O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO EM ALUNOS DO 7º ANO: UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO EXPLORATÓRIO NO ESTÁGIO

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1 O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO EM ALUNOS DO 7º ANO: UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO EXPLORATÓRIO NO ESTÁGIO Carolini Casarini Cardoso Universidade Federal da Grande Dourados (UFGD) Dênis Rodrigues da Silva Universidade Federal da Grande Dourados (UFGD) Renata Viviane Raffa Rodrigues Universidade Federal da Grande Dourados (UFGD) Resumo. Este estudo apresenta a concretização de uma tarefa matemática, delineada segundo uma abordagem de ensino exploratória. Essa experiência de ensino foi realizada no contexto de estágio com o objetivo de promover o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos do 7º ano do ensino fundamental, especialmente em relação à percepção de regularidades e a generalização das relações encontradas em linguagem natural ou algébrica. Os dados analisados referem-se às resoluções da tarefa realizadas por dois grupos, bem como às transcrições da gravação em áudio das interações decorridas no momento de exploração da tarefa suscitadas por questionamentos feitos pelos professores regentes. Tais análises permitiram identificar as estratégias adotadas pelos alunos na formulação e expressão da regra generalizada. Os resultados da intervenção sugerem que a ênfase na análise de regularidades nas figuras, orientada pelo ensino exploratório contribuíram para o desenvolvimento do sentido do símbolo, principalmente quanto ao uso da letra como número generalizado. Palavras-chave: Pensamento Algébrico. Ensino Exploratório. Estágio. Ensino Fundamental. Introdução Diante da dinâmica atual da sociedade tecnológica e do conhecimento em que vivemos, um dos desafios que se coloca à prática profissional do professor de matemática é oportunizar um ensino que permita ao aluno desenvolver autonomia para resolver problemas e comunicar-se matematicamente. Tais capacidades exigem formas

2 de ensino alternativas ao ensino transmissivo, pautado na reprodução de técnicas de resolução de exercícios. Essa necessidade foi problematizada durante a experiência de observação e participação vivenciada no estágio supervisionado do ensino fundamental, realizado em uma escola estadual da rede pública de ensino, situada na cidade de Dourados, Mato Grosso do Sul, em que esse modelo tradicional de ensino de matemática, predominou nessa primeira fase. Cabe salientar que, a prática de ensino de matemática predominante nessa etapa de observação e participação, em muitos aspectos, esteve condicionada às pressões de ordem curricular vivenciada pelos professores da escola. Contudo, devido a nossa intenção de romper com esse modelo de ensino, esse artigo centra-se no desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos do 7º ano do ensino fundamental a partir de uma abordagem de ensino exploratório concretizada durante a regência do estágio. Dessa forma, esse trabalho apresenta uma descrição da experiência de observação, participação e regência do estágio que constituíram o contexto do estudo, também são explicitados os princípios do ensino exploratório, bem como alguns apontamentos teóricos concernentes ao ensino de álgebra e ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Tais pressupostos embasaram o planejamento e a concretização da aula, sobretudo as análises dos dados desse estudo. Contexto e perspectiva da experiência de ensino No curso de licenciatura em matemática na Universidade Federal da Grande Dourados, o componente curricular Estágio Supervisionado no Ensino Fundamental I, é desenvolvido nos 6 e 7 anos, divididos em duas fases: a primeira consiste na observação participativa, momento em que são analisadas criticamente as dinâmicas das aulas de matemática; a segunda a da prática, nessa etapa busca-se lecionar de forma a propor um ensino que atenda às necessidades observadas. Essa experiência de observação participativa vivenciada no sétimo ano possibilitou entrar em contato com situações e problemas reais que cercam o ambiente escolar. Tais aulas de matemática caracterizaram-se pelo formalismo no ensino, principalmente em relação ao ensino de álgebra em que privilegiou a exposição de conceitos e proposição de exercícios, ambos extraídos de uma única fonte, o livro

3 didático utilizado pela turma. Foi possível perceber também que se tratava de uma sala com muito silêncio que não significa atenção, pelo contrário, notamos o descontentamento dos alunos pela aula. O modo de gerir da administração da escola é rígido no que se refere à organização, todos os alunos possuem lugar fixo dentro de sala e raramente realizam trabalhos em grupo. Segundo a perspectiva histórico cultural do desenvolvimento humano, fundamentada pelas ideias de Vigotski (2007; 2008) o homem enquanto ser cognitivo e social apropria-se de conhecimentos, e constitui-se enquanto sujeito a partir da interação com o outro, com os objetos culturais, a linguagem e práticas sociais. Diante disso, questionamos como os alunos poderão compartilhar ideias com seus colegas, comunicando-se matematicamente de modo a atribuir sentido aos conteúdos matemáticos enquanto realizarem tarefas individualmente? Enquanto estagiários entendemos que existem aspectos que não temos como interferir. Porém, no que se refere aos aspectos pedagógicos, ao planejarmos nossa prática recorremos à perspectiva de ensino exploratório. Do ensino tradicional ao ensino exploratório de matemática Ao observar as aulas do estágio nos indagamos até que ponto as aulas que assistimos enquanto alunos diferenciavam-se das aulas observadas enquanto futuros docentes. Segundo D Ambrosio (1989), a típica aula de matemática é a que o professor escreve no quadro aquilo que ele julga ser importante, e os alunos, por sua vez, copiam e tentam resolver exercícios a partir dos exemplos. Segundo esta autora esse tipo de prática revela a concepção de que é possível aprender matemática através de um processo de transmissão de conhecimento. Mais ainda, de que a resolução de problemas reduz-se a técnicas determinadas pelo professor (D AMBROSIO, 1989, p.1). Ensinar matemática nesses moldes seria desconsiderar a capacidade que o aluno tem de interpretar, pensar e resolver problemas. Nesse sentido, D Ambrósio (1989) sugere propostas de ensino centradas no aluno. No ensino exploratório, há a interrelação ensino e aprendizagem os alunos exploram, questionam, justificam e comunicam-se matematicamente, uma vez que,

4 segundo Ponte (2005) o professor não procura explicar tudo, mas deixa uma parte importante do trabalho de descoberta e de construção do conhecimento para os alunos realizarem. O professor tem o papel de propor tarefas matemáticas cognitivamente exigentes (STEIN et. al., 2008) que vão além da aplicação de técnicas para resolvê-las, tarefas que permitam aos alunos desenvolver conexões com os significados matemáticos (STEIN, SMITH, 2009, p. 23), apresentar e compartilhar estratégias de resolução e perspectivas diversificadas, validar ideias matemáticas e legitimá-las. Estruturar e estar preparado para o desenvolvimento do ensino exploratório constitui uma prática complexa para a maioria dos professores (CANAVARRO; OLIVEIRA; MENEZES, 2012), por isso exige a mobilização de várias ações e intenções do professor. Oliveira, Menezes e Canavarro (2013) explicitam que na prática de ensino exploratório as intenções do professor têm dois objetivos principais que, apesar de distintos, estão interrelacionados: (i) promover as aprendizagens matemáticas dos alunos; e (ii) gerir os alunos e a turma e o funcionamento da aula (p. 34). Em termos práticos, a concretização do ensino exploratório pode ser descrita a partir de quatro fases: introdução da tarefa, realização da tarefa, discussão da tarefa e sistematização das aprendizagens matemática (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). Com base em Oliveira, Menezes e Canavarro (2013) apresentamos uma síntese acerca de que ações envolvem cada uma dessas fases a serem contempladas durante o ensino exploratório da matemática. I. Introdução da tarefa: propor a tarefa, familiarizar os alunos ao contexto II. III. da tarefa, esclarecer como será conduzida a aula; Realização da tarefa: levar os alunos a refletirem sobre as estratégias matemáticas assumidas para resolução da tarefa, pedir justificações, apoiar a superação de dificuldades, sem prejudicar o desafio da tarefa e autonomia dos alunos; Discussão da tarefa: gerir a comunicação matemática, promover questionamentos e interações entre os alunos na discussão;

