Modelização das taxas de rendibilidade nos mercados de capitais Português, Alemão e Norte Americano: as distribuições

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1 Actas do XI Congresso Anual da SPE 1 Modelização das taxas de rendibilidade nos mercados de capitais Português, Alemão e Norte Americano: as distribuições estáveis de Pareto José Dias Curto Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa e UNIDE Elizabeth Reis Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa e UNIDE José Paulo Esperança Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa e UNIDE Resumo: Neste artigo discutimos formas alternativas de modelizar a distribuição empírica das taxas de rendibilidade diárias dos três índices bolsistas: PSI20, DAX e DJIA. Quanto aos resultados obtidos, verificou-se que uma distribuição estável de Pareto não Gaussiana é mais adequada do que as distribuições normal, GED e t-student para modelizar as distribuições não condicionada e condicionada dessas taxas. Concluímos ainda que são necessárias estruturas AR-GARCH para capturar as dependências temporais evidenciadas pelas taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas. Palavras chave: Heteroscedasticidade condicionada, clusters de volatilidade, bondade do ajustamento Abstract: In this paper we discuss alternative unconditional and conditional distributional models for the daily returns of three stock indexes: PSI20, DAX and DJIA. We find that a non Gaussian stable Paretian distribution fits returns better than the more popular normal, GED and Student s t distributions. According to the returns temporal dependencies, the structures AR-GARCH are necessary to model the returns conditional distribution of the three stock indexes. Keywords: Conditional heteroskedasticity, volatility clusters, goodness-of-fit 1 Introdução Ao longo do tempo, e com o desenvolvimento dos mercados financeiros, tem havido uma grande preocupação, por parte de académicos e de investidores, em desenvolver modelos capazes de explicar a evolução dos preços e das taxas de rendibilidade dos activos neles transaccionados. O modelo do passeio aleatório constituiu a primeira tentativa para descrever o comportamento dos preços dos activos financeiros de carácter especulativo, nomeadamente as acções, e foi proposto por Bachelier em 1900, apesar de só ter sido redescoberto cinquenta anos mais tarde. A pouca importância atribuída ao trabalho de Bachelier contribuiu para que o modelo do passeio aleatório tivesse

2 2 Curto, Reis e Esperança/Distribuições estáveis de Pareto sido descoberto de forma independente por Osborne em Em homenagem a estes dois autores, Fama [12] atribuiu a designação Bachelier-Osborne à versão original do modelo. Para a teoria do passeio aleatório, as variações no logaritmo do preço entre transacções sucessivas de uma acção, que constituem as taxas de rendibilidade compostas continuamente, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Uma vez que as variações diárias, semanais e mensais (ou outras variações de frequência mais reduzida) resultam da soma de um grande número de variações sucessivas de maior frequência, pelo Teorema do Limite Central, e se a variância for finita, pode-se admitir que essas variações (e as consequentes taxas de rendibilidade) têm distribuição normal. A normalidade, e tendo em conta a aceitação generalizada do modelo do passeio aleatório, passou a constituir uma das hipóteses mais importantes dos modelos clássicos da Teoria Financeira, nomeadamente a Teoria da Carteira de Markowitz [19], o modelo CAPM (Capital Asset Pricing model) de Sharpe [31], Lintner [15] e Mossin [24] e a fórmula de Black-Scholes [3]. Contudo, depois dos trabalhos de Mandelbrot [18] e Fama [12], chegou-se à conclusão que na maior parte dos estudos realizados as distribuições empíricas das taxas de rendibilidade (pelo menos quando a frequência dos dados é elevada) são leptocúrticas, isto é, apresentam uma maior massa de probabilidade no centro e nas abas (fat tailed) quando comparadas com a distribuição normal. Este facto estilizado contribuiu para o aparecimento de várias alternativas à distribuição normal para modelizar o excesso de curtose das distribuições empíricas dos dados de natureza monetária e financeira. Numa primeira abordagem admitiu-se que as taxas de rendibilidade dos activos financeiros são variáveis aleatórias i.i.d. e que são geradas a partir de uma distribuição leptocúrtica fixa ao longo de todo o período analisado. As distribuições estáveis de Pareto (de que a distribuição normal é um caso particular) com expoente característico (α) inferior a 2 foram as primeiras distribuições utilizadas (Mandelbrot [18] e Fama [12]). Além de leptocúrticas, estas distribuições só têm momentos finitos de ordem inferior a α. Por conseguinte, a variância e por vezes também a média, são infinitas neste tipo de distribuições. Pelo facto de assumirem que as taxas de rendibilidade dos activos financeiros são variáveis aleatórias i.i.d., quando na prática a existência dos chamados clusters de volatilidade 1 evidenciam relações de dependência pelo menos ao nível da variância condicionada, e uma vez que os modelos clássicos da Teoria Financeira assumem que os momentos de segunda ordem são sempre finitos quando nas distribuições estáveis de Pareto estes momentos são sempre infinitos para α < 2, este tipo de distribuições não conseguiu gerar os consensos para serem utilizadas generalizadamente na modelização das taxas de rendibilidade dos activos financeiros. Tendo em conta esta última limitação, a alternativa foi considerar uma dis- 1 A períodos de alta/baixa volatilidade sucedem-se geralmente períodos de volatilidade semelhante (Mandelbrot [18]).

3 Actas do XI Congresso Anual da SPE 3 tribuição leptocúrtica fixa mas com variância e momentos de ordem superior finitos para modelizar a distribuição não condicionada das taxas de rendibilidade dos activos financeiros. A t Student (Blattberg e Gonedes [4]) tem sido uma das distribuições utilizadas com maior frequência. Uma outra alternativa é admitir que as taxas de rendibilidade dos activos financeiros não são necessariamente i.i.d. e que foram geradas a partir de uma distribuição condicionada, provavelmente normal, em que a variância se altera ao longo do tempo (Engle [10] e Bollerslev [5]). Para modelizar a distribuição condicionada, os modelos ARMA (Autoregressive Moving Average) em conjugação com os modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) têm sido bastante utilizados conseguindo descrever com sucesso a dependência evidenciada pela média e pela variância condicionadas das distribuições empíricas. Apesar dos modelos GARCH terem sido desenvolvidos no quadro da distribuição normal, em vários estudos empíricos concluiu-se que a distribuição dos resíduos estandardizados continua a ser leptocúrtica o que significa que os modelos considerados não conseguiram capturar toda a leptocurtose da distribuição empírica. Uma das soluções mais comuns é considerar uma distribuição leptocúrtica em alternativa à distribuição normal para a distribuição condicionada dos erros neste tipo de modelos. Tendo em conta as duas alternativas referidas anteriormente, os objectivos deste trabalho são dois. Primeiro, ensaiar uma distribuição estável de Pareto não Gaussiana para modelizar a distribuição não condicionada das taxas de rendibilidade dos activos financeiros. Segundo, confirmar e modelizar os clusters de volatilidade. Os modelos GARCH têm sido os mais utilizados para descrever este tipo de comportamento e o maior contributo deste trabalho é a utilização de uma distribuição estável de Pareto não Gaussiana para modelizar a distribuição condicionada dos erros. O modelo GARCH estável (stable GARCH) é um dos desenvolvimentos mais recentes e neste trabalho seguimos a metodologia proposta por Mittnik e Paolella [23]. Quanto à estrutura do artigo, nas duas próximas secções procede-se à descrição sumária dos modelos teóricos considerados. Na secção 4 caracteriza-se os dados que constituem o objecto deste estudo e compara-se as várias distribuições teóricas para modelizar a distribuição empírica das taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas. As conclusões são apresentadas na última secção. 2 As distribuições estáveis de Pareto: breve caracterização As distribuições estáveis de Pareto, à excepção da distribuição normal, são distribuições leptocúrticas. A função densidade de probabilidade e a função de distribuição apenas são conhecidas em três casos particulares: Normal, Cauchy e Lévy, constituindo este o maior entrave para a utilização generalizada deste tipo de distribuições.

