Calculadora gráfica: TI-Nspire

Transcrição

1 Calculadora gráfica: TI-Nspire 1.1. Configuração da unidade de medida de ângulos Aceda ao ecrã principal (c) e selecione as opções 5: Definições e : Definições do documento. Aceda ao campo Ângulo utilizando as setas de navegação ou premindo a tecla e e escolha a unidade de medida de amplitude de ângulos pretendida. Por fim, faça Predefinir para que as configurações sejam aplicadas ao documento atual e a novos documentos. 1.. Representação de uma medida numa determinada unidade Análise Descrição Resultado Ângulo em graus Escreva o valor, prima a tecla ¹ e escolha o símbolo. Ângulo em radianos Escreva o valor, prima a tecla ¹ e escolha o símbolo r Funções trigonométricas Análise Descrição Resultado - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: grau (ou radiano). - Prima a tecla µ e escolha a função trigonométrica, por exemplo, cos. Modo grau/radiano r π π - Obtenha cos60, cos60, cos e cos. 3 3 Quando a calculadora está em modo grau (ou radiano), para se obter o valor da razão trigonométrica de um ângulo com medida de amplitude em radianos (graus), tem de se escrever a medida da amplitude com o símbolo r (símbolo ). Para se obter o valor da razão trigonométrica de um ângulo com medida de amplitude em graus (em radianos) não é necessário escrever a medida de amplitude com o símbolo (símbolo r ). 5

2 1.4. Conversão de graus para radianos e vice-versa Análise Descrição Resultado Introduza o valor em graus (com o símbolo do grau), prima a tecla k, no separador 1: escolha a opção Rad e prima a tecla. Conversão de graus para radianos Se a unidade de medida nas configurações da calculadora for o grau não necessita de introduzir o símbolo. Se introduzir apenas um valor em graus, com o símbolo do grau, e premir a tecla, a calculadora converte automaticamente para radianos caso a unidade de medida definida por defeito nas configurações da calculadora seja o radiano. Introduza o valor em radianos (com o símbolo r ), prima a tecla k, no separador 1: escolha a opção DD e prima a tecla. Conversão de radianos para graus Se a unidade de medida nas configurações da calculadora for o radiano não necessita de introduzir o símbolo r. Se introduzir apenas um valor em radiano, com o símbolo r, e premir a tecla, a calculadora converte automaticamente para graus caso a unidade de medida definida por defeito nas configurações da calculadora seja o grau Conversão para graus, minutos e segundos Análise Descrição Resultado Conversão para graus, minutos e segundos Introduza o valor em graus ou radianos (com os respetivos símbolos), prima a tecla k, escolha a opção DMS no separador 1: e prima a tecla. 6

3 Calculadora gráfica: TI-84 Plus C 1.1. Configuração da unidade de medida de ângulos Prima a tecla M, navegue até à unidade pretendida e prima a tecla e. Para voltar ao ecrã principal utilize a sequência de teclas `M. 1.. Representação de uma medida numa determinada unidade Análise Descrição Resultado Ângulo em graus Prima as teclas `A para aceder à opção ö, escolha a opção 1: e prima a tecla e. Ângulo em radianos Prima as teclas `A para aceder à opção ö, escolha a opção 3: r e prima a tecla e Funções trigonométricas Análise Descrição Resultado - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: grau (ou radiano). - Escolha a função trigonométrica, por exemplo, prima a tecla c, para escolher a função cos(). Modo grau/radiano r π π - Obtenha cos60, cos60, cos e cos. 3 3 Quando a calculadora está em modo grau (ou radiano), para se obter o valor da razão trigonométrica de um ângulo com medida de amplitude em radianos (graus), tem de se escrever a medida da amplitude com o símbolo r (símbolo ). Para se obter o valor da razão trigonométrica de um ângulo com medida de amplitude em graus (em radianos) não é necessário escrever a medida de amplitude com o símbolo (símbolo r ). (modo grau) (modo radiano) 7

4 1.4. Conversão de graus para radianos e vice-versa Análise Descrição Resultado - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: radiano. Conversão de graus para radianos - Introduza o valor em graus (com o símbolo ) e prima a tecla e. As expressões têm de ser colocadas entre parênteses com o símbolo do grau fora dos parênteses. - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude do ângulo: o grau. Conversão de radianos para graus - Introduza o valor em radianos (com o símbolo r ) e prima a tecla e. As expressões têm de ser colocadas entre parênteses com o símbolo do radiano fora dos parênteses Conversão para graus, minutos e segundos Análise Descrição Resultado - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: o grau. Conversão para graus, minutos e segundos - Introduza o valor em graus ou radianos (com os respetivos símbolos), prima a sequência de teclas `A, escolha a opção 4:DMS e prima a tecla e duas vezes. 8

5 Calculadora gráfica: Casio fx-cg 1.1. Configuração da unidade de medida de ângulos Aceda ao ecrã principal (p) e selecione uma opção, por exemplo, 1 Run-Matrix. Prima as teclas Lppara exibir a tela de configuração. Utilizando as teclas de navegação, selecione a opção Angle e escolha a unidade de medida de amplitude de ângulos pretendida, premindo as teclas q, wou e para escolher, respetivamente, grau, radiano ou grado. 1.. Representação de uma medida numa determinada unidade Análise Descrição Resultado Ângulo em graus Escreva o valor e prima a sequência de teclas iuy(angle)q ( ). Ângulo em radianos Escreva o valor e prima a sequência de teclas iuy(angle)w ( r ) Funções trigonométricas Análise Descrição Resultado Modo grau/radiano - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: grau (ou radiano). - Escolha a função trigonométrica, por exemplo, prima a tecla c, para escolher a função cos(). r π π - Obtenha cos60, cos60, cos e cos. 3 3 Quando a calculadora está em modo grau (ou radiano), para se obter o valor da razão trigonométrica de um ângulo com medida de amplitude em radianos (graus), tem de se escrever a medida da amplitude com o símbolo r (símbolo ). Para se obter o valor da razão trigonométrica de um ângulo com medida de amplitude em graus (em radianos) não é necessário escrever a medida de amplitude com o símbolo (símbolo r ). 9

6 1.4. Conversão de graus para radianos e vice-versa Análise Descrição Resultado - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: radiano. Conversão de graus para radianos - Introduza o valor em graus (com o símbolo do grau) e prima a tecla l. As expressões têm de ser colocadas entre parênteses com o símbolo do grau fora dos parênteses. Conversão de radianos para graus - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de ângulo, o grau; - Introduza o valor em radianos (com o símbolo do radiano r ) e prima a tecla l. As expressões têm de ser colocadas entre parênteses com o símbolo do radiano fora dos parênteses Conversão para graus, minutos e segundos Análise Descrição Resultado - Defina nas configurações da calculadora a unidade de medida de amplitude de ângulo: grau. Conversão para graus, minutos e segundos - Introduza o valor em graus ou radianos com os respetivos símbolos e prima a tecla l. - Prima a sequência de teclas iuy(angle)y para converter o resultado. 10

7 Resolução de problemas Ponto-sombra Na figura seguinte, o ponto P move-se sobre a circunferência de raio 1, no sentido positivo, a partir de A e percorrendo 1 grau por segundo. Um foco luminoso F, situado em (0, ), produz a sombra de P sobre a reta de equação y =. 4cosα x =. sinα (Note que o ponto-sombra é a interseção de duas retas.) 1.1. Prove que x ( α), abcissa do ponto-sombra, é dada por ( α) 1.. Recorrendo à calculadora gráfica, indique ao fim de quantos segundos a abcissa x ( α) atinge o valor máximo. Adaptado da prova oficial de 1995 Época Normal Resolução: 1.1. Seja α o ângulo AOP. Então, a posição do ponto P na circunferência é dada por ( α α) A equação vetorial da reta FP é da forma Q= F+ kfp, k R. Logo, a equação vetorial da reta FP é dada por: FP= P F = = ( cos α, sinα) ( 0,) ( cos α,sinα ) ( ) ( ) ( α α ) x, y = 0, + k cos,sin, k R Assim, as equações paramétricas da reta FP são dadas por: ( α ) x= kcosα y= + k sin, k R cos,sin. 11

