Uma abordagem para o problema de corte de chapas de fibra de madeira reconstituída

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1 Uma abordagem para o problema de corte de chapas de fibra de madeira reconstituída Reinaldo Morabito e Valdir Garcia Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de São Carlos São Carlos - SP, Brasil ( morabito@power.ufscar.br) Resumo Neste artigo apresentamos uma abordagem para o problema de corte numa fábrica brasileira de chapas de fibra de madeira reconstituída (também chamadas chapas duras ou hardboards). O problema consiste em determinar os melhores padrões de corte para serem produzidos num equipamento programável chamado serra samba, composto de um conunto de serras circulares para cortes longitudinais e transversais. A serra samba envolve restrições pouco usuais, como limitações para o número de tipos de itens e para a diferença entre o maior e menor comprimento dos tipos presentes no padrão, além de restrições usuais, como disponibilidade de serras longitudinais e transversais, produção de cortes em até dois estágios sem refilo, e limitação a cortes ortogonais e guilhotinados. O problema é modelado em duas fases, cada uma por meio de um programa inteiro, e resolvido utilizando-se um método baseado em enumeração implícita. O desempenho computacional da abordagem é ilustrado resolvendo-se centenas de exemplos. Palavras-chave: problemas de corte e empacotamento, indústria de chapas duras, enumeração implícita, padrões de corte guilhotinado Abstract In this paper we present an approach for the cutting stock problem of a Brazilian hardboard industry. The problem consists of determining the best patterns to be cut by a programmable equipment named the samba saw, composed of a set of circular saws for the longitudinal and transversal cuts. The samba saw involves unusual constraints such as limitation on the number of item types and the difference between the largest and smallest length of the types in the cutting pattern, as well as usual constraints such as availability of longitudinal and transversal saws, and orthogonal and guillotine cuttings in at most two stages without trimming. The problem is modeled in two phases, each one as an integer program, and solved utilizing an implicit enumeration method. The computational performance of the approach is illustrated solving hundreds of examples. Keywords: cutting and packing problems, hardboard industry, implicit enumeration, guillotine cutting patterns

2 . Introdução Problemas de corte e empacotamento têm sido extensivamente tratados nas literaturas de gerência da produção e pesquisa operacional. Alguns exames podem ser encontrados em Dyckhoff (990), Dyckhoff e Finke (992), Dowsland e Dowsland (992), Sweeney e Paternoster (992) e Morabito e Arenales (992); vea também as referências em Bischoff e Waescher (995) e nas bases de dados eletrônicas do SICUP (998) (Special Interest Group on Cutting and Packing). Devido à diversidade de casos em que os problemas podem aparecer na prática, e à complexidade dos algoritmos exatos (os problemas são em geral NP-difíceis), a grande maioria dos trabalhos encontrados na literatura têm apresentado abordagens heurísticas. Neste artigo estudamos um caso particular do problema de corte que aparece na indústria de chapas de fibra de madeira reconstituída, também chamadas chapas duras (hardboards). Devido à programação do equipamento de corte e sua escala de produção, as perdas de material são da ordem de 20 toneladas por dia, o que eqüivale a cerca de US$ milhão por ano (Garcia, 996). Tais perdas referem-se a restos de chapas duras de boa qualidade que tornam-se inúteis, devido às suas dimensões resultarem muito pequenas para uso prático. Parte destas perdas pode ser evitada apenas reprogramando de maneira mais adequada a produção do equipamento de corte, o que não implica em quaisquer investimentos adicionais em capacidade. A abordagem aqui apresentada baseia-se na modelagem do problema em duas fases, cada uma por meio de um programa linear inteiro, conforme Morabito e Garcia (998), e na aplicação de técnicas de enumeração implícita para resolver os programas inteiros. Convém salientar que, devido às restrições particulares do equipamento de corte, os modelos clássicos conhecidos da literatura para o problema de corte não representam satisfatoriamente o presente problema. Além disso, não foram encontrados trabalhos tratando especificamente deste caso particular, tampouco trabalhos tratando de outras aplicações que pudessem ser aqui diretamente utilizados. Este artigo está organizado da seguinte maneira: na próxima seção, incluímos uma breve discussão do processo de produção de chapas duras, com ênfase no processo de corte e nas principais decisões envolvidas em sua programação. Na seção 3, apresentamos os detalhes dos programas inteiros para as duas fases do problema de corte. Na seção 4, para resolver cada programa, propomos um método que percorre uma árvore de busca utilizando a estratégia de busca em profundidade primeiro. Este método é uma simples extensão do procedimento de enumeração implícita em Gilmore e Gomory (963). Na seção 5, o desempenho computacional desta abordagem é ilustrado resolvendo-se 600 exemplos aleatórios. A maneira como estes exemplos foram gerados baseou-se em exemplos reais de uma fábrica da Duratex S.A., localizada no interior de São Paulo. Finalmente, na seção 6, apresentamos as conclusões deste artigo e as perspectivas para pesquisa futura. 2. O processo de corte de chapas duras Para o propósito deste trabalho, podemos considerar que o processo de produção de chapas duras começa na casa de cavacos, onde toras de eucalipto são lavadas e depois picadas num equipamento chamado chipper (picador). Os cavacos (i.e., pedaços picados das toras) são armazenados em grandes áreas ao ar livre e transportados por meio de esteiras rolantes para equipamentos chamados desfibradores que, num processo termo-mecânico, transformam os cavacos em fibras.

3 As fibras são diluídas em água num sistema de tanques, formando uma polpa, que então é bombeada para um filtro contínuo chamado formadora. A formadora produz um colchão de fibras que, por meio de transportadores de rolo e esteiras, segue até uma prensa. A prensa retira o excesso de água do colchão de fibras e forma as chapas duras que, após um tratamento térmico e um tratamento de umidificação, adquirem as propriedades tecnológicas deseadas. As chapas duras (obetos retangulares), depois de inspecionadas e classificadas, são então transportadas até o processo de corte, onde são serradas para produzir as chapas menores (itens retangulares) encomendadas por clientes. As chapas duras sem nenhum defeito (cerca de 2/3 das chapas) são cortadas por um equipamento programável chamado serra samba, enquanto que as demais são cortadas por serras e equipamentos de menor porte, descartando as áreas com defeitos. As perdas de material, inclusive o material defeituoso, seguem para as caldeiras onde são queimadas como combustível para geração de energia. Finalmente, os itens produzidos são lixados, acondicionados e expedidos para os clientes. Para maiores detalhes do processo de produção de chapas duras, vea por exemplo Garcia (996). A serra samba é o equipamento mais importante no processo de corte, com alto nível de automação e capacidade para cortar de 5 a 20 toneladas de chapas por hora. Ela é composta de serras circulares para produzir cortes longitudinais e transversais nas chapas, dispositivos pneumáticos para empurrar (empurradores) e fixar (topadores) as chapas, esteiras rolantes para transportar as chapas, e estações para carregar e descarregar as chapas. Todos estes componentes são controlados por um CLP (Controlador Lógico Programável). 2. Restrições associadas às serras circulares e aos estágios de corte A serra samba tem capacidade para cortar até 30 chapas simultaneamente. As serras circulares têm 5 mm (milímetros) de espessura e são capazes de produzir apenas cortes ortogonais (i.e., paralelos às bordas da chapa) e guilhotinados (um corte é guilhotinado se, ao ser produzido sobre um retângulo, produz dois retângulos) sobre as chapas. Os cortes devem ser feitos em até 2 estágios, sem refilo. No primeiro estágio, as serras circulares longitudinais produzem cortes paralelos ao comprimento da chapa, resultando em faixas com comprimento igual ao da chapa (vea figura ). A serra samba possui apenas 3 serras longitudinais e, no máximo, 3 faixas podem ser produzidas neste estágio (uma das serras é usada apenas para refilo). Note na figura que se as 3 serras forem utilizadas, a quarta faixa produzida corresponde a uma perda de material (refilo). No segundo estágio, por meio de empurradores e topadores (vea discussão abaixo), cada faixa produzida no primeiro estágio pode ser empurrada e fixada diversas vezes defronte a uma serra circular transversal. Cada vez que uma faixa é empurrada e fixada, a serra transversal produz um corte paralelo à largura da faixa, resultando num item com largura igual à da faixa (figura ). Assim, apesar da serra samba possuir apenas uma serra transversal, isto não impõe limitações no número máximo de cortes que podem ser produzidos em cada faixa (ao contrário das serras longitudinais). A figura ilustra um possível padrão de corte obtido com os 2 estágios da serra samba. Note que um padrão de corte descreve quais, quantos e como os itens são produzidos a partir da chapa. Em particular, o padrão da figura é conhecido na literatura como padrão de corte guilhotinado bidimensional em 2-estágios e exato. Dizemos que o padrão é exato porque todos os itens em cada faixa têm a mesma largura, isto é, a serra samba não é capaz de fazer refilos posteriores sobre esses itens.

4 Comprimento da chapa Figura - Padrão de corte guilhotinado bidimensional em 2-estágios e exato 2.2 Restrições associadas aos topadores Conforme descrito acima, os empurradores e topadores são dispositivos que permitem que a serra transversal produza os itens de uma faixa. Quando ativados, o empurrador empurra a faixa até a posição em que se encontra o topador; em seguida, a serra transversal executa o corte. A distância entre o topador e a serra transversal corresponde ao comprimento do item produzido na faixa (vea na figura 2 os comprimentos de três itens, em função do posicionamento de 3 topadores). Para cada comprimento diferente de item na faixa, precisamos de um topador posicionado adequadamente pelo CLP. A serra samba possui, para cada faixa, uma linha com apenas 4 topadores. Como os topadores são posicionados pelo CLP antes da produção de cada padrão de corte, segue que cada faixa pode ter até 4 itens com comprimentos diferentes (não confundir com até 4 itens, uma vez que podemos ter diversos itens com mesmo comprimento). maior comprimento menor comprimento 300 mm entrada da faixa linha de 3 topadores comprimento intermediário serra transversal Figura 2 - Serra transversal e linha de 3 topadores Além disso, devido a interferência física, há restrições adicionais com relação ao espaçamento mínimo entre topadores de uma mesma linha, conforme a seguir:

5 (i) (ii) Se uma faixa contiver 3 itens com comprimentos diferentes, a diferença entre o menor e o maior comprimento deve ser, no mínimo, 300 milímetros (figura 2) Se uma faixa contiver 4 itens com comprimentos diferentes, deve ser possível agrupar os comprimentos em dois pares tais que a diferença entre os comprimentos de cada par sea, no mínimo, 300 milímetros. Convém observar que, devido às dimensões típicas das chapas e dos itens, é muito raro obter-se um padrão que contenha uma faixa com 4 comprimentos diferentes. Assim, por simplicidade, assumimos neste trabalho que o máximo número tolerado de comprimentos diferentes numa faixa é 3. Desta maneira, precisamos apenas considerar a situação (i) acima. 2.3 Restrições associadas às estações de carregamento e descarregamento Devido a restrições da estação de carregamento, o pacote de chapas deve ser carregado na serra samba com a maior dimensão das chapas (aqui chamada comprimento) na direção longitudinal. Uma vez na estação de carregamento, o pacote pode sofrer um pré-corte transversal (paralelo à largura das chapas), gerando dois pacotes independentes. Cada um destes pacotes pode ser movimentado ao longo das serras longitudinais e transversais individualmente. Entretanto, apesar de aumentar a flexibilidade para gerar padrões de corte, o pré-corte diminui a produtividade da serra samba (a principal razão é o aumento no tempo de ocupação da estação de carregamento) e, por causa disso, é muito pouco utilizado. Assim, por simplicidade, a opção de pré-corte não será considerada neste trabalho. Outra restrição aparece na estação de descarregamento de itens. Após a produção dos cortes longitudinais e transversais, a serra samba é capaz de separar os itens produzidos por tamanho (comprimento e largura). Esse separador permite agrupar itens com até 5 tamanhos diferentes, com o obetivo de agilizar o descarregamento através de empilhadeiras. Portanto, o padrão de corte não deve conter mais do que 5 itens de tamanhos diferentes. Em resumo, as restrições a serem consideradas neste trabalho são: (i) Cortes guilhotinados em até 2 estágios e sem refilo (caso exato) (ii) Espessura de 5 mm das serras longitudinais e transversais (iii) Limite de 3 cortes no primeiro estágio (i.e., máximo de 3 faixas no primeiro estágio) (iv) Disponibilidade de 3 topadores em cada linha da serra samba (i.e., faixas com no máximo 3 itens de comprimentos diferentes) (v) Espaçamento mínimo de 300 mm entre o maior e menor comprimento dos itens de uma faixa, se ela contiver exatamente 3 itens de comprimentos diferentes (vi) Padrões de corte com até 5 itens de tamanhos diferentes. Convém salientar que desconhecemos artigos na literatura de problemas de corte e empacotamento tratando o conunto (i)-(vi) de restrições. 2.4 A programação da produção Exemplos de decisões envolvidas na programação da produção da indústria de chapas duras são: (i) Determinar quais e quantas chapas serão produzidas para atender a demanda (ii) Determinar quais itens serão cortados na serra samba (iii) Definir padrões de corte para a serra samba e determinar o número de vezes que cada um será produzido (iv) Determinar a seqüência em que os padrões de corte serão cortados na serra samba.

6 Estas decisões interferem na programação de todo processo, e não apenas no processo de corte. No presente trabalho, entretanto, nos restringimos basicamente às decisões em (iii) acima, onde o problema de corte é definido. Diversos tradeoffs importantes do ponto de vista técnico-econômico e relacionados com o problema de corte não serão aqui abordados, tais como (Garcia, 996): Ttradeoff entre o atendimento dos prazos de entrega e as perdas de material A consideração de um horizonte de programação maior resulta numa carteira de pedidos maior e mais diversificada, o que tende a reduzir as perdas de material, uma vez que o número de possíveis padrões de corte aumenta. Por outro lado, com horizontes maiores, o atendimento aos prazos de entrega da carteira de pedidos (e, consequentemente, o nível de serviço aos clientes) tende a se deteriorar. Tradeoff entre o estoque em processo e as perdas de material Carteiras de pedidos maiores e mais diversificadas, se por um lado tendem a reduzir as perdas de material, por outro tendem a aumentar os níveis de estoque intermediário no processo de corte, uma vez que a diversidade de itens em cada padrão e a descontinuidade no fechamento de pedidos também tendem a aumentar. Tradeoff entre o tempo de setup de máquina e as perdas de material A mudança de um padrão de corte por outro na serra samba envolve um tempo de setup que depende, entre outras coisas, dos itens presentes no padrão que deixa de ser produzido e no padrão que passa a ser produzido. Assim, a geração de padrões e o sequenciamento destes padrões na serra samba deve levar em conta, além da perda de material, a perda de produtividade devido ao tempo de setup. Tradeoff entre o mix de pedidos e as perdas de material Os pedidos de itens especificam os intervalos de tolerância de certas características das chapas duras, tais como espessura, umidade, densidade. Chapas duras que satisfazem pequenas tolerâncias custam mais e, a princípio, são utilizadas para produzir apenas a parte da carteira de pedidos com tais tolerâncias. A inclusão de pedidos com tolerâncias maiores no mix de pedidos destas chapas tende a reduzir as perdas de material, por outro lado, utiliza um material mais caro do que o necessário para produzi-los. 3. Modelagem matemática Sea M = {, 2,..., m} o conunto de tipos de itens da carteira de pedidos. Cada item do tipo i,, tem dimensões (l i, w i ), onde l i e w i denotam o comprimento e a largura, respectivamente. Sea b i a quantidade demandada de itens do tipo i. Assumimos que dispõe-se de um estoque de chapas duras (obetos) suficientemente grande para produzir todos os b i itens demandados. Cada chapa tem dimensões (L, W), onde L e W denotam o comprimento e a largura, respectivamente. Note que, ao simplesmente adicionarmos nas dimensões l i, w i, L e W a espessura da serra (no caso, 5 mm), estamos satisfazendo a restrição (ii) (seção 2.3). O problema de corte consiste em cortar chapas conforme padrões de corte a serem definidos, de maneira a produzir todos os itens, com a menor perda de material possível. Pela tipologia de

7 Dyckhoff (990), este problema pode ser classificado como 2/V/I/R, onde 2 indica que o problema é bidimensional, V indica que todos os b i itens devem ser produzidos, I indica que todos os obetos são iguais, e R indica que b i é grande mas m é um número relativamente pequeno. Considere inicialmente que todos os possíveis padrões de corte seam conhecidos. Para cada um destes padrões, digamos para o -ésimo padrão, associamos o vetor (a, a 2,..., a m ), onde cada a i corresponde ao número de vezes que o item do tipo i,, aparece no padrão. Sea c = LW liwa i i a perda de material associada ao padrão. O problema de corte pode ser definido pelo seguinte programa linear inteiro: (P) min cx () s.a. ax i bi, (2) com: x 0, inteiro (3) onde cada variável x corresponde ao número de vezes que o padrão é cortado. Em problemas onde o número de possíveis padrões resulta muito grande (o que é comum nos casos práticos), o problema (P) é em geral muito difícil de ser resolvido otimamente. Gilmore e Gomory (96, 963, 965) sugeriram então: (i) Relaxar as restrições de integralidade (3) do problema (P), (ii) Resolvê-lo através do método simplex, partindo de uma base inicial com m padrões e, durante cada iteração do simplex, gerando um novo padrão para substituir um dos m padrões da base. O procedimento termina assim que: 0 π i a i c onde π i é a variável dual associada à restrição i do problema (P) para a base atual. Este procedimento pode ser útil quando a demanda b i é suficientemente grande em relação a cada a i (como é o caso do presente problema de corte de chapas duras). Alguns autores também sugeriram o uso de uma heurística gulosa (repeated exhaustion reduction; vea p.e. Hinxman, 980) para resolver o problema (P), como uma alternativa para o procedimento acima. Essa heurística pode ser descrita basicamente como: Enquanto a demanda não for exaurida, faça:. Gere o melhor padrão de corte 2. Repita este padrão o máximo número de vezes possível, em função da demanda 3. Atualize a demanda. Na seção a seguir apresentamos um modelo baseado em programação linear inteira que pode ser utilizado, tanto para gerar o melhor padrão durante cada iteração do simplex no procedimento de Gilmore e Gomory, quanto para gerar padrões para a heurística acima. Pela tipologia de Dyckhoff (990), este problema de gerar um padrão de corte pode ser classificado como 2/B/O/R, onde, 2 indica um problema bidimensional, B indica que itens devem ser escolhidos e arranados nos

8 obetos, O indica que um único obeto está disponível, e R indica que b i é grande mas m é um número relativamente pequeno. 3. O problema da geração de padrões de corte O problema de gerar um padrão de corte para uma chapa dura pode ser modelado em duas fases: Na primeira, itens são escolhidos para serem arranados ao longo do comprimento L de faixas de dimensões (L, w ), M (vea definição de M abaixo). Na segunda, faixas são escolhidas para serem arranadas ao longo da largura W da chapa de dimensões (L, W). O emprego de modelos em duas fases é comum na literatura, motivado pelo sucesso do modelo proposto em Gilmore e Gomory (965) para o corte de chapas retangulares (vea, p.e., Morabito, 994, Morabito e Arenales, 995 e Hifi, 997). Considere, sem perda de generalidade, que o conunto M = {, 2,..., m} de tipos de itens da carteira de pedidos é tal que: w w 2... w m. Seam: M' = { i wi w, i <,, M}, m' = M' (4) M = { i w = w, }, M', m = M (5) i (a notação A indica o número de elementos do conunto A). M é o conunto de tipos de itens com larguras diferentes, e M é o conunto dos tipos de itens com largura igual a w, M (note que M M e M M). Além disso, definimos a função δ como: δ( n), se n > 0 = 0, se n 0 onde n é um inteiro. 3.2 Primeira fase Na primeira fase, além das restrições associadas às dimensões das faixas, devemos considerar as restrições de disponibilidade de topadores em cada linha da serra samba (vea restrição (iv) na seção 2.3) e do espaçamento mínimo entre topadores (restrição (v) na seção 2.3). Seam: R número de topadores disponíveis em cada linha da serra samba (no caso, R = 3; vea seção 2.2) D distância mínima tolerada entre topadores (no caso, D = 300 mm; vea seção 2.2). Deseamos encontrar a combinação mais valiosa de itens do tipo i,, para cada faixa (,r) com dimensões (L, w ), M, e com até r tipos de itens, r =,..., min(m. Seam: V r valor da melhor combinação de itens na faixa (,r), M, r =,..., min(m a ir número de itens do tipo i,, na combinação de valor V r. Cada valor V r pode ser obtido com a solução do seguinte programa linear inteiro nas variáveis a ir : V = max π a, M', r =,...,min( m (6) r i ir

9 s.a. la i ir L (7) δ ( air ) r (8) se δ( air ) = R, entao lmax lmin D (9) lmax = max { li δ ( air ) = } (0) lmin = min { li δ ( a ir ) = } () com: a 0, inteiro, (2) ir Ao definirmos N como um número suficientemente grande e as seguintes variáveis auxiliares: y ir, se air > 0 = 0, se air 0, se z = 0, se y y ir ir = R R u v i i, se l = 0, se l, se l = 0, se l max max min min l y i > l y i l y i < l y i ir ir ir ir podemos rescrever o modelo (6)-(2) como: V = max π a, M', r =,...,min( m (3) r i ir s.a. la i ir L (4) yir r (5) air Nyir, (6) lmax lmin Dz (7) R yir N( z) (8) R yir > z (9) max i ir l l y, i M (20) lmax liyir + N( ui), (2) u i (22) = lmin li yir + N( yir ), (23) lmin l y N( v ), (24) i ir i

10 vi = + ( m yir) (25) com: air 0, inteiro, (26) y,, z u, v {,}, 0 (27) ir i i m' = Note que a primeira fase envolve resolver min( m problemas (3)-(27), cada um com 4m + variáveis inteiras e 6m + 6 restrições (nos casos reais, m é em geral um número pequeno). A restrição (6) garante que se a ir > 0, então y ir =, as restrições (8)-(9) garantem que se y R, então z =, as restrições (20)-(22) garantem que se l max l i y ir, então u i =, e as i M ir = restrições (23)-(25), que se l min l i y ir, então v i =. 3.3 Segunda fase Na segunda fase, além das restrições associadas às dimensões da chapa, devemos considerar as restrições de disponibilidade de serras para os cortes longitudinais do primeiro estágio (vea restrição (iii) na seção 2.3) e do limite do número de tipos de itens que pode estar presente na estação de descarregamento da serra samba (restrição (vi) na seção 2.3). Seam: K número de serras disponíveis para os cortes longitudinais (no caso, K = 3; vea seção 2.) R número máximo de tipos de itens na estação de descarregamento, R R (no caso, R = 5; vea seção 2.3). Deseamos encontrar a combinação mais valiosa de faixas (,r), M, r =,..., min(m, para a placa (L, W). Note que desta maneira produzimos um padrão de corte guilhotinado em 2-estágios e exato (vea restrição (i) na seção 2.3). * Sea a ir (e y * ir ) a solução ótima obtida para cada problema (3)-(27) da primeira fase, com valor V r. Definimos: n = δ( a ) = y * * r ir ir (28) como o número de tipos de itens contidos na faixa (,r) (note que n r r; vea restrição (5)). Seam ainda: V valor do melhor arrano de faixas na chapa (L, W) a r número de faixas (,r), M, r =,..., min(m, no arrano de valor V. O valor V pode ser obtido com a solução do seguinte programa linear inteiro nas variáveis a r : V = max min( m M' r= min( m V a s.a. wa W M' M' r= min( m r= a r r r r K (29) (30) (3)

11 M' min( m r= n δ( a ) R' r r com: a 0, inteiro, M', r =,...,min( m (33) r Ao definirmos N como um número suficientemente grande e as seguintes variáveis auxiliares: (32) y r, se a r > 0 = 0, se a r 0 podemos rescrever o modelo (29)-(33) como: V = max min( m M' r= min( m V a s.a. wa W M' M' r= min( m r= M' r= a r min( m r n y r r r K r R' (34) (35) (36) (37) a Ny, M', r =,...,min( m (38) r ir com: a 0, inteiro, M', r =,...,min( m (39) r y { 0, }, M', r =,...,min( m (40) r m' O modelo (34)-(40) contém 2 min( m, R ) m' variáveis inteiras e 2 min(, ) 3 = m R = + restrições. A restrição (38) garante que se a r > 0, então y r =. * Sea a r * a solução ótima do modelo (34)-(40) (não confundir com a ir que aparece em (28)) com valor V. Logo, o número de itens do tipo i,, arranados no padrão ótimo é finalmente obtido por: a min( m * * i = aira M' r= (4) 3.4 Considerações adicionais O modelo (34)-(40) assume que os conuntos de tipos de itens que compõem cada faixa (,r) são conuntos disuntos, isto é, um tipo de item que está presente em uma faixa (,r) não pode estar em nenhuma outra faixa (k,s), (k,s) (,r) (verifique que n r na restrição (37) descreve apenas quantos, e não quais, tipos de itens estão contidos na faixa). Esta suposição é necessária para evitar a dupla contagem de um tipo comum a duas faixas diferentes.

12 Na prática, o material das chapas duras pode ser isotrópico (i.e., os itens podem estar em qualquer orientação no padrão de corte) ou anisotrópico, mas o problema de corte associado é freqüentemente irrestrito (i.e., não há limitações para o número de vezes em que um mesmo tipo de item pode aparecer no padrão). Se o material for anisotrópico e o problema irrestrito, então, devido ao fato de estarmos limitados a gerar um padrão com 2-estágios e exato, duas condições são sempre satisfeitas: (i) Duas faixas com larguras diferentes, digamos as faixas de dimensões (L, w ) e (L, w k ), k, nunca poderão conter um mesmo tipo de item, uma vez que M Mk = (vea expressão (5)). (ii) Duas faixas diferentes com mesma largura nunca poderão estar untas no padrão ótimo, uma vez que sempre é possível (e, pelo menos, tão bom) repetir a faixa mais conveniente para o obetivo (34) e a restrição (37), do que combinar as duas faixas diferentes no padrão. Portanto, o modelo (34)-(40) sempre é válido para este caso, que é o que aparece com mais freqüência no problema de corte de chapas duras. No caso do material ser anisotrópico mas o problema restrito (i.e., b i é bem menor do que LW/l i w i ), embora sea possível: impor limitantes superiores para as variáveis a ir (i.e., a ir b i ) no modelo (3)-(27) incluir a expressão (4) como uma restrição adicional e impor limitantes superiores às variáveis a i (i.e., a i b i ) no modelo (34)-(4), isto não evita a dupla contagem de um mesmo tipo de item em duas faixas com mesma largura, porém diferentes. Por exemplo, considere duas faixas com mesma largura, digamos as faixas (,) e (,3). A primeira contém 3 itens do tipo (i.e., a = 3, n = ) e a segunda, item do tipo e 2 itens do tipo 3 (a 3 =, a 33 = 2, n 3 = 2). Obviamente, temos que w = w 3 = w. Se b = 4, segue que um padrão composto por estas duas faixas pode ser factível (dado que a = a + a 3 b ); entretanto, note que a restrição (37) erroneamente estará contando duas vezes o item do tipo para qualquer R 2. Apesar do modelo resultante não ter garantia de otimalidade para este caso, ele tem garantia de factibilidade e pode ser utilizado para gerar bons padrões (senão ótimos), muitas vezes melhores do que os padrões gerados manualmente pela empresa. Se o material for isotrópico, então o modelo (34)-(40) conforme definido pode fazer dupla contagem até mesmo no problema irrestrito. Esse modelo pode gerar bons padrões factíveis para este caso, como ilustrado na seção 5, embora não garanta otimalidade. O caso mais particular em que o problema é restrito é de menor interesse prático, e é um tópico para pesquisa futura. No presente artigo, estamos especialmente interessados nos casos em que o material é isotrópico ou anisotrópico, e o problema é irrestrito. 4. Métodos de solução Os modelos (3)-(27) e (34)-(40) podem ser resolvidos por meio das técnicas usuais de programação linear inteira, tais como métodos do tipo branch-and-bound e planos de corte. Também podem ser resolvidos por meio de programação dinâmica, conforme Morabito e Garcia (998). Alternativamente, estes modelos podem ser implementados em linguagens de modelagem como GAMS - General Algebraic Modeling System (Brooke et al., 992) e LINGO - Language for Interactive General Optimization (Cunningham e Schrage, 988), e resolvidos pelos solvers disponíveis nestas linguagens, tais como o GAMS/OSL, GAMS/CPLEX e LINGO/LINDO.

13 A seguir, apresentamos um método relativamente fácil de ser implementado computacionalmente e razoavelmente eficaz para resolver os modelos (3)-(27) e (34)-(40). Trata-se de uma simples extensão do procedimento de enumeração implícita descrito em Gilmore e Gomory (963) para resolver o problema da mochila (knapsack problem). Este método, aqui chamado de lexicográfico devido a ordem em que as variáveis são enumeradas na árvore de busca, deixa para os ramos mais profundos as variáveis com menor razão valor/comprimento. Não é difícil mostrar que se trata de um método de busca em árvore utilizando a estratégia de busca em profundidade primeiro (Morabito e Arenales, 995). 4. Primeira fase A seguir, apresentamos o algoritmo adaptado de Gilmore e Gomory (963, p ) para resolver o modelo (3)-(27) da primeira fase. Note que este algoritmo deve ser aplicado para cada faixa de tamanho (L, w ) e para r =,..., min(m. Sea i p o p-ésimo elemento do conunto de tipos de itens M = { i, i2,..., im }, M'. Por simplicidade, π p, a p e l p no algoritmo abaixo denotam π ip, a ip e l ip, respectivamente (a notação V r continua válida). Basicamente, a única modificação em relação ao algoritmo original ocorre nos passos 3 e 5: No passo 3, a factibilidade do padrão de corte agora é verificada antes de atualizar o padrão, se for o caso, como o melhor padrão encontrado até então no processo de busca No passo 5, se a condição for satisfeita (vea passo 5 abaixo), a variável correspondendo ao item do tipo s agora se anula e, assim, estende a busca para não descartar um possível padrão ótimo. Algoritmo lexicográfico primeira fase, para cada faixa (,r), M, r =,..., min(m : Passo : Ordene os itens do tipo i p M tal que: π / l π2 / l 2... πm / l e defina π = m m + 0 e l m + =. Faça V r = 0. Passo 2: Compute: a p L = p k = k l p l a k, p M Passo 3: Verifique se o vetor ( a, a2,..., a m ) corresponde a um padrão factível, isto é, se as restrições (8)-() são satisfeitas. Caso o padrão sea factível e π p a p > V r, então guarde este padrão e atualize V r. Passo 4: Defina s = max {p a p > 0, p M }. Caso s não exista, pare e retorne o padrão de valor V r. s s Passo 5: Faça a s a s -. Se L lpap πs+ Vr π pap ls+, então faça a s = 0 e volte para p= p= o passo 3. p M Passo 6: Compute: a p L = p k = k l p l a k, p= s+, s+ 2,..., m, e volte para o passo 3.

14 4.2 Segunda fase O algoritmo acima, com pequenas modificações, também pode ser adaptado para resolver o modelo (34)-(40) da segunda fase. Sea M = {(,r), (,r) 2,..., (,r) m } o conunto de faixas analisadas na m' primeira fase, onde m" = min( m = e (,r) p é o p-ésimo elemento do conunto M. Por exemplo, se (,r) p = (2,3), ele corresponde à faixa (2,3) de tamanho (L, w 2 ) e com até 3 tipos de itens. Por simplicidade, V p, a p e w p no algoritmo abaixo denotam V r, a r e w para a faixa (,r) p, respectivamente (a notação V continua válida). Note agora que, no passo 3, as restrições a serem verificadas referem-se ao modelo da segunda fase (seção 3.3). Algoritmo lexicográfico segunda fase: Passo : Ordene as faixas do tipo (,r) p M tal que: V / w V2 / w2... Vm" / wm" e defina V m"+ = 0 e w m"+ =. Faça V = 0. Passo 2: Compute: a p W = p k = w p w a k k, p M" Passo 3: Verifique se o vetor ( a, a 2,..., a m" ) corresponde a um padrão factível, isto é, se as restrições (3)-(32) são satisfeitas. Caso o padrão sea factível e Va p p > V p M ", então guarde este padrão e atualize V. Passo 4: Defina s = max {p a p > 0, p M }. Caso s não exista, pare e retorne o padrão de valor V. s s Passo 5: Faça a s a s -. Se W wpap Vs+ V Vpap ws+, então faça a s = 0 e volte para p= p= o passo 3. Passo 6: Compute: a p W = p k = w p w a k k, p= s+, s+ 2,..., m", e volte para o passo 3. Nossa conectura é que o algoritmo lexicográfico é exato para ambos os modelos (3)-(27) e (34)- (40), uma vez que ele parece enumerar implicitamente todas as soluções viáveis, assim como a versão original para o problema da mochila em Gilmore e Gomory (963). Além disso, o algoritmo lexicográfico encontrou as soluções ótimas de todos os exemplos da seção 5, o que reforça nossa conectura. Uma prova formal da garantia de otimalidade do algoritmo está além dos obetivos deste artigo. 5. Resultados computacionais Nesta seção ilustramos a aplicação da abordagem para gerar o melhor padrão de corte de 600 exemplos aleatórios, agrupados em 2 conuntos de 50 exemplos cada. O tamanho da placa, (L, W), e o número de tipos de itens, m, foram fixados em cada conunto (vea tabela ). O comprimento e a

15 largura (l i, w i ) de itens do tipo i, foram gerados sorteando-se inteiros de distribuições uniformes nos intervalos [0,L, 0,5L] e [0,W, 0,5W], respectivamente. Assumimos que o material sea anisotrópico e o problema irrestrito. Por simplicidade, definimos o valor de cada item i como π i = l i w i /LW. Desta maneira, o valor V da solução do modelo (34)-(40) corresponde à utilização percentual da área LW da placa. O algoritmo lexicográfico foi codificado em linguagem Pascal e implementado num microcomputador. A Tabela apresenta os valores médios obtidos para cada conunto de 50 exemplos, usando os parâmetros D = 0 mm (sem espaçamento mínimo), R = 3 topadores, K = 3 faixas e R = 5 tipos de itens. Com exceção de D, os valores dos demais parâmetros correspondem aos valores reais da fábrica da Duratex em Botucatu, SP. Tabela Resultados computacionais de 600 exemplos aleatórios agrupados em 2 conuntos Conunto (L, W) m Utilização média da chapa, V Desvio padrão da utilização Número médio de itens no padrão Tempo médio de execução (segundos) (0, 0) 0 0,9744 0, ,0 0, 2 20,0000 0,0000 4,28 0,4 3 30,0000 0,0000 5,84,3 4 (50, 50) 0 0,9529 0,0366 6,80 0, ,9843 0,046 7,42, ,9956 0,0093 6,52 6,8 7 (00, 00) 0 0,9459 0,0327 3,08 0, ,9804 0,090 5,89, ,9865 0,044 5,88 6,6 0 (5000, 5000) 0 0,9266 0,0367 2,22 0, 20 0,9620 0,078 2,92 0, ,9722 0,02 3,08 4,7 O algoritmo lexicográfico encontrou o padrão ótimo de todos os exemplos da tabela. A otimalidade das soluções foi verificada por meio de um método exato baseado em programação dinâmica, apresentado em Morabito e Garcia (998). Note na tabela que, para um dado m, quanto maior for o tamanho da placa (L, W), menor é a utilização média da área da placa, V (vea, p.e., os conuntos 3, 6, 9 e 2). Isto pode ser explicado, em parte, porque placas maiores resultam em intervalos [0,W, 0,5W] maiores, de onde w i é sorteado. E assim, é menos provável gerar tipos de itens com mesma largura, para poder combiná-los numa mesma faixa. Similarmente, para um dado (L, W), a medida que m aumenta, V também aumenta (vea, p.e., os conuntos 4, 5 e 6), como seria esperado. Os tempos de execução do algoritmo lexicográfico dependem principalmente de m (tabela ). A tabela 2 apresenta as soluções ótimas obtidas, para diferentes valores de D, R, K e R, de um dos exemplos do conunto 4 da tabela, com (L, W) = (50, 50) e m = 0 tipos de itens com tamanhos (20, 6), (9, 6), (0, 20), (22, 4), (2, 6), (22, 23), (5, 4), (, 3), (5, 4) e (7, 22). Note a influência dos parâmetros D, R, K e R comparando as linhas e 2, e 3, e 4, e e 5 da tabela 2, respectivamente.

16 Tabela 2 Soluções ótimas de um dos exemplos do conunto 4 da tabela, para diferentes valores dos parâmetros D, R, K e R D R K R Utilização da área, V Padrão (a, a 2,..., a m ) ,0000 (,,5,0,,0,0,0,0,0) ,9936 (2,,5,0,0,0,0,0,0,0) ,9936 (2,,5,0,0,0,0,0,0,0) ,8096 (0,0,0,0,0,4,0,0,0,0) ,9936 (2,,5,0,0,0,0,0,0,0) Os modelos (3)-(27) e (34)-(40) também foram codificados na linguagem de modelagem GAMS (Brooke et al., 992) e implementados no mesmo microcomputador. As soluções ótimas obtidas pelo solver GAMS/OSL foram as mesmas da tabela 2, entretanto, consumiram um tempo de execução de mais de 2 minutos, enquanto as soluções da tabela 2 foram obtidas em menos de segundo. Para um estudo incorporando os modelos (3)-(27) e (34)-(40) no método simplex, conforme discussão na seção 3, e comparando as soluções obtidas por esta abordagem e as soluções utilizadas pela empresa em situações reais, o leitor pode consultar Morabito e Garcia (998). 6. Conclusões e perspectivas Neste artigo analisamos o problema de corte que aparece numa indústria brasileira de chapas de fibra de madeira reconstituída, também chamadas chapas duras ou hardboard. Após serem produzidas, as chapas duras devem ser cortadas num equipamento programável chamado serra samba, de acordo com padrões de corte a serem definidos para atender a carteira de pedidos. Devido à escala de produção da serra samba, pequenos ganhos percentuais no aproveitamento da área das chapas duras pode resultar em economias substanciais para a indústria. Apesar da literatura conter diversos trabalhos explorando o problema de corte, o presente problema envolve restrições particulares que inviabilizam a aplicação direta das abordagens conhecidas. Mostramos que o problema da geração de padrões de corte de chapas duras pode ser modelado em duas fases, em cada uma utilizando programação linear inteira. Para resolver os programas inteiros, apresentamos um método baseado em enumeração implícita, que é uma simples extensão do método lexicográfico em Gilmore e Gomory (963). Acreditamos que esta abordagem também possa ser útil para tratar problemas de corte associados a outros processos industriais, com restrições similares às aqui analisadas. Uma perspectiva deste trabalho é incorporar na presente abordagem uma análise dos tradeoff entre o atendimento dos prazos de entrega e as perdas de material, entre o estoque em processo e as perdas de material, e entre o tempo de setup de máquina e as perdas de material, discutidos na seção 2.4. Também está na nossa agenda de pesquisa analisar as situações em que o material é isotrópico e o problema restrito (seção 3). Agradecimentos Os autores agradecem aos Profs. Marcos Arenales e Horácio Yanasse, e aos dois revisores anônimos, pelos úteis comentários e sugestões. Esta pesquisa foi parcialmente apoiada pelo CNPq, processos /95-7 e /95-6, e pela FAPESP, processo

17 Referências Bischoff, E. e Waescher, G. (995). Special issue on cutting and packing. Eur.J.Opl.Res., 84(3), Brooke, A.; Kendrick, D. e Meeraus, A. (992). GAMS: A user's guide, Release The Scientific Press, 289p. Cunningham, K, e Schrage, L. (988). The LINGO modeling language. LINDO Systems Inc., Chicago. Dowsland, K. e Dowsland, W. (992). Packing problems. Eur.J.Opl.Res. 56, 2-4. Dyckhoff, H. (990). A typology of cutting and packing problems. Eur.J.Opl.Res. 44, Dyckhoff, H. e Finke, U. (992). Cutting and packing in production and distribution: Typology and bibliography, Springler-Verlag Co, Heildelberg. Garcia, V. (996). Otimização na geração de padrões de corte de chapas de fibra de madeira reconstituída. Dissertação de mestrado, Departamento de Engenharia de Produção, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos - SP, 90p. Gilmore, P. e Gomory, R. (96). A linear programming approach to the cutting stock problem. Oper.Res. 9, Gilmore, P. e Gomory, R. (963). A linear programming approach to the cutting-stock problem II. Oper.Res., Gilmore, P. e Gomory, R. (965). Multistage cutting stock problems of two and more dimensions. Oper.Res. 4, Hifi, M. (997). The DH/KD algorithm: A hybrid approach for unconstrained two-dimensional cutting problems. Eur.J.Opl.Res., 97(), Hinxman, A. (980). The trim-loss and assortment problems: A survey. Eur.J.Opl.Res. 5, 8-8. Morabito, R. (994). Modelos de otimização para o problema de corte nas indústrias de papel e papelão e de móveis. Gestão & Produção (), Morabito, R. e Arenales, M. N. (992). Um exame dos problemas de corte e empacotamento. Pesquisa operacional 2(), -20. Morabito, R. e Arenales, M. N. (995). Performance of two heuristics for solving large scale twodimensional guillotine cutting problems. INFOR 33(2), Morabito, R. e Garcia, V. (998). The cutting stock problem in a hardboard industry: A case study. Comput.&Oper.Res. 25(6), SICUP (998). Special Interest Group on Cutting and Packing,

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