PORCENTAGEM QUESTÕES DO ENEM

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1 PORCENTAGEM QUESTÕES DO ENEM E0620 (ENEM-2014 QUESTÃO 169) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. 33% são utilizados em descarga de banheiro. 27% são para cozinhar e beber. 15% são para demais atividades. No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades. Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo na demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água: (A) 30,0 (B) 60,6 (C) 100,4 (D) 130,4 (E) 170,0 RESOLUÇÃO 1. Dados da ONU dizem que 25% do que se gasta são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. Se o Brasil gastasse como eles gastam, seriam 50 litros (25% de 200). Porém,

2 aqui no Brasil, com essas atividades são gastos 29,6 litros (olhe a tabela: 24 litros para banho + 3,2 L para banho + 2,4 L para escovar os dentes. Se era para gastar 50 litros, mas gasta-se 29,6 litros, tem-se uma economia 20,4 litros. 2. Dados da ONU dizem que 33% são utilizados para descarga de banheiro. Isso aqui no Brasil daria 66 litros (33% de 200 litros). Mas, aqui se gasta apenas 18 litros, o que dá uma economia de 48 litros. 3. Pela ONU, 27% são para cozinha e beber. Aqui no Brasil daria 54 litros (27% de 200 litros). Mas, aqui é gasto 22 litros, o que dá uma economia de 32 litros. 4. Pela ONU, 15% são para as demais atividades. O problema diz que aqui deve ser mantido esse mesmo consumo. Então, não há economia. Somando as 4 economias acima, temos: 20, = 100,4 Opção C

3 NÚMEROS ROMANOS QUIZ UP TREINE EM GRUPO COM ALUNOS DE TODO BRASIL MÚLTIPLOS E DIVISORES AULA ESCRITA DIVISORES NATURAIS Divisores são os números que podem dividir um outro número sem deixar resto (ou resto zero). Exemplo: Os divisores de 4: Tente de 1 até ele. 6 : 1 = 6 e não sobra resto. O 1 é divisor do 6. (claro que o 1 será divisor de todos) 6 : 2 = 3 e não sobra resto. O 3 é divisor de 6. 6 : 4 = 1 e sobra resto 2. O 4 não é divisor de 6. 6 : 5 = 1 e sobra resto 1. O 5 não é divisor de 6. 6 : 6 = 1 e não sobra resto. (claro que o próprio número sempre será divisor). Outra maneira de saber quais são os divisores de um número, é saber se aparece eles estão nos múltiplos.

4 Os divisores de 6 Vejamos os múltiplos de cada número até o 6 1 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 apareceu o 6 entre os múltiplos. Logo, o 1 é divisor. 2 0,2,4,6,8,10 apareceu o 6. O 2 é divisor de ,3,6,9,12 aparecei o 6. O 3 é divisor de ,8,12 não apareceu o 6. O 4 não é divisor. 5 0,5,10 não apareceu o 6. O 5 não é divisor. 6 0,6,12 apareceu o 6. O 6 é divisor dele próprio. DICA: Você não precisa testar todos os números até ele próprio. Quando chegar na metade do número, pode pular para o próprio. Divisores de 6: A metade é 3. Vou pesquisar até o 3. Testarei o 1, o 2, o 3 e depois posso pular para o 6. Quais são os divisores de 10? A metade é 5. Testarei até o ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 apareceu o 10. Logo ele é divisor de 10 (o 1 sempre é divisor) 2 0,2,4,6,8,10 o 10 apareceu. O 2 não é divisor de ,3,6,9,12 não apareceu o 10. Portanto, o 3 não é divisor de 10.

5 4 0,4,8,12 o 4 não é divisor de 10, pois entre os seus múltiplos o 10 não aparece. 5 0,5,10,15 o 10 apareceu. Logo, o 5 é múltiplo de ,10,20 o 10 apareceu. Logo, o 10 é divisor dele próprio. Perceba que eu testei até o 5 e em seguida pulei para o próprio número. CONFERINDO OS DIVISORES Achei os divisores de 60. Como saber se esqueci de algum? Vimos que o número 60 tem 12 divisores. São eles: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Como saber se está faltando algum ou se tem algum sobrando? Multiplique os seus extremos. 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, = 60 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, = 60 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, = 60 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, = 60 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, = 60 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, = 60 Observe que todas os produtos são o mesmo valor. Logo, não está faltando nem sobrando!

