UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO MARIZA CANJIRANO DA COSTA

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1 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO MARIZA CANJIRANO DA COSTA POSSIBILIDADES DE ARTICULAÇÃO DOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS NO ENSINO DA NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES E DUAS INCÓGNITAS MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA SAO PAULO 2008

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3 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO CONSELHO DA PÓS GRADUAÇÃO E PESQUISA MARIZA CANJIRANO DA COSTA POSSIBILIDADES DE ARTICULAÇÃO DOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS NO ENSINO DA NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES E DUAS INCÓGNITAS Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Profa.Dra. Marlene Alves Dias. SAO PAULO 2008

4 C874p Costa, Mariza Canjirano Possibilidades de articulação dos ostensivos e não ostensivos no ensino da noção de sistemas de duas equações lineares a duas incógnitas/mariza Canjirano da Costa São Paulo: [s.n], ; il.; 31 cm Dissertação de Mestrado Programa de Pós Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirantes de São Paulo. Orientador: Marlene Alves Dias. 1.Sistemas de equações lineares e duas incógnitas 2. Ostensivos e não ostensivos 3. Níveis de conhecimento 4.Domínio ou Quadros 5. Pontos de vista I. Título CDD: 372.7

5 MARIZA CANJIRANO DA COSTA POSSIBILIDADES DE ARTICULAÇÃO DOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS NO ENSINO DA NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES A DUAS INCÓGNITAS DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDE3IRANTE DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Presidente e Orientador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: 2ª Examinador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: 3ª Examinador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: Nota Final: Biblioteca Bibliotecário: Assinatura: Data / / São Paulo, de de 2008.

6 Ao meu esposo, Val. Á minha irmã Maurinda e sobrinha Bruna. Aos meus queridos pais, Mario e Maria.

7 AGRADECIMENTOS A Deus, por ter me concedido esta oportunidade na vida. A minha orientadora, professora Doutora Marlene Alves Dias, pela extrema competência, paciência, dedicação e criticas construtivas dessa dissertação e o meu crescimento com o aprendiz de pesquisador. À professora Dra.Verilda Speridião Kluth, que participou da minha qualificação dando sugestões que permitiram melhorar o trabalho aqui apresentado. Ao professor Dr. Ruy César Pietropaolo e a professora Dra. Tânia Maria Mendonça Campos pela atenção e compreensão que muito contribuíram para este trabalho. A minha família pelo apoio e incentivo nas horas que mais precisei. Agradeço em especial, á minha família. Minha mãe e pai querido, que sempre acreditaram em meu potencial, apoiando-me em todos os momentos de minha trajetória. A minha irmã e minha sobrinha pelo estimulo para vencer mais uma batalha e ao meu esposo Valdete, por compreender minha ausência em alguns momentos, pelo incentivo, compreensão e estimulo. Aos colegas e professores do Programa de Mestrado da Uniban, pelo apoio e troca de experiências.

8 Alguns viajaram pelo mundo todo, mas nunca tiveram coragem ou habilidade para viajar para dentro de si mesmos... (Augusto Cury)

9 RESUMO COSTA, M. C. Possibilidades de articulação dos ostensivos e não ostensivos no ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas f. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, O objetivo desse trabalho é mostrar as escolhas para o ensino da noção de sistema de duas equações lineares a duas incógnitas, para a sétima série do Ensino Fundamental, nível II, via documentos oficiais e verificar quais os diferentes tipos de tarefas são propostas nas diferentes épocas, desde a década de 50 ao século XXI. Sendo assim, para o desenvolvimento da pesquisa, escolhe-se como referencial teórico central a abordagem antropológica de Chevallard e Bosch (1999) e como referenciais teóricos de apoio os trabalhos de Robert (1997) sobre os três níveis de conhecimentos esperados dos estudantes; Douady (1984,1992) sobre articulações de domínios ou quadros; Rogalski (1995) sobre a noção de pontos de vista e Tavignot (1991) para o organograma de apresentação geral das obras analisadas. Após um rápido estudo do trabalho de Chevallard e Bosch (1999) analisa-se, via Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (1998) e Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1991), o topos esperado do professor e do estudante. Na seqüência, constróise uma grade de análise para a noção de sistemas de duas equações lineares a duas incógnitas levando-se em conta o referencial teórico escolhido. Essa grade, devendo servir de ferramenta para a análise das escolhas em termos dos ostensivos e não ostensivos, nas diferentes décadas, através de livros didáticos. Para isso, são escolhidos, aleatoriamente, oito livros didáticos para a análise institucional existente nas décadas escolhidas. Na conclusão dessas analises verifica-se a inexistência de um trabalho que tente mostrar o papel que desempenha a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, principalmente, quando esse serve apenas para facilitar o trabalho matemático em jogo. Palavras-Chave: Sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. Ostensivos e não ostensivos. Níveis de conhecimentos. Domínio ou quadros. Pontos de vista.

10 ABSTRACT COSTA, M. C. Ostensive and the not ostensive possibilities of joint of in the education of the notion of systems of two linear equations two incognito f. Master s Dissertation Graduated Program in Mathematics Education. University Bandeirante de São Paulo, São Paulo, The aim of this paper is to show the choices of two incognitos to the teaching of the notion of the system of two linear equations, to the seventh series of Brazilian basic education, level II, through official documents and to verify which of the different types of tasks are proposed at the different times, since the 50 s to XXI century. Thus, for the development of this research, the anthropological theory of Chevallard and Bosch (1999) was chosen as central theoretical reference. As support references were chosen: Robert (1997) about the three levels of student knowledge; Douady (1984,1992) about articulation of domains or tables; Rogalski (1995) about the notion of point of view and Tavignot (1991) for the organization chart of general presentation of the analyzed reference works. After a fast analysis of the work of Chevallard and Bosch (1999), according National Curricular Parameters of Brazilian Basic Teaching (1998) and Curricular Proposal of the State of São Paulo (1991), the summits of the teacher and the student were done. After this, an analysis scheme was done, regarding the chosen theoretical reference, about the notion of systems of two linear equations of the two incognitos. This scheme was used as a tool for the analysis of the choices of ostensive and the not ostensive terms, in the different decades, through didactic books. Concerning this, eight didactic books were chosen for the institutional analysis in the chosen decades. Concluding, there is not a work that tries to show the role that has the notion of systems of two linear equations of two incognitos, mainly, when this serves only to make the mathematical work easy. Keywords: Systems of two linear equations of the two incognitos. Ostensive and not ostensive. Levels of knowledge. Domain or tables. Points of view.

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...1 CAPÍTULO A abordagem antropológica e sua importância para a análise das articulações possíveis na introdução de uma noção matemática 1.1 Considerações Iniciais A abordagem antropológica de Chevallard e Bosch (1999)...7 CAPÍTULO O topos do aluno e do professor via parâmetros curriculares nacionais e Proposta Curricular do Estado de São Paulo: a noção de sistemas de equações lineares 2.1 Considerações Iniciais Os Parâmetros Curriculares Nacionais A Proposta Curricular do Estado de São Paulo Considerações Finais...63 CAPÍTULO Possibilidades de articulação dos ostensivos e não ostensivos no ensino da noção de sistemas de duas equações lineares a duas incógnitas 3.1 Considerações Iniciais As noções didáticas utilizadas para construção da grade A grade de análise Exemplos de funcionamento da grade Considerações Finais...94 CAPÍTULO A evolução do ensino da noção de sistemas de duas equações lineares a duas incógnitas via análise de livro didático 4.1 Considerações Iniciais A análise da obra de Iezzi et al Comentários e Análise A parte do professor e do aluno...105

12 4.5 A análise da obra de Castrucci et al, Comentários e Análise A parte do professor e do aluno A análise da obra de Iezzi et al Comentários e Análise A análise da obra Di Pierro Neto Comentários e Análise A parte do professor e do aluno A análise da obra de Scipione Di Pierro Netto Comentários e Análise A parte do professor e do aluno A análise da obra de Scipione Di Pierro Netto Comentários e Análise A parte do professor e do aluno A análise da obra de Osvaldo Sangiorgi Comentários e Análise A parte do professor e do aluno A análise da obra de Sinésio de Farias, Comentários e Análise A parte do professor e do aluno Considerações Finais CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS CONSULTAS E REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS...176

13 INTRODUÇÃO No papel de professora do Ensino Fundamental II, é possível observar que, quando se introduz a noção de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas para estudantes da sétima série, as tarefas propostas parecem ser as mesmas que se propunham há pelo menos 20 anos, quando eu era aluna. A noção de sistemas de equações lineares é uma ferramenta matemática importante tanto para os estudantes do ensino médio como para os do ensino superior, pois além de permitir a modelagem de diversas situações matemáticas das outras ciências e do cotidiano, ela também possibilita a articulação de outras noções matemáticas, desde o Ensino Fundamental até o superior. Pode-se citar, como exemplo, sua aplicação em questões da engenharia, de álgebra linear e de equações diferenciais. Certamente, essas aplicações não se reduzem aos sistemas de duas equações e duas incógnitas, mas a escolha dessa noção particular está relacionada ao fato dela permitir uma introdução da noção de sistemas lineares que quando bem explorada, permite discutir as possibilidades de soluções dos sistemas de equações lineares, assim como algumas de suas aplicações. Sendo assim, procura-se compreender melhor as escolhas para o tratamento dessa noção na sétima série do Ensino Fundamental II, a fim de verificar como suas diferentes possibilidades são exploradas nessa etapa da escolaridade. Dessa forma, estuda-se neste trabalho, a relação institucional esperada, via análise dos documentos oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) e Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1991), e a relação institucional existente em diferentes décadas, via livros didáticos referentes a essas épocas. Ou seja, o estudo aqui proposto tenta compreender a ecologia 1 das diferentes tarefas e técnicas encontradas nas diferentes décadas. Inicia-se, assim, este estudo, a partir do seguinte questionamento: 1 Ecologia de tarefas e técnicas: as condições e os empecilhos que permitem a produção e utilização nas instituições. 1

14 - Como se aborda a noção de sistema de duas equações lineares e duas incógnitas nas diferentes décadas? - De que instrumentos os professores dispõem para efetuar suas escolhas? - Quais são os ostensivos e não ostensivos em jogo nas diferentes abordagens, conforme definição de Chevallard e Bosch (1999)? - Em que sistema de tarefas e práticas é possível desenvolver os ostensivos e não ostensivos escolhidos? - Quais são as condições e empecilhos que favorecem ou atrapalham sua utilização? - Quais são as escolhas institucionais para a sua utilização? Na tentativa de responder às questões acima, após o estudo bibliográfico das obras encontradas, observa-se a existência de alguns trabalhos de pesquisa sobre as noções de equações e inequações, mas não encontramos trabalhos específicos sobre sistemas de equações lineares, em particular, sobre os sistemas de duas equações com duas incógnitas, o que aumentou o nosso interesse por desenvolver uma pesquisa específica sobre essa noção matemática. O estudo bibliográfico conduziu-nos a escolher a abordagem antropológica de Chevallard e Bosch (1999) como referencial teórico central para a análise das relações institucionais esperadas e existentes no o ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas na sétima série do Ensino Fundamental II. Nos dedicamos, em particular, ao exame dos ostensivos e não ostensivos privilegiados, nas diferentes décadas para o ensino dessa noção matemática. Dessa forma, o objetivo do estudo da relação institucional esperada e existente para o ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, via documentos oficiais e, principalmente, livro didático, é verificar quais são os diferentes tipos de tarefas propostas nas diferentes décadas quais técnicas são privilegiadas e quais podem ser utilizadas para justificar o trabalho matemático em jogo, isto é, que discurso tecnológico é empregado para auxiliar o estudante a desenvolver as diferentes tarefas que lhe são propostas. Além disso, para compreender melhor que papéis o professor e o estudante devem desempenhar no processo de ensino e aprendizagem, escolhe-se a noção de 2

15 topos introduzida por Chevallard (1997), que permite analisar o que se espera do professor e do estudante, tanto em relação aos conhecimentos prévios necessários quando se introduz um novo conceito matemático, como em relação às atividades e atitudes necessárias para que se desenvolva o trabalho matemático em jogo nas tarefas que competem a cada um deles. Escolhido o referencial teórico da pesquisa, em função dos objetivos propostos acima, fez-se um estudo das diferentes tarefas de aplicação da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas possíveis de serem exploradas nessa etapa da escolaridade. Levantou-se assim, um conjunto de seis tarefas que são analisadas em função de suas variáveis, dando-se ênfase aos ostensivos e não ostensivos possíveis para a sua solução, às mudanças de quadro ou domínio, conforme abordagem teórica de Douady (1984, 1992), e aos pontos de vista, conforme definição de Rogalski (1995), que podem ser utilizados na sua solução e estão relacionados aos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes, conforme abordagem teórica de Robert (1997). Para melhor compreender como as diferentes ferramentas didáticas podem auxiliar o trabalho matemático em jogo no desenvolvimento das tarefas encontradas, constrói-se uma grade de análise. Essa grade serve tanto para examinar as necessidades em termos de ostensivos e não ostensivos possíveis, quando se introduz a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas na sétima serie do Ensino Fundamental II, como para a análise dos oito livros didáticos representantes de diferentes décadas, que foram escolhidos, aleatoriamente, em função das dificuldades de se encontrar materiais didáticos antigos. Pretendia-se fazer um estudo utilizando as obras de um mesmo autor, mas somente para três décadas foi possível manter este critério. Além disso, a grade serve de ferramenta para a análise dos livros didáticos, permitindo compreender quais tarefas são supostas a cargo do professor e quais são destinadas aos estudantes, que níveis de conhecimento se espera desenvolver pela introdução da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas e qual é o topos esperado do professor e do estudante, para que se atinja o nível de conhecimento desejado. 3

16 Desta forma, para a apresentação do trabalho desenvolvido, no capítulo 1 faz-se um estudo detalhado do artigo La sensibilité de l activité mathématique aux ostensifs» de Chevallard e Bosch (1999), ressaltando a importância da análise antropológica que permite considerar as noções de ostensivos e não ostensivos presentes na atividade humana, em particular na Matemática. Tais noções são essenciais para a realização de tarefas associadas a uma determinada prática institucional e permitem compreender a importância das técnicas, que, por meio de um discurso tecnológico adequado, podem ser planejadas, justificadas e controladas no desenvolvimento do trabalho matemático em jogo, que depende das possíveis abordagens de uma mesma noção, em função dos ostensivos utilizados e dos não ostensivos que as justificam. No capítulo 2, para analisar e compreender o papel esperado do professor e do estudante da sétima serie do Ensino Fundamental II, escolhemos-se analisar dois documentos oficiais, quais sejam, os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1991). Para auxiliar na análise dos documentos acima mencionados, considerou-se a noção de topos introduzida por Chevallard (1997), que permite compreender o papel esperado do professor e do aluno pelas instituições, tanto em função dos ostensivos e não ostensivos que devem ser mobilizados para a solução das diferentes tarefas que lhes são propostas, como para o trabalho pessoal que se espera que cada um deles seja capaz de desenvolver. Sendo assim, constrói-se uma grade de análise que é apresentada no capítulo 3 e que serve de instrumento para a análise dos livros didáticos descrita no capítulo 4. Essa análise é feita com base em um organograma, elaborado conforme descrição de Tavignot (1991), em que apresentamos uma visão geral do livro didático analisado, seguida de um comentário e análise do trabalho proposto pelo autor e de uma tabela em que as seis tarefas propostas são analisadas em função da quantidade que corresponde ao topos do professor - tarefas resolvidas -, e da quantidade que corresponde ao topos dos estudantes - tarefas propostas. Sendo assim, para a noção de sistemas de equações lineares, objeto matemático desta pesquisa, considerando as tarefas resolvidas como parte do professor e as tarefas propostas como parte do aluno, identifica-se, por meio da 4

17 aplicação da grade de análise, quais são os tipos de tarefas que se supõem privilegiadas pelo professor, se existe uma coerência entre as tarefas resolvidas e as tarefas propostas e quais são os ostensivos e não ostensivos em jogo que fazem parte do topos do professor e do estudante. Para esta análise, escolhem-se oito livros didáticos, que variam em função da década de sua edição, ou reedição. Os livros analisados são aqueles que encontramos no decorrer do desenvolvimento da pesquisa. Na conclusão, é possível observar que houve uma melhor delimitação do estudo da noção de sistemas de equações lineares, em que a ênfase é dada aos sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, mas esse estudo não se limita apenas ao caráter ferramenta de solução de tarefas da própria matemática, de outras ciências ou do cotidiano. Ou seja, seu caráter objeto também é destacado pela exploração e discussão das possíveis soluções dos sistemas, possibilitando ainda uma mudança de quadros que visualizar geometricamente essas possíveis soluções. Observa-se ainda que entre as décadas analisadas, houve um momento (década de 50) em que se estudavam os sistemas de equações lineares de m equações e n incógnitas, mas o nível privilegiado era apenas o nível técnico. Essa época é seguida por uma abordagem na qual se privilegia o objeto matemático e não se consideram as situações de aplicação do conhecimento em jogo abordagem característica da época da Matemática Moderna (década 60). Pode-se dizer que a partir da década de 70, aqui analisada por meio da obra de Scipione, se inicia uma articulação entre o caráter ferramenta e o caráter objeto dos sistemas de duas equações e duas incógnitas, que vem sendo empregado até o presente. É importante observar que a articulação considerada é feita por meio de uma mudança entre os quadros algébrico e geométrico, não exigindo um trabalho fundamentado nas estruturas de grupo aditivo, multiplicativo, abeliano, anel e corpo, como se propunha na época da Matemática Moderna. 5

18 CAPÍTULO I A ABORDAGEM ANTROPOLÓGICA E SUA IMPORTÂNCIA PARA A ANÁLISE DAS ARTICULAÇÕES POSSÍVEIS NA INTRODUÇÃO DE UMA NOÇÃO MATEMÁTICA 1.1 Considerações Iniciais Esta pesquisa visa estudar abordagens diferenciadas da noção de sistemas de equações lineares apresentadas em livros didáticos indicados para a sétima série do Ensino Fundamental II, na tentativa de compreender como as escritas, símbolos, palavras, grafismos e gestos são mobilizados e explorados nas atividades propostas por diferentes autores. Faz-se também a análise da dialética que se estabelece entre noções, conceitos e idéias por meio do desenvolvimento desse conteúdo, dos tipos de tarefas que são propostas e das técnicas que são privilegiadas pelos autores. São discutidas outras técnicas que poderiam ser utilizadas e/ou acrescentadas para justificar o desenvolvimento desse conteúdo nessa etapa escolar 2. Além disso, tentar-se-á verificar que discurso tecnológico pode ser utilizado para auxiliar o estudante a desenvolver as diferentes tarefas que lhe são propostas, uma vez que este discurso está associado às tarefas, técnicas, tecnologias e teorias das diferentes organizações praxeológicas construídas do saber matemático. Esta relação entre as características material e perceptível da atividade matemática e as noções, conceitos e idéias que a compõem é encontrada no trabalho A sensibilidade das atividades matemáticas aos ostensivos objeto de estudo e problemática de Chevallard e Bosch (1999) que será o referencial teórico central desta pesquisa. A seguir, apresenta-se o referencial teórico que fundamentou o desenvolvimento desta pesquisa e que servirá como ferramenta para a análise das tarefas encontradas 2 Os significados aqui utilizados para tarefas, técnicas, tecnologias ou discurso tecnológico s são os definidos por Chevallard e Bosch (1999) e que serão discutidos ainda neste capítulo. 6

19 nos livros didáticos escolhidos, que, habitualmente, são propostas aos estudantes da sétima série do Ensino Fundamental A abordagem antropológica de Chevallard e Bosch (1999) Para a realização deste estudo, tomou-se como referencial teórico central o trabalho desenvolvido por Chevallard e Bosch (1999) sob o título A sensibilidade das atividades matemáticas aos ostensivos objeto de estudo e problemática, que trata da relação entre as características material e perceptível da atividade matemática e das noções, conceitos e idéias que a compõem. Além disso, os autores discutem sobre o discurso utilizado na proposta e desenvolvimento de tarefas, as técnicas, as tecnologias e as teorias das diferentes organizações praxeológicas construídas do saber matemático. No artigo anunciado acima, Chevallard e Bosch (1999) iniciam definindo a didática das matemáticas 3 por meio dos trabalhos de Brousseau (1986, 1994, 1995), definições que são apresentadas na citação abaixo, pois permitem compreender melhor como evoluiu o objeto de estudo desta ciência, lhe dando o status atual. Chevallard e Bosch evidenciam que a didática das matemáticas que a princípio estudava as práticas matemáticas escolares se estende quando se leva em conta as condições de difusão dos saberes matemáticos úteis para as instituições da humanidade e seus membros, como é possível observar no texto a seguir: A teoria das situações situa a didática das matemáticas no quadro de uma ciência das condições da produção e da difusão dos saberes úteis para as sociedades e para os afazeres dos homens" (BROUSSEAU, 1995, p.4, apud CHEVALLARD e BOSCH, tradução nossa). Um texto anterior deixa mais clara a definição: Chamamos Didáticas das matemáticas" a ciência das condições específicas de difusão (imposta) dos saberes matemáticos úteis aos membros e às instituições da humanidade (BROUSSEAU, 1994, apud CHEVALLARD e 3 Didática das matemáticas: A ciência didática das matemáticas é considerada na França como um campo científico autônomo que estuda os processos de transmissão e aquisição dos diferentes conteúdos da álgebra, da geometria, da aritmética, da análise, etc. se preocupando particularmente com as especificidades destes conteúdos. Existem outras concepções da didática das matemáticas francesa que coexistem com a considerada acima. (ARTIGUE, notas de curso, 1992, tradução nossa). 7

20 BOSCH, tradução nossa), se lembramos que no início a didática se propunha a estudar as atividades que têm por objeto o ensino, evidentemente, no que elas têm de especifico às matemáticas" (BROUSSEAU, 1986, p.35, apud CHEVALLARD e BOSCH, tradução nossa), vemos quanto a definição do objeto de estudo se estendeu progressivamente, além das práticas matemáticas escolares (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.79, tradução nossa). Ao considerar esta evolução Chevallard, Bosch e Gascon definem a didática das matemáticas como a ciência do estudo e da ajuda ao estudo das (questões das) matemáticas (CHEVALLARD, BOSCH e GASCON, 1997, p.79, apud CHEVALLARD e BOSCH, tradução nossa). Além disso, Chevallard e Bosch argumentam que o objeto de estudo que permite caracterizar a didática das matemáticas como ciência, ressaltando que esta não está centrada no estudo do aluno, nem do professor, mas do saber matemático que eles pretendem trabalhar em conjunto, isto é, a partir de uma análise detalhada deste saber, é possível estabelecer um projeto comum de atividades a realizar, como mostra o texto abaixo. Acreditamos que o que fundamenta e caracteriza a didática enquanto ciência não é o fato de propor um projeto de estudo científico dos problemas de ensino das matemáticas. Sua singularidade originária consiste em considerar como objeto primeiro a estudar (e portanto, a questionar, modelar e problematizar segundo as regras da atividade científica), não o sujeito aluno ou o sujeito professor, mas o saber matemático que eles pretendem estudar em conjunto, assim como a atividade matemática que seu projeto comum de estudo lhes conduzirá a realizar. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.79, tradução nossa) Considerando o saber matemático como referência para o estudo da didática das matemáticas, Chevallard e Bosch situam a matemática como sendo a essência dos fenômenos didáticos, e a didática das matemáticas como a ciência que explicita os modelos utilizados e os submete à prova criando o que ele chama de epistemologia experimental. 8

21 Nesse paradigma anterior 4 antes dominante, podemos considerar que o projeto, que inaugura a teoria das situações criou uma primeira ruptura colocando a matemática como a essência dos fenômenos didáticos. A vontade de elaborar uma ciência desses fenômenos constitui então a segunda ruptura, que conduz a explicitar os modelos utilizados para submetê-los à prova dos fatos, isto é, as leis de uma verdadeira "epistemologia experimental (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.80, tradução nossa). Para exemplificar esta epistemologia experimental, Chevallard e Bosch (1999) utilizam a teoria das situações de Brousseau (1994) explicitando a relação desta teoria com o conhecimento matemático. Chevallard e Bosch esclarecem que a noção de situação fundamental é a principal ferramenta da teoria das situações para caracterizar os conhecimentos matemáticos, pois é ela que permite descrever o conhecimento matemático: [...] Somos, muitas vezes, levados a considerar que, na teoria das situações, a noção de situação fundamental serve, antes de tudo, para descrever e fabricar situações de ensino, mesmo de ensino escolar na classe. Esquecemos, então que essa noção constitui - também e sobretudo - o instrumento chave que propõe essa teoria para caracterizar os conhecimentos matemáticos [...]. Para analisar o ensino e a aprendizagem de uma noção matemática, a teoria das situações coloca primeiro o problema de sua descrição, problema que devemos responder em termos de situações fundamentais. A hipótese da existência de uma situação fundamental específica de cada conhecimento matemático não é, aqui, uma declaração de otimismo que queria a engenharia didática, mas a própria definição do conhecimento matemático que nos propõe essa teoria. Descrevemos um conhecimento em termos de situação: um conhecimento é uma situação. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.80 81, tradução nossa). Ao explicitar a relação entre a teoria das situações e o conhecimento matemático, Chevallard e Bosch consideram um principio teórico fundamentado no que 4 Paradigma anterior: estudo das práticas matemáticas escolares. Paradigma atual: estudo das condições de difusão dos saberes matemáticos para as instituições da humanidade. 9

22 eles chamam de modelo geral das matemáticas, isto é, os conhecimentos matemáticos, em geral, podem ser descritos por meio de situações fundamentais que permitem a construção e a difusão dos conhecimentos associados a um determinado conteúdo matemático. Temos aqui um principio teórico fundamentado sobre um modelo geral das matemáticas, segundo o qual os conhecimentos matemáticos podem ser descritos com a ajuda de situações fundamentais (definidas como jogos formais). Esse modelo geral deve, então permitir a construção de modelos locais dos diferentes conteúdos matemáticos que vamos ensinar a fim de colocar em evidência as condições de construção e de difusão dos conhecimentos que lhe são associados. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.81, tradução nossa). Em seguida, Chevallard e Bosch resumem a teoria das situações de Brousseau mostrando sua importância na compreensão da transposição didática que coloca o saber ( sábio", "ensinado" ou a ensinar") como a origem de toda problemática didática. Segundo Chevallard e Bosch a teoria das situações supõe que é possível aprender os conhecimentos matemáticos por meio de atividades. Observamos enfim que, em relação ao ponto de vista clássico sobre o saber matemático, a teoria das situações fornece ainda uma nova ruptura epistemológica fundamental. Ela supõe, com efeito, que se pode aprender os conhecimentos matemáticos por meio das atividades que elas permitem realizar, portanto os problemas que elas permitem resolver. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.81 82, tradução nossa). Para Chevallard e Bosch essas atividades são estruturadas e podem ser trabalhadas nas diferentes fases propostas pela teoria das situações: [...] As matemáticas não são simplesmente um sistema conceitual, logicamente consistente e produtor de demonstrações: elas são em primeiro lugar uma atividade que se realiza em situação e contra um meio. Trata-se, além disso, 10

23 de uma atividade estruturada, que podemos retirar diferentes fases - ação 5, formulação 6 e validação 7, às quais se juntam devolução e institucionalização 8. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.81, tradução nossa) Após esta breve apresentação da importância da teoria das situações para a aprendizagem matemática, Chevallard e Bosch mostram como a transposição didática pode contribuir para a construção do conhecimento e a relevância do saber matemático ( sábio, ensinado ou a ensinar ), pois estes são a origem de toda a problemática da didática. Segundo eles, esse saber deve ser questionado e as pesquisas em didática dependem do tipo da teoria ou abordagem da didática da Matemática escolhida, o que Chevallard e Bosch denominam de modelagem da matemática considerada. Nesse sentido, a noção de transposição didática deve ser interpretada como a possibilidade de desenvolver a dupla ruptura epistemológica provocada pela teoria das situações. Porque sua principal contribuição não é somente colocar em evidência a distância que separa o saber sábio do saber ensinado, e portanto as transformações necessárias que deve ser submetido todo objeto matemático para poder ser ensinado. O que mostra, a noção de transposição didática, é que o saber matemático (seja sábio", "ensinado" ou a ensinar") é a origem de toda problemática didática. Segue, então, que esse saber não pode ser tomado como um dado inquestionável e que as pesquisas em didática das 5 Situação de Ação (aquisição de conceitos e procedimentos): São aquelas em que os alunos se engajam em um processo de ação para resolver um problema, isto é, os alunos se apropriam do problema a partir de seus conhecimentos anteriores, utilizam procedimentos implícitos, a finalidade do trabalho do aluno é resolver corretamente a tarefa e a finalidade do trabalho do professor é permitir que os alunos se apropriem de um procedimento. 6 Situação de formulação (aquisição de vocabulário): São aquelas que conduzem os alunos a formular as soluções encontradas assim como os teoremas ou regras que regem a situação, isto é, os alunos explicitam (oral, escrito) os procedimentos e as soluções. 7 Situação de validação (se convencer e convencer os outros): São aquelas em que os enunciados produzidos anteriormente serão submetidos a uma validação, esta se apóia sobre os feed-backs fornecidos pelo meio ou por meio de argumentos intelectuais que não dependem da autoridade do professor. Brousseau (1986) observa que mesmo se a validação tem um papel importante na construção dos saberes matemáticos é difícil identificar situações de validação que respeitam os empecilhos indicados acima, e ainda mais difícil e administrá-los. Os alunos devem se convencer e convencer os outros que a solução é válida. 8 Situação de institucionalização (professor): São aquelas para as quais os conhecimentos que os alunos construíram passam ao plano do saber, isto é, ao nível institucional. O professor deve identificar novos saberes e saber-fazer, estabelecer as convenções de linguagem, homogeneizar os conhecimentos da classe, estabelecer os saberes construídos, os que devem ser apropriados pelos alunos e suas formas. Disponível em: < Acesso em 02/03/2008 às 17h38min. 11