4 4 Curto, Reis e Esperança/Distribuições estáveis de Pareto Por esta razão, a família das distribuições estáveis de Pareto costuma ser representada pela sua função característica, cuja parametrização mais comum é a seguinte: E ( e itx) exp { iδ t σ t α [ 1 iβ tan πα 2 sign (t)]} se α 1 = exp { iδ t σ t [ 1 + iβ 2 π sign (t) ln t ]} se α = 1 (1) em que α, β, δ e σ são os parâmetros de uma distribuição estável que representamos genericamente por S (α, β, δ, σ). O parâmetro α designa-se por expoente característico (ou índice de estabilidade) da distribuição e pode assumir valores no intervalo 0 < α 2. O valor deste parâmetro determina a massa de probabilidade nas abas da distribuição. Quando α = 2 a distribuição estável de Pareto relevante é a distribuição Normal. Quando α < 2 existe uma maior massa de probabilidade nas abas da distribuição em comparação com a distribuição normal e essa massa é tanto maior quanto menor é o valor de α. A variância e as covariâncias bem como os momentos de ordem superior só existem no caso limite de α = 2. Quando α < 2, estão definidos apenas os momentos absolutos de ordem inferior a α. Para Mandelbrot [18] o valor do expoente característico da distribuição das taxas de rendibilidade de um acção varia geralmente entre 1 e 2 e, por conseguinte, a média da distribuição existe (e é igual a δ) mas a sua variância é infinita. O parâmetro β é um índice de assimetria e pode assumir valores no intervalo 1 β 1. A distribuição é simétrica quando β = 0, é assimétrica positiva quando β > 0 e é assimétrica negativa quando β < 0. O parâmetro δ é o parâmetro de localização e pode assumir valores no intervalo < δ < +. Quando α > 1, δ é o valor esperado ou a média da distribuição. Quando α 1, a média da distribuição não está definida. Neste caso δ deverá ser outro parâmetro (a mediana, por exemplo, quando β = 0) o qual descreve a localização da distribuição. O parâmetro σ define a escala da distribuição e pode assumir valores no intervalo 0 < σ < +. Por exemplo, quando α = 2 (distribuição normal) σ é 1 2 da variância. Quando α < 2 a variância da distribuição é infinita. Neste caso deverá existir um parâmetro finito σ que define a escala da distribuição mas que não é a variância. Por exemplo, quando α = 1 e β = 0 (distribuição de Cauchy), σ é metade do intervalo inter-quartis. 3 O modelo GARCH estável Para modelizar a distribuição condicionada das taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas, pretendemos adoptar modelos ARMA-GARCH. Uma vez que a parametrização dos modelos ARMA e dos modelos GARCH com distribuição normal, GED e t-student já estão bastante divulgadas, descrevemos apenas o modelo GARCH com distribuição estável de Pareto.

5 Actas do XI Congresso Anual da SPE 5 Um processo r t designa-se por stable Paretian GARCH (Mittnik, Paolella e Rachev [21], Panorska, Mittnik e Rachev [26]), ou apenas S α,β GARCH (r, s), se for descrito por: r t = µ t + σ t ɛ t e σ t = α 0 + r α i u t i + i=1 s β j σ t j, (2) em que u t = σ t ɛ t, ɛ t são realizações i.i.d. de uma variável aleatória com distribuição estável de Pareto, admitindo-se por hipótese que o expoente característico é superior a 1 (α > 1); S α,β representa uma distribuição estável de Pareto estandardizada com expoente característico α (0, 2], parâmetro de assimetria β [ 1, 1] e parâmetros de localização e de escala iguais a zero e a um, respectivamente. O processo S α,β GARCH (r, s) definido pelas duas equações anteriores com 1 < α 2 tem uma única solução estacionária em sentido estrito se (Rachev e Mittnik [28]), α i > 0, i = 0,..., r, r 1, β j 0, j = 1,..., s e s 0 e a medida r da persistência na volatilidade, V S = λ α,β α i + s β j 1, em que i=1 j=1 j=1 λ α,β = E ɛ t = 2 ( π Γ 1 1 ) ( ) (1 ) 1 + τ 2 2α 1 α,β cos α a arctan τ α,β e τ α,β = β tan απ 2. Se V s for inferior a 1, isto implica uma equação da volatilidade condicionada em que o impacte dos choques se vai reduzindo ao longo do tempo. Se V S = 1, em analogia com o modelo GARCH original, dizemos que r t é um processo S α,β GARCH (r, s) integrado, que representamos por S α,β IGARCH (r, s), em que o efeito dos choques sobre a volatilidade condicionada não decai ao longo do tempo (Engle e Bollerslev [11]). Na prática o valor estimado para a medida da persistência na volatilidade, ˆV S, tende a aproximar-se do valor 1 para sucessões cronológicas com uma grande volatilidade. Nestes casos o modelo integrado deve fornecer uma descrição razoável para os dados. 4 Modelização das taxas de rendibilidade Os dados que constituem o objecto deste estudo são os valores de fecho diários (não ajustados pelos dividendos) e as taxas de rendibilidade compostas continuamente dos três índices mais representativos dos mercados de capitais português, alemão e norte-americano: PSI20 (Portuguese Stock Index), DAX (Deutscher Aktienindex) e DJIA (Dow Jones Industrial Average), respectivamente, calculadas diariamente no período entre 31 de Dezembro de e 31 de Dezembro de 2001: 2 A data inicial coincide com a criação do índice PSI20 no mercado de capitais português. (3)

