Distâncias no plano e regiões no plano

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1 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P eumaretar no plano, já sabemos calcular a distância de P acadapontop 0 2 r. Definição 1 Definimos a distância, dp, r), do ponto P àretarpor dp, r) =min{dp, P 0 ) P 0 2 r} Dizemos que um ponto P? 2 r realiza a distância de P àretar, se dp, P? ) apple dp, P 0 ),para todo P 0 2 r. Figura 1: P? realiza a distância de P àretar. Usando o teorema de Pitágoras éfácilverificarqueopontop? que realiza a distância do ponto P àretar éopé da perpendicular a r que passa pelo ponto P. Assim, 77

2 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA Teorema 1 dp, r) = min{dp, P 0 ) P 0 2 r} = dp, P? ). Sejam r : ax + by = c uma reta e P =x 0,y 0 ) um ponto no plano. Então a distância de P a r édadapor dp, r) = ax 0 + by 0 c p a 2 + b 2 Prova. Seja s aretaperpendicularàretar : ax + by = c que passa pelo ponto P =x 0,y 0 ). Como u =a, b)? r, temosque u k s. Logo, s : x = x 0 + at y = y 0 + bt ; t 2 R são as equações paramétricas de s. Seja P opédaperpendicularar que passa por P,ouseja,{P } = r \ s. Então P =x 0 + at,y 0 + bt ),paraalgum t 2 R, e ax 0 + at )+by 0 + bt )=c Figura 2: Demonstração do teorema 1. ) a 2 + b 2 )t + ax 0 + by 0 = c ) t = c ax 0 + by 0 ). a 2 + b 2 Como dp, r) =dp, P )= PP e PP =a, b)t,temos: dp, r) = t a, b) = ax 0 + by 0 c p a2 + b a 2 + b 2 2 dp, r) = ax 0 + by 0 c p. a2 + b 2 Exemplo 1 Calcule a distância do ponto P =1, 1) àretar : x +2y =1. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

3 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 79 Solução. Vamos resolver o problema de duas maneiras: 1) Usando a fórmula obtida no teorema anterior: sendo x 0 =1, y 0 = 1, a =1, b =2 e c =1,temos dp, r) = ) 1 p = p 1+4 = 2 p. 2) Seja r 0 aretaquepassapelopontop =1, 1) eéperpendicularàreta r : x +2y =1. Como r tem inclinação m = 1 2,aretar0 tem inclinação n = 1 m = 1 1/2 =2. Logo a equação de r 0 deve ser r 0 : y =2x + d. Sendo P =1, 1) 2 r 0,temos 1=2 1+d =) d = 1 2= 3. Assim, r 0 : y =2x 3. Note,também,queaequaçãoder se escreve: r : y = 1 2 x Seja r \ r 0 = {P? }. Se P? =x, y) então 2x 3= 1 2 x + 1 2,ouseja, 2+ 1 x = Portanto, x = = 7 e y =2 7 3= 1 7 =) P? =, 1. Logo, r 7 dp, r) = dp, P? )= r = + concluindo, assim, o cálculo desejado = r = 2 p, 2. Distância entre duas retas no plano Definimos a distância entre r e r 0 como sendo a menor distância entre um ponto de r eumpontoder 0. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

4 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS NO PLANO Isto é, dr, r 0 ) = min{dp, P 0 ) P 2 r e P 0 2 r 0 } Então dr, r 0 )=0se r e r 0 são coincidentes ou concorrentes. Figura 3: Distância entre duas retas paralelas. Sejam r e r 0 retas paralelas. Sabemos que, dado P 2 r, existe um único ponto P? perpendicular a r 0 traçada por P,talque 2 r 0, pé da dp, P 0 ) dp, P? ), para todo P 0 2 r 0. Como r k r 0,temosdQ, Q? )=dp, P? ),quaisquerquesejamp, Q 2 r, pois QP P? Q? éumretângulo. Então dq, Q 0 ) Q 2 r e Q 0 2 r 0. dq, Q? )=dp, P? )=dp, r 0 ),quaisquerquesejam Logo, dr, r 0 )=dp, r 0 ), qualquer que seja P 2 r. Como conseqüencia do teorema 1, temos o seguinte corolário. Corolário 1 Sejam r : ax+by = c e r 0 : ax+by = c 0 retas paralelas c 6= c 0 )oucoincidentes c = c 0 ). Então, dr, r 0 )= c c0 p a 2 + b 2 J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

5 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 81 Prova. Seja P =x 0,y 0 ) um ponto da reta r. Então dr, r 0 )=dp, r 0 )= ax 0 + by 0 c 0 p a 2 + b 2. Como ax 0 + by 0 = c, obtemosdr, r 0 )= c c0 p a 2 + b 2. Exemplo 2 Determine as equações das retas paralelas à reta r :2x + y =1que distam 3 unidades de r. Solução. Seja s :2x + y = c uma reta paralela à reta r. Temos, dr, s) =3) Logo c =1+3 p ou c =1 c 1 p =3) c 1 =3p. 3 p,ouseja, s 1 :2x + y =1+3 p e s 2 :2x + y =1 3 p, são as retas paralelas a r que distam 3 unidades da reta r. Vejamos outra solução para o mesmo problema sem usar a fórmula da distância entre duas retas paralelas. Seja t : y = 1 x aretaperpendicularàretar que passa pela origem. 2 2 Logo r \ t = {P }, ondep =, 1 verifique). Sejam 2y, y) os pontos pertencentes à reta t que distam 3 de r, ouseja, 2 d 2y, y),, 1 =3. Então, ) 4 y y y =9 2 9 = ) y = ± p Como t : x =2y, ospontosaologodet que estão a distância 3 de P são: 6 P 1 = p + 2, 3 p + 1 Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

6 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO P 2 = 6 p + 2, 3 p + 1. Consideremos agora as retas s 1 e s 2 paralelas à reta r que passam por P 1 e P 2,respectivamente. Como ds 1,r)=dP 1,P)=3 ds 2,r)=dP 2,P)=3, s 1 e s 2 são as retas paralelas a r que distam 3 unidades de r, esuasequações são: p 6 +2 s 1 :2x + y =2 + 3p +1 p 6 +2 s 2 :2x + y =2 + 3p +1 = 1p + = 1p + =3 p +1 = 3 p +1. Figura 4: Retas a distância 3 de r. 3. Esboço de regiões no plano Consideremos a reta r : ax + by = c earetas que passa pelos pontos 0, 0) e a, b). Então s : bx ay =0,pois0, 0) e a, b) satisfazem a equação J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

7 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 83 de s. Afirmativa 1: As retas r e s são perpendiculares. De fato, a b + b a) =0. Logo, pelo proposição?? do capítulo 3, temos r? s. Figura : Retas r e s perpendiculares. Afirmativa 2: Por cada ponto x 0,y 0 ) do plano passa uma única reta r 0 paralela à reta r. Para verificar esta afirmativa, basta tomar r 0 c = ax 0 + by 0. : ax + by = c, onde Figura 6: Retas r e r 0 paralelas. Afirmativa 3: Oplano éuniãoderetasparalelasaumaretadada. Isto é, = [ { x, y) ax + by = c }. c2r Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

