ESTUDO DO DESEMPENHO DE CORRELAÇÕES DE ARRASTO SÓLIDO- GÁS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE UM LEITO FLUIDIZADO BORBULHANTE

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1 ESTUDO DO DESEMPENHO DE CORRELAÇÕES DE ARRASTO SÓLIDO- GÁS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE UM LEITO FLUIDIZADO BORBULHANTE Flávia Zinani, Paulo Conceição, Caterina G. Philippsen, Maria Luiza S. Indrusiak Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade do Vale do Rio dos Sinos, Av. Unisinos, 950, CEP , São Leopoldo, RS RESUMO A queima de combustíveis sólidos, como carvão e biomassa, em leito fluidizado é uma das tecnologias mais avançadas utilizadas em usinas de conversão de energia térmica. Atualmente, há uma crescente busca por um melhor entendimento dos processos hidrodinâmicos de fluidização e por modelos matemáticos capazes de prever com eficácia tais fenômenos. Uma característica particular dos leitos fluidizados borbulhantes é a formação de bolhas de gás, responsáveis pela mistura sólido-gás e pela manutenção da temperatura do leito. Assim, é fundamental entender suas características e seu comportamento transiente. No entanto, variáveis médias no tempo, como velocidades do gás e dos sólidos, pressão e frações volumétricas de cada componente são também de grande importância para projeto e determinação de condições operacionais. Suas distribuições espaciais influenciam diretamente o desempenho do leito na queima do combustível em processos em regime permanente. Neste trabalho, uma ferramenta de Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD), o código aberto MFiX (Multiphase Flow with Interphase exchange) é empregado na simulação do escoamento multifásico em um leito fluidizado borbulhante, a fim de se avaliar o desempenho de vários modelos de arrasto para interação sólido-gás. Uma abordagem Euler-Euler é empregada, na qual as fases gás e particulado são consideradas como meios contínuos interpenetrantes. As equações de conservação de massa e quantidade de movimento são resolvidas para cada fase, e o acoplamento entre as fases é feito pelos termos de transferência de quantidade de movimento entre as fases. Na construção destes termos, o arrasto desempenha o principal papel. O mesmo é usualmente modelado através de correlações como as de Gidaspow, Hill-Koch-Ladd e Syamlal e O Brien, as quais fazem parte do presente estudo. O desempenho de cada um dos modelos é avaliado quanto à previsão dos campos de variáveis médias no tempo. PALAVRAS-CHAVE: Leito fluidizado borbulhante, escoamento multifásico sólido-gás, simulação numérica, MFiX, modelos de arrasto. 1. INTRODUÇÃO A combustão em leito fluidizado apresenta consideráveis vantagens em relação a processos como combustão em grelha ou combustível pulverizado. Do ponto de vista ambiental, o controle das emissões de poluentes é mais fácil, com temperaturas menos elevadas na região reativa e a possibilidade de adições ao leito para controlar as emissões de compostos de enxofre. Do ponto de vista estratégico, o leito fluidizado possibilita a combustão de variados combustíveis sólidos, como carvão de baixa qualidade ou com muita umidade, lixo industrial ou doméstico, biomassas e combinações destes combustíveis. Os processos em leito fluidizado podem ser divididos, do ponto de vista da movimentação dos reagentes no leito, em processos de leito borbulhante, em que os sólidos permanecem restritos a uma região, chamada leito, sendo permeados e fluidizados pelo oxidante (ar ou uma mistura variada de ar, oxigênio e gases de combustão) e processos de leito circulante, em que não há propriamente um leito e os sólidos são transportados pelos gases e recirculados até a completa oxidação dos mesmos. Uma característica particular dos leitos fluidizados borbulhantes é a formação de bolhas de gás. As bolhas são responsáveis pela mistura entre gás e sólido, pela circulação de gás e manutenção da temperatura do leito. Assim, é fundamental entender suas características e seu comportamento transiente. Variáveis médias no tempo, como velocidade do gás e do sólido, pressão e fração de

2 vazio são também de grande importância para projeto e determinação de condições operacionais. Elas são determinantes para o desempenho dos processos de queima em regime permanente. A Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD) tem crescido como uma ferramenta poderosa para o entendimento dos escoamentos multifásicos em uma vasta gama de aplicações em engenharia e processos naturais. Esta classe de problemas apresenta uma variedade de possibilidades com relação aos modelos físico e numérico. No presente trabalho, uma ferramenta de Dinâmica dos Fluidos Computacional, o código aberto MFiX (Multiphase Flow with Interphase exchange) é empregado na simulação do escoamento em um leito fluidizado borbulhante, com o intuito de avaliar o desempenho de diferentes modelos físicos para a transferência de quantidade de movimento por arrasto entre a fase gás e a fase particulada. 2. METODOLOGIA Esta seção descreve a modelagem matemática dos problemas abordados no presente trabalho, a qual se baseia na teoria hidrodinâmica para escoamentos multifásicos do tipo gás-sólido particulado, inseridos no código aberto MFiX (Syamlal et al., 1993). Escoamentos multifásicos costumam ser abordados utilizando dois tipos de modelos, Euler-Euler ou Euler-Lagrange. No primeiro deles, cada uma das fases é modelada como um meio contínuo a partir de um referencial Euleriano. No modelo Euler-Lagrange, o meio fluido (gás ou líquido) é modelado a partir de um referencial Euleriano, enquanto que para cada partícula a equação do movimento de Newton é aplicada explicitamente a partir de um referencial Lagrangeano. No presente trabalho, utiliza-se o modelo Euler-Euler, no qual se assume que cada componente ocupa todo o domínio do problema. Sendo assim, as espécies são consideradas como contínuos interpenetrantes, e suas concentrações ao longo do domínio são caracterizadas por suas respectivas frações volumétricas. Dentro da modelagem Euleriana, ainda se pode utilizar duas abordagens alternativas, conhecidas como modelo homogêneo e modelo não homogêneo. Na abordagem do modelo homogêneo, um campo de escoamento comum é compartilhado por todas as fases, bem como outros campos relevantes, tais como temperatura e turbulência. No modelo não homogêneo, utilizado no presente trabalho, são estabelecidas equações de transporte das quantidades envolvidas no problema para cada um dos componentes da mistura. Assume-se que cada componente tenha seu próprio campo de velocidade e pressão. Para os escoamentos de interesse no presente trabalho, a mistura constitui-se da fase gasosa adicionada de uma única fase sólida, e ε representa a fração volumétrica do componente, a qual pode variar temporal e espacialmente. Localmente, onde M é o número de componentes da mistura. Assim sendo, representa a fração volumétrica da fase fluida, e representa a fração volumétrica da fase sólida. Ainda, é a massa específica do componente puro e é a massa específica efetiva do componente, A massa específica da mistura é dada por:

3 2.1 Conservação de Massa O princípio de conservação da massa aplicado para um sistema multicomponente resulta em que a variação temporal da densidade mássica do componente é igual à taxa com que este componente é produzido ou consumido através de processos químicos ou pela mudança de fase. Esta produção se dá às custas de uma taxa de consumo de outros dos M componentes, e vice-versa, de forma que se mantenha o balanço de massa total expressado pela Eq. (1). Sendo assim, pode-se escrever a equação da continuidade para cada componente da mistura como: onde v é a velocidade da fase. No presente trabalho a fase gás é considerada um fluido incompressível, i.e., é constante. 2.2 Conservação da Quantidade de Movimento A conservação da quantidade de movimento para cada fase é expressa pela Eq. (5): No lado esquerdo da Eq. (5), o primeiro termo representa a taxa de variação de quantidade de movimento e o segundo termo a advecção de quantidade de movimento. O primeiro termo à direita da equação representa as forças de superfície, o segundo termo representa as forças de corpo (e.g. devido à gravidade g) e o termo seguinte representa a transferência de quantidade de movimento entre a fase gasosa e a fase sólida. Na Eq. (5), é o tensor tensão da fase, representa a força de interação da transferência da quantidade de movimento entre a fase e a outra fase Transferência da Quantidade de Movimento Fluido-Sólido A transferência da quantidade de movimento entre a fase fluida e a fase sólida, também chamadas de força de interação, é representada na Eq. (5) por. Johnson, Massoudi e Rajagopal (1990), em uma revisão sobre os mecanismos de interações em escoamentos do tipo fluido-sólidos, identificaram sete diferentes mecanismos de interação. São eles: força de arrasto, flutuação, efeito da massa virtual, força de sustentação de Saffman, força de Magnus, força de Basset, força de Faxen e forças causadas pelas diferenças de temperatura e massa específica. A força de arrasto é causada pelas diferentes velocidades entre a fase gasosa e sólida, causando atrito entre a superfície do sólido e o fluido. A flutuação ocorre devido ao gradiente de pressão do fluido. O efeito de massa virtual é causado pela aceleração relativa entre as fases gasosa

4 e sólida. A força de sustentação de Saffman aparece devido aos gradientes de velocidade do fluido. A força de Magnus é devido ao spin das partículas. A força de Basset depende do histórico do movimento da partícula no fluido. A força de Faxen é uma correção que se aplica ao efeito de massa virtual e à força de Basset, que leva em conta os gradientes de velocidade do fluido (Syamlal et al., 1993). No presente trabalho, considera-se somente os efeitos de arrasto e flutuação, ou seja ( ) A força de arrasto é modelada em função do coeficiente da quantidade de movimento na interface, ou função de arrasto ( ), e da velocidade relativa entre as fases. Correlações para podem ser formuladas a partir de correlações para a queda de pressão no escoamento de gás através de um leito empacotado, como a correlação de Ergun (1952), que dá origem à correlação de Ding e Gidaspow para (Ding e Gidaspow, 1990). Outro modo é a obtenção do modelo de arrasto a partir de correlações para a velocidade terminal em um leito fluidizado, expresso como função da fração de vazio de do número de Reynolds. Desse modo foi obtida a correlação de Syamlal e O'Brien (1993) Correlação de Arrasto de Ding e Gidaspow Esta correlação utiliza a equação de Ergun (1952) para a fase densa ( ). Para a fase dispersa ( ), utiliza-se a equação de Wen e Yu (1966) (Syamlal et al., 1993). Assim, a correlação é dada por: { ( ) { onde é a velocidade do gás, é a velocidade do sólido, é o diâmetro da partícula e é a viscosidade dinâmica do gás Correlação de Arrasto de Syamlal e O Brien

5 Esta correlação é baseada nos estudos de Richardson e Zaki (1954), Dalla Valle (1948) e Garside e Al-Dibouni (1977). O modelo de arrasto é baseado no valor das velocidades terminais ( ) das partículas, para o cálculo das quais é utilizado o coeficiente de arrasto ( ) da Eq. (10). A correlação da velocidade terminal ( ) pode ser calculada por uma única correlação numérica, mas uma fórmula explícita não pode ser derivada (Richardson e Zaki, 1954). Para uma fórmula fechada, pode ser derivada por uma correlação semelhante desenvolvido por Garside e Al- Dibouni (1977). onde, ( ) e { O número de Reynolds para a fase sólida é dado por: Correlação de Arrasto de Hill-Koch-Ladd A correlação Hill-Koch-Ladd (HKL), proposta por Hill et al. (2001), é baseada em simulações do tipo Lattice-Boltzmann (Benyahia et al., 2006). Benyahia et al. (2006), desenvolveram uma extensão da correlação de arraste HKL que se aplica a toda gama de frações volumétricas e números de Reynolds. A função de arrasto HKL, tendo o coeficiente de arrasto ( ) já incluído (Eq. (8)), é definida pela Eq. (15): A força de arrasto (F) é descrita por:

6 { ( ) { ( ) { Os coeficientes são determinados pelas equações abaixo: { ( ) [ ] [ ] para 0,01< < 0,4, e para 0,4 o coeficiente é expresso por: { { ( ) [ ] [ ] para < 0,4, e para 0,4, é expresso por:

7 { Tensor Tensão da Fase Fluida O tensor tensão para a fase fluida, sendo gás ou líquido, é representada pela Eq. (27). O termo representa a pressão, I é o tensor identidade, é o tensor de viscosidade, assumido na forma Newtoniana e descrito pela Eq. (28). * ( ) Tensor Tensão da Fase Sólida Conforme Jaeger e Nagel (1992), os materiais granulares não podem ser classificados como sólidos ou líquidos, pois apresentam comportamentos muito diferentes das demais substâncias. Para a análise de um leito em fluidização, o conjunto de partículas sólidas é considerado como um fluido não viscoso. Neste caso, deve ser especificado o tensor tensão de pressão dos sólidos, que é uma função arbitrária da fração de vazio (Pritchett, Blake, e Garg 1978; Gidaspow e Ettehadieh 1983). Esta especificação é necessária para que a fração de vazio seja menor que a fração de vazio do leito empacotado (Syamlal e O'Brien, 1993). O fluxo granular pode ser classificado como em regime viscoso ou em regime plástico, como mostra a Fig. 1. (a) (b) Figura 1: (a) fluxo granular em regime viscoso; (b) fluxo granular em regime plástico.

8 Para descrever as tensões dos regimes viscoso e plástico, Johnson e Jackson (1987) propuseram um modelo que descreve o cisalhamento de um fluxo granular, de acordo com as teorias destes regimes, adicionando duas equações. Neste trabalho, utilizando o MFiX, a combinação das teorias do regime viscoso e plástico, ocorre ao introduzir a condição para a fração de vazio do leito empacotado. { Na Eq. (29), é a pressão, é o tensor de viscosidade para as fases sólidas, é a fração de vazio na fluidização mínima. Os subscritos, V e P, definem o regime viscoso e plástico respectivamente. Em um regime de escoamento rápido, a formulação dos tensores vem sendo desenvolvida e revisada por muitos pesquisadores: Bagnold (1954); Ogawa, Umemura e Oshima (1980); Shen e Akerman (1982); Haff (1983); Savage (1984); Jenkins (1987); Boyle e Massoudi (1989). Dentre eles, Savage e Jeffrey (1981) e Jenkins e Savage (1983) derivaram as expressões dos tensores tensão, ao descrever a transferência da quantidade de movimento por colisão, utilizando a teoria cinética dos gases. A energia cinética, que representa um fluxo granular rápido, é transformada em energia cinética de flutuação aleatória das partículas, e depois é dissipada em forma de calor devido às colisões inelásticas. Sendo a teoria da temperatura das partículas diferente da teoria da temperatura granular, a energia cinética de flutuação é descrita pela última teoria citada. Para leito fluidizado, os tensores de fluxo granular rápido são incluídos nos modelos de fluxo de duas fases, por exemplo, Syamlal, 1987c; Boyle e Massoudi, 1989; Sinclair e Jackson, 1989; Ding e Gidaspow, 1990; Louge, Mastorakos e Jenkins, Lun et al. (1984) desenvolveu a teoria cinética para partículas esféricas, homogêneas e inelásticas que influencia as forças de superfície descritas pelo tensor tensão. Assim, as equações abaixo expressam os tensores para a fase sólida, onde a Eq. (30) descreve a pressão granular. sendo, O tensor granular é expresso pela Eq. (33) abaixo: onde, é o tensor taxa de deformação da fase sólida. [ ]

9 Os termos e do tensor granular, são os coeficientes de viscosidade dinâmica e volumétrica, respectivamente, para as múltiplas fases sólidas. sendo as constantes, { [ ] Os tensores de um fluxo granular de regime plástico são descritos por teorias desenvolvidas a partir do estudo da mecânica dos solos, em que se assume o comportamento dos materiais independente da taxa de tensão (Tuzun et al. 1982; Jackson 1983). Conforme descrito anteriormente, em um regime plástico ocorre atrito entre as partículas que gera os tensores no escoamento. Estes tensores são descritos por modelos fenomenológicos, diferente de um fluxo granular rápido. A teoria da mecânica dos solos utiliza a idéia de uma função de campo. Esta função define a região no qual o material se comportará elasticamente, no espaço das tensões, e o ponto das tensões é encontrado durante a deformação plástica. Se a elasticidade não for considerada, o material permanecerá rígido. Outro componente da mecânica dos solos é a regra de escoamento. Esta regra determina a relação entre os componentes de tensão e taxas dos tensores das tensões (Syamlal e O Brien, 1993 e Mineto, 2009). A teoria do estado crítico, desenvolvido pela Cambridge School of Soil Mechanics foi detalhada por Jackson (1983), no qual descreve a consolidação e dilatação de um fluxo granular. Para um regime plástico, geralmente é utilizado uma função similar. A equação (39) prevê uma pequena compressão para fase sólida e representa o termo de pressão para o escoamento, semelhante às teorias geralmente utilizadas para este tipo de fluxo (Jenike, 1987). onde ( ) e

10 No MFiX foi incluído o tensor tensão dos sólidos, baseado na teoria do estado crítico. Esta inclusão é feita com a generalização tridimensional (Gray e Stiles, 1988) de uma função de produção (Pitman e Schaeffer, 1987), onde a pressão dos sólidos tende a zero quando chega ao limite de zero atrito interno. Esta é uma condição utilizada para diminuir o tempo de consumo computacional de um fluxo de regime plástico. No código MFiX é utilizado uma formulação mais simples, proposto por Schaeffer (1987), em que mesmo quando há várias fases sólidas, o cálculo é feito apenas para os sólidos da primeira fase. onde, [ ] A Eq. (43) representa o segundo invariante do tensor taxa de deformação. Para estabilizar o cálculo computacional, os cálculos dos tensores são feitos implicitamente, além de ser estabelecido um limite máximo de viscosidade, pois esses valores podem ser grandes em um fluxo de regime plástico, tornando-se infinito quando tende a zero. 2.3 Conservação da Energia Granular A teoria cinética dos escoamentos granulares (Kinetic Theory of Granular Flows, KTGF) baseada no comportamento de partículas esféricas, lisas e ligeiramente inelásticas, é utilizada na derivação de uma relação constitutiva para descrever o tensor tensão da fase sólida, S s, como apresentado na Eq. (31). A relação constitutiva resultante contém a quantidade, chamada temperatura granular da fase sólida. A temperatura granular é proporcional à energia granular do contínuo, onde a energia granular é definida como a energia cinética específica do componente de flutuação aleatório da velocidade da partícula: onde C é o componente de flutuação da velocidade instantânea c da fase sólida definido por: O transporte de energia granular da fase sólida é governado pela relação [ ]

11 onde é a taxa de dissipação de energia granular devido à colisões inelásticas, e q é o fluxo difusivo de energia granular. O termo gs representa a transferência de energia granular entre as fases sólida e gás Fluxo difusivo de energia granular O fluxo difusivo de energia granular é dado por: onde os termos de contribuição cinética e colisional (Syamlal et al., 1993) foram negligenciados. O coeficiente de difusão de energia granular, k, é descrito por [ ] onde Dissipação de energia granular O termo representa a taxa de dissipação de energia granular da fase sólida devido às colisões entre as partículas que constituem o contínuo. Este termo é representado pela expressão derivada por Lun et al. (1984): onde K 4 é definido pela Eq. (51): Transferência de energia granular O termo gs representa a transferência de energia granular entre a fase sólida e a fase fluida. Fisicamente, ele representa a transferência para o fluido da energia cinética das flutuações aleatórias das velocidades das partículas. Uma expressão para essa transferência foi proposta por Ding e Gidaspow (1990) na forma: onde F g é o coeficiente para a força de interação entre a fase fluida e a fase sólida. 3. COLOCAÇÃO DO PROBLEMA A Figura 2 ilustra a geometria do problema abordado nas simulações numéricas, conforme Gidaspow (1994), no qual são apresentados resultados para o crescimento das bolhas nos primeiros instantes de tempo. Trata-se de um reator bi-dimensonal, de 0,3937 m por 0,5844 m. Inicialmente, o

12 reator é preenchido até uma altura de 0,2922 m por esferas de diâmetro igual a 0,5 m e massa específica igual a 2610 kg/m 3, e o ar passa através dessas esferas na condição de mínima fluidização, na qual a fração mássica de gás é mf = 0,44. Na base do reator, ar é soprado uniformemente na velocidade mínima de fluidização, v g = 0,0355 m/s. A partir do instante t = 0, ar é soprado através de uma fenda central de 0,0127 m em um jato de v g,jet = 0,0577 m/s. A partir daí começa a expansão do leito e a formação de bolhas, que são transportadas desde o fundo do reator até a superfície superior do leito, promovendo a mistura e a transferência de quantidade de movimento. Foi utilizada uma malha de 124 por 108 volumes de controle nas direções x e y, respectivamente. Foram simulados 40 s de processo. Figura 2: Geometria do leito e condições para as simulações. 4. RESULTADOS Foram analisados os resultados médios no tempo para o escoamento em regime permanente através do leito. Para a determinação do tempo para se atingir o regime permanente, foi monitorada ao longo do tempo a variável fração volumétrica de sólidos, s, em uma posição crítica do domínio do problema (x* = 2x/W = 0,008; y* = y/l = 0,5). Considerou-se que o regime permanente foi atingido após a taxa de variação relativa da média temporal de s atingir um valor inferior a Assim, os resultados das médias temporais apresentados a seguir representam a média temporal entre 20 e 40 s de simulação. A Fig. 2 ilustra a evolução no tempo da variação relativa da variável s.

13 Figura 2. Evolução da variação relativa da média temporal de s. A Fig. 3 ilustra o campo de g obtido utilizando os diferentes modelos de arrasto. Observa-se que o modelo de Gidaspow prevê uma região de maior concentração de sólidos no centro da geometria, e que o modelo de Hill-Koch-Ladd prevê uma maior altura de leito do que os outros dois modelos. (a) (b) (c) Figura 3: Campo de fração de vazio, g, obtidos com os modelos (a) Gidaspow, (b) Syamlal e O'Brien, (c) Hill-Koch-Ladd. As médias temporais para a fração volumétrica de sólidos ao longo de eixo y a diferentes distâncias do eixo central obtidas utilizando-se os três modelos de arrasto são mostradas na Fig. 4, para as posições x*: (a) 0,008, (b) 0,105, (c) 0,25 e (d) 0,35. Esta figura corrobora o que é mostrado na Fig. 3, onde o modelo de Hill-Koch-Ladd prevê a maior altura do leito.

14 (a) (b) (c) (d) Figura 4: Fração mássica de sólidos em x*(a) x* =0,008, (b) x* =0,105, (c) x* =0,25 e (d) x* =0,35. A Fig. 5 ilustra o campo de velocidade do gás obtido utilizando os diferentes modelos de arrasto. Observa-se que os modelos de Gidaspow e de Syamlal e O'Brien prevêem uma distribuição de velocidades mais uniforme do que o modelo de Hill-Koch-Ladd. Este último prevê menores valores para a máxima velocidade. O escoamento, no modelo de Hill-Koch-Ladd, fica mais restrito ao jato. A Fig. 6 ilustra as distribuições de velocidades ao longo do eixo x, a diferentes distâncias da base do reator, y* = 0,25 e y* = 0,5. Aí também se observa como o jato é mais concentrado como previsto pelo modelo de Hill-Koch-Ladd. O não esperado pico de velocidade na região próxima à parede, previsto pelo modelo de Gidaspow, parece ser fisicamente não realista.

15 (a) (b) (c) Figura 5: Campos de velocidade do gás, obtidos com os modelos (a) Gidaspow, (b) Syamlal e O'Brien, (c) Hill-Koch-Ladd. (a) (b) Figura 6: Velocidade na direção y do gás em (a) y* = 0,25 e (b) y* = 0,5. 5. CONCLUSÕES Este trabalho encontra-se em desenvolvimento. O próximo passo será a comparação de resultados numéricos com resultados experimentais a variadas faixas de condições de operação, para que seja possível avaliar as faixas de operação nas quais cada modelo se mostra mais apropriado. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à CAPES pelo projeto PNPD/2010, e ao CNPq pelas bolsas PQ2 ( ) e DTI ( ). 7. REFERÊNCIAS

16 Benyahia, S., Syamlal, M., O Brien, T.J. Summary of MFIX Equations Benyahia, S., Syamlal, M, O.Brien, T.J. Extension of Hill Koch Ladd drag correlation over all ranges of Reynolds number and solids volume fractions. Powder Technology, 162, p , Bagnold, R.A. Experiments on a Gravity-Free Dispersion of Large Solid Spheres in a Newtonian Fluid Under Shear. Proc. R. Soc., London, A225, p.49-63, Boyle, E.J., e Massoudi, M. Kinetic Theories of Granular Materials with Applications to Fluidized Beds. Technical Note, DOE/METC-89/4088, NTIS/DE National Technical Information Service, Springfield, VA, Dalla Valle, J.M. Micromeritics. Pitman, London, Ding, J., e Gidaspow, D. A Bubbling Fluidization Model Using Kinetic Theory of Granular Flow. AIChE J., 36, p , Ergun, S. Fluid flow through packed columns. Chem. Eng. Prog. 48, p , Garside, J., e Al-Dibouni, M.R. Velocity-Voidage Relationships for Fluidization and Sedimentation. I&EC Proc. Des. Dev., 16, p , Gidaspow, D., e Ettahadieh, B. Fluidization in Two-Dimensional Beds with a Jet; 2. Hydrodynamic Modeling. I&EC Fundam., 22, p , Gidaspow, D. Multiphase Flow and Fluidization Continuum and Kinetic Theory Descriptions. Ed. Academic Press, London, 467 p., Gray, D.D., e Stiles, J.M. On the Constitutive Relation for Frictional Flow of Granular Materials. Topical Report, DOE/MC/ , NTIS/DE National Technical Information Service, Springfield, VA, Hill, R.J., Koch, D.L., Ladd, J.C. The first effects of fluid inertia on flows in ordered and random arrays of spheres. Journal of Fluid Mechanics, 448, p , Hill, R.J., Koch, D.L., Ladd, J.C. Moderate-Reynolds-number flows in ordered and random arrays of spheres. Journal of Fluid Mechanics, 448, p , Haff, P.K. Grain Flow as a Fluid Mechanical Phenomenon. Journal of Fluid Mechanics, 134, p , Jackson, R. Some Mathematical and Physical Aspects of Continuum Models for the Motion of Granular Materials. In.: Theory of Dispersed Multiphase Flow. Ed. R.E. Meyer, Academic Press, New York, Jaeger, H. M., Nagel, Sidney R. Physics of the Granular State. Science, 255, p , Jenike, A.W. A Theory of flow of particulate solids in converging and diverging channels based on a conical yield function. Powder Technology, 50, p , 1987.

17 Jenkins, J.T., Savage, S.B. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic, spherical particles. Journal of Fluid Mechanics, 130, p , Johnson, G., Massoudi, M., e Rajagopal, K.R. A Review of Interaction Mechanisms in Fluid-Solid Flows. DOE/PETC/TR-90/9, NTIS/DE National Technical Information Service, Springfield, VA, Johnson, P.C.; Jackson, R. Frictional-collisional constitutive relations for granular materials, with applications to plane shearing. Journal of Fluid Mechanics, 176, p , Louge, M.Y., Mastorakos, E., e Jenkins, J.T. The Role of Particle Collisions in Pneumatic Transport. Journal of Fluid Mechanics, 231, p , Lun, C.K.K., Savage, S.B., Jeffrey, D.J., e Chepurniy, N. Kinetic Theories for Granular Flow: Inelastic Particles in Couette Flow and Slightly Inelastic Particles in a General Flow Field. Journal of Fluid Mechanics, 140, p , Mineto, Andreza T. Simulação numérica de escoamentos gás-sólido em leito fluidizado borbulhante utilizando a teoria cinética dos escoamentos granulares. Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, 88 p., Ogawa, S., Umemura, A., e Oshima, N. On the Equations of Fully Fluidized Granular Materials. ZAMP, 31, p , Pitman, B., e Schaeffer, D. Stability of Time Dependent Compressible Granular Flow in Two Dimensions. Comm. Pure Appl. Math., 40, p , Pritchett, J.W., Blake, T.R., e Garg, S.K. A Numerical Model of Gas Fluidized Beds. AIChE Symp. Series No. 176:74, p , Richardson, J.F., e Zaki, W.N. Sedimentation and Fluidization: Part I. Trans. Inst. Chem. Eng., 32, p , Savage, S.B. The Mechanics of Rapid Granular Flows. In.: Advances in Applied Mechanics. Academic Press Inc., New York, 24, p , Savage, S.B., e Jeffrey, D.J. The Stress Tensor in a Granular Flow at High Shear Rates. Journal of Fluid Mechanics, 110, p , Schaeffer, D.G. Instability in the Evolution Equations Describing Incompressible Granular Flow. J. Diff. Eq., 66, p , Shen, H.H., e Ackerman, N.L. Constitutive Relationships for Fluid-Solid Mixtures. J. Eng. Mech. Div., Proc. of ASCE, 108, p , Sinclair, J.L., e Jackson, R. Gas-Particle Flow in a Vertical Pipe with Particle-Particle Interactions. AIChE J., 35, p , Syamlal, M. A Review of Granular Stress Constitutive Relations. Topical Report, DOE/MC/ , NTIS/DE National Technical Information Service, Springfield, VA, 1987c.

18 Syamlal, M., Rogers, W., O'Brien, T.J. MFIX documentation: theory guide. Thecnical Note DOE/METC-94/1004, DE , U.S. Department of Energy, Morgantown, West Virginia, Tuzun, U., Houlsby, G.T., Nedderman, R.M., e Savage, S.B. The Flow of Granular Materials-II, Velocity Distributions in Slow Flow. Chem. Eng. Sci., 37, p , Wen, Y.C., Yu, Y.H. Mechanics of fluidization. Chem. Eng. Prog. Symp. Ser. 62, p , 1966.