24 matemáticas são condicionadas pelo tipo de modelagens da matemática a que recorremos [...] (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p. 82, tradução nossa). Após mostrar a evolução da didática das matemáticas, situar a teoria das situações e a noção de transposição didática em relação a essa evolução, Chevallard e Bosch passam a definir as noções que integram o que eles chamam de modelagem antropológica da matemática. Para eles essas noções são os instrumentos operatórios para a análise das práticas sociais em matemática. Em seu artigo Concepts Fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique Chevallard (1992) já havia proposto o início de uma axiomática teórica da antropologia do conhecimento, introduzindo a noção de objeto. Em 1999, tomando como ponto de partida, a mesma noção de objeto e introduzindo os objetos instituição e posição dos indivíduos na instituição, Chevallard e Bosch situam a didática das matemáticas no terreno da antropologia cognitiva. Chevallard e Bosch iniciam definindo objeto 9 e, em particular os objetos instituição 10, indivíduos 11 e posições dos indivíduos nas instituições 12 como mostra o texto abaixo. Os desenvolvimentos anteriores, que inscrevem definitivamente a didática no terreno da antropologia do conhecimento (ou antropologia cognitiva), afinam a axiomática de teorização enriquecendo notadamente o domínio de realidade que essa ambiciona levar em conta. O ponto de partida permanece o mesmo: tudo é objeto. Mas, distinguimos, apesar disso, os tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e as posições que estes ocupam nas instituições. Ocupando essas posições, os indivíduos tornam-se os sujeitos das instituições - sujeitos ativos que contribuem em fazer viver as instituições pelo fato mesmo 9 Objeto: Em seu artigo Concepts fondamentaux de la didactique, Chevallard introduz sua teoria sobre os conceitos fundamentais da didática considera que os objetos ocupam uma posição privilegiada nesta teoria, pois eles são o material e a base desta. Observando que para ele tudo é objeto. (CHEVALLARD, 1992, p.86, tradução nossa) 10 Instituição: As instituições são tipos particulares de objetos. (CHEVALLARD, 1992, p.86, tradução nossa) 11 Individuos: Os individuos também são tipos particulares de objetos. (CHEVALLARD, 1992, p.86, tradução nossa) 12 Posição dos indivíduos nas instituições: Um objeto existe no momento em que uma pessoa X ou uma instituição I reconhece esse objeto como existente (para ela). Mais precisamente, diremos que o objeto O existe para X (respectivamente, para I) se existe um objeto, que indicarei R(X, O) (resp.r I (O)), que denominarei relação pessoal de X a O (resp. relação institucional de I a O). Em outros termos, o objeto O existe se existe pelo menos uma pessoa X ou uma instituição I, isto é, pelo menos uma pessoa ou uma instituição tem uma relação com este objeto. (CHEVALLARD, 1992, p.86, tradução nossa) 12

25 de estarem sujeitos a essas instituições. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.83, tradução nossa). Em seguida, Chevallard e Bosch (1999) consideram a noção de relação com, mostrando que esta noção permite analisar as práticas sociais que se realizam em uma instituição. O conhecimento 13 - e o saber 14 como uma certa forma de organização dos conhecimentos - entra, então, em cena com a noção de relação: um objeto existe, se existe uma relação com esse objeto, isto é, se um sujeito ou uma instituição o " (re)conhecer" enquanto objeto. Sendo dado um objeto (por exemplo, um objeto do saber) e uma instituição, a noção de relação com envia às praticas sociais que se realizam na instituição e que colocam em jogo o objeto em questão, ou seja, " o que se faz, na instituição, com esse objeto". Conhecer um objeto é ter o que fazer com - e sempre ter o que fazer com - esse objeto. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.83, tradução nossa) Para o caso particular do saber matemático, Chevallard e Bosch consideram que a atividade matemática pode ser condicionada por instrumentos materiais, visuais, sonoros e tatuais que ela utiliza, isto é, uma atividade em que se utilizam os diferentes sentidos. Para esses autores, o saber matemático, como forma particular de conhecimento, é fruto das práticas sociais das matemáticas e necessita de um método que permita estudar e descrever as condições de realização dessas práticas como se observa no texto abaixo. O saber matemático, enquanto forma particular de conhecimento, é, portanto, fruto da ação humana institucional: é qualquer coisa que se produz, se utiliza, se ensina ou, mais genericamente, se transpõe nas instituições. Mas, a matemática, é, ainda, um termo primitivo, substância de algumas práticas institucionais as práticas sociais das matemáticas. O que falta, é a elaboração de um método de análise das práticas institucionais que permitem 13 Conhecimento: [...] conhecer um objeto O, no sentido da teoria apresentada (e não no sentido das diversas instituições que ele deve nos permitir estudar), é para uma pessoa como para uma instituição ter uma relação com O. (CHEVALLARD, 1992, p.87, tradução nossa) 14 Saber: (explícitos, conscientes, públicos) institucionalizados. (CHEVALLARD, 1992, p.86, tradução nossa ) 13

26 a descrição e o estudo das condições de realização. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.83, tradução nossa) Dessa forma, Chevallard e Bosch introduzem os primeiros termos da antropologia cognitiva, isto é, as noções de (tipo de) tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e teoria, observando que estas noções permitem modelar as práticas sociais, em geral e, em particular, à atividade matemática. Para esses pesquisadores o termo técnica é considerado em um sentido amplo, como uma maneira particular de fazer, e não segundo a acepção comum de procedimento estruturado e metódico, mesmo algorítmico que é um caso particular da técnica. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p. 84, tradução nossa). Já para as tecnologias ou discurso tecnológico das tarefas ou das técnicas eles tomam o seguinte significado: um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas que denominamos de tecnologia da técnica (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.86, tradução nossa). Esses autores consideram as teorias das técnicas como construções por meio de um discurso descritivo e justificativo das tecnologias. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.86, tradução nossa). Já as organizações praxeológicas se associam às condições que pesam sobre sua construção e sua vida normalizada tanto nas instituições de ensino como nas de produção, utilização ou transposição (ARTAUD, 1998, apud CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.87, tradução nossa). Os autores se baseiam na idéia de que toda prática institucional pode ser analisada de maneiras e pontos de vista distintos, por meio de instrumentos teóricos, num sistema de tarefas bem definidas. Nesse sentido, se expressam dizendo que: Os primeiros termos da antropologia cognitiva que nos lembramos acima vem aqui se juntar às noções de (tipo de) tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e teoria. Essas noções permitem modelar as práticas sociais em geral e, em particular, às atividades matemáticas. Partimos para isto de um primeiro postulado segundo o qual toda prática institucional é possível de ser analisada de diferentes pontos de vista e de diferentes maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem circunscritas, que se dividem no fluxo da prática. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.84, tradução). 14

27 A seguir, os autores mostram a necessidade restringir a noção de tarefa e introduzir a idéia de técnica, para a qual consideram alguns exemplos em matemática e não matemáticos, habitualmente utilizados no cotidiano. Observam também a questão da delimitação das tarefas em uma determinada prática institucional. O problema da delimitação das tarefas em uma determinada prática institucional fica aberto e variará segundo se adota o ponto de vista da instituição onde se desenvolve a prática ou ainda aquele de uma instituição exterior para a qual observamos a atividade para descrevê-la com um objetivo preciso. A semântica da palavra fica, portanto, aberta e engloba atividades culturalmente diversas como as de tocar uma peça de Mozart no piano, calcular o produto de dois naturais [...] (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.84, tradução nossa) Para Chevallard e Bosch a noção de técnica é ampla e por meio de exemplos eles mostram que executamos várias técnicas cotidianamente. Tudo, portanto, não é tarefa, existe em toda instituição atividade não analisada em tipo de tarefa, e cuja menção por meio de verbos de ação de acepção mais ampla (por exemplo calcular, demonstrar, etc.) deixa o conteúdo mal definido falamos então de gênero de tarefa. A noção de tarefa vai se tornar restrita, com efeito, pelo segundo postulado, que supõe que o cumprimento de toda tarefa resulta da operacionalização de uma técnica. Aqui, ainda, pode-se entender o termo técnica no sentido amplo, como uma maneira particular de fazer, e não segundo a acepção comum de procedimento estruturado e metódico, mesmo algorítmico que é um caso particular da técnica. Existe, com efeito, técnicas para resolver equações do segundo e do terceiro grau, mas também para fazer demonstrações por recorrência, para abrir portas, para se procurar uma informação por telefone (ou na Internet), para ler um jornal, para escrever um artigo de pesquisa, para rever sua lição, para fazer ficar quietos os alunos no início das aulas, etc. Colocamos assim em execução, cotidianamente, um grande número de técnicas, com um sucesso mais ou menos grande. Pois toda técnica tem uma extensão limitada, uma vez que ela 15

28 nos permite agir em certos casos e não em outros (tal equação não pode ser fatorada, a maçaneta desta porta é ao contrário, hoje os alunos estão muito falantes, etc.) (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.84, tradução nossa). Após definir tarefa e técnica, os autores observam que existe um amplo conjunto de tarefas que sobrevivem nas instituições e para as quais, normalmente existem técnicas que lhes são associadas, como é possível observar no texto que segue. A vida institucional é feita de um amplo conjunto de tarefas, cumpridas segundo maneiras de fazer institucionalizadas, lei do mínimo que tende a identificar todo tipo de tarefa à técnica normalmente utilizada na instituição para cumprir tarefas deste tipo. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.84, tradução nossa). Além da definição de técnica e da apresentação de exemplos, Chevallard e Bosch estabelecem o que eles denominam relação institucional a um objeto para uma dada posição institucional, o que lhes permite considerar a noção de relação pessoal a um objeto, ou seja, essa relação depende do conjunto das tarefas que devem ser cumpridas e das técnicas que lhes são associadas em uma determinada instituição. [...] a relação institucional a um objeto, para uma dada posição institucional é elaborada e (re)elaborada pelo conjunto de tarefas que devem ser cumpridas, por técnicas determinadas, pelas pessoas ocupando esta posição. É assim que o cumprimento das diferentes tarefas que a pessoa se vê conduzida a realizar ao longo de sua vida nas diferentes instituições, em que ela é o sujeito sucessivamente ou simultaneamente, conduzirá a fazer emergir a relação pessoal ao objeto considerado. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.85, tradução nossa). Verifica-se assim, que a relação pessoal a um objeto depende da instituição em que o sujeito se encontra num determinado momento, o que poderá conduzir a várias relações de um mesmo sujeito com um mesmo objeto ou de diferentes sujeitos com um mesmo objeto. Segundo os autores, o par: tarefas e técnicas institucionais gera um fenômeno de naturalização, pois as tarefas, em geral, são rotineiras e as técnicas utilizadas para 16

29 cumpri-las, mesmo que um dia tenham sido construídas, terminam também se tornando rotineiras, não existindo qualquer problema para sua utilização. Mas, mesmo nesta rotina institucional aparecem tarefas problemáticas, para as quais não existem técnicas apropriadas. Isto, em geral, ocorre para novos tipos de tarefas (para o sujeito e para a instituição) ou para aquelas que a técnica habitualmente empregada não funciona. Sendo assim, é necessária a construção de uma técnica adequada ou a adaptação de uma técnica antiga ou ainda a criação de uma técnica inédita, o que resulta numa evolução ou num progresso imposto pelo fato de se encontrar uma tarefa problemática. Segundo Chevallard e Bosch, em geral, a situação antropologicamente mais freqüente é abandonar a problemática da tarefa ao invés de estudar o problema com o objetivo de encontrar a técnica que falta. A esse respeito, a proposta dos autores é a de não abandonar o problema, mas de partir justamente de tarefas problemáticas e tentar produzir uma técnica que permita resolvê-la como é possível verificar no texto abaixo. [...] Partimos assim de um tipo de tarefas problemáticas por exemplo Como resolver uma equação do segundo grau?, Como medir o tempo?, Como contar o número de pessoas em uma multidão?, Como introduzir a noção de número decimal?. Se isto ocorrer, chegamos, após um processo de estudo mais ou menos longo, a produzir as técnicas que permitem fornecer as respostas às questões inicialmente colocadas. Um novo saber-fazer é construído, que devemos ainda organizar para lhe assegurar um funcionamento regular nas instituições. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.85, tradução nossa). Com base nessa idéia, os autores consideram o terceiro postulado antropológico que concerne à ecologia das tarefas e técnicas, isto é, as condições favoráveis e os empecilhos que permitem a utilização, nas instituições, de novas técnicas que foram produzidas ou adaptadas para a resolução de tarefas problemáticas. Essas condições e empecilhos levam à necessidade de se estabelecer um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas ou discurso tecnológico, que Chevallard e Bosch denominam tecnologia das técnicas. 17

30 [...] Supomos que, para poder existir em uma instituição, uma técnica deve aparecer como compreensível, legível e justificável. Trata-se aqui de um empecilho institucional mínimo para permitir o controle e garantir a eficácia das tarefas cumpridas, que são geralmente, tarefas cooperativas, supondo a colaboração de vários atores. Este empecilho ecológico implica então na existência de um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas que denominamos de tecnologia da técnica. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.86, tradução nossa) Ao justificar o postulado acima enunciado, Chevallard e Bosch definem a noção de teoria ou justificativa das tecnologias, isto é, as teorias são construídas por meio de um discurso descritivo e justificativo das tecnologias, o que lhes permite ressaltar que a distinção entre técnica, tecnologia e teoria é funcional e está associada a uma tarefa. [...] O postulado anunciado implica que toda tecnologia tem necessidade de uma justificação, que denominamos teoria da técnica e que constitui seu último fundamento. A distinção técnica/ tecnologia/ teoria é funcional e deve sempre se referir ao tipo de tarefas que tomamos como ponto de referência. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.86, tradução nossa) Os exemplos dados, a seguir, por Chevallard e Bosch permitem compreender o funcionamento da ferramenta (tarefa, técnica, tecnologia e teoria) e sua dependência em função da tarefa analisada. Assim, a determinação do sinal do discriminante de uma equação do segundo grau pode ser um elemento de uma técnica de resolução deste tipo de equações, mas ele pode também ser considerado como um ingrediente tecnológico visando explicar e justificar um tipo de técnica mais elementar fundamentada na escrita e fatoração de uma diferença de dois quadrados. Inversamente, o que, num dado momento ou numa dada instituição, aparece como a justificação de uma certa técnica, pode também ser considerado, em outro momento, como uma tarefa (a tarefa consistindo em justificar uma técnica), que supõe execução de uma técnica particular e a elaboração de um 18

31 ambiente tecnológico-teórico conveniente. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.86, tradução nossa) Após definir tarefas, técnicas, tecnologias e teorias, Chevallard e Bosch explicitam a noção de organização praxeológica (ou praxeologia) pontual, local, regional ou global que são o conjunto de técnicas, tecnologias e teorias para as praxeologias pontuais. As praxelogias locais correspondem ao amálgama das praxeologias pontuais conforme seu elemento amalgamante esteja associado às tecnologias para as locais, às teorias para as regionais e posição institucional para as globais como definição e exemplos apresentados no texto a seguir. Um complexo de técnicas, tecnologias e teorias organizadas em torno de um tipo de tarefa forma uma organização praxeológica (ou praxeologia) pontual. O amálgama de várias praxeologias pontuais criará uma praxeologia local, ou regional ou global, segundo o que o elemento amalgamante é, respectivamente, a tecnologia, a teoria ou a posição institucional considerada. Se consideramos, por exemplo, o ensino das matemáticas no collège 15 (na França), podemos falar de uma organização praxeológica pontual em torno da resolução de tal tipo de problema de proporcionalidade organização que poderia responder à questão Como resolver um problema deste tipo?, de uma organização local em torno da resolução de diferentes tipos de problemas de proporcionalidade (isto é, do tema da proporcionalidade), enfim de uma organização regional em torno por exemplo da noção de função numérica (que corresponde a todo um setor das matemáticas ensinadas no secundário) (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.86, tradução nossa). Após introduzir estas novas noções Chevallard e Bosch retomam a noção de saber para associá-la a estes novos termos, ou seja, o saber é considerado como uma organização praxeológica particular que lhe permite funcionar como um aparelho de produção de conhecimento, conforme se observa a seguir. A noção de saber pode agora ser associada a estes novos termos: um saber reconduz a uma organização praxeológica particular, constituído de uma certa generatividade lhe permitindo funcionar como aparelho de produção de 15 Corresponde ao Ensino Fundamental II no Brasil. 19

32 conhecimentos, isto é, de novas praxeologias. Esta visão das coisas amplia o ponto de vista usual que tende a olhar um saber somente como o par tecnologia / teoria da organização completa, o qual permite, com efeito, geralmente, gerar (ou reconstruir) o conjunto de técnicas da praxeologia, isto é, o saber-fazer correspondente. Nos lembraremos, apesar disso, que genericamente, são freqüentemente as necessidades da prática, isto é as necessidades das técnicas, que estão na origem das praxeologias. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.87, tradução nossa). Finalmente, Chevallard e Bosch explicitam como a abordagem antropológica responde à questão de modelagem das práticas sociais, de suas componentes e de seus produtos para a matemática. A esse respeito, os autores dizem que: [...] Para as matemáticas, consideradas como atividade humana estruturada em organizações praxeológicas, podemos dizer que elas nascem da problematização de certos tipos de tarefas, logo vistas como tipos de problemas cujo estudo dá lugar à construção de organizações praxeológicas locais. A articulação de algumas destas praxeologias em torno de uma tecnologia comum permite formar organizações regionais que, elas próprias, se articulam em organizações mais amplas até constituir o que denominaremos, globalmente, o saber matemático. A descrição destas organizações e o estudo de sua ecologia institucional 16 estão no coração do programa de estudo da didática das matemáticas. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.87, tradução nossa). Após explicitar como a abordagem antropológica modela o saber matemático, em termos de objetos e relação entre os objetos, Chevallard e Bosch colocam a seguinte questão: Qual é a natureza dos objetos matemáticos que chamamos de noções ou conceitos? E, utilizando a noção de primitiva de uma função prosseguem propondo ainda as questões: Como é constituído este conceito? Do que ele é composto? Como é possível descrever suas componentes? Esse questionamento proposto por Chevallard e Bosch (1999, p..88) nos parece importante quando se deseja analisar a relação institucional de um determinado objeto matemático para as diferentes 16 A ecologia de uma organização praxeologica se associa às condições que pesam sobre sua construção e sua vida normalizada tanto nas instituições de ensino como nas de produção, utilização ou transposição (ARTAUD, 1998, apud CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.87, tradução nossa). 20

33 instituições e em diferentes épocas, pois para Chevallard e Bosch, a questão da natureza do objeto conduz ao problema da descrição das práticas institucionais em que o objeto está engajado [...] (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.88, tradução nossa). No texto a seguir, Chevallard e Bosch consideram o exemplo de um objeto matemático e da forma como ele sobrevive nas instituições de ensino. Este exemplo permite compreender melhor a abordagem proposta pelos autores que, ao considerar a forma como as noções podem ser trabalhadas nas diferentes instituições de ensino, assinalam a importância do discurso oral e escrito para sua sobrevivência, pois é este discurso que auxilia na manipulação dos objetos pelos diferentes atores. Se partimos da pesquisa do objeto primitiva de uma função, o que encontraremos não será jamais o próprio objeto em si e por si mas as atividades onde serão colocados em jogo outros objetos. Encontraremos, por exemplo, as declarações sobre o objeto procurado, que organizaremos na rubrica definições ou teoremas [...], declarações que por si são atividades consistindo em dar uma definição ou enunciar um teorema. Encontramos assim as escrituras deste objeto, como o nome do objeto ou outros objetos gráficos correlacionados, ou seja as atividades onde escrevemos, lemos, entendemos ou pronunciamos esses objetos (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.88, tradução nossa). Além disso, os mesmos autores apresentam, como exemplo, o método do pivô de Gauss, aqui escolhido por se tratar de um método de resolução de sistemas lineares que, para sistemas com duas equações e duas incógnitas, está associado ao método da adição. [...] Da mesma forma, descobriremos que o objeto método do pivô de Gauss só existe por meio da manipulação de certos objetos no quadro de certas práticas onde encontraremos os atores que manipulam certos grafismos, fazendo certos gestos e pronunciando certas frases em um discurso oral ou escrito. Mas não colocaremos jamais as mãos no próprio objeto. Assim, quando procuramos o que pode ser um tal objeto, descobrimos que ele se compõe de outros objetos, de natureza sempre material, em particular sonora 21

34 (discursiva), gestual, escritural (gráfica) e com muito vazio em torno. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.88, tradução nossa). Desta forma, Chevallard e Bosch prosseguem revendo sua teoria em que um objeto existe, quando existem instituições ou pessoas que estabelecem uma relação com esses objetos, e a questão de sua natureza conduz ao problema da descrição das práticas institucionais em que ele está engajado, e que só pode ser respondido por meio de organizações praxeológicas. Ou seja, ao procurar compreender o que é um objeto, é preciso buscar que tipos de tarefas e técnicas compõem as praxeologias institucionais em que ele intervém e que tecnologias e teorias permitem justificar as práticas existentes por meio de um discurso sobre este objeto. Chevallard e Bosch (1999, p. 88) justificam que a distinção entre tarefas, técnicas, tecnologias e teorias permite compreender a organização do saber matemático, mas não determina a natureza de suas componentes. Dessa forma, eles consideram as questões abaixo que permitem uma reflexão sobre a atividade matemática. [...] De que são feitos os ingredientes que compõem uma técnica, uma tecnologia, uma teoria? Como, em que termos podem-se descrever o funcionamento de uma técnica? Segundo que critérios e quais índices poderão constatar este funcionamento em uma situação particular? Como distinguir uma técnica da outra? Haveriam invariantes que seriam de certa forma, transinstitucionais? (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.88, tradução nossa). Justificando o primeiro questionamento dessa citação a respeito dos ingredientes que compõem técnica, tecnologia e teoria, Chevallard e Bosch observam que não se pode esconder a vertente metodológica, ou seja, estudar as condições de desenvolvimento da atividade matemática e os entraves que regem seu ensino e aprendizagem, que, na realidade, é a proposta de estudo da didática. Partindo ainda da constatação de que a cultura ocidental estabelece para o conjunto de práticas humanas uma oposição entre as atividades consideradas como manuais e as atividades intelectuais, que espontaneamente levam à classificação das matemáticas como atividades intelectuais, em que materiais e representações são 22

35 apenas suportes ou sinais que se utilizam para representar os objetos, e que desta forma, não fazem parte da própria atividade, os autores afirmam que [...] trabalhamos a matemática principalmente com a cabeça, com a ajuda de ferramentas como noções, raciocínios, idéias, intuições e muito pouco com elementos materiais. Com efeito, alguns instrumentos materiais utilizados (papel e lápis, quadro e giz, régua e compasso, calculadoras, computadores) são geralmente considerados como simples suportes, ajudas muitas vezes indispensáveis, mas que em nenhum caso fariam parte da própria atividade. Os outros objetos, se não materiais, pelo menos sensíveis, que o matemático utiliza (escrituras, formalismos, grafismos, palavras, discurso, etc) podem às vezes se beneficiar de algumas especificidades: se supõe que eles intervenham nas atividades apenas como sinais, ocupando o lugar de outros objetos que eles representariam. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.89, tradução nossa). Chevallard e Bosch observam que a atividade matemática tende a desconsiderar as ferramentas materiais que utiliza, levando em conta apenas os objetos particularmente sensíveis que são os discursos, escritas e grafismos para se centrar no sentido que ajudam a construir e não nos próprios objetos e na maneira de manipulálos. Ou seja, segundo Chevallard e Bosch (1999, p. 90.), para fazer matemática necessitamos do discurso, das figuras e dos símbolos, mas o que é importante está além das palavras e das escrituras, isto é, a atividade matemática concretamente observável está na sua função significante e produtora de conceitos. Após essa constatação Chevallard e Bosch propõem que se investigue como a atividade matemática está condicionada pelos instrumentos materiais, visuais, sonoros e táteis que ela utiliza, e afirmam que a falta desses instrumentos pode dificultar o desenvolvimento de uma atividade, da mesma forma que a ausência de um conceito pode bloquear a evolução do pensamento matemático como se observa no texto abaixo. Sabemos que a ausência de um conceito pode bloquear a evolução do pensamento matemático, tanto no nível histórico de uma comunidade como no nível individual do pesquisador ou do aluno. Poderíamos nos perguntar até 23

36 que ponto esta ausência seria a ausência de uma idealidade, de uma maneira de pensar ou de conceber o mundo, e não aquela de um complexo de ferramentas de trabalho. A maioria de natureza material, cuja disponibilidade ou, ao contrario, a ausência poderia modificar de maneira catastrófica o desenvolvimento da atividade. Acreditamos que a análise didática do desenvolvimento do saber matemático capturada no tempo histórico, na historia de vida de uma pessoa, ou na vida de uma classe não pode considerar como secundaria esta dimensão da atividade, lhe atribuindo apenas uma função instrumental na construção dos conceitos. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p. 90, tradução nossa) Dessa forma, Chevallard e Bosch, explicitando a questão da natureza dos objetos matemáticos e de sua função nas atividades matemáticas, são levados a considerar dois tipos de objetos: os objetos ostensivos e os objetos não ostensivos. A esse respeito, os autores se expressam da seguinte forma: [...] Falamos de objetos ostensivos do latim ostendere mostrar, apresentar com insistência para nos referir a todo objeto tendo uma natureza sensível, uma certa materialidade, e que, por esta razão, adquirem para o sujeito humano uma realidade perceptível. Assim, acontece para qualquer objeto material e, principalmente, para os objetos materiais particulares como os sons (entre os quais as palavras da língua), os grafismos (entre os quais os grafemos permitindo as escrituras das línguas naturais ou constitutivos das línguas formais) e os gestos. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.90, tradução nossa). Sobre os objetos não ostensivos, dizem que: Os objetos não ostensivos são todos estes objetos que, como as idéias, as intuições ou os conceitos, existem institucionalmente no sentido em que lhes atribuímos uma existência sem que para tanto possam ser vistos, ditos, entendidos, percebidos ou mostrados por eles mesmos: eles podem apenas ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos que lhes são associados (uma palavra, uma frase, um grafismo, uma escritura, um gesto ou um longo discurso) (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.90, tradução nossa). 24

37 O exemplo permite compreender a distinção entre ostensivo e não ostensivo, proposta por Chevallard e Bosch, esclarecendo como se efetua a manipulação dos ostensivos e como esta é guiada e controlada pelos não ostensivos. Assim, os objetos função e primitiva de uma função são objetos não ostensivos que aprendemos a identificar e a ativar por meio de certas expressões, escrituras e grafismos particulares utilizados em práticas e situações também particulares. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.90, tradução nossa). Após definir objetos ostensivos e não ostensivos e dar exemplos que permitem compreender como estes se manifestam nas atividades matemáticas, Chevallard e Bosch mostram que estes objetos estão unidos por uma dialética que considera os não ostensivos como emergentes da manipulação 17 dos ostensivos e que são os não ostensivos que guiam e controlam as manipulações permitidas pelos ostensivos, ressaltando ainda que estes sejam objetos institucionais cuja existência raramente depende de uma única pessoa. [...] os objetos não ostensivos não devem ser entendidos como entidades mentais, pessoais e individuais, que existiriam unicamente nas nossas cabeças ou no nosso espírito. Ostensivos e não ostensivos são sempre objetos institucionais cuja existência depende raramente de uma única pessoa. [...] os objetos ostensivos e os objetos não ostensivos estão unidos por uma dialética que considera os segundos como os emergentes da manipulação dos primeiros e, ao mesmo tempo, como meios de guiar e controlar esta manipulação. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p , tradução nossa) Para ilustrar as definições e permitir uma melhor distinção entre os objetos denominados por Chevallard e Bosch de ostensivos e não ostensivos e também para explicitar como se efetua a manipulação dos ostensivos e como estes são guiados 17 Por exemplo, na resolução de um sistema de duas equações lineares e duas incógnitas pelo método da adição é importante a disposição das incógnitas que serão manipuladas por meio dos não ostensivos que as guiam e controlam, ou seja, as noções de grupo aditivo e multiplicativo e a noção de espaço vetorial sobre um corpo K. 25

38 pelos não ostensivos, os autores consideram o exemplo abaixo sobre a noção de logaritmo. É pelo fato de poderem ser concretamente manipulados que os objetos ostensivos se distinguem dos não ostensivos. A notação log e a palavra logaritmo são objetos ostensivos. Ao contrário, a noção de logaritmo é um objeto não ostensivo que não é possível manipular no sentido precedente. Podemos somente tornar presente representá-la pela manipulação de certos objetos ostensivos associados, como a notação log, por exemplo. Na maioria dos casos, os objetos institucionais se vêem associados a um objeto ostensivo privilegiado, seu nome, que permitirá uma evocação mínima. Observamos, aqui, o jogo metafórico pelo qual os atores são freqüentemente conduzidos a utilizar como se os objetos não ostensivos se mostrassem, e pudessem ser efetivamente manipulados. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p. 90, tradução nossa). Utilizando o caso particular de uma equação exponencial os autores mostram como a noção de logaritmo funciona como uma ferramenta que pode ser concretamente manipulada, fazendo uma analogia com o martelo cuja função é fixar um prego. Diremos, por exemplo, que para resolver a equação 2 x = 10, utilizamos o logaritmo, da mesma forma que utilizamos um martelo para fixar um prego, isto é, como se o objeto ostensivo que é a noção de logaritmo fosse concretamente manipulável, mesmo que na realidade o que será efetivamente manipulado pelo sujeito humano, são as palavras e as notações. Seremos, por exemplo, conduzidos a pronunciar a palavra logaritmo e escrever: 2 x = 10 ( tomamos os logaritmos ) x.log2 = log 10 => x= log10. Se no lugar de dizer e log2 escrever, nos limitamos a pensar a palavra e a escrita precedente, veríamos como uma outra forma de manipulação interiorizada dos objetos ostensivos. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p. 91, tradução nossa). Chevallard e Bosch (1999, p. 92.) observam que toda atividade humana se descreve, aparentemente, por meio da manipulação de objetos ostensivos, mas o 26

