MÉTODOS PARA RETOQUE DIGITAL DE IMAGENS UTILIZANDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

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1 RESUMO MÉTODOS PARA RETOQUE DIGITAL DE IMAGENS UTILIZANDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Antônio Gonçalves Silva Júnior Graduando do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Católica de Brasília Orientador: Prof. Dr. José Eduardo Castilho Modificar uma imagem de forma imperceptível é uma atividade tão antiga quanto a própria arte e existem várias aplicações para tal atividade, desde a restauração de pinturas e fotografias danificadas até a remoção ou substituição de detalhes pré-selecionados. Neste contexto, o termo Retoque Digital é usado para procedimentos de automatização do trabalho do artesão na restauração de imagens. Neste trabalho serão apresentados dois métodos de processamento de imagens que reproduzem o processo manual de recuperação das mesmas. A primeira abordagem se baseia em uma metáfora física: a evolução do calor em uma região. Em seguida, será desenvolvida uma técnica descrita por Bertalmio et al (2000), fundamentada nas idéias principais dos restauradores profissionais. Ambos os métodos utilizam procedimentos numéricos para solução de equações diferenciais parciais. São apresentados exemplos da aplicação dos métodos. Palavras-chave: retoque digital, repintura, equações diferenciais parciais, interpolação por difusão de calor, método BSCB. 1. INTRODUÇÃO O processo de modificação de uma imagem de maneira indetectável é uma prática tão antiga quanto a própria criação artística. Esta prática é denominada retocagem ou repintura e seu objetivo é reconstituir partes perdidas ou danificadas de um trabalho da maneira mais legível possível, sem que o mesmo perca a sua unicidade. Por ser um trabalho minucioso, esta tarefa foi feita durante muito tempo de forma manual, por artistas profissionais. Nos últimos anos, com o uso de imagens digitais, tornou possível a automatização desse processo, que acabou também ganhando mais aplicações, como remover ou substituir objetos pré-selecionados inconvenientes à imagem. Essa automatização recebe o nome de Retoque Digital e tem como meta obter a harmonização de uma imagem, utilizando a visão humana como referencial para avaliar em satisfatório ou não esse resultado final. O termo em inglês Digital Inpainting foi introduzido inicialmente por Bertalmio et al (2000), onde foi introduzido um método para retocar uma imagem baseado na aplicação de Equações Diferenciais Parciais (EDPs). O uso de EDPs em Processamento de Imagens tem sido um importante objeto de pesquisa nos últimos anos. O conceito se baseia em modificar uma imagem com uma EDP para se conseguir um resultado desejado, como a solução dessa EDP. Neste trabalho são apresentadas duas técnicas de retoque digital de imagens: uma utilizando uma interpolação por difusão de calor, onde o conceito básico é a difusão da informação buscando um equilíbrio e o método introduzido por Bertalmio et al (2000), baseado em uma intuição do transporte suave de informações ao longo de linhas com mesmo nível de cinza.

2 2. IMAGENS DIGITAIS Uma imagem pode ser matematicamente interpretada como uma função com e, onde em cada ponto (x, y) tem-se a representação da intensidade de luz e cor I(x, y), isto é a graduação de tons de vermelho, verde e azul que compõem a cor. A imagem digital é a representação discreta I d da função imagem, onde são considerados dois fatores: a discretização do domínio e a discretização do contra domínio. No caso das imagens coloridas, cada elemento do conjunto é representado por uma terna (R, G, B), em que cada entrada representa uma componente da cor (vermelho, verde e azul). Para as imagens monocromáticas, cada elemento de é representado por um valor de graduação de cinza que a imagem assume no ponto (x, y), cujos valores variam de 0 a 255. Neste trabalho serão consideradas apenas imagens monocromáticas. Os algoritmos aqui apresentados podem ser adaptados, de uma forma simples, para as imagens coloridas. Basta considerar a aplicação do algoritmo em cada componente da cor de forma individualizada. A representação computacional de uma imagem é feita por intermédio de uma matriz, cujos índices de linhas e colunas identificam um ponto (x, y) dessa imagem (Ver Figura 1). Nessa representação, a imagem está associada a uma matriz A de ordem m x n, onde cada elemento da matriz representa o valor da função imagem no ponto de coordenada do seu contra domínio, ou seja, o valor de cada pixel (elemento básico da imagem, CARMO, 2004). Figura 1: Representação de uma Imagem Digital. Fonte: Carmo (2004). 3. EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS

3 Esta seção apresenta um dos principais conceitos referentes à discretização de equações diferenciais parciais, a discretização por diferenças finitas. A solução de uma EDP em uma região R implica a obtenção dos valores para a variável dependente em cada ponto de R. Computacionalmente, somente pode-se lidar com uma região contínua se for determinada uma fórmula analítica para a solução do problema. O computador pode, então, ser utilizado para calcular a solução em qualquer ponto desejado da região. No caso de soluções numéricas, a solução é construída num conjunto de pontos que pertencem à região R. Para isto, o domínio é discretizado, isto é, divide-se o domínio em pontos onde somente neles é que as soluções serão obtidas. Ao conjunto desses pontos discretos dá-se o nome de malha (FORTUNA, 2000). As aproximações de diferenças finitas têm como base a expansão em série de Taylor de uma função f. Supondo que f seja contínua no intervalo de interesse e que possua derivadas até ordem N contínuas nesse intervalo, a série de Taylor permite escrever, para todo ponto, em que x = x x 0 e R N é o resto, definido como. Expandindo f(x i + x) em série de Taylor em torno do ponto x i, tem-se (3.1) em que... indica os termos restantes da série de Taylor até o resto R N. Isolando a primeira derivada, pode-se escrever Para obter, todos os outros termos da série de Taylor foram divididos pelo espaçamento x. A última expressão indica que a primeira derivada é igual ao quociente mais os termos da série de Taylor até R N :

4 Ao conjunto desses termos é dado o nome de erro local de truncamento (ELT). Esse erro aparece devido à utilização de um número finito de termos na série de Taylor. Pode-se simplificar a notação ao escrever f i para f (x i ) ou, em geral, para. Com isso, (3.1) se torna: (3.2) Essa expressão é uma equação de diferenças finitas que representa uma aproximação de primeira ordem para a primeira derivada de f, utilizando diferenças progressivas, porque, no cálculo da derivada no ponto x i, foi utilizado um ponto adiante de x i, no caso, x i + 1. Uma segunda aproximação de diferenças finitas pode ser obtida a partir da expansão de f (x - x) em série de Taylor em torno do ponto x i : Isolando a primeira derivada, temos: (3.3) (3.4) que é outra aproximação de primeira ordem para a primeira derivada de f. Diferentemente de (3.2), na qual utiliza-se um ponto adiante de x i, a expressão (3.4) utiliza o ponto x i - 1, ponto que se situa atrás de x i. Por isso, diz-se que (3.4) é uma aproximação por diferenças atrasadas. Pode-se obter uma aproximação de para a primeira derivada de f, manipulando convenientemente as expansões em série de Taylor, combinando as equações (3.1) e (3.3) de forma a eliminar a segunda derivada de f. Sendo assim ou seja (3.5) (3.6) Note-se que a aproximação dada pela expressão (3.5) utiliza os pontos x i-1 e x i+1 para o cálculo da primeira derivada de f no ponto central, intermediário, x i. Por essa razão, ela é denominada aproximação por diferenças centrais. Seguindo o mesmo processo de construção, obtêm-se as aproximações para as seguintes derivadas:

5 por aproximação de derivadas centrais de 2ª ordem; (3.7) (3.8) por aproximação de derivadas centrais de 3ª ordem. 4. RETOQUE DIGITAL DE IMAGENS A idéia central do retoque de imagens é reconstruir as partes perdidas ou danificadas de um trabalho, sem que a unicidade da imagem original seja perdida. Essa reconstrução foi feita durante muito tempo por artistas profissionais, sempre utilizando técnicas manuais. Com o advento das imagens digitais, foi necessária uma automatização desse processo. Além de restaurar imagens defeituosas, essa automatização também tem a finalidade de remover ou substituir objetos indesejáveis na imagem. Essa automatização tem sido usada com freqüência nos últimos anos e recebeu o nome de Retoque Digital. A imagem apresenta elementos que são restritos ao conceito de imagem digital utilizados neste trabalho, a saber: Pixel: O pixel (abreviatura de picture element ) é o elemento básico da imagem, que no contexto da representação da imagem digital é cada elemento da matriz (SILVA, 2005). Vizinhança de um Pixel: Um pixel p qualquer de uma imagem possui pixels vizinhos. Na situação em que este pixel está na posição (x, y) e não se encontre na borda da imagem, estes vizinhos serão em número de oito (vizinhança oito). Pode-se considerar também a vizinhança quatro, que contém somente os verticais e horizontais, cujas coordenadas são: (x + 1, y), (x 1, y), (x, y - 1) e (x, y + 1) (SILVA, 2005). Domínio de Retoque ou Região de Repintura: É um subconjunto do domínio da função imagem no qual a imagem deve ser retocada. Essa região de repintura deve ser definida pelo usuário, para depois o algoritmo de retoque preencher a área escolhida (CARMO, 2004). Borda e Contorno: Borda é o conjunto dos pixels de Ω, onde a vizinhança 8- conectada contenha pelo menos um pixel fora da mesma. Contorno é o conjunto composto pelos pixels que fazem parte do complementar do domínio de retoque, cuja vizinhança 8-conectada contenha pelo menos um pixel dentro da região Ω (CARMO, 2004). A região de repintura Ω tem como borda o conjunto dos pixels cuja vizinhança oito contenha ao menos um pixel fora da mesma. Já o contorno da região de repintura é o conjunto dos pixels cuja vizinhança oito contenha ao menos um pixel dentro da mesma. Máscara: É uma imagem auxiliar que servirá de parâmetro para que o algoritmo a ser usado no retoque digital reconheça a área do domínio de retoque. A máscara deve ter as mesmas dimensões da imagem original, de maneira que os pixels que não pertencem ao

6 domínio de retoque tenham o mesmo valor nas três componentes de cores (R, G, B) e os pixels pertencentes ao domínio tenham uma das suas coordenadas diferente das demais (CARMO, 2004). Uma representação das definições acima pode ser vista na figura abaixo: Figura 2: Borda e Contorno. Fonte: CARMO (2004). A finalidade principal do Retoque Digital é aplicar modificações e correções a uma imagem, obtendo como produto final uma imagem harmoniosa. As aplicações do Retoque Digital são (CARMO, 2004): Restauração de Filmes: o propósito aqui é obter a informação necessária para a restauração em uma seqüência de imagens vizinhas ao frame (quadro) onde está contida a região de repintura. Nessa técnica, a região de repintura pode ter qualquer tamanho e qualquer forma, desde que sua posição esteja detectada e que ela não se estenda por vários frames. Trabalhos em Síntese de Textura: a idéia aqui é realizar a repintura da região pela síntese da textura de outra região selecionada. Encontramos problemas nos casos onde a região da imagem a ser processada tem varias estruturas, por consumir tempo excessivo e demandar parâmetros não triviais para seleção de textura. Desopilação de Objetos: desopilação é a capacidade do olho humano de prolongar as arestas de um objeto parcialmente encoberto por outro. A idéia aqui é usar a técnica para imagens simples, com poucos objetos em cenas com constantes níveis de cinza. Essa é a área de pesquisa que mais se aproxima do tema deste trabalho, pois basta pensar na região de repintura como sendo um objeto a ser retirado da imagem. Seja uma imagem com domínio de retoque Ω, e, a borda dessa região. Prolongam-se as linhas isocromáticas (linhas com igual nível de cinza) que chegam ao contorno da região Ω