8 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO Figura 7: Plano visto como união de retas paralelas. Figura 8: Retas paralelas r 1 e r 2 com perpendicular s passando pela origem. Afirmativa 4: Consideremos as retas paralelas r 1 : ax + by = c 1 e r 2 : ax + by = c 2,eospontosP 1 e P 2,taisque{P 1 } = r 1 \ s e {P 2 } = r 2 \ s, onde s : bx ay =0. OsentidodepercursodeP 1 para P 2 na reta s coincide com o sentido de percurso de 0, 0) para a, b) em s se, e só se, c 1 <c 2. De fato, analisemos a situação nos quatro casos seguintes: Caso 1. b =0, Caso 2. a =0, Caso 3. a>0, b 6= 0, Caso 4. a<0 e b 6= 0. Vejamos: Caso 1. b =0. Neste caso, temos: r 1 : x = c 1 a, r 2 : x = c 2 a, s : y =0. e J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

9 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 8 Figura 9: Caso b =0e a>0. Se a>0, então c 1 a < c 2 a ) c 1 <c 2. Figura 10: Caso b =0e a<0. Se a<0, então c 2 a < c 1 a ) c 1 <c 2. Caso 2. a =0. Neste caso, temos: r 1 : y = c 1 b, r 2 : y = c 2 b, s : x =0. e Figura 11: Caso a =0e b>0. Se b>0, então c 1 b < c 2 b ) c 1 <c 2. Figura 12: Caso a =0e b<0. Se b<0, então c 2 b < c 1 b ) c 1 <c 2. Caso 3. a>0 e b 6= 0. Se P 1 =x 1,y 1 ),temos P 1 2 s ) y 1 = b a x 1 e P 1 2 r 1 ) ax 1 + by 1 = c 1. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

10 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO Logo, ax 1 + b2 a x 1 = c 1 ) x 1 = ac 1 a 2 + b 2 Analogamente, se P 2 =x 2,y 2 ) 2 s \ r 2,então x 2 = ac 2 a 2 + b 2 Subcaso a>0 e b>0. Pelas formas das abscissas x 1 e x 2,temos x 1 <x 2 ) ac 1 a 2 + b 2 < ac 2 a 2 + b 2 ) c 1 <c 2. Figura 13: a>0 e b>0. O sentido de percurso em s édex crescente. Subcaso a>0 e b<0. Fazendo uma análise como no subcaso anterior, vemos que x 1 <x 2 ) c 1 <c 2. Figura 14: a>0 e b<0. O sentido de percurso em s édex crescente. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

11 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 87 Caso 4. a<0 e b 6= 0. As abscissas x 1 de P 1 e x 2 de P 2 satisfazem as mesmas relações que no caso anterior. Subcaso a<0 e b>0. Como a<0, temos, x 2 = ac 2 a 2 + b 2 <x 1 = ac 1 a 2 + b 2 ) c 1 <c 2. Figura 1: a < 0 e b > 0. O sentido de percurso em s é de x decrescente. Subcaso a<0 e b<0. Aanáliseéfeitadamesmaformaqueo subcaso anterior. Figura 16: a < 0 e b < 0. O sentido de percurso em s é de x decrescente. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

12 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO Exemplo 3 Faça um esboço detalhado da região R do plano cujos pontos têm coordenadas satisfazendo simultaneamente as desigualdades do sistema abaixo. y apple 2x R : x + y 1. Solução. AregiãoR procurada é a interseção das regiões R 1 e R 2 dadas por: R 1 = {x, y) 2x y 0} e R 2 = {x, y) x + y 1}. a) Determinando a região R 1 Considere a reta r 1 :2x y =0. Opontoa, b) =2, 1) pertence à reta s 1 perpendicular a r 1 que passa pela origem e o número c = 2x y aumenta conforme se avança ao longo da reta s seguindo osentidodaorigemparaoponto a, b) =2, do vetor v =a, b). 1), ouseja,osentido Figura 17: Região R 1. a =2> 0 e b = 1 < 0. O sentido de percurso em s édex crescente. Portanto, a região R 1 éosemiplanodeterminadoporr 1 que fica acima de r 1,comovemosnafigura17,incluindoaprópriaretar 1. b) Determinando a região R 2 Para determinar a região R 2,consideremosagoraaretar 2 : x + y =1. Neste caso, a =1> 0 e b =1> 0. Opontoa, b) =1, 1) pertence à reta s 1 perpendicular a r que passa pela origem. Como no item anterior, o número c = x + y aumenta conforme se avança ao longo da reta s 2 seguindo o sentido do vetor v =a, b). Assim, as coordenadas de um ponto pertencente a uma reta x + y = c satisfazem a desigualdade x + y 1 se, e somente se, a reta está contida na região sombreada indicada na figura 18. Ou seja, a região R 2 éosemiplano determinado por r 2 que fica acima de r 2,incluindoaretar 2. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

13 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 89 Figura 18: Região R 2. a =1> 0 e b =1> 0. O sentido de percurso em s édex crescente. c) Determinando a região R Finalmente, a região R procurada é a interseção das regiões R 1 e R 2,formadapelospontos do plano que pertencem ao semiplano abaixo da reta r 1 eaosemiplano acima da reta r 2,simultaneamente. Esboçamos a região R na figura 19. Figura 19: Região R = R 1 \ R 2 procurada. Exemplo 4 Determinar e esboçar a região R do plano dada pelo seguinte sistema de desigualdades: R : y apple x 1 x y>2. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

14 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO Solução. AregiãoR éainterseçãodeduasregiõesr 1 e R 2. Aprimeiraregiãoconsistedospontosdoplanocujascoordenadassatisfazem aprimeiradesigualdade: R 1 = {x, y) y apple x 1}. Asegundaregiãoconsistedospontosdoplanocujascoordenadassatisfazem asegundadesigualdade: R 2 = {x, y) x + y>2}. a) Determinação da região R 1 Começamos lembrando que y = y, se y 0 y, se y<0. Portanto, a desigualdade y apple x 1 equivale a duas desigualdades condicionadas: Na condição y 0, temos y = y. Logo a desigualdade y apple x 1 equivale a y apple x 1, ouseja,x y 1. Designamos por S 1 oconjuntodospontosdoplanocujascoordenadassatisfazem, simultaneamente, as desigualdades y 0 e x y 1: S 1 = {x, y) y 0 e x y 1}, ou seja, S 1 : x y 1 y 0. Figura 20: Região S 1 determinada pelas desigualdades x y 1 e y 0. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

15 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 91 Na condição y<0, temos y = y. Logo a desigualdade y apple x 1 equivale a y apple x 1, ouseja,x + y 1. Designamos por S 2 oconjuntodospontosdoplanocujascoordenadassatisfazem, simultaneamente, as desigualdades y<0 e x + y 1: x + y 1 S 2 = {x, y) y<0 e x + y 1}, ou seja, S 2 : y<0. Figura 21: Região S 2 determinada pelas desigualdades x + y 1 e y<0. Finalmente, a região R 1 consiste dos pontos que pertencem à região S 1 ou à região S 2. Ou seja, R 1 = {x, y) y apple x 1} = S 1 [ S 2. Figura 22: Região R 1 determinada pela desigualdade y apple x 1. Figura 23: Região R 2 = {x, y) x y>2}. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

16 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO b) Determinação da região R 2 Como a região R 2 consiste dos pontos cujas coordenadas x, y) satisfazem x y>2, temosqueumpontodecoordenadasx, y) pertence à região R 2 se, e somente se, pertence a uma reta de equação x y = c com c>2. Seja s aretaquepassapelaorigemeéperpendicularàretar 3 : x y =2. Uma reta de equação x y = c intersecta a reta s num ponto P c de modo que o valor de c aumenta conforme o ponto P c se desloca na reta s seguindo osentidodaorigemparaopontodecoordenadasa, b) =1, sentido do vetor v =a, b). 1), ouseja,o Portanto, a região R 2 procurada consiste dos pontos do semiplano que fica abaixo da reta r 3,excluindoospontosdaprópriareta,comovemosnafigura 23. c) Determinação da região R Finalmente, um ponto pertence à região R se, e somente se, pertence às regiões R 1 e R 2 simultaneamente. Isto é, R = R 1 \ R 2. Esboçamos a região na seguinte figura. Figura 24: Região R determinada pelas desigualdades y apple x 1 e x y =2. Exemplo Determine e esboçe a região R do plano dada pelo seguinte sistema de inequações: J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

17 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 93 8 >< x 2 + y 2 apple 1 R : x y apple 1 >: x + y 0. Solução. AregiãoR consiste dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem as três inequações do sistema dado simultaneamente. Logo R = R 1 \ R 2 \ R 3,onde R 1 = {x, y) x 2 + y 2 apple 1} R 2 = {x, y) x y apple 1} R 3 = {x, y) x + y 0} a) Determinação da região R 1 Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação x 2 + y 2 = c formam o círculo de centro na origem e raio p c,parac>0. Se c =0, P =0, 0) éoúnicopontoquesatisfazaequaçaox 2 + y 2 =0. Assim, um ponto pertence à região R 1 se, e somente se, o ponto é a origem ou pertence a um círculo de raio p c apple 1, estando,portanto,contidonointerior do círculo ou sobre o círculo de centro na origem e raio 1 figura 2). Figura 2: R 1 é o círculo de centro na origem e raio 1. Figura 26: R 2 é o semiplano em cima da reta r 1. Determinação da região R 2. Seja r 1 : x y = 1. Como a, b) =1, 1), R 2 éosemiplanoacimadareta r 1,incluindoaprópriaretafigura26). Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

18 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO Determinação da região R 3. Raciocinando de maneira similar a outros casos já tratados, vemos que a região R 3 éosemiplanoacimadaretar 2 : x + y =0,incluindoaretar 2, pois a, b) =1, 1) veja a figura 27). Figura 27: R 3 é o semiplano em cima da reta r 2. Figura 28: Região R = R 1 \ R 2 R 3. Esboço da região R. Para esboçar a região R são considerados apenas os pontos do plano que pertencem às três regiões anteriores simultaneamente figura 28). Exemplo 6 Determine e faça um esboço da região R do plano dada pelo seguinte sistema de inequações: 8 >< x 1) 2 + y 2 4 R : x + y 1 >: x + y apple 1+2 p 2. Solução. AregiãoR procurada é a interseção das três regiões seguintes: R 1 = {x, y) x 1) 2 + y 2 4}, R 2 = {x, y) x + y 1}, R 3 = {x, y) x + y apple 1+2 p 2}. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

19 CAPÍTULO 4. DISTÂNCIAS NO PLANO E REGIÕES NO PLANO 9 Determinação da região R 1 Figura 29: Região R 1 = {x, y) x 1) 2 +y 2 4}. Para determinarmos a região R 1,consideremos o círculo C, dadapor C :x 1) 2 + y 2 =4. Observamos que C c :x 1) 2 +y 2 = c 2, c>0 éaequaçãodocírculodecentro no ponto 1, 0) eraioc. Assim,se c<2, ospontosdocírculoc c estão contidos na região limitada pelo círculo C, esec>2, ospontosdocírculo C c são exteriores ao círculo C. Portanto, a região R 1 consiste dos pontos x, y) que são exteriores a C, incluindo a próprio círculo. Determinação das regiões R 2 e R 3 Observe que as retas r 1 : x + y =1e r 2 : x + y =1+2 p 2 são paralelas. Como a, b) =1, 1), ovalorc aumenta na equação x + y = c quando nos movimentamos ao longo da reta perpendicular s a r 1 no sentido da origem para o ponto a, b). Portanto, a reta r 2,comvalorc =1+2 p 2 maior, fica por cima da reta r 1,comvalorc =1,easregiõesR 2 e R 3 são as esboçadas nas figuras 30 e 31. Figura 30: Região R 2 = {x, y) x + y 1}. Figura 31: Região R 3 = {x, y) x+y apple 1+2 p 2}. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

20 ESBOÇO DE REGIÕES NO PLANO Determinação da região R Finalmente, a região R procurada é a interseção das três regiões obtidas anteriormente e cujo esboço apresentamos na figura abaixo. Figura 32: Região R = R 1 \ R 2 \ R 3. Observe que r 2 \ C = {1 + p 2, p 2)}, poisx, y) 2 r 2 \ C se, e somente se, x =1+2 p 2 y e x 1) 2 + y 2 =4 ) x =1+2 p 2 y e p 2 y 1) 2 + y 2 =4 ) x =1+2 p 2 y e 2 p 2 y) 2 + y 2 =4 ) x =1+2 p 2 y e y 2 4 p 2y +8+y 2 =4 ) x =1+2 p 2 y e 2y 2 4 p 2y +4=0 ) x =1+2 p 2 y e y 2 2 p 2y +2=0 ) x =1+2 p 2 y e y = 2p 2± p 8 8 = p 2 2 ) x =1+2 p p p 2 2 e y = 2 ) x =1+ p 2 e y = p 2 J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

21 Capítulo Aplicações: bissetrizes, projeção ortogonal e áreas Neste capítulo, vamos determinar as bissetrizes de duas retas, a projeção ortogonal de um vetor sobre uma reta e usaremos vetores para determinar aáreadetriânguloseparalelogramos. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes Sejam r e r 0 duas retas concorrentes no plano. Dizemos que uma reta s é bissetriz de r e r 0 quando os ângulos entre r e s eentrer 0 e s são iguais. Proposição 1 Se s e s 0 são as bissetrizes das retas concorrentes r e r 0,então Figura 1: Bissetrizes s e s 0 das retas r e r 0. s [ s 0 = {P dp, r) =dp, r 0 )} Prova. =)) Suponhamos que s éumabissetrizdasretasr e r 0 que se cortam 97