39 operador humano só é capaz de efetuar esta manipulação, evocando ou invocando os objetos não ostensivos que não aparecem como específicos da atividade. O exemplo abaixo mostra uma forma de como se efetua esta manipulação. [...] Escrever = 5 pode ser visto como uma simples manipulação de objetos ostensivos, mas não se saberia efetuar intencionalmente sem a intervenção de certos objetos não ostensivos específicos, tal como a noção de adição (ou, se existe somente cópia de um modelo de escritura, a noção de reprodução ou de cópia ). Mais genericamente, consideramos o principio que, em toda atividade humana, existe co-ativação de objetos ostensivos e de objetos não ostensivos (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p. 92, tradução nossa). Após considerar a importância dos ostensivos e não ostensivos nas atividades humanas, Chevallard e Bosch retomam as noções fundamentais da análise antropológica e mostram como se opera a presença dos ostensivos e não ostensivos na realização das tarefas associadas a uma determinada prática institucional e a importância dos ostensivos, pois são eles que permitem visualizar o trabalho realizado na solução da tarefa proposta, por sua acessibilidade aos nossos sentidos, mas não depende unicamente destes, pois quem os guia e controla são os não ostensivos que lhes são associados e também o produto de uma construção institucional, sendo desta forma, fruto de uma aprendizagem. [...] a utilização de uma técnica se traduz por uma manipulação dos ostensivos regrados por não ostensivos. Os ostensivos constituem a parte perceptível da atividade, isto é, o que na realização da tarefa, pode ser visto, tanto pelo observador como pelos próprios atores. Na análise do trabalho matemático, os elementos ostensivos fazem parte do real empírico, acessível aos sentidos. Ao contrário, a presença de tal ou tal não ostensivo em uma determinada prática só pode ser induzida ou suposta a partir das manipulações dos ostensivos institucionais associados. A observação precedente não deve sugerir que nossa relação com os ostensivos, se dependente da percepção, seja puramente empírica e, de alguma forma, trans-institucional. Os objetos ostensivos, mesmo que diretamente acessíveis aos sentidos, não são dados puros. Como não existe ostensivo sem não ostensivo, tanto os objetos 27

40 ostensivos como nossa relação com eles (em particular nossa capacidade de identificá-los, antes mesmo de manipulá-los) são o produto de uma construção institucional e, portanto, o fruto de uma aprendizagem. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.92, tradução nossa). Na seqüência, Chevallard e Bosch insistem na importância dos ostensivos e no fato de que estes objetos devem ser frutos da aprendizagem, mostrando, por meio de exemplos, a importância da dialética entre ostensivos e não ostensivos 18 e que ambos precisam ser levados em conta pelo ensino. O exemplo abaixo sobre adição de polinômios deixa evidente como se opera a dialética entre ostensivos e não ostensivos e que esta depende da ordem em que estes são considerados. É conveniente se fixar sobre as relações que unem, na atividade humana, objetos ostensivos e não ostensivos. A intervenção dos objetos não ostensivos na práxis manipulativa dos objetos ostensivos pode conduzir a dar aos não ostensivos ativados o status de condições de uma manipulação adequada dos instrumentos ostensivos. Assim, a existência, para mim, segundo uma relação idônea, do objeto não ostensivo adição de polinômios pode aparecer como uma condição para que eu escreva: (x 3 +x +1) + (x 2 + 4x 2) = x 3 + x 2 +5x 1. Analogamente, pelo fato que, contrariamente ao hábito gerado pelo ensino secundário, eu escrevo (x 3 + x +1) + (x 2 + 4x 2) = 1 +5x + x 2 (1 + x) levantará a hipótese de que existem para mim certos objetos não ostensivos que condicionam a tarefa realizada, motivando-a, regrando seu desenvolvimento e propondo um critério para finalizar a transformação operada poderia se tratar, neste caso, do objeto não ostensivo desenvolvimento limitado de ordem 1, por exemplo. A análise do papel de não ostensivos como condições de manipulação dos ostensivos aparece como ambivalente. Ela pode conduzir, seja a considerar primeiro os não ostensivos, como se a administração ostensiva devesse necessariamente segui-lo, seja a considerar primeiro os ostensivos, como se o condicionamento pelos objetos não ostensivos pudesse ser considerado não essencial. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.93, tradução nossa). 18 Por exemplo, quando consideramos a noção de sistemas de duas equações lineares a duas incógnitas é possível verificar, conforme grade de análise apresentada no capítulo 3, a dialética existente entre os ostensivos e não ostensivos e como os não ostensivos guiam, controlam e justificam as manipulações efetuadas. 28

41 Tendo mostrado a necessidade da dialética entre ostensivos e não ostensivos para a solução de uma tarefa, os autores explicitam como a escolha de um trabalho centrado primeiramente sobre os não ostensivos seguidos dos ostensivos prioriza a compreensão, deixando a atividade em segundo plano e um outro trabalho em que se considera os ostensivos, que permitem realizar a tarefa, seguidos dos não ostensivos, pode empobrecer os aspectos conceituais, que permitem controlar a tarefa realizada. Sendo assim, os autores concluem que não é possível dissociar os ostensivos e os não ostensivos, não importando a escolha. O primeiro caso corresponde em matéria de ensino, a colocar na frente a compreensão em detrimento da própria atividade; o segundo caso, a colocar na frente os elementos ostensivos que permitem fazer com um empobrecimento correlativo dos aspectos conceituais que supostamente permitem compreender e controlar o que se faz. Observamos, em oposição, que a co-ativação de ostensivos e não ostensivos é sempre presente e aparece em todos os níveis da atividade, tanto no plano técnico como em seu meio tecnológico teórico (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.93, tradução nossa). Assim, observando que não existem ostensivos sem os não ostensivos e que a ordem em que eles são considerados depende das escolhas, que podem ser realizadas quando se deseja ensinar uma determinada noção matemática, os autores apresentam um exemplo que permite separar os ostensivos escritos, orais e gestuais, assim como os não ostensivos que os guiam e controlam e que permitem justificar e explicar as ações, isto é, o que os autores denominam tecnologia das técnicas. A técnica que conduz a escrever (x 3 +x +1) + (x 2 + 4x 2) = 1 +5x + x 2 (1 + x) supõe uma manipulação de ostensivos escritos (parênteses, letras, algarismos, etc.), orais (pequeno discurso do tipo x mais 4x, 5x... ) e gestuais (por exemplo, para agrupar os termos de mesmo grau e verificar que não esquecemos nenhum). Esta manipulação é guiada pelos não ostensivos, entre os quais a noção de organização dos termos em ordem decrescente dos expoentes, a noção de termos (ou monômios) de mesmo grau, a de fatoração por x 2, ou ainda a noção de resto de ordem 2, etc. Essa evocação de não 29

42 ostensivos nos aproxima, culturalmente, dos ingredientes supostos necessários, não para agir, mas para justificar e explicar as ações, da tecnologia da técnica. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.94, tradução nossa). A partir da noção de tecnologia da técnica, os autores situam os conceitos e noções que permitem compreender e controlar as atividades matemáticas, mostrando a necessidade de um discurso tecnológico que acompanhe estas técnicas de forma a explicitá-las e justificá-las. Os autores vão além, mostrando a importância tanto do discurso oral quanto do escrito, pois são eles que permitem materializar as explicações e as justificativas utilizadas no desenvolvimento de uma determinada tarefa. Eles observam ainda que, sendo as teorias um discurso sobre as tecnologias, estas também estão condicionadas a uma materialização por meio de um discurso oral e escrito. É, com efeito, no nível tecnológico que podemos ser tentados a situar os conceitos e noções permitindo compreender e controlar a atividade matemática. Todo discurso tecnológico se realiza concretamente pela manipulação de objetos ostensivos, em particular, discursivos e escritos, que permitem materializar as explicações e justificações necessárias para ao desenvolvimento de uma tarefa, e isto é análogo no nível teórico, [...] A distinção ostensivo e não ostensivo se refere aos próprios objetos e não ao papel que eles desempenham nas práticas. Uns e outros servem tanto para fazer como para justificar o que se faz. [...] isto é, uma manipulação ostensiva supõe o não ostensivo e, inversamente, o não ostensivo só pode viver por meio do ostensivo, restando apenas que esta necessidade se realize de uma maneira arbitrária nas instituições e em um determinado tempo de sua história, para dar lugar a uma grande variabilidade de formas de associação. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.94, tradução nossa). Dessa forma, Chevallard e Bosch partem do princípio de que toda atividade supõe uma co-ativação de ostensivos e não ostensivos, mostrando como é concebida a análise da atividade matemática segundo a dialética ostensivo/não ostensivo e a importância da função semiótica dos ostensivos, isto é, estes objetos são para os autores, os sinais que dão significado aos não ostensivos. Além disso, os autores comparam os ostensivos da matemática com os de lingüística e, por analogia, mostram a tendência a privilegiar a dimensão não ostensiva da atividade. 30

43 Na análise da atividade matemática, a dialética ostensivo e não ostensivo é geralmente concebida em termos de sinais de significação: os objetos ostensivos são os sinais dos objetos não ostensivos que lhes constituem o sentido ou significação. Os ostensivos utilizados em matemática são muito parecidos, materialmente, com os ostensivos utilizados na atividade lingüística. E, se acreditamos, quando falamos, não são as palavras que importam, mas o que elas permitem comunicar, somos da mesma forma conduzidos a desprezar o papel dos ostensivos na prática matemática, fazendo prevalecer a dimensão não ostensiva da atividade (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.95, tradução nossa). Na seqüência, os autores justificam que as técnicas são consideradas com os primeiros ingredientes, ou ainda, as ferramentas materiais da atividade matemática, assim, que a função semiótica dos ostensivos não está separada de sua função instrumental, ou seja, o sinal que permite integrar e manipular técnicas, tecnologias e teorias. Quando, ao contrário, consideramos como nós o fazemos, que os objetos ostensivos são os constituintes praxeológicos matemáticos, os primeiros ingredientes (e primários) as técnicas, as tecnologias e as teorias, podemos olhá-los em primeiro lugar como os instrumentos da atividade matemática, as ferramentas materiais sem as quais a ação não pode se realizar. A função semiótica dos ostensivos, sua capacidade de produzir o sentido, não pode estar separada de sua função instrumental, de sua capacidade de se integrar nas manipulações técnicas, tecnológicas e teóricas (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.95, tradução nossa). Antes de mostrar a dupla função dos ostensivos, isto é, servem como instrumento de produção de sentido e como ferramenta de manipulação das técnicas, tecnologias e teorias em função do registro a que eles pertencem, Chevallard e Bosch caracterizam os diferentes objetos ostensivos, dizendo: [...] caracterizamos os diferentes objetos ostensivos pelo registro (oral, escrito, gráfico, gestual, material) ao qual eles pertencem, distinção motivada pelo fato 31

44 de que a função atribuída espontaneamente aos objetos ostensivos depende da maneira como eles se compõem (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.95, tradução nossa). Após caracterizar os objetos ostensivos Chevallard e Bosch consideram a pluralidade dos registros ostensivos existentes na cultura ocidental, observando que estes são articulados de maneira complexa. Para a melhor compreensão desta complexidade, os autores apresentam diversos exemplos para mostrar sua importância no desenvolvimento da atividade matemática. Colocamos na frente a espessura ostensiva do trabalho matemático que evolui sempre entre diferentes registros articulados de maneira complexa. E mostramos, também, que no caso particular do discurso oral e escrito, que a função culturalmente associada aos diferentes objetos ostensivos está muito influenciada pelos registros aos quais ela pertence. Existe uma axiologia cultural que nos conduz a desprezar gestos e objetos materiais que não pertencem ao campo das matemáticas, assim como a reduzir as manipulações das escritas a uma atividade mecânica regrada unicamente por regras da sintaxe estrita. É na produção de figuras e, principalmente, no discurso oral, que o olhar logocêntrico irá procurar a prova de que a atividade escrita é significante, provida de sentido. A evolução da atividade matemática, tanto no plano individual como institucional ou histórico, irá encontrar esta visão das coisas e do sistema de valores que ela promete (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.103, tradução nossa). Referindo-se à evolução histórica da matemática, Chevallard e Bosch mostram como a atividade matemática tende a abandonar os diversos registros, privilegiando o registro escrito. Para isto, eles consideram como marco os trabalhos de Viète 19, que é considerado como criador da álgebra por alguns historiadores. Se as primeiras atividades de contagem deviam recorrer a uma ampla variedade de objetos materiais, gráficos e gestuais, se os primeiros raciocínios 19 Viète: Considerado como o matemático que introduz a álgebra, por alguns historiadores, pois é ele que efetua a passagem do conceito de arithmos (faz referência imediata às coisas e as unidades enquanto que os símbolos (letras) [...] enviam ao conceito de número em geral ), ao de símbolo genérico. (PIAGET E GARCIA, 1983, p.171, tradução nossa) 32

45 dedutivos da geometria euclidiana se realizam sobre objetos gráficos traçados sobre a areia e por meio de discursos e manipulações materiais com a ajuda de instrumentos diversos de traçados (efetivamente realizados ou evocados pela linguagem), não podem ignorar que, pelo menos após Viète, os matemáticos progrediram pelas vias do simbolismo escrito, de tal forma que podemos quase que seguir toda a história deste progresso ficando apenas sobre o registro escrito. As tendências formalistas nascidas da crise de fundamentação do fim do século XIX levaram esta evolução ao seu extremo, como se a escrita simbólica pudesse substituir todos os outros registros, seria somente para a formulação e demonstração das verdades matemáticas (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.103, tradução nossa). Para mostrar a importância dos registros ostensivos no desenvolvimento de uma atividade que envolve noções de álgebra, os autores discutem os exemplos sobre o produto de matrizes, soluções de uma equação e desenvolvimento de uma expressão algébrica. Toda matematização, mais genérica, supõe uma redução ostensiva dos instrumentos do trabalho matemático, que projeta os diferentes registros inicialmente ativados sobre aqueles que podem ser escritos. Consideremos assim, os gestos necessários quando do produto de duas matrizes, da solução de uma equação ou do desenvolvimento de uma expressão algébrica. Estes gestos são visíveis sob forma de grafismos, sem dúvida provisórios e um pouco ilegítimos, que indicam sobre o papel as associações dos termos ou as transposições a efetuar (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.104, tradução nossa). Na seqüência os autores mostram a importância do registro escrito sobre o oral, pois é a escrita que permite a manipulação e a projeção do registro gestual sobre o papel, que, segundo os autores, é um processo que faz aparecer novos ostensivos orais para explicar os gestos. [...] Contrariamente ao discurso oral, a escrita imobiliza os objetos sobre o papel e permite manipulá-los, da mesma forma que o medieval que utilizava o ábaco manipulava os cálculos sobre a tábua de contar. Estes exemplos simples são suficientes para ilustrar as possíveis formas de projeção do 33

46 registro gestual sobre a folha de papel, processo que é sempre completado pela aparição de novos ostensivos orais para designar estes gestos ( fazemos passar o termo 3x para o outro lado, multiplicamos as linhas pelas colunas, etc.) ou para indicar os objetos sobre os quais efetuamos estes gestos ( o termo da direita, os extremos, as linhas, o fator comum, etc.) (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.104, tradução nossa). Continuando o raciocínio, Chevallard e Bosch justificam como os ostensivos provisórios terminam integrando o formalismo algébrico dando lugar a novos objetos matemáticos que podem ser representados pelo registro escrito, eliminando todos os traços gestuais. Como exemplo os autores utilizam o produto de duas matrizes. Se seguirmos esta evolução, veremos estes ostensivos provisórios se integrar no próprio formalismo algébrico para dar lugar a novos objetos matemáticos que, poderão ser inteiramente escritos sobre a folha de papel. Assim, a definição usual de produto de matrizes terminará por eliminar todos os traços da atividade gestual graças à utilização do formalismo escrito como o seguinte: (a ij ) mxn X (b ij ) nxp = (c ij ) nxp com c ij = r= n 1 a ir b rj. A leitura desta escrita não consiste mais numa simples oralidade: deve-se poder recompor, a partir destas escrituras, a pluralidade de ostensivos que constituem a técnica de multiplicação. Observamos, aqui, somente que esta evolução supõe a criação de novos ostensivos escritos que, como o sinal de ou os sub-índices, apareceram mais tarde no conjunto de ferramentas matemáticas e continuam a ser objeto de pequenas re-elaborações para facilitar a manipulação. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.104, tradução nossa). Os autores observam também que a gênese 20 de uma técnica para resolver um determinado problema é constituída de uma grande quantidade de ostensivos, ou seja, os registros discursivo, gestual, gráfico, escrito até que se torne estável, reduzindo as necessidades de alguns ostensivos que permitiram a construção da técnica. Podemos mostrar, mais genericamente, que a microgenese individual de uma técnica para resolver um dado tipo de problema supõe, em um primeiro 20 Gênese: Conjunto de formas e/ou elementos que contribuíram na produção de alguma coisa. 34

47 momento, uma proliferação ostensiva importante: a técnica se constrói sobre uma base de objetos emprestados de universos diversos da atividade humana e recorrendo a numerosos pontos de apoio ostensivo discursivo, gestual, gráfico, escrito. Mas a evolução da atividade que terminará em uma técnica estável conduz em seguida a uma redução ostensiva mais e mais evidente, a utilização da técnica tende a colocar como detrito todo aquecimento ostensivo que permitiu a construção (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.106, tradução nossa). Em analogia com a gênese de uma técnica os autores utilizam as praxelogias matemáticas normalizadas as quais irão desaparecer assim como os múltiplos ostensivos iniciais. Esta redução se efetua por um processo no qual os objetos e materiais se transferem para o registro oral e escrito, que podem ser transcritos na folha de papel. Acontece o mesmo quando o processo de criação observado afeta uma praxeologia matemática, por exemplo, aquilo que o professor tenta recriar em sua classe ou um autor de livro didático, com a suposta colaboração dos alunos ou dos leitores. O desenvolvimento da atividade matemática seja na utilização normalizada das praxeologias disponíveis ou na criação de novas organizações de objetos irá desaparecer tão rápido quanto a pluralidade dos ostensivos que caracterizam seu estado inicial, por um fenômeno geral de redução xilográfica (do grego kheir, mão ) dos registros ostensivos ativados, processo pelo qual os objetos e materiais se transferem aos registros da oralidade e do grafismo, isto é, aos registros que a mão pode transcrever no espaço da folha de papel. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.106, tradução nossa). A partir da análise da evolução dos ostensivos, os autores discutem como na mobilização desses objetos na atividade matemática é possível identificar os que estão associados ao registro escrito, oral e gráfico, considerando ainda que os gestos, desenhos e outros grafismos não são, em geral, levados em conta, pois se supõe que estes fazem parte da própria atividade. 35

48 É conveniente então distinguir, na análise dos objetos ostensivos mobilizados em uma atividade matemática concreta, aqueles que, como as notações, os simbolismos e certas expressões verbais adquirem um status matemático claro e têm o papel de instrumentos da atividade, daqueles que, mesmo funcionando como meios indispensáveis do trabalho matemático, são considerados como um acompanhamento quase contingente da atividade. Os desenvolvimentos anteriores podem se traduzir dizendo que a matematização conduz a relegar os objetos materiais, os gestos e certos grafismos ao simples status de meios do trabalho matemático, dando o status de instrumentos somente aos ostensivos pertencentes ao registro escrito e, de forma menos clara, aos registros gráfico e oral. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.105, tradução nossa). Após observar a importância dada ao registro escrito em função de seu papel na apresentação dos resultados dos trabalhos dos matemáticos, os autores consideram que os objetos ostensivos dependem do registro a que pertencem e que, além disso, o status do registro escrito está associado ao fato de que este integra os outros registros, o que faz com que seja visto como o verdadeiro instrumento da atividade, principalmente quando se considera o formalismo da matemática. O status variável atribuído aos objetos ostensivos em função de sua pertinência a tal ou tal registro conduz a uma situação paradoxal. De um lado, o registro da escrita, aquele que integra ao mesmo tempo o discurso escrito e o formalismo matemático, não somente como o mais constantemente solicitado, mas como aquele, aonde virá se integrar os diferentes meios ostensivos pertencentes aos outros registros quando eles serão objetos de uma matematização lhes atribuindo o status de verdadeiros instrumentos da atividade. A matematização que induz sempre, na etapa final, a uma formalização reduz as palavras em escritas, os gestos em índices, as figuras em equações, as manipulações gráficas em manipulações algébricas, etc. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p , tradução nossa). A diferenciação do status atribuído aos objetos ostensivos leva os autores a considerar o discurso verbal e os grafismos como uma relação do matemático com a matemática, isto é, estes são atividades que cada um pode fazer funcionar de diferentes formas, em função de suas necessidades, e que não precisam aparecer 36

49 quando se apresentam os resultados. Isto conduz Chevallard e Bosch a considerar o paradoxo entre a redução ostensiva e a necessidade da utilização dos registros oral e gráfico para restituir o sentido dessa redução. Nesse processo, o discurso verbal e os grafismos, mesmo que fazendo parte dos registros xilográficos, são considerados em um grau intermediário da matematização, como se eles se revelassem quase que inteiramente da componente privada da relação do matemático com a matemática. Ao mesmo tempo a coisa pode parecer paradoxal esses registros não ou pouco matematizados são freqüentemente vistos como emblemáticos do trabalho matemático autêntico. Com efeito, mais o processo de algebrização avança e mais o trabalho matemático torna-se puro cálculo e pura sintaxe : o discurso, mais e mais se afasta da escrita, terminando por parecer como a única prova de raciocínio, ajudado pelos modelos gráficos (ou a componente gráfica). Parece, então, quando os ostensivos discursivos e gráficos perdem seu status de instrumentos para o privilégio dos ostensivos escritos, eles tendem a parecer, para a cultura corrente (matemática ou não matemática) como os meios mais significativos do trabalho matemático, pois eles permitem restituir o sentido perdido quando da redução ostensiva. Este paradoxo tem sem dúvida sua funcionalidade ecológica: a pejoração cultural do escrito aproveita dos registros oral e do grafismo contribuindo para restituir à atividade matemática a espessura ostensiva mínima necessária para sua gestão e sua realização. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.106, tradução nossa). Chevallard e Bosch apresentam diversos exemplos que mostram a importância dos ostensivos para a formalização e generalização em matemática, assim como a descoberta de novos objetos e consideram ainda a instrumentalidade dos ostensivos 21 observando que os mesmos possuem duas valências, uma valência instrumental 22 e uma valência semiótica Instrumentalidade dos ostensivos: Um objeto ostensivo é considerado como um instrumento possível da atividade humana, isto é, como uma entidade que permite, associando com outras, dar conformidade às técnicas que possibilitam cumprir certas tarefas, de conduzir bem um certo trabalho. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.107, tradução nossa). 22 Valência instrumental ou instrumentalidade: Valência que existe tanto nos símbolos escritos (em matemática, por exemplo) como nas palavras que pronunciamos ou nos gestos que fazemos. [...] Podemos dizer, por exemplo, que na sua utilização algébrica usual, a notação por um lado, e a notação de expoente fracionário ½ por outro lado, têm um rendimento vizinho quando as utilizamos para efetuar o seguinte trabalho: 37

50 Chevallard e Bosch observam ainda que a redução dos ostensivos na atividade matemática e sua valorização cultural, que os considera indispensáveis, não podem ser resolvidas por meio dos contratos didáticos 24 habituais, mas necessita de certa desmatematização da atividade. Para compreender melhor as mudanças propostas para o ensino de matemática e, mais particularmente, para o ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, bem como o comportamento esperado dos professores e alunos do Ensino Fundamental II, buscaram-se os documentos oficiais disponíveis, que foram analisados por meio da noção de topos introduzida por Chevallard (1997). Essa análise será apresentada no capítulo que segue, dedicado aos Parâmetros Curriculares Nacionais e à proposta Curricular do Estado de São Paulo x 3 = 2 x 3 ; ( 2x3 ( )2 2 = )2 x ( 3 )2. Inversamente, para calcular a derivada da função a segunda notação se revela instrumentalmente superior, pois ela permite efetuar um trabalho que não podemos ( x)' = ( x 1 )' = x 2 1 = x 2 1 = 2 x reproduzir formalmente com a ajuda da primeira:. Diremos que em relação à técnica de derivação empregada (e vale o mesmo em relação ao cálculo da primitiva da função), 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 a notação exponencial tem uma maior instrumentalidade que a notação : ela permite a utilização de uma técnica que não pode se realizar por meio da notação. A instrumentalidade de um ostensivo depende também do número de técnicas nas quais ele pode intervir e ela terá maior importância quanto mais estas técnicas se mostrarem robustas e confiáveis para o cumprimento da tarefa. (CHEVALLARD e BOSCH, 1999, p.109, tradução nossa) 23 Valência semiótica: [...] A ostensividade de um objeto lhe permite funcionar como sinal, ou de preferência como significante de outros objetos: a notação, a expressão raiz quadrada e uma representação gráfica em um sistema cartesiano podem enviar a este objeto não ostensivo que é a raiz quadrada (ou a função raiz quadrada), a escrita 130 km/h evoca uma grandeza ou uma determinada limitação de velocidade, etc. Mais genericamente, os objetos ostensivos, quando são utilizados em práticas institucionais determinadas, têm o poder de evocar objetos ostensivos e não ostensivos complexos, com os quais eles entram em interação. Como os objetos, no sentido antropológico, são indissociáveis das relações com estes objetos, podemos dizer que o que evocamos (ou podemos evocar em uma determinada situação) os objetos ostensivos é todo conjunto de praxeologias institucionais nas quais eles participam como instrumentos. (Chevallard e Bosch, 1999, p.109). Chevallard e Bosch observam ainda que este conjunto de praxeologias corresponda ao que Godino e Batanero (1994) denominam significado de um objeto matemático. 24 Contrato didático: agrupa o conjunto de comportamentos específicos que o aluno espera do professor e o conjunto dos comportamentos específicos que o professor espera do aluno. O contrato didático aparece quase que inteiramente implícito, e ele deve ser implícito, sem o que o ensino não pode funcionar (BROUSSEAU, 1983, p.48, tradução nossa) 38

51 CAPÍTULO 2 O TOPOS DO ALUNO E DO PROFESSOR VIA PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO: A NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES E DUAS INCÓGNITAS 2.1 Considerações Iniciais Para compreender o que é esperado do professor e dos alunos do Ensino Fundamental quando se introduz a noção de sistemas de equações lineares, isto é, para identificar as praxeologias existentes e os objetos ostensivos e não ostensivos privilegiados, considera-se neste capítulo a análise institucional do que é esperado como topos 25 (CHEVALLARD e GRENIER, 1997) dos alunos e do professor, à luz dos Parâmetros Curriculares Nacionais e da Proposta Curricular do Estado de São Paulo. A escolha desses documentos se deve ao fato de serem indicações construídas com a intenção de orientar o professor em sua prática diária e ajudá-lo a efetuar escolhas que sejam mais adequadas às realidades das classes e das regiões em que trabalham, isto é, desenvolver as técnicas culturalmente possíveis. Dessa forma, a análise foi estruturada levando-se em conta o seguinte questionamento: 1) Como é proposta a abordagem da Matemática para os alunos do Ensino Fundamental, 5ª a 8ª séries, nos documentos oficiais, isto é, Parâmetros Curriculares Nacionais e Proposta Curricular do Estado de São Paulo? 2) Como é estruturado o ensino e como se organiza sua progressão quando se propõe uma primeira abordagem da noção de sistemas de equações lineares para os estudantes do Ensino Fundamental? 25 Topos: palavra grega que significa lugar. O topos do aluno é o lugar onde ele opera com relativa autonomia em relação ao professor o papel que lhe é próprio na realização de uma tarefa didática. Este trabalho que reúne professor e aluno exige uma ação orquestrada, em que ambos são chamados a desempenhar seu papel em fases cooperativas. (CHEVALLARD e GRENIER, 1997, p.186, tradução nossa) 39

52 3) Como é proposta a introdução das noções associadas a esta abordagem? 4) Que desempenho se espera do professor e do aluno no desenvolvimento desta abordagem? 5) Qual é o nível de conhecimento, conforme abordagem de Robert (1997), esperado dos professores e dos alunos quando do desenvolvimento da noção de sistemas de equações lineares? Para responder a essas questões, escolheu-se proceder da seguinte maneira, para a análise de cada documento: a. Primeiro apresenta-se o panorama geral dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática ressaltando o topos esperado dos professores e dos alunos. b. Em seguida, consideram-se as propostas que estão associadas à introdução do objeto matemático de estudo deste trabalho, isto é, a noção de sistemas de equações lineares, nos Parâmetros Curriculares Nacionais, observando quais objetos ostensivos e não ostensivos são privilegiados. c. Analisam-se em primeiro lugar os Parâmetros Curriculares Nacionais observando os conhecimentos prévios esperados dos alunos, quando se introduz a noção de sistemas de equações lineares. Essa análise deverá revelar a relação pessoal esperada dos alunos em função da relação institucional proposta, isto é, para uma organização praxeológica prevista. d. O mesmo procedimento é utilizado para a análise da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, isto é, apresenta-se o panorama geral ressaltando o topos dos alunos e do professor, seguido das propostas para o ensino da noção de sistemas de equações lineares, na tentativa de verificar que objetos ostensivos e não ostensivos são privilegiados. A seguir, são feitas observações sobre os conhecimentos prévios esperados dos alunos, quando se introduz a noção de sistemas 40

53 de equações lineares, para verificar as organizações praxeológicas previstas. e. Finalmente, faz-se um comentário sobre as regularidades e diferenças existentes nestes dois documentos. 2.2 Os Parâmetros Curriculares Nacionais Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da Matemática de 5ª a 8ª séries (PCN) foram elaborados no ano de 1998, não sofrendo nenhuma modificação até a data atual, portanto correspondem, até hoje, às expectativas nacionais para o ensino desta disciplina, isto é, pode-se considerar que, neste documento, se encontram os conhecimentos esperados como disponíveis, conforme definição de Robert (1997), ao final de cada uma destas séries do Ensino Fundamental, ou seja, as praxeologias pontuais, locais, regionais ou globais que se consideram importantes para serem desenvolvidas, nas diferentes etapas da escolaridade, com os alunos. A obra é iniciada com uma apresentação de sua finalidade que é a de ampliar o debate nacional sobre o ensino da Matemática e socializar informações e resultados de pesquisas brasileiras da área de educação, em particular, de educação matemática, sempre preocupada com o educando e com sua formação, pretendo-se que os mesmos tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes permita participar de forma consciente no mundo do trabalho, sendo capazes de estabelecer relações sociais e culturais utilizando a Matemática como objeto de leitura e avaliação responsável destas relações, o que supõe uma utilização dos objetos ostensivos associados aos objetos matemáticos, de forma a efetuar essas atividades de leitura e avaliação. Sendo assim, os Parâmetros devem auxiliar na orientação da formação inicial e continuada do professor, isto é, a estabelecer o topos esperado do professor após estas formações, dando-lhe subsídios para o trabalho em sala de aula. Em seguida, é apresentada uma breve análise das reformas curriculares que, para este trabalho serão melhor evidenciadas por meio da análise dos livros didáticos das décadas de 50 até o século XXI, com a análise de uma obra de cada época, cuja escolha está associada à sua preservação até o momento, sendo que estas obras 41

