MODELO BASEADO EM INDIVÍDUOS PARA ESTUDO DE PROPAGAÇÃO DE VÍRUS DE COMPUTADOR EM METAPOPULAÇÕES COM CARACTERÍSTICAS

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1 MODELO BASEADO EM NDVÍDUOS PARA ESTUDO DE PROPAGAÇÃO DE VÍRUS DE COMPUTADOR EM METAPOPULAÇÕES COM CARACTERÍSTCAS HETEROGÊNEAS João Paulo Vieira, Márcio Júnior Lacerda, Samir Angelo Milani Martins, Erivelton Geraldo Nepomuceno Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de São João del-rei, Praça Frei Orlando - Centro, - São João del-rei, Minas Gerais, Brasil Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas UNCAMP, -, Campinas, SP, Brasil. s: jpvieira@yahoo.com.br, marciojlacerda@yahoo.com.br, milani.martins@gmail.com, nepomuceno@ufsj.edu.br Abstract This paper presents a new approach to mathematical modeling of virus propagation in a computer network. n this sense, the ndividual Based Model - BM is used. The BM is composed by four compartiments: Suscetible (S), Antidote (A), nfected() and Removed (R). t s showed an equivalence of the model purposed with the differential equation model SAR. Furthermore, it is implemented an approach where it is considered a population divided into n distincts group. Each group is located in a different virtual space, with specific features. This approach is not possible in the continuous model SAR and is the main focus of this work. n the purposed model is also applied a control action by mean of isolation of the individuals in each metapopulation. This control is efficient to the virus propagation control. To conclude, is important ressalt that consider the population heterogeneous become the model more real and allow the application of distribuited control actions, based on the metapopulation characteristics. Keywords ndividual based model, computer virus, computers networks, SAR model. Resumo Este artigo apresenta um novo modelo para representar a dinâmica da propagação de vírus em redes de computadores. O Modelo Baseado em ndivíduos (MB) foi utilizado. O MB apresentado neste artigo é composto por quatro compartimentos: Suscetíveis (S), (A), () e Removidos (R). É mostrada a equivalência do modelo proposto com o modelo a equações diferenciais SAR. Além disso é implementada uma abordagem que considera a população dividida em n grupos, cada grupo está localizado em um espaço virtual diferente, com características específicas. Esta abordagem não é possível no modelo SAR, sendo o principal foco deste trabalho. No modelo proposto também é aplicada uma ação de controle por meio de isolamento de indivíduos de cada metapopulação, sendo a mesma eficiente para o controle da propagação de vírus em uma rede de computadores. Por fim, ressalta-se a importância de considerar a população heterogênea, o que torna o modelo mais realístico e permite a aplicação de ações de controle distribuído, de acordo com as características da metapopulação. Palavras-chave SAR. Modelo baseado em indivíduos, vírus de computador, redes de computadores, modelo ntrodução Um vírus de computador é definido como um software mal-intencionado capaz de danificar, alterar o correto funcionamento do computador ou obter informações de maneira ilegal (Cheng e Hong, ; Balthrop et al., ; Lloyd e May, ) explorando alguma vulnerabilidade em segmentos ou aplicações auxiliares do sistema operacional. Hoje com a existência de redes tecnológicas que possibilitam o acesso à internet em nível global e a existência de inúmeras redes sociais, os mecanismos de propagação dos vírus tornaram-se cada vez mais complexos. O grande número e a complexidade dos códigos dos vírus fazem que sua detecção e remoção por programas antivírus seja cada vez mais problemática (Tippett, ). O estudo da forma como estas epidemias se propagam é importante devido a necessidade de estabelecer estratégias que aumentem a segurança dos computadores e redes (Cheng e Hong, ; Piqueira et al., ). A propagação de vírus em redes de computadores pode ser estudada de forma análoga às epidemias ocorridas em uma população de seres humanos, uma vez que ambos sistemas são compostos por indivíduos (computadores e seres humanos, respectivamente) e interações entre estes indivíduos, compondo então um sistema complexo (Alvarenga et al., ). Dentre os modelos matemáticos desenvolvidos para representação da propagação de epidemias, os modelos compartimentais tem sido largamente utilizados. No âmbito de sistemas informatizados, temse o modelo compartimental SAR (Suscetível - Antídoto - nfectado - Removido), proposto por Piqueira et al. (), que representa a dinâmica da propagação de vírus em redes de computadores considerando-se indivíduos com características homogêneas. Essa premissa de homogeneidade, entretanto, não é observada em vários tipos de populações (Coutinho et al., ). Uma

2 abordagem para lidar com a questão de populações heterogêneas, estudada em ecologia, os chamados Modelos Baseados em ndivíduos, MB (ou BM, do inglês ndividual Based Model) (Grimm et al., ; Keeling e Grenfell, ; Grimm, ; Nepomuceno et al., ) estão em crescente estudo. Nestes modelos segundo Grimm et al. (), cada indivíduo é tratado como uma entidade única e discreta que possui idade e ao menos mais uma propriedade que muda ao longo do ciclo da vida, tal como peso, posição social, entre outras. Alvarenga et al. () propuseram uma abordagem baseada em indivíduos, ou seja, uma representação do modelo SAR para o MB, considerando cada indivíduo como uma entidade única e discreta no tempo. Neste trabalho, apenas uma população foi considerada. Esse é um outro problema, pois as populações são normalmente subdivididas. Dada a coexistência de redes tecnológicas e sociais (Cheng e Hong, ) a complexidade dos mecanismos de interação entre os indivíduos presentes torna-se grande. O estudo de técnicas que possibilitem a incorporação de características sociais e tecnológicas nos modelos se torna evidente. A divisão por grupos é uma forma de incorporar as características sociais. Esses grupos, tornam a população uma metapopulação (Alonso e McKane, ; Fulford et al., ; Keeling e Gilligan, ). Características heterogêneas e metapopulação são os principais problemas investigados nesse artigo relativos a propagação de vírus de computador. O restante do artigo está organizado da seguinte forma. Na seção são abordados os conceitos preliminares. A seção apresenta a metodologia utilizada para a obtenção dos resultados. A análise e discussão dos resultados são tratados pela seção. Na seção temos a conclusão e são apresentadas propostas para futuras pesquisas. Conceitos Preliminares Nesta seção são apresentados os conceitos fundamentais do modelo SAR e do MB:. Descrição do SAR O modelo SAR é uma modificação do modelo epidemiológico SR (Suscetível - nfectado Recuperado) (Kermack e McKendrick, ), com a inclusão de um novo compartimento: o Antídoto, representando os computadores da rede que estão protegidos por um programa Antivírus. O compartimento R do modelo SR foi modificado para Removido, no caso do SAR. No modelo SAR, os quatro compartimentos considerados são: Suscetíveis: Computadores que não estão infectados, mas podem sofrer infecção; : Computadores que estão infectados e podem transmitir para outros indivíduos; Removidos: Computadores removidos da rede devido infecção por vírus; : Computadores com antivírus que fornecem uma capacidade efetiva de proteção aos vírus existentes; A Equação () mostra o sistema de equações diferenciais não-lineares que compõem o modelo de propagação de vírus de computadores SAR: ds dt d dt dr dt da dt = N αsa β S S µs + σ S + σ RS R = β S + β A A σ S δ µ = δ σ RS R µr () = αsa µa β A A, em que N representa a taxa de inclusão de novos computadores na rede; δ representa a taxa com que computadores infectados são retirados da rede; µ é a taxa de computadores inutilizados devido a infecção por vírus; β S é a taxa de infecção de computadores susceptíveis; β A é a taxa de infecção de computadores com antivírus devido a novos vírus; σ RS é a taxa com que computadores removidos são recuperados por intervenção humana e tornam-se susceptíveis; σ S é a taxa com que computadores são recuperados e tornamse susceptíveis; α é a taxa com que computadores susceptíveis tornam-se antídotos devido a instalação de anti-vírus. Neste trabalho, será desconsiderada a inserção de novos computadores na rede durante o processo de propagação (N = ) e a inutilização pela infecção (µ = ), uma vez que estes processos são de uma constante de tempo extremamente elevada, em relação ao tempo de propagação de um vírus de computador (Piqueira et al., ).. Modelo Baseado em ndivíduos Nepomuceno e colaboradores (Nepomuceno et al., ) expressaram o modelo compartimental SR utilizando o Modelo Baseado em ndivíduos - MB, no qual um indivíduo é representado por: m,t = [C C C n ], () em que m é o tamanho da população, t é o instante em que o indivíduo apresenta um conjunto específico de características e C n é uma característica do indivíduo. A primeira característica é o seu estado do ponto de vista epidemiológico, ou seja, suscetível, infectado, recuperado. Outras características podem ser a idade, o tempo