22 BISSETRIZES DE DUAS RETAS CONCORRENTES no ponto O. SejaP 2 s um ponto arbitrário. A reta perpendicular a r que passa por P intersecta r no ponto Q earetaperpendicularar 0 que passa por P intersecta r 0 no ponto Q 0,comonafigura1. Consideremos os triângulos retângulos 4PQO e 4PQ 0 O. Sendo s bissetriz de r e r 0,osângulos [POQ e \POQ 0 têm a mesma medida e, como os ângulos [PQO e \PQ 0 O são retos, concluímos que os ângulos [OPQ e \OPQ 0 têm a mesma medida. Portanto, os triângulos 4PQO e 4PQ 0 O são congruentes, pois têm o lado OP em comum. Em particular, as medidas dp, r) = PQ e dp, r 0 ) = PQ 0 são iguais. Como P 2 s foi escolhido arbitrariamente, concluímos que os pontos de s são equidistantes de r e r 0. =) Provaremos agora que se P éumpontoequidistanteder e r 0,entãoa reta s que passa pelos pontos O e P éumabissetrizder e r 0. Usando ainda a figura 1, a nossa hipótese equivale a PQ = PQ 0. Como os triângulos 4PQO e 4PQ 0 O têm o lado OP em comum, obtemos, pelo teorema de Pitágoras, que os lados OQ e OQ 0 têm a mesma medida e, portanto, os triângulos retângulos 4PQO e 4PQ 0 O são congruentes. Logo os ângulos [QOP e \Q 0 OP têm a mesma medida. Isto é, a reta s éuma bissetriz de r e r 0. Pela proposição anterior, as bissetrizes s e s 0 de duas retas concorrentes r : ax + by = c e r 0 : a 0 x + b 0 y = c 0 são caracterizadas da seguinte maneira: P =x, y) 2 s [ s 0 ) dp, r) =dp, r 0 ) ) ax + by c p = a0 x + b 0 y c 0 p a 2 + b 2 a 0 ) 2 +b 0 ). 2 Ou seja: P =x, y) 2 s [ s 0 ) ax + by p c = ± a0 x + b 0 y c 0 p a 2 + b 2 a 0 ) 2 +b 0 ). 2 Tomando nesta identidade o sinal positivo, obtemos a equação de uma das bissetrizes e, tomando o sinal negativo, obtemos a equação da outra bissetriz. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

23 CAPÍTULO. APLICAÇÕES: BISSETRIZES, PROJEÇÃO ORTOGONAL E ÁREAS 99 Exemplo 1 Determinar as bissetrizes das retas r :2x + y =1e r 0 :3x +2y =2. Solução. Sejam s e s 0 as bissetrizes de r e r 0. Então: P =x, y) 2 s [ s 0 ) 2x p + y 1 +2y 2 = ±3x p Assim, 8 >< >: ) 2x + p y 1 3x +2y 2 = ± p 13 r ) 2x + y 1=± 3x +2y 2). 13 r s :2x + y 1= 3x +2y 2) 13 r s 0 :2x + y 1= 3x +2y 2), 13 ou seja, 8 >< >: Figura 2: Exemplo 1. r r r s : 2 3 x y = r r r s 0 : 2+3 x y = são as equações das bissetrizes procuradas. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

24 BISSETRIZES DE DUAS RETAS CONCORRENTES Bissetriz de um ângulo Sejam O, P e Q pontos não colineares do plano. Vejamos como usar a linguagem vetorial para determinar a bissetriz do ângulo [POQ. Sejam u = OP e v = OQ. Figura 3: Bissectando o ângulo \POQ. de v Começamos observando que k u k v e k v k u são múltiplos positivos e u,respectivamente,quetêmamesmanorma: kk u k v k = k u k k v k = k v k k u k = kk v k u k. Sejam P 0, Q 0 e R pontos do plano tais que: k v k u = OP 0, k u k v = OQ 0 e OP 0 + OQ 0 = OR. Como os segmentos OP 0 e OQ 0 são congruentes, o paralelogramo OP 0 RQ 0 é um losango. Assim, o segmento OR, que é uma diagonal do losango OP 0 RQ 0,bissectaoângulo \P 0 OQ 0 = [POQ. Logo a semirreta {O + tor, t Exemplo 2 0} éabissetrizdoângulo [POQ. Determine a equação cartesiana da reta r que contém a bissetriz do ângulo [POQ,ondeP =1, 1), O =1, 1) e Q =2, 1). Solução. Sejam u = OP =0, 2) e v = OQ =1, 2). J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

25 CAPÍTULO. APLICAÇÕES: BISSETRIZES, PROJEÇÃO ORTOGONAL E ÁREAS 101 Temos k u k =2e k v k = p.pelovistoacima,ovetor w 0 = k v k u + k u k v = p 0, 2) + 21, 2) = 2, 2 2+ p =2 1, 2+ p éparaleloàretar. Portanto,ovetor w = 2+ p, 1 éumvetornormal a r eaequaçãoder édaforma 2+ p x y = c. Como O =1, 1) 2 r, temos: c = 2+ p 1 1) = 3+ p, e, portanto, r : 2+ p x y =3+ p, éaequaçãoprocurada. Figura 4: Reta r bissectando o ângulo \POQ. 2. Projeção ortogonal de um vetor sobre uma reta Definição 1 A projeção ortogonal do vetor w sobre a reta r éovetor w 0 =Proj r w ) paralelo a r tal que w w 0 éperpendicularar. Figura : Projetando ~w sobre a reta r. Seja u 6= 0 um vetor paralelo à reta r. Então w 0 émúltiplode u,isto Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

26 PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR SOBRE UMA RETA é, w 0 = u,paraalgumnúmero 2 R. Além disso, como w temos: h w w 0, u i =0 ) h w, u i h w 0, u i =0 ) h w, u i = h w 0, u i ) h w, u i = h u, u i ) h w, u i = h u, u i ) = h w, u i h u, u i ) = h w, u i k u k 2. w 0? u, Portanto, Proj r w )= w 0 = h w, u i k u k 2 u Observação 1 Note que a projeção ortogonal do vetor w sobre a reta r depende apenas da direção da reta. Como a direção da reta é dada por qualquer vetor u paralelo a ela, definimos a projeção ortogonal do vetor w sobre o vetor u como sendo a projeção de w sobre qualquer reta r paralela a u,ouseja, Proj u w )=Proj r w )= h w, u i k u k 2 u Exemplo 3 Sejam A =1, 1), B =2, 3), C = 4, 1) e D = 2, 1) pontos do plano. Determine a projeção ortogonal do vetor CD sobre a reta r que passa pelos pontos A e B. Solução. Sejam os vetores w = CD =2, 0) e u = AB =1, 2). Então, como k u k 2 = =: Proj r w ) = h CD, AB i k AB h2, 0), 1, 2)i AB = 1, 2) k 2 = , 2) = 2 2 1, 2) =, 4. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

27 CAPÍTULO. APLICAÇÕES: BISSETRIZES, PROJEÇÃO ORTOGONAL E ÁREAS 103 Exemplo 4 Determine os valores m 2 R de modo que a projeção ortogonal do vetor w =m +1,m 1) sobre o vetor u =m, 1 m) seja um vetor unitário. Solução. Temos kproj u w )k = onde, h w, u i k h w, u i u = u k 2 k k u k = h w, u i u k 2 k, u k h w, u i = hm +1,m 1), m, 1 m)i =m +1)m +m 1)1 m) = m 2 + m m 1) 2 = m 2 + m m 2 +2m 1 = 3m 1, e k u k = km, 1 m)k = p m 2 +1 m) 2 = p 2m 2 2m +1. Logo: h w, u i k u k =1 ) ) 3m 1 p 2m 2 2m +1 =1 3m 1)2 2m 2 2m +1 =1 ) 9m 2 6m +1=2m 2 2m +1 ) 7m 2 4m =0 ) m7m 4) = 0 ) m =0 ou m = 4 7. são os valores procurados. Exemplo Determine o segmento AB obtido projetando-se ortogonalmente o segmento CD sobre a reta r : x +2y =2,ondeC =1, 1) e D =3, 2). Solução. Vamos resolver esse exemplo de duas maneiras. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

