Lógica Proposicional-1

Transcrição

1 Lógica Prpsicinal-1 Linguagens da Lógica Prpsicinal Frases atómicas Referência: Capítuls: 1-2 Language, Prf and Lgic Dave Barker-Plummer, Jn Barwise e Jhn Etchemendy,

2 Linguagens de 1ª rdem Lógica de primeira rdem (LPO) é família de linguagens partilham gramática partilham cnetivas e quantificadres diferem n vcabulári usad nas fórmulas básicas Fórmulas atómicas --- frases básicas da Língua Natural (LN) Nmes ligads pr predicads Jana crre Miguel vive n Prt Rita deu jg a Manuel O cub é mair que tetraedr Lógica Prpsicinal-2

3 Cnstantes Símbls usads para referir um indivídu fix Nmes em LN sã habitualmente ambígus mesm nme para indivídus diferentes nmes desprvids de referente: Pai Natal Nme em LPO refere exatamente 1 bjet Cada nme tem de nmear um bjet Um nme nã pde nmear mais de um bjet Um bjet pde ter mais de um nme Mund de Tarski: cnstantes a, b, c, d, e, f Lógica Prpsicinal-3

4 Símbls de predicad Símbl de predicad: prpriedade de bjets u relaçã entre bjets Fórmula atómica: cmbinaçã de símbl de predicad e nmes A Clara gsta d Pedr LN: Frase nminal + frase verbal LPO: 2 sujeits lógics: Clara e Pedr predicad gsta maiúscula predicad Gsta(clara, pedr) minúscula cnstante Lógica Prpsicinal-4

5 Mund Gsta clara pedr rui Este mund tem três indivídus e um predicad Indivídus cm minúscula Predicads cm maiúscula A Clara nã gsta d Rui Se gstasse tinha a ligaçã entre clara e rui Intrduçã-5

6 O Mund de Tarski Lógica Prpsicinal-6

7 Predicads d Mund de Tarski Cube(a) a é um cub Tet(a) a é um tetraedr (pirâmide) tip Ddec(a) a é um ddecaedr (bla de futebl) Small(a) a é pequen Medium(a) a é médi Large(a) a é grande Smaller(a,b) a é menr que b Larger(a,b) a é mair que b LeftOf(a,b) a está mais próxim da beira esquerda d que b RightOf(a,b) a está mais próxim da beira direita d que b BackOf(a,b) a está mais próxim da beira de trás d que b FrntOf(a,b) a está mais próxim da beira da frente d que b SameSize(a,b) a é d mesm tamanh que b SameShape(a,b) a é da mesma frma que b SameRw(a,b) a está na mesma linha que b (hrizntal) SameCl(a,b) a está na mesma cluna que b (vertical) Adjins(a,b) a e b estã em quadrads adjacentes (nã em diagnal) prpriedade: tamanh cmparaçã: tamanh identidade cmparaçã: psiçã cmparaçã: semelhança a = b a é mesm bjet que b (sinónim) Between(a,b,c) a, b, c na mesma linha, cluna u diagnal e a está entre b e c Lógica Prpsicinal-7

8 LN: predicads pdem ter númer de arguments (aridade) variável A Ana deu A Ana deu Bbi A Ana deu Bbi a Rui Aridade LPO: predicads têm aridade fixa Mund de Tarski: Aridade 1: Cube, Tet, Ddec, Small, Medium, Large Aridade 2: Smaller, Larger, LeftOf, RightOf, BackOf, FrntOf, SameSize, SameShape, SameRw, SameCl, Adjins, = Aridade 3: Between Lógica Prpsicinal-8

9 Interpretaçã rígida Predi cads cm arguments sã fórmulas atómicas Fórmulas atómicas sã verdadeiras u falsas LN: predicads pdem ter significad vag: nã é sempre pssível decidir se uma prpriedade se aplica a um bjet Ana, 16 ans; Manuel, 96; Luís, 25 Jvem(ana) VERDADE Jvem(manuel) FALSO Jvem(luis)? LPO: interpretações sã rígidas Mund de Tarski: Between(a, b, c) representa a está entre b e c Interpretaçã: a, b e c estã na mesma linha, cluna u diagnal a está entre b e c Lógica Prpsicinal-9

10 Linguagem de 1ª rdem da Teria de Cnjunts Predicads: = (identidade) e (pertença a cnjunt) Fórmulas atómicas a = b - verdade se a é mesm que b (nã basta ter aspets cmuns) a b - verdade se b é cnjunt e a um seu membr Ntações: Prefixa Infixa Psfixa Gsta( clara, pedr ) clara Gsta pedr clara pedr Gsta =( a, b ) a = b a b = ( a, b) a b a b Lógica Prpsicinal-10

11 Linguagem de 1ª rdem da Teria de Cnjunts Exempl: Cnstantes a é 2 b é {2, 4, 6} Fórmulas atómicas a a Fals a b Verdade b a Fals b b Fals Fórmulas atómicas na linguagem ds cnjunts: valr de verdade fica fixad quand se fixa a referência ds nmes Fórmulas atómicas n Mund de Tarski: pde mudar de V para F mvend bjets: LeftOf(a,b) Lógica Prpsicinal-11

12 Símbls de funçã Um símbl de funçã estabelece uma crrespndência de bjets para bjets Exempls de símbls de funçã: mãe, altura, identificadr Exempls de terms: mãe(pedr) -- Clara altura(pedr) -- 1,60 altura(clara) -- 1,71 identificadr(pedr,nif) identificadr(pedr,bi) Terms sã expressões cm símbls de funçã e arguments Os arguments sã terms Terms funcinam cm nmes (cmplexs) Lógica Prpsicinal-12

13 Mund 1.71 altura 1.60 altura Gsta nif bi identificadr clara pai mãe pedr pai identificadr manuel pai(pedr) Intrduçã-13

14 Frases nminais cmplexas LN: frases nminais pdem ser expressões cmplexas A mãe d Pedr Tds s funcináris da FEUP Alguém Nenhum ds amigs d Manuel O pai da mãe d Pedr Juntand frase verbal (1) A mãe d Pedr gsta de fruta (2) Nenhum ds amigs d Manuel gsta de fruta (1) tem implícit que alguém gsta de fruta (2) mesma estrutura da frase que (1), mas nã implica existência de indivídu Expressã de (1) em LPO usa term para cnstruir a frase nminal Expressã de (2) em LPO usa quantificadres Lógica Prpsicinal-14

15 Terms Cnstantes individuais pedr Símbl de funçã e argument mãe(pedr) Arguments sã terms mãe(pai(mãe(pedr))) Usads cm nmes nas fórmulas atómicas MairQue(pai(pedr), pedr) Terms e predicads: sintaxe idêntica, mas mae(pai(pedr)) refere bjet, a avó paterna d Pedr Cub(Cub(a))?? Term é frmad aplicand símbl de funçã de aridade n a n terms Term é usad cm um nme em fórmulas atómicas Lógica Prpsicinal-15

16 Interpretaçã A LPO pressupõe uma grande simplificaçã da realidade mund é cnstituíd pr indivídus qualquer afirmaçã é verdadeira u falsa. Uma interpretaçã dá significad na realidade às frases da linguagem atribui a cada term (cnstante é um cas particular) um indivídu atribui a cada fórmula atómica valr V u F. Lógica Prpsicinal-16

17 Interpretaçã Linguagem Term Fórmula atómica Interpretaçã Realidade Indivídu V, F MairQue(pai(pedr), pedr) Gsta(mae(pedr), pedr) predicad funçã Funçã é crrespndência entre indivídus Predicad é relaçã entre indivídus e valr de verdade Lógica Prpsicinal-17

18 Linguagem de 1ª rdem da aritmética Fórmulas: acerca ds númers naturais e de + e Vcabulári: Nmes: 0 e 1 Símbls de predicad: =, < (bináris) Símbls de funçã: + e (bináris) Ntaçã: infixa para funções e para predicads Númer de terms é infinit 0, 1, (1+1), ((1+1) +1), (((1+1) +1) +1) Fórmulas atómicas: cm predicads < e = (1 1) < (1+1) Lógica Prpsicinal-18