6 QUANTIDADE DE DIVISORES Muitas vezes um exercício não pede para você dizer quais são os divisores de um número, mas para você dizer qual é a quantidade de divisores dele. Exemplo: Qual a quantidade de divisores do número 60? Para calcular a quantidade de divisores de um número, primeiro, devemos fazer a fatoração: Temos os seguintes fatores: Escrevendo em forma de potência: 2 2 x 3 1 x 5 1 Pegue os expoentes e some com = = 2

7 1 + 1 = 2 Multiplique os resultados: 3 x 2 x 2 = 12. O número 60 tem 12 divisores. DIVISORES QUADRADOS PERFEITOS Num nível mais elevado, vamos ver como calcular a quantidade de divisores quadrados perfeitos de um número. Calcule a quantidade de divisores do número 3600 que são quadrados perfeitos. Para saber quantos dos divisores de um certo número são quadrados perfeitos, basta: 1) Fatorar o número desejado. Nesse caso, o : ) Expressar os fatores em potência:

8 ) Separe os expoentes: ) Escreva de zero até esse número: 4 : 0,1,2,3,4 (5 números) 3: 0,1,2,3 (4 números) 2: 0,1,2 (3 números) Observe que até aqui você faria para calcular a quantidade de divisores positivos de um número. Bastaria multiplicar a quantidade de números ( = 120 divisores). Mas, queremos, dentre esses 120, apenas os quadrados perfeitos. 5) Separe apenas os números pares: 5: 0,2,4 (3 números) 3: 0,2 (2 números) 2: 0,2 (2 números) 6) Multiplique a quantidade de números pares. 3 x 2 x 2 = 12. Assim, dos 120 divisores do número 3600, 12 são quadrados perfeitos.

9 MÉDIA, MODA E MEDIANA EXERCÍCIOS DO ENEM E0614 (ENEM 2009 anulada QUESTÃO 50) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E. Pontuação da gincana Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente: a) 1,5 e 2,0. b) 2,0 e 1,5. c) 2,0 e 2,0. d) 2,0 e 3,0 e) 3,0 e 2,0. RESOLUÇÃO

10 E0615 (ENEM 2009 anulada QUESTÃO 76) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 16, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências. A média, mediana e moda dessa dsitribuição de frequências são, respectivamente a) 3,2 e 1 b) 3,3 e 1 c) 3,4 e 2 d) 5,4 e 2 e) 6,2 e 4 RESOLUÇÃO Entendendo a tabela, temos o 1 aparecendo 4 vezes, 0 2 apenas 1 vez, o 4 2

11 vezes, o 5 duas vezes e o 6 1 vez. Colocando em ordem, temos: 1,1,1,1,2,4,4,5,5,6 A questão pede a média, mediana e moda nesta ordem. A média é 3, pois somando todos os números dá 30 e dividindo por 10 (quantidade de parcelas) dá 3. A mediana é 3, pois os dois números do centro são 2 e 4, que tem média 3. A moda é o que mais aparece, ou seja, o 1. Opção B E0616 (ENEM 2010 QUESTÃO 167) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de Quantidades de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo

12 A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7 gols d) 7,3 gols e) 9,5 gols RESOLUÇÃO Os números do gráfico são: 8,5,7,9,11,13,4,9,10,7,6,6,6,6,6,6,8,5 Para achar a mediana precisamos colocar em ordem. 4,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,13 Como a quantidade é par, não haverá nenhum número no meio. Precisamos, então, pegar dois números do centro e calcular a média. Os dois números do centro são 6 e 7

13 6 + 7 = : 2 = 6,5 A mediana é 6,5 LETRA B E0617 (ENEM 2013 QUESTÃO 157) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é: a) 0,25 ponto maior

14 b) 1,00 ponto maior c) 1,00 ponto menor d) 1,25 ponto maior e) 2,00 ponto menor RESOLUÇÃO Somando todos os dados, temos = 140 A média é a soma dividida pela quantidade de parcelas. São 10 parcelas. Logo, 140 dividido por 10, dá média 14. Tirando o maior (19) e o menor (1), de 140 cai para para dividido por 8 parcelas (diminui 1), tem média 15. A média era 14 e passou para 15. A média é de 1,0 a mais.

15 Opção B E0618 (ENEM 2013 QUESTÃO 179) O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dado coletados de cinco vacas: Dados relativos à produção da vacas Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a a) Malhada. b) Mamona. c) Maravilha d) Mateira. e) Mimosa. RESOLUÇÃO Dias x quilo Meses Malhada 360 x 12 = 4320 : 15 = 288 Mamona 310 x 11 = 3410 : 12 = 284,16 Maravilha 260 x 14 = 3640 : 12 = 303,3

16 Mateira 310 x 13 = 4030 : 13 = 310 Mimosa 270 x 12 = 3240 : 11 = 294,5 A mais eficiente é a Mateira JUROS SIMPLES EXERCÍCIOS DE CONCURSOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO JUROS SIMPLES EXERCÍCIOS DE CONCURSOS Q0622 (ESAF) Um capital de R$ 80,00 aplicado a juros à taxa de 2,4% a.m. atinge em 45 dias, um montante, em reais de: (A) 81,92. (B) 82,88 (C) 83,60. (D) 84,80. (E) 88,00. RESOLUÇÃO SOLUÇÃO I: COM CALCULADORA 2,4% ao mês. Como quero 45 dias, tenho 1,5 mês. 2,4% x 1,5 = 3,6% ao todo. 80,00 + 3,6% = 82,88

17 Opção B. SOLUÇÃO II: COM FÓRMULA As informações que temos: Capital: 80,00 Taxa: 2,4% ao mês Tempo: 45 dias, que transformando para mês fica 1,5 mês (a taxa está em mês) A fórmula para calcular juros simples é: J = c. i. t J são os juros c é capital i é taxa t é tempo Substituindo os valores que temos na fórmula, fica: J = c. i. t J = 80. 2,4%. 1,5 mas, o porcento podemos escrever como 2,4 por cem J = 80. 2,4/100. 1,5 e 2,4 por cem é o mesmo que 2,4 dividido por 100, que dá 0,024. J = 80 x 0,024. 1,5

18 agora, multiplicando tudo, temos J = 2,88. Mas, atenção: Achamos os juros. O problema pede o montante. Segue a fórmula do montante: M = C + J, Em que M é montante, C é o capital e J são os juros. Substituindo o capital (80 reais) e os juros (2,88), temos M = ,88 M = 82,88. Assim, o opção correta é a letra B. SOLUÇÃO III: REGRA DE TRÊS 2,4% ao mês = 2,4% em 30 dias. 2,4% = 30 dias x = 45 dias 30x = 108 x = 108/30 x = 3,6% de juros ao todo. Calculando o montante:

19 80 = 100% x = 3,6% 100x = 288 x = 288/100 x = 2,88 Temos 2,88 de juros. Se era 80 reais e teve juros de 2,88, temos 80,00 + 2,88 = 82,88 Opção B GRÁFICOS EXERCÍCIOS DO ENEM GRÁFICOS EXERCÍCIOS DO ENEM E0576 (ENEM 1998 QUESTÃO 15) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período , realizado pelo SEADE-DIEESE,

20 apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total Grande São Paulo Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado, (A) a maior taxa de desemprego foi de 14%. (B) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. (C) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. (D) no período , a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. (E) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO PASSO A PASSO: I. Neste exercício devemos ler cada opção e eliminar as erradas. II. Na letra A, a afirmação é de o maior valor no gráfico estaria relacionado com 14%. Procure no gráfico o ponto mais alto. Trace uma reta para baixo ou coloque a caneta em cima do ponto para baixo. Perceba que ele está relacionado com o ano 92. Volte ao ponto e trace uma reta para o lado esquerdo ou coloque a caneta de lado. Esta reta está mais alta que 14% e mais baixa que 16%. Se o ponto está mais alto que os 14%, logo, não pode ser esta questão. Pode riscar. III. A letra B afirma que a menor taxa foi no ano de Procure o ponto mais

21 baixo. Faça uma reta para baixo. Observe que ele está relacionado ao ano 1989 e não Assim, esta opção está descartada. V.A letra C afirma que depois de 1992 a taxa foi crescente. Como esta opção não diz o tempo final, entendemos que vai até o último ano, que é Vá até o ano 1992 e faça uma reta para cima. Você vai tocar no ponto mais alto. Seguindo este ponto para a direita, perceba que ele realmente cai em 93, cai em 94, cai em 95.Mas não podemos dizer que a partir de 92 ele é decrescente, porque de 95 para 96 ele subiu. Esta opção está eliminada. V. Na letra D, a afirmação é de que este gráfico teve o menor valor em 8% e o maior em 16%. Vá até o ponto mais baixo e trace uma reta para a esquerda. Confira que ele está acima de 8%. Vá até o ponto mais alto e trace uma reta para a esquerda. Confira que ele esta abaixo de 16%. Assim, realmente estes pontos estão entre 8 e 16%. Esta é a verdadeira. RESPOSTA: LETRA D E0577 (ENEM 1998 QUESTÃO 22) O quadro abaixo estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar,cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação. 22 Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:

22 (A) R$ 55,23 (B) R$ 106,46 (C) R$ 802,00 (D) R$ 100,00 (E) R$ 22,90 RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO PASSO A PASSO: Se na conta de luz o consumo vai dobrar, parece razoável pensar que o valor a pagar também vai dobrar. Assim, o dobro de R$ 53,23 é R$ 106,46, sendo a resposta B. RESOLUÇÃO RESUMIDA: 46. Se o valor da conta é R$ 53,23 e o consumo vai dobrar, temos o dobro desse valor que é R$ 106,46. RESPOSTA: LETRA B E0578 (ENEM 1998 QUESTÃO 23) No quadro abaixo estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar,cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação. 23 Suponha agora que dobre o consumo d água. O novo valor da conta será de:

23 (A) R$ 22,90 (B) R$ 106,46 (C) R$ 43,82 (D) R$ 17,40 (E) R$ 22,52 RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO PASSO A PASSO: Companhia de Saneamento TARIFAS DE ÁGUA /M 3 Consumo Valor R$ Faixas de consumo tarifa Tarifa Até 10 5,50 mínima 5,50 11 a 20 0, a 30 2,13 5,95 31 a 50 2,13 Acima de 50 2,36 Total 11,45 Observe que foi cobrada a tarifa mínima e mais 7 de consumo. Isso significa que gastou os 10 m 3 mínimos mais os 7 m 3, totalizando 17 m 3 de consumo. Se o consumo dobrou, ele atingiu 34 m 3. Os 34 m 3 não são cobrados numa única tarifa, mas a cada 10 m 3 temos uma tarifa específica. Assim, os 34 m 3 são distribuídos da seguinte forma: m 3 As despesas, de quem chega ao consumo de 34 m 3 são: 10 m3. faixa 1.. 5,50 10 m3. faixa 2.. 0,85 cada m 3. Como são 10, temos ao todo 8,50 10 m3. faixa 3.. 2,13 cada m 3. Como são 10, temos ao todo 21,30

24 4 m3 faixa 4 2,13 cada m 3. Como são 4, temos ao todo 8,52 Somando os 4 valores, temos: 5,50 + 8, ,30 + 8,52 = 43,82 LETRA C E0579 (ENEM 1998 QUESTÃO 24) No quadro abaixo estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar,cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação. 24 Dos gráficos abaixo, o que melhor representa o valor da conta de água, de acordo com o consumo, é: RESOLUÇÃO RESUMIDA: A conta de água tem início de R$ 5,50, não podendo começar do ponto de origem. Elimina-se os gráficos B e C.

25 E0580 (ENEM 1998 QUESTÃO 50) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras abaixo: O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de: (A) 100 (B) 135 (C) 150 (D) 200 (E) 220

26 RESOLUÇÃO De acordo com aproximação, temos: TvA = 32 residências TvB = 30 residências TvC = 20 residências TvD = 100 residências Nenhum canal = 18 residências Somando, temos: 200 residências. Você pode não ter enxergado os mesmo números em aproximação. Neste caso, arredondando daria as mesmas 200 residências. Resposta D E0581 (ENEM 1998 QUESTÃO 51) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras abaixo: 51) A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TvB é aproximadamente igual a:

27 (A) 15% (B) 20% (C) 22% (D) 27% (E) 30% RESOLUÇÃO Vimos que os entrevistados da TvA foram aproximadamente 32 residências. Ao todo tivemos 200 residências. Assim, pela regra de três: 100% = 200 X = x = 3200 X = 3200/200 X = 16% Não temos 16%, porque provavelmente não eram 32, mas 30. Neste caso, arredonda para os 15%. De fato, 100% = 200 X = x = 3000 X = 3000/200 X = 15% E0575 (ENEM 1998 QUESTÃO 59) Em uma prova de 100 m rasos, o

28 desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir: 59) Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente constante? (A) Entre 0 e 1 segundo. (B) Entre 1 e 5 segundos. (C) Entre 5 e 8 segundos. (D) Entre 8 e 11 segundos. (E) Entre 12 e 15 segundos. RESOLUÇÃO Uma função constante é aquele que nem sobre nem desce. A função constante tem o gráfico uma reta horizontal É evidente que você não vê nenhuma reta horizontal no gráfico. Por isso o problema pediu aproximadamente. Observe que é entre 5 e 8 segundos que o gráfico mais parece com uma reta

29 horizontal. Resposta: Letra C E0582 (ENEM 1998 QUESTÃO 60) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir: 60) Em que intervalo de tempo o corredor apresenta aceleração máxima? (A) Entre 0 e 1 segundo. (B) Entre 1 e 5 segundos. (C) Entre 5 e 8 segundo. (D) Entre 8 e 11 segundos. (E) Entre 9 e 15 segundos. RESOLUÇÃO Observe o gráfico abaixo:

30 A maior aceleração está no momento em o gráfico está mais vertical. Poderíamos ficar na duvida entre 0 e 1 segundo ou 0 e 2 segundos. Mas como não há a opção entre 0 e 2, só resta a opção 0 e 1. Resposta: letra A E0583 (ENEM 1999 QUESTÃO 6) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.

31 Analisando os gráficos, pode-se concluir que (A) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. (B) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. (C) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto. (D) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. (E) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. RESOLUÇÃO Observe que tanto o gráfico I quanto o gráfico II tem o valor inicial em Ambos têm, também, 2200 em dezembro. Assim, como abril 2050 para os dois e agosto Logo, contatamos que o gráfico I é o mesmo que o gráfico II. Resposta: D E0584 (ENEM 1999 QUESTÃO 43) A variação da quantidade de anticorpos específicos foi medida por meio de uma experiência controlada, em duas crianças durante um certo período de tempo. Para a imunização de cada uma das crianças foram utilizados dois procedimentos diferentes: Criança I: aplicação de soro imune Criança II: vacinação. O gráfico que melhor representa as taxas de variação da quantidade de anticorpos nas crianças I e II é:

32 RESOLUÇÃO Resolução: A criança I recebeu soro imune, que já tem anticorpos formados. No entanto, a desvantagem do soro imune é que os anticorpos formados tendem a diminuir com o tempo. A criança II recebeu a vacinação. Esta não tem os anticorpos formados, mas o antígeno que vai estimular a formação de novos anticorpos. Com esse conhecimento, fica claro que o a criança I recebe muitos anticorpos, que vai diminuindo com o tempo. A criança II não terá tanto anticorpos no início, mas vai aumentando com o decorrer do tempo. RESPOSTA: B E0585 (ENEM 1999 QUESTÃO 47) A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico ao lado mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana.

33 Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana (A) é diretamente proporcional à sua idade. (B) dobra a cada anos. (C) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem. (D) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha. (E) a partir de anos não aumenta mais. RESOLUÇÃO Resolução: (A) FALSA: Observe que não pode ser diretamente proporcional, pois na medida que a idade aumenta, sua espessura nãoaumenta na mesma proporção. (B) FALSA: Em 20 mil anos, o gráfico aponta espessura 7,5. 10 mil anos depois, deveria dobrar segundo essa afirmação. Mas observe que aos a espessura não é o dobro, mas apenas 10. C) VERDADEIRA: Observe que nos primeiros 20 mil anos ela sai de zero

34 para 7,5. Nos próximos 20 mil anos de 7,5 passa para 12,5, ou seja, aumenta 5. Os próximos 20 mil anos vai para menos de 15, ou seja, aumento de menos de 2,5. Assim, percebemos que quanto mais jovem, mais rapidamente será seu aumento. Resposta: C E0586 (ENEM 1999 QUESTÃO 52) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo. Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de: (A) 1960 (B) 1963 (C) 1967 (D) 1970 (E) 1980 RESOLUÇÃO O gráfico em 1975 aponta 9 mil. Essa quantidade encontra-se, também, entre 1960 e 1965, ou seja, RESPOSTA: B E0587 (ENEM 2000 QUESTÃO 41) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente

35 proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k.x.(p-x), onde k é uma constante positiva característica do boato. O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é: RESOLUÇÃO R(x) = k. x. (P x) Entendendo cada letra : R: A rapidez que o boato se espalha x : quantas pessoas souberam do boato P: a quantidade de pessoas que deveria saber. k: um valor que não muda (constante)

36 Só para entender: Vamos estipular a constante como 10. Se eu disser que queria que 100 pessoas soubessem (P=100), mas apenas 50 souberam (x=50), teremos a seguinte rapidez: R(x) = k. x. (P x) R(x) = (100 50) R(x) = (50) R(x) = Vamos, agora, analisar a função: R(x) = k. x. (P x) Desenvolvendo, temos: R(x) = kx. (P x) Fazendo a distributiva: R(x) = kxp kx² R(x) = -kx² + kxp

37 Temos uma função do 2º grau decrescente. Uma função do 2º grau gera uma parábola como gráfico, ou seja, apenas as opções C e E. Entre as opções C e E, a C é crescente e a E é decrescente. Logo, a resposta é letra E. E0588 (ENEM 2001 QUESTÃO 15) O hemograma é um exame laboratorial que informa o número de hemácias, glóbulos brancos e plaquetas presentes no sangue. A tabela apresenta os valores considerados normais para adultos. Os gráficos mostram os resultados do hemograma de 5 estudantes adultos. Todos os resultados são expressos em número de elementos por mm 3 de sangue. Podem estar ocorrendo deficiência no sistema de defesa do organismo, prejuízos no transporte de gases respiratórios e alterações no processo de coagulação sanguínea, respectivamente, com os estudantes.

38 (A) Maria, José e Roberto. (B) Roberto, José e Abel. (C) Maria, Luísa e Roberto. (D) Roberto, Maria e Luísa. (E) Luísa, Roberto e Abel. RESOLUÇÃO Rever esta resolução. Deficiência quem tem é Maria, José e Roberto. Só a opção A tem os 3. Resolução: A ocorrência deve ser nesta ordem: Deficiência no sistema de defesa do organismo, Prejuízo no transporte de gases respiratórios e iii. alterações no processo de coagulação sanguínea. 1. A deficiência no sistema de defesa do organismo está relacionada com a diminuição dos glóbulos brancos (biologia). Olhando para o gráfico dos glóbulos brancos (2º), temos Maria com o menor valor. 1. O prejuízo no transporte de gases respiratórios está relacionado com a diminuição do número de hemácias. Olhando para o gráfico da hemácia (3º), temos José com o menor valor. iii. As alterações no processo de coagulação sanguínea estão relacionadas está relacionada com a diminuição do número de plaquetas. O gráfico de

39 plaquetas (1º) aponta Roberto com o menor valor. Assim, temos: Maria, José e iii. Roberto Opção A E0589 (ENEM 2001 QUESTÃO 16) A distribuição média, por tipo de equipamento, do consumo de energia elétrica nas residências no Brasil é apresentada no gráfico. 16) Em associação com os dados do gráfico, considere as variáveis: Potência do equipamento. Horas de funcionamento. III. Número de equipamentos. O valor das frações percentuais do consumo de energia depende de (A) I, apenas. (B) II, apenas.

40 (C) I e II, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. RESOLUÇÃO Para calcular o gasto de um equipamento, devemos multiplicar a potência do aparelho pela quantidade de horas que ele ficou ligado no mês. Ex: Uma lâmpada de 60 watts gasta 60 w em uma hora. Se ela ficar ligada 100 horas no mês, o gasto será de 6000 w (60 watts x 100 horas) Assim, Cada lâmpada gastaria 6000 w. Se na casa tiver 5 lâmpadas gastando o mesmo, multiplica pela quantidade delas. Assim, para calcular quantos por cento se gasta, precisamos saber da POTÊNCIA, HORAS DE FUNCIONAMENTO e NÚMEROS DE EQUIPAMENTOS, ou seja, opção E. E0590 (ENEM 2001 QUESTÃO 17) Como medida de economia, em uma residência com 4 moradores, o consumo mensal médio de energia elétrica foi reduzido para 300 kwh. Se essa residência obedece à distribuição dada no gráfico, e se nela há um único chuveiro de 5000 W, pode-se concluir que o banho diário de cada morador passou a ter uma duração média, em minutos, de (A) 2,5. (B) 5,0. (C) 7,5. (D) 10,0. (E) 12,0. RESOLUÇÃO Na residência informada, o consumo será de 300 kwh. Desses 300, 25% são gastos com chuveiro, de acordo com o gráfico. 25% de 300 dá um consumo de 75 kwh para o chuveiro. Se gastou 75 kwh e cada hora o chuveiro gasta 5 kwh (5000W), esse chuveiro ficou 15 horas ligado.

41 Como ele quer por dia, dividimos essas 15 horas por 30 dias. Temos 0,5 hora por dia, ou seja, 30 minutos por dia. Se quer a média de banho e são 4 pessoas, divido 30 minutos por 4 dá 7,5. E0591 (ENEM 2001 QUESTÃO 36) O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes, como eletricidade, gás de cozinha, lenha, etc. O gráfico mostra a evolução do consumo de energia elétrica residencial, comparada com o consumo total de energia residencial, de 1970 a Verifica-se que a participação percentual da energia elétrica no total de energia gasto nas residências brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de (A) 10% para 40%. (B) 10% para 60%. (C) 20% para 60%. (D) 25% para 35%. (E) 40% para 80%. RESOLUÇÃO Em 1970, a partiiação da energia elétrica era aproximadamente 3, de

42 acordo com o gráfico. Você pode ter achada valores próximos, com 2, 4 No mesmo ano, o total de energia era de 23, aproximadamente. 3 para 23 dá, aproximadamente, 13%. Você pode ter achado um percentual diferente, de acordo com sua estimativa. Porém, aproximadamente, será mais próximo de 10% d que de 20%, que é a opção mais próxima. Temos, então, que em 1970 a participação era de 10%. Podemos eliminar as opções C,D e E. No ano de 1995, a participação de energia elétrica era de 20% e a energia total é de 33%, aproximadamente. Isso dá 60% aproximadamente. Se era de 10% e foi para 60%, a opção correta é a letra B E0592 (ENEM 2001 QUESTÃO 37) Segundo um especialista em petróleo (Estado de S. Paulo, 5 de março de 2000), o consumo total de energia mundial foi estimado em 8,3 bilhões de toneladas equivalentes de petróleo (tep) para A porcentagem das diversas fontes da energia consumida no globo é representada no gráfico.

43 Segundo as informações apresentadas, para substituir a energia nuclear utilizada é necessário, por exemplo, aumentar a energia proveniente do gás natural em cerca de (A) 10%. (B) 18%. (C) 25%. (D) 33%. (E) 50%. RESOLUÇÃO Temos dois dados que nos interessam: energia nuclear e gás. Como o enunciado disse em cerca de, poderemos trabalhar com valores aproximados. O gás parece estar na escala 20% aproximadamente. A energia nuclear em cerca de 7%. Assim, temos 20 = 100% 7 = x 20x = 700 X = 700 / 20

44 X = 35% LETRA D E0593 (ENEM 2002 QUESTÃO 3) O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2 km), a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico: Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com altura igual a 1,59m, que tenha corrido uma meia maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em (A) 0,32 minuto. (B) 0,67 minuto. (C) 1,60 minuto. (D) 2,68 minutos. (E) 3,35 minutos. RESOLUÇÃO > Observe que o atleta de ossatura grande pesa 63 kg, pesando 1,59m. > Porém, com 1,59m a tabela na 3ª linha indica um peso de 58 kg. > Como ele está com 63 kg e deveria ter 58 kg, ele está 5 kg a mais do que deveria estar. > No gráfico (2ª figura), o peso de 1 kg acima do ideal faz o atleta perder 0,32 minuto se for prova de 10 km, 0,67 minuto se for meia-maratona e 1,33 minuto se

45 for maratona. > Como o encunciado pede meia-maratona, a cada minuto ele perde 0,67 minuto. > Se a cada quilo ele perde 0,67 minuto, como ele está com 5 kg a mais, ele perderá 3,35 munutos. Letra E E0594 (ENEM 2002 QUESTÃO 6) A tabela mostra a evolução da frota de veículos leves, e o gráfico, a emissão média do poluente monóxido de carbono (em g/km) por veículo da frota, na região metropolitana de São Paulo, no período de 1992 a Comparando-se a emissão média de monóxido de carbono dos veículos a gasolina e a álcool, pode-se afirmar que: I. no transcorrer do período , a frota a álcool emitiu menos monóxido de carbono III.em meados de 1997, o veículo a gasolina passou a poluir menos que o veículo a álcool. III. o veículo a álcool passou por um aprimoramento tecnológico. É correto o que se afirma apenas em: (A) I. (B) I e II. (C) II. (D) III. (E) II e III.

46 RESOLUÇÃO Afirmação I: Verdadeira. Entre 1992 e 2000 a frota de álcool emitiu menos monóxido de carbono, pois a altura do gráfico do álcool na maior parte esteve abaixo da altura do gráfico de gasolina. Afirmação II: Verdadeira. Em meados de 1997, ou seja, no meio, a gasolina passou a poluir menos que menos que o álcool. Veja que o gráfico da gasolina cai neste período. Afirmação III: Se o carro à álcool tivesse passado por um aprimoramento tecnológico, não estaria poluindo mais que o da gasolina. Todavia, se I e II estão corretas, não precisava nem analisar a III, já que não tem a opção Todas as afirmações estão corretas, ou I, II e III. LETRA B E0595 (ENEM 2002 QUESTÃO 13) No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato. Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de pontos igual a (A) 15. (B) 17. (C) 18. (D) 20. (E) 24.

47 RESOLUÇÃO Observe que o jogo do dia 28/01 (está embaixo do gráfico), a equipe fez 2 gols (marcado pelo gráfico pontilhado) e não sofreu nenhum. Em resumo, temos os seguintes placares com suas respectivas datas: 28/01 2 x 0 vitória = 3 pontos 04/02 1 x 4 derrota = 0 ponto 11/02 3 x 3 emprate = 1 ponto 18/02 0 x 5 derrota = 0 ponto 25/02 2 x 1 vitória = 3 pontos 04/03 3 x 1 vitória = 3 pontos 11/03 2 x 2 empate = 1 ponto 18/03 1 x 0 vitória = 3 pontos 25/03 0 x 0 empate = 1 ponto 01/04 3 x 0 vitória = 3 pontos Ao somar a quantidade de pontos, temos 18 pontos. LETRA C E0596 (ENEM 2012 QUESTÃO 158) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.

48 Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela. Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESOLUÇÃO O investidor 1 comprou 10h, quando o valor era de 150 reais, e vendeu às 15h, quando o valor era de 460 reais. Lucro: 460,00 150,00 = 310,00. O investidor 2 também comprou às 10h por 150 reais. Porém, vendeu às 17h, quando o valor estava 200 reais, obtendo um lucro de 50 reais. O investidor 3 comprou às 13h pelo valor de 380 reais e vendeu às 15h por 460 reais, ficando com lucro de 80 reais.

49 Já o investidor 4 comprou às 15h pelo valor de 460 reais e vendeu às 16h por 100, amargando um prejuízo de 360 reais. E o investidor 5 comprou às 16h por 100 reais e vendeu às 17h por 200 reais, obtendo um lucro de 100 reais. Analisando os lucros, observa-se que o investidor que melhor fez negócio é o investidor 1, ou seja, opção A E0597 (ENEM 2012 QUESTÃO 159) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas. O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: Acesso em: 21 jan (adaptado).

50 O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na: a) segunda terça-feira. b) terça e quarta-feira. c) terça e quinta-feira. d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira RESOLUÇÃO Analisando o gráfico, observamos que há dois tipos de gráficos O de linha tracejada O de linha contínua O gráfico de linha tracejada mostra o número de reclamações O gráfico de linha tracejada mostra informa o número de reclamações resolvidas. Para haver eficiência, espera-se que o número de reclamações seja menor que o número de reclamações resolvidas. O único período em que a linha contínua é sempre maior que a linha tracejada é na terça e quarta. Assim, a opção correta é a B.

51 E0598 (ENEM 2012 QUESTÃO 179) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? RESOLUÇÃO Esquecendo o conceito de Física, vamos observar a equação dada por ele: Potência (P) é dada pelo produto (multiplicação) entre resistência elétrica (R) e o

52 quadrado da corrente elétrica (i). Podemos representar desta forma: P = R. i² Apenas essa equação já nos dá condições de escolher uma opção. Essa equação, por ser elevada ao quadrado, é do 2º grau, que gera um gráfico que é uma parábola. Como ela não tem a variável ao quadrado negativa, ela é crescente. (A) falso. O gráfico é uma reta, ou seja, equação do 1º grau. (B) falso. Apesar de ser uma parábola, ela é decrescente. (C) falso. Este gráfico é de função constante. (D) verdadeiro. É um gráfico (E) falso. O gráfico é uma reta, ou seja, equação do 1º grau. E1164 (ENEM 2015 QUESTÃO 137) Em uma pesquisa sobre prática de atividade física, foi perguntado aos entrevistados sobre o hábito de andar de bicicleta ao longo da semana e com que frequência o faziam. Entre eles, 75% afirmaram ter esse hábito, e a frequência semanal com que o faziam é a apresentada no gráfico: Que porcentagem do total de entrevistados representa aqueles que afirmaram andar de bicicleta pelo menos três vezes por semana?

53 A) 70,0% B) 52,5% C) 22,5% D) 19,5% E) 5,0% RESOLUÇÃO Dentre os 100% entrevistados, 75% andam de bicicleta. Dentre esses 75%, nos interessa os que andam pelo menos 3 vezes. Observe no gráfico que a coluna 1 e 2 vezes não nos interessam. 3 vezes = 26% 4 vezes = 12% 5 vezes = 10% 6 vezes = 7% todos os dias (7 vezes) = 15% Somando: 26% + 12% + 10% + 7% + 15% = 70%. Mas, atenção: são 70% dos 75% que andam de bicicleta. 70% de 75% = 52,5%. Opção B

54 GEOMETRIA ANALÍTICA SUPERIOR EQUAÇÃO DA ESFERA EQUAÇÃO DA ESFERA EXERCÍCIOS DO ENSINO SUPERIOR E00625 Determine a equação da superfície esférica de raio r = 4 e centro C (0,0,0). Temos a origem no centro C (0,0,0) e raio r = 4. Jogando na fórmula da esfera na origem: x² + y² + z² = r² substituindo o raio por 4: x² + y² + z² = 4² x² + y² + z² = para o 1º membro: x² + y² + z² 16 = 0 Esta é a equação.