UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS INSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO COPPEAD

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS INSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO COPPEAD INCORPORAÇÃO DO FATOR VEGA NA ESTIMATIVA DO VALOR EM RISCO DE INVESTIMENTOS EM OPÇÕES Jairo Andreis Lorenzatto Dissertação de Mestrado Orientador: Eduardo Facó Lemgruber COPPEAD/UFRJ Rio de Janeiro 2003

2 INCORPORAÇÃO DO FATOR VEGA NA ESTIMATIVA DO VALOR EM RISCO DE INVESTIMENTOS EM OPÇÕES Jairo Andreis Lorenzatto Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto de Pós-graduação em Administração COPPEAD, da Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Administração. Aprovada por: Eduardo Facó Lemgruber - Orientador COPPEAD UFRJ Celso Funcia Lemme COPPEAD - UFRJ Octávio Bessada BANCO CENTRAL Rio de Janeiro 2003

3 1.1.1 Lorenzatto, Jairo Andreis Incorporação do Fator Vega na Estimativa do Valor em Risco de Investimentos em Opções. / Jairo Andreis Lorenzatto. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, xiii, 66p. il. Dissertação Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPEAD. 1. Finanças. 2. Valor-em-risco (VaR). 3. Opções 4. Vega 5. Tese (Mestrado UFRJ/COPPEAD). I. Título.

4 iii Para minha mãe, Helena.

5 iv AGRADECIMENTOS Ao meu orientador, Prof. Eduardo Facó Lemgruber, pelo profissionalismo e interesse no trabalho e pela orientação sempre objetiva. Ao meu colega, amigo e pesquisador, Leonardo Brazão de Andrade, pelas dicas nos momentos difíceis e pelas estimulantes discussões técnicas e metodológicas. À minha mãe, Helena Andreis Lorenzatto, pelo incansável espírito motivador na conclusão deste desafio acadêmico.

6 v RESUMO LORENZATTO, Jairo Andreis. Incorporação do Fator Vega na Estimativa do Valor em Risco de Investimentos em Opções. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, Diss. Os métodos tradicionais de estimação do Valor no Risco (sendo o RiskMetrics o mais conhecido) são instrumentos de grande utilização na medição do risco de carteiras de investimentos em derivativos. Entretanto, sabe-se que estes métodos tendem a subestimar o risco real envolvido devido a não consideração de importantes fatores de risco tais como a flutuação da estimativa da volatilidade. Para o caso específico de investimentos em opções do mercado brasileiro, este trabalho propõe modelos de VaR que incorporam o Fator de Risco Vega, ou seja, a influência da variação da volatilidade implícita no preço das opções, sendo que suas estimativas são comparadas às obtidas pela metodologia analítica Delta-Gama proposta pelo RiskMetrics. A amostra é composta de séries de preços de fechamento de opções de Telebrás que abrangem os períodos de crise da Rússia e crise cambial brasileira, entre 16/03/98 e 10/08/99. Os resultados obtidos foram coerentes com a literatura, proporcionando estimativas de VaR mais precisas para os modelos que incorporam o Vega. Destacam-se os resultados obtidos para as opções at the money ( no dinheiro ), para as pouco maduras (com prazo para vencimento mais longo), além das opções negociadas no período de maior turbulência no mercado, ou seja, de maior flutuação da volatilidade implícita.

7 vi ABSTRACT LORENZATTO, Jairo Andreis. Incorporação do Fator Vega na Estimativa do Valor em Risco de Investimentos em Opções. Adviser: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, Diss. Traditional Value-at-Risk estimation methods (mainly RiskMetrics ), are instruments widely used to calculate the derivatives investment portfolios aggregate risk. However, there is still a tendency do underestimate the real involved risk due to lack of consideration of important risk factors, such as the volatility estimate variation. For the case of options investments in Brazilian market, this study presents VaR models that incorporate the Vega Risk Factor, or the influence of the implicit volatility variation in the options prices, and compares its estimates with the RiskMetrics Delta- Gamma analytical methodology ones. The sample is composed of Telebrás options contracts closing prices that took place during Russian crisis and Brazilian currency crisis, within 16/03/98 e 10/08/99. The results were coherent with previous studies, providing more precise VaR estimates with Vega incorporation models. Best results were obtained for at-the-money options and for less mature options, besides the options negotiated within the more turbulent period, which is the one that contained greater implicit volatility fluctuations.

8 vii ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Valor da Opção em função da volatilidade implícita (Malz, 1999) Figura 2: Comportamento do Vega de opção de câmbio futuro (Malz, 1999) Figura 3 Volatilidade Histórica com média móvel de 21 dias, histórica com alisamento exponencial (EWMA) e implícita do modelo de Black-Scholes (1973), para a ação preferencial de Telebrás de 13/08/1998 a 17/06/ Figura 4: Smiles de Volatilidade de Opções do Índice FTSE (Tompkins, 1994) Figura 5: Estrutura a termo da volatilidade para opções do Índice FTSE. (Tompkins, 1994) Figura 6: Estrutura a termo para de Opções de Câmbio de US Dólar/ Marco Alemão (Tompkins, 1994)... 33

9 viii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1: Matriz de Volatilidade para Opções no índice FTSE (Tompkins, 1994) Tabela 2: Séries de opções de compra de Telebrás selecionadas. Total de 21 séries com 10 valores de preço de exercício, no período de 13/08/98 a 17/06/99. A coluna Opção informa o valor em reais do preço de exercício e utiliza um índice numérico para diferenciá-las. A Coluna Amostra aponta o número de observações consecutivas da série Tabela 3: Enumeração dos modelos testados: modelo Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM, Modelos Delta-Gama Riskmetrics adicionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e EWMA e Modelo Delta- Gama Vega completo por simulação com vol da vol calculada por média móvel histórica e EWMA Tabela 4: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás. Período de 13/08/98 a 17/06/99. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção Tabela 5: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics

10 ix adicionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das 21 séries opções de compra de Telebrás. Período de 13/08/98 a 17/06/99. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção Tabela 6: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás agrupadas conforme a sua proximidade no dinheiro. Período de 13/08/98 a 17/06/99. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção Tabela 7: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás agrupadas conforme a sua maturidade. Período de 13/08/98 a 17/06/99. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção... 51

11 x Tabela 8: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás agrupadas conforme seus subperíodos. Período total de 13/08/98 a 17/06/99, 1 o período de 13/08/98 a 22/10/98, 2 o período de 23/10/98 a 25/02/99 e 3 o período de 26/02/99 a 17/06/99. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção Tabela 9: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás agrupadas conforme seus subperíodos. Período total de 13/08/98 a 22/10/98. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção Tabela 10: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás agrupadas conforme seus subperíodos. Período total de 23/10/98 a 25/02/99. N indica que o número de falhas

12 xi situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção Tabela 11: Teste de Percentual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 95% bicaudal segundo a metodologia de Kupiec (1995) para os modelos (1) Delta-Gama usado pelo RiskMetrics TM,(2) Modelos Delta-Gama Riskmetrics adcionado do efeito do Vega com vol da vol calculada por média móvel histórica e (3) EWMA e Modelos Delta-Gama-Vega completo por simulação com vol da vol calculada por (4) média móvel histórica e (5) EWMA. Utilizam-se volatilidades histórica de 21 dias, EWMA (λ =.94) 21 dias e implícita ponderada pelo número de negócios das opções de compra de Telebrás agrupadas conforme seus subperíodos. Período total 26/02/99 a 17/06/99. N indica que o número de falhas situou-se fora dos limites, e A em caso de aceitação. Para cada rodada de simulação, iterações de recálculo do valor da opção... 55

13 xii SUMÁRIO 1 O Problema Introdução Objetivos Questões a serem respondidas Delimitação do Estudo Relevância do Estudo Revisão Bibliográfica A teoria de opções e derivativos As Gregas Risco de Delta Risco de Gama Risco de Vega Limitações do Modelo de Black & Scholes (B&S) Definição do VaR - Valor em Risco A Suposição da Normalidade para as Séries de Preços Vega para a Medição do VaR de uma Carteira de Opções A Importância da Volatilidade Estimação de Volatilidade A Volatilidade Implícita e seus Padrões Novos modelos de precificação de opções Metodologia Tipo de Pesquisa A incorporação do efeito do fator Vega ao cálculo do VaR Volatilidade Implícita Diária Volatilidade Diária da Volatilidade O VaR Delta Gama Analítico O cálculo do VaR Vega Monte Carlo Modelo Var Delta-Gama Analítico + Vega Monte Carlo Modelo Var Delta-Gama-Vega Monte Carlo...42

14 xiii Simulações com Múltiplas Variáveis Teste de Proporção de Falhas (Kupiec, 1995) Resultados Amostragem e Tratamento de Dados Período Completo Separações por períodos de análise Período Pré-Crise cambial Período Crise cambial Período de estabilidade Conclusões Referências Bibliográficas APÊNDICE ESTIMATIVA DO VAR PELO RISKMETRICS... 65

15 1 1 O Problema 1.1 Introdução De forma a ilustrar o assunto de que trata esta dissertação, descreve-se a seguir um breve caso relatado por Tompkins (1994): Imagine que um indivíduo deseja adquirir um seguro de saúde. Naturalmente, se ele está em perfeito estado de saúde, a apólice será mais barata do que se ele estivesse em péssimo estado de saúde. Por outro lado, se estivesse gravemente doente, os riscos percebidos em relação à manutenção da sua saúde seriam maiores. Entretanto, se ele adquirir um seguro deste tipo quando são e, logo após, receber a notícia que seu estado de saúde na verdade é terminal, poderia então revender a apólice ao seu corretor. Provavelmente receberia por ela mais do que havia pagado inicialmente pois o corretor estaria suficientemente desejoso de se ver livre da obrigação de pagar os custos da sua doença. Se assim acontecer, o indivíduo poderia obter um ganho financeiro devido ao simples fato de que a percepção do risco em relação à sua saúde se modificou. Agora, assumindo que ele revendeu a apólice e que o seu estado, então terminal, era somente um erro de diagnóstico, ele poderia recorrer a um outro corretor e comprar uma nova apólice de seguro de saúde por um preço menor. Dessa forma, foi possível ao indivíduo comprar risco baixo, vender risco alto, comprar risco baixo novamente e ainda fazer dinheiro neste processo, onde o seu estado de saúde, objeto dos contratos negociados, efetivamente não mudou, mas sim a percepção do risco acerca do seu estado de saúde. De forma análoga, este processo correntemente ocorre nos negócios de derivativos (opções) dos mercados de capitais, onde a percepção da volatilidade dos preços do ativo objeto dos contratos, ou seja, o risco do seu investimento, assim como a sua correta

16 2 compreensão, são fundamentais para a condução de estratégias eficientes e vencedoras. Além disso, introduz-se o conceito de que a volatilidade pode ser tratada com um ativo que pode ser negociado e que também possui uma variabilidade inerente nas dinâmicas de mercado. De forma a melhor controlar os riscos agregados às carteiras de investimentos, os investidores passaram a se preocupar em desenvolver técnicas e metodologias que os ajudassem a definir a sua percepção de risco. Atualmente, o método mais aceito e já muito utilizado em todos os mercados do mundo para a determinação dos riscos contidos em investimentos, inclusive o brasileiro, é o método do VaR, ou Value at Risk ou Valor em Risco. Esta metodologia possui utilização muito abrangente mas ainda não resolveu todos os problemas para uma correta e segura avaliação dos riscos contidos em certos tipos de carteiras de investimento. O risco de uma carteira sem opções pode ser adequadamente avaliado através do acompanhamento do comportamento do fator Delta. Entretanto, a presença de opções dentro da carteira adiciona comportamentos não lineares aos movimentos dos preços dos seus componentes, o que passa a demandar uma avaliação mais completa destes movimentos, de modo a melhor assegurar ao gestor o nível de risco presente. Para tanto, podem ser adicionados à análise outros fatores que modelam o comportamento das opções, tais como algumas das chamadas letras gregas : Gama e Vega. A incorporação do Gama deu origem à metodologia Delta-Gama, que confere resultados satisfatórios na previsão dos movimentos dos preços das opções 1. A literatura evoluiu no sentido de solucionar o problema de qual seria a melhor forma de aplicar a metodologia. Duas formas são usualmente sugeridas: uma solução analítica e uma abordagem por simulação. A primeira apresenta vantagem de menor esforço de cálculo, enquanto que a segunda, apesar de apresentar melhores resultados, demanda um custo computacional significativo 2. 1 Ver Jorion (1998). 2 Outra diferença crítica entre os dois métodos diz respeito à quantidade necessária de dados para a sua resolução. Enquanto o método analítico necessita de uma pequena lista de fatores, a simulação requer

17 3 Uma questão que normalmente se levanta é qual é o melhor resultado possível de ser obtido? Um método particularmente atrativo consiste em utilizar não somente a Delta, a primeira das letras gregas (sensibilidades do derivativo em relação a certos parâmetros da avaliação), para a avaliação de lucro ou perda na carteira. Vegas e Gamas são portanto os candidatos mais óbvios para serem incluídos na análise. Entretanto, um dos fatores críticos para a avaliação de opções e, por conseguinte, para a análise do VaR é o comportamento da volatilidade dos preços do ativo. Mais especificamente, é mais relevante o conceito da volatilidade implícita, que é definido como o valor da volatilidade que dá o preço real de mercado das opções dentro de um modelo de avaliação, sendo mais comumente utilizado o modelo de Black&Scholes (1973). A volatilidade implícita é altamente dependente do tipo específico de opção escolhida, seu tempo para vencimento, e o quão próximo do preço de exercício está o valor do ativo objeto 3. Desta forma, para o caso de carteiras que possuam ativos nãolineares, torna-se fundamental uma análise mais completa das implicações das mudanças nas percepções de risco destas opções, ou seja, a sua volatilidade. Isto pode ser feito através da incorporação do chamado fator Vega no VaR. 1.2 Objetivos Este trabalho tem como objetivo testar para o caso brasileiro uma metodologia mais completa do cálculo do Valor em Risco de opções, ao incorporar a influência do fator Vega (variação do preço da opção em função da variação da volatilidade). Dessa forma, investiga-se a hipótese de que este fator possa encerrar grande parte do risco contido na carteira e portanto este risco deveria ser também adequadamente computado. uma quantidade muito maior de dados, de forma a obter o padrão de comportamento necessário para rodar o modelo. 3 Característica cujo conceito se define como proximidade do dinheiro, ou em inglês, at the moneyness.

18 4 Como base comparativa para a metodologia implementada neste trabalho, serão utilizados os resultados do cálculo do VaR pelos métodos analítico e de simulação para a metodologia Delta-Gama. Esta metodologia é atualmente bastante difundida no mercado, pois se acredita captar a maior parte dos riscos envolvidos nas variações dos preços das opções. De forma complementar, será utilizada uma metodologia de incorporação do fator Vega através do método por simulação. Adicionalmente, é premissa do trabalho que os retornos dos ativos considerados seguem uma distribuição lognormal. O período do estudo foi escolhido de tal forma que apresentasse grandes variações no comportamento dos preços dos ativos e, da mesma forma, das suas volatilidades. Este período é aquele que compreende as crises da Rússia e cambial brasileira, que foram consecutivos e apresentaram altas volatilidades no mercado. Complementarmente, será analisado um período de retomada de estabilidade após a crise cambial brasileira 4. A comparação dos resultados das metodologias utilizadas será feita basicamente pelo teste estatístico de Proporção de Falhas (Kupiec, 1995) Ao mesmo tempo, este trabalho também apresenta uma discussão de possíveis outros efeitos no VaR causadores das flutuações da volatilidade ao abordar referências da literatura sobre os efeitos dos smiles de volatilidade e das estruturas a termo da volatilidade. Tais efeitos são comumente referenciados na literatura como sendo os padrões de volatilidade verificados nos resultados das volatilidades implícitas calculadas para opções sobre o mesmo ativo com diferentes preços de exercício e diferentes tempos para o vencimento (maturidades) Questões a serem respondidas O conteúdo desta dissertação deverá ser capaz de responder a algumas questões. A questão principal é: 4 Estes períodos foram os mesmos utilizados por Donangelo et al (2000).

19 5 - O método de análise de VaR que inclui o risco de Vega oferece melhores resultados que os métodos tradicionais? Em decorrência do estudo da questão anterior, existe campo para a discussão de outras questões? - Dentre as metodologias utilizadas (analítica e por simulação), qual a que apresentou resultados estatisticamente mais satisfatórios? - Observando os sub-períodos, houve melhoria na medição do VaR através da incorporação do risco de Vega? - Qual o esforço adicional, tanto a nível computacional quanto de coleta dos dados, para a introdução do risco de Vega no cálculo do VaR? - Existem indícios da existência de outros efeitos, além do Vega, para explicar os resultados obtidos? Quais os possíveis motivos das diferenças obtidas? - Quais as potenciais limitações dos resultados, a luz do novo método? Delimitação do Estudo O assunto em questão trata da influência da volatilidade dos preços dos ativos sobre resultados de estratégias de investimentos. Fator este crucial para a avaliação dos ativos e derivativos financeiros do mercado. Como qualquer outro fator, a volatilidade está sujeita a flutuações e regimes originados pela percepção do mercado em relação ao comportamento dos preços dos ativos. Dessa forma, os métodos de tratamento da volatilidade e sua inclusão nos modelos de avaliação estão em constante desenvolvimento, principalmente na literatura internacional, como extensões do modelo de avaliação de opções de Black, Scholes e Merton. Este estudo busca verificar as influências da volatilidade no resultado do VaR de opções isoladas e não busca contribuir para o desenvolvimento de uma avaliação mais completa e que considere os padrões das variações na volatilidade. A preocupação deste estudo é apenas testar uma metodologia que melhor informe os riscos de grandes perdas e suas conseqüências para os investidores, e não um modelo que permita prever movimentos do mercado e obter ganhos com isso. Não se pretende

20 6 conduzir a discussão para aspectos que implicarão em críticas sobre a formulação de estratégias de qualquer companhia atuante no mercado. Tampouco serão abordados aspectos legais, organizacionais ou culturais. Como forma de observar os fatores que exercem influência na aplicação da técnica de VaR, o estudo está restrito somente a uma observação experimental de algumas séries de ativos do mercado de derivativos brasileiro. Por fim, apesar das diferentes exposições aos riscos financeiros risco de mercado, risco de crédito, liquidez e risco operacional este trabalho focará o estudo do risco de mercado associado a opções isoladas, o que significa a quantificação do valor destas opções decorrente de mudanças nos preços do ativo objeto e da sua volatilidade implícita Relevância do Estudo Este estudo é relevante para investidores e instituições financeiras interessados em conhecer e controlar suas exposições ao risco de mercado de maneira mais eficiente. O desconhecimento do real nível de exposição aos vários tipos de risco pode levar certas instituições menos preparadas a ter resultados pouco satisfatórios diante da ocorrência de evento um pouco comum. Já um conhecimento prévio da probabilidade de ocorrência e da magnitude possível das perdas faria com que estas instituições se preparassem da maneira que fosse mais conveniente. Para este fim, o VaR, ou Value at Risk, metodologia anunciada pelo banco JP Morgan através do lançamento da empresa Riskmetrics TM, tornou-se um padrão de mercado de sucesso, implementada em diferentes e numerosos sistemas usados diariamente por bancos em todo o mundo. Graças ao seu êxito, existe atualmente um consenso sobre quais são os riscos inerentes a diversos tipos de investimentos, sendo a sua utilização aprovada pelo mercado e por reguladores, substituindo antigas noções ambíguas ou estudos de cenários.

21 7 Apesar do conhecimento dos riscos envolvidos, a forma de modelá-los é uma tarefa individual de cada administrador de risco financeiro, o que apresenta um aspecto negativo, pois dá margem para a obtenção de resultados muito diferentes da necessidade de adequação de capital. Instituições com posições semelhantes poderiam ter diferentes necessidades de adequação do seu risco em função do método utilizado para mensuração do VaR. Desta forma, pesquisas nesta área tornaram-se extremamente importantes e necessárias, inclusive para estabilidade dos sistemas financeiros. Entretanto a definição da medida correta não torna o problema completamente resolvido. Isto somente será atingido se houver uma fórmula ou metodologia que seja ao mesmo tempo de fácil utilização e que apresente resultados coerentes com todos os fatores de risco envolvidos. Para o caso de carteira contendo derivativos, o que torna a avaliação mais complexa, depende imensamente dos métodos de avaliação dos preços dos ativos e derivativos, métodos estes que levam em conta diversas considerações e parâmetros. Portanto o propósito deste estudo é baseado na busca e discussão de uma forma de melhor considerar certos aspectos cruciais da avaliação, onde se destacam as variações da volatilidade. Procura-se, desta forma, contribuir para uma melhor consideração dos reais riscos envolvidos em estratégias de investimentos que contenham opções.

22 8 2 Revisão Bibliográfica 2.1 A teoria de opções e derivativos Toda a teoria quantitativa das opções é originária do trabalho seminal de Black e Scholes (1973) e Merton (1973) sobre a precificação do valor das opções financeiras. Smith (1976) promove uma abrangente e esclarecedora revisão sobre muitos aspectos da precificação de opções, além de testes empíricos destes modelos e aplicações destes para avaliar outros ativos contingenciais. A posterior contribuição de Cox, Ross e Rubinstein (1979) possibilitou uma abordagem binomial mais simplificada das opções em tempo discreto. Hull (1997) oferece um texto extremamente aprofundado sobre os mais variados aspectos da avaliação e precificação de opções e derivativos dos mais variados tipos. Também oferece uma descrição comentada da derivação de B&S e dos métodos mais avançados de cálculo de opções. 2.2 As Gregas Risco de Delta O delta é o instrumento mais importante para lidar com mercados de opções. Ele nos diz qual é a sensibilidade do preço da opção em relação a mudanças no valor do ativo subjacente 5. Pode-se tomá-lo também como: 1) uma medida da mudança relativa em relação ao ativo subjacente; 2) a relação linear entre o preço da opção e o preço do ativo subjacente; 3) medida do risco relativo da opção em relação a uma posição comprada no mercado subjacente; e 4) a probabilidade da opção terminar no dinheiro no vencimento (Tompkins, 1994). 5 As derivações matemática do Delta e Gama encontram-se no Apêndice deste trabalho.

23 9 Deltas mostram quantas opções (ou posições) são necessárias para fazer o hedge do risco do preço do mercado subjacente. Finalmente, pode também indicar qual será o lucro ou prejuízo de uma dada opção quando o preço de mercado mudar. Devido ao grande número de opções de compra e de venda disponíveis no mercado, existem infinitos modos de se atingir uma posição hedgeada. Quando o delta total de uma posição de opções for zero, esta posição é normalmente referida como Delta neutra. O problema dos deltas é que eles fornecem informação apenas instantânea, pois eles também mudam conforme ocorrem mudanças do mercado. Assim, para permanecer imune ao risco, uma posição hedgeada em opções deve sofrer contínua revisão Risco de Gama Poucos são os conceitos tão críticos para a gestão de carteiras com opções quanto o conceito de gama. As opções são diferentes das posições em ativos subjacentes pois elas mudam sua exposição de acordo com o preço do ativo subjacente. Em certa faixa, se comportam exatamente como os ativos (tal como quando se encontram no dinheiro ) e em outras faixas, elas não têm exposição alguma (tal como quando se encontram fora do dinheiro ). A sua relação de preços é curva numa forma positiva para o comprador. A quantidade desta relação curva, ou seja, a sua não linearidade, se refere ao gama, e isto é essencialmente o que torna as opções únicas. Por definição, quanto maior o valor de gama, maior vai ser a variação de delta quando o preço do ativo subjacente mudar. Intuitivamente, gama mede conjuntamente o quão próximo o preço de mercado está do preço de exercício da opção e o quão próximo do vencimento está a opção. Quanto mais próximos, maior será o valor de gama. Uma opção muito próxima do vencimento e que esteja fora do dinheiro possui um delta zero. Entretanto, o seu gama é muito alto e uma pequena variação no preço do ativo pode tornar a opção dentro do dinheiro facilmente. Esta é a razão pela qual traders compram opções próximas do vencimento, de modo a levar vantagem sobre o efeito de alavancagem de gama. Quanto mais se move para longe da situação extrema, menor é este efeito de alavancagem e menor é o gama.

24 10 Assim como ocorre com os deltas, as posições de gama podem ser tanto positivas quanto negativas. As posições positivas, como o próprio nome diz, são favoráveis ao seu detentor. Para um aumento no preço do ativo, o delta também aumenta, o que caracteriza uma relação positiva. Se o preço cair, a relação de gama positiva determina que o delta caia também. Então, com um gama positivo, as mudanças na quantidade de delta ocorrem na mesma direção das mudanças no preço do ativo. Todos os compradores de opções se beneficiam de movimentos dos preços do ativo. Desta forma, detentores de opções são comumente chamados de gamas longos. Para os vendedores de opções, o efeito de gama é exatamente o contrário. Estes podem ter maus resultados quando o gama está alto e o preço de mercado se move. Estes são chamados de gamas curtos (Tompkins, 1994). Hyams e Weinberger (1999) examinam as complicações e efeitos do gerenciamento de risco no mundo das opções exóticas. Para tanto eles utilizam diversos argumentos que se relacionam e ilustram bastante bem a importância das gregas para a obtenção dos reais riscos contidos em carteiras com opções Risco de Vega A seguinte expressão mostra a definição básica do conceito de Vega, ou seja, é a variação do valor da opção devido à mudanças na volatilidade implícita dos seus preços, definidos como uma derivada parcial, pois todos os outros fatores se mantêm constantes. Vega = Variação do Valor da Opção Variação da Volatilidade (1) Vega é normalmente medido e referenciado na moeda corrente, enquanto que a volatilidade é medida em taxa anual. Malz (1999) elabora uma metodologia de cálculo do Vega a partir da volatilidade implícita. O autor indica que a volatilidade implícita pode ser considerada como uma medida do nível geral de preços de opções. Como o próprio nome sugere está associada a um determinado modelo de avaliação de opções. Considerando o modelo a que está

25 11 associada, interpreta-se a volatilidade implícita como uma estimativa ajustada ao mercado do desvio padrão dos retornos do ativo durante a vida da opção. Segundo Tompkins (1994), como a volatilidade implícita pode ser usada para medir os preços das opções e é interpretada como a volatilidade futura dos retornos do mercado, o mercado de opções pode ser visto como mercado de referência para a volatilidade dos ativos. Vega é dito como a medida da exposição que a posição tem em relação a mudanças na volatilidade implícita do mercado de opções. Quando se compra opções, existe uma exposição positiva a volatilidade implícita e o vega é positivo. Ao vender opções, existe um benefício em um decréscimo na volatilidade implícita e portanto tem-se um exposição vega negativa. De acordo com a mudança de riscos do mercado, mudam-se os contratos de opções. Então, negociar opções não é nada mais do que negociar risco (ou volatilidade). Desta forma, mede-se o vega para saber qual é a exposição a volatilidade de uma opção (Tompkins, 1994). Então, o risco vega pode ser encarado como o próprio preço de risco da posição em opções e só ocorre em carteiras contendo opções. O trader de opções normalmente opera um hedge delta sobre o valor da carteira, protegendo contra flutuações de curto prazo no preço dos ativos. Sobram os riscos que são únicos às opções: gama e vega. A não linearidade dos retornos das opções em relação ao preço do ativo gera o risco gama. A sensibilidade do valor da opção ao nível geral dos preços das opções gera vega (Malz 1999). Rolfes e Henn (1999) oferecem uma discussão abordando a precificação e usos das opções de volatilidade, sobre um índice de volatilidade, como ferramentas para hedge. Estes tipos de opções podem oferecer exposição somente ao risco de vega sem a exposição ao mercado subjacente e portanto podem ser usadas como instrumento de hedge para o risco de vega de carteiras contendo opções. A compreensão da volatilidade como uma classe distinta de ativos está crescendo rapidamente. Os índices de

26 12 volatilidade foram construídos para dispor ao mercado uma medida padrão da volatilidade e representa uma média da volatilidade implícita. Duarte Jr (2003), ao discutir estratégias de hedge ótimo para o caso de opções exóticas do mercado brasileiro, aponta como fundamentais a consideração dos fatores gama e Vega no hedge de opções brasileiras, onde o ambiente é extremamente volátil. Ilustra também que os níveis médios de volatilidades implícitas no Brasil são substancialmente maiores que no mercado americano, o que aponta a importância da medição do risco de vega no Brasil. Como a volatilidade implícita é definida somente no contexto de um modelo de avaliação, no caso de B & S, a medida de vega (derivada parcial) é a seguinte para uma opção sobre um ativo com dividendos: κ = 2 S t σ ln + r d + τ X 2 dτ τ S φ t e (2) σ τ onde: κ = vega da opção; σ = volatilidade implícita; S t = preço do ativo; X = preço de exercício; τ = tempo para o vencimento; r = taxa de desconto do mercado; d = dividendo; φ = função de densidade padrão normal. Algumas propriedades de vega são ilustradas nas figuras 1 e 2: valor de call ou put aumentam com a volatilidade implícita. vega é sempre positivo. vega tem o seu máximo para opções no dinheiro. os vegas de opções de maior prazo são maiores que as de menores prazos

27 13 Em recente estudo, Galvão (2002), que examina a precificação de Black & Scholes para opções no Brasil pelos modelos de volatilidade implícita e GARCH, aponta uma piora na precificação da opção, evidenciada pelo que se denominou de Efeito Vega. O autor indica que o acompanhamento da volatilidade pode ser mais bem medido pelo Vega das opções. O Vega de Black & Scholes possui, em relação ao tempo, um movimento ascendente no lançamento da call, atinge então um patamar mais elevado, freqüentemente quando esta opção torna-se at-the-money, e depois decai com o tempo, não tendo muita influência em um período muito próximo ao exercício. Tal observação parece pertinente, visto que quanto maior a distância do exercício de uma opção, maior a probabilidade do ativo objeto se situar at-the-money e, por conseguinte, é maior o espectro de variabilidade existente. Figura 1: Valor da Opção em função da volatilidade implícita (Malz, 1999).

28 14 Figura 2: Comportamento do Vega de opção de câmbio futuro (Malz, 1999) Limitações do Modelo de Black & Scholes (B&S) Como o modelo de B&S assume movimento aleatório dos retornos do ativo com volatilidade constante, vega não existe neste modelo e só tem sentido em modelos que considerem a volatilidade aleatória. Deixando de lado esta contradição, pode-se usar a volatilidade implícita de B&S e o vega de B&S para medir este risco. Desta forma, temse somente uma aproximação do verdadeiro modelo que governa a volatilidade. A volatilidade implícita de B&S não é uma correta aproximação da correta volatilidade antecipada, mas apenas uma parâmetro ajustado ao mercado por B&S, que é muito parecido, mas não idêntico, à volatilidade antecipada (Malz 1999). Em mercados reais, a volatilidade implícita de um dado ativo em determinada data não é igual para todos as opções, mas difere para opções com diferentes preços de exercício em diferentes tempos de vencimento. Estes desvios são devidos aos smiles de volatilidade e à estrutura a termo de volatilidade. O smile de volatilidade descreve a forma característica de uma plotagem de volatilidade implícita de opções em dado tempo de exercício contra o delta ou contra os preços de exercício.

29 Definição do VaR - Valor em Risco Nos últimos anos, as instituições financeiras vêm utilizando o Valor no Risco (Value-at- Risk ou VaR) para medir o nível de risco de mercado ao qual um ativo ou uma carteira estão expostos. O VaR é uma medida estatística que pode ser entendida como uma expectativa de perda financeira máxima para um certo período, com um determinado nível de confiança. Dentre os modelos convencionais mais utilizados para o cálculo do VaR podem ser incluídos o Método de Simulação Histórica e de Monte Carlo, e os Métodos Analíticos, sendo o modelo mais conhecido o RiskMetrics desenvolvido pelo banco JP Morgan. Devido a desastres financeiros ocasionais, o Basle Committee on Banking Supervision determinou um acordo em 1988, onde os bancos comerciais deveriam manter um capital mínimo para proteção contra os riscos de mercado. Em 1995, introduziu uma extensão que permitia aos bancos usarem seus próprios modelos de medição de risco. Dentre as iniciativas privadas, o modelo mais popular e utilizado é o RiskMetrics. O RiskMetrics é um conjunto de metodologias para o cálculo do VaR que utiliza séries históricas para a estimação de volatilidades e correlações para vários instrumentos financeiros. Busca-se modelar a distribuição dos retornos passados na tentativa de proporcionar uma previsão para o comportamento futuro dos retornos, assumindo que este comportar-se-á como no passado. Antes de tudo, deve-se definir alguns parâmetros, como o horizonte de tempo em que se deseja estimar o VaR, o nível de significância (a probabilidade de mudança no valor do portfolio ser menor que o VaR) e o montante monetário aplicado. Se for assumido que os retornos passados possuem uma distribuição aproximadamente normal condicional, o VaR pode ser calculado pela abordagem analítica padrão do RiskMetrics chamada de Delta Normal. Caso contrário, em situações onde os retornos não são lineares, a suposição da normalidade condicional não pode mais ser usada. Assim, a abordagem analítica padrão do RiskMetrics não pode ser aplicada e pode-se optar entre 2 outras metodologias bastante utilizadas: a Delta - Gama e Simulação de Monte Carlo.

30 16 A metodologia Delta-Gama funciona analiticamente de forma complementar à Delta- Normal, através da adição de um termo que captura o risco de gama. A metodologia de Monte Carlo é chamada por Jorion (1998) de metodologia de avaliação plena (full valuation) a se caracteriza pela simulação de trajetórias fictícias de valores para todas as variáveis de interesse, a partir de uma prévia especificação de um processo estocástico que modele o comportamento destas variáveis. Desta forma, para cada horizonte avaliado, os valores dos ativos são marcados a mercado através da sua avaliação plena. O VaR pode então ser lido através da distribuição gerada pelas realizações originadas dos sorteios aleatórios definidos pelo processo estocástico escolhido. No entanto, algumas considerações são feitas acerca das corretas utilizações desta poderosa e influente medida nas instituições financeiras que usam modelos de VaR para estimativas de alocação de capital de risco que determinam necessidades de financiamentos e custos de capital para suas unidades. Em relação a escolha do nível de significância utilizado, Mollica (1999) afirma que se o propósito da escolha for a avaliação do sistema de risco, recomenda-se que o nível seja alto, pois, caso contrário, retornos que excedem o VaR seriam eventos raros e, com isso, seria necessária uma base de dados muito grande para obter informações sobre o desempenho. No caso de uma necessidade de determinação de capital, a escolha depende da aversão ao risco do investidor: quanto mais avesso ao risco, menor o nível de significância para que o capital alocado seja maior. Mas se o propósito for a comparação de diferentes sistemas de risco sob a hipótese de normalidade, o nível de significância é irrelevante, porque o VaR pode ser ajustado para outro nível somente com a alteração dos parâmetros utilizados. Entretanto, se não for usada a premissa de normalidade, a escolha do nível de significância passa a ser importante para o cálculo de VaR. Apesar de sua notoriedade no mercado e entre reguladores, Kupiec (1999) afirma que as medidas de VaR podem produzir estimativas enganosas da quantidade de capital necessária para financiar um empreendimento de risco. As medidas de VaR são viesadas pois ignoram os juros que devem ser pagos aos credores. As características deste viés dependem do método utilizado para medir o VaR. Kupiec então fornece sugestões para cálculos de VaR para o longo prazo e algumas correções da metodologia

31 17 de Black, Scholes e Merton. Kupiec (1998) também fornece uma metodologia para parametrização de testes de cenários de stress sob resultados de VaR, fornecendo resultado mais depurados do que os normalmente encontrados pelo testes comumente usados pelas instituições. El-Jahel, Perraudin e Selin (1999) analisam os vieses produzidos pelas análises de VaR que introduzem metodologias delta-gama. Estes adotam fortes premissas sobre o comportamento normal dos retornos das opções e fornecem, ainda, um método mais elaborado para tratar destas questões. Malz (1999) sugere uma metodologia para coletar o efeito das variações de volatilidade sobre carteiras delta-hedgeadas que contenham opções e também discute sobre as influências de outros padrões de comportamento da volatilidade implícita observada em mercados de opções, tais como os smiles de volatilidade e as suas estruturas a termo 6. Duffie e Pan (1997), comparam os métodos de simulação de Monte Carlo e o Delta Gama para o cálculo do VaR em carteiras de opções, verificando que, para um nível de significância de 99%, o cálculo do VaR pelo método de simulação que assumia uma processo estocástico lognormal dos preços apresentou valores maiores que aqueles apresentados pela metodologia Delta Gama. Pritsker (1997), ao estudar várias metodologias diferentes para o cálculo do VaR em carteiras de opções, indica que todos os métodos geraram grandes erros para as opções Out-of-The-Money com curto período de duração, com exceção da simulação de Monte Carlo Completa, que utilizava uma processo estocástico lognormal dos preços. Conclui constatando a superioridade dos métodos de simulação no cálculo do VaR para ativos não lineares. No Brasil, podemos citar diversas contribuições empíricas para a análise dos mais apropriados métodos de estimação do VaR, tais como Donangelo et al (2000), que buscam os melhores estimadores de volatilidades para o cálculo do VaR em ativos 6 As noções a respeito de smiles de volatilidade e estruturas a termo serão ainda aprofundadas neste trabalho.

32 18 lineares e não lineares em períodos de pré-crise, crise e estabilidade. Fazem uso dos estimadores Histórico, EWMA Riskmetrics TM e Volatilidade Implícita, apresentando melhores resultados com o uso desta última para o caso de ativos não lineares. Ramos, Santos e Lemgruber (2002) examinam seis metodologias para o cálculo do VaR sendo três incondicionais: o método histórico, a distribuição generalizada de valores extremos (GEV) e a aproximação normal; e três condicionais 7 : a EWMA normal, que representa a abordagem padrão sugerida pelo RiskMetrics TM, o GARCH com distribuição normal nos resíduos e, finalmente, a aplicação da simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA 8. Dentre o primeiro grupo, encontraram melhores resultados para a metodologia de extremos e no segundo grupo, o método de simulação histórica apresentou melhores resultados. Ramos, Santos e Fortuna (2002), analisam o desempenho de metodologias de cálculo do valor em risco de carteiras lineares e opções, utilizando o teste de razão de verossimilhanças proposto por Kupiec (1995). Quanto aos métodos aplicados às opções de compra, as metodologias Delta e simulação histórica por bootstrap apresentaram desempenho superior ao da metodologia Delta Gama, sobretudo nas opções muito fora do dinheiro. 2.4 A Suposição da Normalidade para as Séries de Preços Diversos trabalhos empíricos criticam a suposição de que as séries de retornos sobre ativos financeiros seguem uma distribuição normal, sendo que esta, na prática, funcionaria apenas como uma rude aproximação, principalmente no caso das opções, que se caracterizam como um instrumento não linear e com caudas pesadas 9. 7 As metodologias condicionais têm esta classificação pois as estimativas dependem de parâmetros prédeterminados para melhor tratamento estatístico da amostra. As incondicionais não sofrem perturbação de parâmetros e traduzem as observações ocorridas no passado. 8 Texto abrangente sobre as metodologias de simulação para o cálculo do VaR pode ser obtido em Jorion (1998). 9 Distribuições normais são ditas como possuidoras de caudas leves, ou seja, consideram menores probabilidades de ocorrência de eventos extremos.

33 19 Uma das mais antigas referências de contestação da suposição da normalidade para os retornos financeiros foi feita por Fama (1965), que afirma que esta é pouco realista, à medida que esta parece tender para caudas mais gordas. Duffie e Pan (1997) apontam que as possíveis causas para a existência das caudas gordas nas séries financeiras são a presença de saltos, representando descontinuidades no comportamento dos preços além da presença de uma volatilidade estocástica. Silva Neto (1999), ao discutir a utilização de vários modelos paramétricos e não paramétricos para o cálculo do VaR no ambiente brasileiro, afirma que assumir uma distribuição normal para alguns mercados altamente voláteis, seria como atribuir uma grande probabilidade para eventos muito raros, em detrimento daqueles que possuem uma grande probabilidade de ocorrência. Lemgruber e Ohanian (1997) testaram a hipótese da normalidade em séries de retornos diários de variáveis do mercado brasileiro, visando verificar a precisão da estimativa de volatilidade no modelo do Riskmetrics TM. Verificaram que as séries apresentavam significativos graus de curtose, o que significaria que eventos extremos ocorriam com uma maior probabilidade do que a indicada pela curva normal. A mesma constatação pode também ser observada no estudo de Hull e White (1998) para teste do VaR pela Metodologia do Riskmetrics TM e por Mollica (1999), em seu extenso trabalho de discussão e verificação da hipótese da normalidade dos retornos para o mercado brasileiro, ao comparar os métodos Delta Normal e simulação histórica na estimação do VaR. Por outro lado, Coronado (2000), ao testar diferentes metodologias de VaR, ressalta que em uma carteira com um grande número de opções independentes, as propriedades da distribuição normal poderiam ser assumidas devido ao teorema do limite central. Esta noção de que a diversificação da carteira torna sua distribuição de probabilidade mais próxima da normal também é compartilhada por Duffie e Pan (1997), que apontam que, neste caso, a importância das caudas gordas seria diminuída. Para atender a hipótese da normalidade das séries de opções, Finger (1997) apresentou um estudo que busca quantas opções seriam necessárias para formar uma carteira diversificada de maneira que sua distribuição seja normal.

34 Vega para a Medição do VaR de uma Carteira de Opções Em seu trabalho, Duarte Jr (2003) aponta que ao construir um hedge de mínima variância, ou seja, incluindo todos as gregas, inclusive o Vega, o VaR da carteira já estará sendo minimizado. Especificamente, para operacionalizar a análise de vega, Malz (1999) sugere um tratamento diferenciado para os valores da volatilidade implícita. Trata-se a volatilidade implícita analogamente à outros fatores de risco do mercado, como ações, taxas de juros em diferentes vencimentos, etc. Esta abordagem, como sugerido pelo Riskmetrics TM, assume que as mudanças proporcionais, ou retornos da volatilidade implícita 10, seguem um movimento aleatório com média zero. As volatilidades implícitas de diferentes ativos são também correlacionadas entre elas e com os demais fatores de risco da carteira. Os níveis de volatilidade implícita também assumem uma distribuição lognormal e as mudanças logarítmicas na volatilidade implícita são normalmente distribuídas com média zero e desvio padrão constante. Para calcular o VaR, é necessário o desvio padrão da volatilidade implícita durante determinado período e expressá-lo como uma taxa de 1 dia, chamada de vol da vol, ou ν vol. O desvio padrão será ν vol x raiz (τ), onde τ é o horizonte do VaR em dias. Se o único risco de mercado da carteira fosse o vega, o seu VaR (95% de confiança) seria: onde κ = vega; VaR(Vega) = Montante x κ x 1,65 x σ x ν vol (3) σ = volatilidade; 10 Apesar da expressão retorno das volatilidades implícitas ser um pouco confusa, a lógica do argumento fica clara ao compararmos com o modelo lognormal de Black & Scholes. Assim como no modelo de Black & Scholes modela-se a taxa de crescimento do preço da ação, isto é, o seu retorno, nesta