Aprendendo a calcular a média

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1 Aprendendo a calcular a média 13 Paulo Roberto Rufino Pereira Frederico Tassi de Souza Silva

2 e-tec Brasil Estatística Aplicada META OBJETIVO PRÉ-REQUISITOS Introduzir o conceito de medidas de tendência central e apresentar os cálculos de média aritmética. Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. calcular média aritmética simples; 2. calcular média aritmética ponderada; 3. calcular a média de dados agrupados. Para esta aula é importante que você reveja os conceitos de população, amostra e freqüência que foram apresentados nas Aulas 6 e 7. Também é importante ter uma calculadora à mão para fazer as atividades propostas. 338

3 FAZENDO UMA MÉDIA Como Técnico em Segurança do Trabalho você está apto a sugerir e implantar programas de prevenção de acidentes no trabalho. Para tanto, é importante que você seja capaz, entre outras coisas, de analisar informações contidas em gráficos e tabelas. Imagine que você já é um Técnico em Segurança no Trabalho. Ao chegar ao trabalho, encontrou sobre sua mesa a tabela a seguir. Aula 13 Aprendendo a calcular média Tabela 13.1: Valores ano a ano, durante três décadas (70, 80 e 90), do número total de trabalhadores; de ACIDENTES ocorridos (tanto TÍPICOS quanto ocorridos durante o trajeto para o trabalho); de doenças relacionadas ao trabalho; de acidentes relacionados ao trabalho; de acidentes ocorridos a cada 100 mil trabalhadores; de óbitos relacionados ao trabalho; de óbitos a cada 100 mil trabalhadores e de óbitos a cada 10 mil acidentes ocorridos. ACIDENTES TÍPICOS Todos os acidentes que ocorrem no desenvolvimento do trabalho, na própria empresa ou a serviço dela. Fonte: http: // artigos/seguranca_ trabalho.html Ano Trabalhadores Número de acidentes e doenças do trabalho no Brasil de 1970 a 2004 Típico Acidentes Trajeto Doenças Total Acidentes Acidentes/ 100mil trabalhadores Óbitos Óbitos /100 mil trabalhadores Óbitos/10mil acidentes Média anos

4 e-tec Brasil Estatística Aplicada Média Anos Média Anos Fonte: BEAT, INSS Estatisticas_Tabelas.pdf Analisando as informações contidas na tabela apresentada, você diria que, com o passar das décadas, o número de acidentes que ocorrem no trajeto do trabalhador de sua casa ao local de trabalho e o número de óbitos (mortes) relacionados ao trabalho está aumentando ou diminuindo? Com base em que informação da tabela fica fácil tirar essa conclusão? Se você não conseguiu responder à pergunta, não se preocupe. Ainda nesta aula vamos voltar a esse ponto, e você, com certeza, vai descobrir a resposta. AS MEDIDAS DA ESTATÍSTICA Olhe atentamente para a Tabela 13.1, com sua grande quantidade de linhas e colunas. Essa tabela, como você já aprendeu, representa um grande conjunto de dados. Agora pense em como analisar todos os valores existentes nesse grande conjunto e compará-los entre si, para então se chegar a uma conclusão a respeito do que eles estão informando. Parece trabalhoso, não é mesmo? Por isso, é indispensável sintetizar adequadamente os dados estatísticos para termos maior e mais fácil compreensão das informações sobre o fato ou fenômeno que está sendo estudado. É isso que você vai aprender nesta aula e na Aula 14 (a próxima). Você aprenderá algumas formas de resumir os dados de um conjunto por meio de medidas estatísticas chamadas de medidas de posição. Tais medidas informam sobre o comportamento da variável que as originou, isto é, as medidas, sendo um único número, dão a idéia 340

5 da tendência de todo um conjunto de dados. As medidas estatísticas de posição mais utilizadas são: a média, a moda e a mediana. Todas funcionam como uma medida-resumo, pois passam a idéia do comportamento geral dos dados estudados. É possível, ainda, dizer que tais medidas são como valores de referência, em torno dos quais os outros valores se distribuem. As médias são as medidas de posição mais populares; já a mediana é definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenados; portanto, tem a propriedade de dividir um conjunto de observações em duas partes iguais. A moda é o valor que aparece mais vezes, ou seja, é aquele que apresenta a maior freqüência observada. Mas não se preocupe, você será apresentado, com detalhes, a cada uma delas. Aula 13 Aprendendo a calcular média Sanja Gjenero Figura 13.1: As medidas de posição são medidas que representam, de forma resumida, um conjunto de dados. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: NA METADE DO CAMINHO, OU BEM PRÓXIMA DELA... Entre os vários tipos de medidas de posição, as medidas de tendência central são as mais comuns. O nome já nos dá uma dica de sua função. Esse tipo de medida determina em torno de que valor os dados tendem a ser encontrados. Veja um exemplo para ficar mais claro. Durante o primeiro semestre do ano passado, Clara gastou, por mês, em suas compras de supermercado, os seguintes valores: 341