28 PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR SOBRE UMA RETA Seja w 0 aprojeçãoortogonaldovetor w = CD =2, 1) sobre a reta r. Então, w 0 = < w, u > u 2 u, onde u =2, 1) éumvetorparaleloàretar, pois1, 2)? r. Logo, ou seja, w 0 = < 2, 1), 2, 1) > 2, 1) = 3 6 2, 1) =, 3, AB = w 6 0 =, 3. Vamos obter o ponto A fazendo a interseção da reta r com a reta s 1 perpendicular à reta que passa por C. Como 1, 2)? r e s 1? r, temosque1, 2) k s 1.Logo2, onde c 1 =2 1 1=1,poisC 2 s 1. s 1 :2x y = c 1, 1)? s 1.Portanto, Assim, A =x, y), ondex, y) éasoluçãodosistema: x +2y =2 2x y =1 ) 2x 4y = 4 =) y = 3=) y = 3 2x y =1 Sendo A = 4, 3 e =) x =2 2y =2 6 AB =, 3 B = A + AB = 4, 3 6 = 4.,obtemosque: + 6, 3 =2, 0). Outra maneira de resolver o exercício, é obter o ponto B da mesma maneira que encontramos o ponto A. Ouseja,opontoB éainterseçãodaretar com aretas 2 perpendicular a r que passa pelo ponto D. Como s 2 k s 1,poiss 2? r e s 1? r, temosque: s 2 :2x y = c 2, J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

29 CAPÍTULO. APLICAÇÕES: BISSETRIZES, PROJEÇÃO ORTOGONAL E ÁREAS 10 onde c 2 =2 3 2=4,umavezqueD =3, 2) 2 s 2. Logo B =x, y) éasoluçãodosistema: 2x y =4 x +2y =2 ) 4x 2y =8 x +2y =2 =) x =10=) x =2 =) y =2x 4 =) y =2 2 4=0. Figura 6: Exemplo. 3. Área de paralelogramos e triângulos Seja ABDC um paralelogramo. Consideremos os vetores u = AC e w = AB. Seja = \ u, w ). Tomando k u k como medida da base, temos que a área A do paralelogramo ABDC é dada por: Figura 7: Cálculo da área do paralelogramo ABDC. A = k u kk w k sen. Logo, Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

30 ÁREA DE PARALELOGRAMOS E TRIÂNGULOS A 2 = k u kk w k sen ) 2 = k u k 2 k w k 2 sen 2 = k u k 2 k w k 2 1 cos 2 ) = k u k 2 k w k 2 k u k 2 k w k 2 cos 2 = k u k 2 k w k 2 k u kk w k cos ) 2. Observe também que: = k u k 2 k w k 2 h u, w i 2. A 2 = k u k 2 k w k 2 h u, w i 2 = k u k 2 h u, w i h u, w i k w k 2 = h u, u i h u, w i h u, w i h w, w i Consideremos agora os vetores u =, ) e w = 0, 0 ) edeterminemos a expressão da área em termos destas coordenadas. temos: Sendo k u k 2 = 2 + 2, k w k 2 = 0 ) ) 2 e h u, w i = 0 + 0, A 2 = ) 0 ) ) 2 ) ) 2 = 2 0 ) ) ) ) ) ) 2 = 2 0 ) ) = 0 ) ) 0 )+ 0 ) 2 apple = 0 0 ) 2 = det Portanto, a área A do paralelogramo de lados adjacentes u =, ) e w = 0, 0 ) éomódulododeterminantedamatrizcujaslinhassãoas coordenadas de u e w,respectivamente: A = det 0 0 J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

31 CAPÍTULO. APLICAÇÕES: BISSETRIZES, PROJEÇÃO ORTOGONAL E ÁREAS 107 Você pode verificar que A étambémomódulododeterminanteda matriz cujas colunas são as coordenadas de u e w : 0 A = det 0 Exemplo 6 Determine a área do paralelogramo ABDC, ondea =1, 2), B =3, 1), C =4, 1) e D = 2, 3). Solução. Como AB =2, 1) e AC =3, 1), aáreaa do paralelogramo ABDC é: 2 1 A = det = 2+3 = Área de um triângulo Consideremos agora um triângulo 4ABC de vértices A, B e C eseja T asuaárea. Figura 8: Triângulo 4ABC. Observamos que, para calcular a área de um paralelogramo, foi necessário o conhecimento de dois lados adjacentes não paralelos). Assim, considerando o paralelogramo ABDC, deladosadjacentesab e AC eárea A, temos: T = 1 2 A = 1 AB 2 det AC Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

32 ÁREA DE PARALELOGRAMOS E TRIÂNGULOS onde AC. AB representa a matriz cujas linhas são as coordenadas de AC AB e Exemplo 7 Determine a área T C =3, 2). do triângulo de vértices A = 4, 2), B = 6, 1) e Solução. Temos que AB =2, éaáreaprocurada. 1) e AC = T = 1 2 det , 0). Logo, = = 1 2, Exemplo 8 Sejam A =1, 2), B =3,n+2)e C =n 1, 1). Determineosvaloresden de modo que o triângulo 4ABC tenha área T igual a 1 2. Solução. Temos que AB =2,n) e T = 1 2 det 2 n n 2 1 AC =n 2, 1). Logo, = nn 2) = n2 +2n = 1 2 n2 2n +2. Assim, T = 1 2 ) n2 2n +2 =1) n 2 2n +2=±1. Tomando o sinal positivo, obtemos a equação n 2 2n +2=1) n 2 2n +1=0) n 1) 2 =0. Isto é, n =1éumasolução. Considerando o sinal negativo, obtemos a equação n 2 2n +3=0que, por ter discriminante = 2) 2 41)3) < 0, nãopossuiraízesreais. Portanto, n =1éaúnicasoluçãoaoproblemaproposto. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

33 Capítulo 6 Exemplos de revisão Exemplo 1 Dado o ponto A =0, 3) easretasr : x+y = 1 e s : x 2y =, encontre: a) As coordenadas dos pontos C 2 s cuja distância a r é p 2. r. b) Ache as coordenadas do ponto A 0 simétrico de A em relação à reta Solução. a) Da equação da reta s, vemosqueumpontoc pertence à reta s, se esomentese,c =2y,y) para algum y 2 R. Então, Figura 1: Retas r e s epontosc 1 e C

34 110 dc, r) = p 2 ) 3y 4 =2 ) 2y ) + y +1 p = p 2 ) >< 3y 4=2 y =2 >< ou ) ou >: >: 3y 4= 2 y = 2 3 Para y 1 =2, x 1 =2y 1 =22) = 1 e C 1 = 1, 2). Para y 2 = 2 3, x 2 =2y 2 =2 2 3 = 4 3 = 11 3 e C 2 = 11 3, 2. 3 b) Seja ` aretaperpendicularar que passa por A. O ponto A 0 simétrico de A em relação a r éopontodareta `, distintodea, talque da 0,r)=dA, r). Como 1, 1)? r, temos 1, 1) k `. Logo da forma ` : 1, 1)? ` eaequaçãode` é x + y = c, ondec se determina sabendo que A =0, 3) 2 `: Seja M opontodainterseçãodasretas Figura 2: Ponto A 0 simétrico de A em relação a r. 0+3=c =) c =3=) ` : x + y =3. ` e r. ParadeterminarM, devemosresolverosistemaformadopelasequações de ` e r: ` \ r : x + y =3 x + y = 1. Somando as equações, obtemos 2y =2,ouseja,y =1e, substituindo este valor na segunda equação, obtemos x = 2. Portanto,M = 2, 1). Como M éopontomédiodosegmentoaa 0,temos: M = 1 2 A + A0 ) =) A 0 =2M A =2 2, 1) 0, 3) = 4, 2) 0, 3) = 4, 1). Exemplo 2 Faça um esboço detalhado da região R do plano dada pelo sistema de ine- J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

35 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 111 quações: 8 >< x apple y +1 R : x y >: x 2 + y 2 > 1. 2 Solução. AregiãoR éainterseçãodasregiões: R 1 : x apple y +1, R 2 : x y e R 3 : x 2 + y 2 > 1 2. Determinando a região R 1 AregiãoR 1 consiste dos pontos x, y) tais que x apple y +1,ouseja,x y apple 1. Consideremos a reta r 1 : x y =1eseuvetornormala, b) =1, 1), que aponta no sentido para o qual o parâmetro c na equação x y = c aumenta. Assim, a região R 1 éosemiplanodafigura3. Determinando a região R 2 AregiãoR 2 éformadapelospontosx, y) tais que x y, ouseja,x+y 0. Considerando agora a reta r 2 : x + y =0,seuvetornormala, b) =1, 1) aponta no sentido para o qual o parâmetro c na equação x + y = c aumenta. AregiãoR 2 éosemiplanoindicadonafigura4. Figura 3: Região R 1. Figura 4: Região R 2. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

36 112 Determinando a região R 3 AequaçãoC : x 2 + y 2 = 1 representa o círculo de centro na 2 origem eraio 1 p 2. Para um ponto x, y) pertencer à região R 3,oquadrado da sua distância à origem deve ser maior que 1 2,ouseja,opontodeve estar na região exterior ao círculo C, comomostramosnafigura. Figura : Região R 3. Para esboçarmos corretamente a região R, devemos determinar a interseção de r 1 com r 2 : r 1 \ r 2 : x y =1 x + y =0 =) 2x =1=) x = 1 2 =) y = 1 2. Assim, as retas se intersectam no ponto de A = 1 2, 1. Este ponto per = = tence à circunferência C, pois Além disso, {A} = r 1 \ C, pois: P =x, y) 2 r 1 \ C ) x = y +1 e x 2 + y 2 = 1 2 ) x = y +1 e y +1) 2 + y 2 = 1 2 ) x = y +1 e 2y 2 +2y + 1 =0 2 ) x = y +1 e 4y 2 +4y +1=0 ) x = y +1 e y = 4 ± p ) x = y +1 e y = 1 2 ) x = e y = 1 2 ) x = 1 e y = Na figura 6, mostramos a região R = R 1 \ R 2 \ R 3. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

37 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 113 Figura 6: Região R, exemplo2. Exemplo 3 Determine os pontos C e B de modo que a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r : x +3y = 6 seja o segmento CD, ondea = 1, 1), D =3, 1) e AB éumsegmentocontidonumaretaparalelaaovetor2, 1). Solução. Primeiro vamos determinar a reta ` que contém os pontos A e B. Como AB éparaleloaovetor2, 1), temos AB? 1, 2) e, portanto, ` : x +2y = c. Determinamosc sabendo que A 2 `: c = 1+21)=1. Logo ` : x +2y =1. Seja agora r 1 aretaperpendicularar que passa por D =3, 1). Como 1, 3)? r, temos 1, 3) k r 1. Logo 3, 1)? r 1 e, portanto, a equação de r 1 tem a forma: r 1 : 3x + y = c. Como D =3, 1) 2 r 1, c = 33) + 1 = 8. Assim, r 1 : 3x + y = 8. Para determinarmos o ponto B r 1 \ ` = {B}), devemos resolver o sistema formado pelas equações de r 1 e `: Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

38 114 3x + y = 8 x +2y =1 =) 3x + y = 8 3x 6y = 3 =) y = 11 =) y = 11 =) x =2y 1= 22 1= Logo B =, 11. OpontoC procurado, além de pertencer à reta r, devepertenceràretar 2 perpendicular a r que passa por A. Sendo r 1 k r 2,aequaçãoder 2 deve ser da forma r 2 : calculado sabendo que A =1, 1) 2 r 2 : c = 31) + 1 = 2. Portanto, r 2 : 3x + y = 2. Temos então {C} = r 2 \ r : 3x + y = 2 3x + y = 2 =) x +3y =6 3x +9y =18 24 =) x =6 3y =6 = 6 6 Assim, C =, 8 éooutropontoprocurado. 3x + y = c, ondec é =) 10y =16=) y = 8.. Exemplo 4 Figura 7: Segmento CD obtido projetando o segmento AB sobre a reta r. Seja P oparalelogramoabdc cujas diagonais estão sobre as retas x = t +1 r 1 : y = t +1 ; t 2 R e r x = 2s +1 2 : ; s 2 R y = s +2 J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

39 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 11 Sabendo que A =1, 1) equeab r, onder éumaretaparalelaao vetor 2, 1), determineosvérticesb, C e D de P. Solução. Sabemos que num paralelogramo as diagonais cortam-se num ponto M, que é ponto médio de ambas. Em nosso caso, {M} = r 1 \ r 2 : t +1= 2s +1 t +2s =0 r 1 \ r 2 : =) =) s =1. t +1=s +2 t s =1 Logo M = 2 1+1, 1+2)= 1, 3) éopontomédiodasdiagonaisad e BC. Em particular, M = A + D =) 2M = A + D =) D =2M A = 2, 6) 1, 1) = 3, ). 2 Como A e D pertencem à reta r 1 t =0et = 4, respectivamente),os pontos B e C pertencem à reta r 2. Além disso, {B} = r \ r 2. Determinemos a reta r. Sabemos que a reta r passa por A eéparalelaaovetor 2, 1). Logo 1, 2)? r e, portanto, r : x +2y = c. Como A =1, 1) 2 r, obtemos c = 1+21)=1. Assim, r : x +2y =1. Determinemos agora o vértice B. Como B 2 r 1 \ r 2, B = Figura 8: Paralelogramo P = ABDC, exemplo4. 2s +1,s+2),paraalgums, e 2s +1)+2s +2)=1=) 2s 1+2s +4=1=) 4s = 2=) s = Logo B = 2 +1, = 2, 3. 2 Finalmente, para determinar C, usamosdenovoopontomédio: M = B + C =) C =2M B = 2, 6) 2, 3 = 4, 9, concluindo assim a determinação dos vértices de P Veja a figura 8). Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

40 116 Exemplo Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A =7, 3), B =1, 9) e C =, 7). Solução. OcentroD do círculo C circunscrito ao triângulo 4ABC éopontodeinterseção das mediatrizes dos lados deste triângulo. Além disso, como A, B, C 2 C, oraior de C édadopor: R = da, D) =db,d) =dc, D). Para determinar o ponto D,basta achar eintersectarduasmediatrizes. Sabemos que a mediatriz do segmento AB, ouseja,oconjunto m AB = {P dp, A) =dp, B)}, éaretaperpendicularaovetorab que passa pelo ponto médio M AB do segmento AB. Como M AB = 1 2 7, 3) + 1, 9)) = 1 8, 12) = 4, 6) 2 e aretam AB tem equação: Sendo M AB =4, 6) 2 m AB,c= AB = 6, 6)? r ) 1, 1)? r, m AB : x + y = c. 4+6=2.Portanto, m AB : x + y =2. Figura 9: Exemplo. Determinemos a mediatriz m BC do segmento BC, istoé,aretaperpendicular ao vetor BC que passa pelo ponto médio Como M BC = 1 2 1, 9) +, 7)) = 1 6, 16) = 3, 8). 2 BC =4, 2)? m BC ) 2, 1)? m BC,aequaçãodamediatriz m BC édaforma m BC :2x y = c, J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

41 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 117 onde c écalculadosabendoquem BC 2 m BC,ouseja,c =23) 8= 2. Logo, m BC :2x y = 2. Para determinar D, devemos resolver o sistema formado pelas equações de m AB e m BC : x + y =2 2x y = 2 ) x +2x)+y y) =2 2 ) x =0. Logo y =2+x =2e, portanto, D =0, 2) éocentrodec. Além disso, R = dd, A) = p 0 7) ) 2 = p = p 0 éoraio de C. Finalmente, ou seja, éaequaçãodocírculoc. C :x 0) 2 +y 2) 2 = p 0 2, C : x 2 +y 2) 2 =0, Exemplo 6 Considere as retas r 1 :4x y =0, r 2 :4x y =1, e r 3 : t 2 R.. DetermineopontoC 2 r 3 tal que dc, r 1 )=dc, r 2 ). Solução. Temos que P =x, y) equidista de r 1 e r 2 ) dp, r 1 )=dp, r 2 ) ) dp, r 1 )= ) 4x y 4x y 1 p = p ) ) = dp, r 2) 2 ) 4x y = 4x y 1 ) 4x y = ±4x y 1) 8 8 < 4x y =4x y 1 < 0= 1 : ou 4x y = 4x + y +1 ) : ou 8x 2y =1 x =2t y = t ; Sendo a primeira dessas alternativas impossível, a segunda deve acontecer. Isto é, P =x, y) equidista de r 1 e r 2 ) 8x 2y =1) 4x y = 1 2. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

42 118 Portanto, o conjunto dos pontos equidistantes das retas paralelas r 1 e r 2 éa reta s, paralelaaambas,quetemporequação: Então {C} = s \ r 3,ouseja,C =2t, s :4x y = t) t) = 1 2 =) t = 1 18 =) C = t) para algum t 2 R e 2 18, Exemplo 7 Seja 4ABC um triângulo de área 4 tal que AB r 1 e AC r 2,onde r 1 : y =3x+1 e r 2 éaretaparalelaaovetor u =3, 1) que passa pelo ponto M =3, 2). Ache a equação cartesiana da reta r 3 paralela ao vetor v =1, contém o lado BC, edetermineosvérticesa, B e C. 1) que Solução. Como AB r 1 e AB r 2,temos{A} = r 1 \ r 2. Para determinar o vértice A, devemosobteraequaçãodaretar 2. informações dadas, as equações paramétricas de r 2 são : x =3+3t r 2 : ; t 2 R. y =2+t Assim, A =3+3t, 2+t), paraalgumt 2 R. Sendo A 2 r 1,temos: 2+t =33+3t)+1) 2+t =10+9t ) 8t = 8 ) t = 1. Portanto, A =3+3 1), 2+ 1)) = 0, 1). Em relação aos outros dois vértices, temos: Como e B 2 r 1 =) B =x, 3x +1), para algum x 2 R C 2 r 2 =) C =3t +3,t+2), para algum t 2 R. AB =x 0, 3x +1) 1) = x, 3x) Pelas J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

43 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 119 AC =3t +3) 0, t +2) 1) = 3t +3,t+1), temos que: área 4ABC) = 1 2 det x 3x 3t +3 t +1 ou seja, Além disso, como = 1 xt + x 9xt 9x = 1 8xt 8x 2 2 xt +1) =4 = 8 2 BC k r 3 e v =1, xt +1) =1 1) 1) k r 3,temos BC k v,onde BC =3t +3) x, t +2) 3x +1))=3t x +3,t 3x +1). BC Assim, det =0,ouseja, v BC 3t x +3 t 3x +1 det =det v 1 1 = 3t + x 3 t +3x 1= 4t +4x 4=0 ) t + x 1=0) x = t +1. Substituindo na identidade 1), obtemos x 2 =1,ouseja,x 2 =1. Logo x =1ou x = 1. Se e, portanto, Se Logo, x =1=) t = x 1=1 1=0 B =1, 31) + 1) = 1, 4) e C =30)+3, 0+2)=3, 2). x = 1=) t = x 1= 1 1= 2. B = 1, 3 1) + 1) = 1, 2) e C =3 2) + 3, 2+2)= 3, 0). Obtemos, assim, dois triângulos que resolvem o problema: Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

44 120 Otriângulo4ABC,comvértices A =0, 1), B =1, 4) e C =3, 2). Otriângulo4ABC,comvértices A =0, 1), B = 1, 2) e C = 3, 0). Determinemos, em cada caso, aretar 3 que contém os vértices B e C. Figura 10: Exemplo 7. Em ambos os casos, v = 1, 1) k r 3,ouseja,1, 1)? r 3.Logor 3 : x+y = c, onde o valor c pode ser determinado sabendo, por exemplo, que o ponto B, calculado em cada um dos dois casos, pertence a r 3. No primeiro caso: c =1+4==) r 3 : x + y =. No segundo caso: c = 1 2= 3=) r 3 : x + y = 3. Exemplo 8 a)mostre que as retas r 1 : x y =2e r 2 : x + y =2são tangentes ao círculo C : x 2 + y 2 =2,edetermineospontosdetangência. b) Usando o item a), façaumesboçodetalhadodaregiãor do plano dado pelo seguinte sistema de inequações: 8 x 2 + y 2 < 4 >< x 2 + y 2 2 R : x + y 2 >: x 1. Solução. a) Uma reta r étangenteaumcírculoc quando a interseção de C com r consiste de um único ponto P, opontodetangência. Um ponto P 1 =x, y) 2 r 1 \ C se, e somente se, J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

45 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 121 x = y +2 e x 2 + y 2 =2 ) x = y +2 e y +2) 2 + y 2 =2 ) x = y +2 e 2y 2 +4y +2=0 ) x = y +2 e y 2 +2y +1=0 ) x = y +2 e y = 1 ) x =1 e y = 1 ) P 1 =1, 1). E um ponto P 2 =x, y) 2 r 1 \ C se, e somente se, x =2 y e x 2 + y 2 =2 ) x =2 y e 2 y) 2 + y 2 =2 ) x =2 y e y 2 2y +1=0 ) x =1 e y =1 ) P 2 =1, 1). b) Observe que R = R 1 \ R 2 \ R 3 \ R 4,onde: R 1 : x 2 + y 2 < 4, R 2 : x 2 + y 2 2, R 3 : x + y 2 R 4 : x 1. Determinando R 1. Note que C 1 : x 2 +y 2 =4éocírculo de centro na origem e raio 2. Os pontos que satisfazem à primeira inequação são os pontos interiores aestecírculo. Figura 11: Região R 1. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