19 Definiçã indutiva Definiçã indutiva ds terms (1) 0 e 1 sã terms (2) Se t 1 e t 2 sã terms, (t 1 + t 2 ) é term (3) Se t 1 e t 2 sã terms, (t 1 t 2 ) é term (4) Nã há utrs terms para além ds cnstruíds cm (1), (2) e (3) (1) é a cláusula base (2) e (3) sã cláusulas recursivas (4) é a cláusula de fech Lógica Prpsicinal-19

20 Especificam-se nmes predicads Linguagens de 1ª rdem símbls de funçã c/ aridade Cnetivas e quantificadres: sempre s mesms N mínim 1 predicad (pde ser =) Pde nã haver funções Pde nã haver nmes Lógica Prpsicinal-20

21 Traduzir LN para LPO Representaçã de cnheciment Passagem d mund para a lógica Esclha de nmes, predicads e funções adequads a dmíni Esclha de predicads cndicina expressividade A Ana deu Bbi a Rui linguagem 1 linguagem 2 DeuBbi(ana, rui) Deu(ana, bbi, rui) mund lógica Objetiv é esclher a linguagem que permite exprimir que querems cm menr vcabulári pssível (elegância) Lógica Prpsicinal-21

22 Cnsequência lógica Questã central na Lógica: quand é que uma afirmaçã é cnsequência lógica de utras Lógica frmal evitar ambiguidades da LN trnar facilmente recnhecíveis as cnsequências de cada afirmaçã Lógica Prpsicinal-22

23 Argument Sequência de afirmações em que uma cnclusã decrre de (é suprtada pr) premissas Tds s hmens sã mrtais. Sócrates é hmem. Lg, Sócrates é mrtal. tem cnclusã n final é argument válid Lucréci é hmem. Afinal, Lucréci é mrtal e tds s hmens sã mrtais. tem cnclusã n iníci pir, nã é argument válid! Palavras que indicam cnsequência Prtant, lg, entã, cnsequentemente Palavras que indicam premissas Dad que, se, prque, afinal Lógica Prpsicinal-23

24 Cntraexempl Para mstrar que um argument cm premissas P 1,..., P n e cnclusã Q é inválid encntre um cntraexempl, ist é, um mund em que as premissas sejam verdadeiras e a cnclusã falsa. Supnha um mund em que Lucréci é um gat Entã Lucréci é mrtal e tds s hmens sã mrtais sã frases verdadeiras, mas a cnclusã Lucréci é um hmem é falsa. Lógica Prpsicinal-24

25 Validade e slidez Argument válid: cnclusã tem de ser verdadeira se as premissas frem De Cube(c) e c=b decrre Cube(b) Nã há maneira de ter as premissas verdadeiras (c é cub e é mesm bjet que b) sem que a cnclusã seja também Recnhecems que a cnclusã é cnsequência das premissas sem saber se estas sã verdadeiras Argument sólid = argument válid + premissas verdadeiras Entã a cnclusã é verdadeira (só a validade nã chega) Se Sócrates fr um rbt, nã é mrtal; a premissa nã é verdadeira e prtant a cnclusã nã tem que ser, embra argument seja válid A verdade das premissas nã é prblema central ds lógics Seria necessári um histriadr para afirmar que Sócrates é um hmem Lógica Prpsicinal-25

26 Prva Prblema ds lógics é demnstrar a validade ds arguments Prvar que Sócrates às vezes se precupa cm a mrte é uma cnsequência lógica das quatr premissas Sócrates é um hmem, Tds s hmens sã mrtais, Nenhum mrtal vive para sempre, Tds s que virã a mrrer às vezes precupam-se cm iss. Dad que Sócrates é um hmem e tds s hmens sã mrtais, segue-se que Sócrates é mrtal. Daqui e da premissa de que nenhum mrtal vive para sempre, cnclui-se que Sócrates acabará pr mrrer. Pela última premissa, às vezes precupa-se cm iss. Prva: demnstraçã de que uma cnclusã decrre das premissas, estabelecend cnclusões intermédias Pass de uma prva: evidência irrefutável de que uma cnclusã intermédia é cnsequência das premissas e cnclusões anterires Lógica Prpsicinal-26

27 Pass irrefutável Um pass de uma prva tem que ser irrefutável Nã basta que seja verdadeir na mair parte ds cass, prque: Quase tds s timrenses falam Tetum (90%) Antóni é um timrense Entã Antóni fala Tetum Se Antóni fr um ds utrs 10%, nã fala Tetum cntraexempl, argument inválid As prvas pdem ter muits passs e a sua credibilidade seria muit reduzida Segund pass cm 90% daria 0.9*0.9=0.81 (81%) Terceir pass: 0.9*0.9*0.9=0.729 (72.9%) Lógica Prpsicinal-27

28 Prvas frmais e infrmais Diferença é n estil, nã n rigr Prva infrmal (ex: matemática) expressa em língua natural, mite s passs mais óbvis De Cube(c) e c=b prva-se Cube(b)...preferível para cmunicaçã entre as pessas Prva frmal recrre a númer fix de regras e usa apresentaçã estilizada 1. Cube(c) 2. c=b 3. Cube(b) = Elim: 1,2 permitem a validaçã mecânica permitem prvar facts acerca da própria nçã de prvabilidade Lógica Prpsicinal-28

29 Caraterísticas da identidade Indiscernibilidade ds idêntics u substituiçã (Eliminaçã d =) Se prvarms b=c, que é verdade para b é verdade para c Reflexividade da identidade (Intrduçã d =) Pde sempre prvar-se a=a (nme refere um e um só bjet) Simetria da identidade Pde cncluir-se b=a a partir de a=b pde prvar-se ds dis anterires Transitividade da identidade De a=b e b=c pde cncluir-se a=c pde prvar-se a partir da indiscernibilidade ds idêntics Lógica Prpsicinal-29

30 Prvas frmais Sistema dedutiv F (Sistema Fitch, d lógic Frederic Fitch) Prva em F da cnclusã S a partir das premissas P, Q, R P Q premissas R S 1 justificaçã 1 S n justificaçã n S justificaçã n+1 P, Q, R acima da barra: premissas Em geral: linhas numeradas Lógica Prpsicinal-30

31 Regras de inferência Intrduçã da identidade (= Intr) n=n Eliminaçã da identidade (= Elim) P(n) n=m P(m) Reiteraçã (Reit) P P Operações n sistema de inferência assciadas a cada element da linguagem Principalmente as elements cmuns Par intrduçã/eliminaçã d element marca cnclusã válida, segund a regra, desde que se verifiquem as linhas anterires Lógica Prpsicinal-31

32 Prvas que usam a identidade Exempl: prva da simetria da igualdade 1. a=b 2. a= a = Intr 3. b=a = Elim: 2,1 regra que justifica pass = Elim: 2,1 e nã 1,2 prque se faz crrespnder primeir pass P(n) na regra Elim cm pass da prva 2. a=a e depis pass n=m cm 1. a=b O segund pass é usad para substituir primeir a de a=a pr b Lógica Prpsicinal-32

33 Uma prva frmal Prvar Gsta(b,a) a partir de Gsta(a,a) e de b=a 1. Gsta(a,a) 2. b=a Gsta(b,a) premissas cnclusã 1. Gsta(a,a) 2. b=a 3. b=b = Intr 4. a=b = Elim: 3,2 5. Gsta(b,a) = Elim: 1,4 passs Lógica Prpsicinal-33

34 Regras para fórmulas atómicas Explrar as dependências entre s predicads da linguagem aumentand a frmalizaçã das regras d mund Na linguagem d Mund de Tarski: Larger(a,c) é cnsequência de Larger(a,b) e Larger(b,c) Larger é anti-reflexiva, anti-simétrica, transitiva SameRw(a,b) é cnsequência de SameRw(b,a) SameRw é reflexiva, simétrica, transitiva Regras para fórmulas atómicas (para além da =) Pssíveis, mas há muitas, pel que nã se incluem em F Bidirecinalidade de Between Between(a,b,c) Between(a,c,b) Lógica Prpsicinal-34

35 Regras para fórmulas atómicas Na matemática: transitividade de < k1<k2 k2<k3 k3<k4 lg k1<k4 (2 uss implícits de transitividade) De x 2 > x 2-1 e de x 2-1=(x+1)(x-1) pde cncluir-se, pr substituiçã (= Elim), x 2 > (x+1)(x-1) S é cnsequência lógica de P: Entã S é também cnsequência lógica de P e Q Numa prva: nã é brigatóri que tdas as premissas sejam usadas Lógica Prpsicinal-35