6 e-tec Brasil Estatística Aplicada Em janeiro R$ 82,00 Maciek PELC Em fevereiro R$ 79,00 Em março R$ 81,00 Em abril R$ 80,00 Em maio R$ 102,00 Em junho R$ 80,00 Sanja Gjenero Observe que os valores são todos próximos a R$ 80,00, ou seja, os valores tendem a estar perto desse valor. Se colocarmos os valores em ordem crescente, fica fácil visualizar que R$ 80,00 é um valor mais central nessa distribuição. Veja: 79,00 80,00 80,00 81,00 82,00 102,00 Figura 13.2: A medida de tendência central é o valor em torno do qual os outros valores de um conjunto de dados estão posicionados. Mesmo existindo um valor distante de R$ 80,00, que é R$ 102,00, todos os outros cinco estão perto dele. Por isso, dizemos que Clara costuma gastar em torno de R$ 80,00 em compras, porque todos os outros valores estão próximos desse valor. 342

7 No exemplo anterior, determinamos o valor de R$ 80,00 como sendo o valor central, usando nosso bom senso. Mas há métodos mais confiáveis de se chegar ao valor central. Existem três tipos de medidas de tendência central: média, mediana e moda. Cada uma dessas medidas possui uma maneira específica de estabelecer o valor central de um conjunto de dados. Nesta aula, você vai aprender sobre as médias. MÉDIA: UM POR TODOS E TODOS POR UM! Existem vários tipos de média, como, por exemplo, média aritmética, média geométrica e média harmônica. Você vai estudar apenas a média aritmética, que é a mais utilizada. Existem dois tipos de média aritmética: média aritmética simples e média aritmética ponderada. Vamos começar pela média aritmética simples. Aula 13 Aprendendo a calcular média MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Vamos voltar ao exemplo da Clara e ao valor de suas compras durante os seis primeiros meses do ano. Ela agora está querendo colocar uma parte do seu salário na poupança. Para isso, ela tem que calcular quanto, aproximadamente, vai gastar durante o mês, para saber o que conseguirá poupar. Johanna Ljungblom Figura 13.3: Clara quer poupar, mas para isso ela deve ter uma idéia de quanto vai gastar durante o mês. 343

8 e-tec Brasil Estatística Aplicada Mas como saber os valores das contas que ela ainda não recebeu? Uma boa idéia para resolver esse problema é fazer a média simples dos valores pagos nos últimos meses. Assim, ela pode ter a idéia aproximada de quanto serão suas despesas. A média aritmética simples é o valor obtido quando somamos todos os valores de um determinado conjunto de dados e dividimos esse valor total pela quantidade de dados (valores). Entendeu? Não? Vamos voltar aos valores das compras da Clara. Veja como se faz o cálculo da média das compras que Clara fez nos últimos seis meses: X = = 84 6 Veja que Clara gastou em média R$ 84,00 nas compras de supermercado. O X (lê-se X barra) é o símbolo de média. Yoshi Aka Figura 13.4: Que estratégia Clara deve utilizar para prever quanto vai gastar? Uma boa idéia é calcular a média aritmética simples dos últimos gastos que teve. 344

9 Lembra que, apenas utilizando o bom senso, tínhamos concluído que Clara gastava aproximadamente R$ 80,00 por mês em compras? Chegamos a esse valor sem fazer nenhuma conta, ou seja, observamos que esse era o valor mais próximo de todos os outros. Ao fazermos essa análise descartamos o valor R$ 102,00 porque era muito diferente dos outros. Quando calculamos a média, levamos em consideração todos os valores; por isso, o valor encontrado foi maior (R$ 84,00). Neste caso, o valor R$ 102,00 influenciou o resultado, pois fez com que a média ficasse maior. Veja como ficaria a média se o valor R$ 102,00 não existisse: Aula 13 Aprendendo a calcular média X = 80 O valor encontrado foi R$ 80,00, exatamente o que tínhamos concluído sem fazer qualquer tipo de cálculo. Agora, sem o valor distante, a média fica próxima de todos os valores do conjunto de dados. A média é utilizada quando desejamos obter um valor geral que represente diversos resultados dentro de um conjunto. SEBO Lojas que vendem livros usados. MULTIMÍDIA A estatística dos ETs Que tal uma história de ficção científica que mistura boa dose de suspense e uma pitada de... estatística? No livro Vultos sobre o Sol, de Chad Oliver, você vai conhecer um antropólogo americano que, ao fazer um levantamento demográfico dos Estados Unidos, fica intrigado com uma pequena cidade do sul do Texas. A tal cidade, à primeira vista, passaria despercebida já que seus índices são absolutamente normais: taxa de natalidade, número de idosos, infra-estrutura, postos de serviços, distribuição etária e de sexo, tudo exatamente na média. No entanto, como ele descobre mais tarde, tudo era normal demais. Parecia que os dados haviam sido manipulados para que parecessem ideais, exatamente para que a cidade não chamasse atenção. O personagem então vai até a cidade e descobre coisas estranhas que envolvem inclusive a existência de vida extraterrestre. Este é um livro bem antigo, talvez você só o encontre em um SEBO, mas vale a pena tentar. Renaude Hatsedakis 34

10 e-tec Brasil Estatística Aplicada Vamos ver mais um exemplo? Observe a Tabela 13.2, que apresenta o número de acidentes, a incapacidade temporária e as mortes em vários setores de atividade econômica do Estado de São Paulo no ano de 200: Tabela 13.2: Apresenta as colunas: diversos setores de atividade econômica (primeira coluna); número médio de vínculos empregatícios, ou seja, de pessoas empregadas (segunda coluna); total de acidentes relacionados ao trabalho (terceira coluna); número de trabalhadores incapacitados temporariamente (quarta coluna); número de mortes relacionadas ao trabalho (quinta coluna) e número de trabalhadores com idades entre 16 e 34 anos (sexta coluna). Os valores referentes a cada coluna estão divididos por vários setores de atividade econômica do estado de São Paulo (primeira coluna). Acidentes de trabalho por setor de atividade econômica Trabalho realizado pelo INST-CUT São Paulo, abril de 200 Setor Nº Médio de vínculos Total de acidentes Incapacidade temporária Nº de mortes Faixa etária: 16 a 34 anos Indústria de transformação Comércio de reparação de veículos automotores, objetos pessoais e domésticos Agricultura, pecuária e serviços relacionados com essas atividades Atividades imobiliárias, aluguéis e serviços prestados às empresas Saúde e serviços sociais Transporte, armazenagem e comunicações Construção Outros serviços coletivos, sociais e pessoais Administração pública, defesa e seguridade social Alojamento e alimentação Intermediação financeira Educação Produção e distribuição de eletricidade, gás e água Indústrias extrativas Pesca Fonte: Previdência Social Anuário Estatístico

11 A coluna destacada em cinza traz o número de mortes de trabalhadores em diversos setores de atividade econômica. Veja como é feito o cálculo da média dos valores dessa coluna X 1 = = 160, 2 mortes 1 ATENÇÃO Atente para o fato de que a média pode ser um valor diferente de qualquer um dos valores existente no conjunto de dados. Neste caso, dizemos que a média não tem existência concreta. Aula 13 Aprendendo a calcular média Ou seja, somamos todos os valores e dividimos pelo número de valores que foram somados. Podemos dizer, então, que, em 200, no estado de São Paulo, morreram em média 160,2 trabalhadores devido a acidentes de trabalho. Volte agora à Tabela 13.1 e veja se você consegue responder àquelas perguntas. Comece observando as colunas de número de acidentes no trajeto (quarta coluna) e a de número de óbitos (oitava coluna). Note que, ao final de cada dez anos (uma década), existe uma média dos valores. Essa média funciona como um resumo do período. Compare o valor de uma década com a outra. Esse valor está aumentando ou diminuindo? Você acha que isso torna a análise mais fácil? Ilker Figura 13.: A média é um valor que representa um conjunto de dados. 347

12 e-tec Brasil Estatística Aplicada Mas nem tudo na média aritmética é simples. Calma, não é que vá ficar muito complicado! É porque existe outro tipo de média aritmética chamada de ponderada. É nosso próximo assunto. Agora que você viu como se calcula a média aritmética simples, chegou a hora de praticar. Leia atentamente os exercícios a seguir e faça os cálculos. É bom que você tenha uma calculadora à mão, para ajudá-lo nas contas. ATIVIDADE 1 Atende ao Objetivo 1 Uma aplicação financeira rendeu, em três dias, os seguintes valores: Primeiro dia: R$ 8,0 Segundo dia: R$ 61,10 Terceiro dia: R$ 7,10 Calcule a média aritmética simples de rendimento dos três dias dessa aplicação. ATIVIDADE 2 Atende ao Objetivo 1 Um time de futebol jogou sete partidas durante o campeonato. Veja, a seguir, os resultados de cada partida: Primeira partida 3 X 1 Segunda partida 4 X 2 348

13 Rawku' Terceira partida 1 X 1 Quarta partida 0 X 0 Quinta partida 3 X 2 Sexta partida 2 X 1 Aula 13 Aprendendo a calcular média Sétima partida 1 X 0 Sabendo que o time não perdeu nenhuma das partidas, calcule: a. A média aritmética simples dos gols marcados pelo time. b. A média aritmética simples dos gols sofridos pelo time. ATIVIDADE 3 Atende ao Objetivo 1 Um técnico do INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial), ao visitar uma indústria de produtos químicos, pesou 16 potes de soda cáustica para conferir se as massas eram iguais. Após a pesagem (em gramas), ele montou no computador (com o auxílio de uma planilha eletrônica) uma tabela com a massa dos potes. Ao imprimir a tabela, a impressora falhou e o último número não apareceu. Veja, a seguir, como ficou a tabela. 349

14 e-tec Brasil Estatística Aplicada Por sorte, ele tinha em mãos a média aritmética simples dos 16 números. A média era 183,7. Com essa informação é possível achar o valor que não apareceu. Ajude o técnico a calcular o número que está faltando. Sigurd Decroos Este exercício é um pouco mais desafiador. Para que você possa realizá-lo, vamos dar algumas dicas: a. Monte a equação para calcular a média aritmética simples. b. Substitua pela letra X o número que você não conhece. c. Ao montar a equação, ela será igual a 183,7 (lembre-se: ele sabe qual é o valor da média, ela é igual a 183,7). MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Seu garçom faça o favor de me trazer depressa Uma boa média que não seja requentada Um pão bem quente com manteiga à beça Um guardanapo e um copo d água bem gelada... (Música: "Conversa de Botequim" Compositores: Francisco Alves, Noel Rosa e Vadico) 30

15 Cristina comprou o jornal para conferir o gabarito das provas que fez para o concurso de Técnico em Segurança do Trabalho da CODEVASF (Companhia de Desenvolvimento dos Vales de São Francisco e Parnaíba). Ela fez prova de Língua Portuguesa, Legislação da CODEVASF, Conhecimentos Gerais e Conhecimentos Específicos (de Segurança no Trabalho). Ao reler o EDITAL, Cristina verificou que as diversas provas tinham pesos diferentes. É comum as provas terem valores diferentes quando o domínio de determinados conhecimentos é mais importante para o desempenho da função do que outros. Assim, as matérias de maior importância têm peso maior. EDITAL Conjunto de informações e normas a respeito da realização de um concurso público. Aula 13 Aprendendo a calcular média Clinton Cardozo Figura 13.6: Em concursos é comum encontrarmos pesos diferentes para os diversos tipos de provas. Veja, a seguir, a tabela com as provas, o número de questões e o peso de cada prova: 31

16 e-tec Brasil Estatística Aplicada Tabela 13.3: Provas aplicadas no concurso da CODEVASF para nível médio, com o número de questões e o peso de cada prova. TABELA NÍVEL MÉDIO (Para todas as áreas de formação do cargo de Assistente Técnico em Desenvolvimento Regional ATDR, EXCETO para Designer Gráfico e Técnico em Informática) Provas Nº de questões Peso de cada prova Língua Portuguesa 10 2, Matemática 2, Legislação da CODEVASF 2,0 Conhecimentos Gerais 1, Conhecimentos Específicos 1 3,0 TOTAL DE QUESTÕES PONTUAÇÃO MÁXIMA 40 questões 100 pontos Ter pesos diferentes significa que algumas provas valem mais que outras. Observando a Tabela 13.3, você pode perceber que a prova de Conhecimentos Específicos vale mais do que todas as outras (tem peso 3), enquanto a prova de Conhecimentos Gerais vale menos do que as outras (tem peso 1,). ATENÇÃO Fique atento para o fato de que ter um peso maior significa que as questões daquela prova valem mais pontos do que as questões das provas com pesos menores. Ao conferir o gabarito, Cristina verificou que tinha acertado sete questões da prova de Língua Portuguesa, três questões da prova de Matemática, quatro questões da prova de Legislação da CODEVASF, três questões da prova de Conhecimentos Gerais e onze questões da prova de Conhecimentos Específicos. O que devemos fazer para calcular a nota de Cristina? É fácil! Devemos multiplicar o número de questões de cada prova pelo respectivo peso da prova. Veja como ficam os cálculos: 32

17 Notas das provas = 7 2, + 2 2, , = 17, +, 0 + 8, 0 + 4, + 33 = 68 Ou seja, de um total de 100 pontos, Cristina fez 68 pontos no concurso. Para entender o que é média ponderada, é importante que você tenha entendido que alguns valores podem ter peso, ou seja, que alguns valores podem ser mais ou menos importantes do que outros. Utilizamos a média ponderada quando queremos calcular a média de valores que têm peso. Isso é muito comum quando queremos calcular a média de nossas notas na escola. Muitas vezes os professores colocam pesos para as notas que você tirou em cada bimestre. Vamos ver mais um exemplo. Sigurd Decroos Aula 13 Aprendendo a calcular média Figura 13.7: A média ponderada é utilizada quando temos valores com pesos diferentes. É muito comum para calcular a nota final do ano letivo. Henrique é professor de história em uma escola e vai calcular as notas finais de quatro alunos. Ele determinou que a nota de cada bimestre terá um peso diferente e a nota final será a média das notas que o aluno tirou em cada um dos quatro bimestres do ano letivo. 33

18 e-tec Brasil Estatística Aplicada Para calcular a nota final, Henrique vai ter que tirar uma média ponderada, e não uma média simples, já que as notas terão pesos diferentes. Veja a tabela que ele montou: Tabela 13.4: Notas de quatro alunos nos quatro bimestres do ano letivo. Cada bimestre tem um peso específico. Aluno 1º bimestre (peso 1) Notas de história do ano letivo 2º bimestre (peso 2) 3º bimestre (peso 3) 4º bimestre (peso 3) 1 6, , 4 4 6, 4 4,, 7 Nota Final A nota final de cada aluno, que é a média ponderada das suas notas, é resultado da nota total dividida pela soma dos pesos. A nota final deve ser calculada da mesma forma que o cálculo feito por Cristina para achar sua nota no concurso. O cálculo fica assim: Nota final do aluno = + +, + = + +, +, = 6, Nota final do aluno = = = 7, Viu como é fácil? Calcule, no espaço a seguir, a nota final dos alunos 3 e 4 e complete a Tabela Adam Ciesielski 34

19 MULTIMÍDIA Lembra-se de quando foi falado, no começo da aula, que existem quatro tipos de médias? As mais comuns são a média simples e a ponderada, que você já aprendeu; as outras duas são as médias geométrica e harmônica. As médias geométrica e harmônica são menos utilizadas. O cálculo dessas medidas é um pouco mais complexo e lançamos mão dele em situações bastante particulares. Ficou interessado em aprender sobre essas medidas? Então, corra para o computador mais próximo e acesse a internet. Se quiser entender a média geométrica, digite o endereço: Se quiser saber sobre média harmônica, o endereço é: Aula 13 Aprendendo a calcular média Ilker Na Aula 7, você aprendeu que dados repetidos podem ser agrupados em uma tabela de distribuição de freqüências. Lembra? Em todos os exemplos que vimos até agora os dados analisados estão isolados uns dos outros, ou seja, cada valor é levado em consideração separadamente; não foram agrupados. Então, como calcular a média aritmética quando os dados estão agrupados? É o que você vai ver na próxima seção. Agora que você já aprendeu como calcular a média aritmética ponderada, faça as atividades a seguir. 3

20 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 4 Atende ao Objetivo 2 Uma pequena empresa da área de segurança no trabalho emprega: Afonso Lima dez funcionários com salário de R$ 2.000,00 mensais; doze funcionários com salário de R$ 1.00,00 mensais; oito funcionários com salário de R$ 1.400,00 mensais. Calcule a média de salários dessa empresa. ATIVIDADE Atende ao Objetivo 2 Bruno é aluno do primeiro ano do Ensino Médio. Ele acabou de receber suas notas de Biologia do primeiro bimestre. O professor da matéria estabeleceu as seguintes regras: Ann-Kathrin Rehse a nota da prova escrita tem peso 2; a nota do trabalho em grupo tem peso 2; a nota da pesquisa sobre reciclagem de lixo tem peso 3; 36

21 a nota do debate sobre meio ambiente que foi realizado em sala de aula tem peso 1. Sabendo que Bruno tirou as seguintes notas, ajude-o a calcular sua média do bimestre em Biologia: Prova escrita 8,0 Trabalho em grupo,0 Aula 13 Aprendendo a calcular média Pesquisa 7,0 Debate 9,0 ATIVIDADE 6 Atende ao Objetivo 2 Em duas turmas distintas do curso Técnico em Segurança no Trabalho foi aplicada uma prova. Na primeira turma, que era formada por 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40. Na segunda turma, formada por 0 alunos, a média aritmética foi,20. Qual a média aritmética das notas dos 80 alunos? 37

22 e-tec Brasil Estatística Aplicada DADOS UNIDOS TAMBÉM SERÃO MEDIDOS! Também é possível calcular a média de dados que estão agrupados em uma tabela de freqüência, o que pode ser feito, inclusive, quando os valores da variável estão distribuídos em intervalos de classes. Veja, a seguir, como isso é possível. Média de dados agrupados: sem intervalos de classe Para entender como funciona o cálculo da média aritmética em dados que estão dispostos numa tabela de freqüência, vamos utilizar um exemplo. A secretaria da escola de música NA FREQÜÊNCIA DO SOM queria traçar um perfil dos alunos da escola. Uma das perguntas era se havia diferença, entre os sexos, na preferência por determinado tipo de instrumento. 38

23 Decidiram começar pelo curso de violão, calculando a média da presença masculina entre as turmas formadas para o estudo desse instrumento. O curso tem 34 turmas de violão, e cada uma tem, no máximo, quatro alunos. O primeiro passo foi montar a seguinte tabela (Tabela 13.): Tabela 13.: As 34 turmas de violão da escola (total da freqüência). A tabela relaciona a quantidade de homens que pode haver em cada turma (variável), com o número de turmas (freqüência) que possuem a respectiva quantidade de homens. Nº de homens Turmas de violão Quantidade de turmas (freqüência) TOTAL 34 Aula 13 Aprendendo a calcular média Observando atentamente a tabela, é possível perceber que a idéia de quantidade de alunos homens por turma é a mesma questão abordada na questão dos diferentes pesos para cada prova da seção anterior. A freqüência funciona como o peso. Então, para calcular a média de dados distribuídos em freqüências, basta calcular a média ponderada. Veja como fica o cálculo: 0 X = = = , 3 O resultado da média aritmética ponderada foi, aproximadamente, 2,3. Isso significa dizer que existem 2,3 homens em cada turma. Mas não existem 2,3 homens, não é mesmo? Pessoas só podem ser representadas por números inteiros positivos, então como interpretar esse resultado? 39

24 e-tec Brasil Estatística Aplicada Jozsef Szoke Figura 13.8: Não existe meia pessoa. Quando temos uma média referente ao número de pessoas que não é um número inteiro, consideramos que o resultado tende a ser maior que a parte inteira do número. A primeira conclusão que podemos tirar, levando em consideração a informação de que as turmas têm no máximo 4 alunos, é que a maioria delas tem, em média, 2 alunos homens e 2 alunas mulheres. A outra conclusão a que podemos chegar é que as turmas de violão têm, em média, mais homens do que mulheres. Isso porque 2,3 é maior do que a metade de alunos que cada turma pode ter (a metade de 4 é 2) e o número de alunos que falta para completar a turma (4 2,3 = 1,7) é de mulheres, que é um número menor do que 2. MULTIMÍDIA Você já parou para pensar de que forma a estatística se encaixa na sua área? Jaylopez Então, entre no site Este é um PORTAL TEMÁTICO sobre Segurança no Trabalho. O site, entre outras coisas, oferece legislação a respeito desse tema e um banco de dados com vários indicadores estatísticos relacionados à área de segurança no trabalho. PORTAL TEMÁTICO Um site que oferece vínculos, organizados por temas, a outros sites ou serviços. 360

25 Média de dados agrupados: com intervalos de classe Você aprendeu sobre dados agrupados em intervalos de classe na Aula 7, lembra? Quando os dados são apresentados sob essa forma, eles ficam escondidos dentro de subconjuntos que chamamos de classes. Como fazer para calcular a média aritmética desses valores? Se você entendeu como calcular a média quando os dados estão agrupados em freqüências, não vai ter dificuldade aqui. O cálculo dos dados agrupados em intervalos de classes é um pouco mais trabalhoso, mas você não terá dificuldade em aprender se utilizarmos um exemplo. Você já deve ter ouvido falar dos problemas causados pelo excesso de barulho. O grau do risco para a saúde que o ruído (barulho) pode causar depende do tempo que a pessoa fica exposta ao ruído. Algumas profissões sofrem com o problema quando o ruído é inerente ao trabalho. É o caso, por exemplo, de quem trabalha numa serralharia. Nestes casos, o barulho faz parte do cotidiano do trabalhador. Pensando nisso, Eduardo, que é um técnico em segurança do trabalho, resolveu fazer uma pesquisa sobre o tempo durante o qual alguns trabalhadores ficam expostos, por dia, a ruídos. O primeiro conjunto de dados que ele levantou foi em uma das indústrias de montagem de automóveis de sua cidade. Veja, a seguir, a tabela que ele montou. Aula 13 Aprendendo a calcular média Tabela 13.6: Tempo, em horas, durante o qual os trabalhadores de uma montadora de automóveis ficam expostos a ruídos. As horas estão distribuídas em intervalos de classes, e a freqüência é o número de trabalhadores referente a cada intervalo. Tempo de exposição a ruídos dos trabalhadores da montadora carro forte Classes Tempo de exposição a ruídos (intervalos de classes) Número de trabalhadores (freqüência) Total

26 e-tec Brasil Estatística Aplicada Para facilitar o cálculo, devemos montar uma tabela auxiliar. A tabela deve ser igual à Tabela 13.6, mas com mais duas colunas. A quarta coluna será para o ponto médio de cada intervalo de classe. O ponto médio de um intervalo de classe é a média aritmética simples entre o limite inferior e o limite superior de cada intervalo de classe. Por exemplo, o ponto médio da primeira classe é: = = 2 2 3, A quinta coluna será o resultado da multiplicação da freqüência, no caso o número de trabalhadores, pelo ponto médio. Veja como ficou a tabela auxiliar: Classes Tempo de exposição a ruídos (intervalos de classes) Nº de trabalhadores (freqüência) Ponto médio Freqüência X Ponto médio , 7, , 13, 6 7, 38, , 2, , 10, , 102, , 76,0 Total 4 394,0 Agora, para calcularmos a média de dados agrupados em intervalos de classes, basta dividir o total (soma) dos valores encontrados na quinta coluna pelo total (soma) dos valores da terceira coluna (freqüência). Veja o cálculo: x _ 394 = = 7, 30 4 Esse resultado nos diz que os trabalhadores dessa indústria ficam, em média, expostos diariamente a 7,3 horas de ruídos. 362

27 Sigurd Decross Aula 13 Aprendendo a calcular média Figura 13.9: É possível calcular a média de dados que estão distribuídos em freqüência e os que estão agrupados em classes. Nos dois casos, o cálculo que fazemos é a média ponderada. Nosso dia-a-dia está recheado de informações que envolvem o cálculo de média aritmética. A temperatura diária que os jornais nos informam é, na verdade, uma média das temperaturas que foram medidas durante todo o dia. A inflação do mês é uma média das variações diárias. O número de acidentes de trânsito geralmente é informado como uma média dos valores mensais, e assim por diante. Por esse motivo, ter entendido os cálculos apresentados nesta aula é muito importante. Não deixe de testar se você entendeu o conteúdo fazendo as atividades a seguir. ATIVIDADE 7 Atende ao Objetivo 3 Flávia é professora de matemática de uma escola no município de Trabalhópolis (nome imaginário). Ela ensinou média aritmética aos alunos de uma de suas turmas. Para testar se eles entenderam, ela passou uma tarefa. Pediu que eles calculassem a média aritmética das estaturas (alturas) de todos os alunos da turma. 363

28 e-tec Brasil Estatística Aplicada Depois que todos os alunos tinham sido medidos, ela pediu que fosse montada uma tabela. Na primeira coluna, ela definiu quatro intervalos de classe em que as alturas medidas poderiam ser encontradas. Na segunda coluna, eles colocaram a freqüência, ou seja, o número de alunos com alturas que se encaixavam naquele intervalo. Veja, a seguir, como ficou a tabela montada por ela: Estatura dos alunos em centímetros (classes) 10, 16, 16, 160, 160, 168, 168, 178, Número de alunos (freqüência) Você aprendeu, nesta aula, a calcular média aritmética de dados agrupados. Então, responda às questões e ajude os alunos da turma de Flávia a realizar a tarefa. a. Preencha a tabela a seguir com o ponto médio de cada classe. Estatura dos alunos em centímetros (classes) 10, 16, 16, 160, 160, 168, 168, 178, Ponto médio da classe Número de alunos (freqüência) b. Calcule a média aritmética das alturas dos alunos da classe de Flávia. c. Quantos alunos existem na sala de Flávia? 364

29 ATIVIDADE 8 Atende ao Objetivo 2 Esta atividade é um desafio, pois tem grau de dificuldade maior do que as outras. Não deixe de fazê-la e, ao final, confira a resposta comentada. Boa sorte! A tabela a seguir mostra as notas que o aluno de um determinado colégio tirou em algumas disciplinas. 1 bim. 2 bim. 3 bim. 4 bim. Matemática 6,0 7,,0 6,0 Física 4, 7,0,? Química 8,0? 6,, Aula 13 Aprendendo a calcular média Você percebeu que estão faltando duas notas na tabela? Calcule as notas que estão faltando. Para isso, você precisará das seguintes informações: a. As notas que estão faltando são iguais. b. A média final de Química foi 0, ponto maior do que a média final de Física. c. Neste colégio, a média final de cada disciplina é calculada atribuindo-se os seguintes pesos: Brian Lary A nota do primeiro bimestre tem peso 1. A nota do segundo bimestre tem peso 2. A nota do terceiro bimestre tem peso 3. A nota do quarto bimestre tem peso 3. 36

30 e-tec Brasil Estatística Aplicada RESUMINDO... Medidas de posição são medidas estatísticas que representam um conjunto de dados mostrando-nos a posição da distribuição dos valores desse conjunto em relação à freqüência com que eles (os valores) aparecem. As medidas de tendência central são as medidas de posição mais comuns. As medidas de tendência central são: a média, a mediana e a moda. A média pode ser: aritmética, geométrica e harmônica. Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada. A média aritmética simples é o valor obtido somando-se todos os valores existentes em um determinado conjunto e dividindo-se esse valor total pelo número de valores. É representada por (leia-se x barra ). A média aritmética ponderada é o valor obtido somando-se todos os valores existentes em um determinado conjunto. Cada valor deve estar multiplicado pelo seu respectivo peso. Ao final, dividese o resultado pela soma dos pesos. A média aritmética para dados agrupados sem intervalos de classe é uma média ponderada. Basta somar cada elemento do conjunto multiplicado pelo seu respectivo peso, que, no caso, é a freqüência com que esse elemento aparece na série. Depois, divida o resultado pela soma das freqüências (soma dos pesos). A média aritmética para dados agrupados em intervalos de classe é calculada com o auxílio de duas colunas na tabela de distribuição de freqüência: a primeira nova coluna com o ponto médio de cada intervalo de classe; a segunda coluna com o resultado da multiplicação do ponto médio pela freqüência. A média será a divisão da soma dos elementos dessa segunda coluna pela soma das freqüências. INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, você vai aprender mais sobre as outras medidas de posição: a mediana e a moda. Aprenderá a calculá-las tanto para dados que não estão agrupados como para aqueles que estão agrupados. Não perca. Até lá! 366

31 RESPOSTAS DAS ATIVIDADES ATIVIDADE 1 Para calcular a média simples, você deve somar todos os rendimentos e dividir pela quantidade. Calculando a média aritmética (X) entre essas três quantias, temos: 8, , , , 7 X = = = 8, Aula 13 Aprendendo a calcular média ATIVIDADE 2 O time não perdeu nenhuma das partidas jogadas, quer dizer: ou ele ganhou ou empatou a partida. Então, o maior número de gols é sempre desse time, ou o número de gols é igual (nos casos de empate). a. Média dos gols marcados 3 X = = 7 2 b. Média dos gols sofridos 1 X = = 1 7 ATIVIDADE 3 Para resolver esta atividade, siga as dicas que foram dadas. Monte a equação para calcular a média aritmética simples e substitua, na equação, o número que você não sabe pela letra X. Veja como fica: X 16 Ao montar a equação, ela será igual a 183,7, pois ele sabe que esse é o valor da média X 16 = 183, 7 367

32 e-tec Brasil Estatística Aplicada X 16 = 183, X = 183, X = X = X = 182 Portanto, o número que foi apagado é o 182. ATIVIDADE 4 Usamos a média ponderada para calcular a média dos salários porque cada salário tem uma quantidade diferente de empregados que o recebe x = = , Assim, o salário médio dos funcionários é de R$ 1.640,00. ATIVIDADE Para calcular a média aritmética ponderada das notas do aluno, basta fazer a seguinte conta: 8 X = = = = ATIVIDADE 6 Calculamos a média aritmética de todos os alunos somando todas as notas e dividindo pelo número total de alunos. O problema é que não sabemos qual a soma das notas de cada turma. Como temos o valor da média aritmética de cada turma, é possível encontrar esse valor. É preciso saber que para cada turma temos a seguinte equação: SOMA _ DE _ TODAS _ AS _ NOTAS _ DA _ TURMA X = NUMERO _ DE _ ALUNOS _ DA _ TURMA Assim, a soma das notas da primeira turma é: NOTAS _ DA _ PRIMEIRA _ TURMA 6, 40 = NOTAS _ DA _ PRIMEIRA _ TURMA =

33 A soma das notas da segunda turma é: NOTAS _ DA _ SEGUNDA _ TURMA, 20 = NOTAS _ DA _ SEGUNDA _ TURMA = Portanto, a média de todos os alunos é: X = = = 80 80, 6 Aula 13 Aprendendo a calcular média ATIVIDADE 7 a. O ponto médio de cada classe é a média aritmética simples de cada intervalo. Estatura dos alunos em centímetros (classes) 10, 16, 16, 160, 160, 168, Ponto médio da classe 10, + 16, = 13, 2 16, + 160, = 18, 2 160, + 168, = 164, 2 Número de alunos (freqüência) , 178, 168, + 178, = 173, 2 3 b. Para calcular a média aritmética de valores agrupados em classes, devemos calcular a média aritmética ponderada dos números 13,; 18,; 164, e 173, (ponto médio de cada classe), com pesos respectivamente iguais a 4,, 8 e 3 (valores das freqüências). Assim, temos: 13, , + 164, , , , = = = 162, Logo, a estatura média dos alunos da turma de Flávia é 162,1 cm. c. A turma de Flávia tem 20 alunos, que é igual à freqüência total. 369

34 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 8 No desenvolvimento da resposta a seguir, sempre que você encontrar a letra N ela estará representando a palavra Nota (nota do aluno). Dados a serem encontrados (pergunta da atividade): N física e N química 1ª informação: N 4ºbimestre de Física = N 2ºbimestre de Química as notas procuradas são iguais). 2ª informação: = + 0, (a média das notas de Química é igual à média das notas de Física mais 0, pontos) M aritmética_química M aritmética_química 1 N N N N = o 2 o 3 o o 1 bim 2 bim 3 bim 4 bim M aritmética_física 1 N N N N = o o o o 1 bim 2 bim 3 bim 4 bim Calculando as médias aritméticas de Física e Química: M aritmética_física M aritmética_física M aritmética_física,,, = , + 14, , + 3 = 9 3, = 9 N o 4 bim N4 o bim N4 o bim M aritmética_química N = o 2 bim 1 8, , 3, 9 M aritmética_química M aritmética_química 8, N o 2 bim + 19, + 16, = 9 8, N2 bim + 36, 0 o = 9 M aritmética_química 44, = 9 N2 bim o A 2ª informação nos diz que: M aritmética_química = M aritmética_física + 0,. Então: 44, N o bim 3, = 9 9 N o 2 4 bim + 0, 370

35 Como N 2ºbim = N 4ºbim (1ª informação), podemos substituir cada nota cujo valor não sabemos pela variável y. Veja como fica a equação: y 3 + 3y = + 0, y 3 + 3y 1 = ( y) = ( + y) Aula 13 Aprendendo a calcular média y y + 9 = 18 18, multiplicando ambos os membros por 18, ficamos com: y = y + 9 4y 6y = y = 9, multiplicando ambos os membros por (-1) y = 4, Quer dizer, as duas notas que faltam na tabela são iguais a 4,. Obs. 1: 0, = 1. Por isso ele foi substituído na segunda equação da série anterior. 2 Obs. 2: Quando temos duas ou mais equações com o mesmo denominador, podemos multiplicar todas pelo mesmo valor desse denominador e ele desaparecerá. Isso foi feito na quarta equação da série anterior. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica.. ed. São Paulo: Saraiva, MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, 200. MARTINS, Gilberto A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning,

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