Pode a matemática descrever uma epidemia?

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1 Pode a matemática descrever uma epidemia? César M. Silva csilva@ubi.pt Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior Portugal MPT2013, 14 de Dezembro de 2013 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 1 / 30

2 Porque é que é importante descrever uma epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 2 / 30

3 Porque é que é importante descrever uma epidemia? Porque a modelação matemática de uma epidemia pode: a) fornecer a compreenção dos mecanismos subjacentes à evolução da epidemia b) sugerir mecanismos de controlo da epidemia! César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 2 / 30

4 Grande praga de Londres (1665) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 3 / 30

6 Grande praga de Londres (1665) Grande praga de peste bubónica (1665) & médico da praga César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 3 / 30

8 Grande praga de Londres (1665) Peste bubónica (1665) - registos de mortalidade César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 4 / 30

10 Grande praga de Londres (1665) Grande praga Londres (1665) & pragas de Londres no sec. XVII César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 5 / 30

11 Modelo SIR simples César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

13 Modelo SIR simples Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados? César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

14 Modelo SIR simples β Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados? taxa média de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia βn número médio de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia S N probabilidade de que o contacto entre um infectado e outro individuo da população seja com um susceptível César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

15 Modelo SIR simples β Como modelar o contacto entre susceptíveis e infectados? taxa média de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia βn número médio de membros da população com que um individuo contacta o suficiente para transmitir a infecção por dia S N probabilidade de que o contacto entre um infectado e outro individuo da população seja com um susceptível βn S N I = βsi César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 6 / 30

17 Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

18 Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

19 Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção I = 0 (βs γ)i = 0 S = γ/β I = 0 βs γ = 1 I = 0 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

20 Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção I = 0 (βs γ)i = 0 S = γ/β I = 0 βs γ = 1 I = 0 R 0 = βs(0) γ César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

21 Modelo SIR simples S = βsi I = βsi γi R = γi γ - taxa de recuperação (per capita) por dia 1/γ - tamanho médio do periodo de infecção I = 0 (βs γ)i = 0 S = γ/β I = 0 βs γ = 1 I = 0 R 0 = βs(0) γ R 0 corresponde ao número médio de infecções secundárias causadas por um único individuo infectado introduzido numa população de tamanho S(0) constituida apenas por susceptíveis César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 7 / 30

23 Modelo SIR simples S R 0.6 R I 0.2 I S R 0 < 1 R 0 > 1 César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 8 / 30

25 Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

26 Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

27 Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

28 Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S [ ln S 0 ln S = R 0 1 S ] K César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

29 Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S 0 + K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S [ ln S 0 ln S = R 0 1 S ] K S > 0 (lado direito finito lado esquerdo finito) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

30 Modelo SIR simples I + S γ β ln S = c Para uma população de tamanho K fazendo I 0 0 e S 0 K temos 0 + K γ β ln K = 0 + S γ β ln S S > K 1 K R 0 ln K = 0 + S 1 K R 0 ln S [ ln S 0 ln S = R 0 1 S ] K (lado direito finito lado esquerdo finito) S 0, S podem ser estimados experimentalmente (medições sobre as respostas imunulógicas em amostras de sangue antes e depois de uma epidemia) César M. Silva (UBI) Pode a matemática... 9 / 30

31 Grande praga de Londres (1665) César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

37 Malária César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

38 Malária S h = µ h + βr s I hs σi m S h µ h S h E h = σi ms h ηγe h (1 η)γe h µ h E h I hs = ηγe h + ησi m I ha βr S I hs (1 β)r S I hs µ h I hs I ha = (1 η)γe h + (1 β)r S I hs ησi m I ha ρi ha µ h I ha S m = µ m + λ m S m µ m S m E m = Λ ms m ψλ m (t τ)s m (t τ) µe m I m = ψλ m (t τ)s m (t τ)µ m I m César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

40 Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

41 Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

42 Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros locais (por exemplo Londres) César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

43 Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros locais (por exemplo Londres) Além disso a quarentena fez muito pouco para evitar a propagação da peste uma vez que ratos e pulgas continuaram a viajar livremente... César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

44 Grande praga de Londres (1665) De volta a Eyam... As autoridades da aldeia persuadiram os aldeãos a permanecer em quarentena Esta opção aumentou o contágio ao manter pulgas e ratos infectados em contacto directo com as pessoas Em consequência a mortalidade foi muito maior em Eyam do que noutros locais (por exemplo Londres) Além disso a quarentena fez muito pouco para evitar a propagação da peste uma vez que ratos e pulgas continuaram a viajar livremente... Não é muito prudente tomar decisões com base em maus modelos!!! César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

53 Epidemia de sarampo NY 1962 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

54 Epidemia de sarampo NY 1962 Epidemia de Sarampo - NY, 1962 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

55 Epidemia de sarampo NY 1962 Epidemia de Sarampo - NY, 1962 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

58 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = 1, S(0) = César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

59 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = 1, S(0) = Aspecto da curva epidemica é muito diferente da curva real! César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

62 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = , S(0) = César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

