Estrutura a termo baseada em títulos com pagamentos intermediários ARTIGO TÉCNICO

Transcrição

1 artigo técnico ARTIGO TÉCNICO Estrutura a termo baseada em títulos com pagamentos intermediários Gyorgy Varga A estrutura a termo das taxas de juro (ET) apresenta as taxas conhecidas como spot ou zero coupon, que não carregam risco de reinvestimento. Neste artigo, mostra-se como obter tais taxas com base em títulos com pagamentos intermediários e como a utilização da Taxa Interna de Retorno (TIR) versus duration leva ao cálculo incorreto de preços de títulos e às possibilidades de arbitragem. 65

2 A estrutura a termo das taxas de juro (ET) é o conjunto de taxa de juro e o respectivo prazo até o vencimento, sem risco de reinvestimento, para títulos de mesma qualidade de crédito, disponíveis em uma mesma data e para uma mesma moeda. Em verdade, não se negocia taxa de juro e, sim, títulos de renda fixa e derivativos. As taxas de juro são medidas usadas para acompanhar e modelar o mercado financeiro. Com base em títulos e derivativos, são obtidas as taxas. No caso da ET, o que se apresenta são as taxas conhecidas como spot ou cupom zero que não carregam risco de reinvestimento. Estas representam o custo do dinheiro para cada prazo e não podem ser extraídas diretamente de títulos que pagam juros ou amortizações antes do vencimento. As taxas embutidas nesses títulos, chamadas de taxa interna de retorno (TIR), não são as taxas válidas para o prazo destes, a menos que se pudesse garantir o reinvestimento dos cupons e das amortizações recebido pela própria TIR. Obviamente, as taxas embutidas nos títulos que não têm cupom ou amortização antes de seu vencimento não carregam esse risco e podem ser usadas diretamente na construção da ET. Será visto mais adiante que a relação da TIR com a taxa spot (que constitui a ET) pode ficar totalmente distorcida, dependendo da estrutura do fluxo de caixa dos títulos. A qualidade de crédito dos títulos utilizados para construir a ET deve ser a mesma porque, para um mesmo prazo, se as taxas forem extraídas de títulos com risco de crédito diferentes, estas certamente serão diferentes por conta do prêmio que o mercado cobra para assumir esse risco. Por fim, no caso brasileiro, a maior parte dos títulos em mercado é indexada a uma moeda estrangeira, como o dólar, ou a um índice de inflação (IGP-M) ou a uma taxa de mercado (Selic) e paga juros (cupom) sobre o valor corrigido pelo indexador. O valor de qualquer pagamento gerado por esses títulos pode ser convertido, em qualquer data, para a moeda brasileira (real) de acordo com o valor do indexador. Por exemplo, um título indexado à moeda estrangeira (dólar) paga cupom sobre o valor nominal (valor de emissão em reais) corrigido pela variação do dólar. O cupom pago periodicamente funciona como um juro em dólar. O retorno total desse título pode ser medido em reais ou em dólares: no primeiro caso, basta calcular os valores finais e iniciais em reais e verificar o retorno; no segundo caso, basta calcular tudo em dólares. Se o título for comprado com desconto, o retorno em dólar deve ficar superior ao que foi gerado pelo pagamento de cupom. Esse retorno em dólar é a TIR do título na moeda dólar. O retorno em moeda estrangeira não depende da taxa de câmbio, apenas do cupom e da cotação do título. O retorno representa o aumento na quantidade de moeda estrangeira que esse título proporciona apesar de ser denominado na moeda local (real). No caso dos outros indexadores, pode-se proceder da mesma maneira e tratar qualquer indexador como se fosse uma moeda estrangeira. Daí haver os retornos em IGP-M, Selic etc. O mercado, por conta da oferta e da demanda, decidirá a cada instante qual o retorno em cada moeda, e não se pode misturar, na mesma ET, moedas diferentes. Para acompanhar e modelar o mercado de renda fixa, deve-se buscar a ET de cada moeda, pois essa ferramenta é fundamental em qualquer trabalho relativo a mercado financeiro marcação a mercado, cálculo de risco, desenho de produtos, avaliação de decisões de política monetária, criação de modelos matemáticos. A ET é o passo inicial para qualquer negócio de renda fixa e derivativos. Construção da ET O primeiro passo na construção da ET consiste em separar os títulos de mesma qualidade de crédito e referidos na mesma moeda. Em seguida, deve-se extrair a taxa de juro de cada um desses títulos em algum formato padrão. No Brasil, os formatos de taxas mais utilizados no mercado financeiro são a taxa composta com base No Brasil, desde o final da década de 1990, convencionou-se chamar o retorno em qualquer moeda (indexador) como cupom. Tal convenção gera confusão, pois, conforme o dicionário Aurélio, cupom se refere ao pagamento periódico de juros e não ao retorno do título ou à taxa de juro paga. Neste trabalho, será seguido o dicionário e o juro periódico pago será chamado de cupom; e o retorno em qualquer moeda será chamado simplesmente de retorno. 66