7 para a sua borda, observando o ângulo que estas linhas chegam à borda δω do domínio de retoque. Feito isso, a borda é repintada, e já se pode estender estas informações para a região Ω. Desta maneira, a informação coletada em é implicitamente carregada cada vez mais para o centro da região Ω. Este processo de levar para o domínio de retoque é chamado de transporte de informação. O algoritmo do retoque digital deve construir uma família de imagens, tais que I (i, j, 0) é a imagem a ser retocada, ou seja, I (i, j, 0) = I (i, j). A imagem restaurada I R (i, j) é dada pelo limite. Suponha que a imagem é processada até o tempo t, e seja o comprimento de passo na variável temporal t. Para cada iteração t, a imagem de entrada é dada por I (i, j, t), e a imagem de saída, por I (i, j, t +1). O modelo matemático pode ser reescrito como. Simplificando a notação, obtém-se: (4.1) onde o índice superior n denota o tempo de repintura, (i, j) são as coordenadas do pixel, é a taxa de atualização e é a atualização da imagem no tempo n. Com isso, a equação (4.1) é uma versão atualizada da imagem, dada pela atualização. Quando n tende ao infinito, obtém-se a imagem restaurada. A atualização pode ser definida de duas maneiras distintas, ambas dadas por equações diferenciais parciais: Interpolação por Difusão de Calor: Neste método, é feita uma simulação da evolução térmica em uma placa de metal, resolvendo uma discretização da equação de Laplace. Ao atingir o equilíbrio térmico, a temperatura nos pixels corresponde a sua cor. Método BSCB: Motivado pelas idéias básicas dos restauradores (manuais) profissionais, esse método recebe este nome em referência aos autores do artigo de Bertalmio et al (2000). O método consiste em resolver duas equações diferenciais parciais para obtenção de uma imagem refinada, uma equação de transporte e uma de difusão. 5. INTERPOLAÇÃO POR DIFUSÃO DE CALOR (IDC) O método utilizado neste trabalho para realizar a atualização da imagem é baseado em uma metáfora física, inspirada em difusão de calor: uma imagem I é vista como uma placa de metal onde qualquer pixel (x, y) não pertencente ao domínio de repintura se encontra inicialmente aquecido e sua temperatura não sofrerá alterações com o passar do tempo. Essa temperatura será representada pela sua cor I (x, y). No domínio de repintura, que será o restante da imagem, a temperatura é iniciada em 0º (CARMO, 2004). Conforme o tempo aumenta, a região Ω vai se aquecendo até que a imagem atinja o equilíbrio térmico. Neste momento, o algoritmo pára e a temperatura em cada pixel (x, y) da imagem corresponde à sua cor. A evolução térmica em uma região bidimensional é descrita pela Equação de Laplace

8 (5.1) Adaptando a equação acima para uma imagem, (5.1) é reescrita da seguinte maneira (5.2) onde os subíndices representam as derivadas parciais. A discretização da equação de Laplace consegue simular a evolução térmica. Após substituir as discretizações das derivadas que aparecem nas EDPs, vistas na seção 3 na equação (5.2), obtém-se (5.3) Para obter uma maior influência dos pixels que estão mais próximos ao contorno do domínio de retoque, é feita uma modificação nos coeficientes da equação (5.3), obtendo o operador Laplaciano heurístico Os valores de c i, j foram definidos da seguinte forma: para cada pixel (k, l) da vizinhança 4-conectada do pixel tem-se (CARMO, 2004) Por último, faz-se. A atualização do algoritmo no tempo de repintura n será dada por Além disso, toma-se. Com isso, a equação (4.1) se torna (5.4) O método irá propagar a informação da fronteira da região para o seu interior de maneira suave, para que no equilíbrio térmico, onde I n + 1 = I n, ou seja,, um pixel que esteja na região de repintura seja uma média dos pixels de sua vizinhança 4- conectada, portanto

9 5.1. Algoritmo IDC. O método de retoque digital baseado em IDC pode ser implementado de maneira simples. O seguinte pseudo-código descreve o método (CARMO, 2004) Pseudo-código 1: Equação do Calor Interpolação (I) faça enquanto O critério de parada pode fazer com que o algoritmo convirja de forma lenta. Uma solução é realizar uma alteração nesse critério de parada, de modo que o resultado se aproxime bastante do esperado, e que também faça com que o algoritmo termine em um tempo razoável. Essa mudança pode ser suficiente se em vez de se exigir o equilíbrio térmico, mudar o critério de parada para algo muito próximo disto, como por exemplo,, onde é um valor pré-fixado. Com isso, o pseudo-código será escrito dessa forma Pseudo-código 2: Equação do Calor Interpolação (I) faça enquanto Quanto menor for o valor para, maior será o tempo de execuçao do algoritmo. Em compensação, os resultados encontrados estarão se aproximando bastante do esperado, ou seja, o equilíbrio térmico está próximo de ser alcançado. Se a região de repintura possuir dimensões consideráveis, uma observação interessante para conseguir acelerar o algoritmo é a de que os pixels no domínio de repintura têm temperatura inicial igual a 0º, não importa qual a posição ocupada na região. Com isso, muita energia é gasta quando se esquentam esses pixels até eles atingirem uma temperatura análoga à da fronteira da região. Esse processo faz com que os pixels atinjam rapidamente o equilíbrio térmico, logo, se a simulação for iniciada próxima ao equilíbrio térmico, a convergência se torna mais rápida.

10 O algoritmo baseado na Equação do Calor suaviza as informações de forma natural. Porém, não importam quem são os coeficientes definidos para o Laplaciano heurístico, as informações das arestas não são interpretadas pelo método da maneira esperada. Com isso, a IDC pode ser visualmente insuficiente para algumas imagens. 6. MÉTODO BSCB No contexto de Retoque Digital de imagens, temos como pioneiro o trabalho realizado por Bertalmío, Caselles, Sapiro e Ballester, que se baseia em uma intuição de transporte suave ao longo das linhas de mesmo nível de cinza (linhas isocromáticas), utilizando um modelo baseado em uma equação diferencial de terceira ordem. Os autores se inspiraram na metodologia utilizada pelos restauradores profissionais, onde a estrutura da área adjacente ao domínio de retoque Ω é continuada até a brecha e as linhas de contorno em Ω são prolongadas até chegar ao contorno do domínio de retoque. Em seguida, as diferentes regiões dentro de Ω, definidas pelas linhas de contorno, são preenchidas com cor, a partir das informações de. Por fim, os pequenos detalhes são pintados. O método propaga a informação de fora para dentro do domínio Ω de modo que determine corretamente a direção da propagação das linhas isocromáticas, ou seja, mantendo o ângulo de chegada dessas linhas à borda do domínio de repintura, além de evitar que as linhas se interceptem. Como sugerido pelas regras manuais de retoque, para realizar o prolongamento das linhas isocromáticas, os autores consideraram L(i, j) a medida de suavização e a direção de propagação, e com o intuito de calcular a taxa de variação da medida de suavização ao longo de, obtiveram a seguinte equação: (6.1) onde é a variação da informação, ou seja,. Tanto a informação da imagem como a direção de propagação são variáveis estimadas ao longo do tempo, pois caso contrário, implicaria em saber a informação em toda a região ou a direção das linhas de contorno, e nas duas situações seriam equivalentes a termos a região repintada. O algoritmo converge quando I n+ 1 (i, j) = I n (i, j), e as equações (5.4) e (6.1) implicam que se deve ter (6.2) A equação acima expressa o fato de que a informação foi propagada na direção. O estimador foi definido como o Laplaciano da imagem de modo que se obtenha uma medida de suavização. Para definir a direção de propagação, uma possibilidade seria definir a direção como sendo a normal a cada pixel do domínio de retoque. Mas esta não é uma escolha adequada, pois as linhas de nível se curvam no sentido de se alinharem à normal. Com isso, concluiu-se que

11 a melhor escolha para é a direção das linhas isocromáticas e, usando uma estimativa do campo de direções dessas linhas de nível, para qualquer ponto (i, j) dado, o vetor gradiente discretizado indica a direção da maior mudança espacial, enquanto a sua rotação de 90º indica a direção da menor mudança espacial, ou seja, este campo de vetores aproxima melhor a direção das linhas de contorno. Como o Laplaciano da imagem será aplicado apenas no domínio de retoque, pode-se defini-lo segundo a equação Intercalado a esse processo de transporte de informação, é feito um processo de difusão não linear, que vai determinar uma evolução correta para o campo direcional (BERTALMIO et al, 2000). Essa difusão evita que as linhas de contorno se interceptem e é muito importante que ela seja executada, pois, caso contrário, o transporte pode levar à não convergência do processo iterativo, dependendo da imagem I (i, j) a ser restaurada. O método de difusão a ser utilizado é dado pela discretização da seguinte equação de difusão não linear (6.3) onde é uma dilatação de Ω por uma bola de raio, κ é a curvatura euclidiana das linhas isocromáticas de I, e é uma função suave em tal que em, e em Ω. Essa definição de é uma forma discreta de impor condições de fronteira de Dirichlet para a equação (6.3) Algoritmo BSCB. Para poder iniciar o processo de intercalar o transporte de informações e a difusão não linear no domínio de repintura, a imagem passará por um pré-processamento, onde inicialmente a imagem é submetida a uma suave difusão não linear, para, em seguida, sofrer um rápido préprocessamento de repintura. O intuito da difusão não linear nesse processo é diminuir a presença de ruídos no contorno da região de repintura, além de influenciar na estimativa da direção das linhas isocromáticas que chegam à borda de Ω, enquanto que a segunda etapa realiza um rápido pré-processamento no domínio de retoque, baseado no seguinte pseudo-código (que é uma boa aproximação para a restauração da imagem) (CARMO, 2004): Pseudo-código 3: Método BSCB retoque_digital (I, I M ) T := total de iterações r := total de passos de transporte de informações

12 M = gera_máscara_métrica (I M ) I = difusão_não_linear (I) // em toda a imagem I = Interpolação (I) k = 0 faça para n = 1,..., r I = repintura (I, M) I = difusão_não_linear (I, M) // somente no domínio de retoque k = k + r enquanto k < T Após passar por estas duas etapas, a imagem passa pelo processo de repintura, onde os pixels que estão no domínio de retoque serão atualizados, utilizando a implementação discreta das equações de transporte e difusão. De acordo com o pseudo-código, depois de r iterações, são aplicados à imagem alguns passos d de difusão não linear até que seja obtido um nível estável. Este processo é repetido até que se alcance o número T de iterações. Seja a imagem atualizada no tempo de repintura n. A equação (4.1) descreve a repintura da imagem, e quando chega no processo de transporte de informações, é usada a equação (6.1). Desenvolvendo (6.1), obtém-se (as coordenadas do pixel serão omitidas por simplicidade) Logo, quando o algoritmo trabalha dentro do domínio de retoque Ω, tem-se que. Se o algoritmo for utilizado em uma área fora do domínio de retoque,. Além disso, é necessário realizar junto com esse transporte de informações uma difusão não linear, que será dada pela equação. Tomando e as funções e

13 tem-se o seguinte modelo de difusão não linear:. Desenvolvendo o modelo de difusão acima, é obtida a equação de difusão não linear, que será aplicada em toda a imagem no pré-processamento Ao invés de se exigir a convergência I n + 1 = I n do modelo matemático, o algoritmo fornece um número t pré-estabelecido de iterações, que irá estabelecer melhor o número de passos em cada um dos processos (transporte e difusão) (CARMO, 2004). 7. EXEMPLOS Os exemplos aqui apresentados, foram obtidos da implementação feita por Carmo (2004). O primeiro caso é uma recuperação de uma foto danificada que foi digitalizada (Figura 3-(a)). A região de retoque é definida por uma máscara demarcada em vermelho (Figura 3-(b)). Na Figura 3-(c), tem-se a imagem restaurada pelo processo de IDC. (a)

14 (b) (c) Figura 3: (a) Imagem original; (b) Região de Retoque (máscara); (c); Imagem restaurada por IDC. Fonte: Carmo (2004). Apesar de não ser perceptível, a imagem restaurada apresenta pequenos erros. Isto se deve ao fato de que o processo não considera o ângulo das linhas isocromáticas que chegam à região de retoque. Este efeito pode ser significativo, quando a região de retoque é fina. No exemplo apresentado na Figura 4, os erros são mais perceptíveis.

15 (a) (b) (c) Figura 4: (a) Imagem original; (b) Região de Retoque (máscara); (c) Imagem restaurada por IDC Fonte: Carmo (2000). Na Figura 5, tem-se a imagem restaurada pelo processo BSCB. Neste caso observa-se um melhor resultado que obtido pelo procedimento IDC. Isto se deve ao fato de que este método considera o ângulo das linhas isocromáticas que chegam à região de retoque.

16 Figura 5: Imagem restaurada por BSCB Fonte: Carmo (2000). 8. CONCLUSÃO Os procedimentos aqui apresentados mostram a relação entre os procedimentos de resolução de EDPs e o processamento de imagens. O procedimento de Interpolação por Difusão de Calor apresenta uma implementação simples, mas que depende de valores que foram determinados de forma heurística. Nada garante que os valores usados em um exemplo, sejam ótimos para outro exemplo. O procedimento BSCB apresenta melhores resultados, porém o seu algoritmo apresenta mais passos que o método IDC. Isto significa um maior custo computacional. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BERTALMIO, Marcelo; SAPIRO, Guillermo; CASELLES, Vicent; BALLESTER, Coloma. Image Inpainting. Computer Graphics (SIGGRAPH), pages , CARMO, Fabiano Petronetto do. Retoque Digital. Rio de Janeiro, fls. Dissertação (Mestrado em Matemática) Instituto de Matemática Pura e Aplicada. FORTUNA, Armando de Oliveira. Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: Conceitos Básicos e Aplicações. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, SILVA, André Luiz Ortiz da. Modelos Matemáticos Para o Retoque Digital de Imagens. São José do Rio Preto, Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada) Universidade Estadual Paulista. Antônio Gonçalves Silva Júnior (destroyerrf@gmail.com) Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília EPCT QS 07 Lote 01 Águas Claras Taguatinga CEP: