ARITMÉTICA E ÁLGEBRA COM O MATERIAL DOURADO

Transcrição

1 ARITMÉTICA E ÁLGEBRA COM O MATERIAL DOURADO José Luiz Magalhães de Freitas Universidade Federal de Mato Grosso do Sul [email protected] Iraci Cazzolato Arnaldi Secretaria Municipal de Educação do Mato Grosso do Sul [email protected] Resumo: O objetivo deste mini-curso é propor, discutir e analisar algumas atividades, visando a exploração de cálculos aritméticos bem como a generalização por meio de expressões algébricas, a partir de situações envolvendo cálculos diversificados de perímetros, áreas, volumes e problemas de contagem, com a utilização do material dourado. Durante o mini-curso serão priorizados problemas que favoreçam articulações entre conteúdos de geometria, aritmética e álgebra. Assim, pretende-se analisar o desempenho dos participantes diante das atividades propostas, envolvendo mudanças entre os quadros geométrico, aritmético e algébrico, visando a ampliação do nível de abstração e a identificação de regularidades (padrões). Palavras-chave: Material dourado; Regularidades; Aritmética; Álgebra. INTRODUÇÃO O material dourado é um material concreto de manipulação frequentemente utilizado nos anos iniciais do ensino fundamental para o trabalho com o sistema de numeração decimal e as operações fundamentais. Com menos intensidade, o material dourado é utilizado eventualmente no ensino de medidas de volume e de superfície. Dessa forma, cada cubinho pode ser considerado como uma unidade de medida de volume, que equivale a 1 cm 3, e nesse caso, a área de cada quadrado correspondente à face de cada cubinho é uma unidade de medida de área, que mede 1 cm 2. Assim, podemos fazer cálculos envolvendo medidas de figuras geométricas formadas com as peças desse material, por exemplo, perímetros de superfícies poligonais planas formadas por placas, bastões e cubinhos; áreas das superfícies dessas placas e também volumes de blocos. Neste mini-curso, vamos tentar ir um pouco além dos conteúdos de aritmética e geometria mencionados, e mostrar que o material dourado também pode ser utilizado para explorar conteúdos algébricos. Assim, com o auxílio desse material buscaremos 1

2 explorar alguns conteúdos de álgebra dos anos finais de ensino fundamental e do ensino médio, como equações, cálculos algébricos, produtos notáveis e vários tipos de generalizações que podem ser expressas por meio de expressões algébricas. Estudos mostram que, para muitas pessoas, a entrada na álgebra, em particular no cálculo literal, pode representar um momento de ruptura com a Matemática, pois esta pode deixar de ter significado para elas. As dificuldades encontradas no aprendizado do cálculo literal e dos diferentes estatutos da letra (etiqueta, incógnita, indeterminada, variável e outros) têm sido investigadas em pesquisas variadas em Educação Matemática. Um estudo feito por Artigue (2003), mostra que apesar da álgebra elementar estar presente nos programas da educação básica de todo o mundo, sua introdução não ocorre da mesma maneira nos diferentes países. Ela observou que na França e em outros países como Brasil, Itália e Israel, a entrada usual na Álgebra é feita por meio do estudo de equações em que são valorizados aspectos da evolução histórica dessa área. No entanto, em muitos países, em particular nos anglo-saxônicos, é dada prioridade à expressão de regularidades (padrões) e à generalização. Ela identifica ainda uma terceira via, caso de países onde é dada ênfase à modelagem de situações, privilegiando variáveis, funções e diferentes tipos de representações. Acreditamos que o aprendizado do uso da letra como variável ou número generalizado podem ser desenvolvidos em paralelo com as equações, ou mesmo antes, como é o caso dos países que optam pelo trabalho de simbolização de relações matemáticas desde a escola elementar. Dessa forma, as situações-problema que analisamos neste mini-curso, embora permitam explorar vários dos aspectos mencionados acima, a ênfase maior será dada ao processo de generalização. Nossa proposta é partir da manipulação de peças do material dourado, com atividades de fácil compreensão e a análise de casos particulares, mas que permitam explorar níveis mais elevados de abstração por meio de cálculos aritméticos, bem como que identifiquem e validem regularidades e padrões. Além do trabalho com cálculos aritméticos, pretendemos explorar mudanças entre os quadros geométrico, aritmético e algébrico, por meio da exploração de figuras geométricas, expressões numéricas e algébricas, bem como os respectivos cálculos. 2

3 REFERENCIAL TEÓRICO Este trabalho se baseia no modelo teórico denominado por jogo de quadros proposto por Douady (1986), segundo o qual, diante de uma situação-problema, o professor pode explorar situações-problema, nas quais os alunos são conduzidos a trabalharem com diferentes quadros matemáticos. Para Douady (1986, p. 389) um quadro é constituído de ferramentas de uma parte da matemática, de relações entre os objetos, suas formulações eventualmente diferentes e de imagens mentais associadas a essas ferramentas e relações. Neste mini-curso há três quadros envolvidos: o geométrico, o aritmético e o algébrico. Segundo esse modelo as mudanças de quadros permitem que os alunos evoluam na busca de solução a um problema proposto. Assim, o professor pode, intencionalmente, propor atividades que possibilitem ou favoreçam mudanças de quadros visando uma nova aprendizagem pelo aluno. Por meio da mudança de quadro os alunos podem obter formulações diferentes de um problema sem que sejam necessariamente equivalentes, permitindo um novo acesso às dificuldades encontradas e o desenvolvimento de ferramentas e técnicas que não haviam surgido nas primeiras formulações. O MATERIAL DOURADO Trata-se de um material criado pela pedagoga italiana Maria Montessori, que tinha como objetivo era ensinar conteúdos de matemática elementar para crianças portadoras de deficiências ou dificuldade para aprender matemática. Ele pode ser feito de madeira ou de outro material e é constituído por um conjunto de quatro tipos diferentes de peças, conforme figura abaixo. As peças que compõem o material dourado são as seguintes: 3

4 cubinho medindo 1 cm de aresta, barrinha em forma de um paralelepípedo medindo 1cm x 1cm x 10cm; placa em forma de um paralelepípedo medindo 1cm x 10cm x 10cm; bloco ou cubo medindo 10 cm de aresta. Como dissemos anteriormente, o material dourado é mais utilizado para trabalhar com o sistema de numeração decimal e as operações. Ele também pode ser utilizado para explorar algumas relações entre medidas, por exemplo, entre o decímetro cúbico e o centímetro cúbico, bem como entre o metro cúbico e o decímetro cúbico. Pode-se extrapolar para medidas de líquidos e identificar relações entre o decímetro cúbico e o litro, bem como o metro cúbico, o mililitro, etc. E também, relações medidas de superfície e de comprimento também podem ser estudadas com esse material. No entanto, neste mini-curso nosso objetivo principal não é o estudo de relações entre medidas do sistema métrico decimal, mas sim no estudo de atividades matemáticas nos quadros geométrico, aritmético e algébrico. ATIVIDADES COM O MATERIAL DOURADO As atividades que propomos a seguir têm como objetivo principal o estudo de possibilidades de uso da letra com dois estatutos: como número indeterminado em expressões algébricas e como incógnita, em equações obtidas a partir de situaçõesproblema com esse material. É possível realizar cálculos de perímetros, ou seja, da medida do comprimento da linha do contorno de superfícies de placas retangulares com quantidades dadas. Por exemplo, de placas medindo 10x10, 5x7, 1x10,.... Dependendo do nível de conhecimento dos alunos, pode-se iniciar um trabalho de generalização com atividades envolvendo o cálculo do perímetro e áreas de placas representadas por figuras. Pode-se calcular áreas de superfícies retangulares cujos lados são quantidades conhecidas e depois avançar rumo à generalização. Por exemplo, calcular áreas de superfícies retangulares cujas medidas são: 10.10, 10.12, a.a; 10.(a+2); a.(a+b); (a+2).(a+2), a.b, (a+b).(a+2),..cujas medidas são: a.a; 10.a; (a+5).7; a.(a+2); a.b; (a+2).b; entre outras. Nesses casps as letras que aparecem nas expressões correspondentes a cada expressão são números indeterminados. No entanto, se for informado, por exemplo, o valor 4

5 numérico do perímetro de uma dada figura e se a expressão puder ser escrita usando uma única letra então essa letra deixa de ser um número indeterminado e passa a ser uma incógnita. Nesse caso é possível encontrar o valor de a correspondente ao perímetro dado. Apresentamos a seguir alguns exemplos atividades que pretendemos explorar durante o minicurso. Cubos, cubinhos,... Imagine um cubo de madeira. Vamos pintar esse cubo de amarelo e depois subdividi-lo em cubinhos de mesmo tamanho, como os cubinhos de madeira do material dourado. Em seguida vamos juntar todos os cubinhos para formar novamente um cubo, de modo que a quantidade de cubinhos em cada aresta seja sempre a mesma. Analise as situações seguintes: a) Imagine que o cubo, pintado de amarelo, foi subdividido em cubinhos iguais de modo que a quantidade de cubinhos em cada aresta seja igual a 3. Quantos cubinhos ficaram com uma única face pintada? E com duas? E com três?... E com nenhuma? b) Se houver 10 cubinhos em cada aresta quantos cubinhos terão 3 faces pintadas, quantos terão 2 faces pintadas, quantos terão uma face pintada e quantos não terão face alguma pintada? E se houver n cubinhos em cada aresta? c) É possível decompor o cubo de modo que existam 204 cubinhos com somente duas faces pintadas? Nesse caso quantos cubinhos haveria em cada aresta? d) Em quantos cubinhos devemos decompor o cubo para que o número de cubinhos com três faces pintadas seja igual a 1/8 do número de cubinhos sem nenhuma face pintada? e) Em quantos cubinhos devemos decompor o cubo para que o número de cubinhos com duas faces pintadas seja igual a dois terços do número de cubinhos com uma face pintada? 5

6 Torres 1. Observe a torre de cubinhos. a) Quantos cubinhos foram usados para construir a torre acima? b) Quantos cubinhos precisaríamos para construir uma torre semelhante a esta, mas de 8 cubinhos de altura? c) Explique como encontrou o resultado anterior. d) E se você quiser construir uma torre muito mais alta, de 1000 cubinhos de altura? e) E de n cubinhos de altura? f) Sabendo-se que na construção de uma torre semelhante a esta foram utilizados 190 cubinhos, qual é a altura dessa torre? 2. Observe a torre de cubinhos. n n a) Quantos cubinhos foram usados para construir a torre acima? b) Quantos cubinhos ainda faltam para construir uma torre semelhante, mas de 6 cubinhos de altura? c) Explique como verificou o resultado anterior. d) E se você quiser construir uma torre muito mais alta, de 100 cubinhos de altura? e) E de n cubinhos de altura? Sequências 1. Usando somente cubinhos cinzas e brancos foram construídos modelos emoldurados retangulares, colocados sempre da mesma maneira, conforme mostra a figura abaixo. 6

7 a) Represente o próximo elemento dessa sequência. b) Observe a sequência acima e complete a tabela abaixo: Número de ordem n Número de cubinhos cinzas Número de cubinhos brancos 2. Usando somente cubinhos pretos foi composta uma decoração, mostrada parcialmente abaixo: Quantos cubinhos pretos foram empregados em toda a decoração considerando-se que, no contorno da última peça montada, foram utilizados 40 cubinhos pretos? Na figura acima é apresentada uma sequência até ordem 3, na qual foi utilizado um total de 25 cubinhos pretos. Se essa sequência fosse até a ordem n qual o total de cubinhos pretos que nela seriam utilizados? CONSIDERAÇÕES FINAIS O mini-curso aqui proposto destina-se a professores que atuam nos anos finais do ensino fundamental e no ensino médio. Nele buscamos contemplar as orientações dos PCN, PNLD, bem como documentos oficiais do MEC, os quais valorizam os aspectos da diversidade e da articulação. Nesse sentido, nosso mini-curso se propõe a explorar atividades com diferentes níveis de dificuldade e que possibilitam a articulação 7

8 entre aritmética, álgebra e geometria, que constituem três importantes quadros da matemática. Além disso, o material dourado, que é muito conhecido e utilizado como recurso didático para o trabalho com as operações aritméticas nos anos iniciais do ensino fundamental, é aqui visto também como um material possível de ser utilizado também em níveis mais elevados da educação básica. Acreditamos que esse material possa servir como um elemento articulador, tanto entre as áreas da matemática, como entre no trabalho com conteúdos de diferentes níveis de escolaridade. REFERÊNCIAS ARTIGUE, M.. Enseigner les mathétmatiques aujourd hui. Pourquoi? Pour qui? Comment? Paris: Bulletin de l APMEP. Num. 449, p , BITTAR, M. e FREITAS, J.L.M. Fundamentos e Metodologia de Matemática para os ciclos iniciais do Ensino Fundamental. Campo Grande-MS, Editora UFMS, 2ª. Edição, COXFORD A. F. & SHULTE A. P. (org.) As Idéias da Álgebra São Paulo: Editora Atual, DOUADY, R. Jeux des cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7, n 2, pp La Pensée Sauvage, GRUPO AZARQUIEL. Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madri: Editorial Síntesis, VALADARES, E. C. e WAGNER E. Usando Geometria para Somar. Revista do Professor de Matemática, número 39. Publicação da SBM, São Paulo-SP. 8