8 Como o ponto-sombra pertence à reta de equação y =, da primeira equação paramétrica resulta que 4 k = e da segunda sinα 4 4cosα x = cosα =. sinα sinα Portanto, a abcissa do ponto-sombra é dada em função de α por ( α) α x = 4cos. sinα 1.. Recorrendo à calculadora gráfica, introduz-se a expressão da função x ( α), ajusta-se a janela de visualização de gráficos, por exemplo, [ 5,5] [ 3,4 ] e observa-se que a abcissa x ( α) atinge o valor máximo para α 0, radianos. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg O ponto P move-se sobre a circunferência de raio 1, no sentido positivo, a partir de A e percorrendo 1 grau 1 π por segundo. Convertendo para o sistema circular, o ponto P percorre radianos por segundo. 360 Seja to intervalo de tempo em segundos que decorreu desde o instante inicial. 1 π α α α 360 α 360 = Δt= t= t= 30 s 360 t π π π 360 A abcissa x ( α) atinge o valor máximo ao fim de 30 s. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 1

9 Calculadora gráfica: TI-Nspire.1. Lista de termos consecutivos Definição Descrição Resultado - Prima a tecla k e no separador 1: escolha a função seq(). Termo geral - Introduza os argumentos de seq() separados por vírgulas. Seq(termo geral, variável, ordem inicial, ordem final) A expressão do termo geral pode ser por ramos. - Prima a tecla k e no separador 1: escolha a função seqgen(). Recorrência - Introduza os argumentos de seq() separados por vírgulas. Seq(expressão, variável independente, variável dependente, {valor inicial para a variável independente, valor final para a variável independente}, {termos iniciais separados por vírgulas}).. Gráfico de sequências/sucessões Definição Descrição Resultado - Prima a tecla b e escolha as opções 3: Introdução/Edição de gráficos, 6: Sequência e 1: Sequência. Termo geral - Introduza a expressão do termo geral e prima a tecla. A expressão do termo geral pode ser definida por ramos. 13

10 - Prima a tecla b e escolha as opções 3: Introdução/Edição de gráficos, 6: Sequência e 1: Sequência. Recorrência - Introduza a expressão de recorrência, os termos iniciais separados por vírgulas e prima a tecla..3. Termo de uma sequência/sucessão Definição Descrição Resultado - Represente graficamente a sucessão/sequência como descrito no tópico Gráfico de sequência/sucessões, por exemplo, a sucessão de Fibonacci. Termo geral ou recorrência - Prima a tecla b, escolha as opções 5: Traçar e 1: Traçado do gráfico e insira a ordem para a qual pretende o termo, por exemplo, premindo a tecla 5 para obter o 5. o termo. Também poderá obter os termos usando as teclas de navegação. Para desativar a ferramenta Traçado do gráfico prima a tecla d. 14

11 Calculadora gráfica: TI-84 Plus C Nesta calculadora, para trabalhar as sequências e sucessões, prima a tecla M e ative a opção seq premindo a tecla e. Utilize a sequência de teclas `M para voltar ao ecrã principal..1. Lista de termos consecutivos Definição Descrição Resultado - Prima a tecla!, defina o valor mínimo para ordem (nmin=1), introduza a expressão do termo geral e prima a tecla e. - Prima a sequência de teclas `@ (TBLSet), altere TblStart e Tbl para 1. Termo geral - Prima a sequência de teclas ` %(TABLE) para visualizar a tabela com os termos. Se pretender obter termos para ordens dadas, altere nas configurações da tabela (TBLSet) Indpnt para Ask. - Prima a tecla!, defina o valor mínimo para ordem (nmin=1), introduza a expressão de recorrência, defina os primeiros termos entre chavetas separados por vírgulas e prima a tecla e. Recorrência - Prima a sequência de teclas `@ (TBLSet), altere TblStart e Tbl para 1. - Prima a sequência de teclas ` %(TABLE) para visualizar a tabela com os termos. Para introduzir o nome das sucessões prima a sequência de teclas `7 para u; `8 para v e `9 para w. Se pretender obter termos para ordens dadas altere nas configurações da tabela (TBLSet) Indpnt para Ask. 15

12 .. Gráfico de sequências/sucessões Definição Descrição Resultado Termo geral ou recorrência - Prima a tecla!, defina a sucessão como descrito no tópico Lista de termos consecutivos e prima a tecla %. Deve definir as dimensões da janela de visualização premindo a e alterando os valores das opções..3. Termo de uma sequência/sucessão Definição Descrição Resultado - Represente graficamente a sequência/sucessão como descrito no tópico Gráfico de sequência/sucessões, por exemplo, a sucessão de Fibonacci. - Prima a tecla $, insira a ordem para a qual pretende o termo, por exemplo 5, e prima a tecla e. Termo geral ou recorrência Também poderá obter os termos usando as teclas de navegação < >. Quando se introduz uma ordem para obter um termo usando a função TRACE, deve-se ter em atenção se a janela de visualização é a mais adequada. Depois de se introduzir a expressão da sequência/sucessão pode-se obter o termo na janela principal da calculadora introduzindo, por exemplo, u(0). 16

13 Calculadora gráfica: Casio fx-cg Nesta calculadora, para trabalhar as sequências e sucessões deve-se entrar no modo Recursion, p O, do menu principal..1. Lista de termos consecutivos Definição Descrição Resultado No modo Run-Matrix: - Prima a sequência de teclas iq(list) y para aceder à função Seq. - Introduza os argumentos de Seq() separados por vírgulas: Seq(termo geral, variável, ordem inicial, ordem final, incremento) No modo Recursion: - Prima as teclas e(type) e q (an) para definir o tipo de expressão com o termo geral. Termo geral - Prima a tecla y(set) e altere o valor inicial e final para n e prima a tecla l. - Prima a tecla u(table) para visualizar a tabela com os termos. Para voltar à expressão geral prima a tecla q(formula) ou a tecla d. 17

14 No modo Recursion: - Prima as teclas e(type) e w(an+1) ou e (an+) conforme a expressão de recursão a introduzir dependa apenas do termo anterior ou dos dois termos anteriores. Prima a tecla r para inserir os termos anteriores e/ou a variável n. Recorrência - Prima a tecla y(set), altere o valor inicial e final para n, escolha a opção a1 para definir que o primeiro termo tem ordem 1, premindo a tecla w, introduza os termos iniciais e prima a tecla l. - Prima a tecla u(table) para visualizar a tabela com os termos. Para voltar ao ecrã inicial com as expressões prima a tecla q(formula) ou d... Gráfico de sequências/sucessões Definição Descrição Resultado - Defina os termos a representar graficamente numa tabela como é descrito no tópico, Lista de termos consecutivos. Termo geral ou recorrência - Visualize a tabela, u(table), e prima a tecla u(gph-plt). Deve definir as dimensões da janela de visualização premindo as teclas Le (V-Window) e alterando os valores das opções..3. Termo de uma sucessão/sequência Definição Descrição Resultado - Represente graficamente a sucessão/sequência como descrito no tópico Gráfico de sequência/sucessões, por exemplo, a sucessão de Fibonacci. Termo geral ou recorrência - Prima as teclas Lq (TRACE) e utilize as teclas de navegação!$ até encontrar a ordem pretendida, por exemplo, 5. Depois de introduzir a expressão da sequência/sucessão tem de se configurar, na opção SET, um intervalo para n de modo que a ordem pretendida pertença a esse intervalo. 18

15 Resolução de problemas Curva de Koch Uma formiga pretende chegar do ponto A ao ponto B percorrendo um percurso construído em diferentes fases. A primeira fase do percurso corresponde ao segmento de reta [AB]. Para obter a segunda fase da construção do percurso, divide-se o segmento de reta [AB] em três segmentos de reta iguais e substitui- -se o segmento do meio por dois segmentos de reta iguais ao que foi substituído. Na terceira fase, divide- -se cada segmento de reta em três segmentos de reta iguais e substitui-se cada um dos segmentos do meio por dois segmentos de reta iguais ao substituído. As fases seguintes seguem o mesmo procedimento: dividir cada segmento de reta em três segmentos iguais e substituir o do meio por dois segmentos de reta iguais ao substituído. No limite, o percurso de A a B coincide com a chamada curva de Koch. Seja ( u n) a sucessão cujo termo geral é o comprimento do percurso na fase n e a distância de A a B igual a 5 cm. n Mostre que u n= Sabendo que a formiga percorreu aproximadamente 6,65 m para ir de A para B, indique recorrendo às capacidades da calculadora gráfica em que fase de construção se encontrava o percurso..3. Conseguirá a formiga chegar de A a B quando o percurso coincidir com a curva de Koch? Justifique a resposta. 19

16 Resolução:.1. Na primeira fase, o segmento tem comprimento 5 cm, logo, u 1 = 5. Na segunda fase, temos 4 segmentos com 1 3 do comprimento do segmento da primeira fase, ou seja, 4 u = 5. 3 Na terceira fase, temos 16 segmentos com 1 9 do comprimento do segmento da primeira fase, ou seja, 4 u 3= 5. 3 Assim, ( u n) é uma progressão geométrica de razão 4 3 e de primeiro termo u 1 = 5. n 1 4 Portanto, u = 5. n 3.. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, introduz-se a expressão da sucessão ( u n), ajusta-se a janela de visualização de gráficos, por exemplo, [ ] [ ] 5,30 00,1000 e, utilizando a opção trace ou visualizando a tabela de valores, obtém-se a ordem 18 (fase de construção) para o termo 665 (comprimento do percurso nessa fase). Logo, a construção encontrava-se na 18. a fase. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg.3. ( un) é uma progressão geométrica de razão 4 3, logo, lim u =+. n Assim, a formiga não consegue chegar a B quando o percurso coincidir com a curva de Koch. 0

17 Calculadora gráfica: TI-Nspire 3.1. Gráficos cartesianos Adicionar a aplicação Gráficos Para adicionar a aplicação Gráficos a um novo documento prima as teclas c1 e escolha a opção : Adicionar Gráficos. Para adicionar a aplicação Gráficos a um documento existente prima /~ ( ) e escolha a opção : Adicionar Gráficos. Nota: Poderá utilizar o modo Rascunho para representar gráficos de funções premindo duas vezes na tecla». Representar graficamente uma função Para representar a função f( x) = 0,5( x 3), insira a expressão da função na linha de entrada (b Ver Mostrar linha de entrada) e prima a tecla (tecla usada para executar instruções). A sequência de teclas /G permite alternar a visibilidade da linha de entrada e a tecla e alterna entre todos os campos da aplicação. Pode-se alternar a visibilidade do gráfico da função desativando a caixa de seleção atrás da respetiva função na linha de entrada. Para alterar a espessura e a cor da linha de um gráfico usamos as teclas /b quando o cursor se encontra na linha de entrada da respetiva função ou quando o gráfico é selecionado com o TouchPad. Janela de visualização Para definir manualmente a janela de visualização prima a tecla b e selecione as opções 4: Janela/Zoom e 1: Definições da janela. Introduza os valores pretendidos nos campos da caixa de diálogo Definições da janela. A opção 5: Zoom Standard centra a janela de visualização em [ 10,10 ]. Podemos alterar a escala dos eixos ou mover a área do gráfico com o TouchPad ativando o cursor ù com a combinação de teclas /x. 1

18 3.. Operações e transformações do gráfico de uma função Considere as funções definidas por ( ) ( ) ( ) 3 f x = 0,5 x 3 e g x = 0,x 3,x. Na linha de entrada, insira a expressão de f em f1 e de g em f. Função Descrição Resultado f g Insira em f3 a expressão f1(x) f(x). fg Insira em f4 a expressão f1(f(x)). f(3x + 4) + 1 Insira em f5 a expressão f1(3x + 4) Função módulo Considere a função f definida por f( x) = 0,x 3 3,x. Função Descrição Resultado Prima a tecla t para inserir a função módulo. f( x) = 0,x 3 3,x Insira a expressão 0.x 3 3.x na linha de entrada Restrição de uma função Considere a função f definida por f( x) = ( x 4) + 4. Na linha de entrada, insira a expressão de f em f1. Função Descrição Resultado f [,6 ] Prima a tecla t e insira em f(x) a expressão: { f( x) = ( x 4) + 4, x 5 Prima as teclas /=, ou seja, aceda a Í para obter o símbolo. f [, + [ Prima a tecla t e insira em f3(x) a expressão: { f3( x) = ( x 4) + 4, x

19 3.5. Função definida por ramos Considere a função h definida por: h( x ) + x+ 5 se 0 x 4 = 1 se 4< x 9 Função Descrição Resultado h ( x ) + x+ 5 se 0 x 4 = 1 se 4< x 9 Prima a tecla t para selecionar o modo de sistema e inserir a expressão de h na linha de entrada Inequações Prima as teclas /=, ou seja, aceda a Í para obter o símbolo. Inequação Descrição Resultado y x + Na linha de entrada, prima a tecla. para apagar o sinal = e selecione a opção 1:. Introduza a expressão y x +. x > Na linha de entrada, prima a tecla. para apagar o sinal = e selecione a opção 4: >. Insira expressão x > substituindo y por x Tabelas Na linha de entrada, insira a expressão da função f definida por f( x) ( x ) = Análise Descrição Resultado Obter tabela Prima a tecla b e selecione as opções 7: Tabelas e 1: Tabela de ecrã dividido. Configurar tabela Prima a tecla b e selecione as opções : Tabela de valores e 5: Editar definições da tabela da tabela de valores. Insira o início da tabela e o passo da tabela. 3

20 3.8. Estudo de funções 3 Considere as funções f e g definidas por ( ) ( ) ( ) f x = 0, 5 x 3 e g x = 0,x 3,x. Na linha de entrada, insira a expressão de f em f1 e de g em f. Análise Descrição Resultado Ponto sobre um objeto Prima a tecla b e selecione as opções 8: Geometria, 1: Pontos e retas e : Ponto sobre um objeto. Determinar objetos e imagens Modificando o valor da abcissa (ou da ordenada), a calculadora procura automaticamente a imagem (o objeto) correspondente. Para modificar o valor de uma das coordenadas faça um duplo clique com o TouchPad. Determinar imagens (usando a variável f1) Na aplicação Calculadora, com a expressão já introduzida na linha de entrada, escreva f1(3) para obter a imagem de 3 pela função f. A tecla h dá acesso a todas as variáveis definidas no corrente problema. Prima a tecla b e selecione as opções 6: Analisar gráfico e 1: Zero. Zeros de uma função Indique o limite inferior e superior do intervalo onde se pretende obter o zero da função. Extremos de uma função Interseção de gráficos de funções Prima a tecla b e selecione as opções 6: Analisar gráfico e : Mínimo. Indique o limite inferior e superior do intervalo onde se pretende obter o mínimo da função. Prima a tecla b e selecione as opções 6: Analisar gráfico e 4: Interseção. Indique o limite inferior e superior do intervalo onde se pretende obter a interseção das funções. 4

21 3.9. Derivada de uma função num ponto Considere a função f definida por f( x) = 0,5( x 3). Suponhamos que pretendemos obter f ( ) Aplicação Descrição Resultado - Insira em f1 a expressão ( ) a tecla. 0.5 x 3 e prima ' 6. Gráficos - Prima a tecla b, selecione as opções 6: Analisar gráfico e 5: dy/dx e escreva o valor de x para o qual pretende obter a derivada (6) ou defina no gráfico a posição pretendida. - Prima a tecla b, selecione as opções 4: Cálculo e 1: Derivada numérica num ponto, preencha os campos Variável (x), Valor (6), indique a ordem da Derivada (1. a derivada) e prima OK. Calculadora - Introduza a expressão ( x ) indicada e prima a tecla na caixa Gráfico da função derivada de uma dada função 3 Considere a função f definida por f( x)= x x 5x. Função Descrição Resultado ( ) = ( 3 ) f' x x x 5 x ' - Coloque o cursor em f1, prima a tecla k e escolha a função nderivative() do separador 1:. - Insira a expressão ( 3 5 ) x x x e x separados por vírgula e prima a tecla. 5

22 Calculadora gráfica: TI-84 Plus C 3.1. Gráficos cartesianos Representar graficamente uma função Para representar a função ( ) ( ) f x = 0,5 x 3, prima a tecla!, insira a expressão da função e visualize o gráfico premindo a tecla %. Para inserir a variável x use a tecla x. Pode alternar a visibilidade do gráfico da função ao mudar o estado de seleção do sinal de igual à frente de Y1 premindo a tecla e. Janela de visualização Para definir manualmente a janela de visualização, prima a e introduza os valores pretendidos. Premindo a tecla #, a opção 6: ZStandard centra a janela de visualização no intervalo [ 10,10 ] e a opção 0: ZoomFit define os valores de Ymin e de Ymax de modo a visualizar o gráfico da função X, X. no intervalo [ ] mín máx 3.. Operações e transformações do gráfico de uma função 3 Considere as funções f e g definidas por ( ) ( ) ( ) f x = 0,5 x 3 e g x = 0,x 3,x. Prima a tecla! e insira a expressão de f em Y1 e a de g em Y. Função Descrição Resultado f g Prima a tecla! e insira em Y3 a expressão Y1(x) Y(x). Para inserir a variável Y1 prima a sequência de teclas v>11. fg Prima a tecla! e insira em Y4 a expressão Y1(Y(x)). f(3x + 4) + 1 Prima a tecla! e insira em Y5 a expressão Y1(3x+4)+1. 6