3 em 252 dias úteis no ano (títulos prefixados), a taxa composta com 360 dias corridos no ano (títulos em IGP-M) e a taxa composta com capitalização semestral e 360 dias corridos no ano (títulos cambiais). Entre os instrumentos disponíveis no mercado, o mais adequado para se construir a ET é o cupom zero, porque não tem risco de reinvestimento; e a taxa calculada fornece, sem nenhum tratamento adicional, a taxa que vai compor a ET. Exemplo 1 Seja um mercado com três títulos prefixados de valor final igual a $100,00. Os preços e as respectivas taxas anuais estão na tabela a seguir: Prazo (meses) Preço Taxa (%) a.a. 1 98, , , , , ,00 Se existirem apenas esses três títulos, a ET fica definida pela primeira e pela última coluna. Graficamente, tem-se o seguinte desenho: Figura 1 Desenho da ET Taxa spot (% a.a.) Prazo (mês) Uma dificuldade prática importante é a de determinar as taxas para períodos intermediários, em que não há títulos disponíveis. Esse problema é resolvido pela interpolação das taxas, e diversos métodos estão disponíveis (Anderson et al.,1996). No Brasil, é fácil construir uma ET prefixada com, por exemplo, as LTNs, que são títulos sem pagamentos intermediários, portanto instrumentos do tipo cupom zero. Outros bons candidatos para compor a ET são os swaps pré versus DI e o contrato futuro de DI, que, conforme foi demonstrado em Varga (2004), representam também taxas spot. Exemplo 2 Em 18 de dezembro de 2000, tomaram-se as LTNs negociadas em mercado, calcularam-se suas taxas efetivas. Com essas taxas, têm-se, na segunda e quarta colunas da tabela, os prazos e as taxas que definem a ET. 67

4 PUs e taxas das LTNs Vencimento Prazo (dias úteis) PU Taxa (%) a.a. base 252 dias úteis 3/1/ , ,39 31/1/ , ,54 28/2/ , ,80 4/4/ , ,03 Vencimento Prazo (dias úteis) PU Taxa (%) a.a. base 252 dias úteis 2/5/ , ,19 6/6/ , ,35 4/7/ , ,47 1º/8/ , ,58 3/10/ , ,80 9/1/ , ,00 3/7/ , ,32 Fonte: Andima. Nesse exemplo, chega-se à ET para a moeda brasileira, que é a própria ET com a taxa de juro prefixada. No Brasil, como se expôs, existe uma variedade de indexadores de títulos, e a medida do retorno de cada uma dessas moedas permite construir uma ET. Esse conceito é bem evidente no caso dos títulos cambiais de onde se pode, facilmente, retirar a ET das aplicações cambiais para títulos negociados no Brasil. O exemplo a seguir ilustra essa situação. Exemplo 3 Tomam-se as NTN-Ds e NBC-Es negociadas em 7 de dezembro de 2000, com prazo máximo de seis meses, para se ter uma amostra com instrumentos tipo cupom zero. Com base nesse conjunto, calcula-se o retorno limpo em termos de taxa anual com capitalização semestral, prazo em dias corridos (conforme determina o Banco Central do Brasil) e desenha-se uma curva para taxa de retorno de aplicações em dólar, sendo esta a ET em dólar no Brasil. Figura 2 ET cambial 8,60 8,40 Taxa spot (%) 8,20 7,80 8,00 7,60 7, Prazo (dias corridos) 68

5 A ET, como foi visto nos exemplos acima, é baseada em títulos que não têm pagamentos de juros intermediários; entretanto, boa parte dos títulos disponíveis no Brasil tem pagamentos intermediários. Para poder usar tais títulos na construção da ET, deve-se aplicar alguma técnica de bootstrapping e interpolação, tal como será visto mais adiante. TIR x duration É de extrema importância a obtenção da ET para o processo de seleção de investimento, pois, como se sabe, a seleção de títulos com base na TIR não é o procedimento correto o certo é calcular e selecionar um título, por seu valor presente de acordo com a ET corrente. Se for uma aplicação financeira, compra-se (vende-se) a de valor presente menor (maior) do que o preço de mercado, pois está barato (caro). Apesar disso, um procedimento utilizado por praticantes e mesmo acadêmicos é o de construir a ET, tomando a TIR de cada título como taxa spot e a duration como prazo. Será comprovado, com alguns exemplos reproduzidos, a seguir, que tal procedimento não está correto. Seleção de investimento com base na TIR A seleção de um título com base na TIR pode proporcionar uma oportunidade de arbitragem sem risco para outros praticantes do mercado, conforme ilustra o exemplo enunciado a seguir: Exemplo 4 Seja a seguinte ET e os títulos A e B com dois e três pagamentos periódicos de juros: Prazo Taxa 15% 16% 17% Título Preço de Fluxo do título/período mercado TIR MTM A (98,00) 15,00 115,00 16,25% 98,51 Barato B (119,00) 25,00 25,00 125,00 16,47% 118,36 Caro Pelo critério da TIR, o título B é o mais atraente por oferecer maior rentabilidade; no entanto, tomando-se a ET corrente, o título A passa a ser a melhor alternativa por ser o mais barato, considerado o custo do dinheiro para cada prazo. Pode-se, inclusive, fazer uma arbitragem com a venda (a descoberto) do título B, a compra do título A, uma aplicação por três períodos (no valor corrente de R$64,27), por um período (R$4,86), e uma captação por dois períodos (R$70,16). O resultado dessa arbitragem é um lucro sem risco de R$1,03, demonstrado a seguir. Negócio Quantidade Período negociada Título A 1,00 (98,00) 15,00 115,00 Título B (0,82) 98,00 (20,59) (20,59) (102,94) Cupom zero b (0,3) 102,94 (64,27) 102,94 Cupom zero b (0,2) (94,41) 70,16 (94,41) Cupom zero b (0,1) 5,59 (4,86) 5,59 Total 1,03 0,00 0,00 (0,00) ET com base na TIR x duration Se forem utilizadas a TIR e a duração do título com cupons em substituição à taxa spot versus prazo (que constituem a ET), pode-se decidir entrar em negócios que geram uma oportunidade de arbitragem para terceiros. Para ilustrar tal problema, apresenta-se o exemplo a seguir. 69

6 Exemplo 5 Seja um mercado com quatro títulos: Fluxo de caixa Título Preço Período 1 Período 2 Período ,00 106, ,00 106, ,00 140,00 150,00 150, ,64 106,00 Com base nesses títulos, calcula-se a ET por bootstrapping (ver tópico mais à frente) e as respectivas TIR: Prazo Duração T TIR Spot 1 1,00 4,95050% 4,95050% 2 2,00 4,53629% 4,53629% 3 2,00 4,08314% 3,48771% 3 3,00 3,48771% 3,48771% Ao se tomar a TIR do título 3, que tem duração igual a dois períodos, como a taxa spot correta para dois períodos, o título 2 deveria ter um preço de R$97,84. Segundo esse critério, conclui-se que o título 2 está barato. Título Preço Quantidade Período negociada Título 1 101,00 (0,93) 94,27 (98,93) Título 2 97,85 (1,00) 97,85 (106,00) Título 3 406,00 0,71 (286,91) 98,93 106,00 106,00 Título 4 95,64 (1,00) 95,64 (106,00) Total 0,85 É fácil demonstrar que tal preço proporciona uma arbitragem sem risco, com lucro de exatamente R$0,84 a quem vender o título a esse preço. A diferença entre a TIR e a taxa spot ocorre por conta da estrutura de fluxo de caixa que existe no contrato de cada título. Dinâmica e formato da ET Muitos economistas estudam o comportamento da ET ao longo do tempo (dinâmica da ET) e estão preocupados com o nível das taxas, inclinação e curvatura da ET. Se tais estudos forem feitos com base na TIR versus duration, podem ocorrer situações que gerem conclusões opostas ao que de fato está ocorrendo com a dinâmica da ET. Exemplo 6 Para ilustrar, supõe-se que a verdadeira ET exista e existam apenas três títulos em mercado. Títulos Cupom 7% 0% 0% Prazo O título 1 tem cupom anual de 7% mais o principal pago em 20 anos; o título 2 não paga cupom e amortiza todo o principal nos três primeiros anos à razão de 30%, 35% e 35%, e o título 3 paga apenas o principal em 14 anos. A ET conhecida apresenta a curvatura para cima e é ligeiramente declinante: Prazo (anos) Taxa spot (%) 1 12, , ,77 70

7 Prazo (anos) Taxa spot (%) 4 12, , , , , , , , , , , , , , , , ,00 De posse da ET, calcula-se o PU de cada um dos três títulos e, em seguida, a TIR. Títulos PU 0,5930 0,7876 0,17,50 TIR 12,68% 12,60% 13,26% Duração Na Figura 3, colocam-se a ET e as TIR geradas pelos títulos. Figura 3 ET x TIR 14,0 13,5 Taxa % (a.a.) 13,0 12,5 12, Prazo Título 1 Título 2 Titulo 3 Se o título 2 tivesse cupom anual de 4%, prazo total de 20 anos e amortizasse o principal nos dez últimos anos, à razão de 10% ao ano; e o título 3 tivesse prazo total de nove anos com pagamento do principal no vencimento, se obteria as taxas (spot e TIR) apresentadas na Figura 4. Em mercados que contém títulos desses tipos, os usuários da aproximação da ET pela relação TIR versus duration, teriam sérios problemas de avaliação de negócios. Na verdade, isso é exatamente o que ocorre com diversos títulos em mercado como, por exemplo, debêntures e títulos da dívida externa que têm os mais variados fluxos de pagamentos. Portanto, o procedimento de usar a TIR e a duração do título para construção da ET não está correto e pode gerar oportunidade de arbitragem para terceiros. 71

8 Figura 4 ET e TIR 14,0 13,5 Taxa % (a.a.) 13,0 12,5 12, Prazo Título 1 Título 2 Titulo 3 No Brasil, a preocupação com o cálculo de preço de títulos com cupom era pequena porque a maior parte dos títulos em mercado tinha apenas pagamento final, como a LTN e LFT. Tais títulos ainda existem e têm grande participação no mercado, mas com o alongamento dos prazos, maior emissão de NTN-Cs, emissão de títulos prefixados com cupom (NTN-F), debêntures e o maior acesso a títulos internacionais (via FIEX, por exemplo), aumentou a demanda por cálculos mais precisos para a ET. Muitos praticantes e acadêmicos precisam da ET para cálculo do preço de mercado dos títulos, avaliação da dinâmica da ET para verificar o efeito das decisões de política monetária, calculo da inflação implícita em NTN-Cs, cálculo do spread de crédito em debêntures etc. Posto o problema, propõe-se uma solução na próxima seção. Bootstrapping Para eliminar o risco de reinvestimento, há um procedimento conhecido como bootstrapping para livrar os títulos desse risco e, assim, chegar à ET. Nesse método, tomam-se as taxas conhecidas, para vender no mercado os cupons de cada título. Tal negócio de fato existe e é conhecido nos EUA como strip (separate trading of registered interest and principal), realizado, inclusive, no Brasil com NTN-Ds. Feito o strip dos cupons, fica-se apenas com cupons zero, cujas taxas não têm mais o risco de reinvestimento, tornando-se taxas spot. O conjunto de taxas spot obtido com base em títulos com cupons é chamado de stripped yield curve e qualifica-se para a ET em causa. No processo de bootstrapping, toma-se a taxa spot do primeiro título a vencer sem pagamento intermediário de juros e, com essa taxa, determina-se a taxa do próximo título que contenha um cupom antes de seu vencimento. Com essas duas taxas, chega-se à taxa do terceiro título e assim por diante, até se ter todas as taxas livres de risco de reinvestimento. a seguir: Exemplo 7 Toma-se um exemplo bem simples, de um mercado com apenas três títulos representados Título 1: 72

9 Título 2: Título 3: Do título 1, tem-se que a taxa spot é de 6% para o primeiro período. Do título 2, chega-se a uma TIR de 7,3902%; mas, destacando-se o primeiro pagamento de juro pela taxa calculada no título 1, fica-se com um título fictício cupom zero com dois períodos: 97, 50 = 6, % ( ) , 00 ( 1 x%) 91, 8396 = 106, 00 ( 1+ x%) 2 2 Resolvendo a equação acima, chega-se à taxa spot para dois períodos, que é de 7,4330% por período. Com mesmo procedimento aplicado ao título 3, chega-se à taxa spot de 8,0022% contra uma TIR de 7,9380%. 95, 00 = 6, % ( ) + + 6, , 00 ( 1 7, 4330% ) + ( 1+ x%) 2 3 x % = 8, 0022%pp Com base nas taxas spot, pode-se desenhar a ET livre do risco de reinvestimento. Figura 5 Bootstrapping simples 8,5 8,0 7,5 (%) 7,0 6,5 6,0 2 3 Taxa spot TIR Para um conjunto maior de títulos, é conveniente usar um algoritmo mais elaborado para se obterem as taxas spot. O primeiro título é igual a um cupom zero com valor final $106,00. Chamando de b(t) o preço de um cupom zero com valor final 1 e vencimento em T, tem-se, para os dados acima, b( 1 ) b b 1%, ( ) 1, %, 1 = , 0022% = ( ) = ( ) ( + ) ( + ) 73

10 De posse desse conjunto de zeros sintéticos, pode-se recalcular o preço de qualquer título com pagamentos nessas datas por uma relação linear: PUt í tulo _ 3 6, 00 b 1 6, 00 b 2 106, 00 b 3 = ( )+ ( )+ ( ) Com base nessa relação linear entre os fatores de valor presente e os preços dos títulos, pode-se, facilmente, chegar ao valor dos fatores resolvendo um sistema linear simples: p = [ 100, 00 98, 50 97, 00] 106, A = 6, , , 00 6, , 00 b b 1 b 2 b 3 = ( ) ( ) ( ) Então, os preços dos títulos p = Ab e os preços dos zero cupons sintéticos são calculados por b = A 1 p (1a) De posse do vetor de fatores b, a taxa spot de cada prazo T é obtida por 1 x%= b T ( ) 1 T 1 (1b) Para o exemplo 7, tem-se a relação que segue: T b(t) Taxa spot 1 0,9434 6,00% 2 0,8664 7,43% 3 0,7938 8,00% A diferença entre a TIR e a taxa spot é tanto maior quanto maior for o prazo e mais inclinada a ET. Nesse exemplo simples, os prazos dos cupons e os vencimentos coincidem exatamente, mas, na prática, esse não é o caso. Para contornar tal problema, é necessária alguma interpolação para se obter taxas spot em todas as datas em que ocorrem pagamentos de cupom. Vencimentos não-coincidentes Algum tipo de forma funcional deve ser especificado para a ET e os mais comuns são os splines, aplicados inicialmente por McCulloch (1971). Em seu primeiro artigo, McCulloch usou um spline quadrático seccionado. Em cada seção entre vértices adjacentes, um polinômio quadrático foi estimado para a função valor atual: b(t) = a + bt + ct 2 (2) Porém, essa forma é pouco flexível para representar os formatos que a ET assume e, em artigo seguinte, McCulloch (1975) usa um spline cúbico seccionado. Tal tecnologia já é empregada há algum tempo no Brasil 74

11 pela Andima no cálculo de preço de títulos públicos e uma aplicação do spline cúbico pode ser encontrada em Varga (2003). Se for utilizado um spline cúbico para representar toda a ET, será necessária a estimativa de apenas quatro parâmetros. No caso do spline seccionado, esse número será proporcional ao número de seções definidas. No exemplo a seguir, utiliza-se o spline cúbico, mas não-seccionado. Para o caso de um único spline cúbico, a função-valor atual de toda a ET é definida por: b(t) = a + bt + ct 2 + dt 3 (3) O preço de cada título i pode ser escrito como função de (3) por P F b T F b T F b T = ( ) + ( ) + + ( ) = i i, 1 i, 1 i, 2 i, 2 i, ki i, ki ki = Fi, jb( Ti, j ) ki = F a + bt + ct + dt ( ) = 2 3 i, j i, j i, j i, j Colocando em evidência os parâmetros de (3), tem-se: 2 P = a F + b F T + c F T + d F T i ki ki ki k i 3 i, j i, j i, j i, j i, j i, j i, j onde: F i,j = pagamento (cupom e/ou amortização) da data j do i-ésimo título; T i,j = prazo em que ocorre o pagamento j do i-ésimo título; k i = número de pagamentos do título i ; e P i = preço do i-ésimo título. Um truque muito conveniente é o de obrigar que, para o prazo 0, a função-valor atual seja igual a 1, o que determina que o parâmetro a seja igual a 1. Dessa feita, a equação para o preço pode ser simplificada da seguinte maneira: ki ki ki k Pi Fi j b Fi jti j c Fi jti j d F = i 3,,,,, i, jt i, j j =1 Se houver m títulos, tem-se um sistema linear a resolver: k1 k 1 k 1 k P1 F1, j F1, jt1, j F1, jt1, j F1, jt1, j b = c km km km km 2 3 Pm Fm, j Fm, jtm, j Fm, jtm, j Fm, jt d m, j C j =1 P A (4) Com m = 3 títulos, tem-se esse sistema exatamente determinado com solução igual a C = A 1 P. No caso de um número de títulos maior do que três, pode-se encontrar a solução por minimização dos erros com o método de mínimos quadrados ordinários (MQO) (Poirer 1973): 75

12 M ín e e = P AC P AC (5) { C} ( ) ( ) Exemplo 8 Tomam-se os dados do exemplo 6 para ilustrar a aplicação do spline cúbico e incluem-se também os títulos 2 e 3 modificados. Tem-se, então, um total de cinco diferentes títulos: Títulos Cupom 7% 4% 0% 0% 0% Prazo PU 0,5930 0,4162 0,3203 0,7876 0,1750 TIR 12,68% 13,06% 13,48% 12,60% 13,26% Duração O vetor P e a matriz A obtida são os seguintes: (1,81) 34,70 600, ,00 (1,20) 20,78 308, ,47 (0,68) 9,00 81,00 729,00 (0,21) 2,05 4,85 12,55 (0,83) 14,00 196, ,00 Os parâmetros obtidos foram a = 1; b = 0,11593; c = 0,00527 e d = 0, Esses parâmetros minimizam a diferença entre os preços de mercado dos títulos e os preços gerados pela função (3). A função atual para qualquer prazo é dada por b(t) = 1 0,11593T + 0,00527T 2 0, T 3 Essa fórmula dá o preço de um cupom zero de qualquer prazo e, conseqüentemente, a taxa spot. A esse conjunto de taxas spot dá-se o nome de ET ajustada. Na Figura 6, estão colocadas a ET original, a ET ajustada e a TIR dos cinco títulos. Da mesma forma que, nas Figuras 3 e 4, os títulos estão posicionados por TIR versus duration. Figura 6 Ajuste estatístico da ET 13,4 13,2 13,0 Taxa % (a.a.) 12,8 12,6 12,4 12,2 12, Prazo Taxa spot Spline ajustado Título 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 76

13 O resultado do exemplo é visualmente muito bom, a diferença entre a ET ajustada e a original é muito pequena. Mas trata-se apenas de um exemplo e não de um estudo mais abrangente, sobre o qual se buscou o melhor modelo de ajuste da ET. Nas aplicações comerciais, é necessário investigar qual o melhor procedimento de interpolação, e existe um grande número de métodos de interpolação; Anderson et al. (1996) mostram várias alternativas para esse procedimento, e Varga (2005) testa diversas formas para a ET prefixada do Brasil. No procedimento econométrico adotado para estimar (3), há de se tomar cuidado com a heteroscedasticidade, pois a variância dos erros dos preços dos títulos costuma ser tanto menor quanto menor for o prazo até o vencimento (Steeley, 1991). Por simplicidade, no exemplo, não se faz nenhum ajuste nos erros para o efeito da heteroscedasticidade. No exemplo dado, busca-se atingir apenas um objetivo didático. No mercado brasileiro, esse procedimento pode ser aplicado na definição das ETs dos retornos em debêntures, bradies e qualquer título indexado, tais como IGP-M, cambial e qualquer outra moeda que se baseie em títulos com cupons. Na Figura 3, vê-se que o efeito de títulos com estrutura de fluxo de caixa (juros e amortização) muito variada sobre a relação TIR versus duration é espantosa. Títulos com preços corretos e mesma duration apresentam as mais variadas TIRs e o erro gerado pela utilização da TIR versus duration como aproximação da ET pode ser muito grande. Em nosso mercado, isso ocorre nos títulos externos (especialmente bradies) e debêntures. Bibliografia ANDERSON, N.; BREEDON, F.; DEACON, M., DERRY, A.; MURPHY, G. Estimating and Interpreting the Yield Curve. John Wiley & Sons, ANDIMA. Resenha Diária com Preços de Títulos Públicos. Disponível em DUFFEE, G. The Relation Between Treasury Yields and Corporate Bond Yield Spreads. Journal of Finance, 6, pp , MCCULLOCH, J. Measuring The Term Structure of Interest Rates. Journal of Business, 44, pp , MCCULLOCH, J. The Tax-Adjusted Yield Curve. Journal of Finance 30, pp , POIRER, D. Piecewise Regression Using Cubic Spline. Journal of the American Statistical Association, 68, nº 343, pp , STEELEY, J. Estimating the Gilt-Edged Term Structure: Basis Splines and Confidence Intervals. Journal of Business, Finance and Accounting, 18, pp , VARGA, G. Interpolação por Cubic Spline para a Estrutura a Termo Brasileira. Gestão de Riscos no Brasil. Org. A. Duarte Jr. e G. Varga. Financial Consultoria, VARGA, G. Preço e Estratégias de Negócios com Futuro de DI e FRA. Resenha BM&F, 158, VARGA, G. Teste de Modelos Estatísticos da Estrutura a Termo na Brasil. XXIV ENANPAD. Disponível em www. fce.com.br. Gyorgy Varga é doutor em Economia. varga@fce.com.br. O autor agradece os comentários de Romeu Braz, do Banco Central do Brasil. 77