SIGNIFICADOS PRODUZIDOS POR FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA A RESPEITO DO ENSINO EXPLORATÓRIO NA EXPLORAÇÃO DE UM CASO MULTIMÍDIA

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1 SIGNIFICADOS PRODUZIDOS POR FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA A RESPEITO DO ENSINO EXPLORATÓRIO NA EXPLORAÇÃO DE UM CASO MULTIMÍDIA Helen Dabiani Frioli Mota Universidade Estadual de Londrina helen.frioli@gmail.com Paulo Henrique Rodrigues Universidade Estadual de Londrina paulohr_91@yahoo.com.br Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino Universidade Estadual de Londrina marciacyrino@uel.br Resumo: O objetivo deste artigo é analisar significados produzidos por futuros professores de Matemática a respeito do Ensino Exploratório, durante a exploração de um caso multimídia denominado Os colares. Para isso, foram analisadas produções escritas e as discussões de alunos do 4º ano do curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade Estadual de Londrina, resultadas dessa exploração. Os significados produzidos pelos futuros professores foram associados à importância de uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório e as ações do professor em cada uma das fases da aula, nomeadamente: proposição e apresentação da tarefa; desenvolvimento da tarefa; discussão coletiva da tarefa; e, sistematização. Alguns dos significados produzidos pelos futuros professores se relacionam à: compreensão do enunciado da tarefa; desenvolvimento de estratégias e procedimentos; discussão, argumentação e formulação de ideias; momento de construção de conhecimento; apresentação e discussão de diferentes resoluções; reflexão sobre diferentes estratégias; importância da regra ou generalização para a trajetória de aprendizagem matemática dos alunos. Foi possível observar que a mobilização desses significados está relacionada à exploração do caso multimídia Os colares, e que esses foi um momento relevante para a constituição de conhecimentos profissionais, e por conseguinte do desenvolvimento profissional dos futuros professores. Palavras-chave: Educação Matemática. Formação de professores que ensinam Matemática. Ensino Exploratório. Significado. Introdução Nos últimos anos o Grupo de Estudos e Pesquisa sobre Formação de Professores que Ensinam Matemática - GEPEFOPEM tem investigado contextos formativos, tanto no âmbito da formação inicial, quanto da continuada, que são potenciais para o desenvolvimento

2 profissional de professores que ensinam Matemática. Especificamente, desde 2013, por meio de um projeto de cooperação entre a Universidade Estadual de Londrina (UEL) e Universidade de Lisboa (UL), denominado Rede de cooperação UEL/UL na elaboração e utilização de recursos multimídias na formação de professores de matemática 1, esse grupo tem investido na produção de casos multimídias, de modo a promover, a partir da exploração desses casos, oportunidades de desenvolvimento profissional a professores em formação (inicial ou em serviço). Um caso multimídia é composto por vídeos com episódios de uma aula desenvolvida em uma escola pública da Educação Básica por um professor experiente na perspectiva do Ensino Exploratório, plano de aula elaborado pelo professor regente, áudios de entrevistas realizadas com esse professor, antes e após a aula, questões para reflexão, textos de apoio, etc. Todo esse material é organizado em uma plataforma online. A principal intenção é explorar esses casos multimídias em contextos de formação de professores (inicial ou continuada), de modo que os professores em formação tenham oportunidade de refletir, negociar significado, constituir/mobilizar conhecimentos e habilidades, bem como desenvolver sua identidade profissional. (CYRINO, 2015, no prelo; RODRIGUES, 2015). Neste trabalho, analisamos os significados produzidos 2 por futuros professores para o Ensino Exploratório, a partir da exploração de um caso multimídia, denominado Os colares 3. A seguir, apresentamos aspectos teóricos da perspectiva do Ensino Exploratório, seguidos dos procedimentos metodológicos e as análises. Por fim, apresentamos algumas considerações finais. Ensino Exploratório Alguns autores têm optado por utilizar a expressão Ensino Exploratório para se referirem a uma perspectiva de ensino que se contrapõe à tradicional, pautada na transmissão de informações, e que privilegia o trabalho com tarefas significativas que fazem emergir a necessidade ou vantagem das ideias matemáticas que são sistematizadas em discussão coletiva (CANAVARRO, 2011, p. 11), ou seja, a preocupação se dá nas relações entre os processos de ensino e de aprendizagem e não apenas no ensino ou na aprendizagem. 1 Apoio: CNPq e Fundação Araucária. 2 Por significados produzidos consideramos o que os futuros professores consideram como importante/relevante no Ensino Exploratório. 3 Apresentamos mais informações sobre esse caso multimídia na seção 3.

3 Na perspectiva do Ensino Exploratório, os papéis desempenhados pelos alunos e professor, assim como as tarefas propostas, na organização da sala, na dinâmica da aula e nas práticas comunicativas, se diferenciam dos assumidos na perspectiva tradicional de ensino. (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). No Ensino Exploratório assume-se a aprendizagem como um processo simultaneamente individual e coletivo, resultado da interação dos alunos com o conhecimento matemático, no contexto de certa atividade matemática, e também da interação com os outros (colegas e professor) (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013, p. 31). Nesta perspectiva as situações de ensino são organizadas a partir de tarefas que partem de situações desafiadoras e permitem que os alunos utilizem experiências anteriores, bem como seus conhecimentos prévios, para desenvolverem suas estratégias e procedimentos de resolução. São tarefas que permitem diferentes resoluções com diferentes níveis de sofisticação matemática, assim como possibilitam uma compreensão aprofundada dos conceitos e procedimentos matemáticos que vão ao encontro dos objetivos de ensino planejados pelo professor. (TOMÁS FERREIRA; OLIVEIRA; CYRINO, 2014). Com isso, na perspectiva do Ensino Exploratório, a tarefa a ser desenvolvida em sala de aula pode ser um problema, uma investigação ou uma exploração. Segundo Oliveira, Menezes e Canavarro (2013) uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório pode ser organizada em torno de quatro fases: Proposição e apresentação tarefa, desenvolvimento da tarefa, discussão coletiva da tarefa e sistematização (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). Na primeira fase, Proposição e apresentação da tarefa, é papel do professor apresentar a tarefa e garantir sua compreensão, organizar o trabalho dos alunos, explicitar a dinâmica da aula e o e criar uma ambiente em que os alunos se sintam desafiados a trabalhar (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). Na segunda fase, desenvolvimento da tarefa, é o momento em que os alunos trabalham de forma autônoma na tarefa, muitas das vezes discutindo em duplas ou em pequenos grupos. Nesta fase o papel do professor é acompanhar e apoiar o trabalho dos alunos, procurando possibilitar que todos participem de forma produtiva. Nessa fase, o professor tem que ficar atento com os comentários e questionamentos realizados, para não alterar o nível de demanda cognitiva da tarefa (STEIN; SMITH, 1998) assim como não uniformizar as estratégias de resolução dos alunos (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013; MENEZES et al., 2013). Ainda, no final da segunda fase, cabe ao professor pensar em

4 uma possível seleção e sequenciamento das resoluções dos alunos, tendo em conta os objetivos da aula, de modo a promover uma discussão produtiva na próxima fase (CANAVARRO, 2011; STEIN et al. 2008). A terceira fase da aula, discussão coletiva da tarefa, é o momento em que os alunos apresentam as resoluções que foram selecionadas pelo professor. Nesta fase cabe ao professor garantir a qualidade matemática das apresentações, fazendo questionamentos, a fim de que os alunos justifiquem as estratégias e os registros usados, incentivar a participação de todos, orientá-los a reconhecer e validar as estratégias usadas para resolver a tarefa, comparar as diferentes resoluções, etc. Este momento vai além da realizar um desfile de apresentações separadas de diferentes respostas ou estratégias de resolver uma dada tarefa; o propósito das discussões é relacionar as apresentações com vista ao desenvolvimento coletivo de ideias matemáticas poderosas (CANAVARRO, 2011, p. 16). A quarta e última fase da aula é o momento de sistematizar as aprendizagens que ocorreram durante o trabalho com a tarefa. Esta fase vai além de sintetizar as ideias que surgiram durante a discussão coletiva, cabe ao professor auxiliar os alunos a reconhecer ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que surgiram ao longo do trabalho com a tarefa, bem como estabelecer relações com aprendizagens anteriores e com os conceitos e procedimentos matemáticos formalizados. (TOMÁS FERREIRA; OLIVEIRA; CYRINO, 2014). Também é o momento de o professor promover o reconhecimento da importância da regra e ou generalizações, bem como incentivar os alunos a registrarem os conhecimentos formalizados (CYRINO; TEIXEIRA, 2015, no prelo). No Quadro 1 resumimos as principais ações de um professor para cada fase da aula na perspectiva do Ensino Exploratório. Quadro 1: Principais ações do professor na perspectiva do Ensino Exploratório Fases da aula Principais ações do professor Proposição apresentação tarefa Desenvolvimento da Tarefa e da - Apresentar a tarefa (fazer ou direcionar a leitura) - Garantir a compreensão da tarefa - Organizar o trabalho dos alunos (tempo, grupos, materiais...) - Explicitar a dinâmica da aula - Promover o engajamento dos alunos na resolução da tarefa - Garantir o desenvolvimento da tarefa (colocar questões, dar pistas, solicitar justificativas...) - Manter o nível de demanda cognitivo da tarefa - Não validar as respostas dos alunos (corretas ou não) - Promover a interação entre os alunos - Selecionar resoluções variadas para serem discutidas - Sequênciar as resoluções selecionada tem em conta os objetivos da aula

5 Discussão coletiva da tarefa Sistematização da tarefa - Solicitar justificativas sobre os resultados e as representações usadas - Incentivar os alunos a questionar os colegas e a buscar possíveis respostas - Salientar a existência de diferentes resoluções - Comparar as diferentes resoluções, evidenciando a eficácia matemática de cada - Evidenciar e discutir equívocos comuns - Relacionar os conceitos que surgiram nas resoluções dos alunos com aprendizagens anteriores e com as suas representações matemáticas formalizadas - Promover o reconhecimento da importância da regra ou generalização - Incentivar o registro dos conhecimentos matemática em uma estrutura organizada Fonte: Autores com base em: Cyrino e Teixeira (2015, no prelo) e Oliveira, Menezes e Canavarro (2013). Na próxima seção, apresentamos os procedimentos metodológicos da pesquisa. Procedimentos Metodológicos O presente estudo desenvolveu-se a partir de um trabalho de exploração em torno do caso multimídia Os colares que desenvolvemos no contexto da disciplina Prática e Metodologia de Ensino de Matemática II: Estágio Supervisionado do ano de Esta disciplina faz parte da grade curricular do 4º ano do curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina - UEL. É uma disciplina de conhecimentos pedagógicos que tem dentre seus objetivos discutir questões relacionadas à prática da sala de aula e especialmente à prática do professor, no que diz respeito à preparação e à condução de aulas (PASSERINI, 2007). Participaram deste trabalho seis futuros professores que estavam regularmente matriculados nessa disciplina no ano de Para manter suas confidencialidades, neste trabalho eles são referidos pelas letras FP, futuro professor, acompanhadas de um número (1 ao 6). A exploração do caso multimídia Os colares ocorreu durante oito encontros, de aproximadamente 3 horas de duração cada, às quintas-feiras das 19h30min às 22h30min, nas dependências da UEL, no segundo semestre de Durante todo o processo os futuros professores trabalharam em duplas, em computadores, e foram incentivados a fazer a leitura, interpretação e análise dos materiais de forma autônoma, discutindo com seu parceiro. Acompanhamos todo o processo de exploração, orientando-os e esclarecendo em eventuais dúvidas.

6 As principais ideias presentes em cada seção do multimídia foram sistematizadas em discussões coletivas que aconteceram ao término de cada seção. As discussões coletivas foram organizadas tendo por base as respostas dos futuros professores para as questões do multimídia. Essas discussões foram gravadas e transcritas. Tanto as respostas dos futuros professores às questões do multimídia bem como as transcrições das discussões coletivas, foram objeto de análise deste trabalho. A seguir apresentamos o caso multimídia Os colares, bem como as estratégias de análise adotadas. Contexto da investigação: Caso multimídia Os colares O caso multimídia Os colares 4 é constituído por elementos relacionados a uma aula que aconteceu em uma escola da rede pública do Estado do Paraná, localizada na região periférica da cidade de Apucarana-Pr. Esta aula foi conduzida pela professora Cristina, que é membro do GEPEFOPEM e aluna do doutorado do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, sendo orientada pela professora Dr. Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino. A aula filmada, que subsidiou a construção do caso multimídia, foi desenvolvida em um 6º ano com 29 alunos (13 meninos e 16 meninas) com idade entre 10 e 12 anos. O tema desta aula foi regularidades, e teve por objetivo principal o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. A aula foi desenvolvida na perspectiva do Ensino Exploratório, partir da tarefa Os colares apresentada no Quadro 2. Quadro 2: Tarefa - Os colares Tarefa Os colares A Inês fez três colares, com contas pretas e brancas, conforme as figuras 1, 2 e Indique acima o número total de contas de cada figura. 2. Continuando esta sequência de colares, quantas contas teriam, no total, o colar correspondente à 4 Mais informações sobre a construção do caso multimídia Os colares podem ser encontradas em RODRIGUES (2015)

7 figura seguinte? 3. E quantas contas teriam o colar correspondente à figura 8? 4. Descubra quantas contas teriam, no total, o colar correspondente à figura 19, sem desenhar. 5. Existe algum colar na sequência que tenha 55 contas? Explica, detalhadamente, o teu raciocínio. 6. Descreva uma regra que lhe permita determinar o número total de contas de qualquer figura da sequência. Fonte: Adaptada de PEDRO, I. J. C. R. Das sequências à proporcionalidade direta: uma experiência de ensino no 6.º ano de escolaridade f. Dissertação (Mestrado em Educação) Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, Lisboa. Os diferentes elementos que compõem o caso multimídia Os colares estão organizados em cinco seções: Introdução do caso multimídia, Antes da aula, A aula, Reflexões após a aula e Colocar em prática. Na seção Introdução do Caso Multimídia são apresentadas informações sobre o contexto em que foi desenvolvida a aula que deu origem ao caso multimídia, ou seja, informações sobre a escola, sobre a professora e sobre a turma. Além de orientações de como explorar o caso multimídia por parte dos professores em formação (inicial ou em serviço) e os autores do caso multimídia que são membros do GEPEFOPEM. Na seção antes da aula encontramos a tarefa Os colares, o plano de aula da professora, além de enxertos de uma entrevista realizada com esta professora antes de ter sua aula filmada. Os enxertos desta entrevista estão organizados de acordo com as temáticas: intenções e finalidades da aula e fases da aula (proposição e apresentação da tarefa; desenvolvimento da tarefa; discussão coletiva da tarefa; sistematização). Cada uma dessas temáticas corresponde a uma subseção do caso multimídia Os colares. Em cada uma dessas subseções, além do áudio, são propostas questões a cerca do que a professora diz, com a intenção de promover reflexões sobre a importância do planejamento, as principais características das ações do professorem cada fase da aula, bem como a importância de cada uma dessas fases da aula. Na seção a aula são apresentados vídeos que trazem episódios da aula desenvolvida pela professora Cristina. Esses vídeos estão organizados em quatro subseções correspondentes as fases de uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório. Além dos vídeos, nesta seção também são apresentadas as produções escritas dos alunos durante a resolução da tarefa. Na seção Reflexões após a aula, são apresentados excertos de uma entrevista realizada com a professora após o desenvolvimento da aula, na qual ela apresenta suas reflexões sobre a aula filmada. Os excertos foram organizados mediante as temáticas: a tarefa e suas características, fases da aula e implicações. Cada uma dessas temáticas correspondem a uma subseção da seção reflexões após a aula. A subseção fases da aula é dividida em

8 quatro tópicos correspondentes às quatro fases da aula. Em cada um desses tópicos há um trecho da entrevista pós-aula realizada com a professora e questões para serem respondidas sobre a fase da aula em questão. Nessa seção é também apresentado um Framework, elaborado pelo GEPEFOPEM, que consiste em um quadro de referência em que são apresentadas informações sobre seis ações de um professor, para preparar e conduzir uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório. Tais ações são: Antecipar, Propor, Monitorar, Selecionar e Sequenciar, Discutir e Sistematizar (CYRINO; TEIXEIRA, no prelo). Na última seção, Colocar em prática, é proposto ao professor em formação que está explorando o caso multimídia, que desenvolva um trabalho próximo ao que a professora Cristina desenvolveu, ou seja, que escolha uma tarefa, elabore um plano de aula na perspectiva do Ensino Exploratório, coloque essa aula em prática e a registre em vídeo. Em seguida é proposto que ele reflita sobre o modo com que se desenvolveram cada um dos momentos da aula e de que forma se relacionam com o plano, assim como, sobre as aprendizagens matemáticas mobilizadas pelos alunos e de que forma elas se relacionam com suas ações na aula. No trabalho de exploração do caso multimídia Os colares que estamos considerando neste trabalho, por conta do tempo a seção Colocar em prática não foi analisada pelos futuros professores. Estratégias de análise Para analisar os significados produzidos pelos futuros professores para uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório, analisamos as respostas que estes deram a duas questões de cada episódio da subseção A aula da seção Reflexão após a aula. Uma dessas questões solicita que o professor em formação avalie a importância de cada fase da aula e a outra que ele identifique as principais ações de um professor em cada uma dessas fases. Também foram consideradas na análise, as falas dos professores em formação durante a discussão coletiva das respostas dadas a essas questões. Análises dos significados produzidos pelos futuros professores Os resultados das análises foram organizados em quatro subseções de acordo com as quatro fases de uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório. Em cada uma dessas

9 subseções apresentamos os significados produzidos pelos futuros professores para importância e para as principais ações do professor em uma aula nessa perspectiva. Proposição e apresentação da tarefa Os significados produzidos pelos futuros professores para a fase de proposição e apresentação da tarefa, dizem respeito ao bom andamento da aula. Para os futuros professores essa fase é importante, pois se os alunos não compreenderem o que devem realizar, ou o enunciado da tarefa, todo o desenvolvimento da aula será comprometido. A fase da proposição e apresentação da tarefa é, como as outras fases, muito importante, pois se ficar alguma dúvida ou algo mal explicado nessa parte, pode prejudicar todo o restante do desenvolvimento da tarefa. Logo, todos os detalhes devem ser explicados e os alunos devem ter certeza do que o professor espera que ele desenvolva. (FP2, 7º encontro, 02/10/2014) Os aspectos, apresentados pelos futuros professores, que justificam a importância da fase de proposição e apresentação da tarefa vão ao encontro das principais ações do professor que foram consideradas por eles para esta fase. Para eles, as principais ações do professor na fase proposição e apresentação da tarefa são: organizar os grupos, entregar a tarefa e fazer sua leitura, chamar atenção dos alunos para aspectos importantes da tarefa, esclarecer dúvidas que surgirem quanto ao enunciado da tarefa e explicitar a dinâmica da aula. Depois que os alunos se organizarem em grupos (a critério do professor) e entregar uma folha contendo a tarefa para cada aluno, o professor deve fazer uma breve leitura da tarefa (como achar melhor) e fazer comentários chamando a atenção para aspectos importantes e sanar as dúvidas coletivas. (FP1, 7º encontro, 02/10/2014) Nessa fase, o professor deve explicar como será a dinâmica da tarefa, entregar a atividade e ler com os alunos. (FP4, 7º encontro, 02/10/2014) As ações chamar atenção dos alunos para aspectos importantes da tarefa, e esclarecer dúvidas que surgirem quanto ao enunciado da tarefa vão ao encontro da ação garantir a compreensão da tarefa (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). Essas ações identificadas pelos futuros professores são as estratégias que a professora Cristina utilizou para garantir que os alunos compreendessem a tarefa. Desenvolvimento da tarefa

10 A fase de desenvolvimento da tarefa é considerada pelos futuros professores como sendo um momento importante da aula, uma vez que é nela que os alunos, discutindo com seus pares, buscam desenvolver suas estratégias e procedimentos para resolverem a tarefa proposta. Os significados produzidos pelos futuros professores dizem respeito à consideração desta fase como essencial para o desenvolvimento do aluno (FP4, 7º encontro, 02/10/2014), pois é um momento propício à construção do conhecimento. Essa fase, como as outras, foi muito importante. Durante o desenvolvimento da tarefa assistimos os alunos discutindo dentro dos grupos, formulando ideias e tentando argumentar, o que propicia um momento muito rico de construir conhecimentos. (FP2, 7º encontro, 02/10/2014) É a fase mais importante né? É onde o aluno vai desenvolver seu raciocínio, [...] o professor precisa estar bem atento em tudo, para aproveitar o que o aluno está pensando, para conseguir questionar e conseguir [auxiliar os alunos no] desenvolver a tarefa (FP4, 7º encontro, 02/10/2014) Os futuros professores consideraram que principais ações do professor na fase de desenvolvimento da tarefa, são: atender os grupos, auxiliar e direcionar os alunos por meio de questionamentos, solicitar justificativas, fornecer orientações, não validar as respostas dos alunos e selecionar resoluções variadas para serem discutidas. As ações questionar e solicitar justificativas foram as que mais se destacaram sendo que a ação questionar foi considerada por todos os futuros professores. Direcionar, auxiliar e orientar o trabalho dos alunos, com questionamentos e direcionamentos pertinentes, sem dar a resposta, para que o aluno resolva de maneira autônoma. [...] (FP5, 7º encontro, 02/10/2014) Circular pela sala de aula atendendo os grupos, auxiliar no caminho que os alunos estão seguindo fazendo questionamentos, pedir que os alunos justifiquem suas respostas. (FP2, 7º encontro, 02/10/2014) A ação de questionar está relacionada ao papel do professor que foi considerado pelos futuros professores para a fase de desenvolvimento da tarefa. Para eles: [...] é importante que durante o desenvolvimento a professora já faça especulações de como ele resolveu e em caso de resolução errada encaminhe para que o erro seja corrigido, não indicando-o diretamente, mas fazendo com que o aluno perceba o próprio erro, eu penso que é onde ocorre um maior desenvolvimento de aprendizagem (FP1, 7º encontro, 02/10/2014) [...] A professora deve tomar cuidado com seus comentários, pois não deve validar de imediato a resolução do aluno, mas fazê-lo enxergar sobre sua resposta, certa ou não. (FP5, 7º encontro, 02/10/2014)

11 A ação selecionar resoluções variadas para serem discutidas, como um aspecto importante de uma aula na perspectiva do Ensino Exploratório, aparece na fala do FP5: Nesta fase também é o momento em que a professora já vai selecionando quais grupos vão ao quadro para favorecer uma discussão produtiva, de acordo com o objetivo que ela quer alcançar. (FP5, 7º encontro, 02/10¹2014) Outro elemento relacionado a ações do professor nessa perspectiva, que podemos destacar da produção do FP5, é que o professor não pode desvalorizar qualquer tipo de resolução, a fim de não frustrar e desanimar o aluno (FP5, 7º encontro, 02/10/2014), o que indica que a valorização das resoluções pelo professor pode ter sido um significado produzido pelo futuro professor, ou seja, é algo que ele considera como importante na perspectiva do Ensino Exploratório. Discussão coletiva da tarefa A importância que os futuros professores atribuem à fase de discussão coletiva da tarefa diz respeito à apresentação e discussão de diferentes resoluções. De acordo com suas produções, a fase de discussão coletiva é o momento em que os alunos apresentam suas resoluções e as principais ações do professor são questioná-los para que eles consigam explicar melhor o que fez (FP6, 7º encontro, 02/10/2014), [...] fazer comentários e/ou questionamentos para que os alunos percebam aspectos importantes da resolução apresentada [...] (FP1, 7º encontro, 02/10/2014), assim como, confrontar as diferentes resoluções e analisar a eficácia matemática de cada uma das resoluções apresentadas. [...] este é o momento onde os alunos podem refletir sobre as resoluções dos colegas, principalmente sobre as resoluções diferentes (qual a relação entre elas? poderia ter feito assim? essa é mais fácil ou mais difícil?)[...] (FP1, 7º encontro, 02/10/2014) Portanto, eles consideram que este momento é importante, pois é o momento de chegar a um consenso sobre a solução da tarefa, refletir sobre diferentes estratégias, perceber que não há apenas uma correta e perceber aspectos que não foram reconhecidos durante a resolução da tarefa. [...] É nessa fase que pode ser feito a comparação e o confronto das resoluções, para que os alunos percebam que não há somente um procedimento/estratégia de resolução correto [...] (FP5, 7º encontro, 02/10/2014)

12 Essa fase da aula é importante para que os alunos percebam outras estratégias utilizadas e complementar com a sua. E também para aqueles que não entenderam, a linguagem de um colega pode proporcionar um entendimento melhor. (FP4, 7º encontro, 02/10/2014) Sistematização Os significados produzidos pelos futuros professores para a fase de sistematização relacionam-se ao momento de sintetizar as ideias que surgiram no decorrer das outras fases, relacionando-as com conhecimentos matemáticos formalizados, de modo que não fique a tarefa pela tarefa. Essa fase também é muito importante para dar sentido a todas as outras, pois é a formalização matemática de tudo o que desempenharam no decorrer das aulas. (FP2, 7º encontro, 02/10/2014) Essa fase da aula é muito importante, essencial, para que não fique a tarefa por ela mesma. Ou seja, para haver um fechamento/conclusão da aula.[...] (FP5, 7º encontro, 02/10/2014) Outro significado para a fase de sistematização que foi produzido relaciona-se a importância da regra ou generalização para a trajetória de aprendizagem matemática dos alunos: É importante esta fase de sistematização pois o aluno percebe que para um numero alto é difícil eles fazerem contas, e como é importante achar uma regra que vale para todos. (FP6, 7º encontro, 02/10/2014) No que diz respeito às principais ações do professor para a fase de sistematização que foram consideradas pelos futuros professores, podemos destacar: relacionar os conceitos que surgiram nas resoluções dos alunos com aprendizagens anteriores e com as suas representações matemáticas formalizadas, promover o reconhecimento da importância da regra ou generalização e incentivar o registro dos conhecimentos matemática em uma estrutura organizada. A ação relacionar os conceitos que surgiram nas resoluções dos alunos suas representações matemáticas formalizadas foi recorrente nos significados produzidos. Sistematizar as ideias que surgiram da discussão, fazer conexão entre essas ideias e o conteúdo matemático que ela objetivava introduzir, fazer conexão com conteúdos já vistos anteriormente, registrar a definição formal do conteúdo no quadro, pedir aos alunos que façam o registro das definições. (FP6, 7º encontro, 02/10/2014)

13 [A principal ação de um professor na fase de sistematização] Fazer com que o aluno perceba a importância desta regra. (FP6, 7º encontro, 02/10/2014) No quadro 3, apresentamos uma síntese do que se tornou ponto de enfoque para cada uma das fases do Ensino Exploratório. Quadro 3: Fases do Ensino Exploratório e temáticas Fases da perspectiva do Temáticas que se relacionam aos significados produzidos Ensino Exploratório pelos futuros professores Proposição e apresentação da Compreensão do enunciado da tarefa tarefa Justificativa para importância dessa fase: bom andamento da aula Ações do professor nesta fase: organizar os grupos; apresentar a tarefa; chamar atenção dos alunos para aspectos importante da tarefa; esclarecer dúvidas que surgirem quanto ao enunciado da tarefa; explicitar a dinâmica da aula. Desenvolvimento da tarefa Desenvolvimento de estratégias e procedimentos Discussão, argumentação e formulação de ideias Momento de construção de conhecimento Ações do professor nesta fase: questionar, direcionar, e pedir justificativas, não validar as respostas dos alunos e selecionar resoluções variadas para serem discutidas Discussão coletiva da tarefa Apresentação e discussão de diferentes resoluções Momento de chegar a um consenso sobre a solução da tarefa Reflexão sobre diferentes estratégias Reconhecimento de que não há apenas uma resolução correta reconhecimento de aspectos que não foram percebidos durante a resolução da tarefa. ações do professor nesta fase: questionar os alunos; fazer comentários ou questionamentos para que os alunos percebam aspectos importantes das resoluções das tarefas; confrontar as diferentes resoluções e analisar a eficácia matemática de cada uma das resoluções apresentadas. Sistematização momento de fechar as ideias que surgiram no decorrer das outras fases importância da regra ou generalização para a trajetória de aprendizagem matemática dos alunos ações do professor nesta fase: relacionar os conceitos que surgiram nas resoluções dos alunos com aprendizagens anteriores e com as suas representações matemáticas formalizadas, promover o reconhecimento da importância da regra ou generalização e incentivar o registro dos conhecimentos matemática em uma estrutura organizada. Fonte:Os autores

14 Considerações finais A exploração do caso multimídia Os colares, especificamente com relação a Reflexão após a aula, possibilitou a mobilização de significados produzidos pelos futuros professores da perspectiva do Ensino Exploratório, tendo em conta cada uma das fases. Tal mobilização, que aconteceu na exploração desta seção, pode indicar que os significados para essa perspectiva tenham sido produzidos no decorrer da exploração deste caso em outras seções. Os significados produzidos pelos futuros professores apresentam indícios de que eles constituíram conhecimentos sobre essa perspectiva de ensino. Tais conhecimentos podem instrumentalizar suas práticas quando forem professores, tomando o Ensino Exploratório como uma possibilidade de trabalho real para suas aulas. Consideramos que esses conhecimentos fazem parte dos conhecimentos profissionais necessários ao professor que ensina matemática. Desse modo, a exploração de um caso multimídia, aliada as características de trabalho no contexto formativo, como um ambiente de constante negociação, reflexão e colaboração, possibilitam a constituição de conhecimentos profissionais e, por conseguinte do desenvolvimento profissional. Referências CANAVARRO, A. P. Ensino exploratório da Matemática: Práticas e desafios. Educação e Matemática, Lisboa, n. 115, p , CYRINO, M. C. C. T. (org). Recurso multimídia para a formação de professores que ensinam Matemática, no prelo, CYRINO, M. C. C. T.; TEIXEIRA, B. R. O Ensino Exploratório e a elaboração de um framework para o recurso multimídia. In: CYRINO, M. C. C. T. (org). Recurso multimídia para a formação de professores que ensinam Matemática, no prelo, MATOS, A.; PONTE, J. P. O estudo de relações funcionais e o desenvolvimento do conceito de variável em alunos do 8º ano. RELIME, 11(2), MENEZES, L.; GUERREIRO, A; MARTINHO, M. A.; FERREIRA, R. T. Essay on the role of teachers questioning in inquiry-based mathematics teaching. Sisyphus, Lisboa, v.1, n.3, 44-75, 2013.

15 OLIVEIRA, H. M.; MENEZES, L.; CANAVARRO, A. P. Conceptualizando o ensino exploratório da Matemática: Contributos da prática de uma professora do 3.º ciclo para a elaboração de um quadro de referência. Quadrante, Lisboa. v. 22, n.2, p , 2013 PASSERINI, G. A. O estágio supervisionado na formação inicial do professor de Matemática na ótica de estudantes do curso de licenciatura em Matemática da UEL f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Centro de Ciências Exatas, Universidade Estadual de Londrina, RODRIGUES, P. H. Práticas de um grupo de estudo e pesquisa na elaboração de um caso multimídia para a formação de professores que ensinam Matemática. (em publicação) f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina. STEIN, M.; ENGLE, R.; SMITH, M.; HUGHES, E. Orchestrating productive mathematical discussions: Five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical Thinkingand Learning, v.10, n. 4, p , TOMÁS FERREIRA, R.; OLIVEIRA, H.; CYRINO, M. A discussão na aula de matemática a partir da análise de um caso multimédia na formação inicial de professores. In: J. P. Ponte (Ed.), Práticas profissionais dos professores de Matemática. Lisboa: Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, 2014, p