23 3.3. Função módulo Considere a função f definida por f( x) = 0,x 3 3,x. Função Descrição Resultado Selecione a opção 1: abs( do menu NUM, premindo a sequência de teclas m>1. f( x) = 0,x 3 3,x Prima a tecla! e insira em Y1 a expressão 0.x 3 3.x Restrição de uma função Considere a função f definida por f( x) = ( x 4) + 4. Função Descrição Resultado Prima a tecla! e insira em Y a expressão ( )( ) Y = ( x 4) + 4 x. f [, + [ Para inserir o sinal, prima a sequência de teclas `m4. Nota: Nesta expressão, os pontos que não pertencem ao intervalo [, + [ têm imagem 0. Uma forma de ultrapassar este problema consiste em somar o produto de 0 com uma função cujo domínio é [, + [, ou seja, ( ) Y = x x. f [,5 ] Prima a tecla! e insira em Y3 a expressão ( )( )( ) Y3 = ( x 4) + 4 x x 5. 7

24 3.5. Função definida por ramos Considere a função h definida por: h( x ) x 3 se x 4 = 1 se x> 4 Função Descrição Resultado h ( x ) x 3 se x 4 = 1 se x> 4 Prima a tecla! e insira em Y1 a expressão x 3 x x > 4. ( )( ) ( )( ) Para inserir o sinal, prima a sequência de teclas `m Inequações A aplicação Inequalz, disponível em para todas as versões da família TI-84, permite a representação gráfica de inequações. Para iniciar esta aplicação, prima a tecla A e escolha a opção 4:Inequalz. Inequação Descrição Resultado y x + Após iniciar a aplicação Inequalz, prima a tecla! e prima < para posicionar o cursor no sinal de igual em Y1. Prima F3 (a #) para escolher o sinal de desigualdade e insira a expressão x +. Visualize a representação gráfica premindo a tecla %. x > 1 Para introduzir inequações do tipo x> a, mova o cursor até à opção x= e prima a tecla e. Insira a expressão 1 e prima %. 8

25 y x+ x > 1 Na janela do gráfico, prima as teclas a!1 para visualizar a interseção das inequações introduzidas na calculadora Tabelas Considere a função f definida por ( ) ( ) f x = x Prima a tecla! e insira a expressão def em Y1. Análise Descrição Resultado Obter tabela Para aceder a ê, prima as teclas `%. Configurar tabela Para aceder a ç, prima as teclas `@. Insira o início e o incremento para a variável independente Estudo de funções 3 f x = 0,5 x 3 e g x = 0,x 3,x. Considere as funções f e g definidas por ( ) ( ) ( ) Prima a tecla! e insira a função f em Y1 e a de g em Y. Análise Descrição Resultado Determinar imagens Aceda ao menu è premindo as teclas `$ e selecione a opção 1:value. Insira para valor do objeto e prima e para obter a respetiva imagem. 9

26 Determinar imagens (usando a variável Y1) Na janela principal, insira a expressão Y1() para obter a imagem de pela funçãof. Para obter Y1, prima a sequência de teclas v>11. Aceda ao menu è premindo as teclas `$ e selecione a opção :zero. Usando as teclas < e > para mover o cursor, assinale o limite inferior do intervalo premindo a tecla e. Zeros de uma função Repita o procedimento anterior para assinalar o limite superior. Prima a tecla e para a calculadora procurar o zero no intervalo indicado. Nota: A variável x assume o valor do zero encontrado e pode ser utilizado na janela principal da calculadora. Aceda ao menu è premindo as teclas `$ e selecione a opção 3:Minimum. Extremos de uma função Indique os limites inferior e superior do intervalo onde se pretende determinar o mínimo da função. Prima e para determinar o extremo no intervalo indicado. Interseção de gráficos de funções Aceda ao menu è premindo as teclas `$ e selecione a opção 5:Intersect. Aproxime o cursor do ponto de interseção pretendido e prima três vezes a tecla e para selecionar as funções a intersetar e determinar o ponto de interseção. 30

27 3.9. Derivada de uma função num ponto f x = 0,5 x 3. Considere a função f definida por ( ) ( ) Suponhamos que se pretende obter f '( 6). Aplicação Descrição Resultado - Prima a tecla!, insira em Y1 a expressão ( ) tecla e. 0.5 x 3 e prima a Gráficos - Prima a tecla %, aceda ao menu [CALC](`$), escolha a opção 6: dy/dx e prima as teclas 6e para obter a derivada para x =6. Calculadora Prima a tecla m, escolha a opção 8:nDeriv(, preencha as caixas com x, ( ) 0.5 x 3 e 6, prima a tecla e Gráfico da função derivada de uma dada função 3 Considere a função f definida por f( x)= x x 5x. Função Descrição Resultado ( ) = ( 3 ) f' x x x 5 x ' - Prima a tecla!, coloque o cursor em Y1, escolha a opção 8:nDeriv(, preencha as 3 caixas com x, ( 5 ) tecla e. x x x e x. Prima a - Prima a tecla % para visualizar o gráfico da função derivada. 31

28 Calculadora gráfica: Casio fx-cg 3.1. Gráficos cartesianos Representar graficamente uma função Para representa a função ( ) ( ) f x = 0,5 x 3, no menu principal, selecione a opção 5 Graph. Insira a expressão de f e prima a tecla l. Para obter a representação gráfica prima a tecla u (DRAW). A tecla d permite regressar à janela de introdução de funções. f Tecla para introduzir a variável x. q (SELECT) Alterna a visibilidade do gráfico da função selecionada. w (DELETE) Apaga a função selecionada. Janela de visualização Para definir manualmente a janela de visualização prima as teclas Le (V-Window) e introduza os valores pretendidos. As duas imagens seguintes apresentam os valores para a opção q (INITIAL) e e (STANDRD), respetivamente. Para voltar à janela com as expressões das funções, prima a tecla d. 3.. Operações e transformações do gráfico de uma função 3 f x = 0,5 x 3 e g x = 0,x 3,x. Considere as funções f e g definidas por ( ) ( ) ( ) Na opção 5 Graph insira a expressão de f em Y1 e a g em Y. Função Descrição Resultado Inserir a variável Y Prima a sequência de teclas o, r (GRAPH) e q (Y). f g Insira em Y3 a expressão Y1(x) Y(x). 3

29 fg Insira em Y4 a expressão Y1(Y(x)). f(3x + 4) + 1 Insira em Y5 a expressão Y1(3x+4) Função módulo Considere a função f definida por f( x) = x 5x. Função Descrição Resultado Na aplicação 5 Graph insira em Y1 a expressão x 5x. f( x) = x 5x Para inserir a função módulo, prima a sequência de teclas i, y (Numeric) e q (Abs) Restrição de uma função f x = x Considere a função f definida por ( ) ( ) Para definir a restrição de uma função, usamos a seguinte fórmula: expressão, [a, b]. A calculadora apenas aceita a restrição com o intervalo fechado. O utilizador deve saber se considera as imagens apresentadas pela calculadora nos extremos do intervalo consoante é fechado ou aberto. Na opção 5 Graph do menu principal, insira a expressão de f em Y1. Função Descrição Resultado f [,5 ] Insira em Y a expressão: ( x 4) 4, [,5] + f [, + [ Insira em Y3 a expressão: ( x 4) 4, [, ] + 33

30 3.5. Função definida por ramos Considere a função definida por: h( x ) + x+ 5 se 0 x 4 = 1 se 4< x 9 Nesta calculadora, cada ramo é considerado uma função distinta. Função Descrição Resultado h ( x ) + x+ 5 se 0 x 4 = 1 se 4< x 9 Na aplicação 5 Graph, insira em Y1 a expressão + + 5, [ 0, 4] expressão 1,[4,9]. x e em Y a Foi usada a janela de visualização INITIAL Inequações Inequação Descrição Resultado Na opção 5 Graph do menu principal, prima a sequência de teclas e (TYPE), u e r para o modo Y 1. y x + Complete a expressão Y1 x + e prima a tecla l para terminar. Prima a tecla u (DRAW) para representar as inequações introduzidas. x > Prima a sequência de teclas e (TYPE), u, u e q para o modo x >. Complete a expressão x > Tabelas f x = x Considere a função f definida por ( ) ( ) Análise Descrição Resultado Obter e configurar a tabela Na opção 7 Table do menu principal, insira a função f em Y1 e escolha a opção TABLE premindo a tecla u. Use a opção ROW, acessível na tecla e, para apagar e inserir linhas. 34