54 mostram de forma mais eficaz as regularidades e diferenças associadas às diferentes escolhas curriculares. Na seqüência, é traçado o quadro atual do ensino da Matemática no Brasil, destacando que entre os obstáculos enfrentados em relação a este trabalho, os que parecem ser consenso entre educadores e pesquisadores da área são: a falta de uma formação profissional qualificada, as restrições associadas às condições de trabalho, a ausência de políticas educacionais e as interpretações equivocadas de concepções pedagógicas. Vale ressaltar que na obra se observa a existência de projetos educativos que tentam minimizar estes problemas, alguns com muito sucesso. O objetivo desse documento é ampliar o debate sobre o ensino da Matemática e socializar informações e resultados de algumas pesquisas existentes em educação e educação matemática. Os autores tecem considerações a respeito da natureza do conhecimento matemático, identificando suas principais características e métodos particulares e propondo uma reflexão a respeito de seu papel na formação da cidadania. Apesar de deixar evidente a preocupação com a formação do cidadão, o documento coloca em evidência a importância da Matemática, tanto do ponto de vista de sua aplicação, como do seu desenvolvimento, no seio do próprio conhecimento matemático, o que pode ser considerado como a necessidade dos objetos ostensivos e não ostensivos presentes nas tarefas em que a Matemática é o instrumento para sua solução, como é possível identificar no texto abaixo. Duas forças indissociáveis estão sempre a impulsionar o trabalho em Matemática. De um lado, o permanente apelo das aplicações às mais variadas atividades humanas, das mais simples na vida cotidiana, às mais complexas elaborações de outras ciências. De outro lado, a especulação pura, a busca de respostas a questões no próprio edifício da Matemática. A indissociabilidade desses dois aspectos fica evidenciada pelos inúmeros exemplos de belas construções abstratas originadas em problemas aplicados e, por outro lado, de surpreendentes aplicações encontradas para as mais puras especulações (BRASIL, 1998, p ). 42

55 Ao tratar da Matemática e da construção da cidadania, o documento inicia discutindo o que se entende por cidadania e associando a Matemática à formação da capacidade de enfrentar as situações de sobrevivência, de inserção no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura, e do desenvolvimento crítico para um posicionamento em relação às questões do mundo que nos cerca. A esse respeito, os autores se expressam, dizendo que: Falar em formação básica para a cidadania significa refletir sobre as condições humanas de sobrevivência, sobre a inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura e sobre o desenvolvimento da crítica e do posicionamento diante das questões sociais. Assim, é importante refletir a respeito da colaboração que a Matemática tem a oferecer com vistas à formação da cidadania. A sobrevivência na sociedade depende cada vez mais de conhecimento, pois diante da complexidade da organização social, a falta de recursos para obter e interpretar informações impede a participação efetiva e a tomada de decisões em relação aos problemas sociais. Impede, ainda, o acesso ao conhecimento mais elaborado e dificulta o acesso às posições de trabalho. Em função do desenvolvimento das tecnologias, uma característica contemporânea marcante no mundo do trabalho, exige-se trabalhadores mais criativos e versáteis, capazes de entender o processo de trabalho como um todo, dotados de autonomia e iniciativa para resolver problemas em equipe e para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita). Isso faz com que os profissionais tenham de estar num contínuo processo de formação e, portanto, aprender a aprender toma-se cada vez mais fundamental (BRASIL, 1998, p ). Os autores evidenciam a importância de haver um trabalho interdisciplinar e transdisciplinar, no desenvolvimento do conhecimento matemático. Apresentam, como sugestão de trabalho, alguns temas transversais como: ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, trabalho e consumo, dizendo que: A proposta de trabalhar com questões de urgência social numa perspectiva de transversalidade aponta para o compromisso a ser partilhado pelos professores das áreas, uma vez que é o tratamento dado aos conteúdos de 43

56 todas as áreas que possibilita ao aluno a compreensão de tais questões, o que inclui a aprendizagem de conceitos, procedimentos e o desenvolvimento de atitudes. Assim, ela traz aos professores de cada área a necessidade de um estudo sobre tais questões, o que pode ser feito inicialmente por meio da leitura dos documentos de Temas Transversais, que fazem parte dos Parâmetros Curriculares Nacionais, e de sua discussão no âmbito da escola. O trabalho educativo que ocorre na escola é sempre marcado por concepções, valores e atitudes, mesmo que não-explicitados e, muitas vezes, contraditórios. Desse modo, é fundamental que os professores planejem não apenas como as questões sociais vão ser abordadas em diferentes contextos de aprendizagem das várias áreas, mas também como elas serão tratadas no convívio escolar. Em termos de operacionalização dos temas em cada área, é preciso levar em conta que eles precisam se articular à própria concepção da área, o que significa que isso vai ocorrer de diferentes maneiras de acordo com a natureza de cada tema e de cada área. Também é importante destacar que a perspectiva da transversalidade não pressupõe o tratamento simultâneo, e num único período, de um mesmo tema por todas as áreas, mas o que se faz necessário é que esses temas integrem o planejamento dos professores das diferentes áreas, de forma articulada aos objetivos e conteúdos delas. (BRASIL, 1998, p ) Quanto às questões associadas ao ensino e aprendizagem de Matemática, o documento coloca em evidência que o professor deve ter as seguintes relações com a Matemática e com os alunos: Identificar as principais características dessa ciência, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações; conhecer a história de vida dos alunos, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto, suas condições sociológicas, psicológicas e culturais; ter clareza de suas próprias concepções sobre a Matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetivos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intima mente ligadas a essas concepções. (BRASIL, 1998,p-36) Pode-se dizer que o topos esperado, institucionalmente, do professor em relação ao saber matemático, é explicitado nos Parâmetros Curriculares Nacionais por: 44

57 Ter sólidos conhecimentos dos conceitos e procedimentos matemáticos, considerando a Matemática como uma ciência dinâmica para a qual sempre é possível associar novos conhecimentos; ser capaz de transpor o saber matemático para um saber escolar de forma que possa ser compreendido por seus alunos; conhecer os obstáculos encontrados na construção dos conceitos e procedimentos matemáticos; ser capaz de propor situações que sejam passíveis de ser transferidas e generalizadas possibilitando que os alunos possam mobilizar e dispor dos conhecimentos desenvolvidos por meio destas situações em outros momentos e contextos. (Brasil, 1998, p.37) Em termos da teoria antropológica proposta por Chevallard e Bosch (1999), pode-se considerar que o topos esperado, institucionalmente, do professor em relação ao saber matemático, é: - Trabalhar com os objetos ostensivos reconhecendo os não ostensivos que lhes são associados. - Justificar as diferentes passagens no desenvolvimento de uma técnica por meio de um discurso tecnológico, ou seja, adaptar os não ostensivos de forma a justificar os ostensivos utilizados na introdução e desenvolvimento de um determinado saber escolar. - Reconhecer os ostensivos e não ostensivos de forma a produzir um discurso tecnológico que auxilie os alunos a ultrapassar as dificuldades e os obstáculos encontrados na solução das tarefas que lhes são propostas. - Mostrar, por meio de um discurso tecnológico, a diferença entre os ostensivos e sua relação com os não ostensivos e a necessidade de escolhas adequadas que permitem resolver outras situações em diferentes momentos e contextos. Quando se considera o topos esperado institucionalmente do aluno, em relação ao saber matemático, pode-se dizer que este é explicitado nos Parâmetros Curriculares Nacionais por: 45

58 Ser capaz de reconhecer problemas, buscar e solucionar informações e tomar decisões; relacionar temas matemáticos na própria Matemática, com as outras disciplinas e com as situações cotidianas. (BRASIL, 1998, p.38) Pode-se considerar que se espera que, ao final do processo de ensino e aprendizagem, os alunos sejam capazes de reconhecer os ostensivos e os não ostensivos nas tarefas que lhes são propostas e aplicá-los na solução de situações e problemas matemáticos, de outras ciências e do cotidiano. Em relação ao topos esperado do professor, no trabalho com os alunos, são apontados como elementos fundamentais: Reconhecer os conhecimentos prévios dos alunos com os quais irão trabalhar; propor situações para os alunos que permitam que os mesmos sejam capazes de solucioná-las utilizando seus conhecimentos prévios para a formação de novos conhecimentos; auxiliar os alunos no desenvolvimento destas situações propondo as ajudas necessárias em função do estado de desenvolvimento real destes alunos; avaliar o desenvolvimento destes mesmos alunos, verificando se ao final do trabalho proposto eles são capazes de pelo menos mobilizar os conhecimentos desenvolvidos em outras situações e em novos contextos; mediar a relação entre os alunos, o que é fundamental quando se deseja que o próprio aluno seja responsável pela construção de seu conhecimento. (BRASIL, 1998, p. 39) Dessa forma, o professor é visto como avaliador das possibilidades de desenvolvimento dos alunos e orientador na construção do conhecimento dos mesmos, devendo levar em conta a relação pessoal desenvolvida até o momento da introdução de novas noções, para utilizá-las como meios de auxiliá-los na construção do conhecimento. Levando em conta o topos esperado do aluno, em relação ao seu próprio trabalho e ao relacionamento com os outros estudantes, os autores esclarecem que o aluno deve ser capaz de: 46

59 Construir seu conhecimento utilizando seus conhecimentos prévios a partir da solução de situações propostas pelo professor; explicitar seu trabalho e o de seus pares na solução das situações que lhe são propostas; persistir e estimular seus colegas quando dificuldades se apresentarem. (BRASIL, 1998, p. 40) Observa-se assim, a expectativa de que o aluno seja capaz de, não só construir seu conhecimento, mas de explicitá-lo de forma coerente e auxiliar seus pares quando apresentarem dificuldades. Ou seja, o aluno deve estar consciente de seu papel e reconhecer os objetos ostensivos e não ostensivos que permitem resolver as situações matemáticas propostas pelo professor, de forma a ser capaz de utilizar um discurso tecnológico que explicite o planejamento, a execução, o controle e a justificativa do trabalho a ser efetuado para a solução de uma determinada situação. Continuando a análise proposta, observa-se que os Parâmetros Curriculares Nacionais apresentam a metodologia de resolução de problemas como uma alternativa para o desenvolvimento do topos dos alunos, sendo esta adequada, uma vez que o próprio aluno deve construir seu conhecimento, auxiliado pelo professor cujo papel é organizar e mediar este trabalho. Os autores indicam, como caminhos para fazer Matemática, em sala de aula, o emprego de estratégias que utilizem a História da Matemática, as tecnologias da informação e comunicação e os jogos. Verifica-se aqui, a importância dos cursos de formação de professores que podem auxiliar no desenvolvimento das estratégias propostas que exigem um tratamento mais específico em relação aos ostensivos e não ostensivos que devem ser considerados quando se introduz uma nova noção. Após apresentar o que se espera do trabalho do professor e do aluno, no desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, encontram-se no documento as finalidades do ensino da Matemática para o desenvolvimento da cidadania nos alunos desta etapa da escolaridade, apresentadas na seqüência. 47

60 Identificar os conhecimentos matemáticos, como meio para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico). Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente. Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis. Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas. Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares. Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 1998, p.47 48) Em seguida, o documento apresenta a seleção dos conteúdos de Matemática que estão organizados em quatro grandes blocos: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. O objeto de estudo desta pesquisa, isto é, a noção de sistemas de equações lineares faz parte do bloco Números e Operações. A respeito dos conteúdos que compõem esse bloco, os autores explicitam o que se espera do trabalho com as noções 48

61 de números e operações e como se deseja que seja trabalhada a álgebra nesta etapa da escolaridade, dizendo que: Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do Ensino Fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situaçõesproblema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de uma equação. [...] Esse encaminhamento dado à Álgebra, a partir de generalização de padrões, bem como o estudo da variação de grandezas possibilita a exploração da noção de função nos terceiro e quarto ciclos. Entretanto, a abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do ensino médio. (BRASIL, 1998, p.50 51) Uma vez discutido o papel do desenvolvimento das noções de álgebra no Ensino Fundamental, o documento sugere a análise dos pontos abaixo, para a organização dos conteúdos. A variedade de conexões que podem ser estabelecidas entre os diferentes blocos, ou seja, ao planejar suas atividades, o professor procurará articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando a possibilitar a compreensão mais ampla que o aluno possa atingir a respeito dos princípios e métodos básicos do corpo de conhecimentos matemáticos (proporcionalidade, equivalência, indução, dedução etc.); além disso, buscará estabelecer ligações entre a Matemática, as situações cotidianas dos alunos e as outras áreas do conhecimento; As possibilidades de seqüenciar os conteúdos são múltiplas e decorrem mais das conexões que se estabelecem e dos conhecimentos já construídos pelos alunos do que da idéia de pré-requisito ou de uma sucessão de tópicos estabelecida a priori. Embora existam conhecimentos que precedam outros, a hierarquização entre eles não é tão rígida como tradicionalmente é apresentada; 49

62 Os conteúdos organizados em função de uma conexão não precisam ser esgotados necessariamente de uma única vez, embora deva-se chegar a algum nível de sistematização para que possam ser aplicados em novas situações. Alguns desses conteúdos serão aprofundados, posteriormente em outras conexões, ampliando dessa forma a compreensão dos conceitos e procedimentos envolvidos; Os níveis de aprofundamento dos conteúdos em função das possibilidades de compreensão dos alunos, isto é, levando em conta que um mesmo tema será explorado em diferentes momentos da aprendizagem e que sua consolidação se dará pelo número cada vez maior de relações estabelecidas; A ênfase maior ou menor que deve ser dada a cada item, ou seja, que pontos merecem mais atenção e que pontos não são tão essenciais; assim, por exemplo, o estudo da representação decimal dos números racionais é fundamental devido à disseminação das calculadoras e de outros instrumentos que a utilizam. (BRASIL, 1998, p.53-54) A proposta acima pode ser identificada como a organização praxeológica esperada, onde é possível identificar que diversas praxeologias podem ser organizadas, uma vez que o professor tem a possibilidade de tratar as diferentes noções a serem introduzidas, considerando os conhecimentos prévios dos alunos, assim como os objetos ostensivos e não ostensivos que serão privilegiados. A noção de sistemas de equações lineares aparece, implicitamente, no quadro sobre conceitos e procedimentos, no bloco Números e Operações, a ser trabalhado nas séries finais do Ensino Fundamental, sem orientações e exemplos mais específicos de como trabalhar esta noção, pois nem mesmo o conceito de equações e inequações é explicitado nesta proposta. As indicações dos conteúdos envolvendo os conceitos de equação, inequação e sistema de equações lineares estão destacadas em negrito a seguir. Constatação que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à Geometria e Medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do p, da 2, 3 etc.). Identificação de um número irracional como um número de representação decimal infinita, e não-periódica, e localização de alguns deles na reta numérica, com régua e compasso. 50

63 Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais aproximados por racionais. Resolução de situações-problema de contagem, que envolvem o princípio multiplicativo, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas. Construção de procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais. Identificação da natureza da variação de duas grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não-proporcionais (afim ou quadrática), expressando a relação existente por meio de uma sentença algébrica e representando-a no plano cartesiano. Resolução de problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas, incluindo a regra de três. Resolução de situações-problema que envolvem juros simples e alguns casos de juros compostos, construindo estratégias variadas, particularmente as que fazem uso de calculadora. Tradução de situações-problema por equações ou inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da igualdade ou desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. Resolução de situações-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau, construindo diferentes procedimentos para resolvê-lo, inclusive o da representação das equações no plano cartesiano, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. Construção de procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas. Obtenção de expressões equivalentes a uma expressão algébrica por meio de fatorações e simplificações. Resolução de situações-problema que podem ser resolvidas por uma equação do segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração, discutindo o 51

64 significado dessas raízes em confronto com a situação proposta. (BRASIL, 1998, p ) Levando em conta essas orientações, cabe ao professor (ou o professor deve ter autonomia para) analisar os conhecimentos prévios de seus alunos e propor a organização praxeológica, em função desses conhecimentos, escolhendo os objetos ostensivos e não ostensivos que irá privilegiar. Verifica-se que nos Parâmetros Curriculares Nacionais existe uma intenção de se levar em conta as diferentes organizações praxeológicas, embora este termo não apareça no documento, pois transparece no texto o incentivo à reflexão sobre as diversas possibilidades de tratamento de uma noção matemática, em função do grupo de alunos com os quais se está trabalhando. Esta possibilidade de diferentes organizações praxeológicas precisa ser melhor explicitada, por meio de exemplos que auxiliem o professor no desenvolvimento das tarefas que fazem parte de seu topos, e na escolha dos objetos ostensivos e não ostensivos mais adequados às diferentes turmas com as quais está trabalhando, possibilitando assim um tratamento diferenciado. Vale ressaltar que a existência de diversas relações institucionais, dificulta a avaliação institucional das relações pessoais desenvolvidas pelos alunos por meio de provas internacionais, nacionais, estaduais, municipais e entre diferentes escolas. Esta questão da avaliação das relações pessoais em função das relações institucionais existentes parece interessante, mas será deixada como um objeto de uma nova pesquisa. Tendo em vista que os Parâmetros Curriculares Nacionais foram elaborados com base na Proposta Curricular de Matemática do estado de São Paulo (1987), considerase que a análise dessa Proposta poderá trazer mais elementos para este estudo. 2.3 A Proposta Curricular do Estado de São Paulo No prefácio da proposta curricular os autores identificam a existência de problemas com o ensino da Matemática nas escolas públicas com base no relato de alguns professores. 52

65 Preocupação excessiva com o treino de habilidades com a mecanização de algoritmos, com a memorização de regras e esquemas de resolução de problemas, com a repetição e a imitação e não com uma aprendizagem que se dê, inicialmente, pela compreensão de conceitos e de propriedades, pela exploração de situações-problema nas quais o aluno é levado a exercitar sua criatividade, sua intuição. A priorização dos temas algébricos e a redução ou, muitas vezes, eliminação de um trabalho envolvendo tópicos de Geometria. A tentativa de se exigir do aluno uma formalização precoce e um nível de abstração em desacordo com seu amadurecimento. (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 1991, p-7) Numa tentativa de mudar este panorama, que segundo os professores eram priorizados pelos livros didáticos, constitui-se uma equipe técnica e elabora-se uma 1 a versão da proposta, que após discussão nas delegacias de ensino permite a elaboração de uma 2 a versão do documento apresentado pela equipe técnica. Esta versão tendo a participação de alguns professores que trabalhavam nas escolas públicas em Nesta versão optou-se pela apresentação dos conteúdos em diferentes níveis de abordagens, ou seja, cabe ao professor efetuar a organização praxeológica e escolher os ostensivos e não ostensivos possíveis de serem trabalhados com os diferentes grupos de alunos. Neste momento, é importante observar que a Proposta deveria ser utilizada como referência do trabalho a ser apresentado aos professores, pelos livros didáticos, e estes corresponderiam a uma determinada organização praxeológica que supõe que os alunos disponham de determinados objetos ostensivos e não ostensivos que sustentam este trabalho, não levando em conta os diferentes casos, como propõe o texto a seguir, extraído da Proposta: Desse modo, uma mesma noção deverá ser retomada em diferentes ocasiões, que sejam convenientes, de modo a permitir sua elaboração e reelaboração por parte do estudante, desde um primeiro contato, onde ele capta intuitivamente as idéias básicas e as aplica em situações-problema, até a fase 53

66 em que é utilizado o pensamento lógico-dedutivo, permitindo uma progressiva formalização e sistematização do conceito enfocado. (Proposta Curricular Estado São Paulo, 1991, p-8). Dessa forma, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo considera duas vertentes básicas, para justificar o ensino da Matemática no Ensino Fundamental nível II: uma associada a um trabalho centrado nos objetos ostensivos que sustentam as diferentes noções matemáticas e a outra que trata mais especificamente dos não ostensivos que justificam os ostensivos utilizados, como mostra o texto abaixo: Ela [a Matemática] é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade, como são as que lidam com grandezas, contagens, medidas técnicas de cálculo etc. Ela desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível. (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 1991, p- 9). Nessa Proposta, verifica-se que existe a preocupação com a organização do currículo de forma a atingir as metas existentes nestas duas vertentes, isto é, colocase, ainda em evidência que essas duas funções da Matemática, isto é, a função de aplicação prática e desenvolvimento do raciocínio lógico são mais simples de serem aceitas, mas a organização do currículo para atingir tais metas é que apresenta maior resistência. Não é difícil entrar em acordo quanto a esta dupla função da MATEMÁTICA: as aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio. Já não é tão simples, no entanto, um acordo sobre o modo como um currículo deve ser organizado para que tais metas sejam atingidas. (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 1991, p-9) Esta dificuldade pode estar associada à falta de exemplos que possam auxiliar o professor a compreender melhor a possibilidade de existência de diversas 54

67 organizações praxeológicas e de escolha dos ostensivos e não ostensivos que serão privilegiados, uma vez que esta escolha depende não só das possíveis organizações, mas dos conhecimentos prévios dos diferentes grupos de alunos. Além disso, pode-se supor ainda que essa resistência está associada ao fato de que para atingir essa meta, tanto o professor como o aluno devem desempenhar seu papel no processo de ensino e aprendizagem, ou seja, existe aqui uma indicação do topos do aluno e do professor do Ensino Fundamental, que pode ser associado à responsabilidade de cada um em relação às noções que devem ser disponíveis (Robert, 1997) para que se estabeleça o processo de ensino e aprendizagem, isto é, que ostensivos e não ostensivos privilegiar em função dos conhecimentos prévios dos diferentes grupos de alunos. Deve-se observar ainda, que para que, mesmo que o professor das diferentes séries tenha a capacidade de retomar conteúdos ainda não disponíveis, que foram trabalhados em séries anteriores, é preciso que o aluno também seja consciente de que uma boa parte desse trabalho deve ser executado por ele, que poderá procurar seus próprios meios de preencher as lacunas de sua formação. Sendo assim, verifica-se na citação acima, que se espera que os alunos do Ensino Fundamental sejam capazes de utilizar as noções matemáticas desenvolvidas em sala de aula de forma autônoma, podendo planejar, desenvolver, controlar e justificar o trabalho matemático em jogo nas diversas situações-problema que podem encontrar na sua vida escolar e profissional. Ainda no prefácio, observa-se que para que o aluno possa representar seu papel de forma autônoma, contribuindo para o seu desenvolvimento cognitivo, não é apenas a Matemática que precisa ser repensada, mas as outras disciplinas em que professores e alunos precisam assumir seu papel como agentes de transformação do processo de ensino e aprendizagem. Além disso, é preciso que os professores conheçam os diferentes objetos ostensivos associados a um determinado não ostensivo, para que possam propor situações em que é possível articulá-los de forma a conduzir seus alunos à compreensão das diferentes formas de tratamento de um mesmo objeto matemático. 55

68 Para um trabalho mais especifico sobre a Matemática, os autores da Proposta escolhem os conteúdos e suas respectivas abordagens apenas para dois assuntos: Números e Geometria, mostrando a importância de trabalhar esses assuntos, de diferentes formas, articulando assim os diferentes conhecimentos matemáticos em jogo. Nas sugestões apresentadas, considera-se primeiro uma abordagem intuitiva, isto é, utilizando os possíveis ostensivos para o desenvolvimento do trabalho matemático proposto, levando a uma sistematização do conhecimento que se deseja construir, o que de certa forma, para a introdução das noções de número e de geometria corresponde a um trabalho que pode ser mais bem compreendido quando considera uma análise epistemológica da gênese desses conhecimentos, onde diversos ostensivos são utilizados para se chegar aos não ostensivos que permitem definí-los e justificá-los. Pode-se estudar os NÚMEROS a partir de sua organização em conjuntos numéricos, passando-se dos Naturais aos Inteiros, aos Racionais, aos Reais, tendo como fio condutor as propriedades estruturais que caracterizam tais conjuntos, ou pode-se estudá-los acompanhando a evolução da noção de número a partir tanto de contagens como de medidas, sem ter ainda as propriedades estruturais claramente divisadas, deixando-se guiar pelo fio condutor que a Historia propicia e trocando assim uma sistematização prematura por uma abordagem mais rica em significados. Nessa proposta, optou-se por essa última abordagem, conforme será visto adiante. Pode-se estudar Geometria tendo como meta primordialmente a aprendizagem da lógica, da organização do conhecimento, partindo-se de pontos, retas e planos para somente ao final do percurso tratar de objetos tridimensionais. Pode-se ainda considerar o eixo para o ensino da Geometria o estudo de certas classes de transformações e das propriedades que elas preservam, desde as mais gerais que são as topológicas até as mais específicas que são as métricas, passando pelas propriedades projetivas; ou pode-se partir da manipulação dos objetos, do reconhecimento das formas mais freqüentes, da sua caracterização através das propriedades, da passagem dos relacionamentos entre os objetos para o encadeamento de propriedades, para somente ao final do percurso aproximar-se de uma sistematização. Aqui a opção pelo último percurso citado 56

69 se evidencia desde os primeiros contatos. (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 1991, p-11). Nessa proposta, observa-se mais de uma possibilidade de abordagem, para justificar a escolha feita pelo grupo (equipe de professores), ou seja, implicitamente é considerada a possibilidade de diferentes organizações praxeológicas e a escolha dos ostensivos e não ostensivos mais adequados às turmas com as quais se está trabalhando. Sente-se falta de exemplos que poderiam auxiliar o professor a compreender melhor estas possibilidades. Justifica-se que a Matemática deve ser um instrumento para a vida, e o desenvolvimento do raciocínio, permitindo a participação do aluno na construção do conhecimento e na identificação das idéias fundamentais que permitem a utilização de forma articulada dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos nesta etapa da escolaridade. De modo geral, em MATEMÁTICA, o conteúdo a ser ensinado é um veiculo para o desenvolvimento de uma série de idéias fundamentais, convenientemente articuladas, tendo em vista as grandes metas que são a instrumentação para a vida e o desenvolvimento do raciocínio. Tais idéias fundamentais, como são, por exemplo, as de proporcionalidade, equivalência, semelhanças, têm como suporte, muitas vezes, mais de um assunto da lista de conteúdos. Elas, no entanto, é que são fundamentais e não os assuntos em si. Essa distinção é essencial, sendo um fato patente a possibilidade de constituição de propostas significativamente distintas a partir da mesma lista de conteúdos. No que se refere à abordagem, nesta Proposta ressalta-se ainda que o trabalho do professor junto aos alunos deve observar não apenas a seqüência dos temas e sua interdependência, mas também a participação ativa dos alunos na descoberta e assimilação de idéias matemáticas. O recurso à resolução de situações-problema, em que o aluno é desafiado a refletir, discutir com o grupo, elaborar hipóteses e procedimentos, extrapolar as aplicações e enfrentar situações novas, não se restringindo apenas àqueles problemas que conduzem a uma única solução ou que tenham caráter 57

70 repetitivo de aplicação de conceito, é possibilidade de raciocínio e ação. (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 199, p ). Além disso, considera-se a Matemática como uma linguagem que, junto com a linguagem natural permite interpretar, planejar, executar, controlar e justificar, com argumentos lógicos, as diferentes situações que o aluno irá encontrar na vida escolar ou profissional. Evidentemente, estamos considerando que aprender a língua natural é mais do que aprender a descrever o mundo; é também interpretar, criar significados, construir esquemas conceituais, desenvolver o raciocínio Iógico, a capacidade de compreender, imaginar, extrapolar. (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 1991, p-13). Apesar de levar em conta, implicitamente, a questão das diferentes representações, não há na Proposta indicações de trabalho para estudo e pesquisa do professor o que dificulta a possibilidade de se encontrar outros meios para desenvolver os respectivos temas com os alunos. Após a apresentação do papel que deve desempenhar a Matemática no processo de ensino e aprendizagem, considera-se a questão da avaliação, que deve levar em conta os conhecimentos prévios dos alunos para incentivá-los a buscar novos conhecimentos para o seu próprio desenvolvimento cognitivo. Sendo assim, na estrutura da proposta, ao longo das oito séries consideram-se os três temas: Números, Geometria e Medidas, que devem permitir avançar no desenvolvimento da formação em função das duas vertentes estabelecidas inicialmente. [...] No ciclo básico, as atividades preparatórias, envolvendo classificações, seqüências e simbolizações em sentido amplo, deverão conduzir a uma noção inicial de número e de sistema de numeração. Pretende-se uma introdução aos números naturais, através da contagem e das operações básicas. A partir 58

71 de seu significado concreto, sem ter ainda preocupações com a formalização de propriedades (Proposta Curricular Estado São Paulo, ano 1991, p.19). Ao tratar, por exemplo, a Geometria é considerado importante a exploração sensorial, que pode ser lida aqui como os ostensivos associados ao trabalho a ser realizado, e a articulação entre os conhecimentos prévios associados às medidas e ao sistema métrico decimal levando em conta as propriedades numéricas e geométricas, passando assim do cálculo literal para o estudo, por exemplo, das equações e inequações sem a preocupação de sistematização e formalismo, mas que possibilitem as generalizações possíveis, isto é, mesmo não utilizando estes termos, o que se propõe é um trabalho sobre os ostensivos de forma a estabelecer apenas um discurso tecnológico que os justifique sem desenvolver os não ostensivos que os sustentam. Dessa forma, para auxiliar o professor no desenvolvimento do seu trabalho, levando em conta a abordagem articulada proposta acima e os conhecimentos prévios dos alunos, são dadas tabelas com o objetivo de desenvolver diferentes noções nas diferentes séries e discutem-se as possibilidades de trabalhar estas noções. Para a noção de sistema de equações lineares, que é objeto de estudo desta pesquisa, observa-se que ela integra o tema números para o item noção de equações e inequações do 1º grau com uma incógnita. 59

72 Fonte: Proposta Curricular do Estado de São Paulo, 1991, p. 129 A sugestão de abordagem da noção de sistemas de equações lineares proposta ao professor segue a seguinte estrutura: Inicia-se com a proposta de uma abordagem intuitiva das noções de equação e inequação do 1º grau com uma incógnita envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação associadas à resolução de problemas simples, em que diferentes objetos ostensivos podem ser utilizados, passando a 60

73 situações-problema que possam ser traduzidas por equações com mais de uma incógnita e cujo grau seja maior ou igual a 1. Essas situações devem levar o aluno a perceber a necessidade de uma técnica para a resolução de equações. Na Proposta são encontrados alguns exemplos para ilustrar a abordagem acima sugerida. Após este trabalho de introdução da noção de equação a partir de situaçõesproblema, passa-se ao tratamento formal desta noção matemática pela proposta de classificação das equações quanto ao número de incógnitas e quanto ao grau, estudo das propriedades de uma igualdade numérica, o estudo das técnicas de resolução de equações do primeiro grau com uma incógnita, o estudo de problemas para os quais a noção de equação é necessária para a sua solução, o conceito de inequação do 1º grau com uma incógnita, as propriedades das desigualdades numéricas, as técnicas de resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita, isto é, a partir da representação da situação por meio de uma equação, são considerados os ostensivos e não ostensivos em jogo, que por meio de um discurso tecnológico permitem planejar, executar, controlar e justificar a solução proposta. Após a introdução das noções de equação e inequação do 1º grau com uma incógnita é proposta a introdução da noção de sistemas de equações do 1º grau (lineares) com duas incógnitas. Sendo assim, verifica-se que o aluno, ao passar para o estudo da noção de sistemas de equações lineares, já dispõe de conhecimentos sobre equações e inequações do 1º grau com uma incógnita, ou seja, o não ostensivo - equação e inequação do 1 grau com uma incógnita - e os osten sivos que lhe são associados, assim como o discurso tecnológico desenvolvido para justificar as diferentes etapas de solução de equações devem fazer parte dos conhecimentos prévios dos alunos. Consideram-se, ainda, alguns exemplos de situações-problema, em que é possível verificar a necessidade de um discurso tecnológico que justifica a escolha dos ostensivos e não ostensivos necessários para a solução das mesmas: Um menino quer cortar um pedaço de barbante de 30 cm de comprimento, em duas partes não necessariamente iguais. Quanto deverá medir cada parte? Um 61

74 menino quer cortar um pedaço de barbante de 30 cm de comprimento em duas partes, de forma que uma dessas partes meça o dobro da outra. Quanto deverá medir cada parte? Um menino quer dividir um pedaço de barbante de 36 cm de comprimento em quatro partes de modo que uma dessas partes seja igual ao triplo de uma das outras três. Quanto deverá medir cada parte? A soma de um número com o seu quadrado é igual a 30. Qual é esse número? De um quadrado feito em papel-cartão, com 10 cm de lado, um menino quer recortar três outros quadrados iguais de forma que as áreas restantes do quadrado maior sejam de 88 cm 2. Quanto deve medir o lado de cada um dos três quadrados recortados? (Proposta Curricular Estado São Paulo, 1992, p ,). Certamente, alguns exemplos não necessitam de sua tradução por meio de equações, podendo ser resolvidos até mentalmente, mas, de acordo com o texto, espera-se que o professor crie seus próprios exemplos de forma a favorecer a utilização de outros ostensivos para a introdução da noção de sistemas de equações lineares. Observa-se ainda que na situação-problema encontrada na proposta Um menino quer cortar um pedaço de barbante de 30 cm de comprimento em duas partes, de forma que uma dessas partes seja o dobro da outra. Quanto deverá medir cada parte? (Proposta do Estado de São Paulo, 1992, p. 130) o aluno não necessita utilizar a noção de sistemas de equações lineares, pois o exemplo dado exige apenas a tradução da situação do registro da língua natural para uma representação em forma de tabela, podendo ser resolvido mentalmente utilizando apenas o registro oral. Para os alunos que necessitam do registro escrito, pode-se fazê-lo por meio de uma tabela que permite um discurso tecnológico que justifica o trabalho desenvolvido e que pode auxiliar na passagem para a representação por meio de uma equação da situação proposta. Na seqüência, apresenta-se uma possível forma de construir essa tabela que poderá ser traduzida por meio de um sistema de equação lineares com duas incógnitas. 62

75 Total Parte 1 Parte 2 Soma Barbante cm cm cm x y = x y + x X + y = cm cm cm Na realidade, o exemplo é simples e pode ser resolvido por meio do cálculo mental, o que torna a transformação em equações um estudo que poderá ser considerado como desnecessário, para aqueles que dispõem da habilidade de cálculo mental. É importante explicitar este papel didático da tarefa para os alunos e o professor deve estar consciente de que, nas avaliações, o cálculo mental também poderá ser utilizado para valorizar todos os ostensivos possíveis de trabalho nas tarefas propostas. 2.4 Considerações Finais Tanto os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) como a Proposta Curricular do Estado de São Paulo são documentos que colocam em evidência a existência de uma grande possibilidade de organizações praxeológicas que devem estar associadas aos conhecimentos prévios dos alunos e que deixam a cargo do professor privilegiar diferentes formas de tratamento de uma noção matemática, escolhendo os ostensivos e não ostensivos que deseja desenvolver com seus alunos. 63

76 Apesar desta possibilidade de escolhas, existem poucos exemplos e indicações de trabalhos de educação e de educação matemática que auxiliem os professores na reflexão sobre o que se está propondo. Certamente, este trabalho é deixado, propositalmente, como uma sugestão de pesquisa para o professor. Verifica-se, ainda, que tanto nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) como na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1991) a noção de sistemas de equações lineares está centrada numa abordagem que privilegia a representação algébrica do sistema, mesmo para os casos em que o ostensivo oral permite a solução da tarefa proposta. A estrutura de ensino da noção de sistemas de equações lineares nos Parâmetros Curriculares Nacionais é delineada no bloco Números e Operações, em que são explicitadas as passagens do quadro ou domínio numérico para o quadro algébrico, embora estes termos não sejam utilizados no documento. Em relação à Proposta Curricular do Estado de São Paulo, esta estrutura é definida no bloco Números, em que, da mesma forma, o desenvolvimento da noção de números e operações permite a passagem do quadro numérico para o quadro algébrico, não sendo estes termos utilizados, explicitamente, pelos autores. Verifica-se, na Proposta Curricular, que a abordagem sugerida é seguida de alguns exemplos de ilustração para o professor, mas não se encontram referências de outros trabalhos que poderiam auxiliar a compreensão, por exemplo, das noções matemáticas em jogo e de suas possibilidades de articulação tanto na própria Matemática como com as outras ciências. Na realidade, é proposta uma introdução em que se consideram exemplos muito simples que não necessitam da representação algébrica do sistema em jogo, mas é esta que é considerada, pois se espera que o aluno, após traduzir o problema por meio de duas sentenças, seja capaz de levantar as soluções para cada condição, discutindo a simultaneidade das soluções e efetuando sua representação geométrica, ou seja, os quadros algébrico e geométrico são privilegiados, mesmo para as questões que poderiam ser trabalhadas reportando-se apenas ao quadro 64

77 numérico. Percebe-se, desse modo, que o ostensivo escrito é privilegiado pelos autores, fato já observado por Chevallard (1999). Assim, quando se consideram exemplos simples, que não necessitam apenas do quadro algébrico, as tarefas funcionam como exemplos didáticos que podem se tornar um obstáculo didático 26 para o desenvolvimento da noção de sistemas de equações lineares, pois os estudantes podem considerar que esta noção é uma ferramenta que se aplica somente para o estudo de tarefas matemáticas não podendo ser utilizada em outros domínios ou mesmo para solução de situações cotidianas. Sendo assim, espera-se, sobretudo, que professor e aluno efetuem apenas um trabalho de tradução do registro da língua natural para o registro de representação algébrico e disponha de um método de solução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para encontrar as soluções. As atividades de interpretação e tratamento das tarefas propostas são privilegiadas, mas não existe uma orientação mais específica para a justificativa e controle dos resultados. Dessa forma, as tarefas também privilegiam um trabalho centrado nos ostensivos e nem mesmo o professor necessitará de conhecimentos mais específicos sobre alguns dos não ostensivos em jogo nas tarefas propostas. Sendo assim, é possível inferir que, talvez, os professores que trabalham apenas no Ensino Fundamental, não percebam a importância dos conhecimentos de álgebra e álgebra linear para agrupar as tecnologias em jogo, isto é, os não ostensivos que justificam os métodos empregados para o desenvolvimento das tarefas propostas nesta etapa da escolaridade. Ou seja, o trabalho proposto aos estudantes fica quase que exclusivamente centrado na manipulação dos ostensivos considerados, que, em geral, estão associados ao cálculo literal, pois são tratados como um conjunto de métodos e leis que permitem executar a tarefa proposta e que podem ser justificados 26 Obstáculo didático: (associado à transposição didática) eles aparecem como conhecimentos resultantes de uma transposição didática antiga ou recente, mas que não é suscetível de uma renegociação pelo professor, pelo menos no quadro restrito de uma classe, que evitaria ter que considerá-las. (BROUSSEAU, 1983, p.45, tradução nossa) 65

78 por meio de um discurso tecnológico adequado sem que para isto seja necessário recorrer à teoria que os sustenta. Sendo assim, é importante que o professor disponha de um discurso tecnológico que justifique as técnicas empregadas, o que torna este trabalho ainda mais difícil quando a questão pode ser resolvida utilizando apenas o cálculo mental, pois este exige a tradução da tarefa do registro da língua natural para o registro numérico que pode ser efetuada por meio da lógica dos alunos. Dessa forma, pode-se dizer que o nível de conhecimento esperado dos alunos do Ensino Fundamental quanto à noção de sistemas de equações lineares é o disponível quando se considera a interpretação da tarefa e a conversão do registro da língua natural para o registro de representação numérico ou algébrico e o nível técnico para a solução das equações encontradas, pois se o aluno é capaz de aplicar qualquer uma das técnicas desenvolvidas poderá encontrar a solução da questão. Considerando que a noção de sistemas de equações lineares é introduzida no Ensino Fundamental e que a escolha de sua abordagem está associada à solução de situações-problema contextualizadas e para um tipo de sistema mais restrito, isto é, o sistema de duas equações e duas incógnitas, esta abordagem que privilegia um trabalho sobre os ostensivos e o nível técnico para o desenvolvimento das tarefas propostas, nos parece que tanto os Parâmetros Curriculares Nacionais como a Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresentam uma orientação correta aos professores, faltando apenas uma melhor explicitação do trabalho esperado, que poderia ser feita por meio de referências de trabalhos de Educação e Educação Matemática existentes, e que tratam mais especificamente da noção de sistemas de equações lineares, pois o número de exemplos dados parece insuficiente para considerar as possibilidades em termos de ostensivos possíveis para o tratamento das possíveis tarefas encontradas nesta etapa da escolaridade assim como da diversidade de organizações praxeológicas possíveis. O texto a seguir mostra os exemplos apresentados nos Parâmetros Curriculares Nacionais, como orientação para os professores no sentido de incentivar a utilização da álgebra e que ilustra as considerações acima apresentadas. 66

79 Fonte: BRASIL, 1998, p.121 Estes exemplos são gerais e não tratam especificamente da noção de sistemas de equações lineares, colocando somente em evidência a importância da álgebra e dos ostensivos em jogo quando se deseja fazer a mudança do quadro numérico para o quadro algébrico. 67

80 Verifica-se nos exemplos que os ostensivos construção de tabela, manipulação de tabela, leitura de tabela, visualização de tabela, representação em língua natural, representação algébrica, registro oral, registro escrito são utilizados como meios para justificar a passagem ao quadro algébrico como uma forma de simplificar e generalizar a tarefa proposta. Além disso, os exemplos apresentados propõem que o professor discuta com seus alunos as noções de variável e incógnita presentes no trabalho algébrico. Seria interessante, que tanto os Parâmetros Curriculares Nacionais como a Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresentassem sugestões de leituras ao professor que poderia compreender melhor o que se espera de seu trabalho em sala de aula, uma vez que já existem trabalhos que tratam especificamente das questões levantadas nesses documentos oficiais como, por exemplo, a articulação entre os conhecimentos matemáticos e os de outros domínios da ciência, como por exemplo: Física, Química, Biologia, Economia, etc. 68

81 CAPÍTULO 3 POSSIBILIDADES DE ARTICULAÇÃO DOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS NO ENSINO DA NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES E DUAS INCÓGNITAS 3.1 Considerações Iniciais Neste capítulo se estuda as possibilidades de articulação dos ostensivos e não ostensivos quando se introduz a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas no Ensino Fundamental II. Pretende-se com este estudo mostrar a existência de determinados tipos de tarefas típicas desta etapa da escolaridade, que podem ser trabalhadas de diferentes formas, em função dos ostensivos escolhidos e que permitem, ou não, a abordagem dos não ostensivos que lhes são associados. Além disso, pretende-se identificar um discurso tecnológico que justifique técnicas, tecnologias ou teorias que sustentam essas tarefas. Para cada tarefa serão colocados em evidência os quadros ou domínios em jogo, os ostensivos e não ostensivos que permitem as diferentes abordagens para a sua solução, deixando claro quando o não ostensivo deve integrar os conhecimentos prévios dos alunos ou quando faz parte apenas do topos do professor. Para os diferentes níveis de solução da tarefa, isto é, nas abordagens associadas aos não ostensivos necessários para a sua solução, serão levantados os conhecimentos prévios dos alunos e o nível de conhecimento esperado para propor uma ou outra abordagem. Neste caso, os exemplos serão apresentados para justificar estas abordagens, deixando evidente quando a noção de sistema de duas equações lineares e duas incógnitas é realmente necessária para a solução da questão proposta. Finalmente, mostram-se os diferentes pontos de vista em jogo na solução das tarefas que, em geral, são propostas para a introdução da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas no Ensino Fundamental nível II. 69

82 Além disso, o estudo das possibilidades de articulação dos ostensivos e não ostensivos no ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas deve auxiliar na compreensão das regularidades e diferenças que ocorrem no ensino desta noção em diferentes décadas, cuja análise será realizada, neste trabalho, via livros didáticos. Para a análise destes livros constrói-se uma grade e, na seqüência, são apresentadas algumas das noções de didática da matemática utilizadas na sua construção e que servem de referencial de apoio. 3.2 As noções didáticas utilizadas para a construção da grade Inicia-se considerando os possíveis quadros ou domínios 27 em que a tarefa pode ser desenvolvida, a saber: Quadro numérico: que para o caso dos sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas exige apenas que o aluno disponha de conhecimentos sobre as noções intuitivas de números naturais, inteiros e racionais, suas operações e as regras de cálculo associadas a estes conjuntos numéricos. Quadro algébrico: que, no caso dos sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, em geral, é proposto no Ensino Fundamental nível II, associado ao cálculo literal, pois exige que o aluno represente o problema por meio de letras e utilize as regras associadas aos métodos que podem ser desenvolvidos para a solução desse tipo de sistema (método da eliminação, método da substituição, método da comparação, método da adição, Bezout, artifício). Quadro geométrico: que possibilita a mudança do ostensivo representação algébrica do sistema de duas equações lineares dado para o ostensivo representação gráfica de equações no sistema cartesiano ortogonal, permitindo discutir as possibilidades de solução do sistema e exigindo uma mudança entre os quadros algébrico e geométrico. 27 Quadro ou domínio: [..] constituído de objetos de um ramo das matemáticas, das relações entre os objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais associadas a essas relações. Essas imagens têm um papel essencial e funcionam como ferramentas dos objetos do domínio. Dois quadros podem conter os mesmos objetos e diferir pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas (DOUADY, 1992, p.135, apud ANDRADE, 2006, p.14). 70

83 Consideram-se ainda, os possíveis não ostensivos e ostensivos que podem ser trabalhados com os alunos nesta etapa da escolaridade. Não ostensivos - Operações de adição e multiplicação, subtração e divisão para os conjuntos dos naturais, racionais, inteiros e irracionais; - Um método de resolução de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas; - Noções de cálculo literal (representação dos elementos por uma letra) e as regras que lhes são associadas; - Noções de cálculo algébrico e suas propriedades; - Propriedades de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano para as operações de adição e multiplicação em IR (para resolver o sistema pelo método da substituição); - Propriedades de estrutura de espaço vetorial (para o método da adição, que em sistemas de m equações e n incógnitas será trabalhado pelo método do escalonamento ou método de Gauss). - Noção de sistemas de equações lineares; - Noção de equações lineares; - Noção de representação geométrica de equações lineares em IR 2 ; - Noção de retas no plano e suas propriedades; - Noção de porcentagem; - Noção de regra de três e frações algébricas. Ostensivos - Construção da tabela; - Manipulação da tabela; - Leitura da tabela; - Visualização da tabela; - Representação em língua natural; - Discurso oral; 71

84 - Representação escrita; - Representação algébrica de equações lineares e de sistemas de equações lineares; - Representação funcional ou representação implícita de equação linear; - Representação gráfica de equações no sistema cartesiano ortogonal. Em seguida, por meio de exemplos, estudam-se as possibilidades de solução da tarefa em função dos níveis de conhecimento esperados dos alunos 28 conforme definição de Robert (1997). Para levar em conta os diferentes pontos de vista 29, conforme definição de Rogalski (1995), que podem ser utilizados no desenvolvimento das tarefas possíveis para esta etapa da escolaridade distinguiu-se os pontos de vista abaixo relacionados: Ponto de vista das equações lineares: quando a tarefa exige que o aluno disponha de conhecimentos sobre a mudança da representação de equações lineares em língua natural para a representação algébrica, na elaboração de uma equação que representa o enunciado proposto, e também de conhecimentos 28 Níveis de conhecimento esperados dos alunos: níveis técnico, mobilizável e disponível conforme definição de Robert (1997) a saber: O nível técnico corresponde a um trabalho isolado, local e concreto. Está relacionado, principalmente, às ferramentas e definições necessárias à realização de uma determinada tarefa. Por exemplo: No caso dos sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas pode-se considerar uma tarefa de nível técnico quando se apresenta o sistema, com a indicação explícita do método a ser utilizado em sua solução. O nível mobilizável corresponde a um inicio de justaposição de saberes de um certo domínio, podendo até corresponder a uma organização, em que vários métodos podem se mobilizados. O caráter ferramenta e objeto do conceito estão em jogo, mas o que se questiona é explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é considerado mobilizado se ele é acessível, isto é, se o aluno o utiliza corretamente. Por exemplo: Para o exemplo acima, cabe ao aluno escolher o método mais adequado para a solução do sistema proposto. O nível disponível corresponde a saber responder corretamente ao que é proposto sem indicações, de poder, por exemplo, saber dar contra-exemplos, encontrar ou criar, mudar de quadro, fazer relações, aplicar métodos não previstos. Este nível de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento de situações de referência variadas que o aluno conhece (servem de terreno de experimentação); está ligado ao fato de dispor de referências, de questionamentos, de uma organização. Podendo funcionar para um único problema ou possibilitando fazer resumos. Por exemplo: Para a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, pode-se considerar a tarefa clássica em que são dados carros e motos, levando em conta que a partir do número total de carros e motos e das rodas dos mesmos, é possível descrevê-la e resolvê-la, quando se dispõe de conhecimentos associados à noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. 29 Pontos de vista segundo Rogalski (1995): Dois pontos de vista diferentes sobre um objeto matemático são outras maneiras de observá-los, de fazê-los funcionar, eventualmente de defini-los. Nesse sentido, observar um objeto em diferentes domínios, é considerar diferentes pontos de vista. Mas, podem-se considerar vários pontos de vista em um mesmo domínio. (ROGALSKI. 1995, notas do seminário de São Paulo, PUC-SP, Brasil, apud ANDRADE, 2006, p.25). 72

85 associados à solução de uma equação do primeiro grau que, teoricamente, estão associados à noção de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano. Ponto de vista das tentativas: quando a tarefa é resolvida pela mobilização de conhecimentos relacionados apenas ao quadro numérico e cujo ostensivo em jogo é a tabela, exigindo que o aluno construa uma tabela, escolha diferentes valores para os elementos propostos na situação e efetue as operações indicadas, chegando ao resultado esperado. Ponto de vista dos sistemas de equações lineares: exige que o aluno disponha de conhecimentos sobre a mudança do ostensivo representação em língua natural para a representação algébrica de sistemas de equações lineares, para escrever o sistema que representa a tarefa proposta, e também domine um método de resolução de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, que teoricamente está associado à noção de estrutura de espaço vetorial. Para melhor compreender as possibilidades de articulação, em termos de quadros ou domínios em jogo nas tarefas que, em geral, são propostas no Ensino Fundamental nível II, assim como os ostensivos, não ostensivos e níveis de conhecimentos necessários em função dos diferentes pontos de vista que as mesmas permitem levar em conta, constrói-se a grade de análise a seguir. Essa grade tem como objetivo chamar a atenção sobre a importância de se considerar estas diferentes formas de tratamento das tarefas propostas, uma vez que, dependendo do caminho escolhido, são necessários diferentes níveis de conhecimento em relação à noções matemáticas distintas. Tentar-se-á mostrar ainda quando o conhecimento deve fazer parte do topos do aluno e/ou do professor. 3.3 A grade de análise Para examinar as diferentes tarefas que podem ser propostas quando se introduz a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas no Ensino Fundamental nível II, os quadros ou domínios em jogo, os ostensivos e não ostensivos 73

86 necessários para o desenvolvimento das os níveis de conhecimento, assim como os pontos de vista sob os quais as mesmas podem ser tratadas, é construída a seguinte grade de análise, cujo propósito é servir de instrumento que permite estudar, mais particularmente, os ostensivos e não ostensivos possíveis para a introdução dessa noção, destacando as tarefas associadas à noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, em geral, trabalhadas no Ensino Fundamental nível II; as variáveis destas tarefas, para as quais se deu ênfase aos ostensivos e não ostensivos possíveis para a sua solução e também às necessidades de mudança de quadro ou domínio em função dos níveis de conhecimentos esperados dos professores e alunos e em relação ao ponto de vista escolhido para sua solução. Para especificar as tarefas em relação ao estudo dos ostensivos e não ostensivos possíveis para a sua solução consideram-se as seguintes variáveis das tarefas: O tipo de situação dada no enunciado da tarefa; Os quadros ou domínios em que a tarefa é enunciada; Os não ostensivos possíveis para o seu desenvolvimento, colocando em evidência aqueles que devem fazer parte do topos do aluno e/ou do professor; Os ostensivos possíveis para o desenvolvimento das tarefas; Os quadros ou domínios que podem ser utilizados para a solução da tarefa; Os níveis de conhecimento esperados para a solução da tarefa, em função do ponto de vista escolhido; Os pontos de vista sob os quais a tarefa pode ser trabalhada, colocando em evidência aquele que lhe é mais adequado. Esta grade permite analisar os ostensivos e não ostensivos possíveis de serem desenvolvidos quando se introduz a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas no Ensino Fundamental II. Além disso, também serve para analisar os quadros ou domínios e as mudanças de quadro necessárias em função do ponto de 74

87 vista escolhido, assim como o conhecimento prévio esperado dos alunos e professores em função do topos e do nível de conhecimento esperado de cada um deles para as diferentes noções em questão. 3.4 Exemplos de funcionamento da grade Na seqüência, a fim de explicitar o funcionamento da grade de análise, considera-se a tarefa geral e, em seguida, apresenta-se um ou mais exemplos. Estes exemplos são os casos particulares que permitirão a análise da relação institucional existente, via estudo das tarefas encontradas nos livros didáticos para as décadas escolhidas. Tentar-se-á compreender melhor as possíveis mudanças em relação ao ensino proposto, isto é, qual a relação institucional existente nas diferentes décadas e quais as regularidades e diferenças entre elas, em estudo que está descrito no capítulo 4. Tarefa 1: Situação matemática enunciada no quadro numérico. Tipo de situação dada no enunciado da tarefa: Exemplo 1 : 1) Dois números têm a soma 111 e diferença 33. Quais são eles? (IEZZI et al, 2000, p.259). Trata-se de situação matemática em que a operação de adição é enunciada por seu resultado soma (resultado da adição de dois números) e diferença (adição de um número ao oposto de outro número). Quadro ou domínio em que a tarefa é enunciada Numérico Não ostensivos - Operações de adição e multiplicação, subtração e divisão para o conjunto dos números naturais ( topos do aluno e professor); - Um método de resolução de sistemas lineares ( topos do aluno e do professor); 75

88 - Noções de cálculo literal (representação dos elementos por uma letra) ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo algébrico ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo, abeliano e estrutura de corpo (para resolver o sistema pelo método da substituição) ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de espaço vetorial (para o método da adição que em sistemas de m equações e n incógnitas será trabalhado pelo método do escalonamento ou método de Gauss) ( topos do professor); - Noção de sistemas de equações lineares ( topos do aluno e do professor); - Noção de equações lineares ( topos do aluno e do professor). Ostensivos - Construção da tabela; - Manipulação da tabela; - Leitura da tabela; - Visualização da tabela - Representação em língua natural; - Discurso oral; - Representação escrita; - Representação algébrica de equações e de sistemas. Quadros ou domínios que podem ser utilizados para a solução da tarefa Numérico ou algébrico. Níveis de Conhecimento esperados para a solução da tarefa A tarefa pode ser trabalhada em diferentes níveis dependendo dos conhecimentos disponíveis dos alunos. Se os alunos dispõem apenas de conhecimentos sobre as quatro operações para os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais é possível resolver a tarefa proposta utilizando uma tabela que indique os cálculos efetuados e o ostensivo representação em língua natural como mostra o exemplo abaixo: 76

89 1º número 2º número soma Diferença Nesse exemplo, verifica-se que é possível resolver a tarefa apenas por tentativas, isto é, escolhe-se um número e identifica-se o outro pela soma. Em seguida, calcula-se a diferença entre esses dois números, e, se for necessário, repete-se o processo até encontrar o resultado proposto na tarefa. Para alunos que dispõem da noção de equação e têm alguma habilidade com o cálculo algébrico, pode-se mostrar a possibilidade de trabalhar no quadro algébrico, evidenciando a economia do trabalho efetuado, como mostra o exemplo que segue: 1º número : x 2º número : 111 x Equação: x (111 x) = 33 x x = 33 2x = 144 x = x = 72 Portanto, o primeiro número é x = 72 e o segundo número é 111 x = = 39, isto é, 39. É evidente, que esse trabalho exige conhecimentos associados à solução de uma equação do primeiro grau, isto é, às propriedades de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano, que, no Ensino Fundamental II podem ser trabalhadas por meio de um discurso tecnológico que justifique apenas as diferentes etapas da solução da equação por meio das leis e regras do cálculo literal, sem especificar propriedades de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano, ou ainda, de estrutura de corpo dos racionais e dos reais. 77

90 Ainda no quadro algébrico é possível resolver a tarefa utilizando a noção de sistemas de equações lineares, que, para esse caso particular, representam apenas uma economia de trabalho, como mostra o exemplo abaixo: 1º número : x 2º número : y x + y = 111 x + y = 111 ~ x y = 33 2y = 78 Logo, o primeiro número x = 72 e o segundo número y = 39. Por meio do exemplo verifica-se que as economias de cálculo exigem o conhecimento de um método de resolução de sistemas de equações lineares. Pontos de vista: A tarefa permite trabalhar diferentes pontos de vista, pois é possível resolvê-la tanto no quadro numérico, utilizando o ponto de vista ou método das tentativas, como no quadro algébrico utilizando o ponto de vista das equações lineares ou dos sistemas de equações lineares. Esse último permite a aplicação de diferentes métodos para a sua solução, que correspondem ao não ostensivo sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas - noção que se deseja introduzir quando se propõem questões desse tipo no Ensino Fundamental II. Observa-se que, dos três pontos de vista considerados para a solução desta tarefa, o ponto de vista equação linear parece ser o que deve apresentar mais dificuldade em função dos não-ostensivos necessários para a sua solução. O ponto de vista tentativa parece ser o mais adequado para a tarefa proposta, mesmo não sendo, em geral, utilizado no ensino, cujo objetivo é introduzir noções de álgebra. Dessa forma, exemplos deste tipo de tarefa para a introdução da álgebra terminam criando uma dificuldade, pois o aluno muitas vezes é capaz de vislumbrar uma solução sem ter construído conhecimentos relacionados às leis e regras que justificam os cálculos algébricos efetuados, como pode ser verificado nos exemplos a seguir. Exemplo 2: 78

91 A soma de dois números é 110. O maior deles é igual ao triplo do menor mais 18 unidades. Quais são os dois números? (CASTRUCCI et al, 2002, p.170). Situação matemática enunciada no quadro numérico utilizando apenas as operações de adição e multiplicação cujos resultados são enunciados, explicitamente, como soma e identificação de um número e seu triplo. Esta tarefa pode ser trabalhada sob o ponto de vista das tentativas, embora os pontos de vista de equações lineares e sistemas de equações lineares são mais econômicos e facilitam o trabalho proposto. Exemplo 3: A soma de dois números é 169 e a diferença entre eles é 31. Quais são os dois números? (CASTRUCCI et al, 2002, p.170). Trata-se de situação matemática em que a operação de adição é enunciada por seu resultado soma (resultado da adição de dois números) e diferença (adição de um desses números ao oposto do outro). Da mesma forma, que para as tarefas anteriores, basta construir uma tabela e determinar o resultado por tentativas. Neste caso, a introdução dos pontos de vista de equações lineares e sistemas de equações lineares são apenas facilitadores dos cálculos a efetuar. Este caráter puramente facilitador da álgebra deve ser justificado pelo professor, para que o aluno compreenda que as estratégias numéricas são tão válidas quanto as algébricas, servindo muitas vezes como um meio de controle do trabalho algébrico efetuado. Tarefa 2 : Situação matemática numérica transformada em um contexto cotidiano. Tipo de situação dada no enunciado: Exemplo 1: Na 7º série C há 32 alunos. Subtraindo o número de meninas do dobro do número de meninos o resultado é 7. Quantos são os meninos? E as meninas? (IEZZI et al, 2000, p.259) Situação matemática transformada no contexto dos alunos, pois trata do número de meninos e meninas que compõem uma classe. A situação é do mesmo tipo da tarefa 79

92 1, que foi apenas enunciada num contexto cotidiano para mostrar as possibilidades de aplicação da noção de sistemas de equações lineares. Apesar da diferença entre os contextos, a grade se aplica da mesma forma que para a tarefa 1. Exemplo 2: Em um estacionamento, há 14 veículos, entre carros e motos. Sabe-se que o número total de rodas é 48. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p.153 Trata-se de situação matemática na qual a operação de adição é dada pelo resultado que é a soma dos carros e motos e a quantidade total de rodas. Vale ressaltar que esse tipo de tarefa era enunciado por meio de uma situação com animais e que, para a vida moderna, foi reconstituído utilizando carros e motos, pois nos grandes centros, em geral, os alunos têm pouco contato com situações que envolvem inclusive os animais que servem para o seu consumo diário. 80

93 Exemplo 3 : Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p.169 Em qualquer torneio de voleibol, o regulamento manda marcar 2 pontos por vitória e 1 ponto por derrota. Disputando um torneio, uma equipe realizou 9 partidas e acumulou 15 pontos. Quantas partidas a equipe venceu e quantas partidas ela perdeu nesse torneio? Situação matemática numérica transformada em um contexto cotidiano, que pode ser trabalhada por meio dos pontos de vista de estimativa, equações lineares e sistemas de equações lineares da mesma forma, que os exemplos anteriores. Tarefa 3: Situação matemática algébrica transformada em um contexto cotidiano. Tipo de situação dada no enunciado da tarefa: 81

94 Exemplo 1: Fonte:IEZZI et al,2000, p.259 Exemplo 2: Fonte:IEZZI et al,2000, p.262. Situação matemática algébrica transformada em um contexto cotidiano que exige a mudança do enunciado do ostensivo representação em língua natural para o ostensivo representação algébrica de equações lineares e de sistemas de equações lineares, uma vez que as duas equações são enunciadas por relações entre a quantidade de elementos dos dois grupos considerados. Quadro ou domínio em que a tarefa é enunciada Algébrico Não ostensivos - Operações de adição e multiplicação, subtração e divisão para os números naturais ( topos do aluno e do professor); 82

95 - Um método de resolução de sistemas lineares ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo literal (representação dos elementos por uma letra) ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo algébrico ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano para as operações de adição e multiplicação em R (para resolver o sistema pelo método da substituição) ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de espaço vetorial (para o método da adição que, para sistemas de m equações e n incógnitas, será trabalhado pelo método do escalonamento ou método de Gauss) ( topos do professor); - Noção de sistemas de equações lineares ( topos do aluno e do professor); - Noção de equações lineares ( topos do aluno e do professor). Ostensivos - Representação algébrica de equações lineares e de sistemas de equações lineares. - Representação em língua natural. - Discurso oral. - Representação escrita. Quadros ou domínios que possam ser utilizadas para a solução da tarefa Algébrico Níveis de Conhecimento esperados para a solução da tarefa A tarefa exige o quadro ou domínio algébrico associado à mudança do enunciado do ostensivo representação em língua natural para a representação algébrica de sistemas de equações lineares e também um método de resolução de sistemas lineares, como mostram os exemplos abaixo: Exemplo 1: Número de Garçons : x Número de Garçonetes: y Método da substituição 83

96 84 = = x y y x ~ = = y x y x Portanto: x x = Logo = = x x x e (6) = = = y y y Donde se conclui que o número de garçons é x = 6 e o número de garçonetes é y = 16. Método da adição = = y x y x ~ = = x y x ~ = = = (6) y y y Donde se conclui que o número de garçons x = 6 e o número de garçonetes é y = 16. Exemplo 2: Número de Macacos : x Número de Galhos : y = + = y x y x ~ = = y x y x ~ = = 5 1 y y x Portanto, o número de macacos é x = 6 e o número de galhos é y = 5. Nesse caso, é importante observar o caráter puramente algébrico da tarefa proposta, que exige também a articulação entre noções de equação linear e sistema de equações lineares antes da aplicação de um método de resolução de sistemas de equações lineares. Pontos de vista Observa-se aqui que o caráter puramente algébrico da tarefa, reduz as possibilidades de diferentes formas de tratamento.

