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1 Fonte de todo conteúdo do D: Olimpíada rasileira de Matemática Site: www. obm.org.br 00

2 Todos os direitos reservados à EDITOR FTD S.. Matriz: Rua Rui arbosa, 6 ela Vista São Paulo SP EP Tel. (0-XX-) aixa Postal 649 EP da aixa Postal Internet: exatas@ftd.com.br Diretora editorial Silmara Sapiense Vespasiano Editora Rosa Maria Mangueira ssistente de produção Lilia Pires Preparadoras Juliana Valverde Lucila arreiros Facchini Revisoras lessandra Maria Rodrigues da Silva ibely guiar de Souza Sala Fernanda Kupty Iara Rivera Soldera Solange Guerra Yara ffonso oordenador de produção editorial aio Leandro Rios ssistente de produção na Paula Iazzetto Editor de arte e projeto gráfico arlos ugusto sanuma Editoração eletrônica Diagramação láudia da Silva Nadir Fernandes Racheti Gerente de pré-impressão Reginaldo Soares Damasceno

3 PRESENTÇÃO Prezado professor, Este D contém provas, gabaritos e resoluções das Olimpíadas rasileiras de Matemática de 000 a 009, níveis e, ạ e ạ fases, para você preparar avaliações, simulados ou questões extras. No propósito de aprimorar cada vez mais seu trabalho, é que oferecemos esta ferramenta, na certeza de que ela lhe será muito útil.

4 XXXI OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI PROVS Nível (6 ọ e 7 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: L ES GO M RS RN SP S Se 8 de um número é, quanto vale 8 desse número? ) 8 ) ) D) 8 E) Na figura, é um ponto do segmento D tal que DE é um retângulo e E é um paralelogramo de área cm. Qual é a área E de DE, em cm? ) 8 ) ) 6 D) 4 E) 44 D 7 Se a 40, b 0 e c 7 0, então: ) c, b, a D) b, c, a ) a, c, b E) c, a, b ) b, a, c 8 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 7 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos? ) ) 6 ) 7 D) 8 E) 9 9 Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, também formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados? ) ) 0 E) 48 ) 4 D) 6 Numa festa, o número de pessoas que dançam é igual a % do número de pessoas que não dançam. Qual é a porcentagem do total de pessoas na festa que não dançam? ) 0% ) 60% ) 7% D) 80% E) 84% 4 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? ) ) 4 ) 8 D) E) 4 Eliana tem 7 cubos iguais em tamanho, mas 4 são brancos e os demais, pretos. om esses 7 cubos, ela monta um cubo maior. No máximo, quantas faces inteiramente pretas ela poderá obter? ) ) ) D) 4 E) 6 figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos,, e D são as casas, e os segmentos são as ruas. De quantas casas D é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa. ) 0 ) ) D) E) 4 0 inco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado? ) ) ) 4 D) E) Não é possível obter a configuração acima. Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha da barra, Penha ganha e Sônia ganha 70 gramas, o peso 4 da barra, em gramas, é: ) 60 ) 40 E) 400 ) 00 D) 80 4

5 Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: corintianos, 4 flamenguistas e 0 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que: ) tal fila não existe. ) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista. ) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista. D) algum flamenguista é vizinho de um gremista. E) algum gremista é vizinho de dois corintianos. Na figura, P é um ponto da reta D. região cinza é comum ao retângulo D e ao triângulo DP. Se cm, D 8 cm e a área da região cinza é da área do retângulo, quanto vale a distância P? 4 M D P ) cm ) cm E) cm ) cm D) 4 cm 4 Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico abaixo: Q 6 O relógio de parede indica inicialmente meio-dia. 9 6 Os ponteiros das horas e dos minutos irão formar um ângulo de 90 graus pela primeira vez: ) entre h e h0min. ) entre h0min e hmin. ) entre hmin e h0min. D) entre h0min e hmin. E) após as hmin. 7 Eduardo escreveu todos os números de a 009 numa folha de papel. om os amigos, combinou o seguinte: cada um deles poderia apagar quantos números quisesse e escrever, no fim da lista, o algarismo das unidades da soma dos números apagados. Por exemplo, se alguém apagasse os números 8,, 6, deveria escrever no fim da lista o número 7, pois pós algum tempo, sobraram somente dois números. Se um deles era 000, qual dos números a seguir poderia ser o outro? ) 0 ) ) D) E) 6 8 Uma folha de caderno de arlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 4 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 6 cm. arlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo? ) 44 cm ) 64 cm E) 4 cm ) 88 cm D) 44 cm 9 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 8 estudantes. ada questão vale 0 ou ponto; não há pontuações parciais. pós a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão. Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental? ) 7 ) ) 6 D) E) 6 7 Um número natural de três algarismos detona um número natural de três algarismos se cada algarismo de é maior do que o algarismo correspondente de. Por exemplo, 876 detona 4; porém, 6 não detona 4, pois,. Quantos números de três algarismos detonam 4? ) 0 ) 60 E) 600 ) 40 D) 480 Questões Estudantes 4 6 rnaldo 0 0 ernaldo 0 0 ernaldo 0 0 Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m? ) 8 ) 0 E) 4 ) 9 D)

6 0 lguns cubos foram empilhados formando um bloco. s figuras abaixo representam a vista da esquerda e da frente desse bloco. esquerda frente vista da esquerda esquerda frente vista da frente Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista? ) ) E) esquerda frente 4 Mariazinha deseja cobrir o tampo de uma mesa retangular de 88 cm por 9 cm colando quadrados de cartolina de lado 0 cm, a partir de um canto, como mostrado na figura. Ela cola os quadrados sem buracos nem superposições, até chegar às bordas opostas. í, em vez de cortar as folhas para não ultrapassar as bordas, ela as sobrepõe, formando regiões retangulares com duas folhas de espessura (região cinza) e uma pequena região retangular com quatro folhas de espessura (região preta). Qual é a área da região coberta por quatro folhas? ) D) esquerda frente esquerda frente segunda FSE parte figura abaixo mostra castelos de cartas de, e andares. Para montar esses castelos, foram usadas, 7 e cartas, respectivamente. Quantas cartas serão necessárias para montar um castelo de andares? O número tem 008 algarismos. Qual é a menor quantidade de algarismos que devem ser apagados, de modo que a soma dos algarismos que restarem seja 008? 6 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um algarismo comum. Por exemplo, os números 7,, e pertencem à mesma família, pois todos possuem o algarismo, enquanto os números, 4 e 68 não pertencem à mesma família, pois não há um algarismo que apareça nesses três números. Qual é a maior quantidade de membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos? segunda FSE parte () () () Numa classe do 6º. ano, de cada estudantes, 4 são meninas. Se há meninos a mais que meninas, quantos alunos há na classe? Num curso com duração de cinco dias, a frequên cia dos alunos foi registrada na tabela abaixo: arlinhos tem folhas iguais na forma de triângulos retângulos de lados 6 cm, 8 cm e 0 cm. Em cada triân gulo, o ângulo assinalado opõe-se ao menor lado. Fazendo coincidir lados iguais desses triângulos sobre uma mesa, sem superpor as folhas, ele desenha o contorno de cada figura obtida (linha grossa), como nos exemplos abaixo. O perímetro de uma figura é o comprimento do seu contorno. Dia de aula o dia o dia o dia 4 o dia o dia Quantidade de alunos presentes ada aluno faltou exatamente dois dias. No dia de menor frequência, de quantos por cento foi o total de faltas? fig. fig. a) Qual é a diferença entre os perímetros das figuras e do exemplo? b) om figuras de três triângulos, qual é o maior perímetro que pode ser obtido? 6

7 Esmeralda ia multiplicar um número de três algarismos por outro número de dois algarismos, mas na hora de multiplicar inverteu a ordem dos dígitos de e obteve um resultado 04 unidades maior. a) Qual era o número, se os dígitos de eram consecutivos? b) Qual seria o número, se os dígitos de não fossem consecutivos? Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum ponto por derrota. ada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez. a) o término da terceira rodada, é possível que um grupo de jogadores esteja em primeiro lugar e o restante dos jogadores esteja em segundo lugar? Explique por meio de um exemplo. b) o término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham pontuações diferentes? Explique. Nível (8 ọ e 9 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: L ES GO M RS RN SP S Se 8 de um número é, quanto vale 8 desse número? ) 8 ) ) D) 8 E) Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, também formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados? ) ) 4 ) 0 D) 6 E) 48 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? ) ) 4 ) 8 D) E) 4 4 Se ) 4 x, o valor de x6 é: ) 4 ) D) 4 E) figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos,, e D são as casas, e os segmentos são as ruas. De quantas casas D é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa. ) 0 ) ) D) E) 4 6 Os inteiros positivos m e n satisfazem m 0n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de: ) ) 0 ) D) E) 0 7 Um número natural de três algarismos detona um número natural de três algarismos se cada algarismo de é maior do que o algarismo correspondente de. Por exemplo, 876 detona 4; porém, 6 não detona 4, pois,. Quantos números de três algarismos detonam 4? ) 0 ) 60 E) 600 ) 40 D) Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha da barra, Penha ganha e Sônia ganha 70 gramas, o peso 4 da barra, em gramas, é: ) 60 ) 40 E) 400 ) 00 D) 80 9 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 7 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos? ) ) 6 ) 7 D) 8 E) 9 0 Na figura ao lado, a 8 e D E. O valor do ângulo b é: ) 8 o D) 0 o ) 6 o E) 0 o ) o b_ α α α inco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado? ) ) ) 4 D) E) Não é possível obter a configuração acima. D E 7

8 Na figura abaixo, DE é um pentágono regular, DFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilátero. O valor do ângulo b é: M E H b ) 0 o ) 9 o E) 60 o ) 6 o D) 4 o D Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: corintianos, 4 flamenguistas e 0 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que: ) tal fila não existe. ) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista. ) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista. D) algum flamenguista é vizinho de um gremista. E) algum gremista é vizinho de dois corintianos. 4 Na figura, P é um ponto da reta D. região cinza é comum ao retângulo D e ao triângulo DP. Se cm, D 8 cm e a área da região cinza é da área do retângulo, quanto vale a distância 4 P? ) cm ) cm E) cm ) cm D) 4 cm D P famosa onjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 8 pode ser representado por ou, ainda, por 7. onsiderando todas as possíveis representações de 6, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? ) ) 9 E) 80 ) 00 D) 88 Q F G 6 Na figura abaixo, E é o ponto médio de, F é o ponto médio de e R RS S. Se a área do triângulo é, qual é a área do pentágono ERSF? ) 68 ) 89 E F ) 00 D) 0 E) 0 R S 7 Quantos pares ordenados (x, y) de números reais satisfazem a equação x y x y 0? ( ) ( ) ) 0 ) ) D) E) infinitos 8 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 8 estudantes. ada questão vale 0 ou ponto; não há pontuações parciais. pós a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão. Questões Estudantes 4 6 rnaldo 0 0 ernaldo 0 0 ernaldo 0 0 Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m? ) 8 ) 9 ) 0 D) E) 4 9 Entre os inteiros positivos n408, n,,..., 009, quantos são quadrados perfeitos? ) 94 ) 947 E) 949 ) 946 D) Para cada número natural n, seja S n a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, S Quanto é S S S S? 0 ) 9 ) E) ) 0 D) Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado cm, são desenhados dois círculos como na figura abaixo. distância mínima entre os dois círculos mede: ) cm ) 0 cm ( ) cm ( ) cm ( ) cm ) 0 D) 0 E) 0 8

9 Quantos números naturais de a 00, inclusive, podem ser escritos na forma de potência a b, com a, b IN e a, b.? ) 0 ) 4 E) 8 ) D) 6 Uma folha de caderno de arlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 4 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 6 cm. arlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo? ) 44 cm ) 64 cm E) 4 cm ) 88 cm D) 44 cm 4 Os inteiros 0, x, y, z, w, t são tais que w z(x y) e t w(y z). Sendo w 9, então t é igual a: ) 4 ) 6 E) 8 ) 4 D) 7 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um algarismo em comum. Por exemplo, os números, e pertencem à mesma família, enquanto, 4 e 68 não pertencem à mesma família, pois e 68 não pertencem à mesma família. Qual é a maior quantidade de membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos? 4 Determine a quantidade de inteiros de dois algarismos que são divisíveis pelos seus algarismos. Na figura abaixo, D e EFGH são quadrados de lado 48 cm. Sabendo que é o ponto médio de EF e G é o ponto médio de D, determine a área destacada em cm. E L lguns cubos foram empilhados formando um bloco. s figuras abaixo representam a vista da esquerda e da frente desse bloco. F H K esquerda esquerda frente frente vista da esquerda esquerda esquerda frente frente vista da frente Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista? ) ) E) ) D) segunda FSE parte esquerda frente Esmeralda tem uma garrafa com 9 litros de uma mistura que tem 0% de álcool e 0% de água. Ela quer colocar água na garrafa de tal forma que apenas 0% da mistura seja de álcool. Quantos litros de água ela irá colocar? D SEGUND FSE parte Sejam m e n dois inteiros positivos primos entre si. O Teorema hinês dos Restos afirma que, dados inteiros i e j, com 0 < i, m e 0 < j, n, existe exatamente um inteiro a, com 0 < a, m? n, tal que o resto da divisão de a por m é igual a i e o resto da divisão de a por n é igual a j. Por exemplo, para m e n 7, temos que 9 é o único número que deixa restos e quando dividido por e 7, respectivamente. ssim, na tabela a seguir, cada número de 0 a 0 aparecerá exatamente uma vez. Restos por Restos por 7 0 G Se a, b, c e d são, em alguma ordem,,, e 4. Qual é o maior valor possível de ab bc cd da? 9 Qual a soma dos números das casas destacadas? 9

10 Observe: x r x s x r sxrs ( )( ) ( ) ssim, substituindo x por r e por s, obtemos: r ( rsr ) rs0 s ( rss ) rs0 n n n ar ( ( rs) r rs? r ) 0 n n n bs ( ( rs) s rs? s ) 0 n n Somando as duas equações e sendo Sn a? r b? s, verifica-se que: Sn( rss ) n rss n Dados Sarbs, S ar bs, S ar bs e 4 4 S ar bs 6, determine S ar bs. 4 Seja N o ponto do lado do triângulo tal que N N e M o ponto do lado tal que MN é perpendicular a. Sabendo que cm e que o baricentro G do triângulo pertence ao segmento MN, determine o comprimento do segmento G. Obs.: aricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo. 4 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum ponto por derrota. ada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez. a) o término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham pontuações distintas? b) Se no final do campeonato todos os jogadores têm pontuações distintas, qual o menor número possível de pontos obtidos pelo primeiro colocado? 0

11 XXX OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI PROVS Nível (6 ọ e 7 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: L ES GO PI RN RS S om segmentos de cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove desses segmentos podemos formar um triângulo equilátero de lado cm. om qual número de segmentos a seguir é impossível formar um triângulo? ) 4 ) ) 6 D) 7 E) 8 Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinquenta reais e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para este problema? ) 0 ( 4, 70, ) 8 0, 80 ) 4, 70, 6 080, 0 ) [ ( 4, 70, ) 6 0, 80] 0 D) 0 [ ( 4, 70, ) 6 0, 80] E) 0 ( 4, 70, ) 6 080, [ ] Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os sexos, em igual número, com a seguinte pergunta: Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere? ada pessoa apresentou a sua preferência por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da pesquisa aparece nos gráficos abaixo: 4 O quociente e o resto na divisão de por são, respectivamente: ) 04 e ) 4 e E) 44 e ) 044 e D) 044 e Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número até o. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de, que deveriam participar de um projeto. lgumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista? ) ) 6 ) 0 D) 4 E) 6 6 Sobre uma mesa retangular de uma sala foram colocados quatro sólidos, mostrados no desenho. Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa melhor essa fotografia? ) D) ) E) ) Podemos concluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferência das cores é: ) I, II, III ) I, III, II ) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I 7 Uma classe tem alunos e 8 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? ) ) ) 4 D) 6 E) 8

12 8 Uma urna contém 008 cartões. ada cartão recebeu um número diferente, a partir do número até o 008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam- -se os números dos cartões. Quantos números ímpares diferentes podem ser obtidos dessa maneira? ) 004 ) 007 E) 4 06 ) 00 D) Juntando quatro trapézios iguais de bases 0 cm e 0 cm, como o da figura abaixo, podemos formar um quadrado de área 00 cm, com um buraco quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em cm? 0 cm 4 o 4 o 0 cm 6 Três amigos moram na mesma rua: um médico, um engenheiro e um professor. Seus nomes são: rnaldo (), ernaldo () e ernaldo (). O médico é filho único e o mais novo dos três amigos. ernaldo é mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã de rnaldo. Os nomes do médico, do engenheiro e do professor, nessa ordem, são: ),, ),, E),, ),, D),, 7 Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo retângulo de lados cm, cm e cm. Esmeralda juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e, contornando as beiradas com um lápis, obteve uma figura como a abaixo, que está fora de escala. Qual é o perímetro dessa figura? ) 00 ) 0 ) 00 D) 0 E) Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares? ) 0 ) 48 ) 00 D) E) Sabe-se que do conteúdo de uma garrafa enchem de um copo. Para encher copos iguais a 9 6 esse, quantas garrafas deverão ser usadas? ) ) ) 4 D) E) 6 Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado? ) 6 ) 8 E) 0 ) 7 D) 9 primeira fase da OM se realiza no dia 4 de junho, um sábado do ano bissexto 008. Daqui a quantos anos o dia 4 de junho será novamente no sábado? ) 4 ) ) 6 D) 7 E) 8 ) 8 cm ) 4 cm E) 60 cm ) cm D) 4 cm 8 Qual é o maior número de algarismos que devem ser apagados do número de 000 algarismos , de modo que a soma dos algarismos restantes seja 008? ) 0 ) 60 ) 0 D) 746 E) 00 9 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir? 4 No desenho temos E E E D. lém disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão α β? ) ) 4 ) D) 4 Na multiplicação ao lado, alguns algarismos, não necessariamente iguais, foram substituídos pelo sinal *. Qual é a soma dos valores desses algarismos? ) 7 ) 7 E) 7 ) 7 D) 47 E) ) 6 ) ) 0 D) 60 E) 0 0 Três carros com velocidades constantes cada um, na mesma estrada, passam no mesmo momento por rasilópolis. o viajar 00 quilômetros, o carro passa por mericanópolis, 0 quilômetros à frente do carro e 0 quilômetros à frente do carro. Quando o carro passar por mericanópolis, quantos quilômetros estará à frente do carro? ) 0 ), ) 0 D) E) 7,

13 SEGUND FSE parte Nicanor quer completar o Sudoku abaixo, de modo que em cada linha (fileira horizontal) e cada coluna (fileira vertical) apareçam todos os números de a 6. Qual é a soma de todos os números que faltam para completar o Sudoku? partir das igualdades 8 8?, 6 8?, 7 4 8?, e ? N, podemos escrever 009 4? N? ( N ). Qual é o valor de N? erto banco brasileiro obteve um lucro de R$ 4,08 bilhões ao final do primeiro semestre de 008. Esse valor representa um aumento de,% em relação ao resultado obtido no mesmo período do ano passado. Qual é a soma dos dígitos do número inteiro que representa, em reais, o lucro desse banco no primeiro semestre de 007? 4 piscina do clube que Esmeralda frequenta tem a forma de um hexágono (polígono com seis lados), com um ângulo interno de 70º, os demais ângulos de 90º e os quatro lados menores com metros cada. Esmeralda costuma nadar pelo meio da piscina, a partir do ponto, descrevendo o trajeto representado, na figura, pelo ângulo reto, em que. erto dia, ela nadou por esse trajeto 4 vezes, isto é, foi e voltou vezes. Quantos metros ela percorreu? om o dinheiro que arlinhos tinha, poderia ter comprado 600 gramas de queijo ou 400 gramas de presunto. Usando esse dinheiro, ele resolveu comprar quantidades iguais de presunto e queijo. Quantos gramas de cada item ele comprou? SEGUND FSE parte Zezinho tem 7 cartões quadrados de lado 6 cm e cartões quadrados de lado 9 cm. Ele quer colar esses cartões lado a lado, sem sobrepô-los nem deixar buracos, formando quadrados maiores. a) presente, através de desenhos, duas maneiras diferentes de Zezinho construir um quadrado de lado 7 cm. b) Quantos cartões são necessários para construir o quadrado com a maior área possível? Para construir o arranjo triangular de letras ao lado, que tem 008 linhas, obedeceu- -se a uma certa regra. a) Quantas vezes a palavra OM aparece completamente na maior coluna desse arranjo? b) Quantas vezes a letra O aparece no arranjo? Em Ferius, os pontos do dominó vão de 0 a 7, ao contrário de um dominó comum, em que os pontos vão de 0 a 6. Uma peça do dominó de Ferius é chamada importante se a soma de seus pontos é par. Por exemplo, os seguintes dominós são importantes: a) Quantas peças diferentes possui o dominó jogado em Ferius? b) Quantas dessas peças são importantes? c) Qual é a soma dos pontos de todas as peças importantes? Nível (8 ọ e 9 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: L ES GO PI RN RS S No desenho temos E E E D. lém disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão α β? ) D) 4 6 Quantos números inteiros maiores que zero e menores que 00 possuem algum divisor cuja soma dos dígitos seja? ) 4 ) E)

14 Quantos dos números abaixo são maiores que 0?, 4 7,, 6, 7 ) ) ) D) 4 E) é igual a: ) 6 6 ) 6 )? D) 6 E) 4 Uma grande empresa possui 84 funcionários, e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. lém disso, 0% dos que falam Português também falam Inglês, e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas? ) ) 4 ) D) 6 E) 8 Edmílson, arlos e Eduardo ganharam um total de R$ 0,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de dinheiro. omo eles são muito amigos, decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isso, Edmílson deu metade do que ganhou para dividir em partes iguais entre arlos e Eduardo, porém, arlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$ 0,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$,00 a Edmílson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão? ) R$ 76,00 ) R$,00 E) R$ 00,00 ) R$,00 D) R$ 0,00 6 Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. média aritmética dos maiores é 68, e a média aritmética dos menores é 44. soma de todos os números é: ) 60 ) 04 ) D) 6 E) 70 7 Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado? ) 6 ) 8 E) 0 ) 7 D) 9 8 primeira fase da OM se realiza no dia 4 de junho, um sábado do ano bissexto 008. Daqui a quantos anos o dia 4 de junho será novamente no sábado? ) 4 ) ) 6 D) 7 E) 8 9 inco inteiros positivos, a, b, c, d, e, maiores que um, satisfazem as seguintes condições: ab ( c d e) 8 b( a c d e) c( a b d e) 0 da ( b c e) 4 e( ab c d) 7 Quanto vale a soma ab c d e? ) 9 ) 6 ) D) 6 E) 49 0 Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois algarismos aa, bc e cb são números primos, e aabccbaa. Se b< c, então bc é igual a: ) 9 ) 7 ) 7 D) 9 E) 9 Em um triângulo foi traçada a altura H. Sejam M e N pontos sobre os lados e, respectivamente, tais que HM é perpendicular a, e HN é perpendicular a. char MN, sabendo que o perímetro do triângulo órtico do triângulo é igual a 0. Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original. ) ) 6 ) 7 D) 8 E) 9 Quantos números inteiros positivos menores que 00 têm exatamente divisores inteiros positivos? ) 0 ) ) D) E) 4 Seja P(n) a soma dos algarismos pares do número n. Por exemplo, P( 4) 4 6. Qual o valor de P() P( ) P( )... P( 00)? ) 00 ) 60 ) 400 D) 900 E) 0 4 De quantas maneiras podemos dividir R$ 0,00 em moedas de 0 centavos e de centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada? ) ) 6 ) 7 D) 8 E) 9 Sejam a, b, c, d números inteiros tais que a < b, b < c, c < 4 d. Se d < 40, o maior valor possível de a será: ) 960 ) 99 ) 9 D) 94 E) 97 6 figura abaixo é um exemplo de um quadrado mágico de ordem 4. soma dos 4 números em cada linha, coluna e diagonal é 4. Então dizemos que a soma mágica deste quadrado mágico é 4. Suponha que exista um quadrado mágico de ordem 7, formado pelos números inteiros de a 49. Determine sua soma mágica. ) 7 ) 40 ) D) 90 E) 00 7 Observe que: , 4, Qual o menor valor possível da soma x y com x, y inteiros positivos tais que 4 84 x y? ) 89 ) 0 ) 4 D) 79 E) 0 4

15 8 Um número de três algarismos é 69 vezes menor que a soma de todos os outros números de três algarismos. Este número é: ) 40 D) 47 ) 78 E) ) 60 9 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir? ) 6 ) 0 E) 0 ) D) 60 0 Em um triângulo, 0 o e 0 o. Se I é o incentro (centro da circunferência inscrita), e O, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) do triângulo, qual a medida do ângulo IO? ) 0 o ) 0 o E) o ) o D) 40 o Uma classe tem alunos e 8 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? ) ) 4 E) 8 ) D) 6 Na figura abaixo os pontos,, são colineares, assim como os pontos D, E, F. s duas retas e DEF são paralelas. O grupo da última opa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados: Equipe Número de Pontos Áustria 7 rasil amarões 4 Dinamarca 0 Sabe-se que Áustria e amarões levaram apenas gol, cada um. lém disso, rasil e Dinamarca marcaram apenas gol, cada um, enquanto Áustria marcou gols. Qual o resultado da partida Áustria Dinamarca? Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor ganha pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha ponto. ) 0 ) ) 0 D) 0 0 E) Nada se pode afirmar. 4 baixo temos um quadrado mágico multiplicativo, onde o produto dos números em cada linha, coluna e diagonal é o mesmo e igual ao número de quatro dígitos D, onde cada letra representa um dígito, e cada casa contém um número inteiro. Se representa o número de dois dígitos no centro do quadrado, a soma D vale: 4 4 ) 7 ) 8 ) 9 D) 0 E) Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 7 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul? ) 6 ) ) 4 D) 6 E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis. D E F Sendo, e as áreas das regiões destacadas na figura, podemos afirmar que: ) D) < ) E)? ) > SEGUND FSE parte Sejam x e y números reais positivos satisfazendo as equações x y e x y. alcule o valor 8 de xy

16 Um viajante, que se encontrava perdido na floresta, andou metro para o Leste, metros para o Norte, para o Oeste, 4 para o Sul, para o Leste, 6 para o Norte,..., 006 metros para o Norte, 007 para o Oeste e 008 para o Sul. alcule, em metros, o valor inteiro mais próximo da distância entre as posições inicial e final do viajante. Os números a e b são as raízes da equação 7 x x 0. alcule? α? β. 4 Em um triângulo, seja D um ponto sobre o lado tal que D 4, D e D 4. Sabendo que o círculo circunscrito ao triângulo D tem raio igual ao do círculo circunscrito ao triângulo D, calcule a área do triângulo. Dado um número natural N, multiplicamos todos os seus algarismos. Repetimos o processo com o número obtido até obtermos um número com um algarismo. Este número será chamado de primitivo de N. Por exemplo, como?? 7 4 e 4? 8, concluímos que o primitivo de 7 é 8. alcule a soma dos algarismos do maior número natural com todos os algarismos diferentes cujo primitivo é ímpar. SEGUND FSE parte Encontre todos os triângulos retângulos, de lados com medidas inteiras, nos quais a área tem valor numérico igual ao do perímetro. No quadro negro são escritos os números,,, 4,..., 008. Pedro e Igor jogam um jogo onde eles apagam alternadamente um número por vez até sobrarem apenas dois números. Se a diferença entre estes dois números for múltiplo de 009, Igor vence. aso contrário, quem vence é Pedro. Sabendo que Pedro é o primeiro a jogar, diga quem possui a estratégia vencedora. Justifique sua resposta. Seja um triângulo acutângulo com. Seja E o pé da altura relativa ao lado e F o ponto médio do lado. Se E F 4, calcule a área do triângulo. 4 Um país tem 8 cidades,,,..., 6,,, ligadas por rodovias de mão dupla satisfazendo as seguintes condições: e são ambas ligadas às cidades,,..., 6, mas não são ligadas uma à outra;,,..., 6 são ligadas duas a duas. alcule o número de maneiras distintas de viajar de carro de a, sem passar duas vezes por uma mesma cidade. 6

17 XXIX OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI PROVS Nível (6 ọ e 7 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: L ES GO P PI RN RS S Observe as multiplicações a seguir: Qual é a soma dos algarismos do número obtido quando multiplicamos 0 pelo número? 007 algarismos ) 00 ) 007 ) 009 D) E) 4 04 Quantos números inteiros positivos de três algarismos têm a soma de seus algarismos igual a 4? Observação: lembre-se de que zeros à esquerda não devem ser contados como algarismos; por exemplo, o número 0 tem dois algarismos. ) 4 ) 6 ) 7 D) 0 E) Juntando dois retângulos iguais lado a lado, sem sobreposição, podemos formar dois tipos de figura: um quadrado de área igual a 44 cm ou um retângulo de largura diferente do comprimento. Qual é o perímetro deste último retângulo, em cm? ) ) 4 ) 48 D) 60 E) 7 4 figura ao lado é formada por dois quadrados de área 00 cm cada um, parcialmente sobrepostos, de modo que o perímetro da figura (linha mais grossa) é igual 0 cm. Qual é a área da região comum aos dois quadrados, em cm? ) 0 ) ) 0 D) 40 E) 0 soma de todos os números positivos ímpares até 007 menos a soma de todos os números positivos pares até 007 é igual a: ) 00 ) 004 ) 00 D) 006 E) Sílvia pensou que seu relógio estava atrasado 0 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava adiantado min. ristina pensou que seu relógio estava adiantado 0 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava atrasado min. Logo depois, as duas se encontraram, quando o relógio de Sílvia marcava 0 horas. Neste momento, que horas o relógio de ristina indicava? ) 9h0min ) 0 h E) 0h min ) 9h0min D) 0hmin 7 fração a, onde a e b são inteiros positivos, representa um número entre 0 e, na posição indicada b no desenho abaixo. Qual é um possível valor para a soma a b? 0 ) ) ) D) 4 E) 8 Em uma prova de olimpíada, % dos estudantes não resolveram nenhum problema, % resolveram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 6 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi: ) 00 ) 60 ) 9 D) E) 00 9 Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é : e entre o número de mulheres e crianças é 8 :. razão entre o número de adultos e crianças é: ) : ) 6 : ) : D) 40 : E) : 0 Na figura, o lado do triângulo equilátero é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x? D G x a b E ) 80 o ) 00 o E) 0 o ) 90 o D) 0 o F 7

18 Uma loja de Ds realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para nderlaine multiplicar todos os preços dos Ds por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo um desconto de: ) 68% ) 6,8% ) 0,68% D),% E) % Esmeralda e Pérola estão numa fila. Faltam 7 pessoas para serem atendidas antes de Pérola, e há 6 pessoas depois de Esmeralda. Duas outras pessoas estão entre Esmeralda e Pérola. Dos números abaixo, qual pode ser o número de pessoas na fila? ) 9 ) ) D) 4 E) Preenchemos as casas va- x 7 zias da tabela ao lado com o produto dos números que estão som- breados na mesma linha e na mesma coluna da casa 7 vazia a ser preenchida. Quantas dessas casas conterão números primos? ) 6 ) 7 ) D) 4 E) 6 4 O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três copos grandes iguais e mais meio copo pequeno ou desses copos pequenos iguais mais a metade de um daqueles grandes. Qual é a razão entre o volume de um copo pequeno e o de um grande? ) ) ) 7 D) E) Um código de barras é formado por barras verticais pretas de três larguras diferentes. Duas barras pretas sempre são separadas por uma barra branca, também com três larguras diferentes. O código começa e termina com uma barra preta, como no exemplo abaixo. onsidere um código S, formado por uma barra preta fina, duas médias e uma grossa, separadas por barras brancas finas. Quantos códigos S diferentes podem ser assim formados? ) 4 ) 6 ) D) 4 E) 6 6 No quadriculado abaixo, cada quadradinho tem cm. Os segmentos inclinados ligam pontos médios dos lados dos quadradinhos ou um vértice ao centro de um quadradinho. Qual é a área ocupada pela sigla OM, em cm? 7 Lina e Lana brincam da seguinte maneira: a primeira a jogar pensa em um número de 0 a 99 e diz apenas a soma dos algarismos do número; a segunda tem então que adivinhar esse número. Qual é o maior número de tentativas erradas que a segunda pessoa pode fazer? ) 7 ) 8 ) 9 D) 0 E) 8 nita imaginou que levaria minutos para terminar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade constante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua surpresa, levou minutos. om qual velocidade constante essa previsão teria se realizado? ) 90 km/h ) 00 km/h E) 0 km/h ) 9 km/h D) 0 km/h 9 O gráfico ao lado mostra o percentual de acertos numa prova de 60 testes de seis candidatos finalistas de um concurso. Qual foi o número médio de questões erradas 70% 60% 0% 40% 0% 0% 0% D E F por esses candidatos nessa prova? ) 4 ) 4 ) 0 D) E) o efetuar a soma 007 obtemos um número inteiro. Qual é o algarismo das unidades desse número? ) ) ) D) 7 E) 9 SEGUND FSE parte O número N contém somente os algarismos 0 e, de modo que o número de algarismos 0 entre dois algarismos é um ou dois, alternadamente. O número N tem exatamente 0 algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos do número N? Uma folha de papel tem 0 cm de comprimento por cm de largura. Dobramos essa folha ao meio, paralelamente à sua largura. Em seguida, dobramos a folha retangular dupla, de modo que dois vértices opostos coincidam. o desdobrar a folha, as marcas da segunda dobra dividem a folha em duas partes, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a área da parte escura, em cm? ) 8 D) 4 ) E) ) 8

19 Observe as igualdades a seguir: Qual é o valor de? 4 Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços restantes, na forma de um triângulo retângulo, foram feitos dois cortes, paralelos aos lados menores, pelos meios desses lados. o final sobrou um retângulo de perímetro 9 cm. O desenho abaixo indica a sequência de cortes. Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar num aparelho de ginástica. Esses discos têm massas,,, 4, e 6 quilogramas, respectivamente. Esmeralda pode combiná-los e obter outras massas, como, por exemplo: disco de kg disco de 6 kg 8 kg. Qual a maior quantidade de massas diferentes que ela pode obter? Observe como o quadriculado abaixo é preenchido. Em centímetros, qual era o perímetro da folha antes do corte? Um reservatório cúbico internamente tem metros de lado e contém água até a sua metade. Foram colocados no reservatório blocos retangulares de madeira, que não absorvem água, de dimensões centímetros. Sabendo que 80% do volume de cada bloco permanece submerso na água, calcule, em centímetros, a altura atingida pela água, no reservatório. 6 adição ao lado está incorreta. Entretanto, se substituirmos somente um certo algarismo a, toda vez que ele aparece, por um certo algarismo b, a conta fica correta. Qual é o valor de a b? SEGUND FSE parte área do quadrado D é 00 cm. Na figura, M é ponto médio de D, e o ponto F pertence à reta. M a) Qual é a área do triângulo F? b) Qual é a área do triângulo DF? a) Qual é a soma dos elementos da diagonal 9? b) Qual é o resto da divisão por 00 da soma dos elementos da diagonal 007? Nível (7 ọ e 8 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: L ES GO P PI RN RS S Observe as multiplicações a seguir: Qual é a soma dos algarismos do número obtido quando multiplicamos 0 pelo número? ) 00 ) 009 E) 4 04 ) 007 D) algarismos fração a, onde a e b são inteiros positivos, repre- b senta um número entre 0 e, na posição indicada no desenho ao lado. Qual é um possível valor 0 para a soma a b? ) ) E) ) D) 4 a b 9

20 Na figura, o lado do triângulo equilátero é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x? G D E ) 80 o ) 90 o ) 00 o D) 0 o E) 0 o 4 Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é : e entre o número de mulheres e crianças é 8 :. razão entre o número de adultos e crianças é: ) : ) 6 : ) : D) 40 : E) : Em uma prova de olimpíada, % dos estudantes não resolveram nenhum problema, % resolveram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 6 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi: ) 00 ) 60 ) 9 D) E) 00 6 Se N é o quadrado do quadrado de um número inteiro e tem como fator, o menor valor para N é: ) ) ) 6 D) 4 E) 08 7 O jardim da casa de Maria é formado por cinco quadrados de igual área e tem a forma da figura abaixo. Se 0 m, então a área do jardim em metros quadrados é: x F 0 De quantas maneiras diferentes podemos escrever o número 007 como soma de dois ou mais números inteiros positivos e consecutivos? ) ) ) D) 4 E) s equações do o grau 007x 008x 0 e x 008x têm uma raiz comum. Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns? ) 0 ) ) 007 D) 008 E) 007 Qual é o máximo valor que o número ab ( c) b( a c) pode assumir se a, b e c são inteiros satisfazendo a 0, b 0 e c 0? ) 80 ) 8 ) 84 D) 90 E) 00 quantidade de inteiros x com três dígitos tais que 6x e 7x possuem a mesma quantidade de dígitos é: ) 767 ) 87 ) 876 D) 974 E) 97 4 figura abaixo é formada por três quadrados de lado e um retângulo que os contorna. área do retângulo é: ) ) 4 ) 6 D) 6 E) 8 Se x é real positivo e (x x)(x x 6) = 8, então o valor de x(x ) é: ) 80 ) 0 ) 0 D) 8 E) 7 6 figura abaixo mostra um retângulo, um pentágono, um triângulo e um círculo, com áreas respectivamente, 8, 49 e centímetros quadrados. diferença entre a área preta e a área cinza, em centímetros quadrados, é: ) 00 ) 0 ) 00 D) 00 E) 00 8 Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero a satisfazendo as relações k b b c c c a a b. Qual é o número de possíveis valores que k pode assumir? ) 0 ) ) D) E) 4 9 Doze pontos estão sobre um círculo. Quantos polígonos convexos podemos formar com vértices nesses pontos? ) 4 07 ) 0 ) 4 09 D) 66 E) 7 ) ) 6 ) 49 D) 64 E) 8 7 s seguradoras de automóveis e cobram um valor anual (prêmio) mais um valor que o usuário deve pagar em caso de acidente (franquia). Jean quer fazer um seguro para seu automóvel e recebeu as seguintes propostas das seguradoras: Seguradora : Prêmio anual de R$ 00,00 e franquia de R$ 400,00; Seguradora : Prêmio anual de R$ 700,00 e franquia de R$ 700,00. Para valer a pena Jean contratar a Seguradora, ele não deve se acidentar com o carro por pelo menos N anos. O valor de N é: ) ) ) 4 D) E) 6 0

21 8 O desenho abaixo mostra um dado comum cujas somas das pontuações em faces opostas é sempre igual a 7. Ele é colocado em uma mesa horizontal com a face voltada para Leste. O dado é, então, movido quatro vezes. R Q Norte Leste Um movimento consiste em uma rotação de 90 o em relação a uma aresta. Depois do primeiro movimento a face em contato com a mesa passa a ser a, depois a, então a e, finalmente, a face. Para que sentido está voltada a face após esta sequên cia de movimentos? ) Oeste ) Leste ) Norte D) Sul E) ima 9 Uma avenida possui 00 prédios numerados de a 00, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua, e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. ssim, podemos afirmar que: ) quantidade de prédios com mais de 0 andares é maior do lado direito da rua. ) quantidade de prédios com menos de andares é maior do lado direito da rua. ) Pelo menos metade dos prédios possui 0 ou mais andares. D) Em ambos os lados da rua há a mesma quantidade de prédios com exatos 8 andares. E) Pelo menos % dos prédios possui menos de andares. 0 Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo que possui um dos lados com medida igual a? ) 8 ) 9 ) 0 D) E) Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor. ) 0h0 ) 0h40 E) 09h ) 06h0 D) 08h0 O máximo divisor comum entre os números,, 44, 4 4,..., é: ) ) ) 7 D) E) 0 Uma mesa de bilhar tem dimensões de metros por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos P, Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa, sua trajetória forma um ângulo igual ao que a trajetória anterior formava. S Uma bola, inicialmente a metro da caçapa P, é batida do lado SP em direção ao lado PQ, como mostra a figura. quantos metros de P a bola acerta o lado PQ se a bola cai na caçapa S após duas batidas na borda da mesa? ) ) 6 7 ) 4 D) E) 4 (nulada) onsidere todos os números abc de três algarismos, onde b = a c e a 0. diferença entre o maior e o menor destes números é um número: ) Múltiplo de ) Primo ) om último algarismo igual a 7 D) uja soma dos algarismos é 0 E) Múltiplo de 7 (nulada) Seja {a n } uma sequência na qual cada termo é definido como o dobro da soma dos algarismos do termo anterior, mais uma unidade. Por exemplo, se a n = 4, então a n = ( 4). Se, a =, o valor de a a a a 4 a é igual a: ) 44 ) 4 ) 64 D) 77 E) 84 SEGUND FSE parte Ludmílson descobriu que o produto da idade que tinha há anos atrás pela idade que terá daqui a anos é igual ao cubo de um número primo. Qual é a idade atual de Ludmílson? Sendo f(x) 00x, calcule o valor de 8 f( 0 ) f( 0 ) f( ) Na figura abaixo temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo equilátero, todos com a mesma medida de lado. R S Q T P P E D Determine a medida, em graus, do ângulo QE.

22 4 Um inteiro positivo K tem n algarismos e é igual a 608? n. Determine a soma dos algarismos de K. Em 949 o matemático indiano D. R. Kaprekar inventou um processo conhecido como Operação de Kaprekar. Primeiramente escolha um número de quatro dígitos (não todos iguais), em seguida escreva a diferença entre o maior e o menor número que podem ser formados a partir de uma permutação dos dígitos do número inicial. Repetindo o processo com cada número assim obtido, obtemos uma sequência. Por exemplo, se o primeiro número for 007, o segundo será O terceiro será omeçando com o número 998, qual será o 007-ésimo termo da sequência? SEGUND FSE parte O triângulo é retângulo em. Sejam I o centro da circunferência inscrita em e O o ponto médio do lado. Se OI = 4 o, quanto mede, em graus, o ângulo? Sejam a e b as raízes da equação quadrática (x )(x ) + (x )(x ) + (x )(x ) 0. Determine o valor de: ( a)( b) ( a)( b) ( a)( b) a) Determine a quantidade de divisores do número N =. b) Mostre que para todo número natural n, n n é múltiplo de 0. 4 Um quadrado 4 4 é dividido em 6 quadrados unitários. ada um dos vértices desses quadrados deve ser colorido de vermelho ou azul. che o número de colorações diferentes tais que cada quadrado unitário possua exatamente dois vértices vermelhos.

23 XXVIII OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI PROVS Nível ( ọ e 6 ọ anos) PRIMEIR FSE Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: ES RS RN P PE PI S Em um tanque há bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar as bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 0 h. pós 6 horas, havia no tanque 0 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando o tanque ficaria com 000 bolinhas? ) às h do dia seguinte ) às h do mesmo dia ) às 4 h do dia seguinte D) às 7 h do dia seguinte E) às 9 h do dia seguinte O gráfico a seguir apresenta informações sobre o impacto causado por 4 tipos de monocultura ao solo. Para cada tipo de monocultura, o gráfico mostra a quantidade de água, em litros, e a de nutrientes (nitrogênio, fósforo e potássio), em quilogramas, consumidos por hectare para a produção de kg de grãos de soja ou kg de milho ou kg de açúcar ou kg de madeira de eucalipto. Sobre essas monoculturas, pode-se afirmar que: cana-deaçucar -açúcar água soja milho eucalipto nutrientes ) O eucalipto precisa de cerca de da massa de nutrientes necessários de que a cana-de-açúcar precisa para se desenvolver. ) O eucalipto é a que mais seca e empobrece o solo, causando desequilíbrio ambiental. ) soja é a cultura que mais precisa de nutrientes. D) O milho precisa do dobro do volume de água de que precisa a soja. E) cana-de-açúcar é a que necessita do ambiente mais úmido para crescer. Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou jogos menos do que ganhou, em partidas jogadas. Quantas partidas o time venceu? ) ) 4 ) D) 7 E) 4 Efetuando as operações indicadas na expressão obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número? ) 4 ) ) 6 D) 7 E) 8 Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por? ) 8 ) 4 ) 8 D) 6 E) 48 6 Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal de R$,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por isso exatamente R$,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa de R$,0 cada minuto. mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de 00 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano de 60 minutos, e no primeiro mês ele falou durante 40 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 00 minutos, quantos reais ele teria economizado? ) 0 ) ) D) E) 4 7 Quantos triângulos isósceles têm como vértices os vértices do pentágono regular desenhado ao lado? ) D) 0 ) 0 E) ) 8 Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos? ) 7 ) 06 E) 680 ) 48 D) 46