Elementos de um Sistema Mecânico

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1 Elementos de um Sistema Mecânico 04 Elementos de um Sistema Mecânico INTRODUÇÃO Um sistema mecânico é composto por massas, molas e amortecedores, conectados entre si, ou a uma estrutura fixa O sistema mecânico mais simples, com apenas um grau de liberdade, também denominado sistema padrão, é composto de apenas uma massa, uma mola e um amortecedor Tal sistema servirá de modelo, daqui por diante, para a dedução da equação diferencial do movimento de sistemas com apenas um grau de liberdade A seguir, vamos estudar cada um dos componentes básicos de um sistema mecânico MOLAS Definição Entende-se por mola uma peça que possui flexibilidade elástica relativamente alta, isto é, que apresenta grandes deformações quando solicitada A rigor, no entanto, todas as peças possuem alguma flexibilidade, já que não existe o corpo totalmente rígido A mola opõe-se à força que a ela está aplicada, armazenando energia potencial elástica Classificação As molas podem ser classificadas, segundo o comportamento apresentado sob carregamento, em lineares e não-lineares Uma mola é dita linear quando as deformações que apresenta são diretamente proporcionais às cargas a que ela é submetida, ou seja, quando ela obedece à Lei de Hooke (o que equivale a dizer que ela obedece ao Princípio da Superposição dos Efeitos, conforme já foi visto) É nãolinear em caso contrário Se forem aplicadas cargas (excitações) conhecidas a uma mola e medidas as deformações (respostas) correspondentes, o gráfico obtido ilustra bem o conceito de linearidade, conforme mostra a fig, representativa de como varia a força F (ou o torque T, no caso de sistemas torcionais) em função do deslocamento translacional x (ou deslocamento torcional θ) Fig Tipos de molas

2 Elementos de um Sistema Mecânico Na fig, a mola linear é representada por uma reta, ao passo que as molas não-lineares têm dois tipos de representação Algumas molas não-lineares "endurecem" à medida que aumenta a solicitação, ou seja, é cada mais difícil deformá-las: são as chamadas molas duras, cuja representação gráfica é uma curva côncava para cima As molas não-lineares de comportamento oposto denominam-se molas macias e sua representação gráfica é contrária à das molas duras Existe uma pequena faixa na qual as molas não-lineares apresentam comportamento quase igual ao das molas lineares É a chamada faixa linear, que ocorre em torno de um certo ponto de equilíbrio, denominado ponto de operação Por esse motivo, o estudo das Vibrações Lineares assume um papel de destaque 3 Rigidez Flexibilidade A inclinação da curva (ver fig ) F = F(x) ou T = T(θ) em um determinado ponto recebe o nome de rigidez da mola: df dt k = = tgα ou k = = tgα () dx d θ onde α é o ângulo que a tangente geométrica no ponto faz com o eixo das abcissas No caso particular de mola linear, a inclinação α é constante e é usual chamar a rigidez, então, de constante da mola: k = F/x ou k= T/θ () Quanto maior o k da mola, maior é o esforço necessário para se obter o mesmo deslocamento, ou seja, mais rígida é a mola A unidade SI de rigidez é [N/m], se a mola for longitudinal, ou [Nm/rad], se a mola for torcional Neste trabalho serão consideradas apenas as molas lineares 4 Cálculo da Rigidez O cálculo da rigidez de uma mola pode ser feito experimentalmente ou teoricamente Experimentalmente, podemos aplicar sobre a mola cargas conhecidas e medir os deslocamentos correspondentes A seguir, aplicamos a equação () para cada par de carga e deslocamento e, após, calculamos um valor médio, representativo da faixa considerada Teoricamente, podemos calcular a rigidez através da aplicação de conhecimentos de Resistência dos Materiais Exemplo : Barra de tração Seja, por exemplo, uma barra submetida à tração F, apresentando uma deformação x, conforme fig A mola tem seção constante A, comprimento l e módulo de elasticidade longitudinal Fig Barra de tração

3 Elementos de um Sistema Mecânico 3 (Módulo de Young) E Calcular a sua rigidez Solução: Ao ser aplicada a força F, a barra sofre um alongamento x, dado por: Substituindo x na eq (): x = Fl EA EA k = l Vemos, portanto, que a rigidez não depende da carga a que é submetida, mas do material (E) e das dimensões (l, A) Exemplo : Barra de torção Deduzir uma expressão para a rigidez de uma mola do tipo barra de torção de comprimento l, momento de inércia polar constante I p, módulo de elasticidade transversal G, submetida a um torque T Solução: O ângulo de torção é dado por Tl θ = GI p Aplicando a definição de k e levando em conta essa última equação: k = T θ = T Tl GI p GI = l p 5 Associações de Molas É muito comum, na prática, encontrarmos duas ou mais molas associadas em um mecanismo A fim de obter o sistema mecânico padrão, no qual existe apenas uma mola, há necessidade de encontrar uma mola fictícia cuja rigidez seja equivalente à da associação dada As associações mais comuns são: molas em série, molas em paralelo, molas associadas com alavancas, molas inclinadas e molas associadas com polias 5 Associação Série Inicialmente, serão consideradas apenas duas molas em série A fig 3 mostra, à esquerda, duas molas em série de rigidezes conhecidas, k e k, submetidas a uma força de tração F e, à direita, uma mola equivalente fictícia submetida à mesma excitação

4 Elementos de um Sistema Mecânico 4 Fig 3 Molas em Série Desejamos encontrar a rigidez equivalente k Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, temos: deflexão da mola, devida à carga F: x = F/k deflexão da mola, devida à carga F: x = F/k deflexão total: Logo, como x = x + x : x = F/k / k = /k + /k (4) 5 Associação Paralela Aqui também serão consideradas duas molas em paralelo A fig 4 mostra, à esquerda, duas molas de rigidezes conhecidas, k e k, solicitadas por uma força de tração F, aplicada paralela e eqüidistantemente das molas Consideremos a existência de restrições laterais que obriguem as molas a se distenderem igualmente e que não permitam a rotação da barra sem massa sobre a qual atua a força F, assegurando ao sistema apenas um grau de liberdade À direita, temos o sistema equivalente Fig 4 Molas em Paralelo deflexão da mola : x = F /k deflexão da mola : x = F /k onde F e F são as cargas nas molas k e k equivalente: x = F/k, respectivamente Por outro lado, no sistema onde F = F + F Logo: kx = k x + k x Tendo em vista que a deflexão é a mesma, isto é: x = x = x, chegamos finalmente a k = k + k (5)

5 Elementos de um Sistema Mecânico 5 Observando as eq (4) e (5), vemos que as mesmas são idênticas, respectivamente, às fórmulas das associações série e paralelo de capacitâncias elétricas Logo, existe uma analogia eletromecânica entre capacitor e mola, o que não deve constituir surpresa, pois ambos são armazenadores de energia Tais analogias são muito úteis, sendo amplamente empregadas na análise de sistemas dinâmicos Podemos, pois, generalizar as equações acima para n molas: associação série: k = n i= k i (6) associação paralelo n k = (7) i= ki 53 Associação de Molas com Alavancas Neste tipo de associação está presente, além das molas, uma alavanca cuja massa é considerada desprezível A fig 5 mostra, à esquerda, o sistema mais simples, constando de apenas uma mola e de uma alavanca, considerada rígida e de massa desprezível, articulada no ponto O Na extremidade livre está aplicada a força de excitação F Tal associação é muito comum em sistemas mecânicos reais A suspensão independente de um automóvel, por exemplo, pode ser modelada por um sistema desse tipo (a menos do amortecedor): na fig 5, o ponto O seria o chassis, a alavanca OA seria a peça móvel (o braço oscilante) e a força F seria a reação do solo sobre a roda Desejamos obter o sistema padrão equivalente, mostrado à direita da fig 5 Notemos que a mola equivalente k é colocada no ponto de aplicação A da força F Fig 5 Sistema Mola e alavanca articulada Para a dedução da rigidez equivalente, consideremos a fig 6, na qual aparece o sistema já deformado: Fig 6 Sistema na posição deformada

6 Elementos de um Sistema Mecânico 6 Tomando momentos em relação ao ponto O: FL = k xa Sendo k a rigidez da mola equivalente: F = kx = k AA Por outro lado, a semelhança de triângulos permite escrever: Combinando as expressões acima, chegamos a: x a = AA L k = (a/l) k (8) A expressão acima pode ser melhor compreendida se levarmos em conta que a é a distância da mola dada ao centro de rotação e L é a distância da mola equivalente ao centro de rotação No caso geral de um sistema articulado possuir uma barra e n molas k i distantes a i (i =,,, n) do centro de rotação, podemos aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos e obter a fórmula geral: n i= 54 Associação Inclinada (ou Concorrente ou Radial) ai k = k i (9) L Consideremos um sistema com uma mola inclinada de um ângulo α com a direção do movimento da massa m, conforme mostra a fig 7 (a): Fig 7 Associação Inclinada Desejamos achar uma mola equivalente k, a ser colocada na direção x do movimento Logo, a força nesta direção é F x = kx enquanto que na direção x m da mola a força vale F = k x m Do triângulo hachurado da fig 7(a): F = F x /cosα Observando a fig 7(b), podemos considerar que, para pequenos deslocamentos x, o ângulo α praticamente não sofre modificação, o que permite escrever x = x m /cosα

7 Elementos de um Sistema Mecânico 7 Combinando as equações acima, podemos concluir que k = k cos α Caso existam n molas inclinadas k i de ângulos α i (i =,,, n) com a horizontal, podemos aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos e obter a fórmula geral: Observações importantes: n k = k i cos α (0) i= i () As fórmulas (4) a (0), deduzidas para molas translacionais, podem também ser usadas para molas torcionais, se utilizarmos a correspondência abaixo Mola longitudinal (translação) área da seção reta S massa m deslocamento retilíneo x força F módulo de Young E Mola torcional (rotação) Momento de inércia polar I p Momento de inércia J Deslocamento angular θ Torque T Módulo de elasticidade transversal G () Existem tabelas que fornecem as rigidezes para vários tipos de molas, como ilustra a Tab, abaixo Tab Rigidezes de Molas

8 Elementos de um Sistema Mecânico 8 Exemplo 3: Achar a rigidez equivalente do sistema da fig 8 Fig 8 Sistema de molas em série e em paralelo Solução: Este tipo de problema deve ser resolvido por passos Assim, podemos começar substituindo as molas em paralelo por suas equivalentes: A seguir, podemos combinar as molas em série de ambos os lados da massa, obtendo: Finalmente, combinamos essas duas últimas molas, que se encontram em paralelo: 3 AMORTECEDORES 3 Definição Chama-se amortecimento o processo pelo qual a energia é retirada do sistema elástico A energia é consumida por atrito entre as peças móveis do sistema e/ou pelo atrito interno entre as moléculas das peças do sistema, havendo uma dissipação de energia mecânica sob forma de calor e/ou som Um amortecedor, pois, é o componente do sistema mecânico que dissipa energia mecânica do mesmo, assim como o resistor é o componente do sistema elétrico que dissipa energia elétrica do mesmo Na modelagem consideramos que o amortecedor não tem nem massa e nem rigidez

9 Elementos de um Sistema Mecânico 9 3 Tipos de Amortecimento O amortecimento pode ser classificado em três tipos: 3 Amortecimento viscoso É o que mais ocorre na prática da Engenharia Ele resulta do atrito viscoso, isto é, aquele que acontece entre um sólido (uma peça) e um fluido viscoso (um óleo lubrificante, por exemplo) interposto entre as peças móveis do sistema mecânico Assim, o atrito que ocorre entre um eixo e o seu mancal de deslizamento, quando há lubrificação, é um atrito viscoso A força de atrito viscoso (ou resistência viscosa) é diretamente proporcional à velocidade relativa entre sólido e fluido Matematicamente, a resistência viscosa, F v, é dada por: Fv = c x () onde ẋ é a velocidade relativa entre sólido e fluido, e c é o coeficiente de proporcionalidade, denominado coeficiente de amortecimento viscoso A unidade SI de c v é [Ns/m] No caso de movimento de rotação, o torque de resistência viscoso T v é dado por T v = c θ () onde θ é a velocidade angular relativa entre sólido e fluido, e c v é o coeficiente de amortecimento viscoso A unidade SI de c, nesse caso, é [Nms/rad] O coeficiente de amortecimento viscoso c é o parâmetro característico de um amortecedor viscoso, do mesmo modo que a rigidez k é o parâmetro característico da mola Cada amortecedor viscoso tem o seu c característico Como o coeficiente de amortecimento viscoso está intimamente relacionado com a viscosidade do fluido, ele sofre a influência da temperatura: aumentos de temperatura implicam em queda do coeficiente de amortecimento viscoso Por esse motivo, verificamos que, no verão, os carros apresentam uma suspensão mais "macia", ao passo que no inverno, principalmente em dias muito frios, a suspensão do carro se apresenta mais "dura" Dados práticos de c podem ser encontrados em obras especializadas sobre amortecedores 3 Amortecimento seco Também denominado amortecimento constante ou de Coulomb É o que ocorre quando o atrito é seco, isto é, quando atritam entre si dois sólidos sem lubrificação Matematicamente, a força de atrito seco (também denominada força de Coulomb), F d, é dada por: F d = µn (3) onde µ é o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies em contato e N é a força normal entre as superfícies Obviamente, µ é adimensional Conforme podemos verificar facilmente, a força de atrito é constante, daí o nome de amortecimento constante

10 Elementos de um Sistema Mecânico 0 33 Amortecimento estrutural (ou histerético) É o que ocorre pelo atrito interno entre moléculas quando o sólido é deformado, fazendo com que a energia seja dissipada pelo material A medida do amortecimento estrutural é dada pela amplitude da tensão reinante durante a deformação Como exemplo de amortecimento estrutural pode-se citar o que acontece na estrutura de uma prensa mecânica logo após a pancada do martelo: parte da energia é consumida pelo atrito intermolecular na estrutura da máquina 3 Cálculo do Coeficiente de Amortecimento Viscoso O cálculo do coeficiente de amortecimento viscoso pode ser feito experimentalmente ou teoricamente Experimentalmente, podemos aplicar sobre o amortecedor cargas conhecidas e medir os deslocamentos correspondentes, bem como os intervalos de tempo necessários para as cargas percorrerem os ditos deslocamentos A seguir, aplicamos a eq () ou () e tiramos um valor médio para c, representativo da faixa considerada Teoricamente, podemos calcular o coeficiente de amortecimento através da aplicação de conhecimentos de Estática e de Mecânica dos Fluidos, conforme ilustra o exemplo a seguir Exemplo 4: Consideremos a fig 9, na qual um disco circular de raio R gira em um recipiente contendo óleo, estando separado do fundo do mesmo por uma camada de fluido de viscosidade absoluta µ e espessura t, sendo ω a velocidade de rotação do disco em relação ao recipiente estacionário Desejamos calcular o coeficiente de amortecimento do sistema Fig 9 Cálculo do Coeficiente de Amortecimento Solução: Para calcular o coeficiente de amortecimento viscoso c, suporemos o perfil de velocidades como linear, sendo a velocidade angular do fluido nula no contato com o fundo do recipiente e constante e igual a ω no contato com o disco Consideremos uma coroa circular elementar, distante r do centro (e, portanto, com comprimento πr) e de largura dr Logo, sua área vale da = πrdr A tensão de cisalhamento existente na superfície de contato sólido-fluido é, então: τ = df da dt = rπrdr

11 Elementos de um Sistema Mecânico onde dt = rdf é o torque elementar atuando sobre o elemento de área elementar da Por outro lado, sabemos da Mecânica dos Fluidos que a tensão de cisalhamento é dada por: τ = µ dv dz v = µ t ωr = µ t onde dv/dz é o gradiente de velocidades ao longo da espessura do fluido, considerado constante e igual a v/t, devido à linearidade assumida para o perfil de velocidades Igualando as duas equações acima: dt ωr = µ π r dr t ou πµω 3 r dt = dr t Integrando entre os limites 0 e R, chegamos a µπω = R t T 4 Para o caso de amortecedor viscoso torcional, c = T/ω, logo: µπ = R t c 4 3 Associações de Amortecedores Do mesmo modo que as molas, também os amortecedores podem estar dispostos em série, em paralelo, articulados ou inclinados Podemos demonstrar, de maneira semelhante à que foi feita para as molas, que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes são dados por fórmulas análogas às das rigidezes equivalentes das molas, isto é: associação série: c = n (4) i= c i associação paralela: c = c i (5) n ai associação articulada: c = ci (6) L i = n i= n associação inclinada: c = c i cos αi (7) i=

12 Elementos de um Sistema Mecânico 4 MASSAS E INÉRCIAS 4 Introdução O terceiro e último componente de um sistema elástico é a massa (ou a inércia dessa massa, no caso de movimento torcional) No nosso sistema padrão a massa (ou a inércia) é considerada como um corpo rígido, podendo ganhar ou perder energia cinética conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que normalmente surgem são: () existem várias massas no sistema e há necessidade de se encontrar uma massa equivalente, de modo a se obter o sistema padrão, com apenas uma massa; () existem vários eixos ligados entre si por engrenagens, correias ou correntes, etc, e há necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padrão, constando de apenas um eixo de rigidez, amortecimento e inércia equivalente, isto é, há necessidade de transferir rigidezes, amortecimentos e inércias de um eixo para outro; Para resolver tais problemas, devemos levar em conta que a massa ou inércia equivalente deverá desenvolver a mesma energia cinética do sistema original, ou, em outras palavras, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia A energia cinética de um sistema massa-mola translacional é dada pela expressão T = m x (8) onde m é a massa, em kg, e ẋ é a velocidade de translação da massa em m/s No caso de um sistema torcional, a energia cinética é dada por T = Jθ (9) onde J é o momento de inércia da massa, em kgm e θ é a velocidade angular da massa, em rad/s A seguir, serão estudados os dois problemas citados 4 Equivalência de Massas Cada caso deve ser tratado separadamente, porém sempre a partir da aplicação do Princípio da Conservação da Energia A destreza em simplificar sistemas complexos dependerá da resolução de um número razoável de exercícios O método será ilustrado através de exemplos Exemplo 5 - Em muitos casos, a massa da mola é desprezível na presença da massa do sistema Entretanto, em algumas situações, tal fato não é verdadeiro, devendo-se, então, calcular a massa equivalente à massa da mola que deve ser acrescentada à massa principal do sistema

13 Elementos de um Sistema Mecânico 3 Seja determinar a massa equivalente à massa da mola a ser adicionada à massa m do sistema da fig 0: Fig 0 Consideremos um elemento de mola dm s, de espessura dy e distante y da extremidade fixa da mola Então, a energia cinética desse elemento de mola será dada por dt = Considerando a velocidade do elemento de massa, dm s y ẏ, variando linearmente com y, então y y = x L onde L é o comprimento instantâneo da mola Levando na expressão da energia cinética e integrando, obtemos T = m s x 3 ou seja, a mola colabora com /3 da sua massa na formação da massa efetiva do sistema Exemplo 6 - Seja reduzir o mecanismo de comando de válvula de um motor de combustão interna, ilustrado na fig, a um sistema simples, constando apenas de uma massa, isto é, achar o valor da massa m A que, colocada no ponto A, represente todas as massas e inércias do sistema Fig A energia cinética do sistema é dada pela expressão seguinte, na qual também está considerada a massa da mola: T = J θ + m v (b θ) m s + (b θ) 3 = (J + mvb ms + b ) θ 3

14 Elementos de um Sistema Mecânico 4 onde temos, em seqüência, a energias cinéticas de rotação do balancim, de translação da massa da válvula e de translação da massa da mola Portanto, a massa equivalente m A a ser colocada no ponto A, considerando que x = a θ, vale ms J + mvb + b m 3 A = a Exemplo 7 - Consideremos o sistema da fig (a), onde uma barra articulada na extremidade O possui três massas colocadas nos pontos A, B e C Ao girar o sistema em torno do ponto O, as velocidades das três massas são as indicadas na figura Achar uma massa equivalente que, colocada no ponto A, tenha o mesmo efeito das três massas, conforme mostra a fig (b) Fig Solução Igualando a energia cinética das três massas à do sistema equivalente: m x + m x + m3 x3 = meq x Por outro lado, podemos expressar as velocidades das massas m e m 3 em função da velocidade da massa m : l l x = e = x l x3 3 x l as quais, substituídas na expressão acima, conduz, após simplificações, a l m + 3 eq = m + m( ) m3( ) l l l Exemplo 8 - Seja o sistema pinhão-cremalheira da fig 3, em que o pinhão de momento de inércia J 0 gira com velocidade angular θ acionando a cremalheira de massa m a uma velocidade linear x Achar: (a) massa equivalente translacional m eq ; (b) massa equivalente rotacional J eq Fig 3

15 Elementos de um Sistema Mecânico 5 Solução (a) Queremos um sistema com uma só massa equivalente translacional Igualando as energias cinética do sistema original e do sistema equivalente: m x + J 0 θ = m eq x Entretanto, x = R θ Logo, substituindo na expressão acima e simplificando: J m eq = m + R 0 (b) Queremos, agora, um sistema com uma só inércia equivalente rotacional Igualando as energias cinética do sistema original e do sistema equivalente: Entretanto, m x + J 0 θ = J eq θ x = R θ Logo, substituindo na expressão acima e simplificando: J = J + mr eq 0 43 Acoplamento de Rotores Muitos mecanismos empregam eixos com massas girantes (engrenagens, discos, polias, etc), acoplados entre si por meio de engrenagens, correias, correntes, etc Nesses casos, há necessidade de referir as inércias, os amortecimentos e as rigidezes a um dos eixos de rotação, o qual constituirá a coordenada para o sistema padrão Um exemplo bastante familiar é o redutor de velocidades ilustrado na fig 4 (a) Na fig 4 (b) aparece o sistema padrão correspondente Por simplicidade, vamos considerar que as engrenagens têm inércias desprezíveis em comparação com as inércias do motor (J ) e da carga (J ) As velocidades de rotação dos eixos do motor e da carga valem, respectivamente, ω e ω As engrenagens têm número de dentes z e z, conforme mostra a fig 4(a) Queremos referir todo o sistema em relação ao eixo do motor Fig 4

16 Elementos de um Sistema Mecânico 6 A fig 4(b) ilustra o sistema padrão baseado no eixo do motor A inércia do motor, J, pelo fato de já estar localizada nesse eixo, não sofre alteração Já a inércia da carga, J, deverá ser transferida para o eixo do motor Quanto às rigidezes à torção, a rigidez k não sofre alteração, pois o eixo correspondente já está no eixo do motor, mas a rigidez k deverá ser transferida para o eixo do motor As expressões que permitem a transposição das rigidezes e das inércias são deduzidas, também, a partir do Princípio da Conservação da Energia Para o caso das inércias, aplicamos o Princípio da Conservação da Energia Cinética Em geral, dados dois eixos acoplados, e : logo T = T J ω = J ω ω J = J (0) ω Portanto, dado o momento de inércia J da massa situada no eixo e conhecidas as velocidades de rotação dos eixos e, podemos calcular o momento de inércia J da massa que, colocada no eixo, equivale ao momento de inércia J Para o caso das rigidezes, consideremos que o eixo tenha rigidez à torção k e gire com velocidade de rotação ω Para calcular a rigidez à torção equivalente k no eixo (girando com velocidade de rotação ω ) acoplado ao eixo, aplica-se o Princípio da Conservação da Energia potencial elástica armazenada nos eixos: V = V k = θ k θ logo θ k = k θ onde θ e θ são os ângulos de deformação por torção dos eixos e, respectivamente Admitindo uma proporção entre os ângulos de deformação e as velocidades de rotação, podemos escrever: ω k = k () ω Assim, dada a rigidez à torção do eixo (que gira com velocidade ω ), podemos calcular a rigidez à torção que, colocada no eixo (que gira com velocidade ω ), é equivalente à rigidez à torção k Embora no exemplo acima não tenha sido considerado o amortecimento, podemos mostrar que as fórmulas acima são válidas para os coeficientes de amortecimento, isto é, dado o coeficiente

17 Elementos de um Sistema Mecânico 7 de amortecimento do eixo (que gira com velocidade ω ), pode-se calcular o coeficiente de amortecimento que, colocada no eixo (que gira com velocidade ω ), é equivalente ao coeficiente de amortecimento c : ω c = c () ω EXERCÍCIOS Determinar a rigidez à torção do eixo oco da figura Resp: 3,05 x 0 4 Nm/rad Achar a rigidez de uma viga horizontal bi-apoiada de comprimento l, momento de inércia da seção reta constante I, módulo de Young E, submetida a uma carga vertical concentrada F, no meio do vão Resp: k = 48EI 3 l 3 Idem Exercício, porém agora a viga está engastada e sendo submetida a uma carga vertical concentrada F, na extremidade livre Resp: 3EI l 3 4 Achar a rigidez de uma mola helicoidal com N espiras ativas, diâmetro do arame d, raio médio da espira R, módulo de elasticidade transversal G, quando submetida a uma carga axial F Obs: obter o valor da deformação da mola em livros de Resistência dos Materiais ou de Elementos de Máquinas 4 Gd Resp: k = 64nR 3

18 Elementos de um Sistema Mecânico 8 5 A figura mostra um acoplamento flexível: um anel de borracha (espessura t, raio externo r o, raio interno r i, módulo de rigidez transversal G) unindo dois eixos Calcular a rigidez do acoplamento Resp: k = π G 4 4 [ ] r t o r i 6 Achar a rigidez equivalente do sistema da figura Resp: k = k + k (a/b) 7 Achar a rigidez equivalente do sistema da figura 48EIk Resp: k = 3 48EI + k L 8 Achar a rigidez equivalente do sistema da figura Dado: barras de torção de aço, módulo de elasticidade transversal = 8,75 x 0 0 N/m Resp: k = 3097 Nm/rad

19 Elementos de um Sistema Mecânico 9 9 A figura mostra um tipo de acoplamento bastante usado (embreagem seca, por exemplo), o qual consiste de n molas helicoidais de rigidez k, colocadas a uma distância r dos eixos acoplados Calcular a rigidez total do acoplamento, k eq πg 4 r Resp: k = t [ 4 r ] o i 0 A figura mostra duas placas paralelas, de área A, separadas por uma película de óleo de viscosidade absoluta µ e espessura t A velocidade relativa entre elas é v Calcular o coeficiente de amortecimento c Resp: µ A c = t Um amortecedor é composto por um pistão de diâmetro D e comprimento L, que se desloca dentro de um cilindro A folga radial entre pistão e cilindro é t e entre eles existe um óleo de viscosidade µ Calcular o coeficiente de amortecimento do amortecedor Resp: c = πdlµ/t

20 Elementos de um Sistema Mecânico 0 Considere o amortecedor da figura Sendo µ a viscosidade do fluido, calcular o coeficiente de amortecimento viscoso devido apenas à parte lateral do amortecedor Resposta: 3 πµ r l c = h 3 Determinar a massa m o que, colocada ponto O, equivale à barra cuja massa é m, conforme figura Dado: J cg = ml / T = T = J m θ o x m = [J cg Solução + m( l nl) ] θ = mo (nl θ) = m logo, simplificando: o = m n [ + ( n) ] o n l θ 4 Um motor, de inércia J = kgm, aciona um compressor, de inércia J =,4 kgm, através de um redutor de velocidades cuja inércia é desprezível, conforme figura 4 do texto Calcular a rigidez e as inércias do sistema, em relação ao eixo do compressor Dados: eixo : aço, G = 8,4 0 0 N/m, diâmetro 40 mm, comprimento m; eixo : aço, G = 8,4 0 0 N/m, diâmetro 50 mm, comprimento 0,75m; velocidade de rotação do eixo (compressor) = / da velocidade do eixo (motor)

21 Elementos de um Sistema Mecânico K K J eq ' ω J = J( ) ω 0 8,4x0 K = =,4 kgm 4 4 (já está no eixo ) ω = x( ) ω / Solução πx0,040 3 = 0 Nm/rad 0 πx0,050 8,4x0 = 3 = 6870 Nm/rad 0,75 ω ω = K + K( ) = x ( ) ω ω / = 4 kgm = 5300 Nm/rad 5 O acionamento turbina-gerador abaixo tem as seguintes características: Momento de inércia da turbina: 3500 kgm Momento de inércia do pinhão: 50 kgm Momento de inércia da coroa: 700 kgm Momento de inércia do gerador: 5400 kgm Rigidez do eixo da turbina:, x 0 6 Nm/rad Rigidez do eixo do gerador:,8 x 0 6 Nm/rad Velocidade de rotação do eixo da turbina: 5400 rpm Velocidade de rotação do eixo do gerador: 800 rpm Achar um sistema equivalente em relação ao eixo da turbina Resp: Da esquerda para a direita: inércias: 3500 kgm ; 350 kgm ; 600 kgm rigidezes:, x 0 6 Nm/rad; 0, x 0 6 Nm/rad 6 Sendo J o momento de inércia da polia em relação ao seu eixo de rotação, calcular a massa, a rigidez e o coeficiente de amortecimento equivalentes, em relação à coordenada x Resp: m + J/9r ; c/9; 3k

22 Elementos de um Sistema Mecânico 7 Com relação ao exercício 6, calcular a inércia, a rigidez e o coeficiente de amortecimento equivalentes, em relação à coordenada θ Resp: I + 9mr ; cr ; 7kr