TRANFORMAÇÕES NO PLANO E GRUPOS DE SIMETRIA

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática TRANFORMAÇÕES NO PLANO E GRUPOS DE SIMETRIA Autor: Mariele Parteli Florencio Orientador: Prof Dr Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Tomas Edson Barros Vera Lúcia Carbone São Carlos, 1 de dezembro de 011

2 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática TRANFORMAÇÕES NO PLANO E GRUPOS DE SIMETRIA São Carlos - SP, 1 de dezembro de 011 Mariele Parteli Florencio Autora Roberto Ribeiro Paterlini Orientador

3 Para meus pais Maria e Luiz

4 Agradeço todas as dificuldades que enfrentei; não fosse por elas, eu não teria saído do lugar As facilidades nos impedem de caminhar Chico Xavier

5 Agradecimentos Em primeiro lugar agradeço a Deus pelas graças que tenho recebido Agradeço a meu pai e a minha mãe, pelo amor, confiança e incentivo Agradeço também ao meu orientador por toda a dedicação dispensada ao meu trabalho Ao meu irmão Luiz e ao meu namorado Bruno e como não poderia faltar Spyke, duque e peri, meus fiéis companheiros

6 Resumo Esse trabalho está divido em dois capítulos No primeiro, Isometrias no plano, apresentamos uma introdução às transformações do plano, particularmente, às isometrias Com isso estamos interessados em estudar propriedades geométricas do plano usando essas transformações Comentamos a seguir as seções do Capítulo 1 Na seção Isometrias e propriedades geométricas, assim como sugere o título, definimos isometrias no plano e provamos algumas propriedades geométricas, tais como: toda isometria é bijetiva, transforma reta em reta, leva ângulo em ângulo e preserva sua medida e, consequentemente, transforma um triângulo em outro triângulo congruente ao primeiro Nas três seções seguintes, Reflexões e propriedades geométricas, Rotações e propriedades geométricas e Translações e propriedades geométricas, estudamos esses três tipos específicos de isometrias: as reflexões, as rotações e as translações Elas são estudadas sob o ponto de vista geométrico Nas quatro seções seguintes, Isometrias em coordenadas, Reflexões em coordenadas, Rotações em coordenadas e Translações em coordenadas, desenvolvemos as equações de cada uma dessas isometrias em um sistema de coordenadas cartesianas do plano Com essas equações pudemos provar alguns teoremas, apresentados na última seção, Resultados finais O Teorema mais interessante é que toda isometria é uma rotação, uma translação, uma reflexão ou uma reflexão com deslizamento Preparamos assim as ferramentas necessárias para o Capítulo, Grupos de simetria de polígonos regulares, em que apresentamos o estudo das simetrias dos polígonos regulares Comentamos a seguir as seções do Capítulo Na seção Definições e Resultados Iniciais definimos polígonos regulares e enunciamos alguns resultados importantes para as seções seguintes Nas seções O Grupo de simetrias do triângulo equilátero e Grupos de simetrias do quadrado calculamos e descrevemos esses grupos de simetrias específicos Terminamos com a seção Resultados Finais, em que encontramos os grupos de simetrias de polígonos regulares quaisquer e descrevemos propriedades desses grupos

7 Apresentação Ao cursar a disciplina Estruturas Algébricas do curso de Licenciatura em Matemática, interessei-me pelo estudo dos grupos Algum tempo depois, como tinha que fazer o Trabalho de Conclusão de Curso, pensei em retomar esse estudo Após conversar com alguns alunos da graduação sobre orientadores procurei o professor Roberto, propondo-lhe um trabalho nesse assunto Ele disse que poderia ser meu orientador e sugeriu que estudássemos alguns grupos relacionados com geometria Na primeira parte do trabalho estudamos os pré-requisitos, que seriam as isometrias do plano Esse trabalho foi apresentado na forma de painel no final junho de 011 Na segunda parte do trabalho estudamos os grupos de simetrias dos polígonos regulares, entendidos com o conjunto das isometrias que preservam um determinado polígono regular Gostaria de afirmar que esse trabalho contribuiu para minha formação, e, em particular, me possibilitou complementar o que aprendi sobre Álgebra e Geometria na graduação

8 Sumário 1 Isometrias no plano 8 11 Introdução 8 1 Transformações no plano 8 1 Isometrias e propriedades geométricas Reflexões e propriedades geométricas Translações e propriedades geométricas 0 16 Rotações e propriedades geométricas 1 17 Isometrias em coordenadas 18 Translações em coordenadas 6 19 Rotações em coordenadas Reflexões em coordenadas Resultados finais 9 Grupos de simetria de polígonos regulares 1 Introdução Definições e resultados iniciais O grupo de simetrias do triângulo equilátero 6 4 O grupo de simetrias do quadrado 9 5 O grupo de simetria de um polígono regular de n lados 44 7

9 Capítulo 1 Isometrias no plano 11 Introdução Nesse capítulo apresentamos noções básicas de funções denominadas transformações no plano, dando ênfase a algumas funções específicas chamadas isometrias, que possuem a propriedade de preservar a distância entre dois pontos Entre as isometrias se encontram as translações, as rotações e as reflexões, que serão estudadas separadamente 1 Transformações no plano Identificamos o plano geométrico euclidiano com o produto cartesiano R Começamos com Definição 11 Chama-se transformação no plano toda função T : R R Essa denominação para funções de R em R se justifica por que estamos estudando essas funções do ponto de vista geométrico Assim, dada uma transformação T : R R, estamos interessados em ver como ela transforma figuras do plano Ao estabelecer um sistema cartesiano em R pode-se descrever uma transformação T : R R através de suas coordenadas, ou seja, escrevendo T (x, y) = (x 1, y 1 ), e expressando x 1 e y como equações em x e y Exemplo 1 Seja T a transformação descrita pelas equações { x1 = x y 1 = y Essa transformação possui o efeito de reduzir determinada figura verticalmente, ou seja, ao ser aplicada ao ponto (x,y) do plano preserva a abcissa x e reduz a ordenada à metade Confira a Figura 11 Notemos que T é injetiva e sobrejetiva De fato, seja (x 1, y 1 ) um ponto do plano Existe um único ponto (x, y) do plano do qual ele é imagem, cujas coordenadas são dadas por x = x 1 e y = y 1 8

10 Isometrias no plano 9 y 1 T (C) 1/ 1 O 1 x C 1 Figura 11: Ação da transformação T (x, y) = (x, y/) sobre uma circunferência Na figura está representada uma circunferência C de equação x + y = 1 e a sua tranformação T (C) Para descobrir a equação de T (C) substitui-se na equação de C as coordenadas x e y pelas expressões em termos de x 1 e y 1, ou seja, x = x 1 e y = y 1 obtendo x 1 + (y 1 ) = 1 x 1 + 4y 1 = 1 Ou seja, T, ao comprimir verticalmente a circunferência C, a leva a uma elipse de semieixos a = 1 e b = 1 Exemplo 1 Consideremos a transformação do plano T : R R definida por ( x y T (x, y) =, x + y ) Seja r = {(x, y) x = y} a reta diagonal A imagem de (x, x) por T é (0, x) Logo essa imagem está no eixo Oy Agora, todo ponto ( do eixo ) Oy é imagem( por T de ) um ponto da reta De fato, dado y (0, y) 0y, seja, y y r Temos T, y = (0, y) Além disso, T : r Oy é injetiva, pois T (x, x) = T (z, z) (0, x) = (0, z) x = z (x, x) = (z, z) Logo T leva a reta r bijetivamente sobre a reta Oy Veja ilustração na Figura 1

11 Isometrias no plano 10 y T O x Figura 1: Ação da transformação T (x, y) = ( x y, x + y ) sobre uma reta 1 Isometrias e propriedades geométricas Dentre as transformações no plano, nos interessa estudar aquelas que preservam a congruência de triângulos Assim, vamos colocar condições sobre uma transformação T : R R de modo que, para qualquer triângulo do plano, T ( ) é um triângulo congruente ao primeiro Uma condição geral é dada pela Definição 11 Denomina-se isometria do plano R a uma transformação T : R R que preserva distâncias Ou seja, T é uma isometria quando para quaisquer pontos P, Q do plano R d(t (P ), T (Q)) = d(p, Q) Exemplo 1 Consideremos a transformação do plano T : R R definida por ( x y T (x, y) =, x + y ) Ela já foi estudada no Exemplo 1 Mostremos que ela é uma isometria Sejam A = (a, b) e B = (c, d) pontos de R Temos (( a b d(t (A), T (B)) = d, a + b ) ( c d,, c + d )) = 1 [(a b c + d) + (a + b c d) ] = 1 [((a c) (b d)) + ((a c) + (b d)) ] = 1 [(a c) (a c)(b d) + (b d) + (a c) + (a c)(b d) + (b d) ] = 1 [(a c) + (b d) ] = (a c) + (b d) Logo d(t (A), T (B)) = (a c) + (b d) = d((a, b), (c, d)) = d(a, B)

12 Isometrias no plano 11 Exemplo 1 Sejam a e b números reais Consideremos a transformação do plano T : R R definida por T (x, y) = (x + a, y + b) Essa transformação é chamada translação Vamos provar que ela é uma isometria Sejam A = (c, d) e B = (e, f) dois pontos de R, então d(t (A), T (B)) = d((c + a, d + b), (e + a, f + b)) = (c + a e a) + (d + b f b) = (c e) + (d f) Logo d(t (A), T (B)) = (c e) + (d f) = d(a, B) Vejamos agora propriedades básicas das isometrias Proposição 14 Toda isometria T : R R é injetiva Prova: Supondo que T (P ) = T (Q), pela definição de isometria temos d(p, Q) = d(t (P ), T (Q)) = 0 Então P = Q, concluindo que T é injetiva Lembremos que um ponto R está no segmento P Q se e somente se d(p, R) + d(r, Q) = d(p, Q) Proposição 15 Sejam P e Q pontos distintos de R e T : R R uma isometria Então T leva o segmento P Q sobre o segmento T (P )T (Q) Prova: Seja R um ponto do segmento P Q Temos que d(p, Q) = d(p, R) + d(r, Q) Como por hipótese T é uma isometria, então d(t (P ), T (Q)) = d(t (P ), T (R)) + d(t (R), T (Q)) Assim o ponto T (R) pertence ao segmento de reta T (P )T (Q) Seja agora S um ponto de T (P )T (Q) Seja d = d(t (P ), S) Seja R o ponto de P Q tal que d(p, R) = d Esse ponto existe, pois d d(t (P ), T (Q)) = d(p, Q) Notemos agora que T (R) é um ponto do segmento T (P )T (Q) e que d(t (P ), T (R)) = d(p, R) = d Logo S e T (R) são pontos do segmento T (P )T (Q) à mesma distância de T (P ) Portanto T (R) = S, e assim provamos que T leva o segmento P Q sobre o segmento T (P )T (Q) A propriedade acima mostra que toda isometria leva pontos colineares em pontos colineares, mantendo a sua ordenação e suas distâncias Notemos também que a imagem por uma isometria de três pontos A, B e C não colineares não são colineares Por exemplo, se T (B) estivesse entre T (A) e T (C), teríamos d(t (A), T (B))+d(T (B), T C)) = d(t (A), T (C)) Mas d(a, B) + d(b, C) > d(a, C), contrariando a definição de T Proposição 16 A imagem de uma reta por uma isometria é também uma reta Prova: Seja r uma reta Tomamos dois pontos P e Q em r, e sejam P = T (P ) e Q = T (Q) as suas imagens pela isometria T Chamamos de r a reta que passa pelos pontos P e Q Vamos provar que T (r) = r

13 Isometrias no plano 1 Seja T (R) T (r), com R r Suponhamos que R está entre P e Q, ou seja, R pertence ao segmento P Q Pela Proposição 15, sua imagem R está no segmento P Q, ou seja, R pertence à reta r Suponhamos que P está entre R e Q Portanto, P está no segmento R Q, ou seja, P pertence à reta determinada por R e Q Mas essa é a mesma reta r Logo R r O outro caso é análogo Provamos que T (r) r Reciprocamente, seja R um ponto da reta r Se R está no segmento P Q, já vimos que existe um ponto R do segmento P Q tal que T (R) = R Suponhamos que P está entre R e Q Seja R o ponto da reta r tal que P está entre R e Q e d(r, P ) = d(r, P ) Já sabemos que T (R) está na reta r e que P está entre T (R) e Q Como T é isometria, sua distância a P é a mesma que a de R Portanto T (R) = R e R T (R) De modo análogo tratamos o caso em que Q está entre P e R Assim r T (R) Provamos que T (r) = r, e terminamos Vemos ( nessa demonstração que se T é uma isometria, então, dados dois pontos A e ) B, T AB = ( ) T (A)T (B) Ainda, T AB = T (A)T (B), isto é, T leva semirreta sobre semirreta Proposição 17 As imagens de retas paralelas por uma isometria são também retas paralelas Prova: Seja T : R R uma isometria Tomemos r e s duas retas paralelas e suas imagens r = T (r) e s = T (s) Suponhamos que r e s não sejam paralelas Então existe P pertencente a r e a s Sejam P r e Q s tais que T (P ) = P e T (Q) = P Pela Proposição 14, T é injetiva Isso implica que P = Q, ou seja, r e s têm um ponto em comum, absurdo Portanto r e s são paralelas Confira ilustração na Figura 1 A Proposição acima não significa que a imagem de uma reta r por uma isometria T seja uma reta s paralela a r Vimos, no Exemplo 1, uma transformação T que leva a reta x = y no eixo Oy Proposição 18 Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em A Sua imagem por uma isometria é o triângulo retângulo T (A)T (B)T (C) com ângulo reto em T (A) Prova: Sejam T : R R uma isometria e ABC um triângulo retângulo Tomamos A 1 = T (A), B 1 = T (B) e C 1 = T (C) Pelo Teorema de Pitágoras temos d(b, C) = d(a, B) + d(a, C) Como T é uma isometria e, portanto, preserva distância, vem d(b 1, C 1 ) = d(a 1, B 1 ) + d(a 1, C 1 ) Em virtude da recíproca do Teorema de Pitágoras, A 1 B 1 C 1 é um triângulo retângulo com hipotenusa B 1 C 1

14 Isometrias no plano 1 y T O x Figura 1: Toda isometria leva retas paralelas em retas paralelas Pode-se dizer também que T transforma retas perpendiculares em retas perpendiculares preservando os ângulos retos Na verdade, em geral, toda isometria preserva a medida de ângulos Da Geometria Euclidiana, um ângulo é a reunião de duas semirretas com origem comum e não pertencentes à mesma reta Proposição 19 Dado um ângulo ABC e uma isometria T, então T ( ABC) é o ângulo T (A)T (B)T (C), e ambos são congruentes Prova: Dado um ângulo ABC, os pontos A, B e C não são colineares Logo, os pontos T (A), T (B) e T (C) não são colineares Como T leva semirreta sobre semirreta, então T leva ABC sobre T (A)T (B)T (C) Por outro lado, o triângulo ABC é congruente ao triângulo T (A)T (B)T (C) pelo caso LLL Assim seus ângulos correspondentes têm a mesma medida Terminamos a demonstração Proposição 110 Toda isometria T : R R é sobrejetiva (sua imagem é R ) Prova: Seja T : R R uma isometria e P um ponto de R Sejam A e B pontos diferentes de R Sabemos que toda isometria é injetiva, assim T (A) T (B) Se T (A) = P ou T (B) = P, terminamos Suponhamos T (A) P e T (B) P Ponhamos T (A) = A e T (B) = B Existem apenas dois casos para os pontos A, B e P, eles são colineares ou não Se A, B e P forem colineares, então estão em uma reta s, que é imagem da reta r que contém A e B Logo existe P r tal que T (P ) = P Suponhamos agora que A, B e P não são colineares, e consideremos o P A B Construímos no lado AB os triângulos P AB e QAB congruentes a P A B, com P e Q em semiplanos opostos em relação à

15 Isometrias no plano 14 reta AB As semirretas AP e AQ são levadas em semirretas diferentes com origem A, pois T é injetiva, P Q e AP = AQ Além disso elas formam ângulos de mesma medida que P A B com a semirreta A B Logo, como T preserva distância, T (P ) = P ou T (Q) = P Proposição 111 A inversa de qualquer isometria é também uma isometria Prova: Seja T : R R uma isometria Como T é bijetiva, ela tem uma transformação inversa T 1 : R R Provemos que T 1 também preserva distância Sejam A e B pertencente a R Então d(t 1 (A), T 1 (B)) = d(t (T 1 (A), T (T 1 (B)) = d(a, B) Logo T 1 é uma isometria Proposição 11 A composta de duas isometrias é também uma isometria Prova: Sejam T : R R e S : R R duas isometrias e A e B dois pontos de R Temos d((t S)(A), (T S)(B)) = d(t (S(A)), T (S(B)) = d(s(a), S(B)) = d(a, B) Portanto a composta de suas isometrias é uma isometria Investigando as isometrias, percebemos logo que seus pontos fixos têm um papel importante no seu estudo Na verdade, existem poucos tipos de isometrias, conforme veremos Os pontos fixos de uma isometria determinam seu tipo Definição 11 Seja T : R R uma transformação Chamamos de ponto fixo de T a todo o ponto P tal que T (P ) = P Quantos pontos fixos pode ter uma isometria? Quais são as propriedades dos pontos fixos de uma isometria? Proposição 114 Se A e B são pontos fixos de uma isometria T, então todos os pontos da reta que passa por A e B são fixos Prova: Sabemos que T transforma a reta r que passa por A e B na reta que passa por T (A) e T (B) Uma vez que A e B são pontos fixos, a reta r é levada sobre si mesma Seja P um ponto qualquer de r Suponha que P está entre A e B Sabemos que T (P ) está entre A e B Como AP = T (A)T (P ) = AT (P ) e como P e T (P ) estão na mesma semirreta com origem A, são o mesmo ponto, isto é, T (P ) = P A demonstração para P em outras posições é análoga Proposição 115 Sejam S e T isometrias e r uma reta do plano Se existirem pontos A B em r tais que S(A) = T (A) e S(B) = T (B) então S(X) = T (X) para todo X r

16 Isometrias no plano 15 Prova: Com efeito, nesse caso a isometria R = T 1 S é tal que R(A) = A e R(B) = B Pela Proposição 114, todo ponto de r é fixado por R, ou seja S = T em r Lembremos que a transformação T : R R definida por T (P ) = P para todo P R chama-se identidade Portanto a identidade do plano é uma isometria que fixa todos os pontos Indicaremos a identidade de R por Id Veremos que isometrias diferentes podem fixar, simultaneamente, no máximo, os pontos de uma reta Para ver isso façamos primeiro o Teorema 116 Se uma isometria T fixa três pontos não colineares, então T é a identidade Prova: Seja A, B e C três pontos fixos não colineares da isometria T Do teorema anterior concluímos que T fixa as retas que contêm AB, AC e BC Seja P um ponto fora dessas retas e seja Q um ponto entre A e B (diferente de A e B) A reta r determinada por P e Q intercepta um dos outros dois lados do triângulo ABC em um ponto R (Propriedade de Pach) Logo r tem dois pontos fixados por T, a saber, Q e R Pelo teorema anterior T fixa a reta r e portanto fixa o ponto P Uma vez que P foi escolhido arbitrariamente, T fixa todos os pontos do plano, ou seja, T é a identidade Teorema 117 Se duas isometrias T e S coincidem em três pontos não colineares, então T = S Prova: Vimos que toda isometria é uma bijeção do plano, logo tem inversa, e sua inversa é uma isometria Sabemos também que a composta de duas isometrias é uma isometria Logo T S 1 é uma isometria Sejam então A, B e C os três pontos não colineares fixados por T e S simultaneamente Notemos que S 1 também fixa esses três pontos Logo T S 1 fixa esses três pontos Pela Teorema 116 T S 1 = Id Logo T = S Assim, podemos classificar as isometrias em três tipos diferentes não triviais com pontos fixos (e, portanto, com uma reta fixa), com 1 ponto fixo e com nenhum ponto fixo É interessante notar que esses resultados só dependem dos axiomas básicos da Geometria Euclidiana Veremos a seguir que a imagem de um triângulo por uma isometria é um triângulo congruente ao primeiro Esse é o primeiro passo para fazermos uma leitura diferente do conceito de congruência estudado na Geometria de posição Ali vimos que dois triângulos são congruentes quando existe uma correspondência entre seus vértices e que os seis pares de elementos correspondentes (lados e ângulos) têm a mesma medida Essa é uma definição estática O estudo das isometrias nos dá a oportunidade de refazer esse conceito sob um ponto de vista de movimentos O primeiro passo para fazer isso é: Teorema 118 A imagem de um triângulo por uma isometria é um triângulo congruente ao primeiro

17 Isometrias no plano 16 Prova: Seja T uma isometria Seja ABC um triângulo Como os pontos A, B e C são não colineares, os pontos T (A), T (B) e T (C) são não colineares, conforme foi observado acima logo após a Proposição 15 Portanto T (A)T (B)T (C) é um triângulo Como AB = T (A)T (B), etc, os lados correspondentes desses triângulso são congruentes Logo, pelo caso LLL, ABC e T (A)T (B)T (C) são congruentes Provaremos na seção seguinte que se dois triângulos são congruentes existe uma isometria que leva um sobre o outro 14 Reflexões e propriedades geométricas As reflexões constituem um tipo importante de isometria Vejamos primeiro sua definição Definição 141 Sejam P e P pontos e r uma reta do plano R Dizemos que P é simétrico a P se r for a mediatriz do segmento P P No caso de P pertencer à reta r o simétrico de P será o próprio P Definição 14 Dada uma reta r, chama-se reflexão em torno da reta r a transformação T tal que a todo ponto P de R o ponto P = T (P ) é o simétrico de P em relação a r Confira a Figura 14 A reta r chama-se reta de simetria de T P r T (P ) Figura 14: Reflexão em torno da reta r Observemos que a reflexão em torno de uma reta r fixa os pontos de r e nenhum outro Na verdade, essa transformação é uma isometria, e assim é um dos três tipos de isometria citados anteriormente Teorema 14 Toda reflexão é uma isometria Prova: Seja T : R R uma reflexão em torno da reta r e P e Q dois pontos de R Temos essencialmente quatro possibilidades de posições dos pontos P e Q com relação a r Caso 1 Os pontos P e Q estão na reta r Como T (P ) = P e T (Q) = Q então T (P )T (Q) = P Q Caso O ponto P está na reta r e Q não

18 Isometrias no plano 17 Seja M o ponto médio do segmento QT (Q) Se P está no segmento QT (Q), então P = M é o ponto médio desse segmento Logo P Q = P T (Q) Como T (P ) = P, vem T (P )T (Q) = P Q Se P não está no segmento QT (Q), consideremos o triângulo P QT (Q) A mediana P M relativa ao lado QT (Q) coincide com a altura Logo esse triângulo é isósceles, de base QT (Q) Assim P Q = T (P )T (Q) Confira a Figura 15, desenho à esquerda Caso Os pontos P e Q estão no mesmo lado da reta r Sejam M e N os pontos em que P T (P ) e QT (Q) interceptam r, respectivamente Suponhamos primeiro que P e Q estão em uma reta perpendicular a r Então M = N Sem perda de generalidade, suponhamos que P está entre Q e M Então P Q = QM P M = T (Q)M T (P )M = T (Q)T (P ) Q P Q P M r M N r T (Q) T (P ) T (Q) Figura 15: Casos (à esquerda) e (à direita) Suponhamos agora que P e Q não estão em uma reta perpendicular a r Tomemos os triângulos MP N, MT (P )N, NT (Q)T (P ) e NQP Como r é mediatriz de P T (P ) então T (P )N = P N Logo P NT (P ) é isósceles com base P T (P ) Logo a mediatriz da base é bissetriz do vértice oposto, ou seja, P NM = T (P )NM, o que implica que seus complementares são congruentes, isto é, P NQ = T (P )NT (Q) Assim os triângulos P NQ e T (P )NT (Q) são congruentes por LAL Portanto P Q = T (Q)T (P ) Confira a Figura 15, desenho à direita Caso 4 Os pontos P e Q estão em lados opostos da reta r Observemos que T (P ) e T (Q) também estão em lados opostos em relação à reta r Sejam M e N os pontos em que P T (P ) e QT (Q) interceptam r, respectivamente Suponhamos primeiro que P e Q estão em uma reta perpendicular a r Então M = N Procedendo de modo análogo ao que foi feito no caso, provamos que P Q = T (P )T (Q) Suponhamos agora que P e Q não estão em uma reta perpendicular a r Sejam S, M e N os pontos em que os segmentos P Q, P T (P ) e QT (Q) interceptam r, respectivamente

19 Isometrias no plano 18 T (Q) P M S N r T (P ) Figura 16: Caso 4 Q Tomemos agora os triângulos P MS e T (P )MS Eles são congruentes pelo caso lado-ângulolado Logo P S = T (P )S Analogamente os triângulos QNS e T (Q)NS são congruentes Logo QS = T (Q)S Confira a Figura Vamos provar agora que S está entre T (P ) e T (Q) Como SM é mediatriz da base P T (P ) do triângulo isósceles P T (P )S, ela é também bissetriz Da mesma forma SN é bissetriz do vértice S do triângulo isósceles QT (Q)S Como P SM = QSN pois são opostos pelo vértice, segue que T (P )SM = T (Q)SN Como esses ângulos já têm um lado na mesma reta, o outro também está Portanto S está entre T (P ) e T (Q) Observemos agora que os triângulos P ST (Q) e T (P )SQ são congruentes por LAL Segue que P Q = T (P )T (Q) Provamos em todos os casos que P Q = T (P )T (Q), e assim toda reflexão é uma isometria Pode ser útil o seguinte resultado: Proposição 144 Sejam P e P dois pontos de R Então existe uma única reflexão levando P em P Prova: Consideremos a mediatriz r do segmento P P Seja T a reflexão em torno da reta r Então T (P ) = P Vamos provar que esta é a única reflexão levando P em P Seja então uma reflexão S em torno da reta s tal que S(P ) = P Como P é o simétrico de P em relação a s, essa reta é a mediatriz de P P Mas um segmento tem uma única mediatriz Portanto r = s, do que segue S = T Vejamos agora como levar um triângulo sobre outro congruente a ele Começaremos com o caso muito particular em que os dois triângulos têm em comum um lado Proposição 145 Se dois triângulos diferentes e congruentes têm um lado em comum, então existe uma reflexão levando um sobre o outro

20 Isometrias no plano 19 Prova: Sejam ABC e ABD dois triângulos com lado comum AB Então C e D estão em lados opostos em rela cão à reta suporte r de AB Confira a Figura 17 C A B Figura 17: Ilustração da Proposição 145 Como os triângulos ABC e ABD são congruentes pelo caso LLL, temos que os ângulos BAC e BAD são congruentes Logo AB é bissetriz do vértice do triângulo isósceles ACD Então é também mediatriz da sua base, isto é, de CD Provamos que D é o simétrico de C em relação à reta r Consideremos agora a reflexão T em torno de r Vemos que T leva o triângulo ABC sobre o triângulo ABD Proposição 146 Se dois triângulos congruentes têm em comum apenas um vértice, então existe uma isometria levando um sobre o outro Essa isometria é uma reflexão ou a composta de duas reflexões Prova: Sejam ABC = ADE triângulos congruentes Seja r a reta bissetriz do ângulo BAD, e seja T a reflexão em torno dessa reta Notemos que AB = AD, e então D é o simétrico de B em relação a r Portanto T (ABC) é um triângulo ADC congruente a ABC e a ADE e que tem com ADE o lado comum AD Se E = C, então T (ABC) = ADE, e terminamos Se E C, aplicamos a Proposição 145, e existe uma reflexão levando ADC sobre ADE Assim a composta das duas reflexões leva ABC sobre ADE Confira a Figura 18 D D E B r A Figura 18: Ilustração da Proposição 146 C Conforme prometemos, temos agora o

21 Isometrias no plano 0 Teorema 147 Dados dois triângulos congruentes, existe uma isometria que leva um sobre o outro Essa isometria pode ser a identidade, uma reflexão, ou a composta de duas ou três reflexões Prova: Sejam ABC e DEF triângulos congruentes Se forem iguais, a isometria é a identidade Suponhamos que sejam diferentes Se tiverem um lado em comum, pela Proposição 146, existe uma reflexão que leva um sobre o outro Se tiverem apenas um vértice em comum, pela Proposição 145, existe uma isometria que leva um sobre o outro e que é uma reflexão ou uma composta de duas reflexões Se os dois triângulos não têm vértice em comum, consideramos dois deles, por exemplo, A e D, e tomamos a reflexão que leva A em D (Proposição 144) Obtemos dois triângulos congruentes que satisfazem um dos casos acima Teorema 148 Toda isometria é a identidade, uma reflexão, ou a composta de duas ou três reflexões Prova: Seja T uma isometria diferente da identidade Seja ABC um triângulo qualquer Sabemos que T (A)T (B)T (C) é um triângulo congruente ao primeiro (Teorema 118, página 15) Logo, pelo Teorema 147, existe uma isometria S levando ABC sobre T (A)T (B)T (C), e essa isometria é uma reflexão, ou a composta de duas ou três reflexões Examinado as demonstrações do referido Teorema e das proposições que a antecedem, vemos que podemos construir S de modo que S(A) = T (A), S(B) = T (B) e S(C) = T (C) Logo T e S coincidem em três pontos não colineares Pelo Teorema 117 temos T = S, o que termina a demonstra cão 15 Translações e propriedades geométricas Já vimos no Exemplo 1 a Definição 151 Sejam a e b números reais A transformação do plano T : R R definida por T (x, y) = (x + a, y + b) chama-se translação determinada por (a, b) Já vimos também no Exemplo 1 que Proposição 15 Toda translação é uma isometria Olhando v = (a, b) como um vetor, a translação determinada por (a, b) pode ser definida por T v (A) = A + v Ela desloca todos os pontos do plano na mesma direção e na distância v Veremos o seguinte resultado: Teorema 15 Toda translação que não é a identidade é igual à composta de duas reflexões em torno de duas retas paralelas

22 Isometrias no plano 1 y 0 x T r (P ) P T s T r (P ) Figura 19: Toda translação é igual à composta de duas reflexões Prova: Seja T V : R R, T V (x, y) = (x + a, y + b), com V = (a, b) (0, 0) Seja r a reta que passa pela origem O = (0, 0) e é perpendicular a OV, e seja s a reta que passa por ( a, ) b e também é perpendicular a OV Se d = V, então a distância entre as retas r e s é d Sejam T r a reflexão em torno de r e T s a reflexão em torno de s Seja P um ponto qualquer de R Temos T V (P ) = T s T r (P ) Vejamos o caso em que P está no semiplano determinado por r que não contém s e tal que d(p, r) = α < d Então d(t r(p ), s) = d α, e d(t s(t p (P )), P ) = d(t s (T p (P )), s) + d(s, T r (P )) + d(t r (P ), P ) = d α + d de OV Logo Ts T r (P ) = T V (P ) Os outros caos são análogos, apenas ocorrem mudanças de sinais α + α = d Além disso P T s (T r (P )) tem a direção 16 Rotações e propriedades geométricas As rotações constituem um tipo especial de isometria Veremos algumas propriedades Definição 161 Sejam C um ponto de R e α [0, π) um ângulo A rotação R : R R é uma transformação do plano definida da seguinte forma: R(C) = C, e se P C é um ponto qualquer de R, R(P ) é o ponto tal que CR(P ) = CP e a medida do ângulo P CR(P ) no sentido horário a partir da semirreta CP é α

23 Isometrias no plano Vejamos primeiro o Teorema 16 Toda rotação é uma isometria Prova: Seja R uma rotação de centro C e ângulo α Sejam P e Q dois pontos quaisquer do plano Se P = C e Q C, temos R(P )R(Q) = CR(Q) = CQ = P Q, por definição de rotação O mesmo ocorre se P C e Q = C Suponhamos P C e Q C Se C, P e Q forem colineares, então C, R(P ) e R(Q) são colineares Como CP = CR(P ) e CQ = CR(Q), então R(P )R(Q) = P Q Suponhamos que C, P e Q não são colineares Temos a situação da Figura xxxx Os triângulos P CQ e R(P )CR(Q) são congruentes pelo caso LAL, pois CP = CR(P ), CQ = CR(Q) e P CQ = R(P )CR(Q), pois ambos medem α Logo R(P )R(Q) = P Q, e R é uma isometria y R(Q) R(P ) C Q O P x Figura 110: Ilustração do Teorema Isometrias em coordenadas Estivemos estudando as isometrias sob um ponto de vista geométrico Mas as isometrias podem ser expressas através de equações em um sistema de coordenadas cartesianas, e podemos com isso fazer um estudo algébrico das isometrias Essa expressão é bem próxima das equações de mudança de coordenadas De fato, uma isometria é uma mudança de coordenadas, pois leva os eixos de um sistema em duas retas perpendiculares, definindo assim outro sistema de coordenadas Seguiremos de perto o texto [4], páginas 117 a 1, e depois 14 e 144 Primeiro vamos exprimir as coordenadas de um ponto usando o produto interno de vetores Seja OXY um sistema de eixos ortogonais e sejam e 1 = (1, 0) e e = (0, 1) os vetores unitários dos eixos 0X e 0Y respectivamente Dizer que (x, y) são as coordenadas do ponto P é o mesmo que afirmar OP = xe 1 + ye

24 Isometrias no plano Temos e 1, e 1 = e, e = 1 e e 1, e = 0, e então OP, e 1 = x e 1, e 1 + y e, e 1 = x e analogamente OP, e = y Assim obtemos as coordenadas de um ponto P em um sistema de eixos ortogonais OXY fazendo os produtos internos do vetor OP pelos vetores unitários do eixos x = OP, e 1 e y = OP, e Tomemos agora O X Y um outro sistema de eixos ortogonais quaisquer do plano Seja f 1 e f os vetores unitários de O X e O Y respectivamente Chamemos de (a, b) as coordenadas do ponto O no sistema OXY e de α o ângulo tal que ao girar o eixo OX (de OX para OY ) coincida com O X Assim α é o ângulo de e 1 para f 1 Então f 1 = (cos α)e 1 + (sen α)e Y X Y f e α O α α f 1 f e 1 O X Como OO = ae 1 + be Temos que Figura 111: Mudança de coordenadas O P = OP OO = (x a)e 1 + (y b)e e x = O P, f 1 = (x a)e 1 + (y b)e 1, (cos α)e 1 + (sen α)e e portanto,

25 Isometrias no plano 4 x = (x a) cos α + (y b) sen α Para f, existem duas possibilidades Sabemos que α é o ângulo do vetor unitário e 1 para o vetor f 1 Notemos que e 1 e e f 1 f, assim o ângulo que leva e em f pode ser tanto o α como o α No primeiro caso, obtemos o sistema O X Y de OXY fazendo uma translação que leva O em O (e desloca OX e OY paralelamente) e depois fazemos uma rotação de ângulo αe dizemos que os sistemas O X Y e OXY possuem a mesma orientação Já no segundo transladamos O em O e em seguida fazemos a rotação de ângulo α e por fim fazemos a reflexão em torno do eixo O X E portanto os sistemas OXY e O X Y têm orientações opostas Se O X Y tem a mesma orientação que OXY então o vetor f é obtido de e por uma rotação de ângulo α Logo f = (sen α)e 1 + (cos α)e E assim y = O P, f = (x a)e 1 +(y b)e, (sen α)e 1 +(cos α)e = (x a) sen α+(y b) cos α então Se o sistema O X Y tem orientação oposta à de OXY, então f = (sen α)e 1 (cos α)e y = (x a) sen α (y b) cos α Portanto, as fórmulas de mudança de coordenadas são { x = (x a) cos α + (y b) sen α y = (x a) sen α + (y b) cos α ou (11) { x = (x a) cos α + (y b) sen α y = (x a) sen α (y b) cos α (1) Podemos inverter as equações acima, obtendo (x, y) em função de (x, y ) Multiplicando a primeira equação em (11) por sen α e a segunda por cos α, e x sen α = (x a)(sen α)(cos α) + (y b) sen α x cos α = (x a)(sen α)(cos α) + (y b) cos α ao somar as equações resultantes, obtemos x sen α + y cos α = y b

26 Isometrias no plano 5 Então y = x sen α + y cos α + b Analogamente as outras equações, serão: { x = x cos α y sen α + a y = x sen α + y cos α + b (1) e { x = x cos α + y sen α + a y = x sen α y cos α + b (14) Com estas fórmulas podemos obter as coordenadas (x, y) do ponto P no sistema OXY em função das coordenadas (x, y ) do mesmo ponto no sistema O X Y Em que a primeira delas se aplica quando os dois sistemas são igualmente orientados e a segunda quando OXY e O X Y têm orientações opostas (ou seja, além de translação e rotação, é preciso uma reflexão para passar de um para o outro) Como aplicação dessas observações podemos deduzir as equações de uma isometria T : R R Como toda isometria é bijetiva e conserva a medida de ângulos, então T transforma um sistema de coordenadas cartesianas OXY em um sistema de coordenadas cartesianas O X Y Y y P T Y y P 1 = T (P ) x X O x X O Figura 11: Ação de uma isometria num sistema de coordenadas Sejam (a, b) as coordenadas de O = T (O) no sistema OXY e α o ângulo de OX para O X Usando as fórmulas (1) e (14) deduzidas acima, as coordenadas (x 1, y 1 ) do ponto P 1 = T (P ) no sistema OXY são dadas por { x1 = x cos α y sen α + a (15) y 1 = x sen α + y cos α + b ou

27 Isometrias no plano 6 { x1 = x cos α + y sen α + a = x sen α y cos α + b y 1 (16) T preserva a orientação no plano se OXY e O X Y forem igualmente orientados, e, nesse caso, as equações de T são dadas por (15) Veremos abaixo que esse é o caso das translações e das rotações Por outro lado, se OXY e O X Y não forem igualmente orientados diz-se que T inverte a orientação no plano, e, nesse caso, suas equações são dadas por (16) Veremos abaixo que esse é o caso das reflexões Vemos que as equações de uma isometria T têm uma das formas { x1 = cx dy + a y 1 = dx + cy + b com c + d (17) = 1 ou { x1 = cx + dy + a y 1 = dx cy + b com c + d (18) = 1 Na primeira equação a matriz da parte linear de T é ( ) c d e na segunda equação é d c ( c d ) d Na primeira equação, T preserva a orientação e o determinante é = c + d = 1 > 0 Na segunda equação T inverte a orientação e o determinante é = c d = 1 < 0 E assim, constamos que com o sinal do determinante vemos se a isometria preserva ou inverte a orientação do plano c 18 Translações em coordenadas Definição 181 Chama-se translação determinada pelo vetor v a transformação T v : R R que leva cada ponto P de R no ponto T v (P ) = P + v Dado um sistema de eixos ortogonais em que as coordenadas de v são (a, b), então, para cada ponto P = (x, y), tem-se T v (P ) = (x + a, y + b) A imagem de toda a figura F pela translaç ão T v é a figura cujos pontos P de F foram transladados pelo mesmo vetor v A imagem de uma reta r é a reta a qual é paralela a v T v (r) = r + v = P {P + v; P r}

28 Isometrias no plano 7 Além disso, T v transforma um sistema de eixos ortogonais OX e OY em outro sistema de eixos ortogonais O X Y cujos eixos são paralelos e têm o mesmo sentido que OX e OY Finalmente observamos que toda translação preserva orientação, pois suas equações correspondem às equações (17), em que se faz c = 1 e d = 0 19 Rotações em coordenadas Vejamos como ficam as equações de uma rotação Teorema 191 A rotação de centro C = (a, b) e ângulo α é dada por R : R R, R(x, y) = ((x a) cos α (y b) sen α + a, (x a) sen α + (y b) cos α + b) Prova: Suponhamos primeiro que C = (0, 0) Observemos que o vetor unitário e 1 = (1, 0) é levado no vetor unitário f 1 = (cos α)e 1 + (sen α)e, e o vetor unitário e = (0, 1) é levado no vetor unitário f = ( sen α)e 1 + (cos α)e Seja P = (x, y) um ponto qualquer do plano Então OP = xe 1 + ye Seja P 1 = R(P ) Ponhamos P 1 = (x 1, y 1 ) = x 1 e 1 + y 1 e Considerando o sistema de coordenadas {f 1, f }, P 1 tem nele as mesmas coordenadas que no sistema {e 1, e } Então OP 1 = xf 1 +yf Logo x 1 = OP 1, e 1 = xf 1 +yf, e 1 = x f 1, e 1 + y f, e 1 = x cos α y sen α e y 1 = OP 1, e = xf 1 + yf, e = x f 1, e + y f, e = x sen α + y cos α Portanto, a rotação R com centro em O = (0, 0) e ângulo α tem expressão R(x, y) = (x cos α y sen α, x sen α + y cos α) Consideremos agora uma rotação R de ângulo α em torno do ponto C = (a, b) Seja T : R R a translação T (x, y) = (x + a, y + b) De acordo com o esquema ilustrado na Figura 11, T R T 1 é uma rotação de ângulo α em torno da origem Assim T R T 1 (x, y) = T R(x a, y b) = T ((x a) cos α (y b) sen α, (x a) sen α + (y b) cos α) = ((x a) cos α (y b) sen α+a, (x a) sen α+(y b) cos α+b) Como queríamos demonstrar y R(P ) = T (R(T 1 (P )) C α O R(T 1 (P ) P x T 1 (P ) Figura 11: Ilustração do Teorema 191 Notemos que as equações da rotação de centro C = (a, b) e ângulo α correspondem às equações (17), e, portanto, ela preserva orientação De fato, temos R(x, y) = ((x a) cos α (y b) sen α + a, (x a) sen α + (y b) cos α + b)

29 Isometrias no plano 8 = (x cos α y sen α a cos α b sen α + a, x sen α + y cos α a sen α b cos α + b) 110 Reflexões em coordenadas Vejamos agora como ficam as equações de uma reflexão Seguiremos de perto [4],pág 150 e seguintes Seja OXY um sistema de eixos ortogonais no plano e T a reflexão em torno da reta r, que passa pela origem e faz um ângulo α com o eixo OX, transformando assim o eixo OX em outro eixo que chamaremos de OX e o eixo OY em outro eixo OY O ângulo de OY para OY é α Logo, se e 1, e, f 1 e f são respectivamente os vetores unitários dos eixos OX, OY, OX e OY temos f 1 = (cos α)e 1 + (sen α)e e f = (sen α)e 1 (cos α)e Como a reflexão T é uma isometria então o ponto P = (x, y) é tranformado no ponto P = (x 1, y 1 ) tal que P 1 = xf 1 + yf Segue-se mediatamente que { x1 = x cos α + y sen α y 1 = x sen α y cos α Estas são, portanto, as equações da reflexão em torno de uma reta que passa pela origem e faz ângulo α com o eixo OX Observemos que essas isometrias invertem a orientação, pois suas equações correspondem às equações (18) Agora estudaremos a reflexão em torno da reta y = ax + b com inclinação a = tg α que corta o eixo OY em algum ponto b Seja y = ax, a reta r, de equação y = ax, paralela a r, que também passa pela origem e faz com o eixo OX o mesmo ângulo α Para obter a imagem do ponto P = (x, y) pela reflexão T em torno da reta r, primeiro daremos a P a translação vertical de vetor v = (0, b), obtendo P = (x, y b) Em seguida, refletimos P em torno da reta r, obtendo o ponto P = (x, y ) com x = x cos α + (y b) sen α e y = x sen α (y b) cos α E finalmente, dando a P a translação vertical de vetor v = (0, b), chegamos a P 1 = T (P ) = (x 1, y 1 ), com { x1 = x cos α + (y b) sen α (19) y 1 = x sen α (y b) cos α + b ou { x1 = x cos α + y sen α b sen α (110) = x sen α y cos α b cos α + b y 1 Observamos novamente que essas isometrias invertem a orientação, pois suas equações correspondem às equações (18) Se a reta r for vertical, ela tem expressão na forma x = c Nesse caso as equações da reflexão T (x, y) = (x 1, y 1 ) em torno dessa reta são: { x1 = x + c (111) = y y 1

30 Isometrias no plano 9 Observamos que essa isometria também inverte a orientação, pois suas equações correspondem às equações (18) Portanto toda reflexão inverte a orientação Podemos modificar as equações (19) com o intuito de exprimí-las em função de a e b Como a = tg α, usando identidades conhecidas da trigonometria, temos cos α = 1 a e sen α = a 1 + a 1 + a Portanto as equações da reflexão em torno da reta y = ax + b são x 1 = 1 a 1 + a x + a (y b) 1 + a a y 1 = 1 + a x 1 a (y b) + b 1 + a 111 Resultados finais Do que foi provado nas seções 18, 19 e 110 temos Teorema 1111 As translações e as rotações são isometrias que preservam a orientação, e as reflexões são isometrias que invertem a orientação Temos também Teorema 111 Toda rotação diferente da identidade é a composta de duas reflexões Prova: Como toda rotação é uma isometria, então ela é a identidade, uma reflexão ou a composta de duas ou três reflexões (Teorema 148, pág 0) Pelo Teorema anterior, vimos que a toda rotação é uma mudança de coordenadas que conserva orientação Mas toda reflexão inverte a orientação Logo uma rotação diferente da identidade é a composta de duas reflexões Chamamos de reflexão com deslizamento à composição de uma reflexão em torno da reta r com uma translação com vetor de deslocamento v 0 paralelo à reta r Um resultado útil é Teorema 111 As isometrias do plano são: a identidade, as translações, as rotações, as reflexões e as reflexões com deslizamento Prova: Acompanhamos a demonstração de [5], págs 5 a 9 Seja T : R R uma isometria diferente da identidade e seja A R tal que A = T (A) A Seja A = T (A ) Então d(a, A ) = d(a, A ) > 0 Temos três casos relativos ao posicionamento dos pontos A, A e A PRIMEIRO CASO: A, A e A são não-colineares

31 Isometrias no plano 0 A A A B B 1 Figura 114: Existem duas posições possíveis: B 1 e B A imagem do triângulo AA A pelo isometria T é um triângulo que tem A e A como vértices Como os lados desse triângulo têm medidas iguais às dos lados de AA A, existem duas posições possíveis, B 1 e B, para o seu terceiro vértice, conforme ele e o ponto A estejam ou não do mesmo lado da reta A A A A A B 1 O Figura 115: Tomando a posição B 1 Na primeira hipótese, o ponto B 1 = T (A ) forma com A, A e A a poligonal convexa AA A B 1, na qual os lados têm a mesma medida e os ângulos  e  são iguais, logo ela pode ser inscrita numa circunferência de raio OA, cujo centro O é o ponto de encontro das mediatrizes dos segmentos AA, A A é A B 1 Seja O = T (O) Então, como d(o, A) = d(o, A ) = d(o, A ), temos d(o, A ) = d(o, A ) = d(o, B 1 ), logo O pertence às mediatrizes dos segmentos A A e A B 1, donde O = O Assim, se considerarmos a rotação ρ de centro O e ângulo AÔA, teremos ρ(a) = A = T (A), ρ(a ) = A = T (A ) e ρ(a ) = B 1 = T (A ) Segue-se então de 117 que T = ρ é uma rotação Na segunda hipótese temos um paralelogramo no qual AA e A B são lados opostos e A A é uma diagonal Segue-se que os pontos médios M, P e N desses três segmentos estão sobre uma reta r Se considerarmos a isometria S = T MN R r, composta de translação T MN com reflexão em torno de r, vermos que S e T coincidem nos pontos não-colineares A, A e A, logo T = S, em virtude de 117 Concluímos então que T é uma reflexão com deslizamento

32 Isometrias no plano 1 B r A M A A N P Figura 116: Tomando a posição B SEGUNDO CASO: A, A e A são pontos distintos e colineares Como d(a, A ) = d(a, A ), vemos que A é o ponto médio do segmento AA A reta r, que contém os três pontos dados, é transformada em si mesma pela isometria T Além disso T coincide, nos pontos A e A com a translação T AA Segue-se de 115 que, em todos os pontos de r, T coincide com esta translação Consideremos um ponto B fora da reta r r B B 1 A A A B Figura 117: Segundo Caso O triângulo AA B é transformado pela isometria T noutro triângulo que tem A e A como vértices e lados com as mesmas medidas que os de AA B Existem duas posições possíveis, B 1 e B, para o terceiro vértice desse triângulo, conforme ele e B estejam do mesmo lado ou em lados opostos da reta r Na primeira hipótese, AB e A B 1 são lados opostos de um paralelogramo logo, considerando a translação T AA : R R, vemos que ela coincide com a isometria T nos pontos não-colineares A, A e B Segue-se de 117 que T = T AA, logo T é uma translação Na segunda hipótese, como o ponto B é o simétrico de B 1 em relação a reta r, considerando a reflexão com deslizamento S = T AA R r : R R, vemos que S(A) = T (A) = A, S(A ) = T (A ) = A e S(B) = T (B) = B, logo S = T, em virtude de 117 Assim T é uma reflexão com deslizamento TERCEIRO CASO: A = A Neste caso, a isometria T transforma o segmento de reta AA em si mesmo, logo T (M) = M se M é o ponto médio AA A mediatriz s desse

33 Isometrias no plano segmento é então transformada em si mesmo por T s A M A r B Figura 118: Terceiro Caso Seja B um ponto dessa mediatriz, diferente de M Há duas possibilidades: ou T (B) = B ou T (B) = B, ponto simétrico de B relativamente a reta r = AA Na primeira hipótese, T coincide com a reflexão R s : R R nos pontos A, A e B, logo T = R s Na segunda hipótese, T coincide com a rotação ρ : R R em torno do ponto M, com ângulo de 180, nos pontos não-colineares, A, B e M, logo T = ρ Portanto, neste terceiro caso, T é uma translação ou uma rotação de 180 (simetria em torno de um ponto) Para uso posterior observamos que desse resultado segue o Teorema 1114 As isometrias do plano que têm pelo menos um ponto fixo são: a identidade, as rotações com centro nesse ponto fixo e as reflexões em torno de uma reta que contém esse ponto fixo Utilizaremos um tipo de transformação do plano chamada homotetia, com a seguinte Definição 1115 A transformação T : R R definida por T (x, y) = (kx, ky) para algum número real positivo k, chama-se homotetia de razão k e centro O A inversa da homotetia T (x, y) = (kx, ky) é a homotetia S(x, y) = (x/k, y/k) Toda homotetia leva segmento sobre um segmento cujo comprimento é k vezes o comprimento do primeiro segmento Ainda, leva ângulo sobre ângulo, preservando sua medida Portanto, leva polígonos regulares em polígonos regulares com razão de semelhança k Ainda, expande ou encolhe figuras do plano Por exemplo, T (x, y) = (kx, ky) leva a circunferência de centro em O e raio r sobre a circunferência de centro em O e raio kr

34 Capítulo Grupos de simetria de polígonos regulares 1 Introdução Até o momento fizemos o estudo das isometrias com o objetivo de estudar o grupo de isometrias dos polígonos regulares, que é o que faremos nesse capítulo Começaremos com algumas definições e resultados acerca de polígonos regulares, depois estudaremos os grupos de isometrias do triângulo e do quadrado e no final generalizaremos os resultados obtidos para polígonos regulares de n lados Definições e resultados iniciais Vejamos inicialmente algumas definições Definição 1 Consideremos uma sequência de n pontos A 1, A,, A n de um plano, com n, sendo que quaisquer três pontos consecutivos não são colineares Consideramos consecutivos também os pontos A n 1, A n e A 1, assim como A n, A 1 e A Chama-se polígono A 1 A A A n 1 A n à reunião dos segmentos A 1 A, A A,, A n 1 A n e A n A 1 se esses segmentos se interceptam apenas em suas extremidades Considerando o polígono A 1 A A A n 1 A n, usaremos a seguinte nomenclatura: i) os pontos A 1, A, A,, A n 1, A n são denominados vértices do polígono; ii) os segmentos A 1 A, A A,, A n 1 A n, A n A 1, são chamados lados do poligono; iii) A 1 = A n A 1 A, A = A 1 A A,, A n = A n 1 A n A 1 são os ângulos do polígono; iv) Dois lados que têm um vértice em comum são lados consecutivos;

35 Isometrias no plano 4 v) Dois ângulos de um polígono são consecutivos se têm em comum um lado do polígono Definição Um polígono é chamado convexo quando nenhum par de seus pontos está em semiplanos opostos relativamente a cada reta que contém um de seus lados Definição Um polígono é regular se é convexo e todos os lados e ângulos são congruentes Um resultado básico sobre polígonos regulares que nos interessa aqui está demonstrado no livro [] É o seguinte: Teorema 4 Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência, e circunscritível em uma circunferência Os centros dessas circunferências são os mesmos Definição 5 O centro comum das circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular chama-se centro do polígono regular Sem perda de generalidade, consideremos polígonos regulares com centro na origem das coordenadas de um sistema cartesiano Oxy, e com vértices na circunferência C = {(x, y) x + y = 1} Quando( for conveniente, os vértices de ) um polígono regular de n lados serão indicados por V j = cos, sen, 1 j n Nestas condições (j 1)π (j 1)π n n diremos que o polígono está em posição canônica Observemos que os vértices V j podem ser expressos como raízes complexas da unidade Assim, dado n, seja w = e πi n = cos π + isen π Então, identificando os pontos do plano n n com os números complexos, vem V j = ω j 1 Além disso, como ω n = 1, temos Σ n j=1v j = Σ n 1 j=0 ωj = ωn 1 ω 1 = 0 Logo a origem O das coordenadas é o baricentro do conjunto {V 1, V,, V n }, isto é, 1 n Σn j=1v j = 0 Vejamos agora alguns resultados gerais a respeito da ação de uma isometria sobre polígonos regulares Teorema 6 Se T : R R é uma isometria e P é um polígono, então T (P) é um polígono Prova: Sejam T uma isometria e P = A 1 A A n um polígono Como os pontos A 1, A,, A n são diferentes dois a dois, os pontos T (A 1 ), T (A ),, T (A n ) também são diferentes dois a dois, pois T é injetiva Como três pontos consecutivos quaisquer da sequência A 1, A,, A n, A 1, A, são não colineares, o mesmo ocorre com a sequência T (A 1 ), T (A ),, T (A n ), T (A 1 ), T (A ), como foi observado logo após a Proposição 15 Afirmamos que os segmentos T (A 1 )T (A ), T (A )T (A ),, T (A n )T (A 1 ) se interceptam apenas em suas extremidades De fato, suponhamos, por exemplo, que Q T (A j )T (A j+1 )

36 Isometrias no plano 5 T (A k )T (A k+1 ), com Q no interior dos segmentos Seja P = T 1 (Q) Então P A j A j+1 A k A k+1, com P no interior dos segmentos, o que não pode ocorrer Temos assim todas as condições da Definição 1 para concluir que T (A 1 )T (A )T (A n ) é um polígono Terminamos observando que T (P) = T (A 1 )T (A )T (A n ) Escólio 7 Sejam T : R R uma isometria e P um polígono regular tal que T (P) = P Então T leva vértice de P em vértice de P Em particular, T é uma bijeção do conjunto dos vértices de P nele mesmo Teorema 8 Se T : R R é uma isometria e P é um polígono regular, então T (P) é um polígono regular Prova: Sejam T uma isometria e A 1 A A n um polígono Como foi demonstrado no Teorema 6, T (A 1 )T (A )T (A n ) é um polígono Como A 1 A = T (A 1 )T (A ), A A = T (A )T (A ),, A n A 1 = T (A n )T (A 1 ), vemos que os lados do polígono T (A 1 )T (A )T (A n ) são congruentes Ainda, pela Proposição 19, T preserva ângulos, logo T (A 1 )T (A )T (A n ) tem ângulos congruentes Portanto é regular De agora em diante nos interessamos pelas isometrias que aplicam um polígono regular nele mesmo Essas isometrias têm um nome especial, conforme a Definição 9 Dado um polígono regular P, toda isometria T : R R tal que T (P) = P chama-se simetria de P Um resultado imediato é o seguinte: Teorema 10 O conjunto das simetrias de um polígono regular P é um grupo algébrico sob a operação de composição Prova: Observemos primeiro que a composição de duas simetrias de P ainda é uma simetria de P De fato, se T e S são isometrias tais que T (P) = P e S(P) = P, então T S é uma isometria (Proposição 11) e T S(P) = T (S(P)) = T (P) = P Logo T S é uma simetria de P Seja G o conjunto das simetrias de P Vimos que G é fechado em relação à composição Como a composição é associativa, a estrutura (G, ) é associativa Ainda Id G, portanto (G, ) tem elemento neutro Por outro lado, se T G, sabemos que T 1 é uma isometria (Proposição 111) e T 1 (P) = T 1 (T (P)) = Id(P) = P Logo T 1 G Assim (G, ) é um grupo Devido a esse resultado usaremos a Definição 11 O conjunto das simetrias de um polígono regular P é chamado grupo de simetrias de P Precisaremos do resultado do Teorema abaixo Para demonstrá-lo usaremos o

37 Isometrias no plano 6 Lema 1 Seja T : R R uma isometria e V = {v 1, v,, v n } um conjunto finito de pontos do R Seja G = 1 n (v 1 + v + + v n ) o baricentro de V Então T (G) é o baricentro do conjunto T (V) = {T (v 1 ), T (v ),, T (v n )} Prova: Suponhamos primeiro que T é a translação definida por T (X) = X + k Então T (G) = G + k = 1 n (v 1 + v + + v n ) + k = v 1 + v + + v n + nk n = = (v 1 + k) + (v + k) + + (v n + k) = 1 n n [T (v 1) + T (v ) + + T (v n )] ( Logo T (G) é o baricentro ) de T (V) Suponha agora que T é linear Então T (G) = 1 T n (v 1 + v + + v n ) = 1 n [T (v 1) + T (v ) + + T (v n )] Logo novamente T (G) é o baricentro de T (V) Notemos agora que toda a isometria é a composta de uma aplicação linear e uma translação, conforme nos mostram as equações 17 e 18 Teorema 1 Seja P um polígono regular em posição canônica Se T : R R é uma simetria de P, então a origem O é um ponto fixo de T Prova: Seja P um polígono regular em posição canônica, e seja V o conjunto de seus vértices Sabemos que o baricentro de V é O, e, pelo Lema acima, o baricentro de T (V) é T (O) Se T : R R é uma simetria de P, então T (V) = V Como os baricentros de V e T (V) são os mesmos, temos que o baricentro de T (V) é O Portanto T (O) = O O grupo de simetrias do triângulo equilátero Vamos mostrar nessa seção que o grupo das simetrias de um triângulo equilátero tem seis elementos Apresentamos a tábua desse grupo e suas propriedades Teorema 1 Dado um triângulo equilátero ABC, existem exatamente seis isometrias T : R R tais que T (ABC) = ABC Prova: Seja ABC um triângulo equilátero e M AC, M BC e M AB o pontos médios dos lados AC, BC e AB, respectivamente Seja T : R R uma isometria tal que T (ABC) = ABC Como T leva pontos não colineares em pontos não colineares (observação feita logo após a 15), então T (A)T (B)T (C) é um triângulo e, por hipótese, esse triângulo é ABC Sabemos, pelos Teoremas 14 e 110, que T : {A, B, C} {A, B, C} é uma bijeção nesse conjunto Mas existem seis dessas bijeções Portanto, toda isometria que leva ABC em ABC coincide no conjunto {A, B, C}, com uma dessas bijeções Abaixo veremos que existe uma isometria correspondente a cada uma dessas bijeções, e, pelo Teorema 117, ela é única Portanto, as isometrias listadas abaixo constituem todas as isometrias que levam ABC em ABC

38 Isometrias no plano 7 B r r 1 A C r Figura 1: Ilustração do Teorema 1 Rotação de 60 ; a denotaremos por Id A A B B C C Reflexão em torno da reta r 1 = AM BC ; a denotaremos por R 1 A A B C C B Reflexão em torno da reta r = BM AC ; a denotaremos por R A C B B C A Reflexão em torno da reta r = CM AB ; a denotaremos por R A B B A C C Rotação de 10, com centro no baricentro do triângulo; a denotaremos por R π A B B C C A Rotação de 40, com centro no baricentro do triângulo; a denotaremos por R 4π A C B A C B Essas isometrias formam um estrutura de grupo com a operação de composição,como demonstrado no Teorema 10, isto é, o conjunto S = {Id, R π, R 4π, R 1, R, R } possui a propriedade de associatividade, elemento neutro e inverso Apresentamos agora a tábua do grupo de simetria do triângulo equilátero em relação à operação de composição

39 Isometrias no plano 8 Id R π Id Id R π R π R 4π R π R 4π R 4π id R 4π R 4π R 1 R R R 1 R R id R R 1 R R R R 1 R π R 1 R 1 R R id R π Id R R R R 1 R 4π R R R 1 R R π R 4π R 4π R π As Figuras, e 4 mostram algumas das composições da táboa id r 1 B r A R π r 1 A r C R 4π r 1 B r A C r B r C r Figura : R 4π R π : composta de R π com R π que é igual a identidade r 1 B r A R r 1 B r C R1 r 1 A r C C r A r B r Figura : R R 1 : composta de R com R 1 que é igual a R π Existe outra forma de representar esse grupo, que permite constatar mais facilmente isomorfismos com outros grupos e observar generalizações Pondo a = R π e b = R 1 e indicando por e a identidade, vemos que a = R 4π, a = e, ba = R = a b, ab = R e b = id = e Portanto o grupo das simetrias do triângulo equilátero pode ser representado por S = {e, a, a, b, ab, a b}

40 Isometrias no plano 9 r 1 B r A R 4π r 1 C r B R1 r 1 A r B C r A r C r Figura 4: R 4π R 1 : composta de R 4π com R 1 que é igual a R e é caracterizado, como grupo de 6 elementos, gerado por duas letras, pelas condições: S = 6, S =< a, b >, a = e, b = e, ba = a b Observamos que S é isomorfo ao grupo simétrico S, e veremos que ele é mais comumente indicado por D, o grupo diedral de ordem 6 Nessa notação temos a seguinte tábua: e a a b ab a b e e a a b ab a b a a a e ab a b b a a e a a b b ab b b a b ab e a a ab ab b a b a e a a b a b ab b a a e Notemos que S não é abeliano (por exemplo, R 1 R R R 1 ) Seu centro é Z(S ) = {e} e seu grupo de comutadores é S = {e, a, a } 4 O grupo de simetrias do quadrado Vamos mostrar nessa seção que o grupo das simetrias de um quadrado tem oito elementos Apresentamos a tábua desse grupo e suas propriedades Na demonstração do Teorema abaixo precisaremos do seguinte Lema 41 Considere um quadrado ABCD em posição canônica, e seja T : R R uma reflexão que leva esse quadrado nele mesmo Então o eixo de simetria de T é uma das retas Ox, Oy, x = y ou x = y Prova: Vimos no Teorema 1 que toda isometria do quadrado ABCD fixa a origem das coordenadas Portanto o eixo de simetria de qualquer reflexão que preserva o quadrado contém a origem Suponhamos que T seja uma reflexão em torno de uma reta s que não é Ox, Oy, x = y e x = y Como s contém a origem, ela intercepta o quadrado em dois

41 Isometrias no plano 40 pontos Seja P um deles Consideremos a reta t perpendicular a s por P Como P não é um vértice do quadrado, t intercepta o quadrado em exatamente dois pontos, sendo um deles P, e o outro, digamos, Q Mas T (Q) deveria pertencer ao quadrado e a t, o que não ocorre Isto termina a demonstração Teorema 4 Existem oito isometrias que levam um quadrado nele mesmo Prova: Considere um quadrado ABCD em posição canônica Vimos que toda isometria do quadrado fixa a origem das coordenadas Assim, se ela não for a identidade, ela é uma rotação com centro na origem ou uma reflexão com eixo de simetria passando pela origem Pelo 41, se for uma reflexão, o eixo só pode ser: Ox, Oy, x = y ou x = y Lembremos também que toda simetria do quadrado induz uma bijeção no conjunto {A, B, C, D} de seus vértices Existem 4 bijeções Afirmamos que apenas oito delas se realizam como simetrias do quadrado Vamos começar listando essas oito simetrias Depois mostraremos que não existem outras Usaremos as notações da Figura 5, em que d 1 é o eixo Ox, d é o eixo Oy, h é a diagonal secundária e v é a diagonal principal d B v C A d 1 Figura 5: Ilustração do Teorema 4 D h a) Identidade, que denotaremos por Id A A B B C C D D b) Reflexão em torno da reta d 1, que denotaremos por R 1 A A B D C C D B c) Reflexão em torno da reta d, que denotaremos por R A C B B C A D D d) Reflexão em torno da reta h, que denotaremos por R h A D B C C B D A

42 Isometrias no plano 41 e) Reflexão em torno da reta v, que denotaremos por R v A B B A C D D C f) Rotação de π, cujo centro é o ponto O, que denotaremos por R π A B B C C D D A g) Rotação de π, cujo centro é o ponto O, e que denotaremos por R π A C B D C A D B h) Rotação de π, cujo centro é o ponto O, e que denotaremos por R π A D B A C B D C Vemos que essas oito bijeções do conjunto {A, B, C, D} são de fato correspondentes a simetrias do quadrado, e são as únicas simetrias que agem nesse conjunto dessa forma, devido ao Teorema 117 Vamos mostrar que as outras bijeções do conjunto {A, B, C, D} não correspondem a simetrias do quadrado Para isso vamos dividir essas bijeções um grupos Primeiro caso: Se T é uma simetria do quadrado que fixa um dos vértices, então tem que fixar o vértice oposto Isso não acontece nos casos abaixo i) A A B C C D D B j) A A B D C B D C k) A B B C C A D D l) A B B D C C D A m) A C B A C B D D n) A C B B C D D A o) A D B A C C D B p) A D B B C A D C Segundo caso: Se T é uma simetria do quadrado que fixa dois vértices não colineares com a origem, então, pelo Teorema 116, T teria que ser a identidade Portanto os casos abaixo não correspondem a simetrias do quadrado q) A A B B C D D C

43 Isometrias no plano 4 r) A A B C C B D D s) A B B A C C D D t) A D B B C C D A Terceiro caso: Agora analisaremos cada uma das bijeções u) A B B D C A D C Se fosse uma rotação, como A B, teria que ser R π, mas não é, pois B D Se fosse reflexão, seria R v, mas não é, pois B D e B teria que ir em A v) A C B A C D D B Se fosse uma rotação, como A C, teria que ser R π, mas não é, pois B A Se fosse reflexão, como B A, seria R v, mas não é, pois A C e A teria que ir em B x) A C B D C B D A Se fosse uma rotação, como A C, teria que ser R π, mas não é, pois D A Se fosse reflexão, como D A, seria R h, mas não é, pois A C e A teria que ir em D z) A D B C C A D B Se fosse uma rotação, como A D, teria que ser R π, mas não é, pois D B Se fosse reflexão, como A D, seria R h, mas não é, pois C A e C teria que ir em B Tábua do simetrias do quadrado: id R π id id R π R π R π R π R π R π R π id R π R π R π R π R π id R π R π R π R 1 R h R R v R 1 R h R R v id R h R R v R 1 R π R R v R 1 R h R π R v R 1 R v R R 1 R 1 R v R R h id R π R h R h R 1 R v R R π id R R R h R 1 R v R π R π R v R v R R h R 1 R π R π R π R π id R π R π R π R π id

44 Isometrias no plano 4 d d d B v D v C v R π R π C A d A C 1 d 1 D B d 1 D h B h A h Figura 6: Composta R π R π que é igual a R π d d d B v A v D v Rv R h C A d D B 1 d 1 A C d 1 D h C h B h Figura 7: Composta R h R v que é igual a R π Da mesma forma que fizemos com o grupo de simetrias do triângulo equilátero, existe outra forma de representar o grupo de simetrias do quadrado, que permite constatar mais facilmente isomorfismos com outros grupos e observar generalizações Pondo a = R π e b = R 1 e indicando por e a identidade, vemos que a = R π, a = R π, a 4 = e, b = e, ab = R h, a b = R, a b = R v e ba = R v = a b Portanto o grupo das simetrias do quadrado pode ser representado por S = {e, a, a, a, b, ab, a b, a b} e é caracterizado, como grupo de 8 elementos, gerado por duas letras, pelas condições: S = 8, S =< a, b >, a 4 = e, b = e, ba = a b Observamos que S é mais comumente indicado por D 4, o grupo diedral de ordem 8 Nessa notação temos a seguinte tábua:

45 Isometrias no plano 44 d d d B v D v A v R 1 R π C A d C A 1 d 1 D B d 1 D h B h C h Figura 8: Composta R π R 1 que é igual a R v e a a a b ab a b a b e e a a a b ab a b a b a a a a e ab a b a b b a a a e a a b a b b ab a a e a a a b b ab a b b b a b a b ab e a a a ab ab b a b a b a e a a a b a b ab b a b a a e a a b a b a b ab b a a a e O centro e o subgrupo de comutadores de D 4 são iguais, a saber, Z(D 4 ) = D 4 = {e, a } 5 O grupo de simetria de um polígono regular de n lados Ao estudar os grupos de simetria do triângulo equilátero e do quadrado, observamos uma regularidade, no sentido de que, definindo-os como grupos de letras, vemos uma forma de generalizar Essa generalização, como já observamos, é o chamado grupo diedral Definição 51 Para todo inteiro n, o grupo diedral D n é dado por D n = {e, a, a,, a n 1, b, ab, a b,, a n 1 b}, em que cada elemento a tem ordem n, o elemento b tem ordem e vale a relação ba = a n 1 b Assim, como grupo de letras, o grupo diedral de ordem n pode ser definido como D n = n, D n =< a, b >, a n = e, b = e, ba = a n 1 b O escopo de nossos estudos, daqui para diante, é provar que o grupo de simetrias do polígono regular de n lados é D n, para todo n Começaremos com a

46 Isometrias no plano 45 Proposição 5 Seja P um polígono regular de n lados e G seu grupo de simetrias Seja a a rotação de π/n (no sentido anti-horário) em torno do baricentro de P Então o subgrupo gerado por a é < a >= {e, a, a,, a n 1 } e inclui todas as rotações de G Prova: Podemos supor, a menos de uma translação, de uma rotação e de uma homotetia, que P está na posição canônica Seja O o centro das coordenadas Logo O é o baricentro de P Os vértices V 1, V,, V n de P, vistos como vetores, fazem ângulo de π/n de cada um para o seguinte Assim, a rotação a de π/n com centro em O leva V 1 em V, V em V,, V n 1 em V 1 Portanto a G Ainda, a n = e, pois equivale à rotação de π, e a j e para todo 1 j < n Isto prova que < a >= {e, a, a,, a n 1 } Por outro lado, seja ρ uma rotação de G Vimos que o centro de ρ é O Ainda, ρ leva V 1 em outro vértice, digamos V j Logo ρ = a j 1 Assim ρ < a >, e terminamos Proposição 5 Seja P um polígono regular de n lados em posição canônica Então a reflexão b em torno do eixo Ox pertence ao grupo de simetrias de P Prova: Seja P = V 1 V V n um polígono regular em posição canônica Sabemos que toda isometria aplica segmento sobre segmento Assim basta provar que b aplica os vértices de P situados no semiplano superior sobre os vértices de P situados no semiplano inferior ( Lembremos que V j = ), 1 j n Observemos incialmente que cos (j 1)π, sen (j 1)π n n V 1 está no eixo Ox, pois V 1 = (cos 0, sen 0) = (1, 0) Logo b(v 1 ) = V 1 Convém também ( ) observar que se n é par, digamos, n = k, temos V k+1 = cos (k+1 1)π, sen (k+1 1)π = n n ( ) cos kπ kπ, sen n n = (cos π, sen π) = ( 1, 0) Se n é ímpar, digamos, n = k + 1, P não tem outros vértices em Ox que não V 1 Suponhamos primeiro que n = k é par Os vértices de P situados no semiplano superior, contados no sentido anti-horário, a partir de V são V j, j k Os vértices de P situados no semiplano inferior, contados no sentido horário, a partir de V n são V n j+, j k Queremos provar que V j é o simétrico de V n j+, para todo j k Temos: = ( cos V n j+ = = ( cos ( [ cos π (j 1)π, sen n ) (n j + 1)π (n j + 1)π, sen = n n ] [ ]) (j 1)π (j 1)π, sen π = n n ) ( (j 1)π (j 1)π = cos, sen n n ) (j 1)π = V j n para todo j k Fica provada a afirmação no caso em que n é par Suponhamos agora que n = k + 1 é ímpar Os vértices de P situados no semiplano superior, contados no sentido anti-horário, a partir de V são V j, j k + 1 Os vértices de P situados no semiplano inferior, contados no sentido horário, a partir de V n são V n j+, j k + 1 Com os mesmos cálculos feitos acima temos que V j é o simétrico de V n j+, para todo j k Fica provada a afirmação no caso em que n é ímpar

47 Isometrias no plano 46 Teorema 54 O grupo de simetrias do polígono regular de n lados é o grupo diedral de n elementos D n Prova: Podemos supor, a menos de uma translação, de uma rotação e de uma homotetia, que P está na posição canônica Seja O o centro das coordenadas Logo O é o baricentro de P Seja G o grupo de simetrias de P Vimos, na Proposição 5, que a rotação a de π/n (no sentido anti-horário) em torno do baricentro de P é um elemento de G, e que o subgrupo gerado por a é < a >= {e, a, a,, a n 1 } e inclui todas as rotações de G Vimos também, na Proposição 5, que a reflexão b em torno do eixo Ox pertence a G Portanto todos os elementos a j b, com 1 j < n, pertencem a G Portanto, G contém o grupo diedral D n gerado pelos elementos a e b, conforme a regra D n = n, D n =< a, b >, a n = e, b = e, ba = a n 1 b Seja agora T um elemento qualquer de G Vimos que T é uma rotação com centro em O ou uma reflexão em torno de uma reta que passa por O Se T é uma rotação, a Proposição 5 garante que T < a >, logo T D n Suponhamos agora que T é uma reflexão em torno de uma reta r que passa por O Seja α o ângulo que r faz com o eixo Ox, medido no sentido anti-horário Vimos, na Seção 110, que as equações em coordenadas de T são { x1 = x cos α + y sen α y 1 = x sen α y cos α Portanto, as equações em coordenadas de T b são { x1 = x cos α y sen α = x sen α + y cos α y 1 Mas, conforme vimos na Seção 19, essa é a rotação de ângulo α com centro na origem Mas toda rotação de G está em D n Assim T b D n, do que segue T = T b b 1 D n Logo G D n, e provamos que G = D n Vemos, por esse resultado, que as reflexões do grupo de simetrias de um polígono regular P, de n lados, são as isometrias a k b, 0 k n 1 Vamos descrevê-las geometricamente Sabemos que a é a rotação de ângulo α = π/n, logo a k é a rotação de ângulo kα = kπ/n Assim, em coordenadas, temos Portanto a k (x, y) = (x cos kα y sen kα, x sen kα + y cos kα) a k b(x, y) = (x cos kα + y sen kα, x sen kα y cos kα) Vimos, na Seção 110, que essas são as equações em coordenadas da reflexão em torno da reta r que passa pela origem e faz um ângulo de kα/ = kπ/n com o eixo Ox (no sentido anti-horário) Temos assim a

48 Isometrias no plano 47 Proposição 55 Seja P um polígono regular de n lados em posição canônica As reflexões do grupo de simetrias de P são as que têm como eixo de simetria as retas que passam pela origem e fazem um ângulo de kπ/n com o eixo Ox (no sentido anti-horário) Observamos que as retas de simetria dessas reflexões são as que passam pela origem e pelos vértices de P, ou pela origem e pelos pontos médios dos lados de P

49 Referências Bibliográficas [1] Artin, M Algebra New Jersey, Prentice Hall, 1991 [] Barbosa, J L M Geometria Euclidiana Plana Décima Edição Coleção do Professor de Matemática Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática, 006 [] Hvidsten, M Geometry Boston, McGrawHill, 006 [4] Lima, E L Coordenadas no Plano Coleção do Professor de Matemática Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática, 00 [5] Lima, E L Isometrias Coleção do Professor de Matemática Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática,