Aprendendo a falar estatiquês II

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1 Aprendendo a falar estatiquês II 71 Paulo Roberto Rufino Pereira Frederico Tassi de Souza Silva Kathleen S. Gonçalves

2 e-tec Brasil Estatística Aplicada META OBJETIVOS PRÉ-REQUISITOS Apresentar princípios básicos de estatística. Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. identificar o conceito de freqüência; 2. identificar o conceito de intervalo de classes e limites; 3. identificar o conceito de amplitudes; 4. identificar os tipos de freqüência. Para esta aula, você deve relembrar os conceitos de rol e amostra que foram apresentados na Aula 6. Também é importante rever o cálculo de porcentagem que você aprendeu na Aula

3 Esses dados fazem parte da segunda classe desta tabela. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II DOMINANDO O ESTATIQUÊS Para falar nossa língua, o português, é preciso saber o significado das palavras que compõem nosso vocabulário. Se alguém se dirige a você e pergunta Senhor(a), estou esfaimado, poderia me ajudar?, o que você responderia? Provavelmente nada, porque é quase certo que você não entendeu a pergunta. Na verdade, é provável que você não tenha entendido a palavra esfaimado (significa faminto), já que não é utilizada com freqüência, e isso comprometeu a sua compreensão. O mesmo acontece com os termos técnicos que fazem parte dos inúmeros campos do conhecimento. Na Aula 6, você foi apresentado a termos estatísticos como população-alvo, amostra, variáveis e outros que são de extrema importância para o bom entendimento desta disciplina. Nesta aula, você será apresentado a novos conceitos, relacionados com aqueles já conhecidos e que fornecerão a base necessária para que você possa analisar tabelas e gráficos com mais facilidade. 155

4 e-tec Brasil Estatística Aplicada Fico com os frontispícios rabicundos quando me posiciono no espaço contíguo a ti. RECORDAR É VIVER Para que esta aula não seja uma novidade absoluta, vamos utilizar o mesmo exemplo da Aula 6. Você se lembra da Joana? Ela era aquela aluna que tirou a medida das alturas de todos os alunos de sua turma. Primeiro ela montou uma Tabela Primitiva, na qual as alturas foram colocadas de forma desorganizada. Em seguida, ela montou um rol, que é uma forma organizada de distribuição dos dados. A tabela que ela montou era igual a esta a seguir: 156

5 Tabela 7.1: Alturas, em centímetros, de todos os alunos da turma de Joana em ordem crescente de valores. Este conjunto de dados organizados é chamado de rol. Estaturas dos 40 alunos da turma da Joana Para continuarmos explicando os conceitos de estatística, usaremos como modelo a tabela que foi montada por Joana. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II Thiago Felipe Festa Fonte: Figura 7.1: A organização facilita a identificação e o uso de objetos em geral. O mesmo raciocínio é válido para a ordenação dos dados estatísticos. 157

6 e-tec Brasil Estatística Aplicada FREQÜÊNCIA No exemplo da tabela de Joana, a variável em questão é estatura (altura dos alunos). Ao olharmos os dados coletados (alturas medidas), percebemos que muitas alturas se repetem. Esse número de vezes que um dado se repete é chamado, em estatística, de freqüência. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Uma variável cujo rol de dados apresenta valores repetidos poderá ser analisada com muito mais facilidade quando esses valores estiverem dispostos em uma tabela que informe o número de vezes que cada valor (no caso do exemplo, altura) aparece. Veja na tabela a seguir como ficam os dados organizados com suas freqüências correspondentes: Tabela 7.2: Tabela de distribuição de freqüências. Nela estão representadas todas as alturas que foram medidas e quantas vezes cada uma delas se repete. Observe que a soma de todas as freqüências é igual ao número total de alunos (quarenta) da turma de Joana. Estatura(cm) Freqüência

7 Total 40 Como você pode perceber, a Tabela 7.2 tem um inconveniente: ela é muito grande. Ficaria muito melhor se os dados fossem agrupados em intervalos. Oltin Dogaru Sava Marinkovic Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II Stacy Braswell Andrea De Stefani Andrew C. Fonte: Figura 7.2: Os elementos (dados) de uma pesquisa podem ser agrupados em intervalos de mesmo tamanho, ou seja, que contenham o mesmo número de dados. Nessas imagens, você pode identificar cinco grupos (intervalos) com quatro pessoas (elementos) em cada um deles. 159

8 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 1 Atende ao Objetivo 1 Baseado nos dados do rol a seguir, responda às perguntas: a. Qual a freqüência do valor 333? b. Qual a freqüência do valor 190? c. Qual a freqüência do valor 465? d. Qual a freqüência do valor 145? Então, quando temos uma tabela com muitos valores para serem analisados, a melhor estratégia é agrupar esses valores em intervalos. Em estatística, usamos símbolos para representar um intervalo (faixa de valores). É importante que você conheça tais símbolos para ser capaz de compreender as informações oferecidas, senão vai se sentir como um brasileiro que não fala japonês no Japão. E isso não é nada bom, você não acha? O símbolo significa que existe um intervalo de valores que vão desde o número à esquerda do símbolo, inclusive o próprio número, até o número à direita do símbolo, sem incluir este número. Ou seja, até o último número, imediatamente antes do número que aparece à direita do símbolo. Vamos ver um exemplo: significa um intervalo de valores que compreende os números que vão desde o número 20 até um número imediatamente anterior a 40. Se o conjunto de valores pertencer aos números naturais, esse número imediatamente anterior a 40 é o número 39. Mas se o conjunto de números 160

9 em questão pertencer aos números reais, ele pode ser uma infinidade de números: 39,1 39,36 39,478 39, e outros. Lemos esse exemplo (20 40) da seguinte forma: intervalo de 20 a 40, fechado em 20 e aberto em 40. O símbolo também significa um intervalo entre os valores da esquerda e da direita, mas dessa vez, ao contrário do caso anterior, ele exclui o número da esquerda e inclui o da direita. Veja o seguinte exemplo: significa um intervalo que compreende os valores entre o número imediatamente posterior a 10 até o número 30, incluindo ele. Novamente, se o conjunto de números pertencer ao conjunto dos números naturais, o número posterior a 10 será 11. Mas se forem números reais, podemos ter uma infinidade de números, e isso vai depender do conjunto de dados que está sendo analisado, podendo ser então: 10,011 10, ,467 10, , além de muitos outros. Lemos o exemplo (10 30) da seguinte forma: Intervalo de 10 a 30, aberto em 10 e fechado em 30. Por fim, temos o símbolo. Como você já deve imaginar, ele é usado quando temos um intervalo que contém os valores que estão a sua esquerda e a sua direita. Portanto, significa um intervalo que vai do número 10 até o 40, incluindo esses dois. Lemos esse exemplo como: intervalo de 10 a 40, fechado em 10 e em 40. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II CURIOSIDADE As mil e uma faces do intervalo Quando falamos em intervalo, é comum pensarmos em definições como: a distância entre coisas ou pessoas; o tempo que separa determinados eventos ou fatos. Nesta aula, você está aprendendo que intervalo também pode ser o espaço no qual agrupamos dados estatísticos. Mas você sabia que também existe intervalo na música? Fonte: 161

10 e-tec Brasil Estatística Aplicada Pense no som produzido por algum instrumento musical. Quando, ao ouvir duas notas musicais, sentir uma sensação agradável, é porque entre essas duas notas existe um intervalo musical. Essa sensação depende da razão (matemática) entre as freqüências dos sons, mas ela varia de ouvinte para ouvinte. Você percebeu que eu disse que o som tem freqüência? Mas isso é uma outra história. (Fonte: Adaptado de Agora, observe a tabela a seguir: Tabela 7.3: Distribuição de freqüência com intervalos. As estaturas (altura) dos alunos da turma de Joana estão agrupadas em intervalos. Estatura(cm) Freqüência Total 40 Nessa nova tabela, temos as alturas que foram medidas por Joana, mas nem todas estão visíveis como na Tabela 7.2. Algumas alturas não são vistas porque estão escondidas em um agrupamento de valores, ou seja, os intervalos. Ficou confuso? Então vamos explicar melhor. Preste atenção na segunda linha da Tabela 7.3: Estatura(cm) Freqüência

11 Como você já aprendeu, o símbolo significa intervalo. No caso da segunda linha da Tabela 7.3, esse intervalo é uma faixa de valores contendo os números que vão de 150 centímetros, inclusive ele, até o último número antes de 154 centímetros. Observe, a seguir, uma parte da Tabela 7.2: Estatura(cm) Freqüência Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II Veja que a última altura antes de 154 centímetros é 153 centímetros. Portanto, o intervalo contém os seguintes valores: 150, 151, 152 e 153 cm. Como cada valor aparece uma única vez no rol de dados, a freqüência desse intervalo é quatro, que é a soma das freqüências individuais dos valores que formam o intervalo. Bom dia, aqui é do banco Cofre Forte e estamos fazendo uma pesquisa com o objetivo de melhorar nosso atendimento. Gostaríamos de saber com que freqüência a senhora vai ao banco. Eu vou à minha agência 3 vezes por semana. E o seu marido, com que freqüência ele visita o banco? 163

12 e-tec Brasil Estatística Aplicada Ah, meu marido é muito ocupado, faz tudo pela internet! Ele só vai uma vez na semana ao banco. A senhora tem filhos? Eles têm conta no nosso banco? Sim, eu tenho um filho e ele também tem conta neste banco. Ele passa na agência umas 2 vezes por semana. Quer dizer, então, que sua família freqüenta nosso banco 6 vezes por semana? É isso mesmo! Figura 7.3: Freqüência é o número de vezes que um evento se repete. No caso da história, é o número de vezes que cada pessoa vai ao banco. Quando agrupamos os dados ou elementos (os elementos mulher, marido e filho formam um grupo, que chamamos de família), a freqüência do grupo (que é a mesma idéia de intervalo, pois agrupamos os elementos) é a soma das freqüências de cada elemento individualmente. A família vai seis vezes por semana ao banco, porque a mulher vai três vezes, o marido uma vez e o filho duas vezes. 164

13 Apesar de simplificar a verificação dos dados, ao agruparmos os valores em intervalos, perdemos algumas informações. Na Tabela 7.2, por exemplo, sabemos que três alunos possuem 156 centímetros e que não há nenhum aluno com 159 centímetros. Já na Tabela 7.3 não temos como saber se existe, por exemplo, um aluno com 171 centímetros, pois esse valor poderia estar escondido no intervalo No entanto, podemos saber, com segurança, que oito alunos medem entre 162 e 165 centímetros, porque essa é a freqüência do intervalo (confira na tabela). Agora que você entendeu que os dados podem ser agrupados em intervalos, vamos aprender um novo conceito: o de classes. Antes disso, é interessante que você realize uma atividade. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II ATIVIDADE 2 Atende ao Objetivo 1 Um funcionário do setor de estoque de uma loja de eletrodomésticos montou uma tabela com a quantidade de liquidificadores que foram vendidos durante um mês de promoção da loja. Ao final desse período, ele fez um levantamento das vendas e colocou as quantidades encontradas na seguinte tabela: a. Use o modelo a seguir para montar uma tabela de distribuição de freqüência com base nos dados anteriores: Quantidade de liquidificadores vendidos Freqüência Total 165

14 e-tec Brasil Estatística Aplicada b. O que representa o total das freqüências da tabela que você montou? CLASSE Em uma tabela, chamamos de classe os intervalos que contêm dados (valores) agrupados. Os intervalos de classe, ou apenas classes, podem ser de diversos tamanhos. No entanto, em uma mesma tabela todas as classes devem ser de tamanhos iguais, ou seja, elas devem conter a mesma quantidade de dados agrupados. O que vai determinar a quantidade de dados que você coloca nas classes de determinada tabela é o tamanho da amostra e os critérios escolhidos para dispor os dados na tabela. MULTIMÍDIA Jan Kratena Fonte: Você acha que não é possível se divertir com estatística? Engano seu... Acesse o site Nele você vai encontrar vários tipos de levantamentos estatísticos (alguns sérios e outros bem estranhos), piadas sobre o tema, um dicionário de termos estatísticos, links para outros sites (relacionados ou não) e até informações sobre vagas de emprego na área. 166

15 O número de classes (intervalos ou intervalos de classe) que teremos em uma tabela também é variável, dependendo do tamanho da amostra e dos critérios que foram seguidos. Olhe novamente para a Tabela 7.3. Nela encontramos seis classes. Veja a seguir: é a primeira classe é a segunda classe é a terceira classe é a quarta classe é a quinta classe é a sexta classe Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II MULTIMÍDIA Fonte: Svilen Mushkatov Os critérios mais usados para determinação do número de classes são o de Oliveira, de Scott e de Sturges. A escolha de qual critério usar é pessoal, atendendo da melhor forma os objetivos do estudo. Se você quiser se aprofundar no assunto e conhecer como se faz os cálculos para cada um desses critérios, visite o site arquivos/est%20biologia/descritiva.pdf. 167

16 e-tec Brasil Estatística Aplicada LIMITES DE UM INTERVALO DE CLASSE Todas as classes têm limites, mas o que são esses limites? Os limites são os valores que marcam o início e o fim de cada classe. O limite inferior é sempre o menor valor do intervalo de classe e o limite superior é o maior valor do intervalo de classe. Por exemplo: a primeira classe da Tabela 7.3 ( ) tem como limite inferior o valor 150, enquanto o limite superior é 154. Na segunda classe da Tabela 7.3 ( ), o limite inferior é 154 e o limite superior é 158, e assim por diante. Gabriel Robledo Fonte: Figura 7.4: Se você buscar a definição de limite em um dicionário, encontrará que pode ser o ponto ou a linha terminal a qual alguma coisa não pode, ou não deve, ultrapassar. Ou seja, é a delimitação de algo como, por exemplo, um intervalo. 168

17 ATIVIDADE 3 Atende ao Objetivo 2 Vamos ver se você entendeu o conceito de classes e a idéia de limites de um intervalo de classe? A tabela de distribuição de freqüência a seguir foi montada com os valores obtidos por um agricultor que mediu, dia a dia, durante alguns meses, quantos gramas de fertilizante ele usou em sua plantação de batatas. Quantidade de fertilizante Freqüência (em gramas) Total 132 Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II A partir dos dados da tabela montada pelo agricultor, responda: a. Quantos dados estão contidos na terceira classe? b. Qual o limite inferior da quarta classe? c. Qual o limite superior da sexta classe? d. Durante quantos dias o agricultor pesou a quantidade de fertilizante que ele usou em sua plantação? 169

18 e-tec Brasil Estatística Aplicada AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE A amplitude é o tamanho do intervalo de classe, ou seja, é a diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma classe. Vamos pegar como exemplo a terceira classe da Tabela 7.3 ( ). O limite superior é 162 e o inferior é 158. A diferença entre eles é: = 4. Se você calcular a amplitude das outras classes, vai constatar que todas têm o mesmo tamanho, ou seja, a mesma amplitude (4). Marta Juez Fonte: Figura 7.5: Uma classe tem sua amplitude (tamanho) definida por seus limites. A amplitude que foi apresentada é de cada intervalo de classe, mas existem mais dois tipos de amplitude. Uma delas está relacionada com o tamanho da distribuição de dados, chamada de amplitude total da distribuição. A outra é relacionada com o tamanho de toda a amostra, chamada de amplitude amostral. Veja, a seguir, a explicação referente a cada tipo. AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO É a diferença entre o limite superior da última classe, também chamado de limite superior máximo, e o limite inferior da primeira classe, chamado de limite inferior mínimo. Na Tabela 7.3, o limite superior máximo é 174 (limite superior da sexta classe) e o limite inferior mínimo é 150 (limite inferior da primeira classe). Assim, a diferença entre esses limites é: = 24. Portanto, a amplitude total da distribuição na Tabela 7.3 é