31 3.8. Estudo de funções 3 f x = 0,5 x 3 e g x = 0,x 3,x. Considere as funções f e g definidas por ( ) ( ) ( ) Na opção 5 Graph do menu principal, insira a expressão da função f em Y1 e a de g em Y. Na janela de representação gráfica, a calculadora disponibiliza o menu G-SOLVE (Ly) com opções para obter zeros, extremos, ordenada na origem e interseção de gráficos. As opções para obter objetos e imagens estão disponíveis premindo u. No seguinte quadro, apresenta-se um exemplo de cada opção. Análise Descrição Resultado No menu G-SOLVE (Ly) prima a tecla u para mais opções. Para calcular y: Determinar objetos e imagens Escolha a opção Y-CALC, tecla q, insira o valor da abcissa e prima a tecla l para obter a ordenada correspondente. Para calcular x: Escolha a opção X-CALC, tecla w e insira o valor da ordenada 4. Prima a tecla l para assinalar o ponto encontrado e prima a tecla $ para procurar o ponto seguinte. Zeros de uma função No menu G-SOLVE, Ly, escolha a opção ROOT premindo a tecla q. Prima a tecla l para assinalar o zero e prima a tecla $ para procurar o zero seguinte. Extremos de uma função No menu G-SOLVE, Ly, escolha a opção MIN premindo a tecla e. Prima l para assinalar o extremo da função. Interseção de gráficos de funções No menu G-SOLVE, Ly, escolha a opção INTSECT, premindo a tecla y. Prima l para assinalar a interseção. 35

32 3.9. Derivada de uma função num ponto f x = 0,5 x 3. Considere a função f definida por ( ) ( ) Suponhamos que se pretende obter f '( 6). Aplicação Descrição Resultado - Insira em Y1 a expressão ( x ) escolha a opção DRAW e Graph - Aceda à função TRACE (Lq), indique o valor de x premindo a tecla 6 e prima a tecla l. Para que a derivada surja no ecrã quando for ativada a função TRACE, a opção DERIVATIVE da configuração da calculadora, SET UP (Lb), deverá ser ON. - Prima a tecla i e escolha as opções CALC (r) e d/dx (w). Run-Matrix - Insira a expressão ( ) 0.5 x 3 e o valor de x (6) nas caixas correspondentes e prima a tecla l Gráfico da função derivada de uma dada função 3 Considere a função f definida por f( x)= x x 5x. Função Descrição Resultado - Coloque o cursor em Y1, prima a tecla i e escolha as opções CALC (w) e d/dx (q). ( ) = ( 3 ) f' x x x 5 x ' - Insira a expressão ( 3 5 ) x x x e x para o valor de x nas caixas correspondentes e prima a tecla l. - Selecione Y1 e escolha a opção DRAW. 36

33 Resolução de problemas 3 Seja F a família de retas tangentes ao gráfico da função f( x)= x 5x + 6x definida no intervalo 5 0, Determine a ordenada na origem da reta t, dessa família, que passa por P. 1.. Mostre que a área do triângulo [POQ] é dada por: a + 5a A = Determine o valor de a para o qual a área do triângulo [POQ] é máxima Mostre que o gráfico da função definida por g( x) da família F. x + 9 = admite como assíntota uma reta x+ Resolução: f( a)= a 5a + 6a Logo, o ponto de tangência P, de abcissa a, tem coordenadas (, ) a a a a. A reta t pertence à família F, ou seja, é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x= a e de equação y = m x+ b. t t O declive da reta t pode ser determinado por = '( ) m f a. Como a função derivada de f é definida t por f' ( x)= 3x 10x + 6, temos: ( ) m = f' a = 3a 10a + 6 t Substituindo as coordenadas de P, ponto do gráfico de f de abcissa a, na equação reduzida de t, obtemos: ( ) ( ) b = y mx = a 5a + 6a 3a 10a+ 6 a= a + 5a t P P A ordenada na origem da reta t é b = a 3 + 5a. 3 3 t 37

34 ( a ) b h 3 + 5a a 5a 3 a A triângulo = = = 1.3. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, introduz-se a expressão da função f, define-se 5,7,6, e obtêm-se as coordenadas uma janela de visualização adequada, por exemplo, [ ] [ ] aproximadas (1,875; 4,119873) do ponto do gráfico de f onde a função atinge o valor máximo. O valor de a para o qual a área do triângulo [POQ] é máxima é de, aproximadamente, 1,875. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 1.4. Por 1.1., a equação reduzida da reta t é: ( ) ( ) y= 3a 10a+ 6 x+ a + 5 a, a 0, 3 5 Por outro lado, determinada a equação da assíntota não vertical ao gráfico da função g, temos: ( ) ( ) g x x + 9 g x m = lim = lim = ; x + x + lim = x x + x x x x + 9 x + 9+ x + 4x b= lim ( g( x) mx) = lim + x = lim = 4; lim ( g( x) mx ) = 4 x + x x x x+ x Logo, a assíntota ao gráfico de g tem equação reduzida y= x + 4. Se a assíntota ao gráfico de g é uma reta da família F, então: 3a 10a + 6= e a 3 + 5a = a 10a+ 6= 3 a = 8+ a= ± a= a = No caso a =, temos: a 3 + 5a = = 4 No caso a = , temos: a + 5a = ( ) Portanto, t: y= x + 4 é a equação da assíntota ao gráfico de g e pertence à família F de retas tangentes ao gráfico de g. 38

35 Resolução de problemas Página 57 da parte do manual 1. Uma empresa recebeu uma encomenda de embalagens metálicas com a forma de um paralelepípedo retângulo. Cada embalagem deverá ter dm de altura e 6 dm 3 de volume Mostre que a área total da embalagem, em dm, é dada por A( x) 4x + 6x+ 1 =, sendo x uma x das dimensões da base. 1.. Para que a área total não exceda 0 dm, que dimensões deve ter a base da embalagem? Resolução: 1.1. Dado que a expressão do volume da embalagem é dada por V = x y e que o volume da embalagem é de 6 dm, temos que: V = x y 6= xy y= 3 x A expressão da área total da embalagem é dada, em função de x e y, por x+ y+ xy. Substituindo y por 3 x, obtemos a expressão da área total da embalagem em função de x: 3 3 4x + 6x+ 1 A( x) = 4x+ 4 + x = x x x 1.. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, introduz-se as funções definidas pelas expressões 4x + 6x+ 1 y= x e y =0, define-se uma janela de visualização adequada, por exemplo, [ 1,10] [ 5,30 ], procura-se a interseção dos dois gráficos e obtêm-se os pontos de interseção de coordenadas ( 1,5; 0) e (,0 ). A embalagem tem área total A(x) inferior ou igual a 0 dm se as dimensões da base forem x e 3 x, para x [ 1,5;]. 39

36 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 40

37 Resolução de problemas Página 63 da parte do manual 43. A empresa CPU dedica-se à montagem e venda de computadores. O número C de computadores vendidos pela empresa está relacionado com o montante x, em milhares de euros, gasto em publicidade, por: ( ) C x 1000x = x Que quantia terá a CPU de investir em publicidade para vender 600 computadores? 43.. Quantos computadores venderá a empresa se o investimento em publicidade for nulo? Resolução: E se investir 15 mil euros? 9.1. Para determinar quanto tempo esteve o corpo no ar temos de descobrir o instante onde a altura é 0, ou seja, E se h( t gastar )=0. 30 mil euros em publicidade? Se, em despesas de publicidade, a empresa tiver um lucro de 150 por computador, compensará gastar em publicidade? E será que compensa gastar ? Justifique as respostas apresentando os cálculos convenientemente Considere a expressão ( ) 0,15 ( ) L x = C x x. L a) Justifique que, no contexto da situação apresentada, ( x) é o lucro obtido, em milhares de euros, com a venda de C computadores após o investimento de x milhares de euros em publicidade. b) Determine o montante que deve ser investido em publicidade para que o lucro obtido na venda de computadores seja superior a 99 mil euros. Resolução: 43. C( x) C( x) 1000x = x x x = 600 = = 0 x+ 10 x x x 6000 = x 00 = 0 x x x= x= 5, ,5 1000= 5500, logo a empresa CPU terá de investir

38 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg C ( 0)= = 380; C ( 15) = = 75 e C ( 30) = = A empresa venderá 380, 75 e 845 computadores, respetivamente. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg Lucro se investir 0 em publicidade: C ( 0) 150= = Lucro se investir em publicidade: C ( 15) = = Lucro se investir em publicidade: C ( 30) = = Assim, compensa mais gastar em publicidade do que TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 4

