Processo de validação e definição de princípios para geometria no ensino fundamental

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1 Processo de validação e definição de princípios para geometria no ensino fundamental GRANDO, Neiva Ignês1 MARASINI, Sandra Mara 3 MÜHL, Vera Jussara Lourenzi 4 RESUMO Com esse trabalho, pretende-se apresentar o estágio em que se encontra um projeto de pesquisa que envolve a validação e a definição de princípios para o processo ensino-aprendizagem de medidas espaciais no nível fundamental. Tais princípios foram identificados em projeto de pesquisa anterior e estão sendo testados através da aplicação de uma proposta de ensino de geometria em duas escolas do município de Passo Fundo. As atividades desenvolvidas em sala de aula são elaboradas pelos professores de matemática de cada uma das escolas em conjunto com os pesquisadores e aplicadas por esses mesmos professores. Com análises sistemáticas à luz, sobretudo, da teoria histórico-cultural a equipe formada pelas pesquisadoras e pelas professoras das escolas tem refletido sobre cada atividade a ser desenvolvida com os estudantes, considerando o conteúdo, os objetivos, a metodologia e as relações entre esses elementos tendo em vista os princípios pedagógicos, identificados. Com isso objetiva-se definir esses princípios como orientadores de práticas pedagógicas para o processo ensino-aprendizagem das medidas espaciais de perímetro, área e volume. Palavras-chave: princípios pedagógicos, geometria, ensino fundamental. 1 Professora doutora do Instituto de Ciências Exatas e Geociências/Iceg e da Faculdade de Educação/Faed/UPF. Cx. Postal 611/ Passo Fundo/RS - Tel/fax: (54) neiva@upf.tche.br 3 Professora da Faed e do Iceg. 4 Professora do Iceg.

2 A área de Educação Matemática tem se preocupado com questões relativas ao processo ensino-aprendizagem nos diferentes níveis de ensino, especialmente as metodológicas, que têm ocupado muito dos espaços de reflexão quando se consideram as dificuldades desse processo. Nossa prática, aliada à reflexões teóricas, tem nos feito pensar em outros elementos do currículo para além da questão metodológica, tais como os objetivos, os conteúdos e as relações que se estabelecem na sua construção. Subjacente à constituição do currículo, existe um conjunto de idéias que o determinam e o caracterizam, no qual estão incluidos, de forma explícita ou implícita, os princípios que fundamentam a prática pedagógica. A experiência mostra que, seja em razão de os professores não participarem diretamente da definição dos princípios, seja porque não fazem parte da sua consciência, de um modo geral, eles têm dificuldades para colocá-los em prática. Com essa percepção, desenvolvemos a concepção de que é preciso que a universidade, com seu avanço teórico, envolva-se diretamente no cotidiano escolar, juntamente com os professores que atuam em sala de aula. Entende-se que somente num processo sistemático, intencional, é possível definir os princípios que devem orientar a uma prática pedagógica eficiente e produtiva. Nesse sentido, está sendo feita uma investigação sobre princípios que possam orientar o processo ensino-aprendizagem de geometria no nível fundamental. Dessa investigação participam duas escolas do município de Passo Fundo 2, mais diretamente professores de matemática e estudantes de 5ª a 8ª séries. Num primeiro momento, foi aplicado um instrumento aos estudantes, contendo questões e situações-problema envolvendo os sistemas de unidades de medidas de comprimento, superfície e volume e os conceitos de perímetro, área e volume/capacidade. Esse instrumento foi analisado e validado pelos professores das duas escolas, cujos dados levantados evidenciaram um grande número de dificuldades conceituais por parte da maioria dos estudantes de ambas as escolas. A constatação do baixo rendimento desses por parte de seus professores de matemática, por si só, foi suficiente para que esses tomassem consciência da necessidade de repensar o ensino da geometria. Diante desse fato, prosseguiu-se com a investigação, analisando as propostas pedagógicas em vigor nas escolas com base nos planos de ensino e na explicitação da metodologia de trabalho por parte dos próprios professores. No processo de análise das propostas, sem perder de vista o 2Participam nas pesquisas duas escolas do município de Passo Fundo: Escola Estadual de 1º e 2º Graus Adelino Pereira Simões e Escola Municipal de 1º Grau Cohab Secchi - CAIC Edú Villa de Azambuja.

