grau de liberdade trata-se de uma estrutura uma vez hipostática podendo adotar-se para coordenada generalizada a coordenada y do apoio C, a coordenada x do apoio A ou o ângulo que a barra A faz com a horizontal. Seja N o número de graus de liberdade do mecanismo e q j a sua j ésima coordenada generalizada. Por definição, a posição do ponto de um mecanismo é função das coordenadas generalizadas, r i = r i (q 1, q 2,..., q N ) Esta dependência existe para todos os pontos do sistema de corpos rígidos, mas, para efeitos práticos, basta considerar os pontos onde existem forças aplicadas. O deslocamento virtual de cada um destes n pontos, pode ser obtido por diferenciação (a variação virtual é tratada como um diferencial) δri = N j=1 r i q j δq j onde δq j representa a variação virtual da coordenada generalizada genérica. Então a expressão do trabalho utilizada na equação (8), pode ser rescrita como δw = n apl Fi δr i = i=1 n N i=1 j=1 Fi apl r i q j δq j = N Q j δq j (9) j=1 23

24 sendo Q j a força generalizada associada à coordenada generalizada q j n apl Q j = Fi r i (10) q j i=1 a qual recebe a contribuição de cada uma das n forças aplicadas ao mecanismo. De acordo com o PTV, a condição de equilíbrio fica simplesmente N δw = Q j δq j = 0 δq j Q j = 0 (11) j=1 uma vez que a variação virtual de cada uma das coordenadas generalizadas permite descrever todos as formas (linearmente independentes) como o mecanismo se pode mover respeitando os constrangimentos. Ou seja, um mecanismo de N graus de liberdade está em equilíbrio se cada uma das N forças generalizadas Q j for nula. 4.3 Determinação de configurações de equilíbrio Numa primeira aplicação admitimos que as forças que atuam no mecanismo são conhecidas e pretendemos determinar qual é a configuração de equilíbrio. Não sendo conhecida sequer uma aproximação da verdadeira configuração de equilíbrio é preferível formular o problema em termos das coordenadas generalizadas, determinar as correspondentes forças generalizadas e igualá-las a zero. Ilustra-se este procedimento no problema de dois graus de liberdade representado na figura 6. As duas barras AC e CDE têm comprimento L e peso P. Pretende-se saber quais as configurações de equilíbrio do sistema quando uma força horizontal F é aplicada no apoio móvel A. Os pesos das barras são cargas distribuídas no comprimento, mas, como atuam em corpos rígidos, para o cálculo do trabalho realizado podemos substituí-las por cargas concentradas aplicadas nos pontos e D (os centros de gravidade). L P E L P C θ 2 D y F A θ 1 x Figura 6: Mecanismo de dois graus de liberdade. Definição do problema e as quatro configurações de equilíbrio para F = P. A estrutura é globalmente hipostática do segundo grau, ou seja, é um mecanismo com dois graus de liberdade. Escolhemos como coordenadas generalizadas os ângulos θ 1 e θ 2, a partir dos quais é fácil calcular as seguintes coordenadas, relevantes para o cálculo dos trabalhos x A = L cos θ 1 L cos θ 2 y = L 2 sen θ 1 y D = L sen θ 1 + L 2 sen θ 2 24