5 IV. Sistematização das aprendizagens matemática: identificar conceituações e representações para explicitar o conhecimento matemático produzido a partir da tarefa realizada. A partir desses princípios e práticas do ensino exploratório e da temática Linguagem matemática e Equação de 1º grau" (MATO GROSSO DO SUL, 2012) abordada pelo professor da turma, optamos pela construção de uma aula para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. De modo a delinear os objetivos da aula, selecionamos uma tarefa com as características necessárias para atendê-los e adequada à perspectiva de ensino exploratório, realizamos um estudo sobre o ensino de álgebra e o pensamento algébrico. Os apontamentos teóricos levantados na próxima seção também sustentaram a análise dos dados suscitados com a prática pedagógica. Ensino de álgebra e o desenvolvimento do pensamento algébrico O desenvolvimento do pensamento algébrico tem sido um desafio no ensino de álgebra. Segundo Ponte e Matos (2008) a utilização multifacetada da simbologia constitui uma fonte de potencialidades em álgebra, mas, simultaneamente, uma fonte de conflitos e dificuldades para muitos alunos (p. 199). Isso tem ocorrido devido ao ensino de álgebra ter privilegiado a manipulação de símbolos em detrimento da compreensão e construção de seus significados. Em seus estudos, as pesquisadoras Moura e Sousa (2008) apontam que abordagem formalista, nas práticas de sala de aula, como um dos possíveis fatores que dificultam ao aluno a elaboração dos significados algébricos (p. 65). O formalismo no ensino de álgebra prejudica principalmente o desenvolvimento do pensamento algébrico, uma vez que os alunos ficam resolvendo exercícios totalmente descontextualizados (FIORENTINI; MIORIM, 1993; FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO, 2005). No que se refere à produção de significados para a simbologia da álgebra os Parâmetros Curriculares Nacionais orientam que As atividades algébricas propostas no ensino fundamental devem possibilitar que os alunos construam seu conhecimento a partir de

6 situações-problema que confiram significados à linguagem, aos conceitos e procedimentos referentes a esse tema, favorecendo o avanço do aluno quanto às diferentes interpretações das letras. (BRASIL, 1998, p ) Nessa perspectiva, compreender os processos de aprendizagem de álgebra implica em conhecer os aspectos que distinguem as interpretações das letras feitas pelos alunos. Segundo Ponte, Branco e Matos (2008), um estudo realizado no Reino Unido por Dietmar Küchemann apresentou diferentes significados para as letras de acordo com seu uso na álgebra, sendo três interpretações consideradas como fundamentais devido ao uso corrente em Matemática. 1. Letra como incógnita, representando um número específico mas desconhecido, com o qual é possível operar directamente. Esta interpretação está intimamente relacionada com a resolução de equações como x + 3 = 6, por exemplo. 2. Letra como número generalizado, situação em que o aluno a vê como representante de vários números ou, pelo menos, como podendo ser substituída por mais do que um valor. 3. Letra como variável, caso em que esta é vista como representante de um conjunto de valores e pode ser usada para descrever relações entre dois conjuntos de valores. (KÜCHEMANN, 1981, APUD PONTE; BRANCO; MATOS, 2008, p.90). Dentre essas três acepções distintas utilizadas para letras em álgebra, as interpretações em que os alunos apresentaram mais dificuldades situam-se nas categorias letra como número generalizado e letra como variável (KIERAN, 1992; KÜCHEMANN, 1981 apud MATOS; PONTE, 2008, p. 198). Na fase de observação do estágio, o trabalho incidiu sobre a temática Linguagem matemática e Equação de 1º grau" (MATO GROSSO DO SUL, 2012), a partir de exercícios que comumente consistiam em encontrar a incógnita de equações de 1º grau. Essa forma de conduzir o ensino limitou a aprendizagem algébrica dos alunos a categoria letra como incógnita. Em face disso, procuramos preparar uma aula com a intenção de mobilizar a interpretação da letra como número generalizado de modo a iniciar um processo de desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos do 7º ano. Para Cyrino e Oliveira (2011) o pensamento algébrico é um modo de descrever significados atribuídos aos objetos da álgebra, às relações existentes entre eles, à

7 modelação, e à resolução de problemas no contexto da generalização destes objetos (2011, p. 103). Nesse sentido, o pensamento algébrico envolve Um processo em que os alunos generalizam ideias matemáticas a partir de um conjunto de exemplos particulares, estabelecem essa generalização através do discurso da argumentação, e expressam-na gradualmente de uma forma simbólica apropriada à sua idade (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 413). Estudos mais atuais de Kaput (2008) e Blanton (2008) destacam a importância de se considerar dois aspectos: explorar a aritmética para desenvolver e expressar generalizações, assim como identificar padrões numéricos e geométricos para descrever relações funcionais. Esses pressupostos contribuíram significativamente para a definição de objetivos e seleção de uma tarefa matemática que contemplasse tais características, bem como para análise das resoluções dessa tarefa feitas pelos alunos. A tarefa matemática e a experiência em sala de aula A aula se concentrou na tarefa Exploração de padrões (parte II) (BRANCO, 2008, p. 203) que consiste na exploração de uma sequência de figuras, visando a formulação da lei de formação a partir de ideias próprias dos alunos, justificando-as na busca por encontrar o termo geral da sequência explorada. Tarefa: Exploração de padrões (parte II) 1. Observem a sequência de figuras: Figura 1 Figura 2 Figura 3

8 a) Desenhem a próxima figura da sequência. b) Desenhem a 7ª figura da sequência. Quantas bolas tem a figura? c) Sem desenhar, digam, justificando, quantas bolas tem a figura que ocupa a posição 14 da sequência? d) Escrevam a sequência relativa ao número de bolas que tem cada uma das figuras até à posição 7. e) A que posição corresponde a figura que tem 19 bolas? Expliquem o raciocínio que efetuaram. f) Descrevam como é construída qualquer figura desta sequência. g) Escrevam uma expressão que represente o número de bolas que tem uma figura em qualquer posição. Figura (1): Extraída da pesquisa de Mestrado de Branco (2008, p. 203) Essa tarefa foi selecionada com vistas a atingir os seguintes objetivos: I. Perceber as regularidades; II. Perceber a variação e relação funcional; III. Generalizar os aspectos particulares percebidos e suas relações; IV. Descrever a regra generalizada a partir de linguagem natural ou linguagem matemática. O trabalho foi desenvolvido por nós com uma turma de 25 alunos de 7º ano. A regência que culminou nesse trabalho foi supervisionada pelo professor efetivo da turma e pelo orientador de estágio. O desenvolvimento de duas horas-aula percorreu de modo bem diferente ao realizado ao longo do estágio de observação participativa. A turma, apesar de pequena, apresentava um rendimento baixo em matemática e quase não participavam das aulas. Assim, para iniciar a aula, aos alunos foi apresentada a tarefa em projeção na lousa, bem como a cada aluno foi entregue uma cópia em papel em que registravam as suas resoluções. Nesse momento procuramos não oferecer informações excessivas de modo a possibilitar aos alunos pensarem e criarem as suas próprias estratégias matemáticas de resolução, bem como fazer esclarecimentos quanto ao encaminhamento da aula. Durante a resolução da tarefa, nosso trabalho consistiu em acompanhar e orientar os alunos, colaborando para a superação das suas dificuldades. Nessa ocasião

9 percorremos a sala, grupo a grupo e solicitávamos justificações. Por ser nossa primeira experiência de ensino exploratório, sentimos a dificuldade de tomar decisões quanto a deixar os alunos desenvolverem as suas estratégias e até que ponto auxiliá-los nesse processo. Ao final da aula alguns grupos apresentaram as suas estratégias para os colegas, que podiam colocar suas dúvidas e questionar. No entanto, por não estarem acostumados a realizarem discussões da tarefa, as participações dos alunos foram mínimas. Portanto, as análises desse estudo baseiam-se principalmente na fase de realização da tarefa, especificamente nas produções dos alunos quanto a resolução da tarefa e nas transcrições das gravações em áudio das interações ocorridas entre nós e o (s) e aluno(s) nesse momento da aula. Seleção e análise dos dados Como o foco do estudo consiste na análise do desenvolvimento de alguns aspectos do pensamento algébrico, selecionamos os dados referentes a dois grupos da turma. Os grupos, nomeados por A e B, foram escolhidos a partir das formas de resolver a tarefa que caracterizaram de modo mais próximo os processos desenvolvidos na elaboração e descrição da regra generalizada. O grupo A é composto por dois alunos que não manifestavam interesse pelas aulas no período do estágio de observação, contudo no decorrer da regência participaram ativamente da aula. O grupo B é composto por 2 alunos que apesar de resolverem rapidamente os exercícios de equações propostos pelo professor da turma, não conseguiam explicar o que significava a letra que estavam a manipular. Nossa intenção com a questão 1.a) consistia em levar o aluno a perceber como ocorria a variação dos objetos na sequência. Assim, tanto o grupo A, quanto o B percebeu a quantidade de bolas acrescida a cada nova figura, e com base na figura anterior, desenhou e apontou a quantidade correta de bolas que teria a próxima figura. Na questão 1.b) o grupo A construiu uma sequência numérica para representar a quantidade de bolas das sete figuras e o grupo B respondeu diretamente 9 bolas. Nesse caso, inferimos que o grupo B inicia um processo de generalização da regra. A questão 1.c) tinha como intuito, fazer com que o aluno conseguisse expressar sem construir um desenho a quantidade de bolas que teria a figura 14, utilizando apenas

10 como fundamento o padrão observado anteriormente. Então, o grupo A respondeu 16 bolas. Ao solicitarmos uma justificação do por que desta resposta registrada pela dupla argumentaram verbalmente. Grupo A: 16 bolas, isto é óbvio. Estagiário: Por que é tão óbvio assim, para vocês? Grupo A: Porque existem duas bolas que dali não sai! O grupo B se expressa de maneira diferente, porém parte da mesma ideia matemática 16 bolas. É só pegar o número 14 da sequência e acrescentar 2 (que é a base). Ambos os grupos conseguem perceber o padrão existente na sequência de figuras e obter a quantidade de bolas da décima quarta figura sem ajuda do desenho. Na questão 1.d) os alunos deveriam escrever uma sequência relativa ao número de bolas em cada figura até a sétima posição. De modo geral, esta foi a questão que gerou mais dúvidas, os grupos não se sentiam seguros com a própria resposta, uma vez que, inicialmente ficaram presos à regra percebida na questão anterior de adicionar dois ao valor correspondente da posição da figura. Essa ideia levou-os a pensar que a diferença entre os termos da sequência resultaria no número dois. Nesse sentido, nossas intervenções nos grupos procuraram direcionar a atenção dos alunos para a quantidade total de bolas que cada figura iria ter, independente da maneira como a obtiveram, com isso ambos os grupos apresentam a sequência 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na questão 1.e) é dada a quantidade total de bolas de uma determinada figura e pede-se a posição que ocupa esta figura. Ao solicitarmos explicações sobre a resposta direta 17 apresentada pelo grupo A, o mesmo respondeu: Grupo A: Professora, se a gente tem uma figura de 14 bolas e ela é 16ª posição, a de posição 19ª vai ter 17, porque é duas a menos, se uma soma a outra diminui. Evidencia-se que o grupo percebe que para calcular a posição da figura, com base no total de bolas apresentado, é preciso realizar a operação inversa do que faziam quando tinham a posição e precisavam descobrir a quantidade de bolas daquela figura. O grupo B expressa a estratégia utilizada da seguinte forma: Figura (2): Resolução da questão 1.e) pelo grupo B

11 Podemos perceber que o grupo B já consegue generalizar e expressar a regra criada para resolver a questão, a partir da sentença numérica (19-2) em que ele destaca o número 2 como sendo a base. A questão 1.f) sugere a descrição da forma como pode ser construída qualquer figura da sequência. Nessa situação o grupo A apresentou a seguinte explicação: Figura (3): Resolução da questão 1.f) pelo grupo A Notamos que, a regra generalizada pelo grupo A baseia-se na percepção de que a quantidade de bolas da coluna corresponde ao número de posição da figura. Porém não diz nada em relação a quantidade de bolas da base, provavelmente porque esta seja sempre a mesma. Interpretamos que o grupo A foca-se na coluna, em particular no que varia de uma coluna para a outra, mas não se refere ao que permanece constante nas figuras. Isto é, ainda não consegue descrever a regra em sua totalidade, abarcando todos os aspectos da regularidade. De maneira já bastante generalizada o grupo B responde a questão 1.f) a partir da resposta Acrescenta-se +2 junto ao número da figura. Então questionamos tais alunos acerca dessa resposta: Estagiário: Onde é acrescentado +2 na figura? Grupo B: São todas iguais, tem o mesmo desenho, só que cada figura tem +2 do que o seu número. A regra apresentada e justificada pelo grupo B revela que a dupla dá atenção não só aos objetos, mas também às relações existentes entre eles. O fato de conseguirem representar essas relações de modo generalizado aponta indícios do desenvolvimento do pensamento algébrico. Na questão 1.g) o aluno precisa formular e expressar em linguagem natural ou algébrica a regra generalizada que representa o número de bolas de qualquer figura da sequência.

12 O grupo A apresenta a expressão algébrica 2 +x como resposta. Com o intuito de conhecer o raciocínio utilizado pelo grupo A, perguntamos: Estagiário: Como vocês chegaram a essa conclusão? Grupo A: Ah, porque em todas vemos que 2 é fixo e o resto muda. Então o que não muda é 2 e o que muda a gente chamou de x. Estagiário: Por que x? O que é esse x? Grupo A: Porque é uma letra que a gente usa quando não sabe o que é, x é qualquer coisa 1,2,3 vários. Os alunos do grupo A utilizam a linguagem algébrica para expressar seu raciocínio. A fala do grupo A indica que estes alunos utilizam e compreendem a letra como número generalizado, ou seja, como representante de vários números conforme citam 1, 2, No entanto, ainda não conseguem expressar a regra como uma relação de equivalência, usando o sinal de igualdade e representar a relação funcional implícita. O grupo B apresenta como resposta: Figura (4): Resolução da questão 1.g) pelo grupo B A partir da resposta apresentada pelos alunos do grupo B, perguntamos: Estagiário: Por que 128 bolinhas na sua figura?

13 Grupo B: Já sabíamos que a regra funcionava para as figuras 1, 2 e 3, então usamos esse número, pois não tínhamos como desenhá-lo na folha e precisávamos de uma regra, por isso usamos o 128. Estagiário: O que vocês acharam da tarefa? Grupo B: A gente não sabia que podia montar uma equação, achava que o professor que tinha que passar para gente a fórmula, se eu posso montar não é tão complicada quanto parece. A partir dos dados apresentados pelo grupo B percebemos que estes alunos conseguem generalizar a regra e expressá-la por meio da linguagem algébrica. Além disso, testam a eficiência da regra formulada com o número 128 e reconhecem que ela é válida para qualquer numeração da figura. As questões feitas por nós levam o grupo B a refletir sobre a realização da tarefa e isso fez com que estes alunos analisassem a equação fórmula a partir de uma nova dimensão, mais familiar, dado que foram eles que a criaram segundo suas próprias ideias matemáticas. Algumas conclusões De acordo com os dados analisados foi possível evidenciar que os alunos manifestaram alguns aspectos do pensamento algébrico, nomeadamente a capacidade de generalizar e de usar a linguagem algébrica para expressar as suas generalizações. Evoluem principalmente na compreensão da linguagem algébrica relativa ao significado da letra como número generalizado ao estudarem a regularidade envolvida no contexto da tarefa. Todavia ressaltamos que, por se tratar de uma aula com somente uma tarefa matemática, esta é uma experiência de ensino que aponta resultados iniciais relativos ao desenvolvimento do pensamento algébrico. É preciso investir em um longo percurso com uma sequência de tarefas matemáticas, assim como indicado por diversos autores (MATOS; PONTE, 2008; BRANCO, 2008). Além disso, concluímos que alunos que estão acostumados com a monotonia de aulas tradicionais ao se depararem com prática de ensino exploratório se mostraram mais participativos. Portanto, é importante romper com a rotina da típica aula de matemática (D AMBRÓSIO, 1989) possibilitando aos alunos, sobretudo explorarem

14 suas ideias matemáticas. Também consideramos importante explicitar que, mudar a perspectiva de ensino de matemática, não prejudicou o cumprimento das ementas curriculares. Referências BLANTON, M. L. Algebra and the elementary classroom. Transforming thinking, Transforming Practice. Heinemann: Portsmouth, NH, BLANTON, M; KAPUT, J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraic thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), p , BRANCO, N. V. O Estudo de Padrões e Regularidades no Desenvolvimento do Pensamento Algébrico, 2008, 251f. Dissertação (Mestrado em Educação Área de Especialização em Didática da Matemática) Faculdade de Ciências, Departamento de Educação, Universidade de Lisboa, Lisboa. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática/ Secretaria da Educação Fundamental. Brasília: MEC/ SEF, CANAVARRO, P., OLIVEIRA, H., & MENEZES, L. Práticas de ensino exploratório da matemática: o caso de Célia. In Canavarro, P., Santos, L., Boavida, A., Oliveira, H., Menezes, L., & Carreira, S. (Orgs), Actas do Encontro de Investigação em Educação Matemática 2012: Práticas de Ensino da Matemática. Portalegre: Sociedade Portuguesa de Investigação em Educação Matemática, CYRINO, M.; OLIVEIRA, H. Pensamento algébrico ao longo do ensino básico em Portugal. Bolema, v. 24, n. 38, p , D AMBROSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II. N2. Brasília, FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. Contribuição para um repensar... a educação Algebrica Elementar, In: Pro-Posições, Revista quadrimestral da faculdade de Educação Unicamp. Vol.4, nº 1[10]. Campinas: Cortez Editora, p.78 91, 1993 FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: Seminário Luso-Brasileiro: Investigações matemáticas no currículo e na formação de professores. Lisboa, KAPUT, J. J. What is algebra? What is algebraic reasoning? In KAPUT, J. J.; CARRAHER, D. W.; BLANTON, M. L. (Eds.). Algebra in the early grades. New York: Lawrence Erlbaum Associates, p. 5-17, 2008.

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