6 6 Curto, Reis e Esperança/Distribuições estáveis de Pareto r t = 100 [ln (P t ) ln (P t 1 )], (4) em que P t é o valor de fecho diário de cada índice no período t. Como podemos observar pelos dados da tabela seguinte, as distribuições das taxas de rendibilidade diárias são leptocúrticas e relativamente assimétricas. Os valores dos coeficientes de assimetria e de curtose são ambos estatisticamente diferentes dos valores característicos de uma distribuição normal (0 e 3, respectivamente) e o valor da curtose é superior a 3 o que significa que as distribuições evidenciam um excesso de curtose em relação à distribuição Gaussiana. Os valores do teste de Jarque-Bera apontam também para uma rejeição clara da hipótese da normalidade. Tabela 1: Descrição sumária das taxas de rendibilidade PSI20 DAX DJIA Número de observações Média 0,043 0,053 0,049 Mediana 0,034 0,106 0,066 Máximo 6,941 6,416 4,861 Mínimo -9,590-8,823-7,455 Variância 1,217 1,831 1,012 Desvio-padrão 1,103 1,353 1,006 Assimetria -0,664-0,482-0,532 Curtose 10,621 6,422 8,242 JB a 5.551, , ,53 LB Q(10) b 94,87 15,76 17,33 c ˆρ 1 0,189 d 0,01 0,023 ˆρ 2 0,005-0,041-0,04 ˆρ 3 0,033 0,005-0,018 LB Q 2 (10) e 485,09 835,57 348,51 ARCH(1) LM f 158,67 86,98 73,85 a JB é o valor do teste de Jarque-Bera à normalidade das taxas de rendibilidade; b LB Q(10) é o teste de Ljung-Box para as taxas de rendibilidade; c ˆρ i estimativas para os coeficientes de autocorrelação das taxas de rendibilidade; d Estatisticamente significativo a 1%; e LB Q 2 (10) é o teste de Ljung-Box para o quadrado das taxas de rendibilidade; f LM é o teste do Multiplicador de Lagrange de Engle. Atendendo à aparente inadequação da distribuição normal para modelizar a distribuição não condicionada das taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas, pretendemos comparar a bondade do ajustamento desta distribuição com uma distribuição estável de Pareto não Gaussiana. Para isso vamos recorrer

7 Actas do XI Congresso Anual da SPE 7 ao valor máximo do logaritmo da função de verosimilhança, à distância KD de Kolmogorov (Rachev e Mittnik [28]) e aos critérios AICC 3 e SBC 4 (Mittnik e Paolella [23]) para comparar a aderência das duas distribuições teóricas à distribuição empírica das taxas de rendibilidade: KD = 100 Max x R ˆF (x) F (x) (5) ) 2n (k + 1) AICC = 2 ln L (ˆθ + n k 2 ) SBC = 2 ln L (ˆθ + k ln(n) n em que ˆF (x) é a função de distribuição da amostra, F (x) é a função de distribuição teórica em teste, L(ˆθ) é o valor máximo para o logaritmo da função de verosimilhança, n é o número de observações e k é o número de parâmetros a estimar. As medidas comparativas da bondade do ajustamento apresentadas na tabela seguinte favorecem claramente a distribuição estável de Pareto não Gaussiana. (6) (7) Tabela 2: Bondade do ajustamento das distribuições não condicionadas KD Índices Normal Estável Normal Estável PSI , ,86 8,38 1,90 DAX , ,70 4,10 1,69 DJIA , ,83 5,44 1,78 AICC SBC PSI , , , ,73 DAX 7.884, , , ,41 DJIA 6.463, , , ,67 L a a L é o valor máximo para o logaritmo da função de verosimilhança. Atendendo à dependência evidenciada nos testes de Ljung-Box (tabela 1) aplicado às taxas de rendibilidade (PSI20) e ao quadrado das taxas de rendibilidade (PSI20, DAX e DJIA) e ao valor do teste do Multiplicador de Lagrange (PSI20, DAX e DJIA), importa também modelizar a distribuição condicionada das taxas de rendibilidade e comparar a bondade do ajustamento com os resultados obtidos para as distribuições não condicionadas. 3 O critério AICC é uma correcção ao enviesamento do Akaike Information Criterion (AIC) (Akaike [1]) proposta por Hurvich e Tsai [13], citado por Brockwell e Davis [9]. 4 Schwarz Bayesian Criterion (Schwarz [30]).