97 O interesse dessa tarefa está na necessidade de utilização de sistemas de equações lineares e na articulação com a noção de equação linear. Ou seja, ainda que todo o trabalho seja desenvolvido apenas por meio de um sistema de equações lineares, é preciso utilizar a noção de equação e efetuar as transformações necessárias para representar o sistema por meio do ostensivo representação algébrica explícita de 3x y = 2 sistemas de equações lineares 2x y = 4 o que corresponde a uma mudança de pontos de vista, isto é, a passagem do ponto de vista de equações lineares para o ponto de vista de sistemas de equações lineares. No caso em que se mantém o ostensivo representação funcional ou representação implícita de equação (x = y + 1) pode-se utilizar diretamente o método da substituição. Caso se represente o sistema pelo ostensivo representação algébrica de equações lineares e sistemas de equações lineares, o método da adição se mostra mais adequado. Mesmo se a tarefa apresenta no enunciado todos os elementos para a sua solução, pode-se considerá-la no nível disponível, pois exige que os alunos a relacionem com a noção de sistema de equações lineares e, para sua solução, articulem essa noção com a noção de equações lineares. Exemplo 3: Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p

98 Situação matemática algébrica transformada em um contexto cotidiano que exige a mudança do enunciado do ostensivo representação em língua natural para o ostensivo representação algébrica de equações e de sistemas de equações lineares. Exemplo 4: Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p.172. Situação matemática algébrica transformada em um contexto cotidiano que exige a mudança do enunciado do ostensivo representação em língua natural para o ostensivo representação algébrica de equações lineares e sistemas de equações lineares. Exemplo 5: de cada cor ficará igual. Quantas bolas de cada cor há nessa caixa? Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p

99 Situação matemática algébrica transformada para um contexto cotidiano que, como a tarefa anterior, exige a mudança do enunciado do ostensivo representação em língua natural para o ostensivo representação algébrica de equações lineares e sistemas de equações lineares. Tarefa 4 : Sistema de equações lineares algébrico explícito, indicando, ou não, o método a ser aplicado. Exemplo 1 : Tipo de situação dada no enunciado Fonte: IEZZI et al,2000, p.259. Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p.171. Um sistema de equações lineares enunciado por meio do ostensivo representação algébrica de equações lineares e sistemas de equações lineares, para o qual é preciso aplicar um dos métodos de solução de sistemas que pode, ou não, ser pedido explicitamente na tarefa. Quadro ou domínio Algébrico Não ostensivos - Noção de sistema de equações lineares ( topos do aluno e do professor); 87

100 - Regra de três e frações algébricas ( topos do aluno e do professor); - Método de resolução de sistemas de equações lineares ( topos do aluno e do professor). Ostensivos - Representação algébrica de equações lineares e sistemas de equações lineares. - Discurso oral; - Representação escrita. Quadros ou domínios que possam ser utilizados para a solução da tarefa Algébrico Níveis de conhecimento esperados para a solução da tarefa Nesse caso, basta o aluno dominar a técnica de resolução de sistemas de equações lineares e, quando o método é pedido explicitamente, o aluno deve utilizar a técnica pedida no enunciado. É importante lembrar que, se o que se espera do aluno é o nível de conhecimento técnico, a tarefa deve indicar, explicitamente, o método de resolução a ser aplicado. Por outro lado, se espera um nível de conhecimento mobilizável, não se especifica o método a ser empregado, deixando a cargo do aluno a escolha da estratégia que julgar mais adequada à solução da tarefa proposta. Pontos de vista Por se tratar de tarefa que exige a aplicação de um método para a solução do sistema proposto, poderá haver mudança de ponto de vista em relação a esse método, sendo necessária a articulação entre a noção de sistema de equações lineares e equação linear. Tarefa 5: Articulação entre a noção de sistema de duas equações lineares e duas incógnitas e a noção de retas no plano IR 2. 88

101 Fonte: IEZZI et al,2000, p.271 Tarefas desse tipo preparam o aluno para o estudo dos sistemas de duas equações lineares no quadro ou domínio algébrico, em que o sistema não está associado a uma situação contextualizada. Sua solução depende da articulação entre os quadros algébrico e geométrico, isto é, a passagem ao quadro geométrico permite visualizar as diferentes possibilidades de solução para os sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. A representação do sistema no quadro geométrico permite associar um sistema de duas equações lineares e duas incógnitas, que tem uma única solução, isto é, um ponto de IR 2, a um par de retas concorrentes. Por outro lado, um sistema de infinitas soluções é aquele em que, uma das equações é um múltiplo escalar da outra e as retas que representam essas equações são coincidentes. Finalmente, o sistema que não tem soluções, isto é, quando as equações não são proporcionais, terá sua representação no quadro geométrico, por meio de duas retas paralelas em IR 2. No exemplo dado acima, a solução do sistema no quadro geométrico corresponde a duas retas concorrentes que se intersectam em um ponto. É importante observar que esta tarefa permite que o aluno visualize as diferentes possibilidades de solução do sistema e articule os conhecimentos algébricos que estão sendo introduzidos por meio da noção de sistemas de equações lineares com seus conhecimentos geométricos sobre a posição relativa de retas no plano. Outros casos: 89

102 - Se a solução algébrica do sistema reduz-se a uma única equação, conclui-se que o sistema tem infinitas soluções, o que, geometricamente, corresponde a concluir que as retas são coincidentes. - Se, após a solução algébrica do sistema, encontra-se uma igualdade do tipo a = 0, sendo a um número qualquer diferente de zero, o sistema não tem solução, o que, geometricamente, corresponde a concluir que as retas são paralelas. - Se, após a solução algébrica do sistema, encontra-se uma única solução, isto é, o par (x, y) que representa um ponto de IR 2, o que, geometricamente, corresponde a concluir que as retas representadas pelas equações que definem o sistema são concorrentes. Quadro ou domínio em que a tarefa é enunciada Algébrico Não ostensivos - Operações de adição e multiplicação, subtração e divisão. ( topos do aluno e professor); - Um método de resolução de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo literal (representação dos elementos por uma letra) ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo algébrico ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de grupo para as operações de adição e multiplicação em IR (para resolver o sistema pelo método da substituição) ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de espaço vetorial (para o método da adição que, em sistemas de m equações e n incógnitas, será trabalhado pelo método do escalonamento ou método de Gauss) ( topos do professor); - Noção de sistemas de equações lineares ( topos do aluno e do professor); - Noção de retas no plano e suas propriedades ( topos do aluno e do professor); - Noção de representação geométrica de equações lineares em IR 2 ( topos do aluno e do professor). Ostensivos 90

103 - Representação algébrica de equações lineares e de sistemas de equações lineares; - Representação gráfica de equações no sistema cartesiano ortogonal; - Discurso oral; - Representação escrita. Quadros ou domínios que podem ser utilizados para a solução da tarefa Algébrico e geométrico. Níveis de Conhecimento esperados para a solução da tarefa O aluno deve dispor de conhecimentos sobre representação gráfica de equações no sistema cartesiano ortogonal e de um método de resolução de sistemas de equações lineares. Pontos de vista Passagem do quadro algébrico para o quadro geométrico, que supõe que o aluno disponha de conhecimentos sobre a representação de uma equação no sistema cartesiano ortogonal. Tarefa 6: Situação envolvendo a articulação de diferentes noções matemáticas e que exige a passagem do ostensivo representação em língua natural para os ostensivos tabela e representação algébrica de equações lineares e sistema de equações lineares. Tipo de situação dada no enunciado da tarefa: Fonte:CASTRUCCI et al, 2002, p

104 Trata-se de situação matemática transformada em contexto cotidiano, cuja solução exige que o aluno disponha de conhecimentos de geometria e porcentagem. Para resolver a questão o aluno precisa aplicar seus conhecimentos de porcentagem, podendo desenvolver a tarefa segundo um dos três pontos de vista considerados - tentativas, equações lineares ou sistemas de equações lineares. A dificuldade da questão poderá estar associada aos conhecimentos prévios necessários. Quadro ou domínio em que a tarefa é enunciada Numérico e geométrico. Não ostensivos - Um método de resolução de sistemas lineares ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo literal (representação dos elementos por uma letra) ( topos do aluno e do professor); - Noções de cálculo algébrico ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de grupo para as operações de adições e multiplicação em IR (para resolver o sistema pelo método da substituição) ( topos do professor); - Propriedades de estrutura de espaço vetorial (para o método da adição que, em sistemas de m equações e n incógnitas, será trabalhado pelo método do escalonamento ou método de Gauss) ( topos do professor); - porcentagem; - Regra de três e frações algébricas. Ostensivos - Construção da tabela; - Manipulação da tabela; - Leitura da tabela; - Visualização da tabela; - Discurso oral; - Representação escrita; - Representação em língua natural; - Representação algébrica de equações e de sistemas de equações lineares. 92

105 Quadros ou domínios para a solução da tarefa Numérico ou algébrico. Níveis de Conhecimento esperados para a solução da tarefa A tarefa pode ser trabalhada em diferentes níveis dependendo dos conhecimentos disponíveis dos alunos. Se os alunos dispõem apenas de conhecimentos sobre as quatro operações e noção de porcentagem é possível resolver a tarefa proposta utilizando uma tabela que indique os cálculos efetuados para algumas tentativas, como mostra o exemplo abaixo: Terreno Casa Jardim Porcentagem 1050m ,96% ,53% % % Nesse exemplo, verifica-se que é possível resolver a tarefa apenas por tentativas e que esta escolha pode facilitar a compreensão da tarefa proposta. Para alunos que dispõem da noção de equação e têm alguma habilidade com o cálculo algébrico pode-se mostrar a possibilidade de trabalhar no quadro ou domínio algébrico evidenciando a economia do trabalho efetuado, como mostra o exemplo que segue: x + y = 1050 y = 40% x ~ 2x y = 5 2x x + 5 5x + 2x 7x = x = x = = 1050 = casa y = y = y = jardim Portanto, a área de terreno reservada para a construção da casa é x = 750 m 2 e a área reservada para o jardim é y = 300 m 2. 93

106 Verifica-se aqui que a solução algébrica, apesar de facilitar o trabalho matemático, precisa de um discurso tecnológico que justifique sua relação com a tarefa proposta. Ou seja, essa questão poderia ser trabalhada, inicialmente, por tentativas, para em seguida, ser discutida a importância do cálculo algébrico que acaba amalgamando todas as informações e dificultando as interpretações. Pontos de vista Observa-se que existe a possibilidade de obter a solução por tentativas, mas, em geral, o quadro algébrico é visto como um facilitador do trabalho matemático. É importante, porém, destacar que a noção de sistema de equações lineares como ferramenta para a solução de tarefas deste tipo pode se tornar um obstáculo para a compreensão da tarefa e para a sua futura aplicação em outras situações pelos alunos. Embora o enunciado da tarefa apresente todos os elementos para a sua solução, pode-se considerá-la no nível disponível, pois exige que os alunos disponham de outros conhecimentos que devem ser articulados com a noção de sistemas de equações lineares. 3.5 Considerações Finais O estudo dos ostensivos e não ostensivos possíveis e/ou necessários para a noção de sistemas de equações lineares, quando se considera uma primeira introdução desta noção no Ensino Fundamental nível II, permitiu estabelecer um grupo, mesmo que pequeno, de tarefas usuais que são introduzidas em livros didáticos de Matemática, destinados à sétima série do Ensino Fundamental nível II, que para esta pesquisa são considerados como a relação institucional existente, em função da noção que está sendo considerada, ou seja, a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. Foi possível distinguir seis tarefas que exigem a aplicação de diferentes ostensivos e não ostensivos e que permitem um trabalho diferenciado em função das diferentes escolhas institucionais. Verificou-se que as tarefas 1, 2 e 6 podem ser resolvidas por um dos três pontos de vista considerados nesta pesquisa (ponto de vista de tentativas, ponto de vista de 94

107 equações lineares e ponto de vista de sistemas de equações lineares) dependendo dos conhecimentos prévios dos alunos. As três tarefas são enunciadas no quadro numérico e a distinção entre elas está no fato de que a tarefa 1 é enunciada num contexto intramatemático 30, exigindo que os alunos utilizem apenas conhecimentos matemáticos e além disso, para qualquer ponto de vista escolhido pode-se considerar que o nível de conhecimento esperado dos alunos é o nível mobilizável. O ponto de vista que facilita seu desenvolvimento é o das tentativas - ainda que este não seja muito explorado - e pode-se supor que o ponto de vista de equações é o que deve apresentar maior dificuldade para os alunos. Dessa forma, uma vez apresentados os ostensivos e não ostensivos que permitem justificar o trabalho matemático efetuado verifica-se que os ostensivos teóricos são destinados ao professor enquanto que existem ostensivos destinados ao professor e aos alunos, que estão associados ao discurso que se deve estabelecer para que se possa compreender as leis e regras do cálculo literal empregadas quando se escolhe desenvolver a tarefa utilizando os pontos de vista de equações e sistemas de equações lineares. As tarefas 2 e 6 são enunciadas num contexto extramatemático 31, exigindo que os alunos disponham de conhecimentos associados a esse contexto, isto é, pode-se dizer que o nível de conhecimento esperado dos alunos para a solução dessas tarefas é o nível disponível em relação aos conhecimentos matemáticos em jogo e ao seu caráter extramatemático. Tanto para a tarefa 2 quanto para a tarefa 6 é possível aplicar um dos três pontos de vista considerados nesta pesquisa. A tarefa 6 pode apresentar maior dificuldade em função da necessidade de articulação das diferentes noções matemáticas em jogo. As tarefas 3, 4 e 5 são consideradas puramente algébricas pois exigem a utilização dos pontos de vista equações lineares ou sistemas de equações lineares. Considerando os níveis de conhecimentos necessários para a sua solução podese dizer que para a tarefa 4 é exigido apenas o nível técnico quando se pede o método 30 Intramatemático: quando os conhecimentos em jogo no enunciado e na solução da tarefa são apenas matemáticos. 31 Extramatemático: quando os conhecimentos em jogo no enunciado são tanto matemáticos quanto associados às outras ciências ou a situações cotidianas. 95

108 de solução do sistema e o nível mobilizável quando esse não é pedido e cabe ao aluno escolher o mais adequado. As tarefas 3 e 5 são consideradas no nível disponível pois na tarefa 5 é exigida a articulação entre os quadros algébrico e geométrico o que supõe uma mudança de representações, ou seja, a escolha dos ostensivos adequados e a utilização de um discurso tecnológico que justifique essas escolhas. A tarefa 3 deve apresentar mais dificuldade para os alunos pois é enunciada num contexto extramatemático exigindo a interpretação do enunciado que deve ser representado por meio de equações lineares para que se possa utilizar o ponto de vista de equações lineares ou sistemas de equações lineares. Nesse caso, o nível de conhecimento esperado dos alunos é o disponível e esses devem ser capazes de utilizar os diferentes ostensivos em jogo e justificar o trabalho matemático por meio dos não ostensivos que fazem parte de seus topos e que para os professores estão associados às noções de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano e à noção de estrutura de espaço vetorial. Verifica-se assim, que, em geral, existe pouca possibilidade de articulação entre os quadros geométrico e algébrico quando se introduz a noção de sistemas de equações lineares, pois a tarefa 5 parece ser a única utilizada com essa intenção. Das três tarefas (3, 4 e 5) aqui consideradas como algébricas observa-se que 4 e 5 estão diretamente associadas ao estudo da noção de sistemas de equações lineares e que a tarefa 3, mesmo exigindo a utilização do quadro algébrico, não está diretamente associada ao objeto sistemas de equações lineares, mas à aplicação dessa noção como ferramenta explícita de trabalho para a solução de uma situação contextualizada, ou seja, não existe uma articulação entre o objeto matemático em jogo e seu papel de ferramenta explícita para o trabalho matemático a ser desenvolvido. Observou-se ainda que as tarefas 1, 2 e 6 não exigem a utilização da noção de sistemas de equações lineares, podendo ser trabalhadas apenas por meio do ponto de vista das tentativas. Nestes casos, a noção de sistemas de equações lineares deve ser explicitada como uma forma econômica de realizar o trabalho matemático pelo professor. 96

109 Dessa forma, as diferenças em relação às possibilidades de abordagens para o ensino da noção de sistemas de equações lineares vão depender da quantidade de tarefas desenvolvidas pelos professores e propostas aos alunos e das explicitações consideradas acima. Além disso, verifica-se que as tarefas propostas são mais adequadas para desenvolver a mudança do ostensivo representação em língua natural para a representação algébrica explícita de equações lineares (as equações são apresentadas com seus coeficientes) e os métodos de resolução destas equações e sistemas de equações, que neste caso são trabalhados exigindo apenas que os alunos utilizem as regras e leis do cálculo literal, uma vez que os não ostensivos teóricos, isto é, as noções de estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano e estrutura de espaço vetorial que lhes são associados, não são possíveis de serem trabalhados nesta etapa da escolaridade. Neste momento, uma questão que se coloca e que exige um estudo mais detalhado para ser compreendida é a seguinte: Qual é o topos esperado do professor, quando este introduz a noção de sistemas de equações lineares nesta etapa da escolaridade? Esta questão pode ser traduzida por: Quais são os conhecimentos esperados como disponíveis (estrutura de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano e estrutura de espaço vetorial) dos professores que introduzem a noção de sistemas de equações lineares na sétima série do Ensino Fundamental nível II? É importante observar que esta pesquisa mostra que embora esses não ostensivos não sejam necessários aos alunos, é preciso que o professor disponha de meios para estabelecer um discurso tecnológico que justifique as regras e leis utilizadas na solução das tarefas que exigem a aplicação dos pontos de vista de equações lineares e sistemas de equações lineares. Observa-se ainda que o ponto de vista das tentativas parece representar um meio importante para mostrar aos alunos a importância da álgebra como ferramenta facilitadora do trabalho matemático em jogo. 97

110 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DAS ESCOLHAS PARA O ENSINO DA NOÇÃO DE SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES E DUAS INCÓGNITAS VIA LIVRO DIDÁTICO 4.1 Considerações Iniciais Para analisar as escolhas para o ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas entre 1950 a 2005, procuram-se alguns livros didáticos que contém capítulos destinados à introdução dessa noção no Ensino Fundamental II, pois esses livros dão uma visão aproximada da relação institucional existente na época. Certamente, existem outras formas de análise dessa relação, mas tendo em vista a dificuldade de reunir documentos, optamos por analisar livros didáticos, embora tenham sido escolhidos sem um critério específico. Os livros antigos analisados foram aqueles que alguns professores haviam preservado em suas bibliotecas particulares e, dentre os atuais, foram escolhidos aqueles que vêm sendo utilizados na escola onde trabalho. Dessa forma, a escolha dos livros antigos foi aleatória, pois existe uma grande dificuldade em encontrar material mais antigo, em estado de preservação que permita uma análise global do ensino de matemática nas diferentes décadas. Analisa-se assim um total de oito obras que serão apresentadas em ordem decrescente em relação ao ano de sua publicação, conforme a tabela abaixo. 98

111 Livro Ano Século Década PNLD 32 1º Matemática e Realidade Iezzi et al., 7ª série 2005 XXI º A conquista da Matemática Castrucci et al., 7ªsérie 2002 XXI º Matemática e Realidade Iezzi et al., 7ª série 2000 XXI º Matemática Scipione Scipione, 7ª série º Matemática Conceitos Operações Scipione, 7ªsérie º Matemática na Escola Renovada Scipione, 3º volume º Matemática Curso Moderno Sangioge, 3º volume º Curso de Álgebra De Farias, programas de admissão à Escola Militar e à Escola de Aeronáutica Para a análise dos livros encontrados, constrói-se um organograma que permite a descrição global da obra, conforme modelo proposto por Tavignot (1991) em sua tese sobre a análise do processo de transposição didática para o caso da simetria no collège 33. Esse organograma auxilia a compreensão geral da obra assim como a articulação entre as diferentes noções desenvolvidas na sétima série do Ensino Fundamental nível II quando se introduz a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. Além desse organograma, faz-se um comentário sobre as articulações entre noções trabalhadas em conjunto com a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, conforme propostas dos autores. Após esse comentário, considerando como parte do professor ( topos do professor) a introdução teórica da noção e os exercícios resolvidos e parte do estudante ( topos do estudante) os exercícios propostos, são analisadas as necessidades em termos de ostensivos e não ostensivos e da própria aplicação da noção de sistemas de 32 PNDL: Programa Nacional do Livro Didático 33 collège corresponde ao Ensino Fundamental nível II brasileiro. 99

112 duas equações lineares e duas incógnitas, tanto para o trabalho suposto como do professor quanto para o do estudante. Além disso, verifica-se que tipos de tarefas são privilegiados quando se consideram as propostas de aplicações das noções desenvolvidas no curso, pelos estudantes, em função da grade construída. Uma vez delineada a forma como será apresentada a análise, as questões que a orientam são: 1) Quais são os conhecimentos prévios necessários ao aluno, para que se faça a introdução da noção de sistemas de equações lineares? 2) Como se articulam os conhecimentos prévios com os novos conhecimentos quando se introduz a noção de sistemas de equações lineares? 3) Que ostensivos e não ostensivos são privilegiados nas décadas consideradas? 4) Quais são os quadros ou domínios (numérico, algébrico e geométrico) necessários para o desenvolvimento do trabalho proposto? 5) Quais são as necessidades de articulação em termos de quadros ou domínios e os níveis de conhecimentos esperados dos estudantes quando se introduz a noção de sistemas de equações lineares? 6) As tarefas propostas aos estudantes necessitam da noção de sistemas de equações lineares para a sua solução? 100

113 4.2 A ANÁLISE DA OBRA DE IEZZI ET AL O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Matemática e Realidade 7ª série. Números Generalizar introduzir - Noção intuitiva de números naturais - Noção intuitiva de números inteiros - Noção intuitiva de números racionais (representação fracionária, decimal exata, dízima periódica) Observação: utiliza a noção de equação para calcular a fração geratriz de uma dízima. - Noção intuitiva de número real por meio de sua representação na reta numérica utilizando a seqüência: números inteiros, números racionais não inteiros, números irracionais (representação geométrica - lado do quadrado). - Valor absoluto e relação de ordem (as desigualdades). - Operações em R e suas propriedades. - Erros de aproximação. Aplicar Segmentos, ângulos e triângulos. Definir e construir - Segmentos (régua e compasso) - Ângulos (régua e compasso, transferidor) - Retas coplanares (concorrentes e paralelas) - Retas perpendiculares - Ângulos de duas retas com uma transversal (Teorema de Thales). - Triângulos (classificação, construção e propriedades) - Congruência de triângulos (propriedades e construção). Estatística definir - Médias: aritmética, ponderada e geométrica. - Representação gráfica e representação tabela de dados. - Moda e mediana Cálculo algébrico definir - Expressões algébricas (exemplos algébricos e geométricos) - Valores numéricos - Polinômios - Operações com polinômios Introduzir Produtos notáveis e fatoração definir -Representação algébrica e geométrica (áreas) aplicar Quadriláteros definir -Quadriláteros -Perímetros -Quadriláteros notáveis e propriedades Equações e sistemas lineares definir introduzir - Introduzir equação - Equações impossíveis e indeterminadas - Equações Literais - Equações Fracionárias Sistemas de equações Interpretar, resolver e analisar -Situações-problema com duas incógnitas para introduzir sistemas. -Método de adição -Método de Substituição -Representação Gráfica -Sistemas Impossíveis e Indeterminados 101

114 4.3 Comentários e análise Os autores iniciam fazendo uma revisão sobre a noção de número, articulando, para isso, o quadro ou domínio geométrico com o numérico e, na seqüência, apresentam uma definição sucinta de números naturais a partir do processo de contagem e sua representação (numeral), números inteiros (subtração que resulta em um número negativo), números racionais distinguindo as representações fracionárias explícitas (por exemplo: 2/3), as representações decimais exatas (0,3) ou dízimas periódicas (0, ) e as possibilidades de passagem de uma representação a outra, embora esse termo representação não seja utilizado pelos autores. Nesse momento, os autores já utilizam a noção de equação para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica. Na seqüência, para introduzir os números reais, os autores consideram o ostensivo reta numérica, isto é, utilizam o quadro geométrico para representar esses números, ou seja, articulam o quadro numérico com o quadro geométrico. Após o estudo dos números reais por meio dos ostensivos que os representam, os autores introduzem noções de segmento, ângulo e por meio dos ostensivos materiais régua, compasso, transferidor e esquadro fazem as construções e apresentam suas propriedades, isto é, trata-se de uma introdução centrada em ostensivos materiais que permitem a manipulação e a visualização dos novos conceitos que se deseja introduzir. Após introduzir as noções de segmento e ângulo, os autores definem retas coplanares, suas posições relativas e propriedades. Ainda para essas noções que estão sendo introduzidas, é possível observar a preocupação dos autores em representar as propriedades por meio da construção com régua e compasso, o que possibilita a manipulação e a visualização das noções que estão sendo trabalhadas e a utilização de um discurso para justificar o procedimento que se está realizando. Ou seja, a abordagem utilizada pelos autores é centrada na introdução dos ostensivos de representação da noção em jogo, que necessita de um discurso tecnológico para justificar os procedimentos adotados nas construções e que permite conjecturar sobre as propriedades utilizadas nessa construção. Na seqüência, essas propriedades são demonstradas, por meio de teoremas que representam as teorias dessas tecnologias. 102

115 Em seguida, após definir triângulos, os autores os classificam quanto aos lados e apresentam as possibilidades de representação dos mesmos por meio da construção com régua e compasso. São introduzidas as propriedades e a classificação de triângulos quanto aos ângulos. Os exemplos e exercícios propostos exigem que os estudantes disponham de conhecimentos sobre equação do 1 o grau, que se supõe tenha sido trabalhada nas séries anteriores, pois está sendo novamente considerada como um conhecimento disponível e é o seu caráter ferramenta explícita do conhecimento matemático que está em jogo. O capítulo exclusivo para seu tratamento aparece posteriormente, mas como todo o texto é centrado nos ostensivos que representam as noções em jogo, o trabalho desenvolvido no livro torna-se mais simples, pois é possível estabelecer um discurso que justifique a aplicação da noção de equação ainda que esta não tenha sido desenvolvida, tendo em vista todas as possibilidades do tratamento de suas representações. Após a introdução dos números reais e de conceitos geométricos e suas propriedades os autores introduzem noções básicas de estatística, ou melhor, os ostensivos que permitem representar essas noções, mas não é possível identificar um trabalho de articulação com os supostos conhecimentos prévios dos estudantes. A estatística aparece como um capítulo sem conexão com os demais. Na seqüência do livro, onde se pode considerar a introdução do cálculo algébrico, os autores apresentam as expressões algébricas, os polinômios com suas operações e propriedades e, sempre que possível, eles articulam os quadros numéricos, algébricos e geométricos, apresentando ainda exemplos de aplicações no cotidiano e nas outras ciências, ou seja, embora seja dada maior ênfase aos ostensivos que representam as noções em jogo, os autores procuram articular essas noções com os supostos conhecimentos prévios dos estudantes. Ao introduzir produtos notáveis e fatoração verifica-se que os autores articulam somente os quadros algébrico e geométrico, o que é compreensível, uma vez que estas noções são ferramentas importantes para o estudo de outros conceitos matemáticos, mas dificilmente são aplicadas diretamente para a solução de problemas cotidianos, ou seja, nessa etapa da escolaridade o trabalho sobre os ostensivos que as representam parece ser uma forma adequada de trabalho. 103

116 Voltando à geometria, os autores definem quadriláteros e suas propriedades, passando aos quadriláteros notáveis, para os quais, as propriedades são apresentadas e demonstradas, o que representa um salto qualitativo, pois para justificar a aplicação da definição e a utilização dos ostensivos que as representam, os autores utilizam um discurso tecnológico como é possível verificar no exemplo abaixo. Fonte: IEZZI et al, 2005, p.235 O capítulo que segue é destinado ao estudo das equações do primeiro grau e é nele que se apresenta a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, objeto de estudo desta pesquisa. Sendo a noção de equação do primeiro grau um dos pontos de vista que permitem a solução desses sistemas, ela merece uma análise mais detalhada que as noções anteriores, quando se considera sua articulação com as demais noções em jogo, pois ela pode ser um dos pontos de apoio para a introdução da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas para a sétima série do Ensino Fundamental II. Observa-se assim, que a noção de equação é introduzida via situações cotidianas que são descritas por meio do ostensivo escrita na língua natural e que 104

117 necessitam de uma passagem para o ostensivo representação algébrica oral e escrita da equação correspondente. Nesta etapa, as noções introduzidas anteriormente nos quadros algébrico, numérico e geométrico são utilizadas como ferramentas para a solução das tarefas propostas e devem estar disponíveis para permitir o desenvolvimento das tarefas propostas ao estudante. É importante ressaltar que os ostensivos oral e escrito considerados acima necessitam de um discurso tecnológico que permite utilizá-los, e que é fundamental para a articulação com outras noções matemáticas que aparecem nas tarefas apresentadas e propostas aos estudantes. Passando à noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, os autores fazem uma abordagem semelhante àquela feita para as equações, o que também exige que as noções anteriores, descritas no organograma, estejam disponíveis para que se possam utilizar os ostensivos necessários para a solução das tarefas e que se disponha de um discurso tecnológico que justifique as articulações com as diferentes noções em jogo. Os autores seguem introduzindo as noções de inequação, circunferência, arcos e ângulos sempre preocupados em articular novos conhecimentos com os conhecimentos desenvolvidos anteriormente. Para a noção de sistema de duas equações lineares e duas incógnitas, objeto de estudo desta pesquisa, apresenta-se abaixo uma análise mais detalhada das tarefas que correspondem à parte do professor e à do estudante, em função da grade construída para esse fim. 4.4 A parte do professor e do estudante nas tarefas apresentadas Considerando a grade de análise e as tarefas nela classificadas de acordo com suas possibilidades, apresenta-se a relação entre o que é parte do trabalho do professor ( topos do professor), isto é, as tarefas resolvidas que envolvem a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, e o que representa a parte do estudante ( topos do estudante), isto é, as tarefas propostas no capítulo. 105

118 Tarefas Tarefas Resolvidas Propostas Tarefas Quantidade % Tarefas Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Total Segundo a escolha anunciada acima, o número de tarefas resolvidas, que representam o topos do professor, permite dizer que, no caso deste livro didático, os autores privilegiam a tarefa de número 6 (34% das tarefas resolvidas) que corresponde ao nível disponível, pois exige que os estudantes disponham de conhecimentos prévios sobre outras noções matemáticas e sejam capazes de compreender seu caráter extra matemático 34. Da mesma forma, verifica-se que o maior número de tarefas propostas para os estudantes são as de tipo 6 (41%), o que é coerente com a escolha de tarefas para o professor o que poderia ser identificado como preocupação dos autores no sentido de articular conhecimentos matemáticos desenvolvidos durante as etapas escolares anteriores, assim como conhecimentos de outras ciências e do cotidiano. As tarefas 1 e 5 são consideradas como necessárias pelos autores, pois representam 22% das tarefas resolvidas, mas para o trabalho individual do estudante verifica-se que a ênfase é dada à tarefa do tipo 1 que corresponde a situações matemáticas enunciadas no quadro numérico e que não exigem a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas para serem resolvidas. A tarefa de tipo 5 fica a cargo do professor uma vez que exige um discurso tecnológico que justifique a articulação entre os quadros algébrico e geométrico quando esses são, efetivamente, parte dos conhecimentos prévios dos estudantes. Compreende-se a escolha, uma vez que se está introduzindo a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, pois a tarefa de tipo 5 exige o nível disponível para os conhecimentos 34 Extra matemático: Quando se trabalha com noções de outras ciências ou do cotidiano e que se supõem conhecidas dos estudantes. 106

119 algébricos e geométricos que precisam ser articulados quando se deseja estudar as possibilidades de solução desses sistemas. As tarefas 2 e 4 aparecem como sendo da mesma importância para o professor, mas quando se observa o trabalho proposto aos estudantes verifica-se que a tarefa 4, que corresponde aos níveis técnico e mobilizável (resolver o sistema com ou sem indicação do método) é bastante valorizada (34%), em comparação com a tarefa 2 que representa 6% das tarefas propostas aos alunos. A tarefa 3 que necessita da interpretação de uma situação extra matemática e que deve ser resolvida sob o ponto de vista de equações lineares ou sistemas de equações lineares, isto é, trata-se de uma situação puramente algébrica que exige que os estudantes disponham de conhecimentos sobre as noções de equações e sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas é deixada a cargo dos estudantes, pois não há indicações para o professor resolver esse tipo de tarefa, cabendo ao estudante esse trabalho. Resumindo, verificou-se que nesta obra 41% (tarefa 6) das tarefas propostas aos estudantes poderiam ser resolvidas sem a necessidade de trabalho no quadro algébrico e sua dificuldade pode estar associada à interpretação ou à falta de conhecimentos prévios por parte dos estudantes. Outros 20% (tarefas 1 e 2) também não exigem a utilização do quadro algébrico podendo ser trabalhadas apenas no quadro numérico por meio do ostensivo tabela e sua dificuldade pode estar associada à passagem do ostensivo representação em língua natural para o ostensivo tabela. As tarefas 3 e 5 que exigem a utilização do quadro algébrico representam apenas 5% do trabalho proposto aos estudantes, sendo que a maior parte do tipo 5 fica a cargo do professor, enquanto que as do tipo 3 ficam totalmente a cargo dos estudantes. A tarefa 4 que corresponde ao nível técnico parece ser trabalhada de forma bastante coerente, pois a utilização de um método para a solução de um sistema proposto é deixada a cargo dos estudantes por tratar-se de um trabalho de fixação das técnicas de resolução de sistemas de equações lineares. Existe assim um equilíbrio tanto no trabalho esperado do professor como do estudante, mas é importante observar que o ponto de vista das tentativas, que, em 107

120 alguns casos, poderia auxiliar na compreensão da noção de sistemas de equações lineares, não recebeu destaque neste livro didático. Pode-se considerar que neste livro os autores esperam desenvolver a capacidade de interpretação de enunciados de tarefas em que a noção de sistemas de equações lineares funciona como ferramenta implícita de trabalho uma vez que os estudantes não dispõem de conhecimentos sobre este objeto, mas apenas de alguns métodos para a sua solução. Ou seja, os não ostensivos em jogo são as operações sobre os números reais, os métodos de resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas, as noções de cálculo literal e suas leis e regras, cálculo algébrico e suas propriedades, sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas, representação geométrica de equações lineares em IR 2, equações do primeiro grau, retas no plano e suas propriedades, regra de três e frações algébricas. Observa-se assim que o trabalho desenvolvido nesta obra é centrado nos ostensivos representação em língua natural, discurso oral, representação escrita, representação algébrica de equações lineares e de sistemas de equações lineares e representação gráfica de equações no sistema cartesiano ortogonal e que os autores, mesmo não utilizando explicitamente essas denominações, fazem apelo a um discurso tecnológico para justificar as representações utilizadas, as conversões de representações necessárias e a articulação das diferentes noções em jogo nas tarefas resolvidas e propostas aos estudantes. 108

121 4.5 A ANÁLISE DA OBRA DE CASTRUCCI ET AL, O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra A Conquista da Matemática 7ª série. Números reais introduzir - Raiz quadrada exata de um número racional. - Raiz quadrada aproximada de um número racional. - Noção intuitiva dos números racionais e sua representação decimal. Determinar - Noção intuitiva de números irracionais - Noção intuitiva de números reais. - Operação em IR e suas propriedades. Calculo algébrico introduzir - O uso de letras para representar números - Expressões algébricas ou literais - Valor numérico de uma expressão algébrica. - Uma consideração importante (o que aprendeu) Polinômios definir - Monômio ou termo algébrico. - Polinômios. - Os produtos notáveis Introduzir definir - Fatorando polinômios - Cálculo M.M.C. de polinômios. - Polinômios - Operações com polinômios aplicar Frações algébricas definir - Fração algébrica - Simplificação da fração algébrica. - Adição e subtração de frações algébricas. - Multiplicação e divisão de frações algébricas. Equações definir - Equações de 1º grau com uma incógnita. - Equação fracionária de 1º grau com uma incógnita. - Equações literais de 1º grau na incógnita x. definir Equações e Sistemas lineares introduzir - Equações de 1º grau com duas incógnitas. -Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas. - Resolução de um sistema de duas equações de 1º grau com duas incógnitas. 109

122 4.6 Comentários e análise Os autores introduzem a obra procurando enfatizar a importância da Matemática em nossas vidas e acrescentando que, atualmente, a falta de conhecimento das noções dessa ciência tende a dificultar o convívio social dos indivíduos como mostra o texto: Ficar de fora desse processo, ficar a parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo (Castrucci et al, 2002, p.3). Nesse texto, os autores declaram que o objetivo é apresentar as linhas mestras por meio de uma linguagem simples, mas respeitando o rigor matemático. No inicio da obra os autores introduzem a noção de números reais por meio de exemplos do cotidiano, as noções de raiz exata e quadrado perfeito, articulando o quadro numérico com o geométrico e propondo a utilização da calculadora como ferramenta para facilitar os cálculos, a fim de favorecer o estudo da raiz aproximada e introduzir a noção de número irracional. Verifica-se a preocupação no sentido de utilizar metodologias e estratégias propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998), embora estas não sejam articuladas de forma satisfatória, como é o caso do texto apenas descritivo que trata das contribuições dos grandes matemáticos, apresentado no capítulo sobre números reais, conforme mostra a figura abaixo. Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p

123 Na passagem ao cálculo algébrico os autores utilizam o exemplo do Índice de Massa Corpórea (IMC), mostrando a importância da fórmula que permite calcular o índice, conhecendo-se a massa em quilogramas e a altura em metros. Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p.33 Neste exemplo propõe-se a articulação entre o quadro algébrico e o quadro numérico, que exige, como conhecimentos prévios, noções associadas a números e grandezas, desenvolvidas nas séries anteriores. Para introduzir o cálculo algébrico, os autores apresentam tarefas que envolvem o cálculo do valor de números desconhecidos e, para auxiliar a compreensão, articulam o quadro algébrico com os quadros geométrico e numérico, o que supõe que os estudantes disponham de conhecimentos prévios associados a esses dois quadros e que possam aplicá-los de forma disponível. Passando ao estudo dos polinômios, os autores introduzem a noção de termo algébrico, propondo tarefas que envolvem situações do cotidiano. Da mesma forma, são introduzidas as noções de monômios e polinômios, generalizando propriedades e operações, pela articulação dos quadros algébrico e geométrico, sempre que possível. Essa abordagem pode ser observada no exemplo que segue. 111

124 Fonte: CASTRUCCI el al, 2002, p.74 Fonte: CASTRUCCI et al,2002,p.75 Além disso, é possível verificar nesse exemplo, que os autores utilizam o ostensivo língua natural para justificar o desenvolvimento da técnica apresentada e a articulação considerada, isto é, eles mostram que a representação da área do retângulo 112

125 considerado é algebricamente igual a multiplicação de um polinômio por outro por meio de um discurso tecnológico. Para as noções de produtos notáveis e fatoração os autores seguem o mesmo tipo de abordagem, justificando por meio de um discurso tecnológico as mudanças de quadro e as articulações de diferentes noções. O estudo das frações algébricas segue a mesma lógica, assim como a introdução da noção de equação do 1º grau. São resolvidos alguns casos particulares de equações cujas etapas são justificadas por meio de um discurso tecnológico, uma vez que essas etapas estão associadas a noções construídas anteriormente, como é o caso de redução de frações ao mesmo denominador ou das noções relacionadas a grupos aditivo, multiplicativo e abeliano que são tratadas como princípios para os estudantes do Ensino Fundamental ( topos do estudante), mas que devem ser disponíveis para o professor ( topos do professor), podendo este utilizar seus próprios meios para justificar as diferentes passagens como mostra a figura abaixo. Fonte: CASTRUCCI et al, 2002, p.137 É importante observar que faz parte, tanto do topos do estudante como do topos do professor, a justificativa das diferentes etapas da solução das tarefas, por meio de um discurso tecnológico que explicita a técnica empregada. No caso do 113

126 estudante, o discurso justifica a técnica e no caso do professor o discurso seria outro, pois se trata da teoria que sustenta este discurso, que inclui as noções de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano. Nesta obra, após introduzir as equações do 1º grau com duas incógnitas, os autores passam aos métodos de solução de sistemas - substituição e adição - utilizando um discurso tecnológico para justificar as técnicas empregadas. Esse discurso está relacionado aos ostensivos necessários à solução das tarefas ( topos do estudante), mas para ser melhor compreendido pelo professor exige que este disponha de conhecimentos sobre os não ostensivos implícitos nessa justificativa ( topos do professor) que estão associados às noções de grupo aditivo, multiplicativo e abeliano para o método da substituição e à noção de espaço vetorial para o método da adição. Os autores finalizam a obra introduzindo as noções geométricas de retas, ângulos e suas propriedades, polígonos, triângulos, quadriláteros, circunferência e círculo e suas propriedades. Observa-se que o texto foi construído com o cuidado de oferecer aos alunos oportunidades de estabelecer a relação entre os novos conhecimentos e as noções de álgebra construídas anteriormente. 4.7 A parte do professor e do aluno nas tarefas apresentadas Levando em conta a grade de análise, o exame das tarefas que compõem o topos do professor e o topos do aluno foi realizado com base nos dados registrados na seguinte tabela: Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Tarefas Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Total

127 Neste livro os autores privilegiam a tarefa 1, que representa situações cotidianas e para resolver esse tipo de tarefa o estudante pode trabalhar em diferentes níveis dependendo de seus conhecimentos prévios. Se os estudantes dispõem apenas de conhecimentos sobre as quatro operações, é possível resolver a tarefa proposta utilizando uma tabela, isto é, o ponto de vista das tentativas. As tarefas 2 e 3 aparecem na mesma quantidade para o trabalho do professor e muito próximas para o trabalho proposto ao estudante. Porém na tarefa 2, as situações matemáticas são transformadas em contextos cotidianos, podendo ser resolvidos por meio do ponto de vista das tentativas, mas essa proposta não é apresentada na obra. Observa-se que existe uma proposta equilibrada para o trabalho do professor e do estudante, na tarefa 3 - situações matemáticas algébricas transformadas em contextos cotidianos -, que exigem o domínio algébrico associado à conversão do enunciado em um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas e um método para a sua solução, isto é, trata-se do caso mais adequado para o tratamento algébrico. As tarefas 4 e 6, aparecem na mesma quantidade para o professor, sendo que a tarefa 4, exige apenas o trabalho técnico, isto é, um método de resolução de sistemas enquanto que a tarefa 6 está mais centrada na proposta de situações de referência em que não é necessário utilizar a noção de sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas, embora esta facilite a resolução das tarefas. A tarefa do tipo 5 que exige uma articulação dos quadros algébrico e geométrico não é contemplada nessa obra. Pode-se dizer que o trabalho a ser desenvolvido pelo professor é equilibrado e está de acordo com as exigências encontradas nas propostas para os estudantes. Das tarefas propostas aos estudantes, 49% são do tipo 1 e 22% do tipo 2, cujas soluções podem ser obtidas por tentativas, com o auxílio de uma tabela ou do cálculo mental, antes de passar a equações lineares e sistemas de equações lineares. Dessa forma, enfatiza-se o caráter facilitador do ponto de vista do ponto de vista de sistemas de equações lineares. É importante observar que pouca ênfase é dada ao trabalho sobre as técnicas de resolução de sistemas, podendo dificultar a fixação desta ferramenta para aplicações 115

128 futuras. Essa escolha não é compreensível pois o objetivo para a introdução da noção de sistema de duas equações com duas incógnitas é seu caráter de ferramenta facilitadora para a solução de tarefas desse tipo. Sendo assim, é importante observar que, os estudantes, além de dispor das situações de referência propostas, precisam desenvolver as técnicas de solução desses sistemas o que pode exigir uma atenção maior ao nível de conhecimento técnico. 116

129 4.8 A ANÁLISE DA OBRA DE IEZZI ET AL O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Matemática e Realidade, 7ª série. Números reais introduzir - Raiz quadrada exata de um número racional. - Raiz quadrada aproximada de um número racional. - Noção intuitiva dos números racionais e sua representação decimal. Determinar - Noção intuitiva de números irracionais - Noção intuitiva de números reais. - Operações em IR e suas propriedades. Cálculo algébrico introduzir - O uso de letras para representar números - Expressões algébricas ou literais - Valor numérico de uma expressão algébrica. Aplicar Polinômios definir - Monômio ou termo algébrico. - Polinômios. - Os produtos notáveis definir - Fatoração de polinômios - Cálculo M.M.C. de polinômios. - Operações com polinômios Introduzir Frações algébricas aplicar definir - Fração algébrica - Simplificação da fração algébrica. - Adição e subtração de frações algébricas. - Multiplicação e divisão de frações algébricas. Equações definir - Equações de 1º grau com uma incógnita. - Equação fracionaria de 1º grau com uma incógnita. - Equações literais de 1º grau na incógnita x. definir Equações e Sistemas lineares introduzir - Equações de 1º grau com duas incógnitas. - Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas. - Resolução de um sistema de duas equações de 1º grau com duas incógnitas. 117

130 4.9 Comentários e análise A obra dos mesmos autores cuja análise foi apresentada anteriormente segue a mesma forma, como é possível verificar pela comparação dos organogramas e poucas mudanças foram feitas em relação ao seu desenvolvimento, o que permite manter os comentários e análise já efetuados. Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidades % Tarefas Quantidades % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Total As tarefas resolvidas e propostas aos estudantes são as mesmas da edição já apresentada com pequenas mudanças no layout. 118

131 4.10 A Análise da Obra de Scipione Di Pierro Netto, O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Matemática Scipione 7ª série. Os Conjuntos Numéricos introduzir - Noção intuitiva de números naturais - Noção intuitiva de números inteiros relativos - Noção intuitiva de números racionais (representação fracionária, decimal exata, dízima periódica) - Noção intuitiva de número real através de sua representação na reta numérica pela seqüência: números inteiros, números racionais não inteiros, números irracionais. - Valor absoluto e relação de ordem. - Operações em IR e suas propriedades. Introduzir Expressões Algébricas e Polinômios Introduzir Definir - Expressões algébricas - Valor numérico de uma expressão algébrica - Polinômios - Operações com polinômios. Produtos Notáveis e Fatoração Definir - Representação algébrica e geométrica (área) Aplicar Equações e Inequações definir -Equação fracionária. -Equações literais -Inequações do 1º grau -Resolução de inequações. Introduzir Sistemas de equações do 1º grau Definir e construir - Plano cartesiano RXR. - Sistemas do 1º grau. - Problemas do 1º grau. - Sistemas de equações fracionarias. - Sistemas de equações literais 119

132 4.11 Comentários e análise O autor inicia fazendo uma revisão sobre os conjuntos numéricos e explora os conceitos de números naturais, inteiros relativos, números racionais, números irracionais e as noções intuitivas de conjuntos numéricos para ilustrar esses conjuntos por meio do diagrama de Venn, ostensivo (gráfico) que permite uma melhor visualização de noções que estão sendo abordadas. Cada tópico é seguido de exercícios e no final desse primeiro capítulo o autor utiliza o jogo de damas para apresentar os números naturais, suas operações e propriedades. Nesse caso, para justificar cada procedimento ele faz apelo a um discurso tecnológico que justifica a utilização dos diferentes ostensivos: escritas (representação por número de peças distribuídas nos tabuleiros) e sua relação com o processo de contagem e as possibilidades de operações entre os elementos representados, como mostra a figura abaixo. É importante observar que, no discurso empregado, o autor articula os quadros numérico e geométrico supondo que o estudante disponha de conhecimentos geométricos, o que lhe permite articular números, operações e formas geométricas como mostra o extrato abaixo. Fonte: SCIPIONE, 1991, p.18 Na seqüência, para introduzir as noções de álgebra, o autor utiliza uma tabela para discutir e representar as "expressões algébricas" que foram definidas 120

133 anteriormente. Essa discussão é feita a partir da simulação de uma aula em que ocorre um possível diálogo entre professor e estudante, conforme ilustração a seguir. Nesse desenvolvimento, o autor utiliza um discurso tecnológico para definir novas noções matemáticas. Fonte: SCIPIONE, 1991, p.21 O tópico seguinte, que trata do cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica, é introduzido pela proposta de uma situação-problema (figura abaixo), cuja discussão mostra a preocupação dos autores no sentido de justificar a introdução de um novo conhecimento por meio de um contexto cotidiano. Essa abordagem é seguida de uma série de exercícios de identificação de expressões algébricas e cálculo do valor numérico destinados à fixação das técnicas possíveis de trabalho com a nova noção que foi introduzida. Fonte: SCIPIONE, 1991, p.22 Dando continuidade o autor introduz as noções de termos semelhantes, 121

134 operações com monômios, grau de um polinômio e operações com polinômios. Em seguida, introduzindo a operação denominada pelo autor como "bolinha", é apresentado um discurso tecnológico que justifica as propriedades, mostrando alguns exemplos numéricos como ilustra o exemplo abaixo. Fonte: SCIPIONE, 1991, p.42 A abordagem das noções de produtos notáveis e fatoração também é feita pela articulação dos quadros algébrico e geométrico, permeada de um discurso tecnológico que justifica cada procedimento. Fonte: SCIPIONE, 1991, p.45 No caso da fatoração o autor apresenta um ostensivo (esquema) para facilitar o 122

135 discurso tecnológico que o acompanha, como é possível verificar na figura abaixo: Fonte: SCIPIONE, 1991, p.54 No final de cada tópico o autor propõe ao estudante uma série de exercícios e testes. Como foi feito nos capítulos anteriores, o autor termina o capítulo com o exemplo de uma situação da natureza. Neste caso, por meio do exemplo, é possível reconhecer os números de Fibonacci, o que permite que o autor desenvolva uma breve discussão sobre a produção matemática na Idade Média, articulando assim, as noções que estão sendo introduzidas com seu desenvolvimento histórico e com possibilidades de aplicações no cotidiano, como mostra o extrato abaixo. 123

136 Fonte: SCIPIONE, 1991, p.60 Na seqüência são introduzidas as noções de Maximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum de polinômios e frações algébricas, supondo que essa noção já tenha sido construída para os números. Ao final desse tópico também é sugerida uma série de exercícios de fixação. No final do capítulo o autor introduz uma nova aplicação da série de Fibonacci em situações cotidianas que podem servir de exemplos de referência para o desenvolvimento de outros conhecimentos, nas séries posteriores. Fonte: SCIPIONE, 1991, p

137 Fonte: SCIPIONE, 1991, p.75 O exemplo acima deixa evidente que, para articular conhecimentos matemáticos com situações cotidianas, é preciso dispor de conhecimentos sobre Matemática e sobre outras ciências para que se possa utilizar um discurso tecnológico adequado que justifique sua aplicação e permita compreender o raciocínio empregado. Finalmente, são introduzidas noções de equações e inequações do primeiro grau, que darão subsídios para o estudo das equações fracionárias. Na abordagem das noções relativas a equações literais, o discurso tecnológico utilizado pelo autor, para justificar cada passagem, está presente no diálogo fictício entre um professor e um estudante, conforme se observa no excerto a seguir. Fonte: SCIPIONE, 1991, p.80 A abordagem das inequações do 1º grau é feita a partir da noção de intervalo em 125

138 IR representado na reta numérica e da expressão algébrica correspondente, favorecendo ao estudante o trânsito entre os quadros numérico e algébrico. No final do capítulo, o autor propõe uma série de exercícios de aplicação e introduz uma curiosidade para incentivar os estudantes e mostrar a importância da Matemática. Neste caso, trata-se de um jogo cujas regras são definidas por meio de conceitos matemáticos. Na seqüência, o autor introduz sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, iniciando pela representação, no sistema cartesiano ortogonal, das retas correspondentes às equações que compõem os sistemas. Assim, o autor apresenta estratégias de solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, articulando os quadros numérico, algébrico e geométrico, considerando as três possibilidades: - sistema possível e determinado, em que a solução gráfica é um ponto, ou ainda, quando as retas que o representam são concorrentes; - sistema impossível, em que a solução gráfica é composta de duas retas paralelas; - sistema possível e indeterminado representado por uma única reta no sistema cartesiano ortogonal. Para essa discussão, o autor apresenta exemplos como os que foram indicados para a Tarefa 4, introduzindo os métodos de substituição e adição, cujo planejamento, execução e controle são justificados por meio de um discurso tecnológico. A figura que segue mostra esse desenvolvimento. 126

139 Fonte: SCIPIONE, 1991, p.99 Finalizando, o autor introduz os sistemas de equações literais, fazendo distinção entre as noções de incógnitas e parâmetros, por meio de um discurso tecnológico, como mostra o exemplo abaixo. Fonte: SCIPIONE, 1991, p

140 Verifica-se que o autor, faz apelo a um discurso tecnológico para justificar as diferentes técnicas introduzidas assim como as definições e propriedades utilizadas. Quanto aos exercícios resolvidos, o discurso utilizado pelo autor permite compreender como a solução da tarefa foi planejada, executada, controlada e justificada. Quando possível, faz-se a articulação entre quadros ou domínios distintos e pontos de vista, utilizando os ostensivos adequados. Para a noção de sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, o ostensivo escrito utilizado é a representação gráfica das retas que representam as equações e dessa forma o autor introduz o conjunto solução, estudando as possibilidades de intersecção dessas retas. Dessa forma, o autor faz a discussão dos sistemas, quanto ao número de soluções, antecipando a construção de conhecimentos que posteriormente serão desenvolvidos em séries posteriores A parte do professor e do aluno nas tarefas apresentadas A seguir, é feita a análise do topos do professor e do estudante, levando em conta as tarefas resolvidas e propostas na obra analisada. Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidades % Tarefas Quantidades % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Total Verifica-se que a tarefa 1 - situação matemática enunciada no quadro numérico, que pode ser trabalhada em diferentes níveis dependendo dos conhecimentos prévios dos estudantes - representa 14% do trabalho esperado do professor e 25% do trabalho esperado dos estudantes. Para a tarefa 2 - situação matemática transformada em contexto cotidiano, que favorece a discussão a respeito da facilidade dos pontos de vista equações lineares e 128

141 sistemas de equações lineares -, a distribuição das tarefas é a mesma observada para a tarefa 1. Observa-se que para essa tarefa os trabalhos do professor e do estudante estão equilibrados As tarefas do tipo 4, que exigem a aplicação de um método para a solução de sistemas, estão bem distribuídas entre professor e estudante. O autor privilegia as tarefas 3 e 5. A tarefa 3, que tem um caráter puramente algébrico e reduz as diferentes formas de tratamento consideradas nesse trabalho, permitindo mostrar a importância dos pontos de vista de equações lineares e sistemas de equações lineares. Embora as tarefas deste tipo apresentem, no enunciado, todos os elementos para a sua solução, podem ser consideradas de nível disponível, pois exigem que os estudantes as relacionem com a noção de sistemas de equações lineares e disponham de um método para resolvê-las. A tarefa 5, que exige a passagem do quadro algébrico para o quadro geométrico, possibilita a articulação entre esses quadros. Para a tarefa 6, o autor apresenta apenas uma situação, o que pode dificultar o trabalho do estudante, pois embora não exija conhecimentos específicos sobre as noções de equações e sistemas de equações lineares, pois pode ser solucionada por tentativas, observa-se que neste tipo de tarefa, a interpretação do enunciado e a articulação entre outros conhecimentos matemáticos são habilidades fundamentais. Verifica-se que o autor propõe ao aluno 25% de tarefas do tipo 1 e 22% de tarefas do tipo 2, que não exigem a utilização das noções de equações lineares e sistemas de equações lineares. O autor é coerente na proposta de tarefas para os estudantes, pois privilegia o trabalho que se supõe realizado pelo professor. As tarefas dos tipos 3 e 6, que podem ser solucionadas por tentativas ou por sistemas de equações lineares, permitem que os estudantes disponham de situações de referência para aplicações futuras. Elas são tratadas de forma equilibrada pelo autor, mostrando a intenção de desenvolver um trabalho de pesquisa de soluções de situações que ultrapassam a simples aplicação direita das noções matemáticas em jogo. 129

142 4.13 A ANÁLISE DA OBRA DE SCIPIONE DI PIERRO NETTO 1982 O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Matemática Conceitos e Operações 7ª série. Números reais introduzir - Noção intuitiva do conjunto dos Naturais e suas propriedades. - Noção intuitiva do conjunto dos inteiros e suas propriedades; - Noção intuitiva do conjunto dos racionais e suas propriedades; - Noção intuitiva do conjunto dos reais e suas propriedades. Polinômios Definir - Expressões algébricas. - Monômios e polinômios. - Operação com monômios e polinômios. Definir Produtos Notáveis Aplicar Fatoração Definir e articular - Articulação algébrica e geométrica - Fator comum - Agrupamento ou decomposição em grupo - Trinômio - Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum. Aplicar Frações algébricas Equações Introduzir Definir - Propriedade fundamental das frações. - Operações algébricas. - Equação fracionaria. - Equações Literais - Inequações do 1º grau numa variável em R (Intervalo sobre R) Sistemas do 1º grau com Duas variáveis Aplicar Problemas do 1º grau com duas variáveis Introduzir e Discutir - Processo de substituição. - Processo de comparação. - Processo de adição. - Sistema impossível e indeterminado. - Interpretação gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis. (articulação álgebra e geometria) - Sistema de equações fracionaria. - Sistemas de equações literais. Geometria Definir, construir e demonstrar Articular Apêndice Definir - Triângulo e propriedades - Congruência de triângulos - Perpendicularismo de retas, simetria, translação, paralelismo de retas; - Axiomas e propriedades. - Polígonos convexos e propriedades. - Quadriláteros - Circunferência e circulo. -Justificar os métodos de resolução de sistemas por meio da articulação algébrico e geométrico. 130

143 4.14 Comentários e análise O autor apresente o objetivo e o desenvolvimento de sua obra, considerando cinco etapas, a saber: A primeira parte se refere à exposição dos conceitos, operações e propriedades que são introduzidos por meio de exemplos e situações concretas simples. A segunda parte se refere aos primeiros exercícios a serem trabalhados em classe e na terceira os exercícios de fixação, que são propostos como atividades extraclasse. A quarta parte corresponde a uma revisão para melhorar o conhecimento médio dos estudantes, isto é, para os estudantes que desejam ir além. Na quinta parte, propõem-se questões objetivas para preparar o estudante para concursos, que, em geral, utilizam esse tipo de questões. A primeira noção introduzida pelo autor é o conceito de números reais, retomando as noções intuitivas de números naturais, inteiros, racionais e suas propriedades e por extensão introduzindo os números reais e suas propriedades, isto é, mesmo não utilizando esse termo, o autor considera a estrutura de corpo dos números reais, conforme mostra a figura abaixo. Fonte: SCIPIONE, 1982, p. 8 Finalizando o capítulo, o autor introduz a noção de intervalo em IR, por meio de suas representações, supondo que os estudantes já tenham construído a noção de desigualdade em IR. 131

144 Na seqüência, o autor aborda a noção de polinômios, identificando e definindo expressões algébricas por meio de exemplos e apresentando a seguinte classificação para essas expressões: Fonte: SCIPIONE, 1982, p.1 8 Segue calculando o valor numérico das expressões algébricas e define monômios e polinômios e suas operações. Sempre que possível, o autor apresenta um discurso tecnológico para justificar a nova técnica que está sendo introduzida, como mostra o exemplo abaixo: Fonte: SCIPIONE, 1982, p

145 A introdução de cada nova noção é sempre seguida de uma série de exercícios de fixação, sendo que a maior parte requer a aplicação das técnicas introduzidas. A abordagem de produtos notáveis é feita pela articulação entre os quadros algébrico e geométrico, permitindo uma melhor visualização e compreensão da igualdade algébrica. Um discurso tecnológico serve de sustentação para a articulação considerada, conforme pode ser visto no excerto a seguir. Fonte: SCIPIONE, 1982, p. 45 Ao introduzir as noções de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum de polinômios, o autor articula o quadro numérico com o quadro algébrico e mais uma vez utiliza um discurso tecnológico para justificar esta articulação e mostrar que as mesmas técnicas se aplicam aos dois casos. 133

146 Fonte: SCIPIONE, 1982, p.69 Fonte: SCIPIONE, 1982, p.70 Após definir frações algébricas, são identificadas as suas propriedades e apresentadas as operações acompanhadas de suas técnicas, por meio de um discurso tecnológico que justifica as etapas e permite articular este conhecimento com noções desenvolvidas anteriormente. Para o estudo de equações do 1º grau, o autor relaciona sua solução à noção intuitiva de número real introduzida no primeiro capítulo, discutindo as diferentes 134

147 técnicas que podem ser utilizadas para determinar o conjunto solução de equações fracionárias, literais e inequações do 1º grau com uma incógnita. O exemplo abaixo para as inequações mostra a articulação entre as noções introduzidas anteriormente e o discurso utilizado pelo autor para justificar os procedimentos com base nas propriedades e leis estudadas anteriormente. Fonte: SCIPIONE, 1982, p.91 Finalizando, o autor introduz a noção de sistemas de equações do 1 o grau com duas incógnitas, apresentando o método da determinação de dois pontos par cada equação, o método gráfico e o método do escalonamento de Gauss, denominado resolução algébrica, para a sua solução dos sistemas propostos. Essa abordagem exige a articulação entre os quadros algébrico e geométrico e propicia a solução de problemas que envolvem equações do 1 o grau com duas incógnitas. Os extratos apresentados a seguir mostram a presença do discurso tecnológico utilizado pelo autor, para justificar cada passo dessa abordagem. 135

148 Fonte: SCIPIONE,1982, p. 108 Fonte: SCIPIONE, 1982, p.109 No final do livro, são introduzidas as noções de geometria articuladas às noções anteriormente apresentadas, mostrando a importância das equações na resolução das situações geométricas propostas. A apresentação dos conteúdos neste livro didático está coerente com a proposta inicial do autor, permitindo articular diferentes quadros da própria Matemática para 136

149 desenvolver e justificar as técnicas necessárias ao trabalho matemático que será desenvolvido nas séries subseqüentes. Fonte: SCIPIONE, 1982, p.118 Fonte: SCIPIONE, 1982, p A parte do professor e do aluno nas tarefas apresentadas Conforme as tarefas da grade de análise, o topos do professor e o topos do estudante foram examinados por meio da tabela abaixo: 137

150 Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidades % Tarefas Quantidades % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Total Na década de 80, observa-se que o autor privilegia as tarefas do tipo 1, em que a noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas funciona como ferramenta matemática para facilitar a resolução, mas é importante observar que essa tarefa pode ser resolvida sem esse recurso. Quanto às tarefas do tipo 2: situação matemática numérica transformada em um contexto cotidiano e do tipo 3: Situação matemática algébrica transformada em um contexto cotidiano, que exigem níveis de conhecimentos diferentes, pois a primeira pode ser trabalhada apenas sob o ponto de vista das tentativas enquanto que a segunda exige pontos de vista de equações lineares e sistemas de equações lineares, permitindo que o professor mostre a importância desses dois últimos pontos de vista, pois em conjunto elas representam 36% do trabalho suposto como do professor e 43% da parte considerada como a ser trabalhada pelos estudantes. Antes de propor tarefas do tipo 4, o autor apresenta as técnicas de resolução de sistemas, por meio de dois exemplos. Quanto à tarefa 5 é apresentado um exemplo para justificar a passagem do quadro algébrico para o quadro geométrico e mostrar a importância de se trabalhar esta passagem quando deseja dar um significado matemático para as noções de equações e sistemas de equações Observa-se que o autor é coerente, pois exige dos estudantes o que supõe que tenha sido desenvolvido pelo professor, isto é, contempla a proposta de análise em que os exemplos são considerados como a parte do professor e as tarefas propostas como a parte dos estudantes. Certamente essa classificação é utilizada como recurso para encaminhar o trabalho de pesquisa. 138

151 Verifica-se ainda, que o autor não trata as tarefas de tipo 6 cuja dificuldade maior está associada à sua interpretação e aos conhecimentos prévios dos estudantes. 139

152 4.16 A ANÁLISE DA OBRA DE SCIPIONE DI PIERRO NETTO, O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Matemática na Escola Renovada 3º volume. Primeiras idéias sobre números reais introduzir - Os números racionais e a reta numerada. Operações algébricas fundamentais Introduzir - Os polinômios, adição e subtração; - Valor numérico dos polinômios; - Multiplicação e divisão de polinômios; - Fatoração algébrica; - Frações algébricas. Equações e Sistemas de Equações - Inequações Introdução aos conjuntos Definir Definir - Equações racionais fracionárias redutíveis ao 1º grau; - Equações literais do 1º grau; - Sistemas de duas equações redutíveis ao 1º grau em x e y; - Problemas redutíveis ao 1º grau; - Sistemas de inequações. - Noção intuitiva de conjuntos, operações e relações. Os entes fundamentais da Geometria Triângulos, paralelismo, quadriláteros. Introduzir Enunciar e demonstrar - O ponto, a reta, o plano; - Os subconjuntos do plano. - Regiões convexas e côncavas; - Congruência de triângulos; - Ângulos formados por retas coplanares e uma transversal; - O postulado de Euclides; - Paralelogramos e trapézios. Lugares geométricos e circunferência Enunciar e demonstrar - Lugares geométricos planos; - Retas concorrentes nos triângulos; - Primeiras definições, propriedade das cordas; - Posições relativas de uma reta e uma circunferência e de duas circunferências; - medidas dos ângulos de uma circunferência ou círculo. 140

153 4.17 Comentários e análise O livro Matemática na Escola Renovada, de Scipione Di Pierro Netto, para o curso ginasial (atual Ensino Fundamental II), datado de 1971, é dividido em duas partes consideradas, pelo autor, como fundamentais para a série a que se destina, a saber: os elementos do cálculo algébrico até as equações e os sistemas do 1º grau e a geometria elementar desde os entes fundamentais até o estudo da circunferência. O autor faz algumas considerações sobre as notações para reta: AB, semireta: AB, para segmento: AB e para indicar medida do segmento:ab, dando uniformidade à notação geométrica e considerando, implicitamente, a noção de vetor por meio das representações apresentadas. Esclarece ainda que a seriação dos exercícios pretende estabelecer uma ordem crescente de conhecimento e de dificuldades. No capítulo 1, o autor introduz os quantificadores universal e existencial por meio de exemplos da vida e utiliza as representações de conjuntos, suas propriedades, operações e relações. Em seguida, utilizando a reta numérica, o autor retoma a noção de números racionais para introduzir os números irracionais, demonstra as propriedades desses números por meio da articulação entre os ostensivos de representação, isto é, representação em língua natural, representação lógica (quantificadores) e representação algébrica, relacionadas às propriedades dos números racionais como mostra o exemplo abaixo. Fonte: SCIPIONE, 1971, p.5 141

154 Verifica-se que, nesta obra, o autor utiliza um discurso bastante diferente dos anteriores, pois se trata da época da Matemática Moderna em que a proposta era desenvolver os conhecimentos matemáticos articulando com a lógica e a teoria de conjuntos. No capítulo 2, o autor introduz a noção de polinômios segundo a mesma lógica dos livros atuais, isto é, definição de monômios, polinômios e expressões algébricas, valor numérico e operações. A abordagem de produtos notáveis é feita, inicialmente, com o auxílio do quadro algébrico. A seguir, utilizando um esquema (ostensivo), o autor estabelece a relação entre quadro algébrico e quadro geométrico, justificando cada etapa por meio de um discurso tecnológico. Fonte: SCIPIONE, 1971,p

155 Fonte: SCIPIONE, 1971, p.56 Fonte: SCIPIONE, 1971, p

156 Fonte: SCIPIONE, 1971, p.58 No capítulo 3, são introduzidas as noções relativas a equações fracionárias e equações literais redutíveis a uma equação do 1º grau. São também discutidos métodos de solução dessas equações, por meio de um discurso tecnológico que justifica as noções e técnicas empregadas e analisa os resultados obtidos, como é possível observar no texto que segue. Fonte: SCIPIONE, 1971, p

157 Nesse mesmo capítulo o autor introduz a noção de sistemas de duas equações redutíveis ao primeiro grau em x e y. Partindo de duas equações, o autor mostra que existem infinitos pares ordenados (x,y) que satisfazem às duas equações ao mesmo tempo, isto é, utilizando um ostensivo diferente do ostensivo tabela considerado nesse trabalho, ele introduz a noção de sistema de duas equações lineares e duas incógnitas por meio do ponto de vista das tentativas como mostra a texto abaixo. Fonte: SCIPIONE, 1971, p.87 Fonte: SCIPIONE, 1971,p

158 Uma vez introduzida a noção de sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, o autor apresenta os métodos de resolução desses sistemas utilizando um discurso tecnológico que justifica as estratégias utilizadas nessa resolução. Fonte: SCIPIONE, 1971, p.88 Fonte: SCIPIONE, 1971, p.89 Fonte: SCIPIONE, 1971, p

159 Para estudar as possibilidades de solução dos sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas, o autor permanece apenas no quadro algébrico, e por meio de um discurso tecnológico justifica a existência de sistemas indeterminados e impossíveis, dando recursos para o professor e para os estudantes para justificar o estudo algébrico desses sistemas como é possível observar no texto que segue. Fonte: SCIPIONE, 1971, p.93 As situações matemáticas e cotidianas são tratadas como problemas redutíveis ao 1º grau e para esse caso, o autor mostra que pela interpretação do enunciado, é possível planejar (armar), resolver (executar) o problema e verificar (controlar) o resultado encontrado como mostra o excerto a seguir. Fonte: SCIPIONE, 1971, p

160 Verifica-se, no texto apresentado acima, que o autor utiliza um discurso escrito que justifica suas escolhas e permite controlar o resultado encontrado. Essa característica não se encontra nos textos do mesmo autor analisados anteriormente. Em seguida, o autor introduz a noção de sistemas de inequações, passando ao capítulo 4, trata da noção de conjuntos, propriedades, operações e relações. No capítulo 5, o autor introduz o quadro geométrico e após considerar as noções de ponto, reta, plano, ângulos e suas propriedades ele considera os subconjuntos das retas e dos planos articulando a noção de conjunto com essas noções de geometria. Na seqüência o autor introduz as noções de triângulo, polígonos, quadriláteros, lugares geométricos, circunferência e círculo e suas propriedades A parte do professor e do aluno nas tarefas apresentadas Considerando a grade de análise e as tarefas indicadas no capítulo 3, relacionase abaixo cada tipo de tarefa com o número delas encontrado no livro didático da década de 70. Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidades % Tarefas Quantidades % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Total Verifica-se que as tarefas do tipo 1, 4 e 6 são privilegiadas pelo autor e que a tarefa do tipo 5 não é tratada neste livro. Existe uma coerência entre o trabalho suposto do professor e o proposto para o estudante. Tanto no desenvolvimento das técnicas de solução de sistemas como para as possíveis aplicações e situações matemáticas, das outras ciências e do cotidiano. 148

161 4.19 A ANÁLISE DA OBRA DE OSVALDO SANGIORGI 1966 O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Matemática Curso Moderno 3º volume. Números reais introduzir - Os números racionais, irracionais, reais; - Reta real; - Operações no conjunto IR; - Adição e multiplicação, estrutura de corpo. - Potenciação e radiciação. Cálculo algébrico Cálculo algébrico Cálculo algébrico Cálculo algébrico Primeira parte Segunda parte Terceira parte Quarta parte - Expressões literais, operações em IR; - Expressões equivalentes, uso do quantificador; - Termos semelhantes, expressões literais; - Cálculo com termos semelhantes, reduções; - Técnica para o cálculo algébrico;. - Técnicas usuais na multiplicação, produtos notáveis; - Técnica de fatorações e expressões. - Equações, inequações e sistemas do primeiro grau; - Equações e inequações com uma variável, redutíveis ao primeiro grau; - Sistemas de duas equações simultâneas; - Elemento moderno dos polinômios; - Conceito de polinômio e variável, igualdade de polinômios e operações com polinômios. - Os conjuntos. Estudo das figuras geométricas Definir e construir - Objetivo da geometria; -Figuras geométricas planas, curva fechada simples; - Relações e operações com conjuntos de pontos no plano; - Semi-reta, segmento de reta, semiplano; - Medida de segmentos, segmentos congruentes; - Conceito de ângulo, medidas de ângulos; - Ângulos complementares, ângulos suplementares - Ângulos formados por duas retas coplanares e uma transversal. - Ângulos formados por retas coplanares e uma transversal; - O postulado de Euclides; - Paralelogramos e trapézios. Estudo dos polígonos e da circunferência Definir -Conceito de polígonos, diagonais; -Estudo dos triângulos; -Construção lógica da geometria, postulados e teoremas da geometria; -Quadriláteros, Paralelogramos, Trapézio e teoremas fundamentais; -Circunferência, circulo, posição relativa da reta e circunferência. 149

162 4.20 Comentários e análise Na obra Matemática Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi, 1966, destinada à 3ª série do ginásio (atual 7ª série do Ensino Fundamental II), o autor inicia descrevendo as três etapas a cumprir: Fonte: SANGIORGI, 1966, p.xv Aborda a noção de números reais, considerando a representação decimal dos racionais e introduzindo os irracionais. Mostra a diferença entre eles, para concluir que a união de todos esses números constitui o conjunto dos números reais, passando assim para o estudo das operações sobre esses números e suas propriedades. Em seguida, considera a representação de um número real na reta numérica e, articulando os quadros algébrico e geométrico, representa um número irracional sobre a reta numérica, como mostra o texto abaixo. Fonte: SANGIORGI,1966, p

163 No capítulo 2, o autor introduz o cálculo literal, isto é, o trabalho com as letras e as leis que regem esse trabalho, explorando, em seguida, as possibilidades de aplicação do cálculo literal no quadro geométrico, com mostra a tarefa abaixo. Fonte: SANGIORGI, 1966, p.51 Ainda neste capítulo o autor apresenta a estrutura algébrica de corpo dos números reais, mas da forma como é enunciado parece mais um lembrete dirigido ao professor e ao estudante que deseja se aprofundar, pois não interfere diretamente no trabalho proposto. Fonte: SANGIORGI, 1966, p.54 Para apresentar as técnicas utilizadas no cálculo algébrico, em especial, em operações com polinômios, o autor utiliza um novo ostensivo esquema (figura com 151

164 bolinhas) indicando como dispor os elementos após a operação. Um exemplo da multiplicação de polinômios é apresentado na figura abaixo. Fonte: SANGIORGI, 1966, p.58 Em seguida, introduzindo os produtos notáveis o autor articula os quadros algébrico, geométrico e numérico, utilizando um discurso tecnológico para justificar o trabalho efetuado e mostra também a importância dessa noção para o cálculo mental. Fonte: SANGIORGI, 1966, p.66 Após desenvolver noções relativas à fatoração de expressões algébricas, cuja abordagem inclui a proposta de uma seqüência de exercícios de fixação, o autor introduz equações e inequações, com uma variável, redutíveis ao primeiro grau. 152

165 Na seqüência, o autor introduz os sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas, bem como as técnicas de solução desses sistemas.. Para desenvolver um discurso tecnológico adequado, que justifique essas técnicas, o autor necessita de uma linguagem matemática que envolva noções como par ordenado, variável, coeficientes, membro de uma equação ou inequação. Fonte: SANGIORGI, 1966, p.85 O autor introduz também o que ele denomina de sistemas de três equações simultâneas do primeiro grau com três incógnitas e utiliza a técnica da substituição para a sua solução. As noções de polinômios, operações e propriedades são discutidas, com o objetivo de mostrar que o conjunto dos números reais é um anel comutativo o que permite analisar outros conjuntos conhecidos dos estudantes que têm a mesma estrutura. Fonte: SANGIORGI, 1966, p

166 Finalmente, passa-se ao estudo das figuras geométricas, introduzindo as noções de ponto, reta e plano e suas propriedades, por meio de abordagem que o autor denomina construção lógica da Geometria, que lhe dá recursos para utilizar o ostensivo organograma representado abaixo. Fonte: SANGIORGI, 1966, p.251 Para completar esse trabalho, o autor propõe um apêndice que trata dos grupos de transformações planas, para as quais são apresentadas as estruturas correspondentes, pela articulação do quadro geométrico com o algébrico, mostrando que o conjunto das translações no plano, munido da operação de adição tem uma estrutura de grupo comutativo ou abeliano, assim como o conjunto das rotações no plano em torno de um ponto, munido da operação de adição de rotações no plano tem essa mesma estrutura e, dessa forma, concluindo que essas duas transformações pertencem ao grupo de transformações geométricas planas. 154

167 Fonte: SANGIORGI, 1966, p.305 Fonte: SANGIORGI, 1966, p A parte do professor e do aluno nas tarefas apresentadas Verifica-se que o autor trabalha apenas com tarefas do tipo 4 dando ênfase às técnicas de resolução de sistemas de equações lineares. Esta escolha é coerente, pois na época considerada, a proposta era trabalhar apenas as questões matemáticas de forma a desenvolver as ferramentas necessárias para aplicações futuras. Sendo assim, as tarefas que exigem a aplicação de outras noções matemáticas, em contextos do cotidiano ou retirados de outras áreas do conhecimento são deixadas a cargo dos estudantes ou dos professores de outras disciplinas que necessitam dessa ferramenta. 155

168 Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidades % Tarefas Quantidades % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total 8 1 Total 36 1 Dessa forma, o autor propõe apenas tarefas para fixação dos métodos de solução dos sistemas de equações lineares considerados. 156

169 4.22 A ANÁLISE DA OBRA DE SINÉSIO DE FARIAS, ANO O organograma abaixo apresenta uma visão geral da obra Curso de Álgebra, programas de admissão à Escola Militar e à Escola de Aeronáutica. Idéias Gerais Definir Definir Identidade e Equação Classificar Sistema de equações Classificar Classificação das equações Transformar Classificação dos sistemas Transformação das equações Transformar Transformações dos sistemas Resolver Equação linear a uma incógnita Ax =B Resolver Sistemas lineares Generalizar Condições de solução dos sistemas de n+p, equações a n incógnitas. Introduzir Resolver - Método de substituição (2x2; 3x3; 4x3) generalizar para n equações e 3 incógnitas. - Método da comparação (2x2; 3x3; 4x3; generalizar) para n equações e 3 incógnitas. - Método da adição (2x2; 3x3; 4x4, generalizar para n equações) n incógnitas. - Método de Bezout ou dos multiplicadores (2x2; 3x3; 4x4, generalizar para n equações e n incógnitas). - Método de Gergogne (2x2; 3x3; 4x4 generalizar para n equações e n incógnitas). - Reflexão para aplicação dos métodos. - Método de Cramer (2x2; 3x3 generalizar para n equações e 2 incógnitas). 157

170 4.23 Comentários e análise O livro Curso de Álgebra, de Sinésio de Farias, 1959, foi escrito de acordo com os programas de admissão à escola militar e à escola da aeronáutica. A obra foi lançada em 1946 e sua 9ª edição, analisada nesta pesquisa, data de O objetivo central do autor era apresentar uma obra que servisse de guia para professores e estudantes. O autor inicia com a noção de números qualificados 35 e distingue números aritméticos ou absolutos 36 utilizando exemplos como, altitude, tempo, temperatura, posição de um ponto sobre uma reta, descrevendo-os por meio do ostensivo representação em língua natural para justificar o emprego do sinal negativo que representa o sentido oposto. O autor introduz as operações e propriedades dos números inteiros relativos sempre justificando, por meio de um discurso tecnológico as técnicas utilizadas. Essa abordagem é complementada por noções sobre os números complexos, apresentando definições para esses números e suas propriedades, seguidas de séries extensas de exercícios de aplicação. Na seqüência, o autor introduz notações algébricas definindo como sendo o conjunto dos sinais empregados na álgebra e, por meio de um discurso tecnológico, considera sinais de quantidade, ou seja, quantidades conhecidas e desconhecidas ou incógnitas, que se dividem em constantes e variáveis. Além disso, o autor tem o cuidado de especificar as letras que serão utilizadas para representá-las, deixando clara a função de cada letra, como representante de uma constante ou variável, levando em conta a questão dos índices que permitem representar várias quantidades. 35 Número qualificado é um número aritmético precedido do sinal + ou do sinal -. Assim, 7, 5 3, e 5, são números aritméticos; + 7, +, + 2, + 5, -7, -, e - 5, são números qualificados (De Farias, 1959, p.29). 36 Valor absoluto de um número qualificado é o valor que ele possui independentemente do sinal. Assim o valor absoluto de + 5 é 5 e o valor absoluto de - 6 é 6 (De Farias, 1959, p.30). 158

171 exemplo. O mesmo discurso é utilizado para o sinal das operações, como mostra o Fonte: DE FARIAS, 1959, p.54 Em seguida, são introduzidos os sinais das relações de igualdade, desigualdade, congruência e o que ele denomina sinais auxiliares que são parênteses, colchetes e chaves. A partir dessa explicitação das diferentes representações de quantidade, operações e relações, o autor introduz as expressões algébricas que são classificadas em algébricas e transcendentes, racionais e irracionais, inteiras e fracionárias e expressões com mais de uma variável. São introduzidos os monômios e polinômios, em que cada elemento é explicitado por um discurso que justifica sua representação. O discurso empregado para justificar a representação permite que o autor defina as variáveis livres ou independentes e as variáveis dependentes, introduzindo a noção de função. Nesse momento, o autor faz apelo a um discurso que justifica as diferentes representações em função dos não ostensivos em jogo, como mostra o texto abaixo: Fonte: DE FARIAS, 1959, p

172 Fonte: DE FARIAS, 1959, p.68 No capítulo sobre produtos notáveis observa-se que o autor introduz a noção de potência e suas propriedades, e a partir desses conhecimentos faz a introdução das potências de monômios, produto de polinômios, produtos notáveis e fatoração. Nesses casos, o autor introduz a técnica e a justifica por meio de um discurso, que na realidade é a leitura do resultado obtido após a multiplicação. O mesmo raciocínio e a mesma justificativa são utilizados para a divisão. Em ambos os casos, o autor descreve os procedimentos da técnica empregada, estudando caso a caso. O estudo das potências e raízes permite introduzir as frações irracionais e as técnicas de cálculo com estas frações. Após o desenvolvimento das técnicas de cálculo com os polinômios são introduzidas as equações e inequações do primeiro grau. Os sistemas de equações lineares são definidos por meio de um discurso tecnológico fundamentado em noções previamente trabalhadas, como mostra o texto abaixo. 160

173 Fonte: DE FARIAS, 1959, p 326 Na seqüência, é apresentado um método de resolução de equações lineares com uma incógnita (Ax = B) - o método da eliminação para sistemas lineares - em que as equações são representadas por uma forma linear que necessita de um discurso tecnológico que justifique a articulação entre a noção de equações e formas lineares e a passagem do conceito genérico de um sistema de n equações e n incógnitas para o caso particular de 4 equações e 4 incógnitas e 3 equações e 3 incógnitas, como mostra o texto abaixo. Fonte: DE FARIAS, 1959, p

174 Fonte: DE FARIAS, 1959, p.352 Fonte: DE FARIAS, 1959, p

175 Outros métodos são apresentados, por meio de casos particulares e com sistemas de duas ou mais equações e duas ou mais incógnitas como o método da substituição, método da adição, método de Bezout, método de Gergogne. No final, o autor faz um discurso que orienta professor e estudante na escolha do método mais adequado como mostra o texto abaixo. Observações sobre os métodos. Os métodos mais simples são o de substituição e o de adição, principalmente o de adição, quando o sistema é literal. Quando há incógnita com coeficiente unidade, é vantajosa a aplicação do método de substituição. Quando os coeficientes da incógnita a eliminar são iguais, impõe-se o método de adição. Quando há incógnita com todos os coeficientes iguais à unidade, o emprego do método de comparação torna-se fácil, porém muito mais cômodo se torna a aplicação do método de adição. Nos sistemas de equações incompletas, o método de substituição é muito vantajoso, porque torna mais simples e isenta de dúvidas a fase da resolução propriamente dita. O método de Bezout é muito cômodo em alguns casos, principalmente quando o número de equações é grande e basta obter o valor de uma das incógnitas, sendo os outros deduzidos por analogia. O hábito de cálculo e a sagacidade do operador, permitem escolher, em cada caso particular, o método de eliminação mais vantajoso. O gosto do operador também influi na escolha do método. Na eliminação sucessiva das incógnitas, pode-se empregar mais de um método, segundo as vantagens peculiares a cada um. A escolha depende da natureza dos sistemas que vão surgindo durante a eliminação. Por questão de uniformidade, que é importante, aconselho sempre a aplicar o mesmo método na eliminação de todas as incógnitas (De Farias, 1959, p.376,377). São propostos ainda sistemas gerais e o método de Cramer, com discussão das possibilidades de solução. 163

176 Fonte: DE FARIAS, 1959, p.382 Fonte: DE FARIAS, 1959, p

177 Fonte: DE FARIAS, 1959, p.384 Fonte: DE FARIAS, 1959, p.385 Para finalizar a introdução de noções de sistemas lineares são considerados os sistemas de n+p equações e n incógnitas com suas possibilidades de solução discutidas por meio de um discurso tecnológico sobre as tecnologias possíveis que representam uma teoria sobre essas técnicas. É importante observar que se trata de um livro específico, em que são trabalhados vários métodos para a solução de sistemas mxn e todas as possibilidades de solução desses sistemas. Nesse caso a noção de sistemas de equações lineares é considerada apenas no quadro algébrico sem levar 165

178 em conta as possíveis articulações com outros quadros ou com outras noções matemáticas. Fonte: DE FARIAS, 1959, p.403 Fonte: DE FARIAS, 1959, p.404 Em seguida, o autor introduz a noção de desigualdade do primeiro grau, equações do segundo grau com uma incógnita, trinômio do segundo grau, equações biquadradas, sistemas do segundo grau, equações irracionais, equações recíprocas, equações binômias, equações trinômias, e as idéias gerais sobre problemas do primeiro e segundo graus, análise combinatória, permutações simples, arranjos simples, combinações simples, permutações com repetições, arranjos com repetições, combinações com repetições, binômio de Newton, potenciação dos polinômios, raiz quadrada dos polinômios, determinantes, frações contínuas, progressões aritméticas, progressões geométricas, conceito aritmético de logarítmo, conceitos algébricos e 166