19 AMPLITUDE AMOSTRAL É a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra. A amplitude amostral parece igual à amplitude total da distribuição, mas não é; na verdade, elas nunca serão iguais e você vai saber por quê. Você lembra que quando usamos o símbolo estamos dizendo que o valor à direita não faz parte daquele intervalo? Se você observar o sexto intervalo de classe da Tabela 7.3 ( ), vai perceber que o valor 174 não faz parte dele. Como esse é o último intervalo, quer dizer que o 174 não faz parte do conjunto de dados. Fica fácil conferir essa observação se você olhar para a Tabela 7.2. Qual o último dado (valor) dela? Você deve ter observado que o último valor é 173, e não 174. Por isso, a amplitude amostral é = 23. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II ATENÇÃO! Existem diversas formas (critérios) de calcular o número de classes. Se, após fazer esse cálculo (utilizando um dos critérios escolhidos), você dividir a amplitude amostral por esse número (de classes), vai encontrar a amplitude que as classes da sua tabela devem ter. Quando essa divisão não é um número exato, você deve arredondar esse número para o valor inteiro imediatamente maior. Veja um exemplo usando a Tabela 7.2: Digamos que você usou o critério de Sturges (uma das possíveis formas de calcular o número de classes) e chegou ao valor de 6, ou seja, com seus 23 dados (amplitude amostral) da Tabela 7.2, você deve formar 6 classes. Assim 23 6 = 3,8. Mas 3,8 não é um número inteiro. Então você deve arredondá-lo para o maior número inteiro imediatamente superior a ele, ou seja, o número 4 (quatro). Esteja atento ao fato de que você sempre deve arredondar para um número maior. Com esses valores, você já sabe que deve dividir seus 23 dados em 6 classes e que cada classe deve ter o tamanho (diferença entre o limite superior e o inferior) de 4, ou seja, deve ter quatro dados. 171

20 e-tec Brasil Estatística Aplicada Alaa Hamed Sanja Gjenero Fonte: Figura 7.6: A amplitude está relacionada com o tamanho da amostra. Podemos ter amostras de pequena amplitude (como 5 conchas), média amplitude (como 42 peões) ou grande amplitude (centenas de remédios). Você já sabe o que é freqüência. Mas ainda não sabe que existem vários tipos de freqüência. Mas não se preocupe, pois é isso que você vai aprender agora. Esses tipos de freqüência não foram explicados anteriormente porque para entendê-los era preciso que você fosse apresentado à idéia de intervalo, classes e todos os outros conceitos associados. Agora, então, podemos retornar a essa explicação, que é o assunto que veremos a seguir, mas não sem antes realizar mais uma atividade. 172

21 Com o intuito de avaliar o desempenho dos alunos de um curso preparatório para o concurso de Técnico em Segurança no Trabalho, o coordenador pedagógico selecionou o resultado de um SIMULADO realizado com uma das turmas. Com a nota dos alunos foi montada a tabela primitiva a seguir: ATIVIDADE 4 Atende aos Objetivos 2 e 3 SIMULADO Imitação de uma prova. É muito comum em cursos (prévestibulares, preparatórios para concursos e outros) se fazer uma prova-teste, como se fosse a prova para qual o aluno está sendo preparado. Isso serve para que ele teste seus conhecimentos Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II a. Com os dados da tabela anterior, monte uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos de classes, usando o molde a seguir. Ela deve ter as seguintes características: O limite inferior da primeira classe é 30. O limite superior da última classe é 100. Todas as classes devem ter o limite inferior incluído no intervalo e o limite superior excluído do intervalo. A amplitude de cada classe é 10. Notas dos alunos Freqüência Total 173

22 e-tec Brasil Estatística Aplicada b. Qual a amplitude total dessa distribuição? c. Qual a amplitude amostral desses dados? TIPOS DE FREQÜÊNCIAS No início da aula,você aprendeu que freqüência é o número de vezes que cada dado se repete. Uma informação que você precisa lembrar é que a soma das freqüências de uma tabela tem o mesmo valor da quantidade total de dados existentes nessa tabela. Você lembra que Joana mediu a altura dos 40 alunos de sua turma? Se observar as Tabelas 7.2 e 7.3, verá que a soma de todas as freqüências é 40, ou seja, o mesmo valor do total de dados. Dependendo do objetivo do estudo, as freqüências podem ser analisadas de diferentes formas e, portanto, recebem nomes específicos, como você verá a seguir. FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA A freqüência simples ou absoluta é o número de vezes que cada dado se repete. Se os dados estiverem agrupados em classes, cada classe terá sua freqüência simples ou absoluta, que é a soma das freqüências de cada dado dessa classe. Na Tabela 7.3 a freqüência da segunda classe ( ) é 9. Para entender por quê, olhe para uma parte da Tabela 7.2 que está a seguir: Estatura(cm) Freqüência