3 de duração da infecção, o sexo, a localização espacial ou quaisquer outras características do indivíduo consideradas relevantes. Mais detalhes acerca das características podem ser encontrados em (Nepomuceno et al., ). Por sua vez, uma população de indivíduos é representada por: P t = [,t,t,t m,t ] T, () em que m,t é um indivíduo no instante t e P é uma matriz m n. Para a condução adequada do MB, é necessário adotar algumas premissas listadas a seguir:. População constante. Neste trabalho, optouse por utilizar a população constante, uma vez que o período de propagação de um vírus é extremamente rápido em comparação a inserção de novos computadores na rede.. Características do indivíduo. Um indivíduo é caracterizado por um conjunto de n características.. Categorias de indivíduos. Existem quatro categorias para um indivíduo: (suscetível), (infectado) e (removido) e (antídoto).. Mudança de categoria. Uma vez em uma categoria, o indivíduo pode mudar para uma outra categoria em cada instante de tempo, de acordo com os parâmetros e distribuições estocásticas.. Processo de infecção. Adotou-se que cada contato entre um indivíduo suscetível e um infectado pode provocar um novo indivíduo infectado seguindo uma distribuição uniforme. sso significa dizer que β% dos contatos tornarão os indivíduos suscetíveis em infectados. A adoção dessa premissa baseiase no princípio da homogeneidade da população (Hethcote, ). O processo de transição dos indivíduos, de suscetível para infectado, é estocástico ao invés de determinístico, o que acredita-se ser mais adequado para o estudo da propagação de vírus de computador e doenças infecciosas. Metodologia Dividiu-se a população em n grupos, sendo estes grupos compostos por indivíduos que possuem interesses em comum. Esta divisão pode ser feita de diversas maneiras, de acordo com as características do indivíduo presentes no MB. A escolha de quais individuos pertencem a quais grupos depende do vírus em estudo e é uma escolha subjetiva, sendo que a mesma não é o objetivo de estudo deste artigo. Dentro de uma população, tem-se n grupos, a seguir descritos: G t = [,t,t,t m,t] T G t = [,t,t,t m,t] T. G n t = [ n,t n,t n,t n m,t] T () A taxa de infecção, fator de suma importância na transmissão de uma epidemia, pode ser distinta entre os grupos, uma vez que a interação intergrupos se dá de maneira distintas. Além da taxa de infecção, outros parâmetros podem ser distintos, por se tratar de uma população heterogênea. Dessa forma, é clara a importância da divisão por grupos na propagação de virus de computadores, bem como em epidemias, em geral. No presente trabalho, a interação entre grupos distintos é dada pelo parâmetro χ yz (taxa de interação entre dois grupos distintos). Vale ressaltar que todos os grupos interagem entre si. Adotouse uma população de computadores, divididos em dois grupos de computadores cada. Como taxa de infecção intra-grupos, adotou-se β =. para o grupo e β =. para o grupo. Para todas as simulações, tanto para o SAR, como para o MB, foram utilizados os parâmetros adotados em (Piqueira et al., ), sendo que para o SAR adotou-se a taxa de infecção como β =,. N = - taxa de inclusão de novos computadores na rede; δ =, - taxa com que computadores infectados são removidos da rede; µ = - taxa de inutilização de computadores não causada por vírus; β A =, - taxa de infecção de computadores com antivírus devido a novos vírus; σ RS =, - taxa com que computadores removidos são recuperados por intervenção humana e tornam-se susceptíveis; σ S =, - taxa com que computadores são recuperados e tornan-se susceptíveis; α =, - taxa com que computadores susceptíveis tornan-se antídotos devido a instalação de anti-vírus χ =, - taxa de infecção inter-grupos. Na Figura é apresentado um diagrama em blocos que descreve a metodologia apresentada no modelo contínuo SAR. Estas mesmas regras foram utilizadas para a construçao do Modelo Baseado em ndivíduos que tem como compartimentos indivíduos suscetíveis, infectados, removidos e antídotos.

4 RS NTER-GRUPOS S N S S R A NDVÍDUO M GRUPO N NFECTADO? NDVÍDUO P GRUPO K A S ESTADO= Figura : Diagrama em blocos da abordagem proposta. A Nas Figuras e, é apresentada a abordagem para populações heterogêneas, principal foco deste artigo. Neste caso, cada indivíduo do grupo é tratado como uma entidade única, sendo que são consideradas a interação entre indivíduos do mesmo grupo (ver Figura ) e a interação entre indivíduos de grupos distintos (ver Figura ). A interação entre grupos distintos é quantificada pelo parâmetro χ, formando a heterogeneidade da população como um todo. FM ESTADO= R m = m + A ESTADO= POPULAÇÃO NCAL GRUPO + GRUPO t = t + Δt m = t >t f POPULAÇÃO NDVÍDUO(m) S FM NTER-GRUPOS ESTADO= m = m + Figura : Diagrama em blocos da interação intergrupos Como grupos heterogêneos, no caso da propagação virtual de vírus de computadores, podese ter, por exemplos, indivíduos adolescentes formando um grupo, adultos formando outro, ao passo que idosos podem formar um terceiro grupo. A quantidade de grupos presentes é um objeto que depende do sistema e do vírus a ser modelado, e não é alvo deste trabalho. Como foco, tem-se a modelagem de vírus de computadores, utilizando o MB, sendo considerada heterogênea a população. A Resultados e Discussão S ESTADO= R R S ESTADO= A seguir apresentam-se os resultados obtidos pela simulação do MB, considerando-se a população heterogênea. Para todos os casos do MB, considerou-se a população dividida em grupos, e além disso como o MB é uma abordagem estocástica, realizou-se um total de simulações para cada caso. Os resultados apresentados consideram a média e o desvio padrão das simulações realizadas. ESTADO= ESTADO= Figura : Diagrama em blocos da interação intragrupos Exemplo Seja o grupo, com taxa de infecção β =. e as seguintes condições iniciais: S =, A =, = e R =. Seja o grupo, com taxa de infecção

5 β = e as seguintes condições iniciais:s =, A =, = e R =. As Figuras e apresentam o comportamento dos grupos, considerando-se χ =,. foi realizada, considerando-se χ =, o que é equivalente a isolar os indivíduos do grupo. O comportamento dos grupos sob esta ação de controle, é apresentada nas Figuras e. Removidos Removidos Figura : Taxa de infecção intergrupos χ =,, comportamento dinâmico do grupo. Figura : Taxa de infecção intergrupos χ =, comportamento dinâmico do grupo. Removidos tempo tempo Removidos tempo Figura : Taxa de infecção intergrupos χ =,, comportamento dinâmico do grupo. Percebe-se neste caso que o contato entre os dois grupos, fez com que os individuos do grupo se tornassem infectados, mesmo que a taxa de infecção entre os integrantes seja igual a zero. Esse fato mostra que mesmo indivíduos que participam de redes seguras, estão sujeitos a interferências de outros grupos. O decaimento do número de antídotos quando χ =,, como mostrado nas Figuras e, se deve ao contato entre grupos distintos, já que um antídoto pertencente a determinado grupo, não está imune a vírus de outros grupos. Com as mesmas condiçõs iniciais, a simulação. Figura : Taxa de infecção intergrupos χ =, comportamento dinâmico do grupo. Fica claro, que uma ação simples como o isolamento produz um resultado satisfatório, na medida em que os indivíduos do grupo deixaram de ser infectados, e além disso os indivíduos infectados do grupo diminuiram consideravelmente em relação ao caso anterior. Exemplo Na Figura, tem-se a modelagem contínua no tempo, considerando populações homogêneas, apresentada em (Piqueira et al., ), neste caso foram adotados os mesmos parâmetros do MB..

6 Recuperados. de uma rede de computadores, uma vez que informações como número de infectados ou de conteúdos maliciosos provindos de determinados domínios podem estar disponíveis. A ação de controle proposta baseia-se no seguinte algoritmo: início t se (t) < %N ou A(t) > %N Comunicação liberada senão Bloqueia Comunicação fim t t + fim Figura : Modelo SAR com os mesmos parâmetros do MB. As Figuras e apresentam a mesma dinâmica do modelo contínuo SAR, ou seja, quando não existe interação entre os grupos, a dinâmica de cada grupo, tende à dinâmica do modelo contínuo (Piqueira et al., ). As Figuras e, apresentam uma dinâmica distinta do modelo contínuo, justamente pela consideração de χ. Exemplo Na Figura tem-se os valores para os quais convergem o número de antídotos em função da variação da taxa de infecção intergrupos χ. Removidos Figura : Atuação do controle por isolamento para χ = Taxa de interação intergrupos Figura : Convergência do número de antídotos em função do parâmetro χ. Como a taxa de infeção χ torna-se um parâmetro de controle da propagação, ações de controle simples que atuem de forma indireta sobre esse parâmetro podem ser elaboradas de modo que se limite os danos provocados pelos vírus. Leis de controle baseadas na limitação de contato entre grupos, condicionadas por informações como número de infectados e de antídotos em cada grupo refletem condições reais de operação Sendo que há um compromisso mútuo entre a confiabilidade dada pela atuação do controle e os custos relativo às limitações de comunicação entre as redes. Na Figura tem-se a atuação do controle para caso em que χ =.. A ação de controle limita o número de infecções médio em e o número de antídotos em. O número de interações entre os grupos foi quantificado de forma a verificar os custos da ação de controle implementada relativo às limitações de comunicação impostas, o número de interações entre os grupos feitas com sucesso foi de e o número total de bloqueios de comunicação foi de. Estratégias de controle menos agressivas, (permitindo maior número de infectados por grupo para efetuar contato) levam a um aumento do número de infectados.

7 Conclusões Foi proposta uma nova técnica para a representação da dinâmica da propagação de vírus em redes de computadores, que permite que os indivíduos sejam classificados em grupos de usuários, de modo a facilitar o controle da propagação de um vírus. Observa-se que o modelo proposto contém a dinâmica do modelo contínuo como um caso particular, bastando para isso fazer χ =. sso confirma a potencialidade do modelo SAR em representar a propagação de epidemias em grupos homogêneos. Quando χ observamos que a dinâmica da propagação é alterada e o modelo SAR não é capaz de simular esse tipo de comportamento, assim podemos dizer que o modelo aqui proposto é capaz de simular situações mais realísticas. O modelo apresentado pode ser utilizado para estudo da propagação de apenas um vírus, bastando para isso fazer β A =. nformações provenientes de reports de programas antivírus e servidores podem possibilitar a aplicação de técnicas de controle como a descrita. Pretende-se em trabalhos futuros, utilizar técnicas de controle distribuído, fazendo uso das informações disponíveis no modelo. Agradecimentos Ao CNPq, Capes, Fapemig, UFSJ e Unicamp pelo apoio. Referências Alonso, D. e McKane, A. (). Extinction dynamics in mainland-island metapopulations: An n-patch stochastic model, Bulletin of Mathematical Biology ():. Alvarenga, L. R., Lamperti, R. D. e Nepomuceno, E. G. (). Estudo da propagação de vírus em redes de computadores por meio do modelo baseado em indivíduos, Anais do Congresso Brasileiro de Automatica pp.. Balthrop, J., Forrest, S., Newman, M. E. J. e Williamson, M. M. (). Technological networks and the spread of computer viruses, Science ():. Cheng, J. K. e Hong, G. (). Computer virus propagation in a network organization: The interplay between social and technological networks, Technical report, Warrington College of Business Administration - University of Florida. Coutinho, F. A. B., Massad, E., Lopez, L. F., Burattini, M. N., Struchiner, C. J. e Azevedo- Neto, R. S. (). Modelling heterogeneities in individual frailties in epidemic models, Mathematical and Computer Modelling ( ):. Fulford, G. R., Roberts, M. G. e Heesterbeek, J. A. P. (). The metapopulation dynamics of an infectious disease: tuberculosis in possums, Theoretical Population Biology :. Grimm, V. (). Ten years of individual-based modelling in ecology: what have we learned and what could we learn in the future?, Ecological Modelling (-):. Grimm, V., Berger, U., Bastiansen, F., Eliassen, S., Ginot, V., Giske, J., Goss-Custard, J., Grand, T., Heinz, S. K., Huse, G., Huth, A., Jepsen, J. U., Jørgensen, C., Mooij, W. M., Müller, B., Pe er, G., Piou, C., Railsback, S. F., Robbins, A. M., Robbins, M. M., Rossmanith, E., Rüger, N., Strand, E., Souissi, S., Stillman, R. A., Vabø, R., Visser, U. e DeAngelis, D. L. (). A standard protocol for describing individual-based and agent-based models, Ecological Modelling :. Hethcote, H. W. (). The mathematics of infectious diseases, SAM Review ():. Keeling, M. e Grenfell, B. (). ndividualbased perspectives on R-, Journal of Theoretical Biology ():. Keeling, M. J. e Gilligan, C. A. (). Metapopulation dynamics of bubonic plague, Nature ():. Kermack, W. e McKendrick, A. (). A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences A:. Lloyd, A. L. e May, R. M. (). Epidemiology - how viruses spread among computers and people, Science ():. Nepomuceno, E. G., Aguirre, L. A., Takahashi, R. H. C., Lamperti, R. D., Alvarenga, L. R. e Kurcbart, S. M. (). Modelagem de sistemas epidemiológicos por meio de modelos baseados em indivíduos, Anais do XV Congresso Brasileiro de Automática, Salvador BA Brasil, pp.. Piqueira, J. R. C., Navarro, B. F. e Monteiro, L. H. A. (). Epidemiological models applied to viruses in computer networks, Journal of Computer Science ():.

8 Tippett, P. S. (). The kinetics of computer viruses replication: A theory and preliminary survey, Safe Computing: Proceedings of the Fourth Annual Computer Virus and Security Conference.