63 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação - I(0) = , S(0) = A curva epidemica assemelha-se muito mais! César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

65 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR simples vs dados reais César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

66 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR simples vs dados reais O modelo SIR simples não explica as oscilações! César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

67 Modelo SIR com demografia César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

68 Modelo SIR com demografia César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

69 Modelo SIR com demografia S = ν βsi µs I = βsi γi µi R = γi µr César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

70 Modelo SIR com demografia S = ν βsi µs I = βsi γi µi R = γi µr ν taxa de natalidade (per capita) por dia µ taxa de mortalidade (per capita) por dia César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

72 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR com demografia César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

73 Epidemia de sarampo NY 1962 Simulação SIR com demografia Surgem oscilações mas... atenuam-se com o tempo... César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

75 Epidemia de sarampo NY 1962 S = ν β 0 (1 + α cos(2πt))si µs I = β 0 (1 + α cos(2πt))si γi µi R = γi µr SIR com sazonalidade César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

76 Epidemia de sarampo NY 1962 S = ν β 0 (1 + α cos(2πt))si µs I = β 0 (1 + α cos(2πt))si γi µi R = γi µr SIR com sazonalidade Oscilações semelhantes às da situação real! César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

77 Casos de sarampo nos Estados Unidos César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

78 Casos de sarampo nos Estados Unidos A vacina para o sarampo foi licenciada em César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

79 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

80 Modelos de metapopulação β 1, β 2 incidência γ 1, γ 2 recuperação n 1, n 2 migração I m 1, m 2 migração S d 1, d 2 mortalidade ε 1, ε 2 mort. doença César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

81 Modelos de metapopulação β 1, β 2 incidência γ 1, γ 2 recuperação n 1, n 2 migração I m 1, m 2 migração S d 1, d 2 mortalidade ε 1, ε 2 mort. doença I S 1 = β 1I 1 1 N 1 + n 12 I 2 (n 21 + d 1 + ε 1 + γ 1 )I 1 I 2 = β 2 S2I2 N 2 + n 21 I 1 (n 12 + d 2 + ε 2 + γ 2 )I 2 S 1 = A S 1 β 1I 1 1 N (d 1 + m 21 )S 1 γ 1 I 1 + m 12 S 2 S 2 = A S 2 β 2I 2 2 N (d 2 + m 12 )S 2 γ 2 I 2 + m 21 S 1 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

82 Modelos de metapopulação R 0 = β 1 (a 2 + n 12 ) + β 2 (a 1 + n 21 ) + [β 1 (a 2 + n 12 ) β 2 (a 1 + n 21 )] 2 + 4β 1 β 2 n 12 n 21 2(a 1 a 2 + a 1 n 12 + a 2 n 21 ) a 1 = d 1 + ε 1 + γ 1 a 2 = d 2 + ε 2 + γ 2 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

83 Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, , γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

84 Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, , γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

85 Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, , γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

86 Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, , γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext End End César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

87 Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, , γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext End End César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

88 Modelos de metapopulação A 1 = 20, A 2 = 15, d 1 = d 2 = 0, , γ 1 = γ 2 = 0.04, ε 1 = 0, 06, ε 2 = 0, 09 β 1 = 0, 22, β 2 = 0, 1 I 1 (0) = 10, I 2 (0) = 15, S 1 (0) = 1990, S 2 (0) = 1485 End Ext End End Ext Ext César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

89 Outros temas... César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

93 Pode a matemática descrever uma epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

94 Pode a matemática descrever uma epidemia? Pode a matemática ajudar-nos a compreender os mecanismos presentes numa epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

95 Pode a matemática descrever uma epidemia? Pode a matemática ajudar-nos a compreender os mecanismos presentes numa epidemia? Pode a matemática ajudar-nos a prevenir ou minimizar os efeitos de uma epidemia? César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

96 Bibliografia [1] Thieme, Mathematics in Population Biology, Princeton University Press, Princeton 2003 [2] Brauer, den Driessche and Wu (Eds.), Mathematical Epidemiology, Lecture Notes in Mathematics, 2008 [3] Salmani and den Driessche, A model for disease transmission in a patchy environment, Disc. and Cont. Dynamical System 6 (2006), [4] Mandal, Sinha and Sarkar, A Realistic Host-Vector Transmission Model for Describing Malaria Prevalence Pattern, Bull Math Biol 75 (2013), [5] Lahodny Jr.and Allen, Probability of a Disease Outbreak in Stochastic Multipatch Epidemic Models, Bull. Math. Biol. 75 (2013), [6] O Regan, Kelly, Korobeinikov, O Callaghan, Pokrovskii and Rachinskii, Chaos in a seasonally perturbed SIR model: avian influenza in a seabird colony as a paradigm, J. Math. Biol. 67 (2013), [7] Chattarjee, Ghosh and Chattopadhyay, Controlling disease in migratory bird population: a probable solution through mathematical study, Disc. and Cont. Dynamical System 21 (2006), César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30

97 Muito obrigado pela vossa atenção! César M. Silva (UBI) Pode a matemática / 30