Universidade Federal de Pernambuco CCEN - Departamento de Física Física Experimental 2

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1 1 Introdução Universidade Federal de Pernambuco CCEN - Departamento de Física Física Experimental 2 Prática 6: Material suplementar teórico Óptica Física e Espectros de Emissão As seções 2, 3 e 4 deste documento tem o objetivo de introduzir o estudante aos conceitos fundamentais dos fenômenos de difração e interferência. Já na seção 5, uma breve discussão sobre o espectro de emissão de sólidos e gases é apresentada. Recomendamos que, antes de passar à leitura do roteiro experimental, o estudante dedique algum tempo no estudo não somente deste material suplementar mas também das seções especícas do livro do Halliday que recomendamos ao longo do texto que se segue. 2 Difração de Fraunhofer 2.1 Difração de Fraunhofer de uma fenda simples A teoria associada a esta parte do experimento é aquela descrita nas seções 36.1, 36.2, 36.3, 36.8 e 36.9 do livro Fundamentos de Física", Halliday&Resnick, volume 4 (Óptica e Física Moderna), 8ª edição. Assim sendo, conforme pode ser vericado nesta referência sugerida, temos que o tamanho da abertura a de uma fenda e o comprimento de onda λ da luz incidente se relacionam com o padrão de difração observado em anteparo através de a sin θ = mλ (1) em que θ é o ângulo denido pela posição do m-ésimo mínimo de difração no plano do anteparo, em relação à reta perpendicular que liga o anteparo ao centro da fenda e m é a ordem da difração. Por outro lado, se ao invés de uma fenda for utilizado um obstáculo, o princípio de Babinet enuncia que o padrão de difração de um corpo opaco é idêntico àquele de um orífício de mesmo tamanho e forma, exceto pela intensidade total do feixe de luz na direção de incidência". 3 Redes de difração e decomposição espectral 3.1 Introdução teórica Uma rede de difração é um elemento óptico formado por uma série de aberturas ou obstáculos repetidos que, em geral, introduzem variações periódicas na fase e na amplitude de uma onda. A onda transmitida difrata em direções, ou ordens, correspondentes às interferências construtivas entre as ondas que atravessam as aberturas. Uma rede que varia somente a amplitude, e não a fase, é denominada de rede de amplitude (gura 1a), enquanto que uma rede que varia somente a fase e não a amplitude é denominada de rede de fase (gura 1b). A variação da fase, como nas redes de fase, decorre dos diferentes percursos da onda provocados pelas variações regulares da espessura na rede, e a variação da amplitude, como na rede de amplitude, decorre de uma absorção ou reexão parcial da onda incidente na rede. Considere um caso geral em que uma onda incide obliquamente com ângulo ϕ e difrata com um ângulo θ na ordem m, numa rede de período d, como mostra a gura 2.

2 Figura 1: Tipos de rede de difração: rede de amplitude (a) e rede de fase (b). Figura 2: Incidência oblíqua de uma onda sobre uma rede de difração. A diferença de caminho óptico entre os raios 1 e 2, dada por r = d sin ϕ + d sin θ, mostra que a condição de interferência construtiva na ordem m é d(sin ϕ + sin θ) = mλ, m = 0, ±1, ±2,... (2) Esta equação, conhecida como equação geral da rede de difração, mostra que cada comprimento de onda λ dene uma direção angular θ de interferência construtiva. Esta propriedade faz da rede de difração um importante componente óptico capaz de separar comprimentos de onda de uma fonte de luz policromática. Em cada direção somente um único comprimento de onda interfere construtivamente; todos os outros interferem destrutivamente. O espectrômetro e o monocromador são exemplos de instrumentos ópticos que utilizam a rede de difração para a separação de comprimentos de onda na região do ultravioleta, visível e infravermelho presentes numa fonte de luz branca. Estes instrumentos são utilizados para análise espectral de fontes de luz e análise de amostras químicas. O período d da rede de difração usualmente pode ser substituído pela denominada frequência espacial f, dada em linhas/unidade de comprimento e denida pelo inverso do período: f = 1/d (3) Para a análise de uma rede, é usual considerar incidências normais, onde ϕ = 0. Nesse caso, a equação (3) torna-se d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2,... (4) cuja diferenciação resulta em d cos θdθ = mdλ, ou ainda D = θ λ = dθ dλ = m d cos θ Esta relação dene um importante parâmetro de caracterização de uma rede de difração, denominado de dispersão angular D. Quanto maior a dispersão angular, melhor a rede dene dois comprimentos de ondas próximos. (5)

3 Outro importante parâmetro de caracterização da qualidade das redes de difração é denominado resolução da rede R = λ = mn (6) λ em que N é o número de fendas iluminadas. Apesar de toda a discussão acima ter sido feita para redes de difração por transmissão, ela é válida também para redes por reexão. Uma rede de fase, gravada numa superfície de vidro transparente, pode ser transformada numa rede de fase por reexão simplesmente por um processo de evaporação metálica, por exemplo, com alumínio. Figura 3: Método holográco para fabricação de redes de difração. Uma rede de difração pode ser fabricada, por exemplo, utilizando uma fresa de vidro controlada por computador. Uma lâmina de vidro pode ser riscada com espaçamentos periódicos com uma ponta de diamante. Entretanto, esta técnica litográca é extremamente complicada, por causa do grande número de linhas que as redes em geral possuem. Atualmente, uma das técnicas mais importantes para a fabricação de redes de difração utiliza o método holográco mostrado na gura 3. A interferência de dois feixes de luz coerente, tal como um laser, dene um padrão de franjas holográcas, que pode ser gravado e revelado num lme fotossensível, tais como lmes especiais para holograa ou foto resinas. O período d da rede holográca gravada pode ser determinado em termos do semiângulo de interferência ϕ entre os dois feixes, utilizando m = 1 e θ 1 = ϕ na equação geral da rede (3): d = λ (7) 2sinϕ Esta equação mostra que o período da rede é inversamente proporcional ao semiângulo ϕ entre os dois feixes, sendo possível gravar redes com período até d = λ/2 quando ϕ = π/ O funcionamento do toca CD O compact disk é um disco de acrílico onde, conforme mostrado na gura 4(a), os dados são gravados ao longo de uma longa trilha espiral, com aproximadamente voltas, totalizando mais de metros de extensão. Para se ter uma ideia da espessura desta trilha, ela é cerca de 60 vezes mais na do que a espessura média de um o de cabelo humano. Os dados são gravados em relevo ao longo da trilha o que cria pontos brilhantes (reetores de luz) e escuros (não reetores), que são os bit que codicam a informação (digital) contida pelo CD. A estrutura em relevo, onde está gravada a informação, pode consistir de sequencias de furos ou saliências, ver gura 4(b). Ao contrário dos discos de vinil a primeira faixa do CD ca no centro, e a última, na borda. Além disto, o disco de vinil funciona com velocidade angular constante, enquanto que o CD funciona com velocidade linear constante, o que signica que no CD, à medida que o feixe de laser se desloca para as faixas da extremidade do disco, a velocidade vai diminuindo. Durante o funcionamento do toca CD, o disco gira a cerca de 300 rotações por minuto, enquanto que a cabeça de leitura (unidade óptica), detalhada abaixo, se desloca em direção a extremidade do disco. O componente principal de um toca CD é a unidade cabeça de leitura. Ela ca montada em uma espécie de carrinho que a movimenta sob o disco, sendo formada por uma parte ótica (lente objetiva, lentes colimadoras, espelho semitransparente, prisma, grade de difração) e por uma parte elétrica

4 (laser de diodo, conjunto de fotodiodos e bobinas). O laser de diodo é a fonte de luz do sistema. O conjunto de fotodiodos é ligado a dois amplicadores operacionais, um para ajuste do foco e outro para ajuste da trilhagem, servindo para avaliar a potência de emissão do laser e para permitir o ajuste perfeito do foco e da trilhagem, assim como à leitura da informação gravada no disco. Um esquema da cabeça de leitura do toca CD pode ser visto na gura 5. (a) (b) Figura 4: Estrutura padrão de um CD: (a) espiral indicando o sentido em que informação é lida; (b) dimensões típicas (distâncias entre as trilhas e espessura da estrutura em relevo). Figura 5: Esquema de uma cabeça óptica. Podemos ver o laser de diodo (1), prismas de ajuste de feixe (2), espelho de incidência (3), cabeça de leitura (4), CD (5), feixe reetido pelos elementos metalizados (6) e fotodiodo (7). 4 O interferômetro de Michelson 4.1 Introdução teórica O interferômetro de Michelson, mostrado na gura 6, é uma das técnicas interferométricas mais importantes utilizada para medições de índice de refração, deslocamentos ou vibrações, com alta precisão. Um raio de luz coerente incide sobre um divisor de feixe, onde é parcialmente reetido e parcialmente transmitido. O feixe transmitido (identicado como o primeiro braço" do interferômetro) é reetido por um espelho M 1 e em seguida novamente reetido pelo divisor de feixe até atingir um anteparo. O segundo feixe (identicado como o segundo braço" do interferômetro) é reetido por um espelho M 2 e também atinge o anteparo, onde é gerado um padrão de interferência. Geralmente, o espelho M 1 é xo e o espelho M 2 pode ser deslocado, utilizando-se um parafuso micrométrico, na direção do feixe de luz. A gura de interferência observada sobre o anteparo pode ser melhor compreendida notando-se que o divisor de feixe gera uma imagem M 1 do espelho M 1 na região do espelho M 2. A cunha de ar formada pelas duas superfícies planas de M 1 e M 2 é responsável pela formação do padrão de interferência. Se o espelho M 2 for ligeiramente deslocado, por exemplo de t = λ/2, a espessura da cunha será modicada ponto a ponto por esta mesma quantidade, introduzindo uma diferença de percurso adicional de 2t = λ no feixe de luz, pois este atravessa a cunha duas vezes. Esta diferença de percurso será observada na gura de interferência pelo deslocamento completo de uma franja clara.

5 Figura 6: Conguração do interferômetro de Michelson para medida de pequenos deslocamentos. De um modo geral, se houver um deslocamento de N franjas claras no padrão de interferência, o deslocamento t correspondente do espelho M 2 será dado por 2t = Nλ (8) Na verdade, quando se considera N um número inteiro, a relação (1) descreve a condição de interferência construtiva dos raios reetidos nos espelhos M 2 e M 1 quando o segundo atravessa a cunha de ar. Em ambos os casos, ocorre mudança de fase π durante a reexão das ondas, pois saem de um meio menos refringente (ar) para outro mais refringente (espelho). O interferômetro de Michelson pode também ser utilizado para medir índice de refração de materiais transparentes construídos na forma de uma lâmina de espessura bem denida, como mostra a gura 7. A lâmina transparente deve ser colocada no caminho de um dos feixes do interferômetro. Como o índice de refração n do material é maior do que o índice de refração do ar (ou vácuo), o comprimento de onda da luz no interior da lâmina diminui para λ = λ 0 /n, onde λ 0 e o comprimento de onda da luz no vácuo. Figura 7: Conguração do interferômetro de Michelson para medida de índice de refração. Desta forma, o número de cristas de onda no interior da lâmina aumenta de N 1 = 2t/λ para N 2 = 2t/λ = 2nt/λ, que pode ser medido com precisão considerável observando o número N de franjas claras, ou escuras, que se deslocam no padrão de interferência sobre o anteparo, uma vez que N = N 2 N 1 = 2t(n 1)/λ, ou n = N λ 2t + 1 (9) Note que o índice de refração n do material pode ser encontrado por este procedimento desde que se conheça com precisão o comprimento de onda λ da luz e a espessura t do material. Os índices de refração de gases ou líquidos podem ser medidos utilizando-se lâminas ocas, com espessuras calibradas.

6 5 Espectros de emissão 5.1 Introdução teórica No nal do século XIX alguns questionamentos surgiram quando se iniciaram os estudos a respeito da natureza da radiação de sólidos e gases. Enquanto os sólidos aquecidos exibiam um espectro de emissão contínuo, os gases atômicos e moleculares emitiam linhas discretas de emissão. Neste contexto, Planck e Bohr deram contribuições fundamentais para o entedimento da natureza destas emissões. 5.2 Espectro contínuo dos sólidos Quando se aquece um sólido até a incadescência, o espectro obtido é um contínuo e a intensidade da radiação emitida em um determinado comprimento de onda, λ, é dada pela equação de Planck: S(λ) = 2πh c2 λ 5 1 exp( hc λk B T ) 1 (10) onde S(λ) é a radiância espectral, h é constante de Planck (h = 6, J s) e k B é a constante de Boltzmann (k B = 1, J/K). A suposição básica para Planck obter esta equação foi que a energia dos átomos deve ser quantizada. Com este conceito de quantização da energia ele iniciou a ruptura com as leis clássicas (leis de Newton). 5.3 Espectro discreto Além do espectro dos sólidos existia o problema das linhas espectrais do hidrogênio gasoso. O espectro obtido do átomo de hidrogênio só possui algumas linhas de frequência bem denidas. Niels Bohr, físico dinamarquês, propôs uma teoria que conseguia explicar o espectro do hidrogênio. A teoria se baseia nestes quatro postulados: 1) Um elétron em órbita em torno de um núcleo atômico sofre a inuência da atração Coulombiana e das leis de Newton. 2) Mesmo estando constantemente acelerado, existem órbitas estáveis para o elétron. Estas órbitas possuem valores bem denidos de energia e uma vez numa órbita deste tipo o elétron não emite radiação. 3) O momento angular do elétron nestas órbitas estáveis é quantizado, só podendo assumir valores múltiplos de h/(2π), ou seja: L = n h, n = 1, 2, 3,... (11) 2π 4) Quando o elétron muda de uma órbita estável de maior energia, E i, para outra de menor energia, E f, é emitida um quantum de radiação eletromagnética (fóton) cuja energia é dada por: E fóton = h ν if = E i E f, (12) onde ν if é a frequência do fóton emitido. A primeira observação que deve ser feita é a de que a massa do próton é muito maior que a do elétron (m p 2000 m e ), ou seja, podemos considerar o problema como se o núcleo (próton) estivesse parado e o elétron estivesse em uma órbita circular de raio r em torno do próton. Assim sendo, pelo primeiro postulado, pode-se armar que a energia total do elétron em uma determinada órbita do hidrogênio é dada pela soma da energia cinética, K, e da energia potencial, V, de forma que: onde K = 1 2 m e v 2 e V = 1 4πɛ 0 e 2 r. E = K + V, (13)

7 Por outro lado, da segunda lei de Newton, teremos: F elet. = F cent. = 1 e 2 4πɛ 0 r = m v 2 2 e r. (14) Substituindo o resultado (14) com as denições das energia cinética e potencial em (13), tem-se: e2 E = 8πɛ 0 r. (15) Do terceiro postulado podemos inferir a respeito das órbitas permitidas. Deste modo, da equação (11), segue que: L = n h 2π = m me r e ev r = 2, (16) 4πɛ 0 onde, desta última, obtemos: r = ( h 2 ɛ 0 πe 2 m e ) n 2. (17) Portanto, os valores de energia associados as órbitas estacionárias do átomo de hidrogênio são dadas pela expressão: [ me e 4 ] 1 E = 8(h ɛ 0 ) 2 n = 13, 6 em elétron V olts (ev ), 2 n 2 (18) onde o sinal negativo é oriundo do termo de energia potencial elétrica. Por m, com o quarto postulado temos que a energia do fóton emitido, que é dado pela diferença de energia entre os níveis inicial e nal, é: ( 1 E fóton = 13, 6 1 ). n 2 i n 2 (19) f 0,0 ev -0,38 ev -0,54 ev -0,85 ev n = n = 6 n = 5 n = 4 8-1,51 ev -3,4 ev n = 3 Série de Balmer (visivel) n = 2 Série de Lyman (ultra-violeta) -13,6 ev n = 1 Figura 8: Diagrama de níveis dos átomos de hidrogênio. Na gura 8 representamos as transições eletrônicas através de um diagrama de níveis, onde apresentamos apenas duas séries (Lyman e Balmer). Observe que podemos ter outras séries, porém

8 a única no visível é a de Balmer que é a série de maior interesse para nossa prática 6. Assim, usando o resultado (19) e transformando elétron-volts para comprimento de onda, teremos para a série de Balmer os seguintes comprimentos de onda: n = 2 λ = 364, 6 nm, n = 6 2 λ = 410, 2 nm, n = 5 2 λ = 434, 0 nm, n = 4 2 λ = 486, 1 nm, n = 3 2 λ = 656, 3 nm. Observe que a teoria de Bohr é baseada em postulados semi-clássicos, por esta razão sua aplicação é limitada, não fornecendo resultados satisfatórios no estudo de outros átomos. Entretanto, ela foi o primeiro passo para se entender a estrutura atômica e dizer que as órbitas são quantizadas. Para uma discussão mais detalhada recomendamos uma leitura das seções 38.2, 38.5 e 39.8 da referência bibliográca [1]. 6 Referências bibliográcas 1. Fundamentos de Física 4, 8ª edição. Halliday & Resnick. Capítulos 35, 36, 38 e Modern Optics". Robert Guenther. Capítulos 4 e Optics". Eugene Hecht. Capítulos 9 e Introduction to Modern Optics". Grant Fowles. Capítulos 3 e 4.