Sónia da Costa Ferreira Almeida. Utilização de Maplets para a interpretação gráfica de. Sistemas de Lindenmayer

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1 Sónia da Costa Ferreira Almeida Utilização de Maplets para a interpretação gráfica de Sistemas de Lindenmayer Departamento de Matemática Pura da Universidade do Porto Outubro / 2007

2 Sónia da Costa Ferreira Almeida Utilização de Maplets para a interpretação gráfica de Sistemas de Lindenmayer Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Ensino da Matemática Departamento de Matemática Pura da Universidade do Porto Outubro / 2007

3 Agradecimentos Ao Professor Doutor Fernando Jorge Soares Moreira por todo o apoio que me deu durante o desenvolvimento deste trabalho. As suas valiosas sugestões e a constante disponibilidade para debater os diversos aspectos relacionados com os assuntos que abordei nesta tese, foram fundamentais para a sua execução. Aos meus colegas da Escola EB 2,3/S Dr. Daniel de Matos, em Vila Nova de Poiares, pelas conversas entre aulas. À Mestre Lurdes Lima, por me ter incentivado a frequentar o mestrado no sentido do aperfeiçoamento da minha prestação como professora. À Marta, uma grande amiga em tempos longe de casa. À Soraia e à Nanete, um agradecimento especial pela presença constante na minha vida desde os tempos em que fizemos a Faculdade. Aos meus pais, pelos valores que me transmitiram ao longo da vida, dois dos quais, a perseverança e a capacidade de acreditar que sou capaz, foram fundamentais para ultrapassar os obstáculos que foram surgindo ao longo do caminho. Finalmente, ao Beto, por estar presente. Pela paciência, pelo incentivo, pelo apoio incondicional e pela tranquilidade que me soube transmitir. A todos agradeço, não sei se da forma mais adequada, mas pelo menos da forma mais sincera. 3

4 «A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente.» Benoît Mandelbrot 4

5 Conteúdo 1 Introdução Utilização dos computadores no ensino Os Fractais no ensino da Matemática Acerca deste trabalho Fractais Simples O que é um Fractal? Características gerais sobre os Fractais Exemplos de Fractais O Conjunto de Cantor O Triângulo de Sierpinski O Tapete de Sierpinski A Curva de Koch A Curva de Peano Sistemas de Lindenmayer Introdução

6 3.2 A linguagem dos sistemas-l Modelação gráfica de um sistema-l Geometria Fractal gerada por um Sistema-L Curvas de Koch Curvas de Preenchimento do Plano Triângulo e Tapete de Sierpinski Conjunto de Cantor Modelação de Plantas Maple Introdução Especificidades do Maplet Builder A interface do Maplet Builder Os elementos da Divisão Palette Criar uma Maplet Simples usando o Maplet Builder Maplet para a interpretação gráfica de sistemas-l Procedimentos no Maple Iniciar uma sessão de Maple Área de trabalho Procedimentos da Worksheet Construção da aplicação Fractmaplet Alteração do código do programa

7 6 Fractmaplet e Geometria Dinâmica Fractmaplet uma ferramenta para o ensino A Geometria Dinâmica uma ferramenta para o ensino A Geometria Dinâmica R.e.C Fractais construídos em R.e.C Índice Remissivo 118 Bibliografia 120 7

8 Capítulo 1 Introdução As orientações curriculares actuais do ensino da disciplina de Matemática sublinham a importância de potenciar as capacidades para a resolução de problemas, o raciocínio, a comunicação e o pensamento crítico. Essas mesmas orientações apontam igualmente a importância do desenvolvimento de atitudes e valores como o gosto pela Matemática, a autonomia e a cooperação. Para atingir estes objectivos, parece fundamental proporcionar aos alunos experiências diversificadas, baseadas em tarefas matematicamente ricas, realizadas num ambiente de aprendizagem estimulante. A aprendizagem decorre em consequência da actividade que o aluno desenvolve e da reflexão que sobre ela faz. Nos dias de hoje, isto é considerado um elemento fulcral do processo ensino-aprendizagem. Ao professor cabe planear e conduzir aulas que tenham em conta as características e interesses dos alunos e tirem partido dos recursos existentes. Aos tradicionais manuais escolares, fichas de trabalho, quadro, retroprojector, materiais manipuláveis, junta-se hoje em dia o uso da calculadora, computador e rede Internet. Este trabalho tenta estabelecer uma ponte entre um tema que potencia a realização de tarefas matematicamente ricas e o uso dos recursos computacionais. O tema aqui 8

9 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 9 abordado será a Geometria Fractal a um nível elementar, apropriado para o ensino secundário. As ferramentas computacionais aqui propostas assentam num programa de geometria dinâmica e na utilização do conhecido software Maple de cálculo simbólico e numérico. 1.1 Utilização dos computadores no ensino "O sistema educativo português assume como objectivo estratégico a necessidade de assegurar a todos os jovens o acesso às tecnologias de informação e da comunicação como condição indispensável para a melhoria de qualidade e da eficiência da educação à luz das exigências da sociedade e do conhecimento." Reforma do ensino Secundário in Hoje em dia, a utilização das novas tecnologias de informação, em particular, dos computadores é comum na sociedade. Na comunidade escolar o seu uso já não tem a importância de reforçar a aquisição de conhecimentos e técnicas, mas sim, o de desenvolver novas competências e capacidades. O papel educativo da matemática, também se alterou. Esta legou para segundo plano o objectivo de misturar conhecimentos e técnicas através da memorização e da prática repetitiva. E traz para si a responsabilidade de contribuir, para que o aluno aprenda a "interrogar, conjecturar, descobrir e argumentar raciocinado sobre objectos abstractos relacionando-os com a realidade física e social".(j.m. Ponte [9]) Consequentemente, a função do professor também se modifica. O professor é incumbido de uma nova missão, a de inovar, diversificar, transformar, motivar, em suma criar

10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 10 uma verdadeira comunidade de aprendizagem. Para tal, o professor tem de repensar o ensino, produzir os seus próprios materiais, alterar as suas planificações no sentido de estimular os alunos a tirarem partido das novas tecnologias. Aos alunos, deixa de lhes ser atribuído um papel passivo. Eles precisam de ser inseridos em ambientes de aprendizagem que lhes reserve um papel participativo e criativo. O uso do computador possibilita o desenvolvimento de tal ambiente de trabalho, onde se pode levar a cabo actividades matemáticas ricas e estimulantes. O uso deste instrumento é capaz de despertar o interesse dos alunos, motivá-los e, ao mesmo tempo, estimular-lhes uma atitude crítica e de investigação, enriquecendo a sua capacidade de raciocínio e comunicação. Mas o sucesso de aulas planificadas para o uso das tecnologias vai depender em muito do papel do professor. Ele tem de ser capaz de criar e manter o ambiente construtivista a que me referi anteriormente. Ao professor cabe a responsabilidade de dinamizar e regular o processo de ensino-aprendizagem, tendo os alunos de assumir o papel de agentes da sua própria aprendizagem. Assim, o professor ao mobilizar as tecnologias para uma aprendizagem não directiva da matemática, pode influenciar positivamente a atitude do aluno face à própria matemática, proporcionando que o estudante desenvolva o gosto e a confiança pessoal em realizar actividades que envolvam o raciocínio matemático. Mais ainda, ao criar uma forma interessante e divertida de aprender proporcionada pelo uso dos computadores, pode cativar também aqueles alunos que têm uma atitude de desânimo perante o ensino. Neste sentido, o professor tem de ter a capacidade de produzir, tratar, difundir e interagir os conteúdos matemáticos com os alunos. Para tal, terá que dispor de programas com essas potencialidades.

11 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Os Fractais no ensino da Matemática "O estudo de padrões e regularidades é central em matemática e, naturalmente, actividades envolvendo padrões e regularidades atravessam o currículo dos três ciclos de educação básica. O campo dos números é propício a este tipo de actividades, as quais contribuem para desenvolver o raciocínio e estabelecer conexões entre diversas áreas da matemática. Sempre que possível, os alunos devem envolver-se em actividades de natureza exploratória e investigativa, com a possibilidade de explicar e justificar os seus processos de pensamento ou as sua soluções". Ministério da Educação, A Matemática na Educação Básica, Lisboa, 1999 (págs. 55 e 56) Os fractais, ou a geometria fractal, são um tema que suscita o interesse de professores e alunos pelos mais diversos motivos. Para além do facto de a sua forma estar presente na natureza e de produzirem imagens admiráveis, estes entes matemáticos escondem quase sempre inúmeras e interessantes surpresas. Estes aspectos são por si só suficientes para motivar os professores a criarem actividades para serem exploradas pelos seus alunos. Por outro lado, a abordagem dos fractais proporciona uma visão diferente da Matemática por parte dos alunos, o que permite estimular o interesse destes e envolvê-los nos conteúdos programáticos da matemática. Mais, os fractais proporcionam a abordagem de uma quantidade considerável de conceitos, quantidade essa que pode ser tanto maior quanto mais avançado for o nível dos alunos. Se analisarmos o programa curricular de Matemática para o Ensino Básico e Ensino Secundário, encontramos vários conteúdos com que os alunos podem adquirir, compreender ou aplicar uma tarefa que envolva a construção e/ou o estudo de fractais. Alguns desses conteúdos são a auto-semelhança, a forma, a dimensão, os polígonos e sólidos geométricos, os ângulos internos e externos, as áreas, os volumes e perímetros, a trigonometria, os números complexos, as funções (afim, quadrática, trigonométrica,...),

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 12 as transformações geométricas (translação, rotação, simetria, homotetias,...), os vectores, as semelhanças de figuras (razão de semelhança, ampliação, redução, razão entre áreas e volumes de figuras semelhantes,...), as sucessões (termos, termo geralgeneralização, limite, sucessão limitada, infinitésimo, infinitamente grande, noção de infinito,...), as operações com conjuntos e iteração de funções. Os fractais ao serem explorados pelos alunos apresentam-se como um tema estratégico, inovador, que poderia facilitar os processos de desenvolvimento, aquisição de valores e aptidões e de um conjunto de competências essenciais e transversais à Matemática que não podem ser descurados. O aluno ao ser convidado a observar e analisar os diversos elementos geométricos subjacentes a um fractal, a procurar e identificar regularidades, a estabelecer generalizações, desenvolve assim a capacidade de investigação matemática enquanto descobre propriedades insuspeitas e muito intrigantes dos fractais. Ao mesmo tempo que desenvolve hábitos de trabalho e de persistência, confronta-se com o sentido de estética, nomeadamente através da composição geométrica de padrões e figuras e é obrigado a apreciar elementos da natureza em que a Matemática está patente. Mais, encontra a geometria no mundo real e reconhece a utilização de ideias geométricas em diversas situações, visualiza e desenvolve um raciocínio especial na análise de situações e na resolução de problemas em geometria, bem como noutras áreas da Matemática. Desenvolve a capacidade de comunicar e transmitir conceitos, ideias e procedimentos, tanto em linguagem corrente, como em linguagem matemática e ainda cria confiança em si próprio no confronto com situações novas. 1.3 Acerca deste trabalho Uma vez que os fractais são um tema actual e, ao mesmo tempo, despertam a curiosidade dos alunos pelas figuras "fantásticas" que apresentam, cativando-os e motivandoos para a matemática, nós não poderíamos ficar indiferentes e, por isso, o fio condutor deste trabalho é a construção de ferramentas computacionais que permitam a um

13 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 13 professor do ensino secundário abordar o estudo da Geometria Fractal, tendo como objectivo último criar uma maplet que servirá de interface gráfico interativo para o utilizador. No Capítulo 2 é feita uma breve explicação do que é um Fractal, apontando algumas das suas principais características e descrevendo-se aqui como são gerados. O Conjunto de Cantor, o Triângulo de Sierpinski, o Tapete de Sierpinski, a Curva de Koch e a Curva de Peano, são os exemplos clássicos aqui utilizados. Todos os fractais presentes neste trabalho são produzidos por iterações de sistemas introduzidos pelo biólogo Aristid Lindenmayer para descrever o desenvolvimento e crescimento de plantas [5]. Estes sistemas, que designaremos por sistemas-l, serão apresentados no Capítulo 3. Cada sistema constrói iterativamente uma sequência de símbolos que depois são susceptíveis de serem interpretados geometricamente. A interpretação geométrica de cada símbolo bem como as instruções necessárias para caracterizar um sistema-l que modele um fractal em particular, é também aqui especificada. Neste capítulo fica-se a conhecer os sistemas-l que modelam fractais simples, curvas clássicas de preenchimento do plano e aqueles que produzem imagens relativamente realistas que se assemelham a plantas, arbustos e árvores. Para cada sistema é indicado os símbolos que compõem o estado inicial (axioma) e as respectivas regras de produção. Para o tratamento do sistemas-l e interpretação geométrica é imprescindível a utilização de ferramentas computacionais. O programa escolhido para esse fim foi o software de programação Maple. O Maple é um dos mais conhecidos e utilizados programas de software de computação numérica e simbólica. Este programa está apetrechado desde há longa data de rotinas que permitem modelar e introduzir de uma forma mais interactiva conteúdos programáticos dos mais diversos ramos de Matemática. Na sua versão mais recente, apresenta um assistente que possibilita a construção, na linguagem

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 14 Maple, de interfaces gráficas "amigáveis" para os utilizadores finais- As Maplets. No Capítulo 4, é apresentado o programa Maple 10 e com ênfase ao funcionamento da ferramenta Maplet Builder que, como o nome indica, serve para construir interfaces amigáveis à linguagem própria do Maple. Neste capítulo, fica-se a conhecer os vários interfaces que ficam disponíveis depois da instalação completa do software, a saber como aceder ao assistente Maplet Builder, a conhecer o seu interface e os elementos e comandos que estão disponibilizados. Far-se-á uma descrição desses elementos para que se possa compreender como os vários elementos podem interagir entre si para produzir os programas interactivos. No final deste capítulo, é descrito os passos para a construção de uma Maplet Simples que traça o gráfico de funções de uma variável real. Figura 1.1: Interface da Maplet Ao serem seguidos os passos para a sua construção torna-se claro como é simplificado o trabalho do autor de Maplets com esta inovação. Assim, os professores podem utilizar esta maplet e modificá-la para o estudo gráfico de uma função ou criar as suas próprias Maplets adequadas ao que pretendem fazer com elas. Existe um vasto reportório na Internet (por exemplo, em [22]) de Maplets ja construídas que podem ser utilizadas

15 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15 e/ou modificadas. O Maplet Builder torna-se, portanto, numa ferramenta inovadora que permite ao professor desenvolver interfaces gráficas acessíveis para os estudantes. Na verdade, o facto de o Maplet Builder permitir construir Maplets sem se ter de conhecer de forma profunda o código Maple foi o principal interesse para o explorar. Por este motivo, aquando da abordagem do código de programação que está por trás da janela interactiva, não será dado a conhecer o código subjacente (para esse fim consultar [16]). O Maplet Builder permitiu avanços notórios na construção da maplet desejada e que serão apresentados no capítulo 5. A utilização desta ferramenta é muito intuitiva. Através do recurso "arrasta-e-solta", o autor vai alojando no espaço próprio os elementos que pretende que a sua janela exiba. Estes elementos ficam automaticamente criados e preparados sem que o utilizador tenha que inserir uma única linha com comandos de execução. Esta ferramenta permite que alunos/professores tirem partido das potencialidades do Maple, sem que seja necessário saberem a linguagem própria do Maple, pois o seu extraordinário conhecimento específico permite que estes possam criar interfaces interactivas para obterem as respostas aos seus problemas ou tomando a posição de utilizador final usufruírem de janelas interactivas sem precisarem sequer de correr o programa Maple. É no Capítulo 5 em que se apresenta a Maplet que permite obter as imagens geométricas que derivam da interpretação geométrica de um sistema-l: Fractmaplet. Neste capítulo começa-se por descrever como se inicializa uma secção Maple, como é que se acede ao assistente Maplet Builder e por último dá-se uma descrição detalhada da construção Fractmaplet. No final, o Capítulo 6 apresenta a construção de um fractal através da abordagem ao

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 16 recurso de software de Geometria Dinâmica. Depois de compreendermos o conceito de Geometria Dinâmica veremos como este software pode ser utilizado para a criação de fractais anteriormente obtidos recorrendo a sistemas-l e à Fractmaplet. O programa utilizado aqui será o programa Régua e Compasso (R.e.C.) que é um programa de livre utilização e chamado também de "opensource" em que se tem acesso ao código fonte do programa. Não é intenção explorar exaustivamente as características do programa R.e.C., mas sim antes mostrar como é possível produzir os mesmos fractais que anteriormente foram obtidos com a Fractmaplet. A introdução de duas ferramentas computacionais permite tirar proveito das características positivas do computador e eventualmente proporcionar a entrada dos alunos para o mundo da programação (Fractmaplet) e da exploração de software dinâmico (R.e.C.).

17 Capítulo 2 Fractais Simples Começamos por uma breve explicação do que é um Fractal, apontando algumas das suas principais características e descrevendo-se aqui como são gerados, para que no capítulo posterior se compreenda o sistema que modela a sua construção. O Conjunto de Cantor, o Triângulo de Sierpinski, o Tapete de Sierpinski, a Curva de Koch e a Curva de Peano, são os exemplos clássicos aqui utilizados. 2.1 O que é um Fractal? "Tais objectos, possuindo uma estrutura detalhada em muitas escalas de ampliação, abundam na Natureza; mas só recentemente foram identificados por artistas e matemáticos como algo que vale a pena ser estudado por si só. O resultado é um novo tipo de figura geométrica, chamada um fractal." Ian Stewart, The Problems of Mathematics,Oxford University Press, Nos últimos anos conheceram-se diferentes definições e associações para o conceito de fractal. No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida pelo matemático francês Benoît Mandelbrot, em 1975, através do 17

18 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 18 neologismo "Fractal". A palavra Fractal surgiu do adjectivo latino fractus, que significa irregular ou quebrado, como ele próprio disse: "Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em latim correspondente frangere significa quebrar (... ) também significa irregular. Os dois significados estão preservados em fragmento." ([6, p. 4]) O pesquisador Benoit Mandelbrot desenvolve, assim, a noção de fractal e de geometria fractal, que dá a conhecer no seu livro The Fractal Geometry of Nature, publicado em 1983 quando questiona: "Porque é que a geometria é habitualmente descrita como fria e austera? Uma razão reside na sua inaptidão em descrever a forma de uma nuvem, de uma montanha, de uma linha costeira, de uma árvore. As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, as linhas costeiras não são circunferências e a casca de uma árvore não é suave, nem os relâmpagos viajam em linha recta (...) A natureza exibe não apenas um grau mais elevado, mas um nível de complexidade completamente diferente. O número de diferentes escalas de comprimento dos motivos naturais é para todos os efeitos infinito. A existência desses motivos desafia-nos a estudar formas que Euclides deixou de parte como não tendo uma forma definida, desafia-nos a investigar a morfologia do amorfo." ([6, p. 1]) Nascia, então, a geometria fractal que era capaz de descrever o pormenor irregular e quase aleatório de muitos dos padrões da natureza. Os fractais são, encarados como, formas geométricas abstractas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot constatou, ainda, que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objectos e aqueles encontrados na natureza. São exemplo: a couve-flor, os brócolos, as nuvens, a difusão num sólido, a turbulência, os modelos do relevo e dos contornos terrestres, o sistema circulatório, o tecido pulmonar, etc. Neste trabalho não se pretende apresentar uma definição matemática de fractal, mas apenas introduzir estes objectos de uma forma simples e intuitiva, através de duas das suas características mais representativas: «Fractais são objectos gerados pela repeti-

19 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 19 ção de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita.» Estas e outras características serão abordadas na secção seguinte. 2.2 Características gerais sobre os Fractais Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual. Contudo, existem duas características muito frequentes nesta geometria: a auto-semelhança e a complexidade infinita. A auto-semelhança de um fractal resulta do facto deste objecto geométrico normalmente possuir cópias dele próprio, o que quer dizer que cada uma das partes que o compõem têm a mesma forma que o modelo original, ou seja, visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar. A outra característica que define um fractal, a complexidade infinita, é uma propriedade dos mesmos que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita, sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. Esta propriedade gera um paradoxo, pois os fractais têm uma área finita (a superfície que ocupam está contida dentro de uns limites) e possuem um perímetro infinito, isto quer dizer que o comprimento da linha que delimita essa área é infinita, já que se tentarmos medi-la veremos que cada vez que a ampliarmos aparece mais rugosa e, por isso, com um comprimento cada vez maior. A auto-semelhança pode ser quantificada por um coeficiente chamado dimensão fraccionária. Recordemos que na geometria euclidiana a dimensão de um objecto é um conceito bastante intuitivo: uma "linha" tem dimensão 1, um plano tem dimensão 2; e qualquer corpo sólido tem dimensão 3. A característica de um fractal é que a sua dimensão não é um número inteiro ([4, p. 31]). A definição precisa, do que de facto é, a dimensão fractal encerra algumas complexidades matemáticas, mas ainda assim conserva certas doses de intuição. Por exemplo, que uma linha costeira tenha uma dimensão fractal de 1,4 perante outra que tenha 1,2 dá a ideia de que a primeira apresenta maior rugosidade que a segunda. Deste modo, podemos acrescentar

20 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 20 ainda que a dimensão fractal é um número (não necessariamente inteiro), que permite quantificar o grau de irregularidade ou de fragmentação de um conjunto. Em suma, pode dizer-se, que um objecto fractal é um ente matemático fascinante que repete a forma do todo em partes que progressivamente se considere. 2.3 Exemplos de Fractais No final do século XIX e início do século XX, alguns matemáticos como, Cantor, Koch, Sierpinski e Peano investigaram objectos que punham em causa algumas das bases matemáticas da época relacionadas com a análise, a álgebra e a geometria. Estes objectos considerados como "monstros matemáticos" seriam denominados de fractais e receberiam o nome do seu criador O Conjunto de Cantor Um dos fractais que se fizeram mais famosos é o que o matemático Russo Georg Cantor ( ) idealizou em 1883 no decorrer dos seus trabalhos ligados à Teoria dos Conjuntos: o Conjunto de Cantor, também conhecido como Poeira de Cantor. Este objecto fractal constrói-se a partir de um segmento de recta, incluindo as extremidades, divide-se em três partes iguais e elimina-se a parte do meio, mas não as extremidades. Ficamos então com dois segmentos de recta e com um total de quatro pontos de extremidade. Repete-se o mesmo processo com os outros dois troços e assim sucessivamente, ad infinitum, obtemos no limite o Conjunto de Cantor.

21 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 21 Figura 2.1: Conjunto de Cantor O Triângulo de Sierpinski Em 1915, o matemático polaco Waclav Sierpinski ( ), construiu uma generalização do Conjunto de Cantor que ficou conhecida como o Triângulo de Sierpinski. Existem diversos processos de construção deste fractal. Aquele aqui descrito e que produz geometricamente a figura 2.2, refere-se a um processo recursivo que se obtém começando com um triângulo equilátero do plano, o qual se dividi em quatro triângulos equiláteros mais pequenos (desenhar no interior do triângulo original outro, com os vértices nos pontos médios dos lados) e se remove o central. Num segundo passo, procede-se do mesmo modo para cada um dos três triângulos restantes. E assim sucessivamente ad infinitum, obtemos no limite o Triângulo de Sierpinski. Figura 2.2: Figura inicial e primeiras três iterações da construção do Triângulo de Sierpinski

22 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES O Tapete de Sierpinski Deve-se também a Waclav Sierpinski outro fractal clássico: o Tapete de Sierpinski. O processo de construção é idêntico ao descrito anteriormente. Neste começa-se com um quadrado do plano, o qual se subdivide em nove quadrados mais pequenos e se remove o central. Repete-se o mesmo processo para os oito quadrados restantes. E assim sucessivamente ad infinitum, obtemos no limite o Tapete de Sierpinski. Figura 2.3: Figura inicial e primeiras quatro iterações da construção do Tapete de Sierpinski A Curva de Koch Este fractal obtém-se a partir de um triângulo equilátero, cujo lado se toma para unidade de comprimento. O processo consiste em dividir cada um dos três segmentos de recta que formam o triângulo em três partes iguais e desenhar um novo triângulo equilátero cuja a base corresponde ao segmento do meio. Esta base do triângulo, por sua vez desaparece. Veja-se a figura 2.4.

23 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 23 Figura 2.4: Segmento inicial e primeiras duas iterações da Curva de Koch Continua-se o processo do mesmo modo, dividindo cada novo segmento em três partes iguais e substituindo o do meio por um novo triângulo equilátero ao qual se remove a base. Diz-se que este é um processo recursivo. No limite obtemos a chamada Curva de Koch ou Curva de Floco de Neve, que foi criada em 1904 pelo matemático sueco Helge Van Koch ( ). Sobre este fractal Mandelbrot afirma "é um modelo grosseiro, mas vigoroso de uma linha costeira", podendo também receber o nome de "Ilha de Koch". Figura 2.5: Figura inicial e primeiras três iterações da Ilha de Koch O exemplo clássico de um objecto gráfico definido em termos de regras de reescrita é de facto o fractal Floco de Neve. Mandelbrot que ([6, p. 39]) já descreve esta construção do seguinte modo:

24 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 24 Começamos com duas formas, o iniciador e o gerador. O último, é uma linha quebrada e orientada composta por N segmentos de comprimento r. Assim cada estádio da construção começa com uma linha quebrada e consiste em substituir cada segmento de recta por uma cópia do gerador, reduzida e deslocada para ter os mesmos pontos de extremidade que aqueles do segmento que está a ser substituído. Figura 2.6: Construção do Floco de Neve A Curva de Peano Em 1980, Giuseppe Peano ( ) e, apenas um ano depois, David Hilbert ( ) descobriam que uma simples curva "pode cobrir" todo o plano, no sentido que c : [0, 1] R 2 é contínua e sobrejectiva. Este tipo de curvas são hoje designadas por Curvas de Preenchimento.

25 CAPÍTULO 2. FRACTAIS SIMPLES 25 O algoritmo para gerar estas curvas será apresentado na secção Para agora referimos brevemente a construção devida a Peano. Esta realiza-se partindo de um segmento orientado 1. Na primeira iteração, este segmento é substituído por nove segmentos orientados de comprimento igual a um terço do comprimento inicial e dispostos como na figura 2.7. Esses nove segmentos que constituem a primeira iteração constituem a curva geradora do processo recursivo de construção da curva de Peano. Aplica-se sucessivamente a cada novo segmento, o processo recursivo descrito anteriormente. Figura 2.7: Figura inicial e primeiras três iterações da Curva de Peano Como podemos observar, logo a partir da primeira iteração, estas curvas podem intersectar-se a si próprias nos vértices dos pequenos quadrados que se vão formando em cada etapa. No limite dá-se o preenchimento do plano. 1 O segmento orientado [P Q] representa a curva c(t) = (1 t)p + tq, t [0, 1].

26 Capítulo 3 Sistemas de Lindenmayer Sistema de Lindenmayer que passamos a designar por sistema-l é um modelo matemático apresentado pelo biólogo Aristid Lindenmayer [5], em 1968, para descrever o crescimento e desenvolvimento de plantas. Este modelo utiliza o conceito de gramática, isto é, um conjunto de regras que permitem gerar algoritmicamente sequências de símbolos duma dada linguagem a partir de um alfabeto inicial. Depois de se definir uma interpretação geométrica para cada símbolo, torna-se possível gerar imagens a partir de sequências de símbolos (palavras). Os sistemas-l podem ser usados na computação de fractais e na modelação de plantas de uma maneira muito realista. 3.1 Introdução Um sistema-l é caracterizado por um alfabeto, um axioma e um conjunto de regras de produção (ou crescimento). O alfabeto é um conjunto de símbolos e as regras de produção definem transformações de determinado símbolo numa sequência de símbolos. A partir de uma palavra inicial (axioma), um sistema-l constrói iterativamente 26

27 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 27 sequências de símbolos, substituindo cada símbolo pela palavra definida nas regras de produção. Depois de gerada uma palavra por este processo interactivo, esta é interpretada como uma sequência de comandos que controlam o movimento de uma "tartaruga". O "rasto" produzido pelo movimento da tartaruga produzirá a imagem do sistema-l, vemos que é assim possível modelar variadas curvas fractais, desde a Curva de Koch, a curvas clássicas de preenchimento do plano e a imagens relativamente realistas de plantas e árvores. 3.2 A linguagem dos sistemas-l A linguagem formal dos Sistemas de Lindenmayer será aqui, primeiramente abordada de forma intuitiva, com um exemplo que traduz a evolução num sistema-l. Considere-se sequências de caracteres construídas com as duas letras a e b, que podem ocorrer várias vezes numa cadeia. Para cada letra especificamos uma regra de substituição. A regra a ab, transforma a letra a na sequência ab e a regra b a, do mesmo modo, transforma a letra b na letra a. Cada regra de substituição descreve como é a transformação de um caracter em particular. No início, a cadeia é representada por uma sequência de caracteres, designada axioma. Tomemos a palavra b como axioma. A primeira iteração consiste em substituir o axioma b por a, isto porque usamos a instrução b a. Na segunda iteração a é substituído por ab usando a regra a ab, obtendo a palavra ab constituída por duas letras. Na próxima iteração as duas letras são simultaneamente substituídas, em que a é substituída por ab, e b por a, resultando na palavra, aba. Este processo continua de forma similar, de tal modo, que da palavra aba produz-se abaab, que por sua vez origina abaababa, e assim sucessivamente (veja-se a figura 3.1).

28 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 28 Figura 3.1: Exemplo de iteração num sistema-l Com base na descrição efectuada passamos agora a definir formalmente um sistema-l. Seja V um conjunto não vazio denominado por alfabeto e que seja constituído por um número finito de letras do alfabeto ou outros símbolos 1, V = n N V n designamos o conjunto de todas as palavras (sequência de símbolos) de V, e V +, o conjunto de todas as palavras não vazias de V. Definição: Um sistema-l é um terno ordenado G = V, w, P, onde 1. V é o alfabeto do sistema; 2. w V + é uma palavra não vazia que se denomina de axioma; 3. P V V é o conjunto finito de regras de produção. Se o par (a, χ) é uma regra de produção, (a, χ) P, escrevemos a χ. A letra a é designada por substituído e a palavra χ por substituto da regra, respectivamente. Assume-se que para toda a letra a V, há pelo menos uma palavra χ V +, de tal modo que a χ. 1 Por exemplo {+,, ], [}

29 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 29 Definição: Seja G = V, w, P um sistema-l, e seja µ = a 1...a m uma palavra de V. Uma palavra ν V deriva directamente de µ (ou é gerada por µ), e escreve-se µ ν, se e só se existir χ 1...χ m V (m N) tal que ν = χ 1...χ m e a i χ i para todo i = 1,..., m. Uma palavra ν é gerada por G numa iteração de ordem n, se existir uma sequência de palavras µ 0, µ 1,..., µ n tal que µ 0 = w, µ n = ν e µ 0 µ 1... µ n. 3.3 Modelação gráfica de um sistema-l Nesta secção vamos formalizar a noção da interpretação geométrica de uma palavra de V como um subconjunto do plano. Designaremos por P(R R) o conjunto dos pontos do plano. Tomemos como alfabeto um conjunto V contendo os símbolos {F, G, +, }. Definição: Uma imagem Π é um conjunto de pontos do plano: Π R R. Uma função I : V 2 RxR que transforma o conjunto de palavras do alfabeto V no conjunto de imagens designa-se por função de interpretação gráfica. As funções de interpretação gráfica que geram as várias imagens deste trabalho baseiamse na conhecida linguagem LOGO (consultar [3]) e são tradicionalmente modeladas pelo hipotético rasto do movimento de uma tartaruga. Fixa-se inicialmente um número finito N que delimita o número de direcções que a tartaruga conhece. Apenas as direcções que fazem um ângulo de k = 360/N (k = 0,..., N 1) com o eixo Ox são possíveis. Um terno (x, y, α) com (x, y) R 2 e α = 360/N (N N) representa a posição (x, y) da tartaruga e α o ângulo (direcção) do seu movimento. Designamos os ternos (x, y, α) por estados da tartaruga.

30 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 30 Fixamos d um número real positivo 2. No que se segue δ, designado por ângulo de incremento tem o valor δ = 360/N. 3 Tomamos um ponto inicial (x 0, y 0 ) = (0, 0) e α = 0. Temos assim a tartaruga na origem (0, 0) com movimento inicial α = 0. Passamos agora a descrever a função de interpretação gráfica utilizada para o alfabeto {F, G, +, }. Vamos então supor que para palavras v de comprimento n temos definido a imagem f(v) em que f é a função de interpretação gráfica e p(v) é um terno que passamos a designar por estado final da tartaruga. Vamos agora definir indutivamente para uma palavra w de comprimento n + 1, f(w ) e p(w ). Seja w = a 1 a 2...a n a n+1, definindo w = a 1 a 2...a n temos por hipótese definido f(w), que é um subconjunto de R R e p(w) que é um terno (x, y, α) R 3. Então, se a n+1 = F : pretendemos modelar que a tartaruga andou na direcção α a distância d. Formalmente, temos então que p(w ) = (x, y, α ) onde (x, y ) = (x, y) + d(cosα, sinα) e α = α, onde f(w ) é igual a f(w) reunido com o segmento de extremidades (x, y) e (x, y ). Neste caso, a tartaruga deixou um rasto representativo de um segmento de recta com extremidades (x, y) e (x, y ), posição inicial e final, respectivamente. a n+1 = G: pretende-se que não haja rasto da tartaruga e que esta apenas se desloque de uma unidade d para a frente. Definimos assim f(w ) = f(w) e p(w ) = (x, y, α ) com (x, y ) = (x, y) + d(cosα, sinα) e α = α. Neste caso, não se pretende incluir na imagem o rasto da tartaruga, esta dá um salto de uma unidade, mas define-se também a posição inicial e final. 2 Quando nada é dito em contrário, tomamos d = 1. 3 Fixar N é o mesmo que fixar δ.

31 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 31 a n+1 = +: definimos f(w ) = f(w) e p(w ) = (x, y, α ) com α = α + δ. Neste caso, o estado não se altera mas o sentido do movimento da tartaruga altera-se de δ no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. a n+1 = : definimos f(w ) = f(w) e p(w ) = (x, y, α ) com α = α + δ. Neste caso, o estado não se altera mas o sentido do movimento da tartaruga altera-se de δ no sentido dos ponteiros do relógio. Se a n+1 é diferente de F, G, + ou, f(w) e p(w) permanecem iguais. Nestes casos a tartaruga "ignora" o símbolo mantendo a mesma posição. Desta forma, definindo um estado inicial (0, 0, 0) 4, a tartaruga no início está na origem e o seu movimento é dirigido no sentido do eixo Ox. Temos assim definido a função de interpretação gráfica para todas as palavras de comprimento finito, também associado a essas palavras o estado final (x, y, α) da tartaruga. O sistema indutivo tal como foi descrito torna possível interpretar palavras geradas por um sistema-l. A figura 3.2 exemplifica como é que as palavras F + F F + F e F + F G F + F são interpretadas geometricamente. 3.4 Geometria Fractal gerada por um Sistema-L Como já foi referido, a geometria fractal está relacionada com padrões de extrema complexidade e detalhe. Um aspecto da filosofia fractal é que essa complexidade resulta da evolução de sistemas dinâmicos relativamente simples que decorrem durante longos períodos de tempo. Iremos ver como é que a geometria fractal pode emergir da interpretação gráfica das palavras geradas por um sistema-l. 4 Para uma palavra de comprimento 0, considera-se o conjunto e f( ) = (0, 0, 0). Assim garantese que a definição de f está completa.

32 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 32 Figura 3.2: (A) Interpretação pela tartaruga da cadeia de símbolos F, +,. (B) Interpretação da palavra F + F F + F. O ângulo de incremento δ é igual a 60 o. (C) Interpretação da palavra F + F G F + F. O ângulo de incremento δ é igual a 90 o. Como primeiro exemplo do uso destes símbolos, apresentamos o sistema-l para a curva de Koch 5 : Alfabeto: {F, +, } Axioma: F Regra: F F + F F + F Este sistema-l resulta em: 5 Note-se que a ordem dos símbolos é importante num sistema-l.

33 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 33 Início: F 1 a Iteração: F + F F + F 2 a Iteração: F +F F +F +F +F F +F F +F F +F +F +F F +F 3 a Iteração: F +F F +F +F +F F +F F +F F +F +F +F F +F +F +F F +F +F +F F +F F +F F +F +F +F F + F F + F F + F + F + F F + F F + F F + F + F + F F + F +F +F F +F +F +F F +F F +F F +F +F +F F +F A geração 0 (o Axioma) é apenas um segmento de recta de extremidades (0, 0) e (1, 0). Assume-se que a direcção que a tartaruga encara é para diante do eixo horizontal positivo. Fixamos N = 6 o ângulo de incremento δ é então igual a 60 o = 360 o /6. Geometricamente, a regra de produção fará com que o segmento de recta F seja substituído pela seguinte disposição de segmentos: Figura 3.3: Regra de produção para a curva de Koch Nesta figura, as acções que descrevem o trajecto a traçar são dadas pelos símbolos da palavra F + F F + F.

34 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 34 Figura 3.4: Gerações da curva de Koch Note-se que a escala das figuras apresentadas muda com a geração do sistema-l para que as sucessivas figuras possam ser representadas numa área similar à representação ocupada pela interpretação do axioma Curvas de Koch O sistema-l que define a curva de Koch pode ser definido por: Alfabeto: {F, +, } Axioma: F + +F + +F Regra: F F F + +F F N = 6

35 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 35 Figura 3.5: Sistema-L aplicado à construção do Floco de Neve As imagens anteriores correspondem às cadeias obtidas em cada iteração modificadas pelo conjunto de regras de substituição nas ordens de 0 a 4. O ângulo de incremento δ é igual a 60 o (N=6). Note-se que as novas interpretações gráficas do sistema-l de ordem n, resulta das de ordem n 1 substituindo segmentos orientados Sistemas-L definidos desta forma, em que o substituído na regra de produção é F e apenas se modifica o substituto, podem ser percebidos como um códice para a

36 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 36 construção de diferentes curvas de Koch, como se ilustra a seguir. Alfabeto: {F, +, } Axioma: F F F F Regra: F F F + F + F F F F + F Figura 3.6: Gerações da Ilha Quadrática de Koch As imagens correspondem às cadeias obtidas em cada iteração modificadas pelo conjunto de regras de substituição nas ordens de 0 a 3. O ângulo de incremento δ é igual a 90 o (N = 4). A distância a percorrer d decresce 4 vezes entre cada imagem para que se mantenha a distância entre as extremidades do substituído e a do substituto. A Figura 3.7 apresenta outros exemplos de curvas de Koch geradas usando sistemas-l nas mesmas condições.

37 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 37 Alfabeto: {F, +, } Axioma: F F F F Regra: F F + F F F F F F + F + F F F F + F + F F + F F F N = 4 Alfabeto: {F, +, } Axioma: F Regra: F F + F F F + F N = 4 Figura 3.7: Exemplo de curvas de Koch geradas usando sistemas-l: (A) Ilha Quadrática de Koch[6, p. 52], (B) Modificação Quadrática do Floco de Neve [6, p. 139] Um elemento adicional surge se a curva não for conexa; é requerida uma segunda regra de produção (com substituído G) para manter os componentes à distância apropriada (figura 3.8).

38 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 38 Alfabeto: {F, +, } Axioma: F + F + F + F Regras: F F + G F F + F + F F + F G + F F G + F F F F F F G F F F G GGGGGG N = 4 Figura 3.8: Combinações de ilhas e lagos [6, p. 121] A facilidade de modificar sistemas-l fá-los apropriados para desenvolver novos tipos de curvas fractais. Por exemplo, podemos partir de um sistema-l em particular (alfabeto, axioma e número de direcções definidos) e observar quais as consequências de introduzir, de suprimir ou de substituir alguns dos símbolos (na regra de produção). Uma variedade de curvas obtidas desta maneira é mostrada na figura Alfabeto: {F, +, } Axioma: F F F F N = 4 Regra: F F F F F F F F + F 6 n representa a geração.

39 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 39 Regra: F F F F F F F F Regra: F F F F + F F F F Regra: F F F F F F Todas as figuras aqui apresentadas correspondem à interpretação de palavras geradas por sistemas-l com ângulo de incremento igual a 90 o.

40 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 40 Regra: F F F F F F Regra: F F F + F F F Figura 3.9: Sequência de Curvas de Koch obtidas pela modificação do substituído na regra de produção[12, p. 10] Curvas de Preenchimento do Plano Para além das curvas já modelas podemos também definir sistemas-l que geram curvas que preenchem o plano. A Curva de Hilbert (Figura 3.10) é representativa das clássicas curvas de preenchimento do plano. Outras curvas de preenchimento do plano bem conhecidas foram descobertas por Peano e por Sierpinski (consultar, [14]). A descrição do sistema-l que gera a curva de Hilbert é demonstrativa da versatilidade dos mesmos.

41 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 41 Alfabeto: {F, X, Y, +, } Axioma: X Regras: X Y F + XF X + F Y Y +XF Y F Y F X+ N = 4 Este sistema usa um alfabeto constituído pelos símbolos {F, X, Y, +, }. Como vimos, os símbolos X e Y não têm qualquer significado geométrico, isto é, são ignorados quando a curva é desenhada. 7 Este processo requer alguma atenção para se verificar o seu funcionamento. Algumas das gerações são como se segue: G0: X G1: Y F + XF X + F Y G2: + XF Y F Y F X + F + Y F + XF X + F Y F Y F + XF X + F Y +F + XF Y F Y F X + Figura 3.10: Curva atribuída ao matemático alemão David Hilbert, em As imagens correspondem às cadeias obtidas em cada iteração modificadas pelo conjunto de regras de substituição nas ordens de 1 a 4. O ângulo de incremento δ é igual a 90 o.. 7 A função de interpretação gráfica não é alterada na presença de símbolos distintos de F, G, + e

42 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 42 A Curva de Peano é gerada pelo seguinte sistema-l: Alfabeto: {F, X, Y, +, } Axioma: X Regras: X XF Y F X + F + Y F XF Y F XF Y F X Y Y F XF Y F XF Y F X + F + Y F XF Y N = 4 Figura 3.11: Curva atribuída ao matemático Giuseppe Peano, em As imagens correspondem às cadeias obtidas em cada iteração modificadas pelo conjunto de regras de substituição nas ordens de 1 a 4. O ângulo de incremento δ é igual a 90 o. A aproximação da curva quadrática de Sierpinski (Figura 3.12) é gerada pelo sistema- L com axioma F + XF + F + XF, o ângulo de incremento é igual a 90 o e a regra de produção é a seguinte: Regra: X XF F + F XF + F + XF F + F X

43 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 43 Figura 3.12: Aproximação quadrática da curva de Sierpinski (1912) Triângulo e Tapete de Sierpinski Outro fractal que recebeu o nome do matemático Sierpinski foi o Triângulo de Sierpinski. A construção deste fractal é iniciada com um triângulo equilátero. Alfabeto: {F, +, } Axioma: F + F + F Regra: F F + F F F + F N=3 O axioma acima listado dá-nos o bordo do triângulo equilátero. Supondo que se começava pelo axioma F em vez de F + F + F, isto, dá-nos apenas um lado desse triângulo. A primeira iteração gerada pela regra dada seria a seguinte Assim, podemos ver como é que a regra gera o bordo dos triângulos centrais que são removidos. O axioma F + F + F irá fazer o mesmo que descrito anteriormente para os três lados do triângulo equilátero.

44 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 44 Figura 3.13: Exemplo do sistema-l aplicado à construção do Triângulo de Sierpinski As imagens correspondem às cadeias obtidas em cada iteração modificadas pelo conjunto de regras de substituição nas gerações de 0 a 5. O ângulo de incremento δ é igual a 120 o. Outro famoso fractal que recebeu o nome do matemático Sierpinski foi o Tapete de Sierpinski: Alfabeto: {F, G, +, } Axioma: F Regras: F F + F F F G + F + F + F F G GGG N=4

45 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 45 Figura 3.14: Construção do Tapete de Sierpinski Conjunto de Cantor Um outro sistema-l muito simples e que usa apenas os símbolos F e G é aquele que gera o Conjunto de Cantor: Axioma: F Regras: F F GF G GGG O ângulo é irrelevante neste caso. Começamos com um segmento de recta F e substituímo-lo pelo seguinte padrão: traça um segmento de recta, avança um segmento de recta sem traçar e traça um terceiro segmento. A sequência das gerações é mostrada abaixo. Figura 3.15: Gerações do sistema-l do Conjunto de Cantor

46 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER Modelação de Plantas Veremos agora como um sistema-l pode modelar o esboço de árvores bidimensionais. Vamos restringirmo-nos ao caso bidimensional, embora o caso real seja obtido da mesma forma. São considerados agora estados (x, y, z, α, β) para a tartaruga em que (x, y, z) representa as coordenadas da posição e (α, β) a direcção (no espaço) do movimento. 8 Para o esboço de árvores bidimensionais vamos precisar de sistemas-l, que contém para além dos símbolos F, G, +, símbolos que permitam a interpretação de ramificações. Neste sentido, vamos então considerar agora um alfabeto V = {F, G, +,, ], [}. E agora precisamos de redefinir a nossa função de interpretação gráfica para as palavras geradas para este alfabeto. Para uma palavra v temos então definido p(v) que representa a posição actual da tartaruga e vamos precisar também de um função m(v) que memorize os vários pontos de ramificação. m(v) = (n, R) em que n N (representará o número de ramificações) e R = (R 1,..., R n ) em que R i = (x i, y i, z i ) (representará as coordenadas da ramificação i). Supondo a função de interpretação gráfica definida para uma palavra de comprimento n, vamos então definir indutivamente a função de interpretação gráfica estendendo a definição da secção 3.3. Sendo w uma palavra de comprimento n tal que w = a 1 a 2...a n temos por hipótese 8 α e β ângulos do vector movimento relativamente aos planos OXZ e OXY

47 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 47 definido f(w), m(w) e p(w). Vamos agora definir indutivamente para uma palavra w de comprimento n + 1, f(w ), m(w ) e p(w ). Então, se a n+1 : não é um dos colchetes temos f(w ) e p(w ) dadas pelas interpretação anteriormente apresentada na secção 3.4 e, também, m(w ) = m(w). a n+1 = [: se m(w) = (n, R) em que R = (R 1,..., R n ) então m(w ) = ((n + 1), R ) em que R = (R 1,..., R n, p(w)) e neste caso existe mais uma ramificação na posição p(w). a n+1 =]: se m(w) = (n, R) então m(w ) = (n 1, R ) em que R = (R 1,..., R n 1 ) e neste caso p(w ) = R n e f(w ) = f(w). 9 Isto significa intuitivamente que a tartaruga saltou para o último ponto de ramificação. A originalidade destes sistemas-l reside no facto das plantas serem ramificadas. São necessários novos comandos para que no decorrer da interpretação gráfica do sistema-l a tartaruga preserve a ramificação. Os símbolos usados são [ e ] que funcionam em conjunto e permitem que a tartaruga siga por um momento uma filial e depois retome a extremidade onde começou a ramificar. O seguinte exemplo mostra uma simples ramificação, onde um "tronco principal" exibe filiais laterais: Axioma: F Regras: F F [+F ]F N=10 9 Está-se a supor que m( ) = (0, (0, 0)).

48 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 48 Isto pode ser visto como a substituição de cada bordo pela seguinte configuração: Figura 3.16: Ramificações simples Observe-se na figura seguinte a sequência produzida. Figura 3.17: Gerações de ramificações Nas Figuras 3.18 e 3.19 são apresentados alguns resultados da aplicação dos sistemas-l à modelação de plantas. O sistema-l da Figura 3.18, resultou da aplicação da regra F F [+F ] F [ F ] F ao axioma F, com um ângulo de rotação δ = 24 (N = 15). Quanto ao sistema-l da Figura 3.19, resultou da aplicação da regra F F F [ F + F + F ] + [+F F F ] ao axioma F, com um ângulo de rotação de 15 o (N = 24).

49 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 49 Figura 3.18: Exemplo de sistemas-l aplicado ao crescimento de plantas, erva. Figura 3.19: Exemplo de sistema-l aplicado ao crescimento de plantas, arbusto. Como se vê os sistemas-l permitem gerar imagens que simulam plantas bidmensionais que podem ser encaradas como a projecção no plano de árvores reais. Existe um vasto reportório de sistemas de Lindenmayer definidos para gerar plantas (consultar [24]). As figuras seguintes são a prova desta diversidade.

50 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 50 Figura 3.20: Exemplo de sistemas-l aplicado ao crescimento de um arbusto. Figura 3.21: Exemplo de sistemas-l aplicado ao crescimento de um arbusto.

51 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE LINDENMAYER 51 Figura 3.22: Exemplo de sistemas-l aplicado ao crescimento de um arbusto.

52 Capítulo 4 Maple 10 "O Maple 10 traz as últimas conquistas para a solução de problemas matemáticos e disponibiliza tecnologias afins. Interactivo e de fácil uso, este novo Maple oferece a mais avançada tecnologia para se instrumentalizar Matemática". http : // t exto = Introdução O software Maplet T M é um poderoso sistema que pode ser usado para resolver problemas matemáticos complexos. Pode também ser usado para criar documentos profissionais de qualidade, e recursos computacionais interactivos úteis em ambiente Maple. O Maple 10 possui diversas ferramentas voltadas para a educação e para a solução de problemas ligados a ciências exactas. Baseado num extraordinário conhecimento específico, é uma ferramenta conhecida mundialmente capaz de proporcionar desde uma nova abordagem educacional até à resolução de problemas científicos complexos: permite o cálculo de avançadas questões algébricas e numéricas apoiadas em documentação, botões, sliders, gráficos e animações. 52

53 CAPÍTULO 4. MAPLE A principal missão do Maple é ajudar a iniciar, resolver e explorar as nossas necessidades matemáticas sem recorrer a comandos complicados ou intensa programação. A área de trabalho onde é efectuada a sessão de Maple designada por Modo Documento permite solucionar problemas sem o uso de comandos; possui um Editor de Equações e Janelas onde se pode digitar o problema com a notação padrão de matemática; possui uma Janela de Reconhecimento Manuscrito para encontrar o símbolo correcto; os Menus de Contexto ao serem estendidos possuem um amplo conjunto de rotinas computacionais, incluindo operações para manipulação de unidades; possui Templates - problemas do tipo preencha as lacunas com mais de 200 tarefas diferentes; Assistentes Interativos de Tarefas para importação e análise de dados; e o Maplet Builder para a criação de aplicações Maplet com o recurso arrasta-e-solta, entre muitas outras alterações gráficas, melhorias computacionais e inovações tecnológicas que visam facilitar o seu manuseamento, permitindo criar documentos capazes de integrar textos, cálculos, gráficos e interactividade. Podemos aceder ao motor computacional do Maple através de várias interfaces que ficam disponíveis depois da instalação completa deste software:

54 CAPÍTULO 4. MAPLE Interface Standard Worksheet Classic Worksheet Maplesoft T M Graphing Calculator Maplet T M Applications Descrição Interface com rosto gráfico que oferece configurações que permitem a criação de documentos electrónicos. Estes mostram todas as suposições, cálculos e possíveis erros nos nossos resultados; ou esconde o computado para permitir que o leitor se concentre no cerne do problema e nos resultados finais. As avançadas configurações que apresenta ajudam a criar o documento que queremos, porque os parâmetros dos documentos podem ser facilmente reeditados e, com o clicar de um botão computados os novos resultados. Ambiente de trabalho básico que vem de versões anteriores e é recomendado para computadores com recursos mais limitados. Interface de uma calculadora gráfica que usa o motor computacional do Maple. Mecanismo que permite construir interfaces com o utilizador de modo a obter aplicações, que correm como qualquer outro, no sistema operativo do utilizador e, permitem aceder às funções presentes no Maple. As Maplets baseiam-se numa package com o mesmo nome e, podem ser acedidas de duas formas distintas: 1. Standard Worhsheet ou Classic Worksheet 2. Maplet Builder

55 CAPÍTULO 4. MAPLE Usando o Maplet Builder, podemos definir uma aplicação Maplet, arrastando e soltando botões, sliders, caixas de texto e outros elementos; aceder ao conjunto de propriedades do elemento e alterá-las por movimentos de selecção; associar acções aos elementos e ainda fazer "correr" a Maplet. O Maplet Builder é indicado para criar Maplets simples. O package Maplets possuí mais capacidades, controles e opções é por isso indicado para criar aplicações Maplets mais complicadas. Neste trabalho, será usada a interface Standard Worksheet no modo usual (Worksheet) que nos permite escrever comandos de programação de modo simples. Existe também o modo Document que apresenta um maior embelezamento das expressões matemáticas com notação standard mas que requer um maior recurso ao rato. De facto, a folha de trabalho (worksheet) é onde são escritos e executados comandos do Maple. Neste caso particular, será o meio para gravar e ler os procedimentos indispensáveis ao código da Maplet. Esboçar uma aplicação Maplet é similar à construção de uma casa. Quando se constrói uma casa, primeiro começamos pela construção da estrutura esqueleto (ou seja, fundações, andares e corredores) e depois prosseguimos adicionando as janelas e portas. Construir uma Maplet não é diferente. Primeiro definimos as linhas e colunas da aplicação Maplet e só depois é que adicionamos os elementos ao corpo da janela (por exemplo, botões, caixas de texto e zonas gráficas).

56 CAPÍTULO 4. MAPLE Especificidades do Maplet Builder A interface do Maplet Builder Para iniciar o Maplet Builder, no Maple, devemos abrir o menu «Tools», seleccionar «Assistants», e por fim «Maplet Builder». O Maplet Builder é um assistente que permite construir as Maplets sem se ter de conhecer de forma profunda o código Maple. De modo muito intuitivo, o utilizador depara-se com uma Maplet "virgem" e com diferentes ferramentas à esquerda. Este só tem que introduzir os elementos que desejar juntar/acrescentar na Maplet ao centro. Os elementos são automaticamente criados e preparados. Encontram-se, entre outros elementos, os botões, as etiquetas, os sliders, as caixas de texto, as zonas gráficas, as caixas de diálogo, os menus, etc. Os elementos aí apresentados são comparáveis às ferramentas que se encontra na «Caixa de Ferramentas Controlos» do programa Microsoft Excel. Na coluna da direita, o utilizador pode encontrar um a um cada elemento da sua Maplet, localizando-o segundo a referência que especificou para cada elemento. Logo, que o faça, as opções do elemento são lhe propostas, e o utilizador pode as mudar de acordo com as suas preferências. Pode-se alterar, por exemplo, a cor de fundo, o nome de referência, o tamanho da zona ou a acção associada ao elemento nestas opções. Por fim, a zona em baixo do Maplet Builder, sob a Maple "virgem", encerra de maneira visual todas as acções ou propriedades definidas no programa. Assim, se verifica que o Maplet Builder é dividido em quatro diferentes regiões (a designação das regiões será mantida em inglês, uma vez que o Maple não tem tradução para o português e poder-se-ia criar interpretações dúbias): A Palette que dispõem de sub-paletes, as quais contém elementos Maplet organizados por sete categorias 1 ; O Layout mostra os elementos visuais da Maplet; 1 Na secção seguinte veremos com mais pormenor cada elemento.

57 CAPÍTULO 4. MAPLE Figura 4.1: Interface do Maplet Builder O Command onde se encontram os comandos e as correspondentes acções definidas na Maplet; As Properties donde consta as propriedades imediatas definidas para os elementos da Maplet. No menu «File», encontra-se o comando «Run». Este comando funciona somente para Maplets simples. Se a Maplet é mais complexa (por exemplo, contém uma zona tipo MathMl) devemos guardar a Maplet, deixar o Maplet Builder e voltar à nossa folha de trabalho. O código Maplet (que o Maplet Builder gentilmente escreve por nós) aparece nessa folha. Daí, não termos senão que executar o bloco de instruções como que com outras instruções quaisquer do Maple e a Maplet aparece alguns segundos depois. Quando se trabalha com o Maplet Builder deve-se ir guardando muitas vezes sob vários

58 CAPÍTULO 4. MAPLE nomes de ficheiros, pois o Maplet Builder não tem as acções «Anular» ou «Ctrl+z». Um erro é assim, à priori, irreparável. O desbloqueamento do código é também desagradável pois é preciso ir estudar o código "escondido" na folha de trabalho para descobrir o problema e resolvê-lo. Torna-se assim infrutífero se se considerar que a primeira função do Maplet Builder é, justamente, de não obrigar os utilizadores a dominarem um código de programação tão rico como o do Maple Os elementos da Divisão Palette A Divisão Palette possui sete sub-paletes que organizam os elementos. Assim, cada elemento pertence a uma das sete seguintes categorias: (i) Elementos do Corpo da Janela (Body Elements) (ii) Elementos do Dialog (Dialog Elements) (iii) Elementos do Menu (iv) Elementos da barra de botões (Toolbar Elements) (v) Outros elementos (vi) Elementos do Layout (vii) Elementos de comando (i) Elementos do corpo da janela Button (Botão): Define o botão que pode aparecer na janela de uma Maplet. Check Box (Caixa de Selecção): Mostra uma caixa na janela Maplet que ao ser seleccionada fica com uma marca de selecção.

59 CAPÍTULO 4. MAPLE Combo Box : Mostra uma caixa, onde o utilizador pode seleccionar uma opção de uma lista predefinida, ou então, escrever um novo item. Drop-Down Box : Mostra uma caixa, onde o utilizador pode apenas seleccionar duma lista pré-definida. Label : Pode conter uma linha de texto ou uma imagem. List Box : Mostra uma caixa onde o utilizador pode seleccionar mais do que uma opção de uma lista pré-definida. MathML Viewer : Com este elemento, as expressões aparecem no formato MathMl, ou seja, as expressões são vistas em formato de notação matemática em vez de na sintaxe do Maple. MathML Editor : Com este elemento, podemos editar expressões no formato MathMl, ou seja, as expressões são vistas em formato de notação matemática em vez de na sintaxe do Maple. Plotter : Define o espaço gráfico que apresenta o traçado ou a animação de uma função. Radio Button : Mostra um círculo na janela da Maplet que ao ser seleccionado fica com uma marca de selecção.

60 CAPÍTULO 4. MAPLE Slider : Idêntico a uma régua que permite ao utilizador escolher um valor inteiro num certo intervalo. Table : Permite inserir os dados em linhas e colunas. Text Box : Define uma caixa com múltiplas linhas de entrada e saída de texto. Text Field : Define uma caixa com uma linha de texto. Toggle Button : Define um botão de selecção, o utilizador pode premir para activar a sua selecção, ou premir novamente para a desactivar. Assim, podem estar seleccionados os botões que se desejar, nenhum ou todos. (ii) Elementos do Dialog Alert Dialog: É um aviso ou mensagem de alerta que possuí dois botões (Ok) e (Cancel). Seleccionando (Ok) o utilizador ignora o aviso e continua, pelo contrário premindo o botão (Cancel) o utilizador toma atenção ao aviso. Color Dialog: Mostruário de cores para uma fácil selecção. Confirm Dialog: Permite ao utilizador responder Yes (Sim) e continua, No (Não) mas continua ou Cancel e não continua uma dada pergunta. File Dialog: É uma janela standard para aceder a ficheiros do sistema.

61 CAPÍTULO 4. MAPLE Input Dialog: Idêntico ao Alert Dialog só que este possuí uma caixa de texto, na qual o utilizador pode escrever ou modificar dados, e possuí ainda dois botões o OK e o Cancel. Message Dialog: Mostra ao utilizador uma mensagem de informação com um único botão Ok, que seve para fechar a janela. Question Dialog: Coloca uma pergunta ao utilizador e permite que este responda Yes (Sim) ou No (Cancel). (iii) Elementos de Menu Uma aplicação pode conter uma barra de menus. Cada barra de menus pode conter um ou mais menus, cada um pode conter itens definidos com o Menu Item, Check Box Menu Item, Radio Button Menu Item e Menu Separator. Podemos ainda adicionar um menu extra a um Text Field ou Text Box activado quando se clica no botão direito do rato quando temos o cursor em cima de uma dessas caixas, este menu designa-se por Pop-Up Menu. Check Box Menu: É um item do menu que funciona com uma Check Box. Menu: Define uma janela de barra de menu. Menu Item: Define itens/barra de menus.

62 CAPÍTULO 4. MAPLE Menu Separator: Cria uma linha horizontal separadora dentro de um menu. Pop-Up Menu: Define um menu extra sob uma caixa de texto. Radio Button Menu: É um item do menu que funciona como um Radio Button. (iv) Elementos da Barra de Botões Uma barra de botões pode conter um qualquer número de botões. E estes podem ser agrupados em grupos diferentes usando um separador que cria um espaço entre botões adjacentes. Toolbar: Define uma janela de barra de botões. Toolbar Button: Define um botão numa barra de botões. Toolbar Separator: Define um separador de botões. (v) Outros elementos Action: Define uma acção numa Maplet. Argument: Especifica o argumento de uma função no Maple.

63 CAPÍTULO 4. MAPLE Button Group: Permite associar botões de modo que apenas um seja seleccionado. Font: Especifica um tipo de letra num elemento. Image: Especifica uma imagem do tipo jpeg ou gift numa Maplet. Return: Agrupa um conjunto de valores que são enviados para a sessão do Maple (worksheet) quando uma Maplet é fechada. Return Item: Especifica que valores são enviados para a sessão do Maple quando a Maplet é fechada. (vi) Elementos do Layout Uma janela Maplet admite duas formas de layout diferentes: o Box Layout e o Grid Layout. Estas descrevem como é que os vários elementos de uma Maplet são posicionados. Box Cell: Especifica a entrada numa Box Column, Box Row ou Box Layout. Box Layout: Layout em que se pode controlar onde os itens aparecem horizontalmente ou verticalmente relativamente a outros elementos. Grid Cell: Especifica a entrada de uma linha numa layout.

64 CAPÍTULO 4. MAPLE grelha. Grid Layout: Os elementos dispõem-se como se tivessem numa espécie de Row. Horizontal Glue: Adiciona um espaçamento horizontal flexível numa Box Vertical Glue: Adiciona um espaçamento vertical flexível numa Box Column. (vii) Elementos de Comando Close Window: Fecha a janela que está a ser executada. Evaluate: Executa um procedimento do Maple com um dado conjunto de argumentos na sessão do Maple. Run Dialog: Abre uma janela do dialog e aceita apenas a opção dialog que é referência à janela que vai ser executada. Run Window: Abre uma janela e aceita apenas a opção window que é a referência à janela que vai ser executada. Set Option: Permite que valores de certas opções possam ser modificados enquanto que uma Maplet está a ser executada. Shutdown: Fecha a Maplet que está a ser executada.

65 CAPÍTULO 4. MAPLE Nesta secção pretendeu-se dar a conhecer os elementos disponíveis na Palette. É claro, que para cada Maplet se deve adequar a escolha dos elementos. A nossa Maplet utiliza, essencialmente, Elementos do Corpo da Janela. 4.3 Criar uma Maplet Simples usando o Maplet Builder O acesso ao assistente Maplet Builder faz-se através da barra de menus do programa Maple. Como se trata da criação de uma Maplet Simples o utilizador não precisa de abrir nenhuma sessão no Maple, terá apenas que aceder ao software Maple10 como habitualmente faz para abrir a maior parte dos programas para windows, depois na barra de menus abrir o menu «Tools», seleccionar «Assistants» e por fim «Maplet Builder». Surge, então, a Maplet "virgem" que irá ser alterada pelo autor da aplicação Maplet. É exemplo de uma Maplet Simples a aplicação que desenha o gráfico de uma função depois de o utilizador introduzir a sua expressão analítica e accionar o botão Gráfico que constrói o seu traçado. O aspecto de tal aplicação é o seguinte:

66 CAPÍTULO 4. MAPLE Figura 4.2: Interface da Maplet Como se pode observar, para criar a janela da aplicação que esboça o gráfico são usados os seguintes elementos da paleta Body. Figura 4.3: Elementos do corpo da janela usados para definir a Maplet Seguem-se os passos necessários à construção da Maplet: Definir o número de linhas da Maplet 1. Na divisão Properties (zona à direita no interface Maplet Builder): a. ir à lista drop-down e seleccionar Box Column1; b. alterar para 2 no campo numrows.

67 CAPÍTULO 4. MAPLE Figura 4.4: Definir o número de linhas da Maplet Adicionar um espaço gráfico na primeira linha 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Plotter e soltá-lo sob a primeira linha na zona Layout (região ao centro). Figura 4.5: Adicionar um gráfico na primeira linha

68 CAPÍTULO 4. MAPLE Adicionar colunas na segunda linha 1. Na divisão Properties: a. ir à lista drop-down e seleccionar BoxRow2; b. alterar para 3 o campo numcolumns. Figura 4.6: Adicionar colunas na segunda linha Adicionar uma etiqueta na segunda linha 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Label e soltá-lo sob a coluna da esquerda na zona Layout. 2. Na divisão Properties: a. ir à lista drop-down e seleccionar Label1; b. mudar o campo caption para Introduza uma função em x.

69 CAPÍTULO 4. MAPLE Figura 4.7: Adicionar o elemento Label na segunda linha Adicionar uma caixa de texto na segunda linha 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento TextField para a coluna do meio. Este elemento permite que o utilizador insira um dado que pode ser recuperado para ser usado numa acção. 2. Se necessário, redimensionar a janela do Maplet Builder para visualizar toda a zona Layout. Adicionar um botão na segunda linha 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Button e soltá-lo sob a coluna da direita na zona Layout. 2. Na divisão Properties: a. ir à lista drop-down e seleccionar Button1; b. mudar o campo caption para Gráfico ; c. na lista drop-down associada ao campo onclick, seleccionar <Evaluate>.

70 CAPÍTULO 4. MAPLE Figura 4.8: Adicionar uma caixa de texto na segunda linha Figura 4.9: Adicionar um botão na segunda linha 3. É nos apresentada uma pequena janela (dialog) designada por Evaluate Expression. Desta, constam os elementos alvo (Target), ou seja, aqueles para os quais é possível enviar informação. Neste caso, os elementos são o Plotter1 e o TextField1 que estão organizados por uma lista drop-down. Seguem-se, duas caixas de texto localizadas numa aba, Command Form, a primeira caixa é designada por Expression e a segunda List na qual estão definidos quais os elementos recuperadores de informação. Neste caso, o único elemento é o TextField1.

71 CAPÍTULO 4. MAPLE a. ir à lista drop-down do Target e seleccionar Plotter1; b. na aba Command Form, introduzir o comando Plot(TextField1, x = ) na caixa Expression. É possível, também, através de um duplo clique "chamar" o TextField1 da segunda caixa de texto e inseri-lo na sintaxe do comando a cima descrito; c. pressionar o botão Ok. Figura 4.10: Janela Evaluate Expression Fazer correr a Maplet 1. No menu «File» seleccionar «Run». Somos incitados a guardar a Maplet. Uma aplicação Maplet criada com recurso ao interface Maplet Builder é guardada num ficheiro com extensão.maplet. 2. Premir o botão Yes (Sim) e navegar para a localização onde se vai guardar a Maplet.

72 CAPÍTULO 4. MAPLE Depois de concretizados todos estes passos fica concluída a construção de uma Maplet que esboça o gráfico de uma função e cuja janela, em termos de aparência, fica com o seguinte aspecto: Figura 4.11: Interface da Maplet A sequência descrita anteriormente é de fácil execução e permite criar uma janela com a funcionalidade de traçar o gráfico de funções de uma variável real. Com ligeiras alterações é possível recriar uma outra janela na qual o utilizador da maplet pode definir o domínio da função. Apresentamos como exemplo o seguinte interface cujas modificações foram realizadas a partir da aplicação anterior. As alterações incidiram na estrutura e na indicação a introduzir na aba para efeito de definir a acção do botão Gráfico. Ou seja, depois de criadas mais duas caixas de texto para o valor mínimo de x e valor máximo de x, TextField1 e TextField2, respectivamente, o comando introduzido na aba é redefinido para Plot(TextField1, x = TextField1...TextField2).

73 CAPÍTULO 4. MAPLE Figura 4.12: Interface da Maplet

74 Capítulo 5 Maplet para a interpretação gráfica de sistemas-l Neste capítulo apresentamos a elaboração da aplicação Fractmaplet que permite se visualizar graficamente um fractal gerado através de um sistema- L. Na construção da Maplet será usado o assistente de programação Maplet Builder e, paralelamente, uma folha de trabalho (worksheet) usual do Maple que comportará as rotinas de programação. No final teremos uma folha de trabalho que contém o código do programa. Este código pode ser separado em duas partes: na primeira parte serão definidos os procedimentos e a segunda parte constituída por um bloco de execução bastante volumoso contendo o código da Maplet. O programa é passível de ser modificado ou complementado, uma vez que o ficheiro produzido é uma folha de trabalho perfeitamente aberta às modificações que cada um queira aí aplicar. 74

75 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L Procedimentos no Maple 10 A linguagem do Maple é semelhante a numerosas outras linguagens de programação. E como em todas essas linguagens de computação numérica e simbólica, o Maple possui particularidades ao nível da sua sintaxe e do seu vocabulário. Para qualquer novo utilizador é aconselhável percorrer as fichas do Maple Help respeitantes a programação, bem como, os completos manuais que estão acessíveis através do menu «Help» Iniciar uma sessão de Maple Para iniciar uma sessão de Maple, no sistema Windows, procede-se como para a maior parte dos programas para Windows. Basta fazer duplo-clique no símbolo do Maple 10 Standard Worksheet se este se encontrar no ambiente de trabalho, através do menu iniciar ou através do ficheiro executável Maple 10.exe, como habitualmente. Depois de abrir o programa aparece uma janela com menus, várias paletas, alguns botões e a folha de trabalho para edição dos comandos Maple. A interface Standard Worksheet nesta versão possui dois modos: o modo Document

76 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L76 e o modo Worksheet. Por defeito, ao iniciar o programa, a folha de trabalho está no modo Document, para mudar para o modo worksheet acedemos ao menu <File>, seleccionamos <New> e por fim <Worksheet Mode>. Esta alteração deverá ser realizada para se poder usar os comandos com as funcionalidades mais avançadas do Maple Área de trabalho É na área de trabalho (Worksheet) onde são escritos e executados os comandos do Maple. Neste documento estão destacados dois códigos de programação diferentes: o primeiro, contendo os procedimentos e o segundo, contendo um bloco de execução de comandos do código Maplet. Numa primeira fase será dado destaque à parte onde estão descritos os procedimentos. Estes estão organizados por quatro secções distintas. Não está contemplado nos objectivos deste trabalho justificar a impregabilidade de determinada sintaxe ou linguagem de programação, mas sim de tornar claro o que descreve determinado ciclo(s) ou procedimento(s). Em todo o caso, não é demais referir que o Maple inclui um sistema de ajuda que pode ser acedido a partir da worksheet. Basta, para isso, preceder o assunto a pesquisar com um sinal de interrogação e executar a instrução Procedimentos da Worksheet O código da primeira parte do programa está organizado em quatro secções distintas.

77 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L77 A primeira secção começa com o comando Restart : Os packages indicados foram chamados com o comando With pois vão ser usados elementos e comandos destas packages. Em particular, as packages Maplets[Elements] e Maplets [Tools] são necessárias para a execução de comandos do código da segunda parte. É recomendável que num procedimento se tenha cuidado com o tipo de valores que são usados. Por exemplo, pode gerar resultados pouco animadores utilizar números fraccionários num procedimento que efectua cálculos com números inteiros. Nos procedimentos, podemos restringir as variáveis ao tipo desejado. Podemos assim evitar que o Maple execute todo o procedimento, para no final nos dar a indicação de erro. Se forem introduzidos valores que não se adeqúem aos cálculos do procedimento, ao restringirmos as variáveis, o Maple não chega a executar o procedimento avisando que as varáveis não são do tipo desejado. No procedimento GRÁFICO(a, b) é feita a interpretação geométrica 1 de vários símbolos dispostos numa palavra (s), que vão indicando o movimento da tartaruga. Este procedimento espera 2 parâmetros de entrada. Neste caso, na posição a, GRÁFICO espera a entrada da palavra (s) e, na posição b, numerdir é esperada o número de direcções. Neste procedimento, só é aceite uma string como formatação da variável 1 De acordo com a definição indutiva apresentada nas secções 3.3 e 3.5 para a função de interpretação gráfica.

