UNIVERSIDADE DO ESTADO SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila da Disciplina de Controle de Conversores Estáticos Joinville 2012 Prof. Alessandro Luiz Batschauer

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3 Dedicatória À minha esposa, À minha família e aos amigos. Aos professores do NPEE e aos alunos de pós-graduação que contribuíram na escrita e concepção deste documento.

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5 Sumário 1 Introdução Geral Introdução 1 2 Conceitos de Modulação por Largura de PulsosEquation Section (Next)[1] Parêmtros da Modulação PWM Sinal de Referência Sinal de Portadora Modulador (Comparador) Geração de sinal complementar Tempo Morto Modulações para conversores cc-ca Modulação por largura de pulso único Modulações PWM senoidais Modulação Pwm Senoidal Bipolar Modulação Pwm Senoidal Unipolar Modulação PWM Senoidal Por Portadora Com Simetria De Um Quarto De Onda Modulação PWM Senoidal Dipolar Modulação com Três ou Mais Níveis Modulação com Portadoras Dispostas em Fase (Phase Disposition PD) Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição de Fase (Phase Opposition Disposition POD) Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição Alternada de Fase (Alternative Opposition Disposition APOD) Modulação com as Portadoras com Deslocamento de Fase (Phase Shifted PS) Comparação Entre as Modulações Exemplo de Modulação Híbrida Modulação SHE Modulação por Vetores Espaciais Conclusão 38 3 Revisão dos Conceitos Básicos de ControleEquation Section (Next) Ações básicas dos controladores P, I, PI, PID 40

6 3.2 Conceito de pólo, zero, estabilidade Diagrama de bode Margem de fase Lugar das raízes 65 4 Modelagem do conversor BUCK em condução contínuaequation Section (Next) Introdução Modelagem do Conversor BUCK em Modo de Condução Contínua Modelo de Tensão do Conversor BUCK v(s) / d(s) Simulação da Planta de tensão em função da razão cíclica V(s) / d(s) Modelo de Corrente do Conversor BUCK I 0 (s) / d(s) _ Simulação da Planta de corrente em função da razão cíclica I 0(s) / d (s) Modelo de Tensão em função da Corrente do Conversor BUCK V(s) / I 0 (s) Simulação da Planta de tensão em função da corrente V(s) / I 0 (s) Conclusões 95 5 Modelagem do conversor BOOST em condução contínuaequation Section (Next) INTRODUÇÃO CONVERSOR BOOST MODELO CONVERSOR Etapas de Operação BOOST condução contínua Modelagem de pequenos sinais Simulações Conclusão Modelagem do conversor BUCK-BOOST em condução contínua Introdução Conversor buck-boost Primeira etapa Segunda etapa Valores médios em um período de comutação _ Corrente média no capacitor Perturbações Termos constantes 124

7 6.2.7 Transformada de Laplace Plantas do conversor Validação das plantas Parameter File AC Sweep s-domain Transfer Function Validação da planta de tensão e corrente pela razão cíclica Validação da planta de tensão e corrente pela tensão de entrada Conclusões Modelagem do conversor BUCK-BOOST em condução descontínuaequation Section (Next) Introdução Modelo médio dos interruptores Determinação dos valores médios Construção do circuito equivalente Modelo para pequenos sinais Simulação do Conversor Buck-Boost Conclusão Modelagem de conversor BUCK-BOOST Controle de Conversores Critérios para o projeto de controladores de conversores estáticos no domínio da frequência Introdução ao uso do SISOTOOL Controle do Conversor Buck MCC Controle do Conversor Boost CCM Conclusões 225

8 Lista de Figuras Fig. 2.1 Modulação com as portadoras dispostas em fase (Phase Disposition PD) Fig. 2.2 Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em oposição de fase (Phase Opposition Disposition POD) Fig. 2.3 Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em oposição alternada de fase (Alternative Phase Opposition Disposition APOD) Fig. 2.4 Exemplo de modulação com as portadoras com deslocamento de fase (Phase Shifted PS) Fig. 2.5 Modulação PWM senoidal padrão (Standard Sinusoidal Pulsewidth Modulation SPWM) com injeção de componentes de sequência zero Fig. 2.6 Modulação PWM com dupla referência (Double- Signal Pulsewidth Modulation DSPWM) Fig. 2.7 Modulação híbrida proposta por Zaragoza (Hybrid Pulsewidth Modulation HPWM) Fig. 2.8 Exemplo de modulação híbrida empregando frequências distintas para cada célula de conversor em ponte completa. (a) Tensão de saída sintetizada por um dos inversores. (b) Sinal de referência e portadoras empregadas para determinar os pulsos de comando do segundo inversor Fig Janela Control and estimation Tool Manager Fig Opções de unidade SISOTOOLS Fig Aparência dos compensadores Fig Seleção da arquitetura de controle Fig Edição dos dados da planta Fig Edição do compensador Fig Opções de ajuste gráfico Fig Ajuste gráfico do compensador planta original Fig situação da planta após a edição do compensador Fig Malha de controle da tensão de saída do conversor Buck Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão Buck sem compensação Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão Buck com compensação Fig Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para degrau de +15%

9 Fig Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para degrau de -15% Fig Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 khz (azul) Fig Malha de controle da corrente do indutor do conversor Buck Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de corrente do conversor Buck sem compensação Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de corrente do conversor Buck com compensação Fig Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para degrau de +15% Fig Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para degrau de -15% Fig Corrente no indutor (vermelho) e referência senoidal de 1 khz (azul) Fig Malha de controle de corrente e tensão do conversor Buck Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck sem compensação considerando FTMFi simplificada Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck sem compensação considerando FTMFi completa Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck com compensação Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Fig Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 khz (azul) Fig quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente de referência (verde) e Tensão na entrada do modulador (Roxo) para redução de 50% da carga Fig Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para incremento de 50% da carga Fig Malha de controle do converso Buck em modo corrente

10 Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Buck sem compensação Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Buck com compensação Fig Circuito simulado no PSIM para avaliação do controle em modo corrente do conversor Buck Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Fig Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 khz (azul) Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para redução de 50% da carga Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para aumento de 50% da carga Fig Malha de controle de tensão do conversor Boost Fig Diagrama de bode da FTMA do controle de tensão do conversor Boost sem compensação Fig Diagrama de bode da FTMA do controle de tensão do conversor Boost compensada Fig Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para degrau de +15% Fig Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para degrau de -15% Fig Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 100 Hz (azul) Fig Malha de controle de corrente do conversor Boost. 207 Fig Diagrama de Bode da FTMA do controle de corrente do conversor Boost sem compensação Fig Diagrama de Bode da FTMA do controle de corrente do conversor Boost com compensação Fig Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para degrau de +15% Fig Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para degrau de -15% Fig Corrente no indutor (vermelho) e referência senoidal de 1 khz (azul)

11 Fig Diagrama de controle de corrente e tensão do conversor Boost MCC Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente simplificada do conversor Boost Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente simplificada do conversor Boost com compensação Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de tensão do conversor Boost para o controle em cascata Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de tensão compensada do conversor Boost para o controle em cascata Fig Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para degrau de +15% Fig Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para degrau de -15% Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente no indutor para degrau de +/- 50% da carga Fig Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 500 Hz (azul) Fig Malha de controle do converso Boost em modo corrente Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Boost sem compensação Fig Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Boost com compensação Fig Circuito simulado no PSIM para avaliação do controle em modo corrente do conversor Boost Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Fig Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 khz (azul) Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para redução de carga de 50% Fig Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para aumentos de carga de 50%

12 Lista de Tabelas Tabela 2.1 Comparação das distorções harmônicas e das perdas de comutação entre as modulações PD, POD, APOD e PS para um inversor trifásico em cascata com cinco níveis Tabela 2.2 Comparação entre as modulações SPWM e DSPWM Tabela 3 - Especificações do conversor Tabela 4 Parâmetros do modelo de pequenos sinais das chaves em MCD Tabela 5 Parâmetros utilizados para a simulação Tabela Parâmetros do conversor Buck Tabela 8.2 Coeficientes do controlador de tensão do conversor Buck Tabela 8.3 Coeficientes do controlador de corrente do conversor Buck Tabela 8.4 Coeficientes do controlador de tensão do controle em cascata do conversor Buck Tabela 8.5 Coeficientes do controlador de tensão do controle em modo corrente do conversor Buck Tabela Parâmetros do conversor Boost Tabela 8.7 Coeficientes do controlador de tensão do conversor Boost Tabela 8.8 Coeficientes do controlador de corrente do conversor Boost Tabela 8.9 Coeficientes do controlador de corrente para o controle em cascata do conversor Boost Tabela 8.10 Coeficientes do controlador de tensão do controle em cascata do conversor Boost Tabela 8.11 Coeficientes do controlador de tensão do controle em modo corrente do conversor Buck

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14 Simbologia Símbolos adotados nos Equacionamentos Símbolo Descrição Unidade A Amplitude da onda moduladora V m A Amplitude da onda portadora V p, n 0 A A Coeficientes do numerador - b Valor de pico da componente harmônica de ordem n n da forma de onda - Componente fundamental da tensão de saída do b 1 inversor 3 níveis - B, n B 0 Coeficientes do denominador - C( s), R( s ) Função de transferência de malha fechada - C( s ) Controlador/Compensador - C2( s ) Controlador de tensão do controle em cascata - DHT Distorção Harmônica Total - D Valor da razão cíclica - d( t ) Valor da razão cíclica - d( s ) Razão cíclica - di ( t ) Pequenos sinais de razão cíclica (perturbação) - d1( t), d2 ( t), d3( t) Subintervalos (representa razão cíclica do conversor) - ξ Coeficiente de amortecimento - ξ i Coeficiente de amortecimento - ξ R Coeficiente de amortecimento - E Tensão de entrada do conversor boost V e( t ) Tensão de entrada do conversor boost V e( s ) Variação na razão cíclica sobre a corrente no indutor - f Freqüência da onda portadora Hz p f m Freqüência da onda moduladora senoidal Hz f Freqüência fundamental de saída Hz o f c Freqüência de comutação Hz f, f Freqüência de chaveamento Hz 1 2 FTMA Função de transferência de malha aberta - bv

15 FTMA 1 Função de transferência de malha aberta - FTMF 1 Função de transferência de malha fechada - G1 ( s), H1( s ) Função de transferência de malha aberta - G( jω ) Função de transferência genérica - G M Margens de ganho - G( jω), H ( jω) Função de transferência - G Função de transferência do modulador por largura PWM - de pulso G ( s), G ( s ), Plantas de variação da razão cíclica - v G ( s), G ( s) ivg i vvg Plantas de variação da razão cíclica - g 1 Parâmetros da função de transferência - G Ganho da função de transferência da saída para vd razão cíclica - Ganho da função de transferência da saída para G d 0 entrada - Hi ( s ) Função de transferência de corrente - Hv ( s ) Função de transferência de tensão - i Corrente no capacitor A c i Corrente no indutor A L i Corrente no resistor A r i Corrente da fonte de entrada A g i cmed Corrente média do capacitor A i Corrente de pico A pk i ( ) 1 t Corrente na entrada A i ( ) 2 t Corrente no diodo A < i ( 1 > Corrente média nos terminais A I ( ) L t Corrente no indutor A I Corrente de saída A o j 1 Parâmetros da função de transferência - Ganho da função de transferência determinado na K o freqüência ω =1rad/s - K Valor de ganho do sistema - K Ajuste de ganho - 1

16 L Indutor/indutância H M Índice de modulação (profundidade) - i M Modulação de freqüência - f m a Índice de modulação de amplitude - m Número de zeros - n Numero de pólos - n Ordem da função de transferência - n Ordem da componente harmônica - p Numero de pólos da função de transferência - j p, z Pólos e zeros reais - R R P o Potência de saída W < p( t) > Ts Potência média W q 1 Área da corrente i 1 ( t ) durante o intervalo t 1 A.s q 2 Área da corrente i 2 ( t ) no intervalo t 2 A.s r, r Pontos de partida (do LGR) R Resistor Ω o R Resistência efetiva Ω 1 e r Resistência de entrada para pequenos sinais Ω r 2 Resistência de saída Ω Ω Freqüência Hz T ( ) 1 s Função de transferência de malha fechada - T Período S T Período de comutação S s T Razão cíclica multiplicada pelo período DTs - c V Tensão de entrada V i V Tensão fundamental para modulação bipolar V 1 V o Nível médio presente na tensão ca V V Amplitude da componente harmônica de tensão de n V ordem n va, vb, v c Tensão das fases A,B,C V ' ' ' Tensão das fases A,B,C modificadas pela va, vb, v c V seqüência zero v Tensão de seqüência zero V o v Sinais de referência,onde i pode ser as fases A,B,C - i v Sinais de referência positiva do modulador - ip

17 DSPWM Sinais de referência negativa do modulador v in - DSPWM V Tensão de entrada V g V Tensão de saída V V L Tensão no indutor V V Tensão no capacitor V c v Tensão da fonte de entrada V g V ( s) Planta de tensão V v( s ) Tensão de saída V V o Tensão de saída V v Tensão média no indutor V Lmed V Tensão de pico a pico da portadora V m V c Tensão no componente V v ( ) 1 t Tensão de entrada V vi ( t ) Pequenos sinais alternados (perturbações) V V Tensão média aplicada no transistor V 1 < v1 ( t) >, < v2 ( t) > Tensões médias nos terminais WTHD Distorção harmônica total de primeira ordem - Wcg Freqüência de cruzamento de ganho Hz Wcp Freqüência de cruzamento de fase Hz y Erro em regime para entrada do tipo degrau 1 unitário - Z i Impedância Ω α Ângulo da modulação por largura de pulso única Rad φ Fase da função de transferência Rad γ Numero de zeros ou pólos na origem - Freqüência em que o modulo de G( jω), H ( jω) é ω 0dB Hz igual a 1 γ Ângulo formado entre a reta e o eixo real Rad σ o Ponto onde a reta intercepta o eixo real - ω Freqüência de corte do pólo Rad/s p V

18 Símbolos Usados para Referenciar Elementos de Circuitos Símbolo C D L R S Descrição Capacitor Diodo Indutor Resistor Interruptor Símbolos de Unidades de Grandezas Físicas Símbolo A H V W Ω Descrição Ampère Henry Volt Watt Ohm

19 Introdução Geral Introdução 1 Introdução Geral O processamento eletrônico da energia elétrica está cada vez mais presente nas residencias, no comércio, indústria, na geração de energia, enfim, no dia a dia das pessoas de um modo geral, independente da profissão desempenhada. A geração de energia elétrica a partir de fontes renováveis como a energia dos ventos (aerogeradores), a solar (painéis fotovoltaicos), o hidrogênio (células combustível), bem como o armazenamento de energia em supercapacitores, sistemas de massa girante (Flywheel), baterias, entre outros, empregam conversores estáticos no processamento da energia. O acionamento de sistemas motrizes como os empregados na tração de trens e navios, sistemas de ventilação, sistemas de bombeamento de fluidos também são, hoje em dia, realizados por conversores eletrônicos. As fontes de alimentação, cada vez mais eficientes e compactas, também estão presentes no dia-a-dia dos seres humanos, em seus computadores, tablets, celulares, aparelhos de televisão, sistemas de iluminação (xênon, led, fluorescentes). Enfim, independente da profissão, cultura ou idologia, o processamento eletrônico da energia está presente na vida das pessoas, de uma forma em geral. E o que estes sistemas que processam energia nas mais diversas áreas da indústria, comércio, resisdências e transporte têm em comum? A necessidade, em maior ou menor grau, de controle de variáveis como tensão ou corrente, as quais, por sua vez, atuarão diretamente no processo em questão, seja ele o posicionamento e a velocidade de um motor ou uma luminosidade de uma lâmpada. Estes sistemas necessitam de controle em virtude da incerteza existente em realação aos parâmetros que compõe os conversores, como: os valores de tensão e corrente de entrada, da carga, bem como dos componentes elétricos ativos e passivos que são usados na confecção dos conversores. Para que os conversores estáticos possam desempenhar com excelência o processamento da energia, independente das variações dos parâmetros citados, é necessário um projeto adequado deste sistema de controle. A concepção do projeto de controle de um conversor estático, por sua vez, depende de diversor fatores: O tipo do conversor; O modo de operação do conversor; A modulação empregada;

20 2 Introdução Geral O modelo da carga; A dinâmica da carga e do conversor.

21 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 3 2 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos[1] Na maioria das aplicações industriais envolvendo conversores estáticos a carga a ser acionada é do tipo motriz. Neste tipo de aplicação, a variação de velocidade no motor a ser acionado é uma característica muito desejável. Isso é possível controlando a tensão na saída, no caso de motores cc ou controlando a tensão e a frequência, no caso de motores ca. Para isso, utilizam-se conversores cc-cc e cc-ca. Uma técnica largamente aplicada nesses acionamentos é a modulação por largura de pulso, que consiste na comparação de dois sinais de tensão, um de baixa frequência (referência) e o outro de alta frequência (portadora), resultando em um sinal alternado com frequência fixa e largura de pulso variável. 2.1 Parêmtros da Modulação PWM A Modulação por Largura de Pulso (Pulse Width Modulation - PWM) é comumente composta de parâmetros de circuitos: Sinal de Referência; Sinal de Portadora; Modulador Geração de Sinal Complementar Tempo Morto Os quais serão detalhados na sequência Sinal de Referência Para se obter um sinal na saída de um conversor chaveado com a forma desejada, é necessário modulá-lo em alta freqüência. Este sinal a ser modulado é chamado sinal de referência, o qual é a imagem da tensão (ou corrente) de saída buscada. Nos conversores CC-CC, a referência é um sinal de tensão contínuo, pois o que se deseja obter é justamente uma tensão contínua na saída do conversor, conforme Fig. 2.1.

22 4 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos Fig. 2.1 Sinal de referência para um conversor CC-CC Já nos conversores CC-CA o sinal de referência é senoidal, pois o que se busca na saída é uma tensão alternada. Portanto, se é desejado uma frequência de 60Hz na saída, deve-se aplicar um sinal de referência com as mesmas características, conforme Fig Em conversores CC-CA Trifásicos existe a necessidade de utilização de três sinais senoidais defasados de 120 o. Fig. 2.2 Sinal de referência para um conversor CC-CA Fig Sinais de referência para um conversor CC-CA Trifásico

23 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso Sinal de Portadora É um sinal de alta frequência, na ordem de KHz o qual é responsável pela definição da frequência de comutação e pela razão cíclica. Este sinal deve possuir uma freqüência no mínimo duas vezes maior que o sinal de referência (Teorema de Shannon), mas na prática, é necessário pelo menos 10 vezes para que se tenha uma boa reprodução do sinal na saída do conversor. Este sinal será responsável pela frequência de comutação dos interruptores (semicondutores) do circuito de potência do acionamento. Em conversores CC-CC, é utilizado um sinal dente-de-serra como portadora, conforme Fig Já em Conversores CA-CA, normalmente utiliza-se como portadora um sinal triangular, conforme Fig Fig. 2.4 Sinal dente de serra Fig. 2.5 Sinal triangular

24 6 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos Modulador (Comparador) É o circuito responsável por comparar o sinal de referência com a portadora. A largura do pulso na saída do modulador varia de acordo com a amplitude do sinal de referência em comparação com o sinal portador. Tem-se assim a modulação por largura de pulso PWM, do inglês Pulse Width Modulation. Na Fig. 2.6 tem-se um exemplo de circuito modulador. Fig. 2.6 Geração de Sinal Modulado As formas de onda nas entradas e saída do comparador, para um conversor CC-CC, estão demonstradas na Fig Na Fig. 2.8 podemos ver as formas de onda para um conversor CC-CA. Em conversores trifásicos, utilizam se 3 moduladores PWM.

25 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso Vref Vout V Time (s) Fig Sinal de referência (Vref), sinal da portadora (V2) e sinal de saída do modulador (Vout) para um conversor cc-cc. Fig Sinal de referência (Vref), sinal da portadora(v2) e sinal de saída do modulador para um conversor cc-ca Geração de sinal complementar O sinal complementar é necessário quando, por exemplo, existem dois interruptores (semicondutores) configurados em braço. O acionamento dos interruptores é feito de maneira inversa, ou seja,

26 8 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos quando Q 1 conduz, Q 2 está bloqueado (não está em conduzindo), quando Q 2 conduz, Q 1 fica bloqueado e assim sucessivamente. O sinal complementar consiste em inverter o sinal modulador. Para isso, pode-se utilizar uma porta lógica inversora (NOT), conforme Fig Tempo Morto Fig Obtenção do sinal complementar. Na configuração de interruptores em braço, já apresentada na Fig. 2.9, é necessário assegurar que dois interruptores de um mesmo braço não sejam acionados ao mesmo tempo, evitando a queima dos mesmos. Para evitar um efeito de curto-circuito no braço do acionamento, um tempo morto T m (Fig. 2.10) deve ser introduzido. O tempo morto é medido desde o instante em que um semicondutor comuta para seu estado bloqueado até o instante em que o semicondutor oposto comuta para o seu estado de condução, garantindo o bom funcionamento e segurança do acionamento. Fig Circuito típico para a obtenção do tempo morto.

27 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 9 O circuito da Fig é composto por portas inversoras, resistores e capacitores. Através dos pares de resistores e capacitores é possível ajustar o tempo de descarga dos capacitores, como pode ser observado nos sinais V1 e V2 na Fig Quanto maior o tempo de descarga do capacitor, maior o tempo morto gerado pelo circuito. Esta descarga lenta dos capacitores faz com que as portas inversoras que vem na sequência demorem a trocar de estado, criando o tempo morto que pode ser visto em Q1 e Q2. Na prática, para garantir uma operação mais adequada é comum o emprego de portas inversoras do tipo schmitt trigger no circuito apresentado Vin Vin_bar V V Q1 Q Time (s) Fig Formas de onda do sinal de comando (Vin), o sinal de comando complementar(vin_bar), sinais intermediários (V1 e V2) e os sinais de comando (Q1) e o complementar (Q2) com o tempo morto. 2.2 Modulações para conversores cc-ca Nesta seção serão apresentas algumas estratégias de modulação comumente empregadas em inversores de tensão. A título de ilustração, salvo informação em contrário, as modulações apresentadas nesta seção serão testadas em um inversor monofásico de ponte completa ou no inversor com neutro grampeado (NPC), conforme apresentado na Fig. 2.12(a) e (b), respectivamente.

28 10 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos S1 D1 S2 D3 Vi Carga S3 D2 S4 D4 (a) Vi/2 Dg1 S1 D1 Vi/2 a - R L S2 b il(t) + Dg2 S3 S4 D4 (b) Fig Inversor em ponte completa (a) e inversor com neutro grampeado (b) Modulação por largura de pulso único A modulação por largura de pulso único é uma das formas mais básicas de se obter os sinais de comando para os interruptores de um inversor, seja ela do tipo dois ou três níveis. A Vab Vi/2 D2 D3 -Vi/2 α α α α ωt

29 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 11 Fig mostra o formato da tensão de saída de um Inversor Três Níveis com Neutro Grampeado. Identifica-se, nesta forma de onda, a possibilidade de variação do ângulo α. Assim, pode-se desenvolver a série de Fourier em função deste ângulo. Vab Vi/2 -Vi/2 α α α α ωt Fig Forma de onda da tensão de saída do inversor a três níveis utilizando modulação por largura de pulso único. Sejam os coeficientes em cosseno da série nulos e os coeficientes em seno por definição, descritos pela equação (7.1). T 2 bn =. f ( t ). sen ( n. ωt ) dωt T (7.1) 0 Seja E a metade da tensão de entrada Vi, representada pela equação (7.2). Vi E = (7.2) 2 Solucionando-se a equação(7.3), tem-se as equações (7.4) e (7.5) 1 π α.. (. ) 2π α. (. ) α π + α bn = E sen nωt dωt + E sen n ωt dωt π b n (7.3) ( ) ( n. ( π α )) E cos n. ( 2π α ) α n + ( + α ) 1 E cos =. π n cos(. ) n cos n.(π ) + (7.4) Assim, o valor de pico da componente harmônica de ordem n da forma de onda a três níveis pode ser representado pela equação(7.5)

30 12 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos 4. E bn =.cos ( α. n) (7.5) π. n A partir da equação (7.6) pode-se calcular a componente fundamental da tensão de saída do inversor Três Níveis. 2. Vi b1 =.cos( α ) (7.6) π De acordo com [2], é possível então eliminar ou reduzir uma componente harmônica com a escolha adequada de um ângulo α. Isto posto, calcula-se através das equações (7.7) e (7.8) o valor deste ângulo. πnb a cos n 4. E α = (7.7) n 1,571 α = (7.8) n onde n = 1,3, 5. Nota-se que, com a utilização de apenas um ângulo, pode-se eliminar ou reduzir apenas uma componente harmônica. Como exemplo, pode-se citar o ângulo α igual a trinta graus, que elimina a harmônica de ordem três. A Fig representa a evolução da amplitude das componentes harmônicas em função da variação do ângulo α; nota-se que não é possível controlar o valor do termo fundamental e eliminar uma determinada componente harmônica, utilizando-se apenas um ângulo.

31 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 13 % % harmônico em relação a tensão E α fundamental harm.de ordem 3 harm. de ordem 5 harm. de ordem 7 Fig Harmônicas de tensão em função do ângulo α. Observa-se, ainda, na Fig. 2.14, que a concentração de componentes harmônicas de baixa ordem é predominante. Como o objetivo de minimizar ainda mais o conteúdo harmônico, algumas soluções são apresentadas na literatura, das quais pode-se citar a modulação PWM senoidal otimizada e as modulações PWM senoidais naturais. A primeira propicia um dos melhores resultados em termos de redução de conteúdo harmônico [2]; prevê o cálculo de n ângulos para eliminação de n-1 harmônicas, possibilitando, ainda, o controle do valor da tensão fundamental. Em aplicações práticas, estes ângulos poderiam ser previamente calculados e armazenados em memórias ou, utilizandose o processamento digital, estes poderiam ser determinados em tempo real. Já as modulações PWM senoidais naturais são de implementação simplificada, sendo na sua maioria geradas a partir da comparação entre formas de onda senoidais e triangulares. Este texto se aterá em descrever unicamente as modulações PWM senoidais naturais mais difundidas, também conhecidas como modulações sub-harmônicas Modulações PWM senoidais A modulação PWM senoidal, normalmente, pode ser inteiramente ou particularmente caracterizada por dois parâmetros, sejam eles: o índice de modulação e a razão entre as frequências. O parâmetro índice de modulação, também referenciado em algumas literaturas como profundidade de modulação, consiste no quociente entre a amplitude de uma forma de onda moduladora, que normalmente

32 14 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos é senoidal, e a amplitude de uma forma de onda portadora, normalmente triangular, conforme mostra a equação (7.9). Am M i = (7.9) A p Onde: A m é a amplitude da onda moduladora; A p é a amplitude da onda portadora. A razão entre frequências é o quociente entre a frequência da forma de onda portadora e a frequência da moduladora, conforme mostra a equação (7.10). M f p f = (7.10) fm Onde: f p é frequência da onda portadora triangular; f m é a frequência da onda moduladora senoidal. A modulação é dita síncrona quando a razão entre as frequências M f é um número inteiro. No modo assíncrono, a frequência da forma de onda portadora dever ser alta o suficiente a fim de evitar qualquer perturbação causada por sub-harmônicas [3]. Os três principais métodos de modulação PWM senoidal que serão abordados neste texto são: Modulação bipolar, a qual é largamente utilizada em inversores dois níveis; Modulação unipolar, que é normalmente empregada em inversores três níveis; Modulação dipolar, que pode ser considerada como um caso particular da modulação unipolar Modulação Pwm Senoidal Bipolar Uma das mais difundidas até então, a modulação Bipolar consiste basicamente na comparação entre uma forma de onda senoidal e uma forma de onda triangular, conforme mostra a Fig Entretanto, este tipo de modulação não é utilizada no inversor Três Níveis, já que se trata de uma técnica dois níveis.

33 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 15 Vm Vp Vab Fig Modulação bipolar. Apenas a título de comparação com as outras técnicas de modulação, apresenta-se o espectro harmônico da tensão de saída Vab de um inversor em ponte completa, obtida a partir de simulações numéricas com tensão entrada de 400 V, índice de modulação Mi = 0,78 e frequência de comutação igual a 20 khz. Nota-se que as componentes harmônicas com amplitude significativa são deslocadas para as proximidades da frequência de comutação. 0,35% 0,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0% Ordem da componente harmônica (a)

34 16 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos % Ordem da componente harmônica (b) Fig Detalhe do espectro harmônico nas frequências de maior importância (a), espectro harmônico da tensão de saída completo (b) Modulação Pwm Senoidal Unipolar Neste tipo de modulação, os pulsos de comando dos interruptores podem ser gerados através da comparação entre duas ondas portadoras triangulares e uma moduladora senoidal. Na referência [4] esta estratégia é também denominada como método clássico de modulação três níveis. A Fig apresenta a modulação unipolar na geração do comando dos interruptores do inversor Três Níveis (S1, S2, S3 e S4). Nota-se que as formas de onda portadoras triangulares Vp1 e Vp2 encontram-se em fase com a moduladora senoidal Vm, quando esta passa por zero. Vp1 Vm Vp2 S1 S3 S2 S4

35 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 17 Fig Modulação PWM Unipolar. A razão entre frequências M f pode ser definida pelas equações (7.11) ou (7.12). M f = 6.(2. i + 1) i = 0,1,2,... (7.11) M f = 3.(2. i + 1) i = 0,1,2,... (7.12) A Fig mostra o Inversor Três Níveis juntamente com o circuito de comando utilizado para obter os sinais de acionamento dos interruptores. Utilizando-se um simulador numérico [5], obtém-se a forma de onda da tensão de saída do inversor e a forma de onda da corrente que circula através da carga. Nesta simulação, a frequência da tensão moduladora é 60 Hz e a frequência das portadoras triangulares adotada foi 20 khz, sincronizadas com a tensão senoidal. O índice de modulação adotado é o mesmo da simulação anterior, ou seja, igual a 0,78, enquanto que o valor da frequência de corte da carga RL escolhido foi de 112 Hz, definido pelos valores do resistor de 4,2 Ω e do indutor de 6 mh; tais parâmetros foram adotados para se obter uma carga com potência aparente de 10 kva com tensão de saída 220V. Os interruptores utilizados na simulação são ideais e a tensão de barramento Vi é de 800 V. Vi/2 Vi/2 a R Dg1 L IL Dg2 S1 S2 b S3 S4 D1 D2 D3 D4 Vm Vp1 Vp S1 S3 S2 S4 Fig Inversor com neutro grampeado três níveis e circuito de comando para modulação unipolar. A partir da análise harmônica dos resultados de simulação da tensão de saída do inversor e da corrente através da carga, representados pela Fig. 2.19, tem-se as taxas de distorção harmônica iguais a 1,52 % e 0,2 % respectivamente, truncados na harmônica de centésima.

36 18 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos 400V 0V -400V Tensão Vab 65A 0A -65A 16.6ms IL(t) 20.0ms 25.0ms 30.0ms Fig Tensão e corrente na carga, modulação unipolar. 34.8ms O espectro harmônico em detalhe e completo da tensão de saída Vab do inversor Três Níveis está apresentado na Fig ,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0% Ordem da componente harmônica (a) % Ordem da componente harmônica (b)

37 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 19 Fig Detalhe do espectro harmônico nas frequências de maior importância (a), espectro harmônico da tensão de saída completo (b). Observa-se que as harmônicas de baixa ordem, mais difíceis de serem filtradas não são predominantes, e as harmônicas de maior amplitude são deslocadas para a frequência de comutação, conforme é esperado. Comparando-se o espectro harmônico da tensão de saída com modulação a dois níveis, apresentado na Fig. 2.16, com o obtido para a modulação três níveis da Fig. 2.20, verifica-se que a amplitude das harmônicas na frequência de comutação é reduzida pela metade, diminuindo o esforço de filtragem. Utilizando-se este mesmo princípio de modulação, entretanto, empregando duas portadoras triangulares de mesma amplitude e defasadas em cento e oitenta graus, tem-se a modulação três níveis, usualmente empregada no comando dos interruptores do inversor em Ponte Completa. Um detalhe da forma como é gerada este tipo de modulação está apresentado na Fig Vp1 Vp2 Vm S1 S3 S2 S4 Vab Vi -Vi Fig Modulação três níveis para o inversor em Ponte Completa. Adotando-se os mesmos parâmetros empregados na simulação numérica do inversor Três Níveis com neutro grampeado ao inversor em Ponte Completa da Fig. 2.22, obtém-se o espectro harmônico da tensão de saída, conforme mostra a Fig

38 20 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos S1 D1 S2 D3 Vi Carga S3 D2 S4 D4 Fig Inversor em ponte completa % Ordem da componente harmônica Fig Espectro harmônico da tensão de saída três níveis do Inversor em Ponte Completa. Comparando-se os espectros harmônicos das tensões de saída dos inversores em Ponte Completa e Três Níveis, apresentados nas Fig e Fig respectivamente, percebe-se que a frequência da tensão de saída do inversor em Ponte Completa é o dobro da frequência de comutação de seus interruptores. Esta situação também fica evidente na Fig Desta forma, caso fossem projetados filtros para eliminar as componentes harmônicas da tensão de saída destes inversores, operando numa mesma frequência de comutação, seguramente o volume do filtro do inversor em Ponte Completa seria menor do que o volume do filtro do inversor Três Níveis com Neutro Grampeado. Ressalta-se entretanto, que em um trabalho recente [6], utilizando-se dois braços do inversor Três Níveis e um indutor de circulação, tem-se o dobro da frequência de comutação na tensão de saída, e esta passa a ter cinco níveis. A principal desvantagem desta topologia reside na necessidade de se utilizar o dobro de interruptores.

39 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso Modulação PWM Senoidal Por Portadora Com Simetria De Um Quarto De Onda Este tipo de modulação também pode ser gerado, comparando-se duas formas de onda portadoras triangulares com uma moduladora senoidal, conforme está mostrado na Fig. 2.24, obtendo-se, assim, os sinais de comando para o inversor Três Níveis. A distinção da geração deste tipo de modulação, em relação à modulação PWM clássica, é que as ondas portadoras encontram-se adiantadas em noventa graus da moduladora quando esta passa por zero. Vp1 Vm Vp2 S1 S3 S2 S4 Fig Modulação Bipolar com simetria de um quarto de onda. A razão entre frequências M f deve ser determinada pela equação (7.13). Mf = 3.(2. i + 1) i = 0,1,2,... (7.13) Segundo [3], [2] este tipo de modulação possibilita a redução do conteúdo harmônico em relação à modulação convencional. Com o intuito de realizar um comparativo, efetua-se a análise harmônica da tensão de saída do inversor Três Níveis com os mesmos parâmetros empregados nas modulações anteriores. A taxa de distorção harmônica calculada até a harmônica de centésima ordem resulta em 0,79 % e a taxa de distorção da corrente em 0,16 %.

40 22 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos A Fig apresenta o espectro harmônico da tensão de saída do inversor, observa-se, em detalhe, que o conteúdo harmônico é reduzido à medida em que a ordem da harmônica aumenta, de forma mais acentuada do que na modulação unipolar sem simetria de um quarto de onda ,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% % % Ordem da componente harmônica Ordem da componente harmônica Fig Análise harmônica da tensão de saída do inversor com modulação por portadora com simetria de um quarto de onda Modulação PWM Senoidal Dipolar Este processo de modulação pode ser considerado com uma extensão da modulação bipolar (2 níveis), tanto o nome quanto a modulação foram propostas por Velaerts et alli [4]. A obtenção dos pulsos de comando para os interruptores é feita comparando-se uma onda portadora triangular com duas ondas moduladoras senoidais; ao passo que, a portadora triangular é simétrica em relação ao eixo das abscissas, uma das senóides excursiona somente no semiplano positivo do eixo das ordenadas e a outra somente no semiplano negativo. Esta comparação, bem como a geração dos pulsos de comandos dos interruptores está representado pela Fig

41 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 23 Vp Vm2 H K Vm1 S1 S3 S2 S4 Fig Modulação PWM dipolar. Observa-se que, quando o parâmetro H for igual ao parâmetro K, ambos identificados na Fig. 2.26, tem-se a modulação bipolar. O valor da tensão fundamental para este tipo de modulação é determinado pela equação (7.14). Vi V1 = M i.. sen( ω. t) (7.14) 2 O índice de modulação M i já descrito anteriormente, pode ser determinado pela equação (7.9). É importante salientar que, para a modulação dipolar o índice de modulação fica limitado em 0,5, incorrendo na limitação do valor máximo da tensão da fundamental. Assim, o valor de pico do termo fundamental não pode ser superior a um quarto do valor da tensão de entrada V i. Esta situação pode ser bem compreendida, observando-se a Fig. 2.26, onde os interruptores atingem seu valor máximo da razão cíclica, quando as ondas moduladoras se aproximam do eixo das abscissas. A Fig representa o inversor Três Níveis com o respectivo

42 24 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos circuito de comando para gerar os pulsos de acionamento dos interruptores, a partir da modulação dipolar. Adotando-se um índice de modulação de 0,38 e uma frequência de comutação de aproximadamente 20 khz, simulou-se o circuito em questão. Vi/2 Vi/2 a R Dg1 L IL Dg2 S1 S2 b S3 S4 D1 D2 D3 D4 Vp Vm1 Vm S1 S3 S2 S4 Fig Inversor Três Níveis e circuito de comando para modulação dipolar. Um detalhe da tensão sobre a carga, juntamente com a forma de onda da corrente são mostrados na Fig Atenta-se ao fato de que propositadamente as duas formas de onda não estão sincronizadas em relação ao eixo do tempo, possibilitando assim uma melhor visualização. 400V 0V -400V 24.80ms 25.00ms 25.20ms 25.40ms 25.60ms 25.80ms Tensão Vab 35A 0A -35A 16.6ms IL(t) 20.0ms 25.0ms 30.0ms Fig Detalhe da tensão Vab e corrente na carga. 34.8ms A Fig apresenta os resultados da análise harmônica da tensão e da corrente de saída do inversor Três Níveis utilizando a modulação dipolar. A taxa de distorção harmônica da tensão é de 2,79 % e da corrente da carga de 0,338 %; observa-se que os parâmetros da carga são os mesmos utilizados na modulação PWM unipolar e que o

43 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 25 cálculo da taxa de distorção é efetuado até a harmônica de centésima ordem ,50% 160 0,45% 0,40% 0,35% 0,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0% Ordem da componente harmônica % Ordem da componente harmônica Fig Espectro harmônico da tensão de saída do invesor Três Níveis com modulação dipolar. Através dos resultados obtidos a partir das simulações, conclui-se que a modulação proposta por Velaerts et alli [4] possui algumas desvantagens em relação à modulação PWM senoidal com simetria de um quarto de onda. Pode-se citar a limitação do valor da tensão fundamental e a presença de harmônicas em frequências mais baixas como sendo fatores importantes na escolha entre uma ou outra estratégia de modulação. 2.3 Modulação com Três ou Mais Níveis Nesta seção serão apresentadas estratégias de modulação por largura de pulso senoidais para conversores com múltiplos níveis de tensão na carga Modulação com Portadoras Dispostas em Fase (Phase Disposition PD) A modulação com portadoras dispostas em fase é uma modulação onde todos os semicondutores são comutados em alta frequência. Os sinais de comando são obtidos através da comparação do sinal de referência com uma das portadoras. Se o sinal de referência é maior que o da respectiva portadora, o interruptor é mantido conduzindo e, se a o sinal de referência é inferior ao da portadora, o interruptor permanece bloqueado. Geralmente são empregadas portadoras triangulares, as quais são dispostas em fase, com amplitudes iguais, diferindo apenas no seu valor médio. O número de portadoras necessárias é λ 1, onde λ é o número de níveis obtidos na tensão de fase de saída do conversor. Na Fig é mostrado um exemplo de modulação com as portadoras dispostas em fase para um conversor com cinco níveis na tensão de fase.

44 26 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos V RefA V Port1 V Port2 V Port3 V Port4 Fig Modulação com as portadoras dispostas em fase (Phase Disposition PD) Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição de Fase (Phase Opposition Disposition POD) A modulação com as portadoras dispostas em oposição de fase, como o próprio nome sugere, possui as portadoras negativas dispostas com 180 de defasagem das portadoras positivas, conforme pode ser conferido na Fig V RefA V Port1 V Port2 V Port3 V Port4 Fig Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em oposição de fase (Phase Opposition Disposition POD).

45 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 27 Esta modulação também comuta todos os interruptores em alta frequência e, assim como a anterior, são necessárias λ 1 portadoras para sua implementação. A principal diferença desta modulação para a modulação PD é em relação à Distorção Harmônica Total (DHT) presente na tensão de linha dos conversores. Embora as duas modulações proporcionem aproximadamente a mesma DTH na tensão de fase, a modulação com as portadoras em fase possibilita um melhor cancelamento de harmônicas na tensão de linha, proporcionando uma DTH na tensão de linha mais baixa do que a modulação com as portadoras em oposição de fase [7] Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição Alternada de Fase (Alternative Opposition Disposition APOD) A modulação com as portadoras dispostas em oposição alternada de fase possui características gerais semelhantes às da modulação previamente apresentada, porém neste caso, a defasagem de 180 das portadoras é de uma portadora para a portadora seguinte, e não das portadoras positivas e negativas como na modulação POD. Uma amostra da modulação com as portadoras dispostas em oposição de fase pode ser averiguada na Fig V RefA V Port1 V Port2 V Port3 V Port4 Fig Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em oposição alternada de fase (Alternative Phase Opposition Disposition APOD).

46 28 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos Modulação com as Portadoras com Deslocamento de Fase (Phase Shifted PS) A modulação com as portadoras com deslocamento de fase emprega λ 1 portadoras, todas com a mesma amplitude e nível médio nulo. As portadoras são deslocadas entre si de 360. Nesta λ 1 ( ) modulação os interruptores comutam durante todo tempo, não havendo intervalos de tempo nos quais os interruptores permanecem mais de um período bloqueados (ou conduzindo). Esta característica proporciona a mesma qualidade na tensão de saída que as modulações anteriores, com resultados semelhantes em termos de DHT. A filtragem da tensão de saída produzida com esta modulação se torna mais simples, pois as componentes harmônicas dominantes concentram-se em torno λ f, elevando a ordem das componentes harmônicas frequência ( ) 1 Port na tensão de saída. Em contrapartida o número de comutações é maior, elevando as perdas. Um exemplo de modulação com as portadoras com deslocamento de fase é visualizado na Fig V RefA V Port1 V Port2 V Port3 V Port4 Fig Exemplo de modulação com as portadoras com deslocamento de fase (Phase Shifted PS). Esta modulação apresenta ainda, tipicamente, uma distribuição de perdas equilibrada entre os semicondutores de potência. Esta característica é de grande importância para o projeto dos sistemas de refrigeração (que pode ser natural, com ventilação forçada ou com

47 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 29 circulação de fluidos), que são necessários para a dissipação do calor gerado na condução e na comutação dos interruptores Comparação Entre as Modulações Para comparar as modulações apresentadas foram realizadas algumas simulações numéricas com o programa de simulação PSIM. Adotou-se o conversor multinível simétrico empregando cascata de conversores em ponte completa, conforme a, com a associação de dois conversores em cascata, possibilitando sintetizar cinco níveis na tensão de fase e nove níveis na tensão de linha.

48 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos D N-1 1 A D N-1 1 A' V x S N-1 1 A D 1 1 A D N1A' D N 1A V x S 1 1 A D N 1A' S 1 2 A S 1 2 A' S N-1 2 A S N-1 2 A' S N 2A S N 2A' A D 1 2 A D 1 2 A' D N-1 2 A D N-1 2 A' D N 2A D N 2A' i A V x S 1 1 B S 1 1 B' V x S N-1 1 B S N-1 1 B' V x S N 1B S N 1B' D 1 1 B D N1B' D N-1 1 B D N-1 1 B' D N 1B D N 1B' S 1 2 B S 1 2 B' S N-1 2 B S N-1 2 B' S N 2B S N 2B' B D 1 2 B D 1 2 B' D N-1 2 B D N-1 2 B' D N 2B D N 2B' i B V x S 1 1 C S 1 1 C' V x S N-1 1 C S N-1 1 C' V x S N 1C S N 1C' D 1 1 C D N1C' D N-1 1 C D N-1 1 C' D N 1C D N 1C' S 1 2 C S 1 2 C' S N-1 2 C S N-1 2 C' S 1 1 A' S N 2C S N 2C' C S N-1 1 A' D 1 2 C D 1 2 C' D N-1 2 C D N-1 2 C' V x S N 1A S N 1A' D N 2C D N 2C' i C Fig Inversor trifásico de " λ "níveis empregando cascata de células monofásicas de conversores em ponte completa.

49 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 31 As figuras de mérito escolhidas para a comparação entre as modulações são: Distorção Harmônica Total das tensões de fase e de linha A distorção harmônica representa o quanto uma forma de onda possui de componentes harmônicas. Quanto maior for o valor da DHT mais harmônicas estão presentes e mais distante do formato sinusoidal é a forma de onda analisada. Este parâmetro é relevante, pois grande parte dos trabalhos científicos sobre conversores multiníveis emprega a DHT como índice para comparações; Distorção Harmônica Total de Primeira Ordem (Weighted Total Harmonic Distortion WTHD) da tensão de fase e de linha A distorção harmônica total de primeira ordem contempla em seu cálculo a amplitude de cada harmônica e a ordem da harmônica, onde as harmônicas de ordem mais elevada têm menor impacto no resultado do cálculo. Esta figura de mérito é importante nos conversores multiníveis, pois apresenta uma correlação com a distorção harmônica de corrente em um motor e, a dificuldade de realizar uma filtragem de primeira ordem de um determinado sinal [8]. Perdas de Comutação Normalizada As modulações sob análise possuem características diferentes em relação à comutação dos interruptores. Sendo assim, realizou-se o cálculo das perdas de comutação nos interruptores controlados e nos diodos para cada uma das modulações. As definições de Distorção Harmônica Total (DHT) e Distorção Harmônica Total de Primeira Ordem (WTHD) são apresentadas em [8] V0 Vn DHT = + (7.15) V V e 1 n= 2 1 WTHD = onde, n V 0 n= Vn n V representa a ordem da harmônica; representa o nível médio presente na tensão ca; (7.16)

50 32 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos V n representa a amplitude da componente harmônica de tensão de ordem n = 1,2,...,. Para a confecção da Tabela 2.1 foram realizadas várias simulações com as seguintes condições: f o = 50 Hz frequência fundamental de saída; f C = 750 Hz frequência de comutação para análise das DHT s; f C = 20 khz frequência de comutação para análise de perdas; m = 0,8 índice de modulação de amplitude; a A escolha dos parâmetros das condições de operação do conversor visou à reprodução dos resultados obtidos em [7]. Isto esclarece porque nesta análise é empregada uma frequência diferente do restante do trabalho. Salienta-se que, embora os valores de distorção harmônica não tenham sido idênticos aos valores obtidos pelos autores do artigo base, estas diferenças não interferem nas conclusões. A escolha da frequência de comutação de 20 khz para o cálculo de perdas foi pautada pela capacidade do interruptor empregado para tal análise, o SKM 75GB063D. Porém, como os resultados foram parametrizados em função das perdas obtidas com a modulação PD, alterações na frequência de comutação não alteram os resultados. Analisando os resultados da Tabela 2.1 pode-se verificar que todas as modulações possuem aproximadamente o mesmo conteúdo harmônico na tensão de fase, diferindo apenas na frequência onde estão concentradas as componentes harmônicas mais relevantes. Este fato fica evidente na DHT das tensões de linha, onde o cancelamento de harmônicas favorece a modulação PD, pois esta modulação concentra as maiores componentes em frequências nas quais ocorre o cancelamento quando uma fase é subtraída da outra. Quando a análise da distorção harmônica leva em consideração a ordem da componente harmônica (WTHD), atribuindo menor peso às harmônicas de maior ordem, a modulação PS se apresenta com excelente desempenho. Na modulação PS a frequência das harmônicas mais relevantes depende da frequência de comutação e também do número de níveis do conversor, portanto quanto maior o número de níveis do conversor maior a ordem das harmônicas. As perdas de comutação proporcionadas pelas modulações com portadoras defasadas pelo seu nível médio (PD, POD, APOD) são aproximadamente iguais. A modulação PS, devido ao número de

51 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 33 comutações mais elevado, apresenta maiores perdas do que as outras opções de modulação. Tabela 2.1 Comparação das distorções harmônicas e das perdas de comutação entre as modulações PD, POD, APOD e PS para um inversor trifásico em cascata com cinco níveis. m a = 0,8 f C = 750 Hz PD POD APOD OS DHT Fase [%] 37,949 37,946 37,948 38,183 DHT Linha [%] 21,552 35,231 29,187 29,512 WTHD Fase [%] 2,518 2,436 2,332 0,543 WTHD Linha [%] 1,452 2,378 1,786 0,414 Perdas de Comutação Normalizada [%] 100,00 100,32 99,91 405,09 f = 20 khz C Exemplo de Modulação Híbrida Outras formas de modulação podem ser encontradas na literatura, como a modulação híbrida proposta por Zaragoza, J.; Pou, J.; Ceballos, S. et al. [9] para o conversor com grampeamento através de diodos com três níveis na tensão de fase. Neste trabalho, os autores propõem uma modulação baseada em outras duas modulações, onde é utilizado um sistema de controle para determinar o intervalo de tempo que cada modulação é utilizada. Esta modulação híbrida foi comparada com as modulações que a originaram e, como era de se esperar, seu desempenho é intermediário em relação às modulações originárias. As duas modulações que compõem a modulação híbrida proposta são do tipo PWM com portadoras dispostas em fase. A modulação denominada modulação PWM senoidal padrão (Standard Sinusoidal Pulsewidth Modulation SPWM) é semelhante à apresentada na seção 2.3.1, porém a referência é modificada pela injeção de componente de sequência zero. A injeção de componentes de sequência zero na referência redistribui o tempo de condução dos interruptores, reduz a ondulação de tensão no ponto central dos capacitores e permite elevar o índice de modulação do conversor em 15 % [8, 9]. A injeção de sequência zero na referencia é realizada empregando a equação (7.17) v ' a = va v v ' b = vb v v ' c = vc v (7.17)

52 34 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos onde: ( v v v ) + ( v v v ) max a, b, c min a, b, v0 = 2 c (7.18) e, ( π ) va = ma cos 2 fo vb = ma cos 2 fo vc = ma cos 2 fo + ( π 2 π 3 ) ( π 2 π ) 3 (7.19) onde, f o é a frequência fundamental do sinal de saída e m a é o índice de modulação de amplitude. Sendo assim, a modulação SPWM empregada na modulação híbrida proposta em [9] pode ser visualizada na Fig A segunda modulação é composta de dois sinais de referência, um positivo e um negativo, os quais são originados através da expressão (7.20) [10]. v v 1 ip in ( ) vi min va, vb, vc = 2 vi max va, vb, vc = 2 v a ( ) { a b c} onde i =,, (7.20) 0 V Port1-1 V Port2 Fig Modulação PWM senoidal padrão (Standard Sinusoidal Pulsewidth Modulation SPWM) com injeção de componentes de sequência zero.

53 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 35 A modulação PWM com dupla referência para cada fase (Double-Signal Pulsewidth Modulation DSPWM) pode ser observada na Fig v ap 0 V Port1-1 V Port2 v an Fig Modulação PWM com dupla referência (Double-Signal Pulsewidth Modulation DSPWM). A análise das três modulações em termos da Distorção Harmônica Total, das perdas por comutação e da ondulação de tensão no ponto central do barramento de corrente contínua estão sumarizadas na Tabela 2.2. Tabela 2.2 Comparação entre as modulações SPWM e DSPWM Modulação DHT Perda de Ondulação de Tensão Comutação no Ponto Central SPWM Menor Menor Maior DSPWM Maior Maior Menor HPWM Intermediária Intermediária Intermediária A modulação híbrida proposta em [9] (Hybrid Pulsewidth Modulation HPWM) é mostrada na Fig Pode-se verificar que a modulação híbrida possui duas referências para cada fase, sendo uma positiva v ahp e uma negativa v ahn. O intervalo representado pelo ângulo δ é determinado por um controlador, visando manter a ondulação de tensão no ponto central do barramento dentro de um limite imposto pelo projetista, com a menor perda possível e com a menor DHT. Quando o parâmetro δ é nulo, a

54 36 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos modulação híbrida se torna igual à DSPWM e, quando o ângulo δ é máximo, a modulação híbrida é igual à SPWM. 1 v ahp 0 HPWM SPWM -1 v ahn δ δ δ δ Fig Modulação híbrida proposta por Zaragoza (Hybrid Pulsewidth Modulation HPWM). O conversor em cascata empregando células em ponte completa pode ser encontrado na literatura com outras modulações híbridas. Uma das mais conhecidas é a que utiliza frequências distintas para cada célula em cascata [11-14]. Um exemplo desta modulação pode ser averiguado na Fig

55 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 37 (a) 1 V Port1 0 (b) -1 V Port2 Fig Exemplo de modulação híbrida empregando frequências distintas para cada célula de conversor em ponte completa. (a) Tensão de saída sintetizada por um dos inversores. (b) Sinal de referência e portadoras empregadas para determinar os pulsos de comando do segundo inversor. Neste tipo de modulação, um conversor ponte completa comuta em baixa frequência, sintetizando na saída uma onda retangular conforme a apresentada na Fig (a). Enquanto isso, outro conversor em ponte completa recebe a modulação PWM mostrada na Fig (b), para sintetizar a tensão que não foi sintetizada pela célula que comuta em baixa frequência. Quando se realiza a associação em cascata destes dois conversores, é obtida na saída uma onda senoidal PWM. Esta metodologia pode ser aplicada com mais do que duas células em cascata, bem como com mais de duas frequências de comutação. 2.4 Modulação SHE xxxx 2.5 Modulação por Vetores Espaciais xxxx

56 38 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos 2.6 Conclusão Foram apresentadas e comparadas qualitativamente as principais técnicas de modulação aplicáveis ao inversor Três Níveis. Das técnicas de modulação PWM naturais, a modulação com simetria de um quarto de onda apresentou os melhores resultados no que tange a taxa de distorção harmônica. Os cálculos efetuados para determinar a taxa de distorção harmônica levaram em consideração apenas as harmônicas presentes até a centésima ordem, pois considera-se que, em aplicações práticas, as harmônicas de alta frequência podem ser filtradas facilmente, se necessário. A técnica de modulação três níveis, adotada para comandar o inversor em Ponte Completa, não é aplicável ao inversor Três Níveis; logo, a frequência de comutação vista pela carga do inversor Três Níveis é a própria frequência de comutação. A modulação dipolar apresenta como principal desvantagem a limitação do índice de modulação, restringindo, desta forma, o valor de pico da tensão de saída do inversor a um quarto da tensão de barramento. Do ponto de vista dos cargas trifásicas, a tensão de linha da modulação três níveis unipolar possuirá cinco níveis, já, a modulação dipolar apresenta somente três patamares de tensão sobre a carga. Deve-se salientar que foram exploradas apenas as modulações PWM senoidais ditas naturais, as quais podem ter seu princípio de funcionamento digitalizado e otimizado no que se refere à taxa de distorção harmônica total. Ao longo dos próximos capítulos, optou-se por adotar a modulação por portadora com simetria de um quarto de onda, devido aos resultados propiciados pelo método.

57 Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 39

58 40 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 3 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 3.1 Ações básicas dos controladores P, I, PI, PID 3.2 Conceito de pólo, zero, estabilidade Diagrama de bode [15] [16] [17] [18] [19] Introdução O uso de diagramas de Bode na análise da resposta em frequência de sistemas lineares foi desenvolvido por H.W. Bode e introduzido em 1940 no estudo das características em frequência de amplificadores eletrônicos. A técnica desenvolvida por Bode foi, posteriormente, largamente disseminada para análise e projeto de sistemas de controle. Em linhas gerais, diagramas de Bode possibilitam uma aproximação efetiva da resposta em frequência de sistemas complexos pela combinação da resposta de fatores de primeira e segunda ordem. Embora atualmente os engenheiros responsáveis pelo desenvolvimento de projetos de sistemas de controle tenham a sua disposição poderosas ferramentas computacionais que diminuem sobremaneira a necessidade do traçado manual dos gráficos de módulo e fase que compõe os diagramas de Bode, tal técnica ainda é bastante utilizada pela sua facilidade, rapidez e quantidade de informações que se pode obter de um dado sistema sob análise de forma bastante simplificada Teoria sobre Diagramas de Bode O método proposto por Bode é constituído por dois gráficos. O primeiro gráfico, relacionado a magnitude da função de transferência G( jω ) é traçado em função da frequência em escala log-log. O segundo gráfico, relacionado a fase de ( ) G jω, também é traçado em função da frequência, porém em escala linear-log. Esta estratégia permite-nos traçar diagramas de resposta em frequência sistemas de PGEEL

59 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 41 ordem elevada, adicionando-se separadamente os gráficos relativos a cada um termos de primeira e segunda ordem que compõe G( jω ). Como exemplo, consideremos a seguinte função de transferência: ( s + z) G1 ( s) = (8.1) ( s + p) Admitindo s= jω, pode-se rescrever (8.1) na seguinte forma: G ( s) = G ( jω) + cos φ + j G ( jω) sinφ (8.2) Com a magnitude dada por: G ( jω) 1 = 2 2 ( z + ) p ω + ω 2 2 ( ) (8.3) E com a fase dada por: ω ω φ 1 = arctan arctan (8.4) z p No caso geral de uma função de transferência com n pólos e m zeros, o módulo será calculado de acordo com (4), isto é: G( jω) = K m i= 1 n j= 1 ( z ) i ( p ) j + ω ω 2 2 (8.5) Sendo a fase, dada pela diferença das somatórias das contribuições de fase cada um dos m zeros e n pólos da G( jω ), ou seja: m ω n ω φ( G( jω )) = arctan arctan = = z p (8.6) i 1 i 1 i i

60 42 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Pela análise da equação (8.5) é direto concluir-se a seguinte relação: (8.7) m 2 2 n 2 2 i= 1 i j = 1 i log G ( j ω) = log K + log ( z ) + ω log ( p ) + ω Justificando-se a idéia de representar o gráfico de magnitude de G( jω ) em escala log-log. Através das equações (8.6) e (8.7) pode-se então concluir que a resposta em frequência completa de uma função de transferência genérica G( jω ) pode ser obtida através da somatória da resposta em frequência de cada dos fatores que a compõe Composição do Diagrama de Bode Quando se trata de uma função de transferência com vários pólos e zeros, o traçado das curvas de magnitude e de fase, que compõe o diagrama de Bode, é realizado pela combinação das curvas de magnitude e fase de cada um dos termos que a compõe. Desta forma, a declividade das assíntotas da curva de magnitude da função de transferência é dada pela somatória das declividades das assíntotas para cada um dos termos individuais. Portanto na composição da curva assintótica de magnitude as declividades mudam nas frequências em que existem pontos de quebra: +20 db/década se o ponto de quebra for relativo a um termo de primeira ordem do numerador, -20 db/década se for relativo a um termo de primeira ordem no denominador e, ±40 db/década se o ponto de quebra for associado a um termo de segunda ordem no numerador ou no denominador respectivamente. Para baixas frequências, as assíntotas são determinadas pelo valor de γ dos termos γ k 0 ω, determinando-se k 0 na frequência ω=1.0 rad/s. Desta forma, o traçado completo da curva de magnitude do diagrama de Bode é realizado começando-se pelo traçado das assíntotas em baixas frequências, alterando-se as declividades sequencialmente a cada ponto de quebra de forma a cobrir toda a faixa de frequências de interesse. A composição do diagrama de Bode de fase é feita adicionandose as curvas individuais de fase. Uma forma rápida bastante utilizada para o traçado da curva assintótica de fase consiste em cada um dos termos de primeira ordem no numerador adicionar-se +90 o na frequência em que existe ponto de quebra e, da mesma forma, adicionar-se 90 o se os termos de primeira ordem estiverem no denominador. Se o ponto de quebra relacionar-se com fatores de segunda ordem, descrito PGEEL

61 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 43 anteriormente como sendo a terceira classe de termos, os incrementos de fase serão de ±180º se o ponto de quebra for associado a um termo de segunda ordem no numerador ou no denominador respectivamente. Uma vez obtidas as curvas assintóticas de magnitude e fase, refina-se o traçado das mesmas empregando as regras de transição apresentadas anteriormente. No intuito de abstrair os conceitos descritos até o momento, abaixo, segue alguns exemplos de gráficos de bode, para diferentes funções de transferência. Posteriormente, será descrito o procedimento, passo a passo, para montagem dos destas curvas. a) Exemplo de diagrama de bode para uma função de transferência que contenha zeros e pólos reais: 2000( s + 0.5) G( s) = [ s ( s + 10) ( s + 50)] 40 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função de transferência com zeros e pólos reais b) Exemplo de diagrama de bode para uma função de transferência que contenha pólos reais e complexos: G( s) = 10 2 [ s ( s + 0.4s + 4)]

62 44 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 40 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função de transferências com pólos reais e complexos c) Exemplo de diagrama de bode para uma função de transferência que contenha zeros e pólos, reais e complexos: ( s s + 1) 2 2 [ (( / 4) ( / 2) + 1)] G( s) = s s s PGEEL

63 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 45 0 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função de transferência com zeros e pólos reais e complexos Construção do Diagrama de Bode O procedimento empregado para construção do diagrama de bode pode ser resumido em oito passos descritos a seguir. Passo 1: Considera-se a seguinte função de transferência a qual deseja-se obter o Diagrama de Bode: m s + a s a s + a G( s) = K s n + b s + + b s + b m 1 1 m 1 n m 1 m m (8.8) Onde: m n A função de transferência (8.8) deve ser manipulada de forma a aparecer as três classes de termos possíveis encontrados na sua composição, por exemplo: zr zc/2 jω jω ( jωr ) 2ξ 1 i= i= 1 + i + γ ωi ωi G( jω) = Ko ( jω) 2 pr pc/2 jω jω ( jωτ 1) 2 1 k 1 k + ξ = k = 1 + k + ωi ωk 2 (8.9)

64 46 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Portanto, γ zeros ou pólos na origem que representam a primeira classe termos previamente apresentadas, z R zeros ou p R pólos reais representando a segunda classe de termos e z c /2 pares de zeros ou p c /2 pares de pólos complexos conjugados que representam a terceira e última classe de termos. γ Passo 2: Determinar o valor de γ para classe de termos Ko ( jω ). Traçar a assíntota de baixa frequência a partir do ponto Ko determinado na frequência ω=1 rad/s. A assíntota terá declividade de 20γ db/década. Passo 3: Estender a assíntota de baixa frequência até o primeiro ponto de quebra. Neste ponto, alterar a declividade da curva assintótica de ±20 db/década ou ±40 db/década dependendo se o ponto de quebra está associado a um termo de primeira ou segunda ordem no numerador ou denominador da função de transferência. Este procedimento deve ser repetido em toda faixa de frequências até que seja alcançado o último ponto de quebra. Passo 4: Com base na curva assintótica de magnitude incrementa-la nos pontos de quebra associados a termos de primeira de +3 db, se for um termo do numerador, e 3 db se for do denominador. Se o ponto de quebra for associado a termos de segunda ordem, representar os vales ou picos empregando a relação G( jω) = 2ξ,ou G( jω) = 1/ 2ξ, no ponto de quebra. Passo 5: Traçar a curva assintótica de fase para baixas frequências, isto é, φ = γ x90 Passo 6: Da mesma forma que na curva de magnitude, estender a assíntota de baixa frequência até o primeiro ponto de quebra, alterando a fase em ±90º ou ±180º. Se o ponto de quebra estiver relacionado a termos de primeira ordem no numerador, a curva assintótica de fase será alterada em +90º, por outro lado, se estiver relacionado ao denominador, a curva assintótica de fase será alterada em 90º. Para termos de segunda ordem a alteração da curva assintótica de fase sofrerá uma alteração de ±180º. PGEEL

65 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 47 Passo 7: Traçar nas curvas assintóticas de fase individuais as transições para os termos de primeira e de segunda ordem. Passo 8: Adicionar graficamente cada uma das curvas individuais, começando pela assíntota de baixa frequência e finalizando pela assíntota de alta frequência. Quanto mais distantes estiverem os pontos de quebra sucessivos, mais próximas as curvas de magnitude e fase assintóticas serão das curvas reais. A seguir, são mostradas as curvas assintóticas de magnitude e fase associadas a cada uma das classes de termos básicos que compõe as funções de transferência. 1- Função Transferência caracterizada por Ganho: G( jω ) = K Diagrama de Bode Assintótico Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus a) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real: G( s ) = 10

66 48 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 21 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por Ganho 2- Função Transferência caracterizada por Zero: jω G( jω) = 1+ ω1 Diagrama de Bode Assintótico Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus a) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real: G( s) = s + 1 PGEEL

67 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Bode Diagram 20 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função Transferência caracterizada por Zero 3- Função Transferência caracterizada por Pólo: jω G( jω) = 1+ ω1 1 Diagrama de Bode Assintótico Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus a) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

68 50 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 1 G( s) = ( s + 1) 0 Bode Diagram -5 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por Pólo 4- Função Transferência caracterizada por Zero na origem: G( jω) = jω Diagrama de Bode Assintótico Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus b) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real: PGEEL

69 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 51 G( s) = s 40 Bode Diagram 30 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por Zero na origem 5- Função Transferência caracterizada por Pólo na origem: 1 G( jω) = jω Diagrama de Bode Assintótico Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus

70 52 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle c) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real: G( s) 1 = s 20 Bode Diagram 10 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por Pólo na origem 6- FT com Zeros Complexos: 2 jω jω G( jω) = + 2ξ + 1 ωn ωn, sendo 0.1 ξ 1 Diagrama de Bode Assintótico Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus PGEEL

71 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 53 d) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real: G s s s 2 ( ) = Bode Diagram 30 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: FT com Zeros Complexos 7- FT - Pólos Complexos: 2 jω jω G( jω) = + 2ξ + 1 ωn ω n 1, sendo 0.1 ξ 1 Diagrama de Bode Assintótico

72 54 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Magnitude 20.log. G(jw) em db Fase G(jw) em graus g) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real: G( s) = 1 s 2 ( + + 1) s 10 Bode Diagram 0 Phase (deg) Magnitude (db) Frequency (Hz) Fig Diagrama de Bode: Função transferência com Pólos Complexos PGEEL

73 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Diferença entre diagrama de Bode real e a aproximação assintótica Conforme visto no item anterior, ao construir um gráfico de bode de uma função transferência por meio de curvas assintóticas, haverá uma pequena diferença com a resposta real do diagrama de bode. Essa diferença fica um pouco mais saliente nas chamadas frequência de canto ou de corte, onde há uma mudança na inclinação da reta. Em alguns casos, é interessante conhecer o valor desta diferença, e por isso, a seguir, será utilizado um exemplo para descrever o procedimento de cálculo. Seja a função de transferência: 1 G( s) = ( Ts + 1) (8.10) Onde T=0.5, e o pólo =2. Para esta função, comparando o gráfico assintótico e o real, temse: Fig Comparação Diagrama de Bode: Traçado Assintótico x Real Analisando a Fig. 3.11, percebe-se que a diferença entre as curvas ocorre em pontos específicos, onde há influência de pólos ou zeros. Abaixo será descrito como calcular essa diferença nos pontos em questão:

74 56 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Ponto 1: 1 ω = : T G s = Ts + = = db G jω = + j = 2 ( ) 20 log (( ) 1) 20 log 2 3 arg ( ) arg(1 ) 45 db Ponto 2: 1 ω = : 10T j arg G( jω) = arg 1+ = Ponto 3: 10 ω = : T ( j) arg G( jω ) = arg = Conforme visto, realmente há uma diferença entre os traçados assintótico e real do diagrama de bode. Porém, a metodologia utilizada para o traçado assintótico ainda é uma boa estratégia para estimar o comportamento de uma função de transferência sem a utilização de programas e recursos computacionais Sistemas Lineares de Fase Não Mínima A definição de sistemas lineares de fase não mínima está associada diretamente com o posicionamento dos pólos e zeros finitos da função de transferência do sistema em questão. Funções de transferência que apresentam todos os seus pólos e zeros localizados no semiplano esquerdo do plano s são denominadas funções de transferência de fase mínima. Em contrapartida, se na função de transferência em questão existir pelo menos um pólo ou zero no semiplano direito do plano s, o sistema será denominado de fase não mínima. De forma a justificar tal denominação, considera-se dois sistemas lineares de primeira ordem descritos pelas funções de transferência (8.11) e (8.12), apresentadas a seguir: ( s + 1) G1 ( s) = ( s + 10) (8.11) PGEEL

75 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 57 ( s 1) G2 ( s) = ( s + 10) (8.12) A Fig apresenta os diagramas de pólos e zeros das funções de transferência (8.11) e (8.12). Fig (a) Diagrama de pólos e zeros da função de transferência (3.10); (b) Diagrama de pólos e zeros da função de transferência (3.11) Pela análise da Figura 12 (item (a) e (b)) pode-se constatar que G 1 (jω) = G 2 (jω) independente do valor da frequência ω. Desta forma, os diagramas de Bode de magnitude destes dois sistemas serão idênticos. No entanto, o mesmo não ocorrerá com o diagrama de Bode de fase destes sistemas. Tal fato explica-se mediante a análise das equações de fase de cada um destes sistemas, ou seja: Fase ( ) arctan arctan ω G1 jω = ω (8.13) 10 Fase ( ) 180 arctan arctan ω G2 jω = ω (8.14) 10 Na equação (8.13), para valores de frequência muito pequenos, a fase de G ( ) 1 jω é aproximadamente zero, ocorrendo o mesmo para valores muito elevados de frequência. Para a função de transferência (8.12), a fase G ( ) 2 jω, para valores de frequência pequenos, é praticamente 180º. O diagrama de Bode de magnitude e fase de cada um destes sistemas é apresentado nas Fig e Fig

76 58 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 0-2 Bode Diagram System: g1 Frequency (rad/sec): 94.4 Magnitude (db): Magnitude (db) System: g1 Frequency (rad/sec): Magnitude (db): System: g1 Frequency (rad/sec): 3.16 Phase (deg): 54.9 Phase (deg) 30 System: g1 Frequency (rad/sec): Phase (deg): System: g1 Frequency (rad/sec): 758 Phase (deg): Frequency (rad/sec) Fig Diagrama de Bode do sistema descrito pela FT da equação (3.10) 0-2 Bode Diagram System: g2 Frequency (rad/sec): 295 Magnitude (db): Magnitude (db) System: g2 Frequency (rad/sec): Magnitude (db): System: g2 Frequency (rad/sec): Phase (deg): Phase (deg) System: g2 Frequency (rad/sec): 846 Phase (deg): Frequency (rad/sec) Fig Diagrama de Bode do sistema descrio pela FT da equação (3.11) Margem de fase Introdução No projeto de sistemas de controle em malha fechada é muitas vezes necessário analisar mais profundamente a questão da estabilidade. PGEEL

77 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 59 Em particular, é normalmente desejável obter medidas de quão longe da instabilidade está o sistema nominal em malha fechada, ou seja, é necessário quantificar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada. Esta quantificação pode obter-se definindo medidas da distância da resposta em frequência do sistema nominal ao ponto de estabilidade crítica (-1,0). Observação: Essas medidas servem para quantificar a tolerância na aquisição de componentes, colocar limites no desgaste admissível de peças, etc. Assumem um sistema nominal estável e quantificam algumas distâncias à estabilidade crítica Margens de Ganho ( G M ): É a faixa de ganho que se pode incrementar ou decrementar a curva de resposta em frequência de módulo da função de transferência de malha aberta (de laço) de um sistema até que se alcance o ponto de estabilidade crítica. Neste ponto o sistema ainda será estável em malha fechada. A margem de ganho é medida na frequência em que a fase cruza por -180º: G G( jω ) H ( jω ) = 1 (8.15) M M M A (8.15) também pode ser reescrita para que a margem de ganho seja expressa em decibéis, como pode ser visto na (8.16): 1 G = MdB 20log 20log G( jωm ) H ( jωm ) G( jω ) H ( jω ) = (8.16) M M Onde: ωm é a frequência em que a fase de G( jωm ) H ( jω M ) é igual a 180º. Definições: Margem de Ganho Positiva ( G M +): Ganho em decibéis que se deve somar para levar o sistema à condição de estabilidade crítica. Margem de Ganho Negativa ( GM -): Ganho em decibéis que se deve subtrair para levar o sistema à condição de estabilidade crítica. Frequência de cruzamento de ganho (Wcg): Corresponde ao ponto em que o ganho cruza a linha de zero decibel no diagrama de módulo. Frequência de cruzamento de fase (Wcp): Corresponde ao ponto em que a fase cruza a linha de -180 graus no diagrama de fase.

78 60 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Margem de Fase (MF): É o valor angular a ser acrescido ou decrescido à curva de fase da resposta em frequência de um sistema operando em malha aberta na frequência em que a curva de módulo da resposta em frequência deste mesmo sistema apresenta valor unitário (ou 0.0 db). Com isso, acaba indicando quanto a fase do sistema pode ser atrasada (na frequência de cruzamento de ganho) de forma que o sistema ainda seja estável em malha fechada. { G j H j } φ = arg ( ω ) ( ω ) (8.17) M 0dB 0dB Onde: ω0db é a frequência em que o módulo de G( jωm ) H ( jω M ) é igual a 1 (0 db). Informações associadas às Margens de Ganho e de Fase podem ser obtidas diretamente dos diagramas de Bode. Para exemplificar essa análise, será utilizada uma ferramenta computacional, o MATLAB. O MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory) é um programa para desenvolvimento e implementação de algoritmos numéricos ou simbólicos que oferece ao usuário um ambiente interativo de programação para estudo e pesquisa nas diversas áreas das ciências exatas. Considera-se, doravante, que o leitor possui conhecimento básico desta ferramenta. Exemplo 1: Para o sistema disposto na Fig. 3.15, serão obtidas as margens de fase e ganho do sistema para os casos em que K = 10 e K = 100. Fig Sistema proposto para análise das margens de ganho e fase Análise do sistema para K=10: PGEEL

79 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 61 Conforme comentado anteriormente, serão utilizados comandos específicos do programa MATLAB para definir o diagrama de bode do sistema, e assim, analisar as margens de ganho e fase. %Define a Função Transferência a ser analisada: Gs_10=tf([10],[conv([1 0],conv([1 1],[1 5]))]) %Armazena os dados relevantes da FT: margem de ganho, fase, frequências de % cruzamento. [Gma,Pma,Wcga,Wcpa] = MARGIN(Gs_10) %Plota o Diagrama de bode para visualização dos Dados. MARGIN(Gs_10) Bode Diagram 50 Gm = db (at rad/sec), Pm = deg (at rad/sec) 0 System: Gs_10 Frequency (rad/sec): 2.26 Magnitude (db): Phase (deg) Magnitude (db) System: Gs_10 Frequency (rad/sec): 1.22 Phase (deg): Frequency (rad/sec) Fig Diagrama de Bode do sistema para K=10 Análise do sistema para K=100 Do mesmo modo que utilizado no item a, neste caso, o diagrama de bode, e a análise do sistema, também foram implementados com a ajuda do MATLAB:

80 62 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle %Define a Função Transferência a ser analisada: Gs_100=tf([100],[conv([1 0],conv([1 1],[1 5]))]) %Armazena os dados relevantes da FT: margem de ganho, fase, frequências de %cruzamento. [Gmb,Pmb,Wcgb,Wcpb] = MARGIN(Gs_100) %Plota o Diagrama de bode para visualização dos Dados. MARGIN(Gs_100) 50 Bode Diagram Gm = db (at rad/sec), Pm = deg (at rad/sec) System: Gs_100 Frequency (rad/sec): 2.27 Magnitude (db): 10.2 Phase (deg) Magnitude (db) System: Gs_100 Frequency (rad/sec): 3.86 Phase (deg): Frequency (rad/sec) Fig Diagrama de Bode do sistema para K=100 Comparando os resultados da obtidos, tem-se: K=100(Instável) K=10(Estável) Ganho absoluto (db) Gma = (- Gmb = 3 (9 db) 10 db) Fase (graus) Pma = Pmb = Frequência Cruzamento Wcga = Wcgb = (Ganho) (rad/sec) Frequência Cruzamento Wcpa = Wcpb = Fase (rad/sec) PGEEL

81 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 63 Lembrando: Critério de estabilidade do Bode, Gm >1 estabilidade Critério de estabilidade Bode, MF >0 estabilidade Exemplo 2: No exemplo anterior, foi disponibilizado o diagrama de blocos do sistema, com suas respectivas funções de transferência. Mas, em casos onde não há função de transferência, apenas o comportamento do diagrama de bode, em relação à estabilidade do sistema, é importante definir quanto se pode atrasar a fase para que chegue a -180º. 40 Bode Diagram 30 Phase (deg) Magnitude (db) wg Frequency (rad/sec) Fig Diagrama de Bode de um sistema não especificado Percebe-se que a frequência para a qual o módulo é 0 db é rad s. Neste ponto a fase cruza em -155º. O valor para a margem de fase, neste caso, é φ mf = 25. Sendo a margem de fase positiva, então o sistema será estável em malha fechada. Dessa maneira, é possível afirmar que se este sistema for submetido a uma entrada em degrau unitário, a curva de resposta em malha fechada tenderia a estabilização. Na Fig está o comportamento esperado deste sistema para esta condição:

82 64 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 1.5 Step Response 1 Amplitude Time (sec) Fig Resposta à entrada degrau do sistema analisado no exemplo Resumo Utilização dos Diagramas de Bode para análise da margem de ganho e de fase: Vantagens: 1- Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode ser obtido, de forma aproximada, através de suas propriedades assintóticas. 2- Ganho de cruzamento, fase de cruzamento, margem de ganho e margem de fase são mais facilmente determinados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist Para propósitos de projeto, os efeitos de adição de controladores e seus parâmetros são mais facilmente visualizados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist 1. [15] Desenvolvido por Harry Nyquist (1932) nos laboratórios Bell, os diagramas de Nyquist são diagramas polares, enquanto os diagramas de Bode são diagramas retangulares. Este diagrama também é PGEEL

83 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 65 comumente usado para a representação de sistema de controle com retroações lineares e invariantes no tempo, no domínio da frequência. Desvantagens: 1- A estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima, na qual, sua função de transferência apresenta todos os seus pólos e zeros localizados no semiplano esquerdo do plano s Lugar das raízes Introdução O método do Lugar Geométrico das Raízes foi desenvolvido por W. R. Evans [15] e apresentado em um artigo publicado em Este método tem por objetivo representar graficamente o deslocamento dos pólos de malha-fechada de um sistema linear quando sujeito a variação de um ou mais parâmetros. O método do LGR é muito eficiente para a análise e projeto de sistemas de controle lineares, permitindo concluir aspectos relacionados a estabilidade e a resposta transitória destes sistemas Utilização e Aplicação A principal vantagem deste método é que as raízes da equação característica podem ser obtidas diretamente. Daí resulta a solução completa da resposta transitória e da resposta em regime permanente da variável controlada. Seja o diagrama mostrado na Fig um representante genérico de um sistema de controle.

84 66 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Fig Diagrama de Blocos Genérico de um sistema de controle realimentado Sua função transferência de Malha Fechada é definida como: C( s) Gc( s) Gi( s) = R( s) 1 + Gc( s) Gi( s) H ( s) (8.18) Onde: 1 + Gc( s) Gi( s) H ( s) = 0 é sua equação característica. A característica básica da resposta transitória de um sistema em malha fechada depende essencialmente dos pólos de malha fechada. Estes são definidos como sendo as raízes da equação característica do sistema (mostrada acima). O método do lugar das raízes é um método pelo qual as raízes da equação característica são colocadas em um gráfico para todos os valores de um parâmetro do sistema. As raízes correspondentes a um valor particular deste parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante. Note que o parâmetro usualmente é o ganho, porém qualquer outra variável da função de transferência em malha aberta pode ser utilizada. Salvo menção em contrário, é considerado que o ganho da função de transferência em malha aberta é o parâmetro a ser variado através de todos os seus valores, isto é, de zero a infinito. A estabilidade do sistema poderá ser analisada verificando a partir de qual valor de ganho K teremos raízes no semiplano direito do gráfico. Quando forem observadas raízes no semiplano direito do gráfico, teremos a instabilidade do sistema Regras de Construção de um LGR O procedimento de Evans para construir o LGR consiste de uma coleção de regras para determinar se o ponto de teste, S, no plano t PGEEL

85 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 67 complexo é um pólo de malha-fechada do sistema para algum valor de K. Regra 1: Os pólos de malha aberta são todos pontos do LGR correspondentes ao ganho K = 0. Regra 2: O número de ramos do LGR é exatamente igual à quantidade de raízes do denominador da função de transferência em malha-fechada. Regra 3: Para K 0, qualquer ponto do eixo real que ficar a esquerda de um número impar de singularidades (pólos ou zeros) localizadas também no eixo real é um ponto do LGR (Esta regra pode ser comprovada aplicando a condição angular (8.19), para testar pontos no eixo real). G( s) H ( s) = ± (2h + 1)180 (8.19) Onde h=0,1,2,... Regra 4: O LGR é simétrico em relação ao eixo real. Regra 5: Se G(s) tem n pólos e m zeros finitos (m n) então exatamente m ramos terminam, quando k, em zeros finitos. Os ramos remanescentes (n-m) tendem ao infinito para k. A validade desta regra pode ser mostrada fazendo-se o limite para k, da (8.20), ou seja: 1 lim k G( s) H ( s) = limk = 0 (8.20) k Portanto para k, é verdadeiro afirmar que G( s) H ( s) 0, e para que isto ocorra, o valor de s deve ser qualquer zero finito de G( s ). Regra 6: Se G( s ) tem n pólos e m zeros finitos (m n) então os (n m) ramos tendem assintoticamente, quando k, para uma reta que intercepta o eixo real no ponto σ o e que forma um ângulo γ com o mesmo eixo real, onde: (1 + 2 h)180 γ = ± n m Onde h=0,1,2,... (8.21)

86 68 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle n m Re( p ) Re( zl ) (8.22) n m σ i = 1 i l = 1 o = Regra 7: O cálculo dos pontos de entrada e de saída do Lugar Geométrico das Raízes no eixo real do plano s é realizado com base na equação (8.23), descrita abaixo: dg( s) H ( s) = 0 (8.23) ds Regra 8: Nos casos em que o LGR do sistema, em análise, apresenta raízes sobre o eixo imaginário, o valor do ganho K necessário para que ocorra tal situação poderá ser determinado empregando-se o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz 2. [16] O critério de Routh-Hurwitz é um método algébrico que informa acerca da estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo, testando se há alguma raiz da equação característica no semiplano direito do plano s. O método também indica quantas raízes estão sobre o eixo imaginário e quantas estão no semi-plano direito. A fim de melhor abstrair a teoria repassada até o momento, será utilizado um exemplo, para detalhar os passos a serem desenvolvidos para definição do LGR. Considere o sistema de controle com realimentação não unitária, mostrado na Fig Fig Sistema de controle com realimentação não unitária PGEEL

87 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) Imag Axis Real Axis G s H Fig LGR do Sistema apresentado na Fig º passo: Função de transferência de malha aberta: 100K 1 1( ) 1( s) = 2 s ( s + 15s + 50) Os pólos da função de transferência de malha aberta são: p = 0, p = 5 e p = º passo: Função de transferência de malha fechada: G1 ( s) 100 K1( s + 5) T1 ( s) = = 1 + G 3 2 1( s) H1( s) ( s + 15s + 50s + 100K1 ) Equação característica: 1 + G ( s) H ( s) = s + 15s + 50s + 100K O erro em regime, para uma entrada do tipo degrau unitário, é: 1 1( ) lim s 0 ( ) lim s 0 ( ) 1( ) 5 100K1 (8.24) (8.25) 500K y = sy s = su s T s = = (8.26) e( ) = u( ) y( ) = 1 5 = 4 (8.27) Na Fig. 3.23, pode-se verificar a existência de um erro constante em regime, além disso, se o sistema for estável, este erro não depende do ajuste do ganho K 1.

88 70 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 6 Step Response 5 4 Amplitude Time (sec) Fig Resposta temporal do sistema da Fig para K 1 =1 3º passo: Grau relativo do sistema: n m = 3 0 = 0 4º passo: Traçado das assíntotas: Centroide: n m i 1 i σ = l = 1 o (8.28) Re( p ) Re( zl ) = = = 5 n m 3 Ângulos: (1 + 2 h)180 γ = ±, onde h=0, 1, 2,.. n m (8.29) 180 γ o = = 60 3 (8.30) γ1 = = (8.31) PGEEL

89 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle γ 2 = = 300 = 60 3 (8.32) 5º passo: Ponto de partida do LGR: d G s H s d s s ds ds s + 15s + 50 s ( s + 15s + 50 s) 2 ( 1( ) 1( )) 100 ( ) = = s 30s 50 0 { { 1 2 (8.33) + + = (8.34) r = 2.11 r = 7.88 (8.35) Como o ponto r 2 = 7.88 não pertence ao LGR, o ponto de partida é r 1 = Para obter o valor do ganho K 1 para que a resposta do sistema não apresente oscilação, calcula-se a contribuição dos pólos (e zeros se houver) no ponto de partida A Fig. 3.24, mostra a resposta temporal quando os pólos em malha fechada estão localizados em K = 2.11 (5 2.11) ( ) K = (8.36) 1 1

90 72 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 6 Step Response 5 4 Amplitude Time (sec) Fig Resposta temporal do sistema da Fiug para K 1 = º passo: Faixa de ganho em que o sistema é estável. Q ( s) = s + 15s + 50s + 100K s s s s K K K Logo, para K1 0 e K1 7.5, o sistema é estável. 7º passo: Determinação dos pólos de malha fechada. Substituindo o valor de K 1 = 7.5 na equação característica obtêmse os valores das raízes quando o sistema é marginalmente estável: PGEEL

91 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 73 r1 = j Q1 ( s) = s + 15s + 50s r2 = + j7.07 r3 = 15 Substituindo o valor de K 1 = 1 na equação característica obtêm-se os valores dos pólos em malha fechada: ( I o ) r1 = j Q1 ( s) = s + 15s + 50s r2 = j2.347 r3 = Com base nestes dados, é possível chegar ao esboço do LGR deste sistema, disposto na Figura 22. Contudo, há diversas particularidades vinculadas ao esboço do LGR, e mesmo seguindo as regras sugeridas anteriormente, é necessário muita prática para esboçar rapidamente o LGR de um dado sistema. Dessa forma, também é interessante consultar outras referências bibliográficas para analisar outros casos dos diagramas de lugares das raízes Observações: 1)A introdução de um zero à esquerda dos pólos tem por efeito deslocar o lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e com menor tempo de acomodação. 2)A introdução de um pólo à esquerda tem por efeito deslocar o LGR para a direita, tendendo a tornar o sistema menos estável e com maior tempo de acomodação Procedimento Resumido para aplicação do Método do Lugar das Raízes - LGR: 1 Determinar a função transferência de malha aberta G(s)H(s) do sistema. 2 Fatorar o numerador e o denominador de G(s)H(s) em termos da forma s+a, onde a pode ser real ou complexo. 3 Assinalar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano s=σ+jω. 4 Os pólos e zeros de G(s)H(s) determinam as raízes da equação característica [1+G(s)H(s)=0] da função de transferência de malha fechada. 5 Graduar o lugar das raízes em função dos valores do ganho K.

92 74 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle a) Se o ganho for preestabelecido, sabe-se imediatamente a localização das raízes. b) Se a localização das raízes de [1 + G(s)H(s) = 0] for estabelecida, pode-se obter o ganho K. 6 Determinadas as raízes de [1 + G(s)H(s) = 0], pode-se calcular a resposta do sistema tomando-se a transformada inversa de Laplace. 7 Se a resposta não atender às especificações de desempenho desejado, determinar a forma que o LGR deveria apresentar para atendêlas. 8 Sintetizar a estrutura a ser acrescentada ao sistema a fim de produzir a modificação pretendida do LGR original: compensação do LGR. PGEEL

93 Modelagem de conversores em condução descontínua 75 4 Modelagem do conversor BUCK em condução contínua [20] [21] [22] 4.1 Introdução Neste capítulo são apresentados os modelos dos conversores BUCK, BOOST e BUCK-BOOST operando no modo de condução contínua. Para os três conversores serão apresentados os modelos de tensão e modelo de corrente em função da razão cíclica e apenas para o BUCK e BOOST serão apresentados o modelo de tensão em função da corrente. Antes da apresentação dos modelos dos Conversores em condução contínua, serão apresentadas as etapas de operação dos conversores para melhor entendimento do equacionamento. Ainda, com o objetivo de completar e validar o estudo, para cada modelo de conversor, será apresentada uma simulação feita no software PSIM (Power Simulator) e seus resultados bem como comentários sobre os resultados obtidos. 4.2 Modelagem do Conversor BUCK em Modo de Condução Contínua Os conversores cc-cc são utilizados para controlar o fluxo de energia entre dois sistemas de corrente contínua. O conversor BUCK é um conversor utilizado quando se deseja obter uma tensão de saída menor do que a tensão de entrada. Ou seja, converte uma tensão cc de entrada em uma tensão de saída também cc de valor menor. Esses conversores são utilizados principalmente em fontes de alimentação chaveadas e para controle de velocidade de motores de corrente contínua. Alguns conversores que empregam o modelo do conversor Buck são: Forward, Conversor meia ponte com comutação suave, conversor ponte completa com comutação suave, conversor 3 níveis com comutação, inversores de tensão com filtro LC. Os circuitos desses conversores podem ser vistos nas figuras a seguir.

94 76 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig. 4.1 Circuito do conversor Forward empregando o modelo do conversor BUCK. Fig. 4.2 Circuito do conversor meia ponte com comutação suave empregando o modelo do conversor BUCK. Fig. 4.3 Circuito do conversor ponte completa com comutação suave empregando o modelo do conversor BUCK.

95 Modelagem de conversores em condução descontínua 77 Fig. 4.4 Circuito do conversor 3 níveis com comutação suave empregando o modelo do conversor BUCK. Fig. 4.5 Circuito do conversor 3 níveis com comutação suave empregando o modelo do conversor BUCK. O circuito básico do conversor BUCK pode ser representado pela Fig A fonte de tensão de entrada contínua é representada por V g, o indutor e o diodo de roda livre são, respectivamente, L e D. Na saída o filtro RC é representado pelo capacitor C e o resistor R. Tal filtro RC em muitas literaturas é representado por V 0 (tensão de saída) visto que a tensão no filtro é constante, quando a razão cíclica for, e facilita a análise da tensão de saída em função da tensão de entrada (modelo cc).

96 78 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig. 4.6 Circuito do conversor BUCK em condução contínua. O circuito do conversor Buck tem duas etapas de operação. Na primeira etapa, representada pela Fig. 4.7, a chave S está fechada e o diodo D está inversamente polarizado e pode ser desconsiderado na analise. O capacitor C está sendo carregado. Fig. 4.7 Conversor BUCK na primeira etapa de operação: chave S fechada. Na segunda etapa, representada pela Fig. 4.8, a chave S está aberta, excluindo assim a fonte V g do circuito. Já o diodo de roda-livre D entra em funcionamento fazendo com que a corrente no indutor, exclusiva da energia acumulada no mesmo, passe a fluir pela carga e os demais componentes. A corrente no indutor cresce do valor mínimo até Vg V o valor máximo com característica linear e derivada dada por. L

97 Modelagem de conversores em condução descontínua 79 Fig Conversor BUCK na segunda etapa de operação: chave S aberta. Para a primeira etapa de operação, são válidas as seguintes equações: v ( t) = v ( t) v( t) (9.1) L g v( t) ic ( t) = il ( t) ir ( t) = il ( t) (9.2) R i ( t) = i ( t) (9.3) g L Para a segunda etapa, são válidas as seguintes equações: v ( ) ( ) L t = v t (9.4) v( t) ic ( t) = il ( t) ir ( t) = il ( t) (9.5) R( t) ig ( t ) = 0 (9.6) As etapas de funcionamento do circuito do Buck, que estão representadas pelas equações acima, também podem ser representadas pelas formas de onda mais básicas do conversor cc-cc Buck na Fig 4.9.

98 80 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig. 4.9 a) Tensão sobre o diodo D - b) Corrente sobre o indutor L - c) Corrente sobre a fonte de tensão de entrada V g - d) Corrente sobre o diodo D. Intervalos de tempo: t on primeira etapa onde a chave S está fechada e o diodo esta inversamente polarizado. t off segunda etapa onde a chave S está aberta e o diodo esta em roda livre. T período de comutação.

99 Modelagem de conversores em condução descontínua Modelo de Tensão do Conversor BUCK v(s) / d(s) A tensão média no diodo para o modo de condução contínua é: V D, onde V g é a tensão de entrada e D a razão cíclica. Sendo assim, g pode-se considerar o modelo da Fig para a análise e obtenção da função de transferência (FT) do conversor Buck. Fig Modelo simplificado do conversor BUCK para obtenção da FT. Nesse estado topológico as seguintes equações são verdadeiras: Ldil ( t) Vg. D + + v( t) = 0 dt (9.7) v( t) il ( t) = ic ( t) + R (9.8) ( ) Cdv( t) ic t = dt (9.9) Onde i l e i c são as correntes no indutor e no capacitor, respectivamente. A tensão de saída é a própria tensão no capacitor, representada por v c. Substituindo as equações (4.7) e (4.8) na equação (4.9) chega-se na equação (4.10) abaixo: ( ) L dv( t) L. C v( t) = V. D (9.10) 2 d v t 2 dt R dt g

100 82 Modelagem de conversores em condução descontínua Para continuação do equacionamento será necessário introduzir o conceito de valor médio instantâneo: definindo como o valor médio de uma grandeza em um período de comutação T s. Assim, por exemplo, para a corrente no indutor tem-se: 1 t+ Ts il ( t) = τ dτ Ts Ts = (9.11) t Em regime permanente a tensão média do indutor e a corrente média do capacitor são nulas. Ainda, as correntes e tensões médias são funções não lineares da razão cíclica. A representação média do circuito para um conversor chaveado é muito útil para análise e simulação do conversor. A hipótese básica considerada é que as constantes de tempo do conversor são muito maiores que o período de comutação T s. Pode-se realizar a média das formas de onda em um intervalo de tempo suficientemente curto se comparado com as constantes de tempo do conversor, sem alterar significativamente a resposta do sistema. Desta forma, o modelo médio resultante prediz o comportamento em baixa freqüência do conversor, enquanto despreza as harmônicas em alta freqüência produzidas pelas comutações. Perturbações: muitas plantas não são lineares, o que dificulta o emprego das técnicas de controle conhecidas. Com a aplicação da técnica de modelagem em pequenos sinais são obtidos modelos lineares, através da linearização em torno de um ponto de operação. Provoca-se uma pequena variação, ou perturbação na variável de entrada e esta variação provoca uma perturbação na variável de saída, considerada nesse método, linearizada. A analise despreza a variação de alta freqüência, resultado da comutação do conversor. A interferência do chaveamento é subtraída da análise pelo calculo do valor médio das variáveis em um período de chaveamento. Considera-se o efeito de uma pequena variação no sinal de entrada. Em síntese, aplicando uma perturbação no sistema(escrevendo o sinal como seu valor médio mais uma pequena variação), representadas pelas equações (4.12) até (4.14), chega-se na equação (4.15): ^ d( t) = D + d( t) (9.12) ^ V ( t) = V + v ( t) (9.13) g g g

101 Modelagem de conversores em condução descontínua 83 ^ v( t) = V + v( t) (9.14) Onde: D >> ^ d( t) I >> ^ i ( t ) l ^ V >> v ( t ) g g ^ ^ 2 V + v( t) L V + v( t) 2 L. C. d +. d + V + v( t) = Vg. D + vg ( t) dt R dt ^ ^ (9.15) Separando apenas os termos CC da equação (4.15), chega-se na equação que define o modelo do conversor BUCK (modelo CC), conforme equação (4.16): 2 V L V L. C. d +. d + V = V. 2 g D (9.16) dt R dt Como a derivada de uma constante é igual à zero, a equação (4.16) pode ser reescrita como: V = V D (9.17) g g. V D V = (9.18) Agora separando apenas os termos CA da equação (4.15) e em seguida aplicando Laplace, encontra-se a planta de tensão V (s) em função da razão cíclica d (s) do conversor BUCK: Equação (4.15) escrita apenas em termos CA: ^ ^ 2 ^ d v( t) L d v( t) L. C V = v g ( t) 2 dt R dt 2 L L. C. s v( s) +. s. v( s) + v( s) = Vg. d( s) (9.19) R

102 84 Modelagem de conversores em condução descontínua 2 L. s v( s). L. C. s = Vg. d( s) R v( s) = d( s) L C s V g L. s R (9.20) (9.21) A equação (9.21) define a planta de tensão do conversor BUCK em função da razão cíclica. Para baixas freqüências, vale a análise cc representado pela equação (9.18). Para comprovar o equacionamento, tal planta será simulada no PSIM, juntamente com o circuito BUCK apropriadamente projetado para que sejam comparados os resultados. Para validar essas simulações e também a planta de tensão obtida acima é interessante que sejam aplicados degraus na razão cíclica, ou então na carga conversor. Como o conversor BUCK é um conversor linear, é esperado que os resultados obtidos nas simulações da planta e do circuito para a resposta ao degrau sejam bem próximos Simulação da Planta de tensão em função da razão cíclica V(s) / d(s) A tabela 4.1 apresenta os parâmetros do conversor BUCK usado na simulação no PSIM. Como o foco desse estudo não é o projeto do conversor e sim a modelagem do conversor BUCK, os cálculos do projeto do conversor estão omitidos. Tabela Parâmetros do conversor Buck Especificações dos Componentes Tensão de Saída (V 0 ) Tensão de Entrada (V i ) Potencia de Saída ( P out ) Freqüência de Comutação ( f s ) 48V 400V 1kW 20kHz Razão Cíclica para MCC ( D ) 0,12

103 Modelagem de conversores em condução descontínua 85 Resistor 2,3Ω Capacitor 100µF Indutor 500µH Para verificar o comportamento da planta de tensão foi simulado o conversor com variações na razão cíclica. Fig Circuito do conversor Buck e planta V 0(s) /d (s) simulado no PSIM. O Fig representa o circuito do conversor Buck operando em modo de condução contínua simulado no PSIM. A parte mais abaixo da figura esta representada o circuito propriamente dito, onde estão representados a fonte de entrada Vin, o indutor L, o capacitor C e o resistor R, cujos valores encontram-se na Tabela 4.1. Na parte superior da figura, estão representados a planta de tensão em função da razão cíclica (H(s)) e também o sinal da chave: referencia e portadora. Em série com o sinal de referencia esta um degrau que será aplicado no sistema, para verificar a resposta do sistema ao degrau. O sinal da portadora é representado por um sinal dente de serra.

104 86 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig V 0 para simulação PSIM sem degrau. Fig V0 simulação PSIM com d(s) = 10%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul). Fig V 0 simulação PSIM com d(s) = 20%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

105 Modelagem de conversores em condução descontínua 87 Fig V 0 simulação PSIM com d(s) = 50%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul). Fig Dente de Serra e referencia para uma variação na razão cíclica de 50%. Nas figuras anteriores foram aplicados degraus de 10%, 20% e 50%, em relação a razão cíclica, na referencia do sinal da chave do circuito do Buck. Com isso, a tensão se estabilizou em 52,8V, 57,6V e 72V respectivamente. Uma vez que o circuito e a planta do conversor Buck são naturalmente estáveis, mesmo com uma variação de 50% da razão cíclica, o sistema não se torna instável. 4.4 Modelo de Corrente do Conversor BUCK I 0 (s) / d(s) Na maioria dos conversores é adotada a topologia de controle da corrente no indutor, uma vez que a medição de corrente pode ser feita de maneira direta. Desse modo, é necessário que a planta de corrente do conversor seja definida com o objetivo de conhecer seu comportamento em malha aberta e posteriormente escolher o controle que mais se

106 88 Modelagem de conversores em condução descontínua adequar para a planta. Sendo assim, reescrevendo a equação (9.1), temse: Ldil ( t) v( t) = Vg. D dt Substituindo a equação (9.22) em (9.2): 1 dil ( t) il ( t) = ic ( t) +. Vg. D L. R dt dv( t) 1 dil ( t) il ( t) = C. +. Vg. D L. dt R dt Derivando a equação (9.22) e substituindo na equação (9.24): 2 g ( ). l ( ) 1 l ( ) 2 g dv t D d i t di t il ( t) = C. CL. +. V. D L. dt dt R dt (9.22) (9.23) (9.24) (9.25) 2 d i ( ) ( ).. l t L di dvg t D V l g D CL i ( ). 2 l t = C + (9.26) dt R dt dt R Para que seja possível modelar a planta de corrente em função da razão cíclica é necessário que seja aplicado uma perturbação na equação (9.26) acima, depois separado apenas a parte CA do sistema (9.27) e em seguida aplicado Lapalce (9.28): ^ ^ 2 ^ l ( ) L d il ( t) 2 l d i t dvg ( t). d( t) Vg. d( t) CL i ( t) = C. + (9.27) dt R dt dt R 2 L Vg CL. s. il ( s) +. s. il ( s) il ( s) C. sv. g. d( s) d( s) R + = + R (9.28) L Vg + + = + R R 2 il ( s). CL. s. s 1 d( s). C. sv. g L V i s CL s s d s R Cs R R ^ [ ] 2 g l ( ) = ( ) ^ (9.29) (9.30)

107 Modelagem de conversores em condução descontínua 89 il ( s) V g R. Cs + 1 =. d( s) R 2 L CL. s +. s + 1 R (9.31) A equação (9.31) acima define a planta de corrente do conversor BUCK em função da razão cíclica que será simulado no PSIM para validação do equacionamento. Em baixas freqüências a corrente do indutor irá depender da razão entre a tensão de entrada e a resistência de carga Simulação da Planta de corrente em função da razão cíclica I 0(s) / d (s) Assim como foi feito para planta de tensão em função da razão cíclica, serão utilizados os parâmetros da Tabela 1 para simular a planta de corrente em função da razão cíclica. Seguindo na mesma linha, serão feitas variações na razão cíclica para validar a planta obtida na equação (4.30). Fig Circuito do conversor Buck e planta I 0(s) /d (s) simulado no PSIM.

108 90 Modelagem de conversores em condução descontínua O circuito acima é praticamente o mesmo representado e simulado na Fig. 4.11, sendo que a única diferença esta na planta de corrente em função da razão cíclica, representado por H(s). Fig Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul) sem aplicação de degrau. Fig Planta de corrente em função de d(s) simulação PSIM com d(s) = 10%: Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul). Fig Planta de corrente em função de d(s) simulação PSIM com d(s) = 20%: Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul).

109 Modelagem de conversores em condução descontínua 91 Fig Planta de corrente em função de d(s) simulação PSIM com d(s) = 50%: Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul). Assim como para as simulações da planta de tensão em função da razão cíclica, a simulação da corrente no indutor em função da razão cíclica mostrou que, mesmo com variações altas na razão cíclica, ou degraus, tanto o circuito simulado do Buck, quanto à planta simulada se mantiveram estáveis. Ainda, a corrente no indutor da planta simulada, embora apresente um pequeno atraso na resposta ao degrau se comparado a corrente do indutor do circuito, se apresentou bastante próxima dos valores esperados, principalmente em regime, o que valida o equacionamento. 4.5 Modelo de Tensão em função da Corrente do Conversor BUCK V(s) / I 0 (s) Para algumas estratégias de controle, é interessante que seja feito o controle não só da tensão ou da corrente, mas sim dos dois sinais. Para isso é acrescentada, por exemplo, uma malha de controle de tensão, externa ao controle de corrente, onde o sinal de entrada será a própria corrente. Para que esse sinal possa ser considerado constante para a malha externa (tensão), é interessante que a malha interna (corrente) seja muito mais rápida que a malha externa. Nesse capítulo o foco não é o controle do conversor, mas sim em seu modelo. Sendo assim, a seguir será apresentado o modelo de V 0 /I L, que poderá ser utilizado como planta para malha externa de um controle de corrente e tensão. Reescrevendo a equação (9.2) chega-se na equação (9.32):

110 92 Modelagem de conversores em condução descontínua dv v( t) il ( t) = C. + (9.32) dt R Aplicando uma perturbação em v( t ) e i ( t ) : ^. ( ) ^ ^ d V + v t V v( t) Il ( t) + il ( t) = C. + + dt R R Separando os termos CC da equação (9.33): d. V V Il ( t) = C. + dt R l (9.33) (9.34) Como a derivada de uma constante é igual a zero, a equação (9.34) acima pode ser reescrita como: V Il ( t) = (9.35) R Agora reorganizando, os termos CA da equação (9.28) e em seguida aplicando Laplace: ^ ^ ^ d. v ( t ( ). ) v ( t i ) l t = C + (9.36) dt R V Il ( s) = C. sv. ( s) + ( s) (9.37) R V ( s) 1 = (9.38) I ( ) 1 l s C. s + R A equação (9.38) acima representa a planta de tensão em função da corrente. Essa equação será simulada junto às funções de tensão e de corrente em função da razão cíclica para validação dos modelos.

111 Modelagem de conversores em condução descontínua Simulação da Planta de tensão em função da corrente V(s) / I 0 (s) Assim como foi feito para as plantas anteriores, serão utilizados os parâmetros da Tabela 1 para simular a planta de tensão em função da corrente. Seguindo na mesma linha, serão feitas variações na razão cíclica para validar a planta obtida na equação (9.31). Fig Circuito do conversor Buck e planta V 0(s) /I 0(s) simulado no PSIM. Novamente, o circuito acima é praticamente o mesmo representado e simulado na Fig. 4.11, sendo que a única diferença esta na planta de tensão de saída em função da corrente do indutor que agora está representado por H(s). Os demais cometários referentes a Fig 4.11 se mantém.

112 94 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig V 0 simulação PSIM se degra: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul). Fig V 0 simulação PSIM com degrau de 10%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul). Fig V 0 simulação PSIM com degrau de 20%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

113 Modelagem de conversores em condução descontínua 95 Fig V 0 simulação PSIM com degrau de 50%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul). Assim como foi feito para as simulações da planta de tensão em função da razão cíclica, para a simulação da planta da tensão de saída em função da corrente no indutor foram aplicados degraus de 10%, 20% e 50% na referencia do sinal da chave do circuito do Buck. Com isso, a tensão se estabilizou em 52,8V, 57,6V e 72V respectivamente, como era de se esperar. Uma vez que o circuito e a planta do conversor Buck são naturalmente estáveis, mesmo com uma variação de 50% da razão cíclica, o sistema não se torna instável. Mais uma vez, a planta encontrada por equacionamento se mostrou válida. 4.6 Conclusões Através das simulações feitas no PSIM foi comprovada a validade dos modelos de pequenos sinais do conversor Buck obtidos por meio de equacionamento. Observando as figuras da planta de tensão em função da razão cíclica e da tensão em função da corrente no indutor observa-se nas que a tensão V 0 se estabiliza em 48V com D=0,12 como era de se esperar e tem resposta rápida ao degrau, além claro de se manter estável. Isso se deve ao fato do conversor Buck ser um conversor linear. Com a variação da razão cíclica (10%, 20% e 50%) o sistema continua se mantendo estável, devido à linearidade do conversor Buck. Para o caso da planta de corrente em função da razão cíclica a estabilidade do sistema também é comprovada, pois apenas a função de transferência mudou e o sistema é o mesmo. Nessa planta a corrente se estabiliza em 20,87A (V C /R) com D=0,12 e tem resposta estável ao degrau. Dessa forma, as simulações obtidas através do PSIM validam as plantas obtidas através das funções de transferência. As repostas ao

114 96 Modelagem de conversores em condução descontínua degrau para casa situação também estão dentro do esperado para cada planta. 5 Modelagem do conversor BOOST em condução contínua [23] 5.1 INTRODUÇÃO A crescente evolução das soluções eletrônicas, bem como, sua viabilidade econômica e técnica vem aumentando e destacando a aplicação de conversores de CC-CC em variados ramos de aplicação. Neste trabalho é apresentado o modelamento do conversor Boost em condução contínua para pequenos sinais, que se trata de um elevador de tensão com relação não linear entre tensão de entrada e saída em função do razão cíclica. Este conversor é amplamente utilizado em circuitos de correção de fator de potência, ou seja, esta modelagem tem grande aplicabilidade. Desta forma, a busca por modelos e formas de controle deste conversor segue a uma tendência de aprimoramento e evolução. 5.2 CONVERSOR BOOST O conversor Boost trata-se de um elevador de tensão, caracterizado por ter entrada em corrente e saída em tensão. Na Erro! Fonte de referência não encontrada. é apresentada a configuração básica do conversor, o qual em tese tem como menor valor de saída à própria tensão de entrada. Este conversor é bem exposto e descrito na referência [24]. O circuito consiste na aplicação de um interruptor S, um diodo D, um indutor L, uma fonte constante E na entrada, um capacitor C utilizado como filtro, além da carga representada pelo resistor R, demonstrado na Fig Fig Circuito Boost

115 Modelagem de conversores em condução descontínua 97 Este conversor pode operar no modo de operação contínuo ou descontínuo, ou seja, a corrente no indutor pode ou não chegar à zero. Neste trabalho será analisada apenas a operação do conversor em modo contínuo (CCM), sendo assim, existem duas etapas de operação, sendo: Na primeira etapa a chave S está conduzindo, o indutor L é magnetizado e a fonte E fornece energia ao indutor. O capacitor C previamente carregado fornece energia à carga R, conforme visualizado na Erro! Fonte de referência não encontrada.. Na segunda etapa a chave S está bloqueada, o diodo D entra em condução, a fonte E e o indutor L fornecem energia à saída, conforme visualizado na Fig Como consequência, a tensão na carga R aumenta. Fig Primeira etapa de operação conversor Boost Fig Segunda etapa de operação conversor Boost As formas de onda dos componentes principais do conversor são apresentadas na Fig. 5.4.

116 98 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Formas de onda do conversor Boost Para o cálculo do ganho do conversor em regime permanente, a tensão média no indutor deve ser zero, conforme a equação (10.1). Calculando o valor médio de v L chega-se na equação (10.2), que demonstra a relação do ganho do conversor com a razão cíclica D. ( 1 D) T 1 D T vl = E dt + E V dt = T 0 D T ( o ) 0 (10.1)

117 Modelagem de conversores em condução descontínua 99 Vo E = 1 1 D (10.2) 5.3 MODELO CONVERSOR Devido ao fato deste conversor possuir a característica de uma fonte de corrente na entrada (indutor L em série com a fonte de tensão E), o modelamento é realizado conforme o procedimento a seguir: Realiza-se o cálculo da tensão média no indutor L e da corrente média no capacitor C, depois é aplicado uma perturbação no sistema e isolado os termos de 1º ordem. Ao final do processo, é aplicada a transformada de Laplace nas equações resultantes, visando à obtenção dos modelos de tensão e corrente de saída pela razão cíclica e do modelo de tensão de saída pela corrente de saída Etapas de Operação BOOST condução contínua Com o interruptor fechado, a somatória das tensões é apresentada em (10.3), além disso, vale lembrar a equação de corrente dos capacitores (10.4). E + v L = 0 (10.3) ( ) v( t) ic t = (10.4) R Na segunda etapa de operação, obtém-se também a malha de tensão (10.5), bem como a malha de corrente (10.6), que culminam em (10.7). L ( ) ( ) 0 E + v t + v t = (10.5) ( ) ( ) ( ) i t = i t + i t (10.6) L C R v( t) ic ( t) = il ( t) (10.7) R Obtêm-se os valores médios para as tensões do indutor ( v Lmed ), e corrente do capacitor ( i Cmed ), as quais são calculadas e definidas em (10.10) e (10.14):

118 100 Modelagem de conversores em condução descontínua t+ T s 1 < vl ( t) > T = δ dδ s T (10.8) s t t+ T t+ T c s 1 1 < vl ( t) > T = Edδ + ( E v( t) ) dδ s T T s (10.9) t s t < 1 1 vl ( t) > = T ET ( ( ))( ) s c E v t Ts Tc T + T (10.10) s s Lembrando que Tc equivale à razão cíclica multiplicada pelo período DT S, e seu complemento é 1-D além da equação de tensão para indutores (10.11). Com todas estas considerações obtém-se (10.12). d < vl ( t ) > T = L i ( ) s L t dt d ( ) L il t = E v( t) (1 d ( t) dt ) d < ic ( t) > T = C v ( ) s c t dt (10.11) (10.12) (10.13) Utilizando a mesma análise para o cálculo da corrente no capacitor, manipulando (10.13) chega-se a (10.16): t + T t + T s s 1 v( t) 1 v( t) < ic t > T = d + il t + d T R T R ( ) δ ( ) δ s (10.14) s t ( ) d v t d( t) v t C vc ( t) = + il ( t) ( 1 d ( t) ) (1 d ( t) ) dt R R s t ( ) d v t C vc ( t) = il ( t )( 1 d ( t) ) dt R Modelagem de pequenos sinais ( ) (10.15) (10.16) Neste desenvolvimento optou-se por utilizar a abordagem de pequenos sinais, ou seja, pequenas variações no sistema com o intuito de avaliar seu comportamento, principalmente sua saída diante de tais perturbações. As grandezas abordadas são (10.17) a (10.20). ^ ( ) ( ) d t D d t D d ^ = + (10.17)

119 Modelagem de conversores em condução descontínua 101 ^ ( ) ( ) il t = I + i t I i (10.18) ^ L L L L ^ ( ) ( ) E t E e t E e ^ = + (10.19) ^ ( ) ( ) v t V v t V v ^ = + (10.20) Aplicando perturbações nas equações (10.12) e (10.16), chega-se a (10.23) e (10.26). d d ^ L I + i ( )) ^ ( ) ( ^ ( )) 1 ( ^ L t = E + e t V + v t D + d ( t) ) dt dt d d ^ ^ ^ ^ L I + il ( t) ) = E + e ( t) V + V D + V d ( t) v ( t) + dt dt ( ) ( ) ( ) ^ ^ ^ v t D v t d t + + d d ^ ^ ^ ^ L I + il ( t) ) = E V + V D + e ( t) v ( t) + V d ( t) + dt dt ( ) ( ) ( ) ^ ^ ^ v t D v t d t + + ^ C V v t + ( t) ^ d d V v + ( ) = + dt dt R R ^ ^ ^ ( I + il )( ( V + v ( t) ) 1 ( D + d ( t) ) ( ) ( t) v + ( ) = + ( ) + dt dt R R ^ d d ^ V ^ C V v t ) I I D I d t + i i D i d t ^ ^ ^ ^ L L L ^ C V v t ) I I D ( ) ( ) ^ ^ ^ ^ ^ L L L ( t) ^ d d V v + ( ) = + dt dt R R I d t + i i D i d t (10.21) (10.22) (10.23) (10.24) (10.25) (10.26) Pode-se verificar a existência de termos constantes, que representam o conversor em regime permanente, termos de primeira ordem e termos de segunda ordem. Como foi previamente exposto, as variações são muito pequenas em relação aos valores obtidos no ponto de operação em análise. Com isso, os termos de segunda ordem serão desconsiderados e assim, somente os termos de primeira ordem serão avaliados, esta abordagem é feita e descrita em [25].

120 102 Modelagem de conversores em condução descontínua Transformada de Laplace A sequência da análise de pequenos sinais é feita aplicando-se a transformada de Laplace nas equações (10.23) e (10.26). Considerando apenas os termos de primeira ordem, chegando-se a (10.29) e (10.30). d ^ ^ ^ ^ ^ L il ( t) ) = e ( t) + V d ( t) v ( t) + v ( t) D dt ( t) ^ d ^ v ^ ^ ^ C v ( t )) = I d ( t) + il il D dt R L ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) g (10.27) (10.28) L si s = v s + V d s v s D (10.29) v( s) C s v( s) = I d ( s) + il ( s) (1 D) (10.30) R Manipulando a equação (10.30) define-se (10.32). 1 v( s) C s + = I d ( s) + i (1 ) L D R ( ) ( )(1 ) I d s + il s D v( s) = 1 C s + R (10.31) (10.32) Substituindo (10.32) em (10.29) e com manipulações matemáticas obtém-se (10.38). I d s + i s D L sil ( s) = e( s) + V d ( s) D 1 C s + R i L ( s) ( ) L ( )(1 ) (1 ) (10.33) I d ( s) + il ( s)(1 D) e( s) + V d ( s) (1 D ) 1 C s + = R (10.34) L s Avaliando apenas a influência da variação na razão cíclica sobre a corrente no indutor, logo, e(s) =0, define-se (10.35):

121 i i Modelagem de conversores em condução descontínua 103 L L ( s) ( s) I d ( s) + il ( s)(1 D) V d ( s) (1 D ) 1 C s + = R (10.35) L s 1 Vd s Cs il s D d s I D R = 1 Ls Cs + R ( ) + ( )( 1 ) 2 + ( ) ( 1 ) 1 1 il s Ls Cs D Vd s Cs d s I D R R i L ( ) + + ( 1 ) 2 = ( ) + + ( ) ( 1 ) ( s) 1 d( s) V C s + + I ( 1 D) R = 1 L s C s ( 1 D) R (10.36) (10.37) (10.38) Levando-se em consideração as equações básicas do conversor Boost (10.39) a (10.42), e chega-se (10.44). V E = 1 ( 1 D) (10.39) E = V (1 D) (10.40) Considerando a potência de entrada igual à de saída, chega-se (10.42): 2 V EI = (10.41) R I V = (10.42) R ( 1 D) 1 V V Cs il ( s) + + R R = d ( s) 1 Ls Cs + + R ( 1 D) 2 il ( s) V RC s + 2 V = d( s) R LC s + L s + R(1 D) 2 2 (10.43) (10.44)

122 104 Modelagem de conversores em condução descontínua Colocando no formato padrão, chega-se (10.45). V 2 V s + il ( s) = L R LC (10.45) 2 d( s) 2 s (1 D) s + + RC LC Agora, fazendo as mesmas substituições para a tensão do capacitor, juntamente com a equação (10.46), culmina na equação (10.48). i L ( s) ( ) + ( ) ( )(1 ) e s V d s v s D = (10.46) L s v( s) C s v( s) = I d ( s) + il ( s) (1 D) (10.47) R ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) d s V R D L I R s e s D R v( s) = LC R s + L s + R (1 D) LC R s + L s + R (1 D) (10.48) Avaliando apenas a influência da variação na razão cíclica sobre a tensão do capacitor, logo, e(s) =0, chega-se à (10.49). ( 1 ) v( s) V R D L I R s = d( s) LC R s + L s + R (1 D) 2 2 Colocando no formato padrão, chega-se (10.50). (10.49) I V s ( 1 D) v( s) + C LC = (10.50) d( s) ( ) 2 2 s 1 D s + + RC LC A planta de tensão de saída pela corrente do indutor tem grande importância nos controles de conversores Boost aplicados na correção do fator de potência, por exemplo, em retificadores de tensão. Nos conversores de tipo Boost a corrente média de carga ( I o ) é a mesma do diodo ( I D ). Esta por sua vez, pode ser escrita em função da corrente do indutor ( I L ), equivalente a corrente média da entrada, fato apresentado em (10.51). Esta modelagem é apresentada na Fig I o ( 1 ) = D I (10.51) L

123 Modelagem de conversores em condução descontínua 105 Fig Circuito equivalente Boost para Relação Tensão Corrente. A corrente IDmd é igual à somatória da corrente do capacitor C e carga R, conforme (10.52). dv V = + (10.52) ( 1 ) D I L C dt R Aplicando Laplace e manipulando a equação (10.52) chega-se a função de transferência (10.53). V ( s) R(1 D) ( ) = I 1 L s RCs + L ( ) ( s) V s I Colocando no formato padrão, chega-se (10.54). ( 1 D) = C 1 s + RC Simulações Especificações e definições da simulação (10.53) (10.54) A simulação do circuito foi executada no software PSIM, onde se avaliou a tensão de saída e corrente do indutor. A simulação dos modelos da planta também foram feiras no Simulink com o intuito de facilitar a análise e reduzir o tempo de simulação, ou seja, têm-se a saída do circuito elétrico os valores de tensão e corrente, bem como, a saída das funções transferência, onde os dois resultados são comparados. 2 V o Ro = = 400Ω Po

124 106 Modelagem de conversores em condução descontínua Vc fs = 400 V Tensão de Saída = 70 KHz Frequência de chaveamento L = 4 mh Indutor C = 1uF Capacitor de filtro de saída Po = 400 W Potência de saída Através da equação (10.2), D = 0.5. A carga e corrente de saída são calculadas para atingir a potência e tensão estabelecidas. 2 V o Ro = = 400Ω Po I o (10.55) Po = = 1A (10.56) V o Na Fig. 5.6 tem-se o circuito das simulações no PSIM. Fig Circuito Boost com Modelo simulado

125 Modelagem de conversores em condução descontínua Resultados Nas Fig. 5.7 e Fig. 5.8 têm-se os resultados para as plantas de corrente ( I L ) e tensão ( V c ) para as diferentes variações de D (1% a 9%). Em vermelho e verde tem-se os resultados do circuito e em azul o resultado da função transferência. Corrente +/- 1% +/- 2% +/- 3% +/- 4%

126 108 Modelagem de conversores em condução descontínua +/- 5% +/- 6% +/- 7% +/- 8% +/- 9% Fig Resultados de Simulação do Conversor Boost para plantas de corrente pela razão cíclica.

127 Modelagem de conversores em condução descontínua 109 Tensão +/- 1% +/- 2% +/- 3% +/- 4% +/- 5%

128 110 Modelagem de conversores em condução descontínua +/- 6% +/- 7% +/- 8% +/- 9% Fig Resultados de Simulação do Conversor Boost para plantas de tensão pela razão cíclica. Pode-se verificar que ambas as plantas possuem características semelhantes quanto à variação da razão cíclica. Entretanto, a planta de tensão apresenta maior sensibilidade a variações na razão cíclica, ou seja, com variação de 4% já apresenta divergência significativa (visual) entre a simulação do circuito e o modelo do conversor. Por outro lado, na planta de corrente está variação passa a ser significativa em 6% de variação na razão cíclica. Com o intuito de verificar as características dos modelos que justifique a diferença entre as dinâmicas das plantas, foram feitos os diagramas de Bode para ambas as plantas conforme a Fig. 5.9 e a Fig.

129 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Diagrama de Bode plata de corrente. Fig Diagrama de Bode plata de tensão.

130 112 Modelagem de conversores em condução descontínua Analisando a Fig. 5.9 e Fig. 5.10, ficam evidentes as diferenças entes as plantas com relação a ganho e margem de fase. Desta forma, fica claro que as plantas não terão a mesma dinâmica, ou seja, as variações nas entradas irão gerar diferentes comportamentos para cada planta. Na sequência são apresentados os resultados do modelo da tensão de saída pela corrente do indutor. Nas Fig. 5.11e Fig são apresentados os resultados do modelo da tensão de saída pela corrente do indutor, entretanto a variação feita equivale ao valor da corrente no diodo D (10.51), variando a mesma em 10% e 50%. 10% +ID% 50% Fig Resultado de Simulação do Conversor Boost para plantas de tensão por corrente. 10% -ID%

131 Modelagem de conversores em condução descontínua % Fig Resultados de Simulação do Conversor Boost para plantas de tensão por corrente. O circuito apresenta comportamento de primeira ordem conforme esperado, sendo assim, validado para uso nos circuitos de controle, inclusive para grandes variações da corrente em questão ( I L ). 5.4 Conclusão Conforme esperado os modelos do conversor Boost apresentaram respostas não lineares de acordo com a variação da razão cíclica. Ou seja, quão maior a variação na razão cíclica, maior será o erro obtido pelo modelo em relação ao circuito real. Sendo assim, estes modelos são validos para pequenas variações na razão cíclica, característica já esperada pelos equacionamentos propostos. Sendo assim, para a planta de tensão a variação da razão cíclica na qual o modelo mantém comportamento satisfatório é de 4% e na de corrente 6%. Por sua vez, a planta de tensão de saída pela corrente do indutor apresentou resultados condizentes com um sistema de primeira ordem (sem erro de regime permanente), além de ser válidos para as malhas de controle de tais conversores. Apesar de não terem sidos observados casos onde a tensão de saída, ou corrente no indutor passem ou sejam inferiores a zero no momento do transitório (mudanças de carga, por exemplo). Caso venham a ocorrer, no modelo não existirão limitações para valores negativos, algo não aplicável no circuito real. Outro fator relevante trata-se do ponto de operação analisado, caso seja definido, por exemplo, uma razão cíclica nominal de 10% (D=0,1), as variações da mesma poderão ser maior, visto que neste ponto de operação existe uma maior linearidade entre tensão de saída pela entrada em função da razão cíclica. Isto acarreta que o modelo terá resposta mais fiel ao circuito quando operando com valores pequenos de razão cíclica.

132 114 Modelagem de conversores em condução descontínua 6 Modelagem do conversor BUCK-BOOST em condução contínua [25] [22] 6.1 Introdução Para controlar um conversor, é necessário saber qual é o seu comportamento perante variações nas variáveis de entrada. As variáveis de entrada consideradas para o conversor apresentado neste texto são a razão cíclica e a tensão de entrada. Ao modificar alguma variável de entrada, as variáveis de saída também modificarão. Para um sistema em malha aberta, ao reduzir a tensão d entrada, é claro que a tensão de saída reduzirá. Já se variar a razão cíclica, dependendo da topologia do conversor, a afirmação feita anteriormente pode não ser verdade. Para saber o comportamento do conversor perante a estas variações, é necessário ter em mãos o seu modelo matemático. Para extrair o modelo matemático do conversor existem diversas técnicas, existem softwares que fazem o modelamento, e pode-se obter este modelo na prática, fazendo uma varredura em frequência na variável de entrada do conversor e ler a saída. Mas neste texto será apresentado o método para modelar os conversores que operam em condução contínua através de técnicas que analisam a tensão média no indutor e a corrente média no capacitor, será obtido o modelo de um conversor buck-boost, mas esta técnica pode ser utilizada em outros conversores. Além desta técnica, é apresentada uma forma de obter um modelo matemático a partir do circuito, fazendo a varredura em frequência de uma variável de entrada utilizando o programa PSIM. Não será extraído o modelo matemático em si, ele será utilizado apenas para comparar e validar os modelos encontrados a partir das técnicas de tensão média no indutor e corrente média no capacitor, mas tendo do diagrama de bode, para obter o modelo, basta fazer uma análise do gráfico. Ao final os modelos obtidos serão comparados e será mostrado que as técnicas funcionam bem. 6.2 Conversor buck-boost O conversor buck-boost opera como elevador e abaixador de tensão, dependendo da razão cíclica. Uma característica deste conversor é que ele não transfere energia diretamente para a saída. Na etapa de operação onde o interruptor encontra-se fechado a energia é armazenada no indutor. Na etapa onde o interruptor está aberto, a fonte de entrada é

133 Modelagem de conversores em condução descontínua 115 desconectada do circuito e o indutor descarrega a energia na saída. A figura a seguir mostra o circuito de potência do conversor buck-boost. S D vg ( t) + + L C R v( t) Fig Circuito de potência do conversor buck-boost A figura a seguir mostra os estados do interruptor, quanto está em nível lógico alto, o interruptor está fechado, em nível lógico baixo, o interruptor abre. S 1ª Etapa 2ª Etapa DT s Fig Estados do interruptor: Nível lógico alto o interruptor está fechado; Nível lógico baixo, o interruptor está aberto Primeira etapa A figura a seguir mostra o funcionamento do conversor na primeira etapa de operação. O indutor armazena a energia da entrada e a saída é alimentada pelo capacitor. T s t

134 116 Modelagem de conversores em condução descontínua vg ( t) + S i ( ) L t + + v ( L t ) L vc ( t) v ( R t ) v( t) + + i ( ) C t i ( ) R t Fig Funcionamento do conversor na primeira etapa de operação: chave fechada. Pela figura é possível verificar que a tensão de saída tem a polarização invertida em relação ao capacitor de saída. A seguir são apresentadas as relações básicas para corrente e tensão em indutores capacitores e resistores. ( ) di ( ) L t vl t = L dt ( ) dv ( ) C t ic t = dt (11.1) (11.2) vr ( t) ir ( t) = (11.3) R A seguir são apresentadas as equações do conversor para esta primeira etapa de operação. Fazendo a análise das malhas do circuito: v ( t) = v ( t) (11.4) L g v ( t) = v ( t) (11.5) C R v( t) = v ( t) (11.6) C Fazendo análise dos nós do circuito: i ( t) = i ( t) (11.7) C R i ( t) = i ( t) (11.8) L g Estão apresentadas todas as equações de nó e malha para a primeira etapa de operação, estas equações serão utilizadas posteriormente.

135 Modelagem de conversores em condução descontínua Segunda etapa A figura a seguir mostra o funcionamento do conversor na segunda etapa de operação. Nesta etapa o indutor descarrega a energia no circuito. vg ( t) + v ( ) L t + D + L ( ) v v v( t) C t ( R t ) + i ( ) + C t i ( ) L t i ( ) R t Fig Funcionamento do circuito na segunda etapa de operação: chave aberta Nesta etapa a fonte de entrada do circuito está desconectada, a corrente de entrada é zero. Fazendo análise das malhas do circuito: v ( ) ( ) L t = v t (11.9) v ( t) = v ( t) (11.10) C R v ( ) ( ) C t = v t (11.11) Analisando os nós do circuito: i ( t) = i ( t) i ( t) (11.12) C L R Estas equações serão utilizadas para encontrar o valor médio da tensão no indutor e a corrente média no capacitor. Em regime permanente tanto a tensão média no indutor quanto a corrente média no indutor são nulas. Para isto acontecer, o valor da corrente no indutor em um tempo t no início do período de comutação é igual ao valor da corrente no indutor no tempo t + Ts, onde T s é o período de comutação. Ao sofrer uma pequena perturbação, a corrente no indutor varia mais rápido que a frequência de comutação, mas esta mudança é prevista pela sua tensão média. No capacitor ocorre este mesmo efeito, mas quem varia acima da frequência de comutação é a tensão. A partir desta ideia encontram-se as equações que determinam a tensão média no indutor e a corrente média no capacitor em um período de comutação.

136 118 Modelagem de conversores em condução descontínua Valores médios em um período de comutação Para modelar o conversor, inicialmente faz-se necessário encontrar as equações da corrente no capacitor e tensão média no indutor para um período de chaveamento, ou seja, na primeira e na segunda etapa. Para a primeira etapa as equações de corrente no capacitor e tensão no indutor são: dil ( ) ( ) ( t v ) g t = vl t = L (11.13) dt vr ( t) ic ( t) = ir ( t) = R dvc ( t) vr ( t) ic ( t) = C = dt R ( ) dv( t) v( t) ic t = C = dt R (11.14) Na segunda etapa de operação, a equações de corrente no capacitor e tensão indutor são: dil ( t) vl ( t) = L = v( t) (11.15) dt vr ( t) ic ( t) = il ( t) ir ( t) = il ( t) R dvc ( t) vr ( t) ic ( t) = C = il ( t) dt R dv( t) v( t) ic ( t) = C = il ( t) + dt R (11.16) Considerando um modelo para pequenos sinais, substituindo os valores de v( t ), v ( t ) e i ( t ) por v( t ), v ( t ) e i ( t ), que g L T s g Ts L T s correspondem aos valores médios em um período de comutação. As equações para a primeira etapa são: dil ( t) vl ( t) = L = vg ( t) (11.17) dt Ts

137 Modelagem de conversores em condução descontínua 119 dv( t) v( t) Ts ic ( t) = C = dt R As equações para a segunda etapa são: (11.18) dil ( t) vl ( t) = L = v( t) (11.19) Ts dt dv( t) v( t) Ts ic ( t) = C = il ( t) + Ts dt R Em um período de comutação, as equações ficam: vg ( t), 0 < t d( t) T T s s vl ( t) = v( t), d( t) T T s < t T s s (11.20) (11.21) v( t) Ts, 0 < t d( t) Ts ic ( t) R = v( t) Ts il ( t) +, d( t) T T s < t Ts s R (11.22) Tensão média no indutor A tensão média no indutor em um período de comutação é dada pela seguinte expressão: 1 t + T s vl = vl ( τ ) dτ Ts T (11.23) t s Substituindo a equação (11.21) em (11.23). 1 t + d ( t) Ts 1 t + Ts t g Ts t d ( t) Ts s T + s (11.24) vl = v ( ) d v( ) d Ts Ts T τ τ + τ τ É importante lembrar que os valores v ( t) e v( t ) são constantes em um período de comutação, portanto são considerados valores constantes na integral, isto vale para il ( t) que será utilizada T s no próximo item. g Ts T s

138 120 Modelagem de conversores em condução descontínua t + d ( t) Ts 1 1 t + Ts g ( τ ) τ ( τ ) τ T T s s t t d ( t) Ts s T + s vl = v + v Ts T 1 1 vl = vg ( t) d( t) Ts + v( t) Ts 1 d( t) Ts T T s s T T s d L il = vg ( t) d( t) + v( t) 1 d( t) Ts T T s s dt Atribuindo: [ d t ] s [ ] [ ] (11.25) 1 ( ) = d '( t) (11.26) A equação (11.25) fica: d L il = vg ( t) d( t) + v( t) d '( t) Ts T T s s dt (11.27) d Nota-se que na equação (11.27) o termo L il é referente à Ts dt tensão média do indutor em um período completo de comutação, dil diferente do termo ( t L ) das equações (11.17) e (11.19), onde este dt termo se refere a apenas uma etapa de operação Corrente média no capacitor A corrente média no capacitor em um período de comutação é dada por: 1 t + Ts ic = ic ( τ ) dτ Ts T (11.28) t s Substituindo a equação (11.22) em (11.28): 1 t + d ( t) T v( τ ) 1 ( ) s T t + T v τ s s Ts ic = dτ i ( ) Ts t t d ( t) T L τ dτ T s s T + s R T + + s R (11.29)

139 Modelagem de conversores em condução descontínua 121 i C Ts t + d ( t) Ts 1 v( τ ) 1 v( τ ) Ts = τ + τ + τ T R T R s Ts il ( ) Ts s t t + d ( t) Ts 1 v( t) 1 v( t) Ts Ts ic = d( t) Ts + il ( t) + Ts [ 1 d( t) ] Ts Ts Ts R Ts R v( t) v( t) Ts Ts ic = d( t) + il ( t) [ 1 d( t) ] + [ 1 d( t) ] Ts Ts R R d v( t) v( t) v( t) v( t) Ts Ts Ts Ts C = d( t) + il ( t) [ 1 d( t) ] + d( t) Ts dt R R R d v( t) v( t) Ts Ts C = il ( t) [ 1 d( t) ] + Ts dt R d v v( t) Ts Ts C = il ( t) d '( t) (11.30) Ts dt R Perturbações Utilizando as equações (11.27) e (11.30), aplicam-se perturbações nas variáveis de entrada, ou seja, na tensão de entrada e na razão cíclica. Estas perturbações são muito menores que o valor médio da variável no ponto de operação. v ( t) = V + vˆ ( t) V >> vˆ ( t) g T g g g g s d( t) = D + dˆ ( t) D >> dˆ ( t) t + Ts (11.31) Como em algumas equações usou o termo d '( t ), vale a pena verificar o efeito das perturbações nesta variável, visto que isto simplifica a visualização e a manipulação das equações. d '( t) = 1 d( t) Aplicando a perturbação: d '( t) = 1 D dˆ ( t) d '( t) = D ' dˆ ( t) Ao aplicar estar perturbações na entrada, a saída também é perturbada. Os sinais que aparecem na saída são:

140 122 Modelagem de conversores em condução descontínua i = I + iˆ ( t) I >> iˆ ( t) L Ts L L L v = V + vˆ ( t) V >> vˆ ( t) Ts As equações (11.27) e (11.30) ficam: d L I i t V v t D d t V v t D d t dt ( ˆ ) ( ˆ )( ˆ ) ( ˆ )( ˆ L + L ( ) = g + g ( ) + ( ) + + ( ) ' ( )) ( ˆ( ) ) ( ˆ )( ˆ L L ( ) ' ( )) (11.32) (11.33) d V + vˆ( t) C V + v t = I + i t D d t (11.34) dt R O próximo objetivo é manipular as duas equações até obter uma forma mais simples. Fazendo a manipulação na equação (11.33): ( ˆ ) ( ˆ )( ˆ ) ( ˆ) ( ˆ L + L ( ) = g + g ( ) + ( ) + + ( ) ' ( )) d L I i t V v t D d t V v t D d t dt d d L I ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ( ) ˆ L + L il t = Vg D + vg t D + Vgd t + vg t d( t) + dt dt + VD ' Vdˆ ( t) + vˆ ( t) D ' vˆ ( t) dˆ ( t) d 0 + L iˆ ( ) ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ˆ L t = Vg D + vg t D + Vgd t + vgd( t) + VD ' dt Vdˆ ( t) + vˆ ( t) D ' vˆ ( t) dˆ ( t) d L iˆ ( ) ' ˆ ( ) ' ˆ( ) ( ) ˆ L t = DVg + VD + Dvg t + D v t + Vg V d( t) + dt 1ª Ordem ( ˆ ˆ g ) 2ª Ordem Constante + v ( t) v( t) dˆ ( t) 1ª Ordem (11.35) (11.36) A equação (11.36) mostra que ao aplicar perturbações, aparecem termos constantes, termos lineares ou de primeira ordem e termos não lineares ou de segunda ordem. O mesmo será feito para a equação (11.34) d V + vˆ( t) C V + v t = I + i t D d t dt R ( ˆ( ) ) ( ˆ )( ˆ L L ( ) ' ( ))

141 Modelagem de conversores em condução descontínua 123 d V + vˆ( t) C V + v t = I + i t D d t dt R d d ˆ( ) ˆ( ) ( ' ˆ( ) ˆ ( ) ' ˆ ( ) ˆ V v t C V + C v t = I LD I Ld t + il t D il t d( t) ) dt dt R R d ˆ ˆ ˆ ˆ V vˆ( t) 0 + C vˆ ( t) = I LD ' + I Ld( t) il ( t) D ' + il ( t) d( t) dt R R ( ˆ( ) ) ( ˆ )( ˆ L L ( ) ' ( )) d V ˆ ˆ 1 C vˆ ( t) = I ' ( ) ' ˆ( ) ˆ ( ) ˆ LD + I Ld t D ilv v t + il t d( t) dt R R 1ª Ordem Constante 1ª Ordem 2ª Ordem (11.37) (11.38) O objetivo destas contas é encontrar os modelos do conversor buck-boost. Estes modelos representam matematicamente como as saídas do conversor se comportam perante à variações nas entradas. Foi visto anteriormente que as variáveis de entrada são a tensão de entrada e a razão cíclica. Portanto buscam-se os modelos que mostram o comportamento da corrente ou tensão com variação da tensão de entrada ou variação da razão cíclica. É interessante observar que nas equações (11.36) e (11.38) os termos de segunda ordem são apenas os que têm influência da razão cíclica. Portanto uma planta que não dependa da razão cíclica será de primeira ordem sem ser necessário linearizá-la. Não faz sentido obter a planta da variação da razão cíclica perante uma variação na tensão de entrada ou vice versa, pois as duas são variáveis de entrada. Em resumo, as plantas que se busca são: v( s) Gv( s) = d( s) il ( s) Gi( s) = d( s) il ( s) Givg ( s) = v ( s) v( s) Gvvg ( s) = v ( s) g g

142 124 Modelagem de conversores em condução descontínua Termos constantes Os termos constantes das equações (11.36) e (11.38) mostram o comportamento do conversor em regime permanente. Estas equações são interessantes para obter uma função transferência mais enxuta Ganho estático O ganho estático do conversor é a relação da tensão de saída em função da tensão de entrada. Utilizando a equação (11.36) e comparando apenas os termos constantes: DVg g + VD ' = 0 (11.39) V D = (11.40) V D ' Corrente no indutor Através da equação (11.38) é possível verificar como a corrente do indutor se comporta em regime permanente. V I LD ' = 0 (11.41) R I L V = (11.42) D ' R Transformada de Laplace Com as equações do conversor e com o objetivo, basta apenas resolver as equações diferenciais do conversor. A ferramenta matemática utilizada para resolver será a transformada de Laplace. Porém as equações (11.36) e (11.38) possuem termos de segunda ordem, o que torna o sistema não linear. Mas foi considerado que as perturbações são muito menores que valor médio do ponto de operação, portanto estes termos de segunda ordem podem ser desprezados devido ao fato de que não apesentem grande contribuição no funcionamento do sistema. É importante lembrar que se as perturbações forem maiores, a planta não representará corretamente o funcionamento do sistema. Aplicando a transformada de Laplace nos termos de primeira ordem das equações (11.36) e (11.38).

143 Modelagem de conversores em condução descontínua 125 d L i ˆ ( ) ˆ ( ) ' ˆ( ) ( ) ˆ L t = Dvg t + D v t + Vg V d( t) (11.43) dt ( ) Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) + V V d( s) (11.44) L g g d ˆ ˆ 1 C vˆ ( t) = I ( ) ' ( ) ˆ Ld t D il t v( t) (11.45) dt R 1 Cs v( s) = I L d( s) D ' il ( s) v( s) (11.46) R As equações (11.44) e (11.46) representam as funções do conversor no domínio da frequência e serão repedidas, pois se tratam das equações mais importantes para encontrar o modelo do conversor. ( ) Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) + V V d( s) (11.44) L g g 1 Cs v( s) = I L d( s) D ' il ( s) v( s) (11.46) R Para encontrar os modelos do conversor basta manipulá-las de acordo com as necessidades Plantas do conversor Neste item são aplicadas as equações (11.44) e (11.46) para obter as plantas do conversor. Para isto basta apenas manipulá-las de forma que se obtenham as variáveis necessárias. As plantas não serão analisadas perante a duas variações de entrada, ou seja, variando a razão cíclica e a tensão de entrada ao mesmo tempo. Portanto para as plantas que dependem da razão cíclica, as variações da tensão de entrada serão consideradas zero, apenas as variações, já o termo quiescente continuará igual. E para as plantas onde se busca o comportamento do conversor perante a variação da tensão de entrada, as variações na razão cíclica serão consideradas zero Planta de tensão pela razão cíclica Utilizando as equações: ( ) Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) + V V d( s) (11.44) L g g 1 Cs v( s) = I L d( s) D ' il ( s) v( s) (11.46) R

144 126 Modelagem de conversores em condução descontínua Considerando vg ( s ) = 0 e para facilitar as contas, multiplica a equação (11.44) por D ' R, e a equação (11.46) por RLs. ( g ) D RLs i s DD R D R v s V V D R d s (11.47) 2 ' L ( ) = ' 0 + ' ( ) + ' ( ) ( ) = ( ) + ' ( ) + ( ) (11.48) 2 LCRs v s ILLRs d s D LRs il s Ls v s Somando as duas equações: ( g ) 2 D ' R v( s) + V V D ' R d( s) 2 D ' RLs il ( s) LCRs v( s) = I LRs d( s) + D ' LRs i ( s) + Ls v( s) ( g ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 LCRs v( s) = D ' R v( s) + Ls v( s) + V V D ' R d( s) L I LLRs d( s) LCRs + Ls + D ' R v( s) = Vg V D ' R I LLRs d( s) ( g ) v( s) I LLRs V V D ' R = 2 2 d( s) LCRs + Ls + D ' R L (11.50) A equação (11.50) representa a planta de tensão pela razão cíclica do conversor buck-boost, porém utilizando os valores encontrados nas equações (11.40) e (11.42) g (11.49) V D = (11.40) V D ' V I g L D ' = V (11.51) D V = (11.42) D ' R Substituindo (11.42) e (11.51) em (11.50)

145 Modelagem de conversores em condução descontínua 127 V D ' LRs V V D ' R v( s) D ' R D = 2 2 d( s) LCRs + Ls + D ' R V 1 D LRs V V D ' R v( s) D ' R D = d( s) LCRs Ls D ' R (11.52) V V DV LRs V D ' R v( s) + D ' R D D = 2 2 d( s) LCRs + Ls + D ' R V D ' R LRs + V v( s) = D ' R D 2 2 d( s) LCRs + Ls + D ' R (11.53) V Isolando o termo na parte de cima da equação (11.53): DD ' 2 v( s) V DLs D ' R = 2 2 d( s) DD ' LCRs Ls D ' R + + (11.54) A equação (11.54) representa a planta de tensão pela razão cíclica Planta de Corrente Pela Razão Cíclica Para facilitar o entendimento, as equações (11.44) e (11.46) serão reapresentadas abaixo. ( ) Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) + V V d( s) (11.44) L g g 1 Cs v( s) = I L d( s) D ' il ( s) v( s) (11.46) R Como precisa eliminar a variável v( s ), a equação (11.46) será reescrita da seguinte forma: 1 0 = I L d( s) D ' il ( s) + Cs v( s) R 0 = I R d( s) RD ' i ( s) 1 + RCs v( s) L L ( ) (11.55)

146 128 Modelagem de conversores em condução descontínua Considerando vg ( s ) = 0 e para facilitar as contas, multiplica a equação (11.44) por ( 1+ RCs), e a equação (11.55) por RD '. ( + ) = ( + ) + ( )( + ) L 1 RCs s i ( s) D ' 1 RCs v( s) V V 1 RCs d( s) (11.56) L 0 = I LRD ' d( s) RD ' i ( s) RD ' + Cs v( s) R 2 1 L Somando as duas equações: g ( + ) + ( g )( + ) 2 ( ) D ' 1 RCs v( s) V V 1 RCs d( s) L( 1 + RCs) s il ( s) + 0 = + I RD ' d( s) RD ' i ( s) D ' 1 + RCs v( s) L L (11.57) ( ) ( )( ) L RCs s i s V V RCs d s I RD d s RD i s L ( ) = g 1 + ( ) + L ' ( ) ' L ( ) 2 ( ) ( )( ) L 1 + RCs s i ( s) + RD ' i ( s) = V V 1 + RCs d( s) + I RD ' d( s) L L g L ( g ) 2 2 RLCs + Ls + RD ' il ( s) = V V 1+ R ( g )( ) i 1 ' L ( s) V V + RCs + I LRD = 2 2 d( s) RLCs + Ls + RD ' ( Cs) + I RD ' d( s) L (11.59) (11.58) A equação (11.59) representa a planta de corrente pela razão cíclica do conversor buck-boost, mas serão utilizadas as substituições usadas na planta de tensão. D ' Vg = V D V Vg = V D (11.60) V I L = (11.42) D ' R Substituindo (11.42) e (11.61) em (11.59):

147 Modelagem de conversores em condução descontínua 129 V V V V ( 1 RCs) RD ' il ( s) + D RD ' = 2 2 d( s) RLCs + Ls + RD ' V V RCs V il ( s) D D = 2 2 d( s) RLCs + Ls + RD ' (11.62) V V V D RCs il ( s) = D D D 2 2 d( s) RLCs + Ls + RD ' Isolando o termo V : D il ( s) V 1+ D + RCs = d( s) D RLCs + Ls + RD ' 2 2 (11.63) A equação (11.63) representa a função transferência da planta de corrente pela razão cíclica Planta de tensão de saída pela tensão de entrada Para encontrar a planta de tensão de saída pela tensão de entrada, é necessário considerar que variação na razão cíclica é zero. Como mencionado anteriormente, esta planta é linear, portanto é válida para perturbações maiores. As equações serão novamente apresentadas abaixo. ( ) Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) + V V d( s) (11.44) L g g 1 Cs v( s) = I L d( s) D ' il ( s) v( s) (11.46) R Considerando d( t ) = 0, as equações ficam: Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) (11.64) L g ( ) 0 = RD ' i ( s) 1 + RCs v( s) (11.65) L Deve-se eliminar a variável da corrente de entrada, para isto, multiplica a equação (11.64) por RD ' e a equação (11.65) por Ls e somam as duas:

148 130 Modelagem de conversores em condução descontínua RD Ls i s = RD D v s + RD v s 2 ' L ( ) ' g ( ) ' ( ) ( ) 0 = LRD ' si ( s) RCs Ls v( s) 2 2 ( ) L ( ) 2 0 = RD ' D vg ( s) + RD ' v( s) RCs Ls v( s) RD ' + Ls + RLCs v( s) = RD ' D v ( s) v( s) RD ' D = v ( s) RLCs + Ls + RD ' g 2 2 g (11.66) (11.67) (11.68) A equação (11.68) representa a função de transferência da planta de tensão de saída pela tensão de entrada Planta de corrente no indutor pela tensão de entrada Para encontrar a planta de corrente no indutor pela tensão de entrada, são feitas as mesmas considerações usadas para a planta de tensão de saída pela tensão de entrada. Utilizando as equações (11.64) e (11.65) Ls i ( s) = D v ( s) + D ' v( s) (11.64) L g ( ) 0 = RD ' i ( s) 1 + RCs v( s) (11.65) L Neste caso, é necessário eliminar a variável da tensão de saída, 1+ RCs e a equação para isto, multiplica a equação (11.64) por ( ) (11.65) por D ' : ( + ) L = ( + ) g + ( + ) 2 RD i s ( RCs) D v s Ls 1 RCs i ( s) D 1 RCs v ( s) D ' 1 RCs v( s) 0 = ' ( ) 1 + ' ( ) L Somando as duas: ( + ) = ( + ) 2 ( ) ( ) Ls RCs i s D RCs v s RD i s 2 1 L ( ) 1 g ( ) ' L ( ) 2 2 ( ) L ( ) (11.69) Ls 1 + RCs i ( s) + RD ' i ( s) = D 1 + RCs v ( s) (11.70) L L g RCs + Ls + RD ' i ( s) = D 1 + RCs v ( s) ( 1+ RCs) il ( s) D = v ( s) RCs + Ls + RD ' g 2 2 g (11.71) A equação(11.71) representa a função de transferência da planta da corrente pela razão cíclica.

149 Modelagem de conversores em condução descontínua Validação das plantas No capítulo anterior, o conversor foi modelado. É importante saber se as plantas encontradas são válidas. Para isso o software PSIM tem um recurso poderoso que permite extrair a função de transferência de um circuito a partir de uma perturbação. Esta perturbação pode ser alocada onde for conveniente. Nos casos apresentados no capítulo 6.2 as perturbações devem ser inseridas na razão cíclica e na tensão de entrada. Este recurso chamado AC Sweep, faz uma varredura em frequência e retorna em um diagrama de bode da planta desejada. Para a verificação, foi utilizado um conversor buck-boost com as seguintes especificações: Tabela 2 - Especificações do conversor V = 100V Tensão de entrada g V = 200 V Tensão de saída P = 200 W Potência de saída o f s = 20kHz Frequência de comutação D = 0,666 Razão cíclica C = 20 µ F Capacitor de saída L = 15mH Indutância R = 200Ω Resistência de carga Estas especificações garantem ao conversor a operação em modo de condução contínua, condição em que as plantas foram modeladas Parameter File Para iniciar o uso do AC Sweep é necessário um circuito. Para isto será utilizado um circuito do conversor buck-boost apresentado a seguir.

150 132 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Circuito do conversor buck-boost Nota-se que as variáveis estão denominadas com letras. Será utilizado outro recurso do PSIM, que é a utilização do recurso Parameter File. Este recurso permita ao usuário a utilização de letras para determinar variáveis e a utilização destas letras em fórmulas matemáticas, uma função que facilita bastante a análise das funções transferência. Para usar este recurso, deve atribuir uma letra ao valor do componente, como mostra a figura a seguir. Fig Resistor do circuito com o valor R atribuído para resistência. A figura mostra destacado o campo do componente onde deve usar a letra. Este recurso permite atribuir letra a qualquer parâmetro que pode ser setado circuito, mas neste caso o parâmetro de interesse é o valor da resistência.

151 Modelagem de conversores em condução descontínua 133 Após todos os elementos do circuito estarem atribuídos, insere-se no circuito o componente Parameter File localizado no menu: Elements>Other>Parameter File. Como mostra a figura a seguir. Fig Localização do recurso Parameter File no menu Elements do PSIM. Após clicar, basta inserir este componente em qualquer lugar do circuito e dar dois cliques no mouse que aparecerá a seguinte janela: Fig Janela de configuração do Parameter File. A caixa de texto Name serve apenas para dar o nome ao componente Parameter File que foi inserido. A caixa de texto File mostra o diretório e o nome do arquivo onde os parâmetros estão salvos. Para este recurso funcionar, é necessário que o arquivo esteja salvo. Atenção na hora de fazer cópias

152 134 Modelagem de conversores em condução descontínua de circuitos, pois o arquivo salvo não muda quando copia de um circuito para outro, mesmo que o circuito do PSIM esteja em outro arquivo. A caixa de texto abaixo do File é o lugar onde podem ser atribuídos valores para as letras que foram usadas nos componentes. A entrada de texto é igual à entrada de texto do MatLab,portanto as entradas de texto podem ser copiadas para MatLab e verificar os resultados neste progama. A seguir é apresentado o arquivo utilizado para este circuito. Fig Exemplo de entrada de texto utilizada no menu Parameter File. A figura a seguir mostra o menu File.

153 Modelagem de conversores em condução descontínua 135 Fig Detalhes do menu File do componente Parameter File. Neste menu estão as opções para salvar o arquivo no disco e abrir um outro arquivo de texto existente no disco rígido do computador AC Sweep Com os parâmetros digitados, é hora de usar o AC Sweep. Este recurso é encontrado no menu Elements>Other>AC Sweep, como mostra a figura a seguir. Fig Localização do elemento AC Sweep. Insere o elemento em qualquer lugar do circuito e dá dois cliques no mouse para acessar as suas configurações que estão apresentadas a seguir.

154 136 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Janela de configurações do elemento AC Sweep Esta janela de configurações apresenta as seguintes opções Name: Nome do elemento, utilizado apenas para identificação do elemento AC Sweep que foi inserido no circuito. Start Frequency: Frequência inicial da varredura. Quanto mais baixa a frequência, mais demorada fica a simulação, pois o programa faz simulações para várias frequências até atingir regime permanente, e para frequências menores é mais demorado para atingir regime permanente. End Frequency: Frequência final da varredura. Não faz sentido usa frequências superiores à frequência de chaveamento, pois o conversor não responderá corretamente se aplicar frequências na razão cíclica maiores que a frequência da portadora. No of Points: Número de pontos do gráfico. Este é número de simulações que o programa fará até atingir regime permanente. Quanto mais números utilizar, mais resolução o gráfico terá, porém o tempo de simulação aumenta. Flag for Points: Distribuição dos pontos do gráfico. Pode-se escolher duas opções: 0 Os pontos são distribuídos em escala logarítmica no eixo da frequência (opção padrão). 1 Os pontos são distribuídos em escala linear. Como os gráficos de bode são em escala logarítmica na frequência, deve-se utilizar 0 nesta opção.

155 Modelagem de conversores em condução descontínua 137 Source Name: Nome da fonte de perturbação. Deve-se inserir uma fonte senoidal onde deseja aplicar a perturbação. Nesta caixa de texto insere o nome do elemento desta fonte. Start Amplitude: Amplitude inicial da perturbação. Esta amplitude deve ser pequena devido a não linearidade das plantas linearizadas a partir de um ponto de operação. End Amplitude: Amplitude final. Em altas frequências o ganho da planta diminui, esta opção serve como compensação desta redução do ganho da planta inserindo um valor maior de amplitude nesta opção. Freq. for extra Points: Esta opção serve para inserir pontos extras em algumas frequências. Serve para melhorar a resolução do gráfico em pontos mais detalhados do gráfico, como em frequências de ressonância, onde ocorre um sobressinal. Depois de definidos os parâmetros do AC Sweep, falta indicar qual é a tensão que deseja verificar com a aplicação da perturbação. Para isto insere o elemento AC Sweep Probe localizado no menu Elements>Other>Probes>AC Sweep Probe como mostra a figura a seguir. Fig Localização do AC Sweep Probe no PSIM. O AC Sweep Probe é uma ponteira de tensão utilizada para monitorar a tensão em algum ponto do circuito, para ler a corrente, deve ser utilizado um sensor de corrente do PSIM com ganho unitário. Insere o AC Sweep Probe no ponto do circuito que deseja monitorar. Por exemplo, se deseja ver a planta de tensão por razão cíclica, é necessário aplicar uma fonte senoidal na razão cíclica e monitorar a tensão de saída.

156 138 Modelagem de conversores em condução descontínua s-domain Transfer Function Para comparar de forma prática as plantas encontradas no item com o modelo que o PSIM gera para o circuito, uma opção que o software fornece é o elemento s-domain Transfer Function, este bloco retorna a resposta de um sinal que passa por uma função transferência no domínio da frequência. Este bloco é encontrado no menu Elements>Control>Other Function Blocks>s-domain Transfer Function. Fig Localização do elemento s-domain Transfer Function Insere este bloco em qualquer lugar do circuito. E dá dois cliques no mouse para acessar as configurações.

157 Modelagem de conversores em condução descontínua 139 Fig Janela de configurações do elemento s-domain Transfer Function A Fig mostra a janela de configurações do bloco e mostra também o bloco inserido. Para este bloco funcionar, deve-se inserir um sinal de entrada. A janela de configurações apresenta as seguintes opções: Name: Nome do bloco. Order n: Ordem da função transferência. Gain: Ganho do sistema. Este valor multiplicará a função transferência. Coeff. Bn..B0: Coeficientes do numerador. Nesta caixa de texto insere os coeficientes do numerador da função transferência, iniciando no coeficiente de maior grau para o de menor grau. Coeff. Bn..B0: Coeficientes do denominador. Semelhante aos coeficientes do numerador. A seguir é apresentado o formato da função transferência que insere no bloco. n G ( s ) k Bn s + B s + B s + B s = An s n +.. A 2 s + A 1 s + A 0 s (11.72) Onde k é o ganho e n é a ordem. O numerador e o denominador devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de termos, caso apresentem ordens diferentes, o coeficiente que a função não possui deve ser preenchido com o número 0.

158 140 Modelagem de conversores em condução descontínua No próximo item será apresentado o exemplo detalhado mostrando os passos e configurações para validar a planta de tensão pela razão cíclica e corrente pela razão cíclica encontradas no item Validação da planta de tensão e corrente pela razão cíclica Neste item serão mostrados detalhadamente os passos para validar as funções transferência. No item foi visto que as planta de tensão e corrente pela razão cíclica são: 2 v( s) V DLs D ' R = 2 2 d( s) DD ' LCRs Ls D ' R + + (11.73) il ( s) V 1+ D + RCs = d( s) D RLCs + Ls + RD ' 2 2 (11.74) A figura a seguir mostra o circuito implementado para realizar a validação. Fig Circuito do conversor buck-boost usado para validar as plantas de tensão por razão cíclica e corrente por razão cíclica.

159 Modelagem de conversores em condução descontínua 141 Para realizar a validação foi inserida uma fonte senoidal com o nome de Perturbacao em série com a razão cíclica, com isto insere-se uma perturbação na razão cíclica. Os blocos s-domain Transfer Function recebem como sinal de entrada a razão cíclica. Na saída destes blocos estão as ponteiras de tensão e AC Sweep Probe, que serão mostradas nos gráficos. Para facilitar a comparação, foi modificado o nome das ponteiras para GIDModelo para a planta de corrente e GVDModelo para a planta de tensão. No circuito de potência foram adicionadas ponteiras no sensor de corrente para ler a corrente no indutor e na tensão de saída. A figura a seguir mostra as configurações utilizadas no bloco s-domain Transfer Function. Fig Janelas de configuração do s-domain Transfer Function para a planta de tensão e planta de corrente. Nota-se que as plantas são de segunda ordem, e foram inseridos letras nos parâmetros, que serão atribuídas no Parameter File. a figura a seguir mostra as configurações do Parameter File.

160 142 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Atribuição de valores nas letras definidas como valores dos elementos do circuito. Pela figura acima é possível verificar a facilidade que este recurso trás. Foram utilizadas contas matemáticas para definir os coeficientes das plantas. Portanto se desejar verificar o circuito com valores diferentes de algum elemento basta alterar este elemento, que tudo que depende deste elemento terá seu valor alterado. Os coeficientes do denominador são iguais para todas as plantas obtidas neste trabalho, portanto não serão alterados. A figura a seguir mostra as configurações do AC Sweep. Fig Configurações utilizadas no AC Sweep.

161 Modelagem de conversores em condução descontínua 143 O valor utilizado para a amplitude da perturbação é de 1% da razão cíclica, este valor pode ser verificado no Parameter File. Quando o bloco AC Sweep estiver no circuito, as ponteiras de tensão não funcionarão, apenas as AC Sweep Probe apresentarão resultado. Para verificar a resposta ao degrau, o AC Sweep deve ser apagado do circuito. O gráfico gerado tem o módulo em 20log( G( s )) para o eixo do módulo e na fase, os valores são em graus. É importante lembrar que se utilizar a portadora com amplitude diferente de 1 o módulo terá este ganho adicionado no gráfico gerado do circuito, e os gráficos não serão iguais. As figuras a seguir mostram os resultados obtidos. Fig Comparação dos gráficos de tensão por razão cíclica gerada a partir pelo bloco s-domain Transfer Function, e gerado pelo circuito de potência. A figura mostra que para frequências próximas a frequência de comutação, a resposta do circuito começa a ser diferente do modelo matemático. Mas isto não é problema, pois a frequência de cruzamento utilizada para cálculos de controle é no máximo 25% da frequência de comutação. Esta planta apresenta um zero no semi-plano direito isto não causa instabilidade no sistema, no módulo o comportamento é o mesmo que para um zero no semi-plano esquerdo, mas na fase, este zero tem o comportamento de um polo, ou seja, a faze decresce 90º ao invés de crescer 90º como seria o esperado para um zero.

162 144 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Comparação dos gráficos de corrente por razão cíclica gerada a partir pelo bloco s-domain Transfer Function, e gerado pelo circuito de potência. A planta de corrente apresenta o comportamento esperado para um sistema de segunda ordem com um zero no semi-plano esquerdo. O módulo apresenta uma ressonância, e pode-se notar que o zero encontrase próximo da frequência de ressonância, pois o módulo inicia em faixa plana e próximo à frequência de ressonância o gráfico cresce, mas logo passa a decrescer 20dB/dec. A figura a seguir mostra o problema de utilizar valores mais altos para amplitude da perturbação. A figura a seguir mostra as funções transferência com uma perturbação de 10% da razão cíclica.

163 Modelagem de conversores em condução descontínua 145 Fig Plantas de tensão e corrente pela razão cíclica com uma perturbação de 10% da razão cíclica. A Fig mostra que para a amplitude deltad de 10% utilizada na perturbação, as plantas do modelo matemático apresentam diferenças dos modelos obtidos do circuito Validação da planta de tensão e corrente pela tensão de entrada As plantas de tensão e corrente pela tensão de entrada são: v( s) RD ' D = v ( s) RLCs + Ls + RD ' g 2 2 ( 1+ RCs) il ( s) D = v ( s) RCs + Ls + RD ' g 2 2 (11.75) (11.76) Para validar estas plantas, a perturbação será inserida na tensão de entrada. Este modelo é linear, portanto a amplitude da perturbação não tem a necessidade de ser pequena. A figura a seguir mostra o circuito utilizado para validar estas plantas.

164 146 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Circuito utilizado para validar as plantas de corrente e tensão pela tensão de entrada. A perturbação foi retirada da razão cíclica e colocada em série com a tensão de entrada. a figura a seguir mostra os parâmetros utilizados no Parameter File. Fig Atribuições feitas no Parameter File.

165 Modelagem de conversores em condução descontínua 147 As figuras a seguir mostram os resultados obtidos para as plantas do circuito e do modelo matemático. Fig Planta de tensão de saída pela tensão de entrada do modelo matemático e do circuito. Esta planta possui dois polos complexos, que geram uma frequência de ressonância próximo a 100 Hz, que faz a planta decrescer 40dB/dec após a frequência de corte. Fig Planta de corrente no indutor pela corrente de entrada do modelo matemático e do circuito.

166 148 Modelagem de conversores em condução descontínua Esta planta apresenta um zero no semi-plano esquerdo próximo a frequência de ressonância da planta que faz a planta decrescer 20dB/dec após a frequência de corte. A figura a seguir mostra as plantas com uma perturbação maior, para verificar a linearidade das plantas. Fig Respostas das plantas para uma perturbação com amplitude de 20% da tensão de entrada. Foi inserida uma perturbação com amplitude alta para verificar a linearidade. Mesmo com este valor de amplitude, os modelos matemáticos representam a resposta do circuito. Com estes gráficos, os modelos foram validados. Em alguns casos pode-se fazer a verificação por resposta ao degrau. Mas este método não é muito interessante em alguns casos, pois as plantas não representam o comportamento da tensão ou corrente em regime permanente. A seguir é mostrada a função transferência do modelo de tensão pela razão cíclica. 2 v( s) V DLs D ' R = 2 2 d( s) DD ' LCRs + Ls + D ' R (11.77) Utilizando o teorema do valor final, a resposta em regime permanente para este circuito é: v( s) V D ' = (11.78) s 0 Pode-se perceber que esta planta não representa a tensão de saída em regime permanente. Porém podem-se utilizar operações matemáticas

167 Modelagem de conversores em condução descontínua 149 para obter a resposta, mas isto afetará o comportamento do sistema em regime transitório, o que torna a verificação por degrau inviável. 6.4 Conclusões Este texto mostrou uma forma de obter o modelo matemático das plantas do conversor buck-boost. O princípio de modelagem é a partir da tensão média no indutor e da corrente média no capacitor, encontrando as equações que determinam estes valores, basta apenas fazer manipulação matemática e resolver sistema de equações diferenciais que neste caso foi utilizada a transformada de Laplace que já retorna a função no domínio da frequência. Os modelos da planta dependentes da razão cíclica são para pequenas perturbações, pois se tratam de sistemas não lineares, porém apresentaram um bom funcionamento para amplitudes de perturbação de 1% da razão cíclica, para 10% o modelo divergiu do modelo esperado, mas não precisa ser necessariamente descartado. Mas é importante saber que estes modelos respondem desta forma para pequenas variações na razão cíclica. Já os modelos dependentes da tensão de entrada são lineares, portanto respondem bem para uma faixa ampla de variação, sendo que o modelo respondeu bem para uma perturbação com 20% da tensão de entrada. Outro ponto examinado no texto a resposta ao degrau não é um método eficiente para validar as plantas em alguns conversores, devido ao fato de que a planta não represente corretamente a variável analisada em regime permanente ou no regime transitório. Mas como o controle é projetado no domínio da frequência, o método de validação apresentado é suficiente para verificar se o conversor está sendo bem modelado ou não. 7 Modelagem do conversor BUCK-BOOST em condução descontínua [25] [26] 7.1 Introdução Para o desenvolvimento do controle de conversores estáticos precisamos obter os modelos dos mesmos para verificar qual tipo de controlador adotar e sintonizá-los de forma adequada. Desta forma, neste trabalho será demonstrado como obter os modelos de tensão e corrente, bem como validá-los através da resposta ao degrau e resposta em frequência.

168 150 Modelagem de conversores em condução descontínua O conversor escolhido para obtenção dos modelos é o buck-boost operando em modo de condução descontínua (MCD). Tradicionalmente os conversores boost e buck-boost são projetados para operar em condução descontínua na situação de plena carga. Além disso, todos os conversores podem operar em condução descontínua para pequenas cargas. Para a obtenção dos modelos de conversores operando em condução descontínua é necessário primeiramente o modelo médio das chaves (transistor e diodo). Com este modelo, é linearizado o conversor em um ponto de operação e aplicado uma pequena perturbação para obter o modelo de pequenos sinais. 7.2 Modelo médio dos interruptores O esquema do conversor buck-boost é ilustrado na Fig As tensões e correntes nos terminais das chaves semicondutoras são definidos conforme mostrado: v ( t) e 1 i ( ) 1 t são as formas de onda no transistor, enquanto v ( t ) e 2 i ( ) 2 t são as formas de onda no diodo. Fig Conversor buck-boost. O modelo médio das chaves é obtido através dos valores médios das tensões e correntes nos terminais dos mesmos. Com os valores médios é possível derivar um circuito equivalente que será o modelo médio das chaves.

169 Modelagem de conversores em condução descontínua Determinação dos valores médios Para a determinação dos valores médios precisamos inicialmente analisar a operação do conversor buck-boost, traçar as formas de onda e obter os valores médios nos terminais das chaves. O conversor buck-boost em condução descontínua apresenta três etapas de operação: 1ª etapa (0 < t t1): o transistor é fechado, o diodo é polarizado reversamente e entra em bloqueio. O indutor carrega-se linearmente através da fonte Vg enquanto o capacitor e a carga ficam desconectados da fonte Vg. 2ª etapa (t1 < t t2): o transistor é aberto, o diodo é polarizado diretamente e entra em condução. O indutor transfere energia para o capacitor e para a carga enquanto a fonte Vg fica desconectada do circuito. 3ª etapa (t2 < t t3): O transistor continua aberto e a energia do indutor foi descarregada totalmente, sendo o diodo bloqueado. A carga é alimentada apenas pela energia no capacitor. A seguir são apresentados os circuitos equivalentes para cada etapa de operação descrita anteriormente:

170 152 Modelagem de conversores em condução descontínua v i V g T L D C R + V (a) V g v 1 + T L i 2 D C R + V (b) V g v 1 v T D C R + V Fig Etapas de operação do conversor buck-boost: (a) 1ª etapa para 0 < t t1, (b) 2ª etapa para t1 < t t2, (c) 3ª etapa para t2 < t t3. As formas de onda nas chaves semicondutoras e no indutor são mostrados a seguir: (c)

171 Modelagem de conversores em condução descontínua 153 Fig Formas de onda de tensão e corrente nas chaves semicondutoras e no indutor do conversor buck-boost em MCD. A corrente no indutor inicia-se em zero e cresce com uma inclinação de vg/l até atingir o pico em t 1 dado pela seguinte equação: vg ipk = d1ts,onde: t1 = d1ts L (12.1)

172 154 Modelagem de conversores em condução descontínua Obtidas as formas de onda, o próximo passo consiste em obter os valores médios de v ( t ) i ( t ), v ( t ) i ( ) 2 t em termos das variáveis do conversor (L, C, vg ( t ), d ( t ) e d ( ) 1 2 t ). Através das formas de onda temos que o valor médio de v ( t ) é: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v t = d t + d t v t v t + d t v t (12.2) Ts 2 g Ts Ts 3 g Como d ( t) 1 d ( t) d ( t) =, temos que: ( ) ( 1 ( )) g ( ) ( ) ( ) v t = d t v t d t v t (12.3) 1 Ts 1 Ts 2 Da mesma forma podemos obter a tensão média no diodo e chegar na seguinte equação: i 2 ( t) Ts ( t) T v1 ( t) 2 d1 s = (12.4) 2L A corrente média na entrada obtemos através da integral no período da forma de onda de corrente i 1 ( t ), como segue: t + T s 1 q1 i ( t) = i ( t) dt = (12.5) T 1 T 1 s Ts t s Onde q1 é a área da corrente i 1 ( t ) durante o intervalo t1 dada pela seguinte equação: t+ T s 1 q = i ( t) dt = ( d Ts ) ipk (12.6) t Substituindo a equação (12.1) em (12.6), temos: ( ) 2 d1 t Ts i1 ( t ) = vg ( t) (12.7) Ts 2L Ts De forma similar obtemos a corrente no diodo i ( t ), conforme 2 abaixo: t + T s 1 q2 i ( t) = i ( t) dt = (12.8) T 2 T 2 s Ts t s Onde q2 é a área da corrente 2 ( ) i t durante o intervalo t2 dada pela seguinte equação: Ts Ts

173 Modelagem de conversores em condução descontínua 155 t+ T s 1 q = i ( t) dt = ( d Ts ) ipk (12.9) t Substituindo a equação (12.1) em (12.9), temos: ( ) ( ) ( ) d t d t T = ( ) (12.10) 2L Ts 1 2 s i2 t v T g t s As equações (12.3), (12.4), (12.7) e (12.10) representam os valores médios nos terminais das chaves semicondutoras para o conversor buckboost operando em MCD. Contudo, temos ainda que expressar o subintervalo d2 em termos de d1, que representa a razão cíclica do conversor. Como a tensão média no indutor é zero durante um ciclo completo do conversor, obtemos a seguinte equação: L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v t = d t v t + d t v t + d t (12.11) Ts 1 g Ts Ts Isolando d2, chegamos no seguinte: ( ) ( ) v ( t) g Ts 2 = 1 (12.12) d t d t ( ) v t Ts Substituindo a equação (12.12) nas equações (12.3), (12.4), (12.7) e (12.10), obtemos as equações dos valores médios nos terminais das chaves semicondutoras do conversor buck-boost em MCD que servirão para construção dos circuitos equivalentes das chaves. ( ) ( ) v t = v t (12.13) 1 Ts g ( ) ( ) Ts v t = v t (12.14) 2 Ts Ts ( ) 2 d1 t Ts i1 ( t) = v1 ( t) (12.15) Ts T 2L s i 2 ( t) 2 2 d1 Ts = Ts 2 Ts (12.16) ( t) T v1 ( t) s 2L v ( t) Construção do circuito equivalente Como as equações (12.13) e (12.14) são independentes, utilizaremos as equações (12.15) e (12.16) para a construção dos circuitos equivalentes do transistor e do diodo. A equação (12.15)

174 156 Modelagem de conversores em condução descontínua modela o transistor e nota-se que a corrente média na entrada ( ) i t é proporcional a tensão média aplicada na entrada v1 ( t ). Sendo assim, Ts o modelo médio do transistor obedece a lei de ohm da seguinte forma: v1 ( t) Ts i1 ( t) = (12.17) Ts ( d ) R ( d ) R e 1 Onde a resistência efetiva Re é: e 1 2 d1 = 2L t T (12.18) ( ) s O circuito equivalente do transistor é mostrado na Fig. 7.4 e consiste em uma resistência. 1 T s Fig Circuito equivalente do modelo médio do transistor. Multiplicando ambos os lados da equação (12.16) por v t obtemos o seguinte: ( ) 2 Ts ( ) ( ) 2 ( t) Ts ( d ) v1 i t v t = = p t (12.19) ( ) 2 T 2 s Ts T R s e 1 A potência média p ( t ) T s, aparentemente é consumida pela resistência Re. Contudo, pela equação (12.19), a potência média na entrada (transistor) é transferida para a saída (diodo). Este comportamento é representado por uma fonte de potência dependente, ilustrado na Fig. 7.5.

175 Modelagem de conversores em condução descontínua 157 Fig Fonte dependente de potência: (a) esquema (b) i-v característica. A curva característica da fonte de potência é ilustrada na Fig. 7.5 e é simétrica com relação à tensão e corrente; consequentemente a potência fornecida é constante. Similarmente a uma fonte de tensão, a fonte de potência não pode ser curto circuitada nos seus terminais de saída para não haver uma corrente infinita. De forma similar a uma fonte de corrente, não pode em seus terminais de saída haver um circuito aberto para a tensão não tender ao infinito. A fonte de potência deverá ser conectada a uma carga capaz de absorver a potência p(t) e o ponto de operação é definido como a interseção da carga e da característica i-v da fonte de potência. O modelo médio geral de grandes sinais para uma rede de duas chaves em condução descontínua é ilustrado nafig Esta configuração é conhecida como modelo de resistor sem perdas (LFR), pois a energia que seria dissipada na resistência Re é transferida para a saída através da fonte dependente de potência. Fig (a) rede genérica de duas chaves, e (b) correspondente modelo médio das chaves em MCD: as formas de onda média no transistor obedecem a lei de Ohm, enquanto as formas de onda média no diodo como um fonte de potência dependente.

176 158 Modelagem de conversores em condução descontínua A configuração do conversor buck-boost com o modelo de resistor sem perdas é mostrado na Fig Fig Conversor buck-boost em MCD com o modelo de resistor sem perdas. O ganho estático do conversor buck-boost operando em MCD é obtido através da análise do circuito da Fig Como a potência na entrada é igual à potência na saída temos a seguinte relação: ( ) 2 v t Ts vg ( t) i1 ( t ) = (12.20) Ts Ts R Substituindo a equação (12.17) em (12.20), temos: ( ) Ts ( d ) e 1 ( ) 2 2 vg t v t Ts = (12.21) R R Desta forma temos que o ganho estático do conversor em estudo para MCD é: ( ) T R s ( t) R e ( d 1 ) v t M = v = (12.22) g Ts Modelo para pequenos sinais O próximo passo é a construção do modelo do circuito equivalente de pequenos sinais do conversor buck-boost operando em modo de condução descontínua. No circuito equivalente para grandes sinais da Fig. 7.7, o modelo médio das chaves é não linear.

177 Modelagem de conversores em condução descontínua 159 Fig Modelos médios geral de duas chaves em um conversor operando em MCD: (a) modelo de grandes sinais, (b) modelo de pequenos sinais. Então, os sinais envolvidos no modelo médio das chaves em MCD devem ser perturbados em torno de um ponto quiescente de operação, como segue: d ( t) = D + d ɵ ( t) (12.23) ( ) v1 t = V ( ) 1 + v1 t (12.24) T S ( ) ɵ i1 t = I ( ) 1 + i1 t (12.25) T S ( ) v2 t = V ( ) 2 + v2 t (12.26) T S ( ) i t = I + i t (12.27) ( ) 2 T 2 2 S Onde, D é o valor quiescente da razão cíclica do transistor, V1 é o valor quiescente da tensão média aplicada ao transistor, etc. As variáveis 1 ( ) v t, ɵ ( ) d t, etc., são pequenos sinais alternados (perturbações) sobre seus respectivos valores quiescentes. As equações (12.15) e (12.16) expressam as correntes médias nos i t como função da razão cíclica do conversor terminais i ( t ) e ( ) 1 T S 2 T S ( ) = ( ) e tensões médias nos terminais v ( t) e ( ) d t d t 1 1 T S v t. Através da perturbação e linearização destas equações, encontraremos 2 T S

178 160 Modelagem de conversores em condução descontínua que xx e xxx são expressas como funções lineares de v ( t ), ɵ 1 d ( t ) e v ( ) 2 t. Então, as equações das chaves para pequenos sinais podem ser escritas da seguinte forma: ɵ v1 i ɵ 1 = + j1 d + g1v2 (12.28) r 1 v2 i ɵ 2 = + j2 d + g2 v1 (12.29) r 2 Estas equações descrevem a entrada e saída do modelo de pequenos sinais da Fig Os parâmetros r1, j1 e g1 podem ser encontrados através da expansão de Taylor da equação (12.15). A corrente média no transistor pode ser expressa da seguinte forma: ( ) ( t) Ts ( d ) ( ( ), ( ), ( )) v1 i t = = f v t v t d t (12.30) 1 T s T R s Ts e 1 Vamos expandir esta expressão em uma série de Taylor tridimensional sobre o ponto de operação quiescente (V1, V2, D): ( ) ɵ ( ) (,, ) f1 v1 V2 D I1 + ɵi 1 ( t) = f1 ( V1, V2, D) + vɵ 1 ( t) v ( ) f V, v, D f V, V, d + ( ) + v d v1 = V1 v2 = V2 d = D vɵ 2 t d t (12.31) 2 + termos de ordemsup erior não linear Para simplificar a notação, os colchetes em ângulo denotando valores médios são suprimidos na equação abaixo. Os termos constantes em ambos os lados da equação (12.31) devem ser iguais: (,, ) I f V V D V 1 1 = = (12.32) R e ( D) Usualmente, nós linearizamos as equações descartando os termos não lineares de altas ordens. Os temos alternados de primeira ordem remanescentes da equação (12.31) são equacionados: ɵ 1 i ( ) ( ) ( ) ɵ 1 t = vɵ 1 t + vɵ 2 t g1 + d ( t) j1 (12.33) r Onde: 1

179 Modelagem de conversores em condução descontínua 161 (,, ) 1 f1 v1 V2 D 1 = = r v R D 1 1 v e 1 = V1 g (,, ) f V v D = = v2 v2 = V2 ( ) ( D) 0 ( ) ( ) f V, V, d V R d j = = e 1 2 d Re ( D) d d = D d = D 2V 1 = D R e (12.34) (12.35) (12.36) Embora, a resistência de entrada para pequenos sinais r1 é igual a resistência efetiva Re, avaliado no ponto operacional quiescente. Este R D. termo descreve como variações em v ( t) afeta i ( t ) via ( ) O parâmetro g1 é igual a zero, desde que corrente média no transistor v t. O ganho de i ( t) é dependente da tensão média no diodo ( ) 1 T S pequenos sinais j1 descreve como variações na razão cíclica, a qual afeta i t. o valor de ( ) e expressa por: ( ) R d, leva a variações em ( ) De uma maneira similar, ( ) 2 v1 ( t) Ts ( d ( t) ) v ( t) T S T S T S 2 1 i t da equação (12.16) pode ser ( ( ), ( ), ( )) i t = = f v t v t d t (12.37) 2 T s Ts Ts R e 2 Ts Vamos expandir esta expressão em uma série de Taylor tridimensional sobre o ponto de operação quiescente (V1, V2, D): ( ) ɵ ( ) (,, ) f2 v1 V2 D I2 + ɵi 2 ( t) = f2 ( V1, V2, D) + vɵ 1 ( t) v ( ) f V, v, D f V, V, d + ( ) + v d v1 = V vɵ 2 t d t (12.38) 2 v2 = V2 d = D + termos de ordemsup erior não linear Pelo equacionamento dos termos constantes em ambos os lados da equação (12.38), obtemos: 1 T S T S e

180 162 Modelagem de conversores em condução descontínua V 2 2 = 1 2 ( 1, 2, ) = R e ( D) V2 (12.39) I f V V D Os termos de ordem superior podem ser descartados, levando aos seguintes termos alternados lineares de primeira ordem: ɵ 1 i ( t) = v ɵ ( t) + v ɵ ( t) g + d ɵ ( t) j (12.40) r2 Onde: (,, ) 1 f V v D 1 1 = = = r v R M D R v e 2 = V2 g ( ) f v, V, D 2 v M D = = 1 R v e 1 = V1 ( ) ( D) ( ) ( ) ( ) f V, V, d V R d e 2 = = 2 d Re ( D) V d D 2 d = d = D j 2V 1 = DM R e (12.41) (12.42) (12.43) A resistência de saída r2 descreve como variações em v ( t ) influencia ( ) i t como ilustrado na Fig. 7.9, r2 é determinado pela 2 T S inclinação característica da fonte de potência, avaliado no ponte de operação quiescente. 2 T S

181 Modelagem de conversores em condução descontínua 163 Fig Resistência de saída r2 é determinada pela inclinação característica da fonte de potencia no ponte de operação quiescente. Os valores dos parâmetros do modelo de pequenos sinais das chaves para MCD da Fig. 7.8 são sumarizados na Tabela 3. Tabela 3 Parâmetros do modelo de pequenos sinais das chaves em MCD. g1 j1 r1 g2 j2 r2 0 2V 1 D R e R e 2 M R e 2V 1 DM R e 2 R e A inclusão do modelo de pequenos sinais das chaves ao conversor buck-boost resulta no circuito mostrado na Fig M

182 164 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Modelo de pequenos sinais do conversor buck-boost obtido pela inclusão do modelo de pequenos sinais das duas chave no circuito original. O modelo de circuito equivalente de pequenos sinais da Fig contém dois elementos dinâmicos: capacitor C e indutor L. A função de controle da saída obtida pela solução do modelo de circuito equivalente tem dois polos. Contudo, um polo devido ao capacitor C aparece em baixas frequências enquanto o outro polo e o zero no semi plano direito (SPD) devido ao indutor L, ocorre em frequências muito mais altas, próximo da frequência de chaveamento do conversor. Portanto, na prática, os conversores buck, boost e buck-boost essencialmente evidencia uma função de transferência de um único polo, o qual é influenciado insignificantemente pela dinâmica do indutor. Uma aproximação simples para determinar a função de transferência de baixa frequência para pequenos sinais do conversores buck, boost e buck-boost é deixar a indutância L tender a zero ou seja é um curto-circuito. A Fig mostra o circuito equivalente do conversor buck-boost para pequenos sinais desprezando a indutância L. Fig Modelo de pequenos sinais para baixas frequências obtido desprezando a indutância L. A função de transferência de controle da saída para o conversor buck-boost em MCD é encontrada deixando na Fig Solucionando, chega-se a:

183 Modelagem de conversores em condução descontínua 165 G vd vɵ = = d ( s) ɵ vɵ g = 0 1 ( \ \ ) G = j R r w d p = 1 R r C ( \ \ ) 2 Gd 0 s + w p 7.3 Simulação do Conversor Buck-Boost (12.44) (12.45) Os parâmetros utilizados para a simulação e circuito simulado no PSIM do conversor buck-boot em MCD são mostrados a seguir: Tabela 4 Parâmetros utilizados para a simulação. Tensão de Entrada (Vg) Frequência de chaveamento (f) Tensão de saída (V) 24 V 100 khz -12 V Capacitor (C) 1800 µf Indutor (L) 2.2 µh Razão cíclica (D) 0.26 Resistor de carga (R) Frequência de corte do polo (wp) B0 1.2 Ω 2/RC V/D B1 0 A0 1 A1 1/wp

184 166 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Circuito do conversor buck-boost simulado no PSIM. A análise da resposta em frequência para o módulo e fase simulado no PSIM é mostrado a seguir. Em vermelho é a resposta do modelo obtido e em azul é a reposta do conversor buck-boost em MCD.

185 amp(vo11) phase(vo11) amp(vo12) Frequency (Hz) Vout phase(vo12) ( /0.26)*Vref Time (s) Modelagem de conversores em condução descontínua 167 Fig Resposta em frequência de módulo e fase do modelo de pequenos sinais (em vermelho) e do conversor buck-boost em MCD (em azul). Observa-se que para altas frequências há um pequeno erro no modelo por causa da indutância (L) que foi desprezada. A resposta da tensão na saída para um degrau de 10% na razão cíclica é mostrado abaixo: Fig Reposta da tensão de saída para um degrau de 10% na razão cíclica. Notamos que para pequenas variações na razão cíclica o modelo de pequenos sinais é válido. A figura abaixo mostra a resposta da tensão de saída para um degrau de 90% na razão cíclica e como esperado o modelo de pequenos sinais já não é mais válido.

186 Vout ( /0.26)*Vref Time (s) 168 Modelagem de conversores em condução descontínua Fig Resposta da tensão de saída para um degrau de 90% na razão cíclica. 7.4 Conclusão Com este trabalho foi possível obter o modelo de pequenos sinais do conversor buck-boost operando em modo de condução descontínua e validá-lo através de simulação observando tanto sua resposta em frequência quanto a resposta a uma perturbação (degrau). A simplificação feita desprezando a indutância para altas frequências é válida conforme observamos na resposta em frequência. Para grandes perturbações na razão cíclica o modelo de pequenos sinais já não é mais válido mas não influência o controle pois para esta situação são aplicadas proteções para o conversor. Nota-se que a planta para condução descontínua é mais simples que para condução contínua sendo que por este motivo alguns conversores são propositalmente operados em condução descontínua para facilitar o controle.

187 Controle de Conversores Modelagem de conversor BUCK-BOOST 8.1 Controle de Conversores Neste capítulo são apresentados o projetos e simulações de controladores para os conversores Buck e Boost operando no modo de condução contínua. Serão apresentados controladores individuais para as plantas de corrente e tensão. Além disso serão avaliados o controle da tensão de saída através do controle da corrente média e de pico do indutor (controle modo corrente). Antes da implementação dos controladores serão definidos alguns critérios para o projeto no domínio da frequência, além da apresentação da ferramenta computacional SISOTOOL, que simplifica a síntese dos controladores através de uma interface gráfica amigável Critérios para o projeto de controladores de conversores estáticos no domínio da frequência No projeto de controle de conversores estáticos, ou de qualquer tipo de controlador, devem ser observados alguns critérios para que sejam garantidas a estabilidade e a resposta adequada do sistema em malha fechada. No projeto no domínio da frequência de conversores estáticos a definição da frequência de cruzamento por zero é limitada teoricamente a um valor inferior à metade da frequência de comutação. Em [20] é sugerida a limitação prática a um quarto da frequência de comutação, além disso, a inclinação da curva de ganho nesta frequência deve estar em -20 db/década. A margem de fase do conversor deve estar entre 45º e 90º. Margem de fase reduzida leva o sistema a apresentar elevado valor de sobresinal, por outro lado uma margem muito elevada leva o sistema a ter uma resposta transitória mais lenta. Para que o conversor apresente um erro estático reduzido, deve-se adicionar um pólo na origem (integrador), com isto o ganho de malha aberta será muito grande em baixas frequências, o que elimina o erro [20] Introdução ao uso do SISOTOOL O SISOTOOL é uma ferramenta gráfica para projeto de compensadores para sistemas SISO (single-input/single-output) disponível no MATLAB. Esta ferramenta permite o projeto utilizando

188 170 Controle de Conversores ferramentas como o lugar das raízes, diagramas de Bode além das técnicas de Nichols e Nyquist [21]. A ferramenta pode ser inicializado através do comando rltool(sys) ou sisotool(sys). O parâmetro sys representa a função de transferência da planta em análise. O exemplo abaixo apresenta os comandos necessários para representar a planta de tensão do conversor Boost em condução contínua: L=4e-3; %Valor do indutor C=1e-6; %Valor do capacitor R=400; %Resistor de carga Vg=200; %Tensão de entrada D=0.25; Exemplo de comandos utilizados para representar uma função de transferência no MATLAB Quando a ferramenta é carregada, esta apresenta duas janelas, a SISO Design for SISO Design Task e a janela Control and estimation Tool Manager. Na Fig. 8.1 é apresentada a janela Control and estimation Tool Manager, nela estão os principais comandos de edição do controlador, como a escolha da arquitetura, edição e avaliação do desempenho deste. Algumas das principais funções desta janela são: Fig Janela Control and estimation Tool Manager

189 Controle de Conversores 171 Alteração de preferências de exibição: Edit SISO Tools preferences. Na janela que se abrirá pode-se alterar o modo de exibição das unidades de frequência, módulo e fase dos diagramas, além de alterar o modo como são exibidas a função de transferência dos compensadores. Fig Opções de unidade SISOTOOLS Fig Aparência dos compensadores Seleção da arquitetura e dos dados da planta de controle: Na aba Architecture a seleção de um entre as seis estruturas de controle disponíveis é acessada pelo botão Control Architecture.. O valor de cada um dos blocos pode ser selecionado através do botão System Data.... ATENÇÃO: Quando a arquitetura é alterada os dados do projeto atual são perdidos! Fig Seleção da arquitetura de controle Fig Edição dos dados da planta Edição do controlador: O posicionamento de pólos e zeros do controlador, além do ajuste do ganho pode ser realizado através da aba

190 172 Controle de Conversores Compensator Editor. O ajuste do compensador, como veremos, pode ser realizado também de modo interativo com um dos diagramas selecionados. Fig Edição do compensador. Seleção dos diagramas de análise para ajuste gráfico: Na aba Graphical Tuning podem ser selecionados até seis diagramas para visualização simultânea, podendo ser realizada a análise em malha fechada ou aberta. É comum a utilização do diagrama de Bode de malha aberta para ajuste de compensadores utilizado em eletrônica de potência. Após a seleção dos diagramas de análise, a janela SISO Design for SISO Design Task é acessada através do botão Show Design Plot.

191 Controle de Conversores 173 Fig Opções de ajuste gráfico. Ajuste gráfico do controlador: Na janela SISO Design for SISO Design Task o compensador pode ser ajustado através dos seguintes comandos: Ajuste de ganho: O ganho pode ser ajustado para selecionado o botão Ponteiro que permite que o diagrama de módulo seja arrastado para cima e para baixo. Ajuste/Adição de pólos: zeros e pólos podem se adicionado com a seleção dos botões x ou o e posterior clique na posição desejada no gráfico. A posição pode ser modificada com a seleção da ferramenta ponteiro, que permite que um pólo/zero seja arrastado para a posição adequada no gráfico. Para verificar a expressão do compensador editado seleciona-se no menu DisignsEdit Compensator. Algumas análises do desempenho do compensador podem ser obtidas através do menu Analysis. Na Fig. 8.8 é apresentada a situação da planta exemplo antes da edição do controlador, neste editor, os pólos e zeros da planta são representados respectivamente por x e o na cor azul. Na Fig. 8.9 é apresentada a situação da planta após a edição do controlador, os pólos/zeros do controlador são representados na cor vermelha.