8 8 Curto, Reis e Esperança/Distribuições estáveis de Pareto Para modelizar a distribuição condicionada, e atendendo às funções de autocorrelação e de autocorrelação parcial das taxas de rendibilidade (não apresentadas no artigo), e ao resultado de Bollerslev, Chou e Kroner [7]) de que um modelo GARCH(1,1) é em geral suficiente para descrever a dependência na volatilidade evidenciada pelas taxas de rendibilidade de uma grande variedade de activos financeiros, decidimos estimar um modelo AR(1)-GARCH(1,1) para o índice PSI20 e um modelo GARCH(1,1) para os restantes índices, admitindo que nestes casos a média é constante 5. Tabela 3: Estimativas para as distribuições condicionadas: GARCH(1,1) DISTRIB. β 0 β 1 α 0 α 1 δ 1 Sk a As V Normal 0,033 0,221 0,012 0,195 0, ,015 DP 0,018 0,021 0,003 0,011 0,009 t-student 0,033 0,214 0,011 0,194 0,822 6,037 1,017 PSI20 DP 0,014 0,021 0,003 0,021 0,016 0,742 GED 0,027 0,211 0,012 0,195 0,819 1,340 1,014 DP 0,013 0,021 0,004 0,019 0,015 0,046 Estável 0,031 0,216 0,015 0,115 0,841 1,855-0,092 0,981 DP 0,021 0,019 0,003 0,008 0,012 0,022 0,098 0,004 Normal 0,073 0,029 0,092 0, ,986 DP 0,023 0,005 0,010 0,011 t-student 0,087 0,016 0,078 0,915 9,637 0,994 DAX DP 0,022 0,006 0,012 0,013 1,592 GED 0,087 0,022 0,086 0,904 1,569 0,990 DP 0,022 0,006 0,012 0,014 0,058 Estável 0,068 0,020 0,059 0,906 1,898-0,426 0,976 DP 0,021 0,003 0,008 0,012 0,022 0,098 0,003 Normal 0,070 0,012 0,090 0, ,993 DP 0,017 0,002 0,007 0,008 t-student 0,079 0,008 0,065 0,93 6,857 0,994 DJIA DP 0,016 0,003 0,010 0,011 0,878 GED 0,074 0,009 0,075 0,918 1,398 0,993 DP 0,016 0,003 0,011 0,012 0,049 Estável 0,060 0,006 0,050 0,933 1,923-0,952 0,991 DP 0,002 0,001 0,001 0,002 0,009 0,006 0,010 a DP: desvios-padrão, Sk: achatamento (nas distribuições t e GED são os graus de liberdade), As: Assimetria e V: medida da persistência na volatilidade. Da informação que consta da tabela anterior 6 podemos concluir que todos os coeficientes são estatisticamente significativos e que todos os modelos estimados 5 Como não existe expressão analítica para a função densidade de probabilidade de uma distribuição estável de Pareto, o método da máxima verosimilhança é neste caso uma aproximação, uma vez que a função densidade é aproximada a partir da função característica e através da transformação rápida de Fourier. 6 O modelo GARCH com distribuição estável de Pareto foi estimado pelo Prof. Marc Paolella, uma das referências actuais neste tipo de distribuição, ao qual agradecemos a sua disponibilidade e amabilidade.

9 Actas do XI Congresso Anual da SPE 9 têm valores para a medida da persistência na volatilidade muito próximos de 1, independentemente da distribuição teórica considerada. Isto significa que são processos muito próximos de apresentarem uma raíz unitária. Por esta razão deveria ser estimado um modelo IGARCH para as taxas de rendibilidade de cada índice. Contudo, tal como referem Mittnik e Paolella [23], quando o valor da medida de persistência está próxima de 1, as estimativas para os parâmetros e as medidas da bondade do ajustamento diferem pouco entre os modelos com e sem a restrição α 1 + β 1 = 1, razão pela qual não apresentamos os resultados da estimação do modelo IGARCH(1,1). As medidas da bondade do ajustamento para os modelos estimados, considerando diferentes distribuições teóricas para os erros, são apresentadas na tabela seguinte: Tabela 4: Medidas da bondade do ajustamento Medida Distribuição PSI20 DAX DJIA Normal , , ,57 L t-student , , ,51 GED , , ,80 Estável , , ,43 Normal 5.753, , ,18 AICC t-student 5.628, , ,07 GED 5.642, , ,65 Estável 5.631, , ,92 Normal 5.741, , ,16 SBC t-student 5.614, , ,04 GED 5.628, , ,62 Estável 5.615, , ,88 Os três critérios anteriores favorecem a distribuição t-student no caso do índice PSI20 (apesar das diferenças para a distribuição estável de Pareto não serem muito importantes) e a distribuição estável de Pareto nos índices DAX e DJIA. As distribuições Normal e GED parecem ser claramente preteridas em favor das distribuições estáveis de Pareto e t-student para modelizar a distribuição condicionada das taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas. De seguida vamos calcular as distâncias de Kolmogorov e de Anderson- Darling para as duas distribuições mais favorecidas pelos três critérios anteriores, considerando os resíduos estandardizados de cada um dos modelos. Os resultados são apresentados na tabela seguinte. Os valores das distâncias de Kolmogorov 7 e de Anderson-Darling favorecem a distribuição estável de Pareto inclusive no índice PSI20. Apesar de não se 7 Além da distância máxima entre a distribuição empírica e a distribuição teórica, por vezes importa também considerar a segunda e a terceira maiores distâncias excluindo a primeira e a segunda observações mais extremas, respectivamente. As estatísticas AD i (i = 1, 2) são particularmente importantes quando um ou dois valores extremos parecem não ser compatíveis com as restantes observações na distribuição.

10 10 Curto, Reis e Esperança/Distribuições estáveis de Pareto Tabela 5: Medidas da bondade do ajustamento Medida Distribuição PSI20 DAX DJIA KD t-student 0,0519 0,041 0,0461 Estável 0,0154 0,0134 0,0205 a AD 0 t-student 0,1421 0,1529 0,1419 Estável 0,04 0,0495 0,0438 AD 1 t-student 0,1414 0,1526 0,141 Estável 0,0393 0,0426 0,0429 AD 2 t-student 0,1412 0,1513 0,141 Estável 0,0387 0,0413 0,0424 a AD é a medida da distância de Anderson-Darling e AD 0 = Max ˆF (x) F (x) x R. F (x)[1 F (x)] poder concluir que as diferenças entre as duas distribuições são estatisticamente significativas, como o valor da estatística AD é bastante inferior na distribuição estável de Pareto, podemos afirmar que, pelo menos nas abas da distribuição condicionada, esta distribuição é mais adequada do que a distribuição t-student para descrever as taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas. 5 Conclusões As distribuições empíricas das taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas analisados evidenciam também os factos estilizados que são característicos deste tipo de distribuições: são leptocúrticas, relativamente assimétricas, apresentam clusters de volatilidade e a distribuição normal parece não ser o modelo mais adequado para descrever o seu comportamento. No entanto, uma distribuição leptocúrtica não condicionada (neste trabalho ensaiamos uma distribuição estável de Pareto não Gaussiana) parece ainda não ser suficiente para capturar as características das taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas. Para além de uma distribuição leptocúrtica para os erros (neste estudo as distribuições estáveis de Pareto e t-student revelaram-se as mais adequadas) são ainda necessárias estruturas AR-GARCH para capturar com sucesso as dependências temporais evidenciadas pelas taxas de rendibilidade dos três índices bolsistas. Referências [1] Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-19, p [2] Bachelier, L. (1964). Theory of Speculation. Em The random character of stock market prices (Cootner, P., eds.), p (first published 1900). Cambridge.

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