23 Podemos observar que a segunda classe é formada pelos valores 154, 155, 156 e 157 (o 158 não entra, lembra?). Como a freqüência da classe é a soma das freqüências individuais de cada dado dessa classe, temos que a freqüência será: = 9. Andrzej Pobiedzinski Iwan Beijes Steve Woods Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II Fonte: Figura 7.7: A freqüência está relacionada com o número de vezes que um dado ou elemento se repete. Numa população de bichinhos, como nas imagens, só há um jacaré. Portanto, o elemento jacaré tem freqüência 1. Há três patos; portanto, a freqüência do elemento pato é 3. Já a freqüência do elemento sapo é 7. Fácil, não é mesmo? 175

24 e-tec Brasil Estatística Aplicada FREQÜÊNCIA RELATIVA O cálculo da freqüência relativa é feito dividindo a freqüência simples de determinado dado, ou de determinada classe, pela freqüência total (soma de todas as freqüências da tabela). Por exemplo, a freqüência simples da terceira classe ( ) da Tabela 7.3 é 11 e a freqüência total da tabela é 40. Assim, a freqüência relativa da terceira classe em relação ao total é = 0, 275. A freqüência relativa pode também ser expressa em porcentagem. Usando o exemplo anterior, temos que a freqüência relativa da terceira classe é 0,275. Como você viu na Aula 5, esse valor é o mesmo que 27,5%. FREQÜÊNCIA ACUMULADA É a soma das freqüências simples de todos os dados até um dado predeterminado. Por exemplo, na Tabela 7.2, a freqüência acumulada até a estatura de 155 centímetros é de 9, que é a soma de todas as freqüências dos valores até 155. Isso significa que 9 alunos medem até 155 centímetros. Veja parte da tabela e as respectivas freqüências de cada estatura: Estatura(cm) Freqüência Quando a tabela contém os dados agrupados em classes, a freqüência acumulada é a soma das freqüências simples das classes até uma classe predeterminada. Vamos usar como exemplo a Tabela 7.3. Nela, a freqüência acumulada até a terceira classe é a soma das freqüências da primeira, segunda e terceira classes. Quer dizer que a freqüência acumulada até a terceira classe é: = 24. Esse resultado significa que 24 alunos medem menos que 162 centímetros (valor que não faz parte da terceira classe). 176

25 Estatura (cm) Freqüência FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA É a freqüência acumulada em relação à freqüência total, ou seja, é uma determinada freqüência acumulada dividida pela freqüência total de uma tabela. Na Tabela 7.3 a freqüência acumulada até a quarta classe é 32 ( ) e a freqüência total é 40. Portanto, a freqüência acumulada relativa é: , 8. Assim como a freqüência relativa, a freqüência acumulada relativa também pode ser expressa em porcentagem. Como você já viu na Aula 5, o número 0,8 também pode ser expresso como 80%. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II Figura 7.8: A freqüência relativa e a freqüência acumulada relativa podem ser expressas como porcentagens. 177

26 e-tec Brasil Estatística Aplicada Se calcularmos todos os tipos de freqüência apresentados até aqui, podemos montar a seguinte tabela: Tabela 7.4: Freqüências. Os valores foram calculados a partir dos dados da Tabela 7.3. Classe Dados em intervalos Freqüência simples Freqüência relativa Freqüência acumulada Freqüência acumulada relativa ,100 10% 4 0,100 10% ,225 22,5% 13 0,325 32,5% ,275 27,5% 24 0,600 60% ,200 20% 32 0,800 80% ,125 12,5% 37 0,925 92,5% ,075 7,5% 40 1, % Total 40 1, % A freqüência acumulada da tabela é a soma das freqüências simples até a classe em questão. Por exemplo, a freqüência acumulada da primeira classe é 4, porque até ali só existe a freqüência simples da primeira classe, que é 4. A freqüência acumulada da segunda classe é a soma das freqüências simples da primeira e segunda classes, ou seja, = 13, e assim sucessivamente. A freqüência acumulada relativa é a freqüência acumulada da classe em questão dividida pela freqüência total. Assim, a freqüência acumulada, por exemplo, da terceira classe é 24 (freqüência acumulada da terceira classe), dividida por 40 (freqüência total), que é igual a 0,600 ou 60%. Com base na Tabela 7.4, podemos responder a muitas perguntas: a. Quantos alunos medem de 166 centímetros a 169 centímetros? Cinco alunos é a resposta, porque quando olhamos para o intervalo de classe 5 ( , lembre-se de que o valor 170 não está incluído no intervalo), vemos que a freqüência simples é 5. Como vimos nesta aula, a freqüência simples de uma classe representa o número de dados dessa classe. b. Quantos alunos têm menos de 162 centímetros? 178

27 Quando queremos saber a quantidade de dados que existem até determinado valor (dado), calculamos a freqüência acumulada até o dado em questão. Ou seja, se queremos saber quantos alunos têm altura menor que 162 centímetros, calculamos a freqüência acumulada até a terceira classe, que possui como limite superior 162 centímetros. O fato de o valor 162 não entrar nesse intervalo não é um problema, pois queremos os valores abaixo dele. Observando a Tabela 7.4, encontramos que a freqüência acumulada até essa classe é 24, quer dizer, existem 24 alunos com menos de 162 centímetros. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II c. Qual a porcentagem de alunos que tem altura menor que 166 centímetros? Como queremos incluir todos os dados até determinado valor (todos os alunos com menos de 166 centímetros), temos que calcular a freqüência acumulada. O problema pede a porcentagem de alunos, o que nos leva a pensar em freqüência relativa. Portanto, temos que achar a freqüência acumulada relativa. Olhando para a Tabela 7.4, encontramos que a freqüência acumulada relativa até a quarta classe ( , que não inclui o valor 166) é de 0,800. Transformando esse valor para porcentagem, temos que 80% dos alunos têm menos de 166 centímetros. ATIVIDADE 5 Atende ao Objetivo 4 Vamos ver se você entendeu a diferença entre os tipos de freqüência? Observe a Tabela de Distribuição de Freqüências a seguir e complete-a com o total e as freqüências que faltam: Dados da Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência amostra simples relativa acumulada acumulada relativa Total 179

28 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 6 Atende ao Objetivo 4 Para fazer uma análise das causas de acidentes envolvendo motoristas de ônibus de uma cidade do interior do estado de Minas Gerais, um Técnico em Segurança no Trabalho da Prefeitura desta cidade montou uma Tabela de Distribuição de Freqüências relacionando o número de motoristas com a quantidade de acidentes que cada um sofreu; veja a seguir: Número de acidentes Número de motoristas Com base na tabela anterior, responda às perguntas a seguir: a. Quantos motoristas fazem parte desse levantamento? b. Quantos motoristas nunca sofreram nenhum acidente? c. Quantos motoristas sofreram de zero a três acidentes? d. Quantos motoristas sofreram um mínimo de três e um máximo de cinco acidentes? e. Qual a porcentagem de motoristas que sofreram dois acidentes? 180

29 RESUMINDO... Freqüência, também chamada de simples ou absoluta, é o número de vezes que determinado dado se repete. Quando alguns dos dados de uma amostra se repetem, montamos uma tabela de distribuição de freqüência. Quando existem muitos dados a serem analisados, agrupamos esses dados em intervalos. Os dados de uma tabela podem ser agrupados em intervalos chamados de classes. Limites de classe são os valores que iniciam e finalizam cada classe. O menor é o limite inferior da classe e o maior é o limite superior da classe. Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II O tamanho de uma classe é chamado de amplitude da classe. Amplitude total da distribuição é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Amplitude amostral é a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra. Freqüência relativa é a razão entre a freqüência simples de um dado ou classe qualquer e a freqüência total. Freqüência acumulada é a soma das freqüências até determinado dado. Freqüência acumulada relativa é a razão entre uma freqüência acumulada qualquer e a freqüência total. INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, você vai aprender a montar uma tabela, passando pela coleta de dados até os elementos que a compõem. Vai aprender também que existem diferentes tipos de tabela dependendo dos tipos de dados coletados. 181

30 e-tec Brasil Estatística Aplicada RESPOSTAS DAS ATIVIDADES ATIVIDADE 1 a. o número (valor) 333 se repete 3 vezes, por isso sua freqüência é 3. b. o número (valor) 190 se repete 5 vezes, por isso sua freqüência é 5. c. o número (valor) 465 se repete 1 vez, por isso sua freqüência é 1. d. o número (valor) 145 se repete 4 vezes, por isso sua freqüência é 4. ATIVIDADE 2 a. Freqüência é o número de vezes que um determinado dado se repete. Assim, em determinado dia foram vendidos 10 liquidificadores, e em nenhum outro dia foi vendida a mesma quantidade, por isso a freqüência de 10 é 1. A quantidade 11 se repete em três dias diferentes e por isso a freqüência desse dado é 3, e assim por diante. Quantidade de Freqüência liquidificadores vendidos Total 24 b. Todos os dias o funcionário da loja contava quantos liquidificadores foram vendidos e colocava esse valor na tabela. Por isso, a quantidade de valores que existem na tabela corresponde ao número de dias que o funcionário fez o levantamento das vendas. A freqüência é o número de vezes que cada dado aparece; assim, se somarmos as freqüências, encontraremos a quantidade de dados da tabela. Portanto, a soma de todas as freqüências representa o número de dias que o funcionário da loja contou o número de liquidificadores vendidos. ATIVIDADE 3 a. A terceira classe é ( ). A freqüência é o número de dados que existem naquela classe; portanto, a resposta é

31 b. A quarta classe é ( ). O limite inferior é sempre o menor valor, no caso 160. c. A sexta classe é ( ). O limite superior é sempre o maior valor, no caso 220. d. O número de dias que ele pesou o fertilizante é igual à quantidade de dados que existem na tabela, porque ele tem uma medida por dia. Assim, a freqüência total da tabela é a quantidade de dados existentes nela; então, ele pesou o fertilizante durante 132 dias. ATIVIDADE 4 Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II a. A primeira classe deve começar com o número 30, já que o limite inferior da primeira classe é 30. Como a amplitude das classes é 10, a primeira classe vai de 30 a 40, porque = 10. A segunda vai de 40 a 50, porque = 10, e assim por diante. Como o limite superior da última classe é 100, a última classe será de 90 a 100. Como em todas as classes o limite inferior será incluído e o superior será excluído, o símbolo usado é. Notas dos alunos Freqüência Total 50 b. A amplitude total da distribuição é 70, porque o limite superior da última classe é 100 e o limite inferior da primeira classe é 30. Assim, = 70. c. A amplitude amostral é a diferença entre o último dado da amostra e o primeiro. O primeiro dado da amostra é 33 (veja na tabela primitiva que a menor nota é 33) e o último dado da amostra é 98 (nota mais alta que encontramos na tabela). Portanto, a amplitude amostral é =

32 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 5 A freqüência relativa é o valor da freqüência simples dividida pela freqüência total, ou seja, a freqüência relativa do primeiro dado (3), é 2 40 = 0,050 ou 5%. A freqüência acumulada é a soma da freqüência simples do dado com as freqüências simples anteriores. A freqüência acumulada do primeiro dado é igual à freqüência simples. A do segundo dado é a freqüência simples do segundo dado mais a do primeiro, ou seja, = 7. A do terceiro dado é a freqüência simples do terceiro dado mais a do segundo e do primeiro, ou seja, = 19, e assim por diante. A freqüência acumulada relativa é a freqüência acumulada dividida pela freqüência simples. Assim, a freqüência acumulada relativa do primeiro dado é 2 40 = 0,050; a do segundo é 7 40 = 0,175, e assim por diante. Dados da amostra Freqüência simples Freqüência relativa Freqüência acumulada Freqüência acumulada relativa 3 2 0, , , , , , , , , , , ,000 Total 40 ATIVIDADE 6 a. Setenta motoristas. O número total de motorista é a soma de todas as freqüências, já que cada freqüência é o número de motoristas relativo a cada número de acidentes ocorridos. b. Vinte motoristas não sofreram nenhum acidente. c. Cinqüenta e cinco motoristas. Para saber quantos motoristas sofreram de zero a três acidentes, é só calcular a freqüência acumulada até a quantidade de motoristas que sofreram três acidentes. Quer dizer, basta somar = 55. d. Vinte motoristas. Para saber quantos motoristas tiveram de três a cinco acidentes, basta calcular a freqüência acumulada entre esses números de acidentes, ou seja, = 20. e. Como queremos a porcentagem de um dado em relação ao total, basta calcularmos a freqüência relativa desse dado. Dezesseis motoristas sofreram dois acidentes, então temos = 0,228571; podemos arredondar este valor para 0,228, que é igual a 22,8%. 184

33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, MARTINS, Gilberto A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, Aula 7 Aprendendo a falar estatiquês II 185

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