46 122 Determinando R 2. Note que C 2 : x 2 + y 2 =2,éocírculo de centro na origem e raio p 2. Os pontos que satisfazem à segunda inequação são os pontos exteriores aestecírculoeospontosdestecírculo. Determinando R 3. Como R 3 : y 2 x e y = regiões S 1 e S 2 : Figura 12: Região R 2. y, se y 0 y, se y apple 0, R 3 éauniãodeduas S 1 éainterseçãodosemiplanoy 0 com o semiplano acima da reta x + y =2: S 1 = {x, y) y 0 e x + y 2}. S 2 éainterseçãodosemiplanoy apple 0 com o semiplano abaixo da reta x y =2: S 2 = {x, y) y apple 0 e x y 2}. Figura 13: Região S 1. Figura 14: Região S 2. AregiãoR 3 éauniãodasregiõess 1 e S 2,comomostraafigura6. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

47 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 123 Figura 1: Região R 3. Determinando R 4. AregiãoR 4 consiste dos pontos P =x, y), comx direita da reta vertical x =1. 1, istoé,dospontosà Figura 16: Região R 4. Figura 17: Região R. Determinando R. Finalmente, sabendo, pelo itema), que r 1 \C 2 = {1, 1)} e r 2 \C 2 = {1, 1)} podemos esboçar a região R. Exemplo 9 Seja ABDC um paralelogramo tal que A 2 r 1, B 2 r 2, C =2, 3), múltiplo do vetor 1, 4) e AC? r 3,onde CD é Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

48 124 r 1 : x = t +1 y = 2t +3 ; t 2 R, r 2 : x = s +3 y =4s 1 ; s 2 R, r 3 :2x 3y =6. Determine os vértices A, B e D, ecalculeaáreadoparalelogramo. Solução. Sendo AC? r 3 e 2, 3)? r 3,temosAC k 2, AC det =0. 2, 3) 3), ouseja, Como A 2 r 1,temos,paraalgumt2R, quea =t +1, 2t +3) e, portanto, AC =2 t +1), 3 2t +3))=1 t, 2t). Logo, Assim, det AC 2, 3) = det 1 t 2t = 31 t) 22t) 2 3 = 3+3t 4t = 3 t =0=) t = 3. A =t +1, 2t +3)= 3+1, 2 3) + 3) = 2, 6+3)=) A = 2, 9). Como ABDC éumparalelogramo, 1, 4), AB = CD,esendo CD múltiplo de para algum k 2 R. CD = k1, 4) = k, 4k), 2) Por outro lado, B 2 r 2 =) B = s +3, 4s 1), paraalgums 2 R. Logo AB = s +3 2), 4s 1 9) = s +, 4s 10). Sabendo que dois vetores são iguais se, e somente se, as suas correspondentes coordenadas são iguais, temos: AB = CD ) s +=k 4s 10 = 4k. Substituindo k da primeira equação na segunda, obtemos 4s 10 = 20s +20=) 24s =30=) s = = 4 =) k = 4 += 4. J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

49 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 12 Se D =x, y), temospor2), que CD =x 2,y 3) = 4 4, 4 = 3 Assim, D =x, y) = 4 +2, +3 = 4, 2. Também, se B = x 0,y 0 ), temos x 0 2),y 0 9) = AB = CD. Logo x 0 = 2 4,. 4 = e y0 =9 =4.Istoé,B = 4, 4. 4,, pois Calculemos agora a área do paralelogramo ABDC. Como AB = 4, e AC =2 2), 3 9) = 4, 6), temos: AB área ABDC) = det 4 = det AC 4 6 = = = 2. Exemplo 10 Considere os pontos E =1, 6), F =2, 3) easretasr 1 e r 2 dadas por: x =2t 1 r 1 : y =t +1 ; t 2 R e r 2 :3x y =3. Determine os pontos A, B, G e D tais que DE seja a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r 1 e FG seja a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r 2,sabendo-sequeAB =1, 2). Solução. Sendo DE aprojeçãoortogonaldeab sobre r 1,opontoB deve ser projetado no ponto E esendofg aprojeçãoortogonaldeab sobre r 2,oponto A deve ser projetado no ponto F. Seja s 1 aperpendicularar 1 que passa por E. Então B 2 s 1. Determinemos as equações paramétricas de s 1. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

50 126 Como 2, ) k r 1, então 2, )? s 1. Logo, 2) k s 1 e, sendo E =1, 6) 2 s 1,temos: x =t +1 s 1 : y = 2t +6 ; t 2 R. Em particular, B 2 s 1 =) B =t +1, 2t +6),paraalgumt 2 R. Analogamente, seja s 2 aretaquepassaporf eéperpendicularar 2. Então A 2 s 2. Determinemos as equações paramétricas de s 2. Sendo s 2? r 2 e 3, 1)? r 2,temos3, 1) k s 2. Logo, como F =2, 3) 2 s 0,asequaçõesparamétricasdes 2 são: x =3s +2 s 2 : y = s +3 ; s 2 R. Como A 2 s 2,devemosterA =3s +2, s +3),paraalgums 2 R. Por hipótese, AB =1, 2). Logo: AB = t +1) 3s +2), 2t +6) s +3)) = t 3s 1, 2t + s +3)=1, 2). Essa identidade nos permite calcular os valores dos parâmetros t e s: t 3s 1 = 1 t 3s = 2 ou seja, 2t + s +3 = 2, 2t + s = 1. Multiplicando a segunda equação por 3 e somando com a primeira,obtemos: t = 1 ) t =1. Substituindo na segunda equação, concluímos que s =21) 1=1. Portanto, A =31)+2, 1+3) =, 2) e B =1)+1, 21)+6) = 6, 4). Para achar o ponto D 2 r 1 tal que DE éaprojeçãoortogonaldeab sobre r 1,precisamosdeterminararetas 3 perpendicular a r 1 que passa por A. O ponto D éainterseçãodes 3 com r 1. Como s 3? r 1 e 2, ) k r 1,aequaçãodes 3 édaforma: s 3 :2x +y = c. Sendo A =, 2) 2 s 3,devemosterc =2)+2)=20.Portanto, s 3 :2x +y =20. Intersectar r 1 com s 3 significa achar o ponto 2t 1, t+1) 2 r 1 que pertence a s 3,ouseja,acharovalordet para o qual as coordenadas deste ponto J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

51 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS DE REVISÃO 127 satisfazem a equação de r 3 : 22t 1) + t +1)=20 =) 4t 2+2t +=20 =) 29t =17=) t = Este valor de t éoparâmetrodopontod na reta r 1 : D = , = 29, Finalmente, o ponto G éopontodeinterseçãoder 2 com a sua perpendicular s 4 que passa por B =6, 4). Como s 4? r 2 e 3, 1)? r 2,temos3, 1) k s 4.Logo, x =6+3s s 4 : ; s 2 R, y =4 s pois B =6, 4) 2 s 4. Calculemos o valor do parâmetro s de modo que o ponto satisfaça a equação de r 2 : G =6+3s, 4 s) 2 s s) 4 s) =3 =) s 4+s =3 =) 10s = 11 =) s = Portanto, G = , 4+11 = 10 10, Figura 18: r 1? s 1, r 1? s 3, r 2? s 2 e r 2? s 4. Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF

52 128 J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial