A CONSTRUÇÃO DO SIGNIFICADO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO

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1 OLIVEIRA, Izabella; PESSOA, Cristiane & BORBA, Rute. A construção do significado de problemas de divisão. Anais do Encontro Pernambucano de Educação Matemática - EPEM. Recife, UFPE, A CONSTRUÇÃO DO SIGNIFICADO DE PROBLEMAS DE DIVISÃO Izabella A. F. G. de Oliveira Cristiane Azevêdo dos Santos Pessoa Rute Elizabete Souza Rosa Borba Resumo A literatura vem mostrando que as crianças apresentam dificuldades ao resolver problemas de divisão. Diante disso, questiona-se qual a origem dessas dificuldades. A partir deste questionamento busca-se investigar como futuros professores compreendem a lógica destes problemas e como se dá a relação da pergunta do problema com o resultado obtido através da conta. Neste estudo foram investigados 88 alunos de cursos de formação de professores, em suas habilidades para resolver problemas de estrutura multiplicativa envolvendo divisão. Cada aluno respondeu individualmente 5 problemas. Observamos que os tipos de problemas nos quais os sujeitos apresentaram maiores dificuldades, são aqueles em que a resposta da conta não é a resposta do problema, necessitando, neste caso, que o sujeito volte à pergunta para poder chegar ao que o problema pede. A resolução de problemas A introdução de um conceito matemático na escola, comumente, dá-se através do estudo de algoritmos prontos e institucionalizados. Estas atitudes normalmente geram dificuldades referentes à compreensão do cálculo relacional dos problemas, pois aprender regras mágicas que poderão ser utilizadas em qualquer situação, nem sempre é o caminho para a aquisição de um conceito. Quando é permitido a criança que ela possa criar representações próprias, para caminhar em um novo conhecimento, de modo significativo, esse saber torna-se manipulável por ela e possível de ser utilizado em diferentes situações e 1

2 sob diferentes formas, utilizando-se assim, das idas e vindas que a construção de um conhecimento proporciona. Carpenter (1985), observou que as crianças que se destacam como melhores na resolução de problemas matemáticos além de os representarem, também são capazes de manipular estas representações. Para que se possa considerar uma representação simbólica como eficiente, Vergnaud (1982), apresenta dois critérios: primeiro, a representação deve ajudar os sujeitos a resolver os problemas que de outra forma, não seria possível para eles, e o segundo é que a representação simbólica deve ajudá-los, também, na diferenciação das diversas estruturas ou classes. Com isso, as representações simbólicas, enquanto facilitadoras, tendem a auxiliar na resolução desses problemas, para que não ocorra a aplicação mecânica de uma determinada regra aprendida anteriormente. O entendimento do problema está presente na sua transformação e na manipulação dos símbolos matemáticos. De forma semelhante, Brousseau (1987), afirma que o aluno que pode compreender, pode raciocinar a respeito de seu saber, analisá-lo e/ou combinálo com outros saberes. O ensino das operações matemáticas em geral, está baseado na comunicação de um procedimento de cálculo associado posteriormente a um pequeno universo de problemas que, supõe-se darão conta do significado do conceito. Os algoritmos isolados de seus conceitos, se convertem em respostas adquiridas para perguntas futuras a respeito das quais não se sabe muito, (Saiz 1996). Neste sentido, não há uma apropriação das variáveis envolvidas no problema, mas sim uma manipulação dos dados numéricos na intenção de que um algoritmo seja bem utilizado, transformando, muitas vezes, a resolução de problemas na adivinhação de qual é a operação adequada a ser utilizada e na aplicação do algoritmo correspondente. Brousseau (1983), define contrato didático como: o conjunto de comportamentos (específicos) do professor que são esperados pelos alunos, e conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor, que regulam o funcionamento da aula e a relação professor aluno saber, definindo assim os papéis de cada um e a repartição das tarefas: quem deve fazer o quê?, quais são as finalidades e os objetivos?.... 2

3 Henry (1991), coloca que as regras de contrato didático, vigentes "implicitamente" no ensino fundamental, em matemática, comumente, são as seguintes: Em matemática um problema se resolve fazendo operações. A tarefa consiste em encontrar a "boa" operação e realizá-la sem erro. Pelo uso de algumas palavras, o enunciado permite adivinhar a operação a ser feita. Para resolver um problema, é necessário encontrar os dados no enunciado; todos os dados necessários devem estar no enunciado, que não deve conter dados supérfluos. Os números são simples e as soluções também devem ser, senão é bem provável que se esteja enganado. De qualquer forma existe sempre uma resposta ao problema e o professor a conhece. Deve-se então dar uma resposta que será corrigida. Este tipo de contrato didático, geralmente leva a erros na compreensão dos cálculos relacionais, em detrimentos dos numéricos. Segundo Vergnaud (1991), compreender os cálculos relacionais envolve a consideração da atividade matemática no contexto de uma situação-problema, neste caso, uma mesma expressão proposta pode trazer relações de diferentes naturezas, dependendo da estrutura do problema. Enquanto que os cálculos numéricos ocorrem pela mobilização e resolução de um algoritmo, sem haver necessariamente conexão com aspectos semânticos e estruturais de uma situação-problema, e por isso não estabelecendo relações implícitas no cálculo. As práticas, relacionadas as regras de contrato didático citadas anteriormente, que são comumente utilizadas, são legitimadas a partir do momento que os alunos que foram sujeitos delas se tornam professores. As utilizando de maneira, muitas vezes, inconsciente. Este contrato didático, estabelecido em sala de aula, é tão forte e tão implícito, que os professores, muitas vezes, não conseguem separar aquilo que aprenderam para ensinar, nos cursos de formação, da prática na qual foram sujeitos por tantos anos, enquanto alunos, utilizando-as da mesma maneira que os seus professores utilizavam com ele. Problemas de divisão Na escola, geralmente, para saber se os alunos sabem dividir é suficiente que lhes seja dado como tarefa a resolução de várias contas e que sejam verificados os resultados 3

4 obtidos nelas. Os algoritmos utilizados são reconhecidos socialmente e fáceis de serem controlados pelo professor. Os pais, consequentemente, conseguem saber se seus filhos aprenderam, ou não a dividir. (Saiz, 1996). Daí questiona-se, se saber fazer conta é sinônimo da compreensão do sentido da divisão. Selva (1997), em um estudo realizado com crianças em idade entre 5 e 8 anos, onde as mesmas eram solicitadas a resolver problemas de divisão que apresentavam resto diferente de zero, utilizando-se de diferentes materiais, verificou que os problemas que apresentavam resto geravam maiores dificuldades e que esse resto da divisão era tratado pelos alunos como um problema independente. Nesse sentido, a compreensão do que é o resto, requer daquele que está resolvendo o problema, que este tenha, a princípio, se apropriado do sentido do problema, caso contrário, o resto será apenas um número a ser dividido, ou a ser deixado de lado, não fazendo, pois, parte da resposta do problema. A partir do que encontramos na literatura, percebemos que há uma dificuldade das crianças na compreensão dos problemas que envolvem divisão. Geralmente é questionado o por quê desta dificuldade em resolver estes problemas. É verdade que dispomos de um algoritmo eficaz e rápido, válido para todos os números. Porém, o que acontece nas escolas com crianças que em princípio já aprenderam a dividir? Será que elas aprenderam realmente a dividir, ou só sabem aplicar regras prontas? Por que é que estas crianças não compreendem a lógica dos problemas de divisão? A partir desses questionamentos surgem questões como: Será que os professores dessas crianças sabem resolver os problemas os quais elas apresentam dificuldades? Como conseguem manipular suas representações? Compreendem ou apenas aplicam regras prontas? Que tipo de estratégias eles utilizam no momento de resolver os problemas? Metodologia Neste estudo foram investigados 88 alunos de cursos de formação de professores, em suas habilidades para resolver problemas de estrutura multiplicativa, envolvendo divisão. Foram utilizados os mesmos problemas de um estudo que Saiz (1996) realizado com crianças de 5ª e 6ª série. 4

5 Foram apresentados coletivamente para os sujeitos 5 problemas de divisão, onde 3 tinham resto exato e 2 resto inexato, os problemas foram resolvidos individualmente. Categorias de classificação das resposta Categoria A em branco; Categoria B procedimento inadequado, onde o sujeito utiliza-se de estratégias que não correspondem à lógica da divisão; Categoria C reconhece que o problema é de divisão, porém faz um cálculo incorreto; Categoria D reconhece que o problema é de divisão, realiza o cálculo corretamente, de forma convencional e dá a resposta correta; Categoria E reconhece que o problema é de divisão, realiza o cálculo corretamente, de forma convencional e dá a resposta incorreta; Categoria F reconhece que o problema é de divisão, realiza o cálculo corretamente, de forma não-convencional e dá a resposta correta; Categoria G reconhece que o problema é de divisão, realiza o cálculo corretamente, de forma não-convencional e dá a resposta incorreta; Resultados Análises das estratégias de divisão: Problema 1- O padeiro coloca os pães no forno em tabuleiros de 24 pães cada um. Hoje amassou 293 pães. Quantos tabuleiros precisará para colocá-los todos no forno? Ao analisarmos este problema, percebemos que a maioria dos sujeitos, aproximadamente 74%, identificam que o problema é de divisão, fazem um cálculo correto, mas dão uma resposta errada, (categoria E). Eles resolvem a conta corretamente, fazendo o seguinte cálculo: (293 : 24 = 12, com resto = 5) Só que eles não percebem que o resto (5 pães), tem que ser colocado em mais um tabuleiro, mesmo que não seja completo, para que possa ser cumprida a pergunta do problema (13 tabuleiros). 5

6 Esse tipo de procedimento é bem característico de um grupo de alunos que não estão muito preocupados em qual é a história do problema, mas sim que problemas tem que ser resolvidos com contas e que a resposta do problema; é a resposta da conta, sem levar em consideração as variáveis envolvidas no problema, transformando relações entre variáveis, em relações entre números. Outra estratégia que conseguimos identificar na análise desse problema, é quando os sujeitos identificam que o problema é de divisão, fazem uma conta de maneira não convencional e dão uma resposta correta (categoria F). Dentro dessa categoria de resolução chamada de não convencional, nós podemos identificar a seguinte estratégia, descrita a seguir: Resolução através de aproximações sucessivas, é quando os sujeitos vão fazendo aproximações, utilizando-se de operações de multiplicação e/ou adição para chegarem ao resultado do problema. Os sujeitos utilizam, o que seria o divisor na conta de divisão, até encontrar o valor correspondente ao que seria o dividendo e depois conta quantas vezes apareceram o divisor. (24 x 10 = 240; = 48; = = 293; serão necessários 13 tabuleiros); ( = 48; = 96; = 192; = 240; = 264; = =293). Problema 2- Para o carnaval foram feitos colares de 17 contas cada um. Quantos colares iguais se pode fazer com 221 contas? Problema 3- Um fio de 8,70 m de comprimento foi cortado em 6 pedaços de mesmo comprimento. Qual é esse comprimento? Problema 4- Um vendedor de vinho quer colocar 1872 garrafas em 104 caixas. Quantas garrafas terá que colocar em cada caixa? Na análise dos problemas 2, 3 e 4 todos os sujeitos resolvem os problemas através da utilização do algoritmo da divisão e apresentam, na sua maioria, respostas corretas (categoria D). Acreditamos que isso ocorra devido ao fato de todas as contas não apresentarem resto e por nesses casos, a resposta da conta ser também a resposta do problema, não necessitando que os sujeitos voltem ao problema para adequar a sua resposta como ocorre no problema 1. 6

7 Problema 5- João tem que trabalhar esta semana 29 horas. Quantas horas precisa trabalhar por dia se que ir à firma somente 4 dias e permanecer cada um deles a mesma quantidade de horas? Neste problema como no problema 1, acontece um algoritmo correto e uma resposta errada, novamente por causa do resto da divisão. O cálculo encontrado é o seguinte: (29 : 4 = 7, com resto 1). O resto 1, representa uma hora e não apenas o algarismo 1 como muitos dos sujeitos pensam. Isso nos leva a questionar a função do algoritmo, pois como foi dito anteriormente, saber fazer conta, não significa a apropriação do sentido do problema. Análise dos problemas por categoria Problema 1- O padeiro coloca os pães no forno em tabuleiros de 24 pães cada um. Hoje amassou 293 pães. Quantos tabuleiros precisará para colocá-los todos no forno? percentual de utilização 100% 80% 60% 40% 20% 0% A B C D E categorias F G Neste problema, observa-se uma grande utilização da Categoria E, onde o cálculo é feito corretamente, mas a resposta é incorreta, mostrando que muitos sujeitos não constróem uma significação sobre o problema, pois acreditam que a resposta da conta obtida, é a resposta a pergunta do problema. Apenas um pequeno percentual de sujeitos respondem corretamente o problema. 7

8 podem ser feitos. Problema 2- Para o carnaval foram feitos colares de 17 contas cada um. Quantos colares iguais Percentual de acertos 100% 80% 60% 40% 20% 0% A B C D E Categorias F G Percebemos que neste problema, não aparece a Categoria E, diferentemente do que ocorreu com o problema 1, pois este problema, não necessita de uma volta à pergunta inicial, como ocorreu anteriormente, ou seja, não é necessário construir relações mais refinadas, pois o resultado da conta já é a resposta do problema. Problema 3- Um fio de 8,70 m de comprimento foi cortado em 6 pedaços de mesmo comprimento. Qual é esse comprimento? 100% Percentual de Utilização 80% 60% 40% 20% 0% A B C D E F G C ategorias No problema 3, como ocorre com o problema 2, há uma grande utilização da Categoria D, mostrando que não é necessária uma volta à pergunta, havendo pois, um maior número de acertos, pois o resultado do algoritmo requer apenas a utilização dos números que aparecem no problema. O aparecimento da Categoria C, nesse problema, acreditamos, que se dê ao fato de que os números sejam decimais. Para fazer a conta os sujeitos os precisariam tê-los transformados em números inteiros e após encontrarem a resposta transformá-los, 8

9 novamente em decimais para poderem dar a resposta. Essa transformação, acreditamos passou desapercebida. O surgimento da Categoria A, categoria onde os sujeitos não respondem ao problema, seja porque o problema envolve números decimais. Problema 4- Um vendedor de vinho quer colocar 1872 garrafas em 104 caixas. Quantas garrafas terá que colocar em cada caixa? Percentual de utilização 100% 80% 60% 40% 20% 0% A B C D E F G Categorias No problema 4, como ocorre com os problemas 2 e 3, há uma grande utilização da Categoria D, mostrando que nos problemas em que não é necessária uma volta à pergunta, há um maior número de acertos, pois o resultado do algoritmo requer apenas a utilização dos números que aparecem no problema. Nesses problema, também surge a Categoria A, levando-nos a levantar a hipótese de que isso ocorre porque esse problema apresenta números altos na sua conta, fazendo assim com que os sujeitos deixem em branco, ou façam uma conta incorreta o que justifica, também, o aparecimento da Categoria C. Problema 5- João tem que trabalhar esta semana 29 horas. Quantas horas precisa trabalhar por dia se que ir à firma somente 4 dias e permanecer cada um deles a mesma quantidade de horas? Percentual de utilização 100% 80% 60% 40% 20% 0% A B C D E F G Categorias 9

10 No problema 5, ao contrário do que ocorre com os problemas 2, 3 e 4, utiliza-se mais a Categoria E, refletindo que neste problema os sujeitos acertam o cálculo e erram a resposta, pois esse problema, como ocorreu com o problema 1, é necessário que se volte a pergunta do problema para que se possa chegar a sua resposta. A resposta da conta é (29 : 4 = 7,25), só que esse resultado representa um divisão feita em base 10, porém o problema exige que a resposta seja dada em horas/minutos (base 60), para tanto é necessário que o sujeito perceba esse fato, e faça essa transformação. Encontrando como resposta do problema 7:15 minutos. Perceber que 7,25 é uma resposta ruim, necessitará que o sujeito tenha se apropriado do significado do problema e aceite que a sua resposta, será diferente da resposta da conta obtida. Considerações Finais Percebemos que esses sujeitos apresentam dificuldades em estabelecer relação entre o resultado obtido na conta e a pergunta do problema, demonstrando dificuldade em cálculos relacionais. Para esses sujeitos, saber fazer a conta, não foi suficiente para acertarem a resposta. Quando os problemas apresentavam resto, para acertá-los, os sujeitos precisariam compreender o que significa este resto, para poder incorporá-lo, significativamente, na sua resposta, não apenas vendo-o como um número no algoritmo. Acreditar que a resposta da conta, é sempre a resposta do problema, faz parte de um contrato didático, que está estabelecido a muito, e que é reforçado pelos problemas apresentados no livros didáticos e pela prática de muitos professores. Pois como foi dito anteriormente, os sujeitos que fazem parte desse estudo, serão futuros professores e acreditamos que suas práticas sejam reflexos de suas crenças pedagógicas. Apesar de ser deixada livre a estratégia que os sujeitos poderiam utilizar para resolver cada problema, poucos deles usam estratégias que nós chamamos aqui de não convencionais, estratégias diferentes do algoritmo da divisão. Acreditamos que isso acontece, pelo fato dos sujeitos, analisados nesse estudo, serem adultos, já bem acostumados com os algoritmos escolares, e acharem que esses algoritmos, sejam mais 10

11 fáceis de serem utilizados, mesmo que outras maneiras de representação pudessem ser mais significativas. Questiona-se na escola, o ensino desses algoritmos formais como o primeiro passo no ensino de um determinado assunto, pois como diz Saiz (1996), o ensino das operações matemáticas em geral, está baseado na comunicação de um procedimento de cálculo e não no estabelecimento de relações inerentes aos problemas. Muitas vezes, os problemas são vistos apenas como veículos para o treinamento de algoritmos ensinados e não como ferramenta de auxílio na construção de conceitos, acarretando com isso erros do tipo que encontramos nesse estudo, referentes ao cálculo relacional. É necessário, ainda, observar como futuros professores resolvem problemas em outras situações, e quais estruturas lógicas estão sendo utilizadas na resolução dos problemas, pois isso não foi possível de ser observado a partir dos nossos protocolos. Referências BROUSSEAU, G. Representations et didactique du sens de la division, in Didactique et aquisitions des connaissances scientifiques. Paris, Actes du Colloque de Sévres, 1987 CARPENTER, T. Learning to add and subtract: An exercise in problem solving. Em E.A.Silver (ed.) Teaching and learning mathematical problem solving. Hillsdale,N.J.: Lawrence Earlbaum, HENRY, M. Erreus et obstacles In: Didactique des mathématiques. Une présentation de la didactique en vue de la formation des enseignants. IREM de Besançon, SAIZ, I. & PARRA, C. Orgs. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir, in: Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Artes Médicas, Porto Alegre,

12 SELVA, A.C.V. O que fazer com o resto da divisão? Uma análise das estratégias utilizadas, Coleção EPEN XIII Encontro de Pesquisa Educacional do Nordeste, volume 3, EDUFRN, RN, VERNGAUD, G. A classification of cognitive tasks and operations of thought involved in Addition and Subtraction.In:T.P.Carpenter;J.M.Moser & T.A.Romberg (Eds). Addition and Subtraction: A cognitive perspective. Hillsdale,N.J.: Lawrence Earlbaum, VERGNAUD, G. El ninõ, las matemáticas y la realidad problemas de la ensenanza de las matemáticas em la escuela primaria. Editorial Trillas, México,