39 43.4. a) Se forem investidos x milhares de euros em publicidade, temos: C( x ) Número de computadores vendidos 0,15 C( x ) Lucro obtido se x = 0 0,15 C( x) x Lucro obtido após um investimento de x milhares de euros em publicidade b) L( x) 0,15 ( ) = C x x 1000x L( x) > 99 0,15 C( x) x> 99 0,15 x> 99 x x x+ 570 x 10x 99x 990 x 99> 0 > 0 x+ 1 x+ 10 x + 41x 40 = 0 x + 41 x 40 > 0 0 < x< 1 x+ 10 Assim, devem ser investidos entre 0 mil e 1 mil euros. Cálculo auxiliar: 41± ± 1 x + 41x 40= 0 x= x= x= 0 x = 1 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 43

40 Resolução de problemas Página 111 da parte do manual 9. Um corpo foi lançado verticalmente de baixo para cima. A altura h, em metros, atingida pelo corpo ao fim de t segundos, é dada por: 9.1. Quanto tempo esteve o corpo no ar? 9.. Qual é a altura máxima atingida pelo corpo? h( t)= 4,9+ 48, 51t 4,9t Apresente o resultado em metros com aproximação às centésimas Determine a velocidade média durante a subida Determine, em km/h, a velocidade no instante t =3,7. Resolução: 9.1. Para determinar quanto tempo esteve o corpo no ar temos de descobrir o instante onde a altura é 0, ou seja, h( t )=0. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, introduz-se a expressão da função h, define-se uma 5,15 30,150, e obtêm-se os zeros da função. janela de visualização adequada, por exemplo, [ ] [ ] Verifica-se que o corpo esteve no ar 10 segundos. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 9.. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, obtém-se a altura máxima de 14,96 m. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 44

41 9.3. Pela alínea anterior, sabe-se que a subida do corpo ocorreu entre 0 e 4,95 segundos, logo: h ( 4,95) h( 0) 4,95 0 = 4,55 Portanto, a velocidade média da subida é de 4,55 m/s. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 9.4. Analiticamente: h' ( t)= 9,8t + 48, 51 Assim, h '( 3,7)= 9,8 3,7+ 48,51= 1,5. Utilizando a calculadora gráfica: h '( 3,7)= 1,5 m/s 3600 Convertendo o resultado para a unidade km/h, temos 1,5 = 44, No instante t=3,7s, a velocidade é de 44,1 km/h.. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 45

42 Calculadora gráfica: TI-Nspire 4.1. Listas na calculadora Para adicionar a aplicação Listas e Folha de Cálculo a um novo documento prima as teclas c1 e escolha a opção 4: Adicionar Listas e Folha de Cálculo. Para adicionar a aplicação a um documento existente prima /~ ( ) e escolha novamente a opção 4. Exemplo 1: Considere a lista de classificações de 8 alunos do 11. o ano num teste de avaliação de Matemática A: { 1,8,15,18,9,13,11,10 } As classificações serão definidas como variável dados. Análise Descrição Resultado Introduzir uma lista na aplicação Listas e Folha de Cálculo Insira na coluna A os números: 1,8,15,18,9,13,11,10 Atribuir uma variável a uma lista na aplicação Listas e Folha de Cálculo Atribua à variável dados a coluna A, escrevendo o nome da variável na primeira linha da coluna A. Dentro da aplicação Listas e Folha de Cálculo, a lista pode ser representada pela variável a[] ou pela variável dados. Introduzir uma lista na aplicação Calculadora Insira a seguinte expressão e prima a tecla : dados: = { 1,8,15,18,9,13,11,10} Prima as teclas /t para aceder a Ï. 46

43 Calcular a média dos elementos de uma lista na aplicação Calculadora Prima a tecla b e escolha as opções 6: Estatística, 3: Lista e 3: Média para aceder à função média. Insira a expressão mean(dados) e prima a tecla para obter a média. Para obter a lista dos quadrados dos desvios relativamente à média, insira uma das seguintes expressões na segunda linha da coluna B: = (a[] mean(a[]) )^ ou Operar com listas para obter os quadrados dos desvios = (dados mean(dados) )^ Na aplicação calculadora, apenas está definida a variável dados, ou seja, é necessário usar a segunda expressão: (dados mean(dados))^ A variável dados está acessível premindo a tecla h. Memorizar uma lista numa variável Para atribuir a variável qd à lista que contém os quadrados dos desvios relativamente à média, insira a seguinte expressão: qd:= (dados mean(dados))^ Prima as teclas /t para aceder à função Ï. Somar os elementos de uma lista Para obter a soma da lista qd, já definida, insira a seguinte expressão: =sum(qd) 47

44 Contar o número de elementos de uma lista Para contar o número de elementos da lista dados, insira a seguinte expressão: count(dados) Ordenar uma lista ascendentemente Prima a tecla b e escolha as opções 6: Estatística, 4: Operações sobre Lista e 1: Ordenação ascendente para aceder à função SortA. Insira a expressão e prima : SortA dados Obter um elemento da lista Insira a seguinte expressão e prima para obter o terceiro elemento da lista dados: dados[3] Obter o desvio- -padrão amostral (utilizando operações sobre as listas) Insira a seguinte expressão e prima a tecla : (( ( )) ) count( dados) 1 sum dados mean dados Obter o desvio- -padrão amostral (usando as função da calculadora) Prima a tecla b e escolha as opções 6: Estatística, 3: Lista e 7: Desvio padrão da amostra. Insira a seguinte expressão e prima a tecla : stdevsamp(dados) 48

45 4.. Estatísticas na calculadora (dados simples) Considere, novamente, o exemplo 1 das classificações de oito alunos no teste de avaliação de Matemática A. Análise Descrição Resultado Prima a tecla b e escolha as opções 6: Estatística, 1: Cálculos estatísticos e 1: Estatística de uma só variável. Estatísticas na calculadora Insira o Número de listas: 1. Insira a variável dados em Lista X1 e prima a tecla Estatísticas na calculadora (dados agrupados) Exemplo : Considere a seguinte tabela de frequências correspondentes aos resultados obtidos por 16 alunos na Prova Final de Matemática do 9. o ano de uma escola. Classificação n i

46 Análise Descrição Resultado Insira as seguintes expressões e prima a tecla : Introduzir as duas listas na aplicação Calculadora classif: ={,3,4,5 } freq: ={ 3,6,5, } Prima as teclas /t para aceder a Ï. Prima a tecla b e as opções 6: Estatística, 1: Cálculos estatísticos e 1: Estatística de uma só variável. Estatísticas na calculadora Insira o Número de listas: 1. Insira a variável classif em Lista X1 e a variável freq em Lista de Frequências Histograma na calculadora Exemplo 3: Considere a tabela de frequências correspondentes aos resultados obtidos no Exame Final Nacional de Matemática A do 1. o ano de uma escola. Resultados n i [0, 4[ 5 [4, 8[ 14 [8, 1[ 16 [1, 16[ 7 [16, 0[ 8 50

47 Análise Descrição Resultado Inserir os dados da tabela nas listas Insira a marca de cada classe na coluna A e atribua esta coluna à variável resultados. Insira a lista das frequências absolutas na coluna B e atribua esta coluna à variável ni. Prima a tecla b e escolha as opções 3: Dados e 8: Gráficos de resumo. Na janela Gráfico de resumo, selecione a variável resultados para Lista X e a variável ni para Lista resumo. Escolha a opção visualizar em Nova página e prima a tecla ou clique no botão OK. Representar o histograma Prima a tecla b e selecione as opções: : Propriedades dos gráficos : Propriedades do histograma : Definições das barras 1: Largura da barra igual Ajuste a largura da barra para o valor 4 (amplitude da classe) e o alinhamento para 0 (limite inferior da primeira classe). Prima a tecla para obter o histograma. 51

48 4.5. Dados bivariados Exemplo 4: Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius ( o C) e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio (mmhg), durante sete dias. Temperatura ( o C) Pressão atmosférica (mmhg) Análise Descrição Resultado Introduzir as duas listas na aplicação Calculadora Insira as seguintes expressões e prima a tecla : temperatura: ={ 18,0,1,19,17,1,} pressao: ={ 810,810,800,800,800,815,805 } Prima as teclas /t para aceder a Ï. Obter as estatísticas de duas variáveis Prima a tecla b e escolha as opções 6: Estatística, 1: Cálculos estatísticos e : Estatística de duas variáveis. Insira a variável temperatura em Lista X, a variável pressão em Lista Y, 1 em Lista de frequências e prima OK. Parâmetros da reta de mínimos quadrados e coeficiente de correlação linear Prima a tecla b e escolha as opção 6: Estatística, 1: Cálculos estatísticos e 3: Regressão linear (mx+b). Insira a variável temperatura, pressao e f1, nos campos Lista X, a Lista Y e Guardar RegEqn em, respetivamente, e prima a tecla. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de mínimos quadrados: y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação r = 0,50. 5

49 Na aplicação Dados e Estatística, prima a tecla b e selecione a opção : Propriedades do gráfico. Nuvem de pontos Na opção 5: Adicionar variável X, selecionamos a variável temperatura. Na opção 8: Adicionar variável Y, selecionamos a variável pressao. Reta de mínimos quadrados Prima a tecla b e selecione as opções 6: Regressão e 1: Mostrar linear (mx+b) para adicionar a reta de regressão à nuvem de pontos. 53

50 Calculadora gráfica: TI-84 Plus C 4.1. Listas na calculadora Exemplo 1: Considere a lista de classificações de 8 alunos do 11. o ano num teste de avaliação de Matemática A: { 1,8,15,18,9,13,11,10 } Análise Descrição Resultado Prima as teclas S e e. Introduzir uma lista na calculadora Insira os números 1,8,15,18,9,13,11e10 na lista L1. Para regressar à janela principal da calculadora prima `M. Na janela principal da calculadora, prima a sequência de teclas `S para aceder ao menu das listas. Calcular a média dos elementos de uma lista Aceda ao menu MATH premindo duas vezes a tecla >. Escolha a opção 3: mean(. Prima as teclas `1 para inserir a variável L1,) e para obter a média. Operar com listas para obter os quadrados dos desvios Memorizar uma lista numa variável Para obter a lista dos quadrados dos desvios, insira a seguinte expressão na janela principal da calculadora: ( L1-mean(L1) )^ Para memorizar o resultado da expressão que obtém a lista dos quadrados dos desvios na lista L, insira a seguinte expressão: ( L1-mean(L1) )^ ál Prima a tecla de memorização = para aceder a á. 54

51 Somar os elementos de uma lista Prima a sequência de teclas `S>>5 para aceder à função sum( e ` para inserir a variável L. Prima ) e para concluir e obter a soma da lista L. Contar o número de elementos de uma lista Prima a sequência de teclas `S>3 para aceder à função dim( e `1 para inserir a variável L1. Prima ) e para concluir e obter a dimensão da lista L1. Ordenar uma lista ascendentemente Prima a sequência de teclas `S>1 para ordenar ascendentemente a lista L1. Obter um elemento da lista Insira a fórmula L1(3) e prima a tecla para obter o terceiro elemento da lista L1. Obter o desvio- -padrão amostral Prima a sequência de teclas `S>>7 para aceder à função stddev( e `1 para inserir a variável L1. Prima as teclas ) e para concluir e obter o desvio-padrão amostral dos elementos da lista L1. 55

52 Em alternativa, podemos utilizar operações sobre a lista L1 para determinar o desvio- -padrão amostral. 4.. Estatísticas na calculadora (dados simples) Considere, novamente, o exemplo 1 das classificações de 8 alunos no teste de avaliação de Matemática A, inserida na lista L1 da calculadora. Análise Descrição Resultado Estatísticas na calculadora Prima a sequência de teclas S>1 para aceder à função 1-Var-Stats(. Prima `1 para inserir a variável L1 e prima Calculate Estatísticas na calculadora (dados agrupados) Exemplo : Considere a tabela ao lado relativa às frequências correspondentes aos resultados obtidos por 16 alunos na Prova Final de Matemática do 9. o ano de uma escola. As classificações estão inseridas na lista L1 e as frequências na lista L. Classificação n i Análise Descrição Resultado Prima as teclas S e e. Introduzir as listas na calculadora Insira a lista de classificações em L1 e a lista de frequências em L. Para regressar à janela principal da calculadora prima `M. 56

53 Prima a sequência de teclas S>1 para aceder à função 1-Var-Stats(. Estatísticas na calculadora Prima as teclas `1 para inserir a variável L1 em LIST, ` para inserir L em FreqLIST e prima Calculate Histograma na calculadora Exemplo 3: Considere a tabela de frequências correspondentes aos resultados obtidos no Exame Final Nacional de Matemática A do 1. o ano de uma escola. Resultados n i [0, 4[ 5 [4, 8[ 14 [8, 1[ 16 [1, 16[ 7 [16, 0[ 8 Análise Descrição Resultado Inserir os dados da tabela nas listas Insira a marca de cada classe na lista L1 e as respetivas frequências absolutas na lista L. Representar o histograma Prima as teclas `!1, configure as opções do gráfico Plot1 e a janela de visualização com valores adequados, como ilustrado nas figuras. Prima a tecla % para obter o histograma. A opção Xscl define a amplitude da classe. 57

54 4.5. Dados bivariados Exemplo 4: Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius ( o C) e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio (mmhg), durante sete dias. Temperatura ( o C) Pressão atmosférica (mmhg) Análise Descrição Resultado Prima as teclas S e em EDIT selecione a opção 1: Edit. Introduzir as listas na calculadora Insira a lista de Temperaturas em L1 e a lista Pressão atmosférica em L. Para regressar à janela principal da calculadora prima as teclas `M. Estatísticas de duas variáveis Prima a sequência de teclas S> (CALC) para aceder à função -Var-Stats(. Insira L1 (`1) e L (`) em XList e YList, respetivamente, selecione Calculate e prima a tecla e. Prima as teclas S>> e selecione a opção F: LinRegTTest. Parâmetros da reta de mínimos quadrados e coeficiente de correlação linear Insira L1, L e Y1 nos campos Xlist, Ylist e RegEq, respetivamente, e selecione Calculate. A reta de mínimos quadrados está automaticamente inserida no menu das funções. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de mínimos quadrados: y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação r = 0,50. 58

55 Prima as teclas `! para aceder ao menu STAT PLOT. No menu Plot1, selecione as opções On e o gráfico de pontos. Insira L1 em Xlist e L em Ylist. Selecione a marca, a cor dos pontos e prima a tecla %. Nuvem de pontos e reta de mínimos quadrados Poderá ser necessário ajustar a janela de visualização ao conjunto de dados. Para isso, prima a tecla # e selecione a opção ZoomStat. Pode alternar a visibilidade da reta de mínimos quadrados obtida com a função LinRegTest e guardada em Y1, premindo a tecla! e alternando a seleção do carácter =. 59

56 Calculadora gráfica: Casio fx-cg 4.1. Listas na calculadora Exemplo 1: Considere a lista de classificações de 8 alunos do 11. o ano num teste de avaliação de Matemática A: { 1,8,15,18,9,13,11,10 } Análise Descrição Resultado No menu principal, selecione a opção Statistics. Introduzir uma lista na calculadora Insira 1,8,15,18,9,13,11,10 em List 1. Para regressar à janela principal da calculadora prima as teclas p1. Na janela principal da calculadora, prima a sequência de teclas iq para aceder ao menu LIST. Calcular a média dos elementos de uma lista Prima as teclas ue para aceder à função Mean. Prima as teclas L1para inserir a variável List. Insira o número da lista 1 e prima as teclas )l para concluir e obter a média. Operar com listas para obter os quadrados dos desvios Na janela principal da calculadora, prima a sequência de teclas iq para aceder ao menu LIST. Para obter a lista dos quadrados dos desvios dos dados relativamente à média, insira a seguinte expressão: (List1-mean(List 1) )^ 60

57 Memorizar uma lista numa variável Somar os elementos de uma lista Contar o número de elementos de uma lista Para memorizar o resultado da expressão que obtém a lista dos quadrados dos desvios na lista List, insira a seguinte expressão: (List1-mean(List 1) )^álist Prima a tecla memorização b para aceder a á. Na janela principal da calculadora, prima a sequência de teclas iq para aceder ao menu LIST e as teclas uuq para aceder à função Sum. Insira expressão Sum List e prima l. Na janela principal da calculadora, prima a sequência de teclas iq para aceder ao menu LIST, prima a tecla e para aceder à função Dim. Insira expressão Dim List 1 e prima l. Ordenar uma lista ascendentemente Na opção Statistics do menu principal, prima a sequência de teclas uqq para aceder à função SORTASC, indique o número de listas a ordenar e, de seguida, o número da lista. Obter um elemento da lista Insira a expressão List 1[3] e prima l. Obter o desvio- -padrão amostral Prima a sequência de teclas iy para aceder ao menu STAT e a tecla r para aceder à função StdDev. Insira a expressão StdDev(List 1) e prima a tecla l. 61

58 4.. Estatísticas na calculadora (dados simples) Considere, novamente, o exemplo 1 das classificações de oito alunos no teste de avaliação de Matemática A. Análise Descrição Resultado Estatísticas na calculadora Na opção Statistics do menu principal, prima a tecla w para aceder ao menu CALC e q para aceder à opção 1-VAR Estatísticas na calculadora (dados agrupados) Exemplo : Considere a tabela ao lado relativa às frequências correspondentes aos resultados obtidos por 16 alunos na Prova Final de Matemática do 9. o ano de uma escola. Classificação n i Análise Descrição Resultado Introduzir as listas na calculadora Na opção Statistics do menu principal, insira a lista de classificações em List 1 e a lista de frequências em List. Estatísticas na calculadora Prima a tecla w para aceder ao menu CALC e u para aceder à opção Set e inserir a variável List em 1Var Freq. Prima a tecla w para aceder ao menu CALC e q para aceder à opção 1-VAR. 6

59 4.4. Histograma na calculadora Exemplo 3: Considere a seguinte tabela de frequências correspondentes aos resultados obtidos no Exame Final Nacional de Matemática A do 1. o ano de uma escola. Resultados n i [0, 4[ 5 [4, 8[ 14 [8, 1[ 16 [1, 16[ 7 [16, 0[ 8 Análise Descrição Resultado Inserir os dados da tabela nas listas Na opção Statistics do menu principal insira as marcas das classes na lista List 1 e as respetivas frequências absolutas na lista List. Prima a tecla q para aceder ao menu GRAPH e u para aceder ao menu SET. Representar o histograma Em GRAPH1 selecione as opções Hist, List 1 e List para escolher o modo histograma e regresse à janela anterior premindo a tecla d. Prima a tecla q e configure as barras do histograma. A primeira começa em 0 (limite inferior da primeira classe) e tem largura 4 (amplitude da classe). Prima a tecla l para representar o histograma. 63

60 4.5. Dados bivariados Exemplo 4: Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus Celsius ( o C) e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio (mmhg), durante sete dias. Temperatura ( o C) Pressão atmosférica (mmhg) Análise Descrição Resultado Introduzir as listas na calculadora Na opção Statistics do menu principal, insira a lista de temperaturas em List 1 e a lista de pressões em List. Estatísticas de duas variáveis Na opção Statistics do menu principal, prima a tecla w para aceder ao menu CALC e de novo w para aceder à opção -VAR. Prima as teclas w e u para inserir a variável List em 1Var Freq. Parâmetros da reta de mínimos quadrados e coeficiente de correlação linear Prima a tecla d para regressar ao menu anterior e a sequência de teclas eqq para aceder a REG, X e ax+b, respetivamente. Com uma aproximação às milésimas, obtemos a equação da reta de mínimos quadrados: y= 0,846x + 789,044 e o coeficiente de correlação: r =0,50 64

61 Nuvem de pontos Prima as teclas q e u para selecionar o tipo de gráfico (Scatter) em StatGraph1, insira a variável List1 em XList e a variável List em YList. Prima a tecla d para regressar ao menu anterior e a tecla q para representar a nuvem de pontos. Reta de mínimos quadrados Prima a sequência de teclas q, w, q e u para aceder a Calc, X, ax+b e Draw, respetivamente, para adicionar a reta de mínimos quadrados à nuvem de pontos. 65

62 Resolução de problemas Alongamento de uma mola Sabemos que o peso de um corpo é diretamente proporcional ao alongamento sofrido por uma mola. Para calibrar uma mola com l 0 = 5 cm de comprimento, realizou-se uma experiência com corpos de massa m, em kg, e efetuaram-se os seguintes registos do comprimento l, em cm, da mola: Massa, m, em g 8,4 16,8 5, 33,6 4 50,4 Comprimento da mola com uma massa suspensa, l, em cm 11,0 13,5 16, 19,0 1,6 4,4 Responda às seguintes questões com auxílio de uma folha de cálculo ou de uma calculadora gráfica Construa uma tabela com o peso P em newton m m kg P = 9,8 de cada s 1000 massa e com o correspondente alongamento da mola ( Δl = l l 0 ). 1.. Represente graficamente a nuvem de pontos definidos pelas variáveis peso e alongamento, sendo o peso a variável explicativa e o alongamento a variável resposta. É razoável a existência de uma relação linear entre as variáveis peso e alongamento? 1.3. Determine a equação da reta de mínimos quadrados que se ajusta à nuvem de pontos referida em 1... Apresente o declive e a ordenada na origem com arredondamento às décimas de milésimas Determine o coeficiente de correlação linear. A reta de mínimos quadrados será uma boa aproximação à nuvem de pontos? Resolução: Justifique a sua resposta Recorrendo à equação obtida em 1.3., estime a massa, em g, a suspender na mola f( a)= a 5a + 6a para se obter um comprimento da mola com a massa suspensa de 0 cm. Logo, o ponto de tangência P, de abcissa a, tem coordenadas ( a, a 3 5a + 6a ). Apresente o resultado arredondado às décimas. Resolução: 1.1. Peso, em N 0,08 3 0, , ,39 8 0, ,493 9 Alongamento, em cm 6,0 8,5 11, 14,0 16,6 19,4 66

63 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 67

64 1.. Pela observação do gráfico, podemos afirmar que existe uma relação linear entre as variáveis. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 1.3. ( ) x = 0,881 e y = 1, x y = 5, i i i= x = ( i ) 0, ou x = i = i= 1 i= 1 SS x x SS x nx 0, ,881 0, xy i i 6xy i= Assim, a= = 3,6601 e b= y ax 3,067 SS x 68

65 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg Obtendo a equação da reta de mínimos quadrados diretamente da calculadora, temos: 69

66 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg Logo, a equação reduzida da reta de mínimos quadrados é y= 3,6601x + 3, i i= ( ) SS = x x = 0,11859 ou x 6 i i= 1 SS = x nx = 0, ,88 1 0, x 6 ( i ) SS = y y = 16, 583 ou y i= 1 6 i i= 1 SS = y ny = 1081,61 6 1, ,583 y 6 i= 1 ( x x)( y y ) i = 3, i 6 ( x )( ) = 1 i x y i i y 0,9999 r= SS SS x y SSx ou r= a 0,9999 SS y Dado que o coeficiente de correlação linear é muito próximo de 1, a reta de mínimos quadrados é uma boa aproximação à nuvem de pontos. 70

67 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 71

68 1.5. Para um comprimento da mola de 0 cm temos um alongamento de 15 cm. Substituindo a variável y por 15 na equação da reta de mínimos quadrados, temos: 15 3,067 0, = 3, 6601x+ 3,067 x= x 0,360; m = 36,8 g 3,6601 9,8 Será necessário uma massa com cerca de 36,8 g para se obter um comprimento da mola de 0 cm. Resolução de problemas Página 147 da parte do manual 5. Num depósito, a altura da água varia de acordo com a tabela seguinte. Durante o dia não se introduz água no depósito. Hora do dia (x) Altura da água (m) 10,0 9,5 9,0 8,0 6,0 4,0 3,5 3, Qual deve ser a variável explicativa e a variável resposta? 5.. Utilize uma folha de cálculo ou uma calculadora gráfica para responder às seguintes questões. a) Represente os dados num referencial ortogonal e diga se é razoável a existência de uma relação linear entre estas duas variáveis. b) Determine a média dos valores de cada uma das amostras representadas. c) Determine o declive da reta dos mínimos quadrados que se ajusta a esta nuvem de pontos. Apresente o resultado com arredondamento às décimas de milésimas. d) Determine a equação reduzida da reta dos mínimos quadrados (apresente os coeficientes arredondados às centésimas) e represente-a no mesmo referencial de a). e) Utilizando a equação reduzida obtida na alínea anterior, faça uma estimativa para a altura da água no depósito às 5 horas da manhã. Apresente o resultado com aproximação às décimas. f) Quando a altura da água no depósito atinge,5 m, um alarme é acionado. Faça uma estimativa para a hora a que tocará o alarme. Resolução: 5.1. A variável explicativa deverá ser a hora do dia e a variável resposta deverá ser a altura da água. 5.. a) Pela observação do gráfico, podemos afirmar que existe uma forte relação linear entre as variáveis. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 7

69 b) x = 8 e y = 6,65 TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg c) 6 i= 1 x y = 308 e SS = ( x x ) = 40 ; i i x 6 i i= 1 a 6 xy nxy 1 9 SS 60 i i i= = = O declive da reta de mínimos quadrados é, aproximadamente, 0,4833. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg x d) b= y ax =10,4917. Logo, a equação da reta é y= x +, ou seja, y= 0,48x+ 10, TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 73

70 9 159 e) y = 5+ = 8,075. Às 5 da manhã, a altura da água era de 8,1 m TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg f),5= 0,48x+ 10,49 x 16,65 Como 16,65h 16h 39 min, o alarme vai tocar por volta das 16:39. TI-Nspire TI-84 Plus C Casio fx-cg 74