3 desempenho dos estudantes, foi possível fazer uma primeira leitura da visão do professor em relação ao seu trabalho como educador matemático. Entre os aspectos constatados que, possivelmente, estariam contribuindo para o baixo desempenho dos estudantes, estão: a falta de definição e clareza de objetivos; a falta de domínio das idéias essenciais da matemática, quanto aos conceitos propriamente ditos e o inadequado modo de exploração de atividades práticas realizadas, como por exemplo, as de medições. Em vista disso, refletiu-se que tais elementos, se revertidos, poderiam constituir-se em elementos sustentadores de novas práticas pedagógicas, propiciando mudanças qualitativas no processo ensino-aprendizagem. No caso, esses elementos, acrescidos de outros relacionados com a teoria histórico-cultural, que fundamenta a pesquisa, foram sendo caracterizados como princípios que poderiam orientar a elaboração e o desenvolvimento de propostas pedagógicas para o ensino de geometria. Através desse processo, foram identificados os princípios a seguir explicitados: necessidade de contextualizar o conhecimento matemático; a aprendizagem ocorre através da interação social/mediação do conhecimento; a aprendizagem leva ao desenvolvimento mental; necessidade de domínio das idéias fundamentais da matemática; necessidade de definição e clareza de objetivos; exploração adequada das atividades práticas realizadas com os estudantes; a importância de tratar os conceitos como um sistema de conhecimentos, os quais vêm sendo validados através da aplicação de propostas pedagógicas elaboradas com os professores que participam da pesquisa. O processo de validação vem sendo realizado nas escolas em diferentes séries do ensino fundamental. No primeiro semestre de 2000, foi feita uma primeira testagem dos princípios numa turma de 7ª série da escola municipal, no segundo semestre, proceder-se-á novas testagens na 5ª série da referida escola e na 5ª série da escola estadual. As atividades que compõem a proposta foram elaboradas de tal forma que os princípios pudessem ser testados. Por exemplo, nas atividades envolvendo o sistema de unidades de medidas de comprimento, o princípio de contextualização do conhecimento matemático foi colocado em prática através de três diferentes formas: uso da história da ciência/matemática, utilização de material concreto/manipulável e estabelecimento de relações da matemática da escola com a matemática utilizada pelos pais dos estudantes em suas atividades de trabalho. Quando da utilização da história, procurou-se mostrar aos estudantes o processo de definição da unidade padrão de medida de comprimento. Segundo Vasconcellos (1999) resgatar a história do conhecimento ajuda a re-significá-lo, na medida em que se entende em que contexto surgiu, que tipo de problema veio resolver (p. 87). Quanto ao material concreto, os estudantes

4 tiveram a oportunidade de usar trenas e fazer medições na própria escola. Para que eles pudessem relacionar o sistema de unidades de medida de comprimento com a prática de medição fora da escola, foi proposta uma atividade extra-classe na qual eles deveriam levantar situações junto a seus pais sobre possíveis medições que realizam no seu dia-a-dia, identificando unidades e instrumentos de medida. A exemplo do princípio de contextualização, os demais princípios já identificados foram colocados em prática. É importante ressaltar que cada atividade foi sendo elaborada e desenvolvida nas aulas como um todo, nas quais os princípios sustentavam integradamente o processo ensino-aprendizagem de cada novo conceito. À medida que a proposta foi avançando em relação aos conceitos, teve-se o cuidado de abordar com os professores uma das idéias fundamentais subjacentes às medidas espaciais a noção de dimensionalidade. Constatou-se que essa idéia, além de não ser considerada no tratamento das medidas, não era claramente compreendida pelos professores. Isso, entre outras situações, evidenciou mais uma vez a importância de o professor ter clareza das idéias essenciais da matemática e das relações que se fazem necessárias no processo de internalização dos conceitos. Com essa preocupação, a professora da 7ª série3 na qual a proposta foi aplicada no primeiro semestre de 2000, analisou com os alunos diferentes objetos do ambiente escolar e outros levados para a sala de aula no sentido de identificar suas dimensões. A noção de dimensionalidade mostrou-se, então, indispensável, principalmente para a compreensão dos conceitos de área e volume. Para que possamos melhor refletir sobre as inter-relações dos princípios, analisaremos a seguir atividades relativas ao conceito de volume/capacidade. Com o objetivo de levar os estudantes a identificar qual é a unidade mais adequada para medir o espaço de um recipiente sem tampa em forma de cubo 4, foram usados diferentes materiais considerados como unidades de medida de volume. A tarefa de cada grupo de quatro alunos era descobrir quantas unidades seriam necessárias para encher o referido recipiente. Como cada grupo havia recebido materiais diferentes, o resultado encontrado, que na realidade expressava a medida do recipiente, foi diferente para cada grupo. Nesse sentido, ficou explícita a idéia de que a medida de um mesmo objeto pode ser expressa de forma diferente, dependendo da unidade tomada. Quanto à unidade mais adequada, os estudantes perceberam que o cubo de 1cm de aresta (cm 3 ) era que melhor se prestava para medir o espaço do recipiente, constatando, que com a esfera de 1cm de diâmetro, por exemplo, ficavam espaços vazios. 3Professora Elaine Rosa Pascoal 4Cubo de aresta de 1 dm.

5 A comparação entre essas duas unidades, centímetro cúbico e decímetro cúbico, mostrou a relação matemática existente entre elas. Ao mesmo tempo, foi dado início ao processo de identificação das unidades padrão de medida, ou seja, o centímetro cúbico foi representado por um cubo de 1cm de aresta e o decímetro cúbico por um cubo de 1dm de aresta. Em seqüência, a comparação estabelecida foi entre decímetro cúbico e metro cúbico. Com isso, além de os alunos poderem perceber a relação matemática existente entre essas duas unidades, ficou evidente a importância do uso de material concreto5, como uma das formas de contextualização dos conceitos. Como se observou, todos se surpreenderam com o grande espaço ocupado pelo metro cúbico e pelo grande número de cubos de 1dm de aresta que caberia no metro cúbico. Percebeu-se, nesse caso, que a utilização de material concreto contribuiu muito para um tipo de representação das unidades-padrão de medida de volume/capacidade. Nesse sentido, seria importante que, como professores, fizéssemos uma discussão sobre as representações mentais construídas na escola. À medida que as atividades foram sendo realizadas, os estudantes foram deduzindo, sem que lhes fosse colocado explicitamente a idéia, a fórmula para determinar o volume/capacidade de objetos ou de recipientes em forma de cubo, ou prismas retos de base quadrangular ou retangular. Dessa maneira, as fórmulas iam sendo percebidas como sínteses do processo de contagem das unidades contidas num determinado espaço. Enquanto os estudantes percebiam as relações matemáticas entre as unidades de medida de volume que compõem um sistema, o próprio conceito ia sendo formado bem como as formas (incluindo as fórmulas matemáticas) de determiná-lo. Uma análise mais profunda mostra que, para conduzir o processo ensino-aprendizagem do conceito de volume, é necessário que se compreenda que estamos tratando de objetos de três dimensões; que, para medi-los, é preciso que se tomem unidades de medida de mesma grandeza; que se tenha conhecimento das unidades padrão, da relação específica existente entre elas e do sistema por elas formado; que existem fórmulas matemáticas específicas para determinar o volume de cada objeto representado por um sólido geométrico tratado na escola. Essa análise mostra a necessidade de se ter domínio das idéias essenciais que estão subjacentes a um determinado conceito e conhecimento da articulação entre elas; a importância de se ter clareza de objetivos; a importância de se perceber que as fórmulas matemáticas são internalizadas através de processos de análise e síntese, de abstrações e generalizações (Vigotski, 1996). 5Foi construída uma caixa sem tampa, de isopor, de 1 m de aresta e muitos cubos de papel duplex, de 1 dm de aresta.

6 Dito de outra forma, para que se possa falar em domínio do conceito de volume como um sistema de conhecimentos (Vigotski, 1996), é preciso que se tenha noção do volume como medida do espaço ocupado por um objeto de três dimensões; que o aluno tenha se apropriado do respectivo sistema de unidades de medida e, ainda, em nível escolar, que se tenha apropriado das fórmulas matemáticas. Além disso, é necessário que se consiga utilizar/aplicar o conceito de volume em situações diárias ou em outras áreas do conhecimento, o que caracteriza o conceito como objeto e como ferramenta (Douady, 1996). Como vemos, subjacente ao conceito matemático, no caso o volume, há um conjunto de noções, idéias, conceitos formando um sistema de conhecimentos, sendo possível colocar em prática, para sua aprendizagem, princípios orientadores, de forma consciente, desde que os mesmos sejam levados em consideração desde a elaboração da proposta. É importante destacar que os princípios apresentados e discutidos nesse texto estão ainda em processo de validação, estando previstas novas testagens. Referências Bibliográficas VIGOTSKI, L. S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, DOUADY, R. Ingénierie didactique et évolution du rapport au savoir. In: l'enseignement des mathématiques: des repères entre savoirs, programmes et pratiques. Pont-à-Mousson: Topiques Édition, VASCONCELLOS, C. dos S. Construção do conhecimento em sala de aula. São Paulo: Libertad, 1999.