78 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L78 s e valores inteiros (integer) atribuídos à variável numerdir. Se forem dados outros valores, o procedimento não chega a ser executado. Isto faz-nos ganhar tempo, se o procedimento for relativamente grande. As variáveis PONTOA, SEGMENTO, ANGULO, ANGSTEP, GRAFICOTEMP declaradas locais, pois só vão ser usadas neste procedimento. e MEM são todas A variável PONTOA indicará sempre a posição da tartaruga mesmo que depois de realizado um movimento (assumirá essa nova posição); a grandeza do espaçamento no avanço da tartaruga está associada à variável SEGMENTO (será sempre de 1 u.c. a menos que seja redefinido por sintaxe própria, como veremos mais à frente) e a amplitude da rotação da tartaruga antes de iniciar um movimento, propriamente dito, indicado pela variável ANGULO. Inicialmente os valores atribuídos às variáveis PONTOA, SEGMENTO e ANGULO são, respectivamente, o ponto de origem (posição inicial de coordenadas Cartesianas (0,0)), uma unidade e zero. À variável ANGSTEP é atribuído o valor do quociente 2π numerdir pelo que esta aguarda que venha de fora a informação sobre o número de direcções através da activação de uma TextField. GRAFICOTEMP é a variável que vai interpretar geometricamente cada caracter da palavra (s), para se assegurar que no inicio não é nada em termos geométricos, atribui-se a expressão, NULL. À variável MEM é dada a tarefa de construção de uma pilha.

79 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L79 Inicia-se um ciclo for que permite percorrer todos os caracteres de s for i from 1 to length(s). Segue-se uma declaração condicional que comporta a sintaxe para definir o símbolo F. Sempre que este símbolo surja na palavra (s). A interpretação da tartaruga deve ser a de mover uma unidade para a frente. Assim, a nova posição da tartaruga passa a ser de (x, y, ANGULO), onde x = x+segmento cos(angulo) e y = y+segmento sin(angulo), sendo (x, y) e (x, y ), respectivamente, as coordenadas cartesianas da variável PONTOA e PONTOB. A nível gráfico (GRAFICOTEMP) o segmento de recta entre o PONTOA e o PONTOB é desenhado. Finalmente, o PONTOA assume agora a posição do PONTOB. Ainda, sob uma condição, é apresentada a sintaxe que é usada para definir o símbolo G sempre que este surja na palavra (s). Tanto a sintaxe como a interpretação geométrica é idêntica à que foi descrita para o símbolo F com a diferença que o rasto da tartaruga não é desenhado.

80 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L80 As duas primeiras condições definem uma nova direcção para a tartaruga. O símbolo + indica que esta orienta-se para a esquerda segundo o ângulo de incremento ANGSTEP e o símbolo - indica que esta orienta-se para a direita segundo o mesmo ângulo de incremento ANGSTEP. A variável ANGULO é redefinida. O símbolo! inverte o sentido aos símbolos + e -. O símbolo indica que a tartaruga "tenta" virar 180 o. A sintaxe iquo(numerdir,2)*abs(angstep) determina a possibilidade máxima de virar até 180 o. O símbolo [ memoriza o actual estado do gráfico, ou seja, os actuais valores do PONTOA, ANGULO, SEGMENTO e ANGSTEP, o símbolo ] repõe o estado do gráfico anteriormente memorizado. No primeiro caso, coloca-se na pilha 2 MEM o valor das quatro variáveis anteriormente referidas. No segundo caso, vai-se à pilha MEM buscar os valores guardados, de acordo com uma lista de quatro valores indexados. O na linguagem Maple é seguido por um numeral que funciona como um factor de escala do segmento unitário. Isto é, permite redimensionar o comprimento desse segmento. O ciclo, tal como descrito, permite ir buscar o valor numeral indicado a seguir ao em vez de ir procurar outro caracter do sistema-l. Ou seja, não 2 Entenda-se pilha como um vector representando um empilhamento de objectos. Sempre que se retira um objecto retira-se o último colocado.

81 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L81 se avança para a interpretação de outro símbolo sem que terminem de ocorrer dígitos ou. ponto decimal. Este procedimento comporta os valores iniciais das variáveis, um grande ciclo com várias condições, e pequenos ciclos. No fim é chamada a variável GRAFICOTEMP que nos dá a interpretação geométrica do rasto da tartaruga, depois de lida toda a sequência de caracteres da palavra (s) nesse ciclo. Note-se, que não é exibido o gráfico. Com end proc conclui-se o procedimento. Na próxima secção de comandos do Maple descrevemos como é que um sistema-l gera a sequência de caracteres que modela um fractal. Da caracterização do sistema-l faz parte o axioma e as regras que o utilizador escreve na janela da Maplet. Se o utilizador não alterar a regra associada a uma letra do alfabeto, por defeito, a aplicação assume como regra a mesma letra (exemplo, A A). Assim, regras é um vector que possui todas as letras do alfabeto. Nas posições ímpares, as letras (substituídos), e, nas pares, as regras de produção (substitutos).

82 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L82 É no procedimento SISTEMAL que se vai gerar algoritmicamente a sequência de símbolos (a interpretação geométrica de cada símbolo foi realizada no procedimento anterior) que descreve a imagem fractal. Esta rotina espera 4 parâmetros de entrada. Neste caso, a posição axioma espera a entrada do axioma do sistema-l, a posição numerdir espera o número de direcções, a posição, n espera o número de gerações, informação que vem da activação de um slider, e regras que vem de uma ou mais instruções que o utilizador escreve na caixa de texto (regrastexto) da aplicação Maplet. As variáveis LTEMP, i, j, k, LTEMP2 e A são todas declaradas locais, pois só vão ser usadas neste procedimento. A variável LTEMP vai conter, momentaneamente, em cada iteração a palavra gerada pela transformação de cada símbolo na sequência de símbolos definida nas regras de produção ( regras ). Inicialmente, esta é a sequência de símbolos ou o único símbolo correspondente ao axioma. Para garantir que tem todos os caracteres maiúsculos usa-se a sintaxe UpperCase. A variável LTEMP2 vai funcionar como uma pilha que guarda, temporariamente, os caracteres já modificados em cada iteração que depois vão transitar novamente para LTEMP. E A é uma lista inicialmente nula que vai conter os "substituídos" de regras.

83 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L83 O ciclo for aumenta de 2 em 2, para poder percorrer os operandos das posições ímpares de regras, e ir juntando as letras que ocupam essas posições numa lista designada por A. Note-se, que essas letras só passam a fazer parte de A depois de transformadas em maiúsculas. Inicia-se um novo ciclo que vai criar a pilha LTEMP2. Vai ser revisado cada símbolo de LTEMP, no sentido de se saber se é uma das letras da lista A ou não. Se o símbolo for uma das letras (substituído) da lista A então admite uma regra de produção (substituto localizado em regras ) e é o operando que ocupa a posição com índice igual ao dobro da indexação do correspondente elemento em A. Depois de localizado, traz-se para a pilha LTEMP2 a transformação da letra na sequência de símbolos que a regra de produção define, ou seja, o substituto. Se pelo contrário, o símbolo que está a ser revisado, pertencente a LTEMP, não for uma das letras da lista A (por exemplo, o símbolo + ) este é inserido na pilha LTEMP2 sem sofrer qualquer modificação. Este ciclo é executado até serem percorridos todos os caracteres de LTEMP. A pilha LTEMP2 possui agora a sequência de símbolos que correspondem ao primeiro iterado, mas com os caracteres ordenados de forma inversa. Neste momento, "esvazia-

84 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L84 se" a lista LTEMP e procede-se á sua constituição colocando todos os caracteres de LTEMP2 ordenados correctamente. Assim, LTEMP é a sequência de caracteres que compõem o primeiro iterado. Inicia-se outra vez, o ciclo que vai criar uma nova pilha LTEMP2. Vai ser revisado cada símbolo de LTEMP (já não comporta o axioma mas sim o primeiro iterado), no sentido de saber se é uma das letras da lista A ou não. Se o símbolo é uma das letras da lista A então insere-se na pilha LTEMP2, previamente inicializada, a transformação da letra na sequência de símbolos que a correspondente regra de produção define. Se o símbolo não é uma das letras da lista A é ele que é inserido na pilha LTEMP2. A pilha LTEMP2 possui agora a sequência de símbolos que correspondem ao segundo iterado, mas com os caracteres ordenados de forma invertida. Neste momento, volta-se a "esvaziar" a lista LTEMP e procede-se à sua reformulação listando os caracteres de forma ordenada. Assim, LTEMP corresponde à sequência de caracteres que compõem o segundo iterado. Procede-se de modo similar tantas vezes quanto o número de iterações indicadas pelo utilizador quando activou o slider na janela da Maplet. No final, LTEMP corresponderá à sequência de todos os símbolos que descreve a imagem fractal e que foi gerada pelo sistema-l. Para exibir o gráfico, imagem do fractal, é necessário usar o comando display. Neste caso, teremos de fazer display(grafico(ltemp,numerdir));. Com end proc conclui-se o procedimento. A próxima secção de comandos do Maple possui três procedimentos que convertem opções e acções da janela em instruções que o Maple compreende, para as poder usar.

85 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L85 Assim, o procedimento axiomastring recebe a expressão que o utilizador insere na TextField ( axioma ) e concerte-a numa string. Depois de o utilizador aceder à Drop Down Box ( listavar ) e seleccionar uma letra, este procedimento recebe a informação da letra escolhida, converte-a numa string, procura essa letra no vector regras e envia a informação da correspondente regra de produção de volta. Depois de exibida numa caixa de texto a regra de produção associada à letra que o utilizador escolheu na Drop Down Box ( listavar ), este pode mantê-la ou modificá-la para a instrução que lhe convier. Para que o Maple assuma tal alteração é necessário o procedimento criaregras que converte a informação dada pelo utilizador na TextField ( regrastexto ) numa string e "entende" a alteração feita na regra de produção. Portanto, até este ponto ainda não está iniciada a construção da Maplet, pois tal só ocorre quando surgir o seguinte comando:

86 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L86 O bloco de execução de comandos que se segue é o código da Maplet que "gentilmente" o Maplet Builder escreve por nós.

87 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L87

88 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L88 Este bloco de instruções foi inserido na folha de trabalho depois de: criada a aplicação Maplet e atribuído o nome de Fractmaplet ; guardada a aplicação num ficheiro com extensão.maplet; aberta a aplicação numa secção do Maple que mostrou todo o volumoso bloco de comandos escondidos por trás da Maplet; copiados os comandos e colados na folha de trabalho.

89 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L89 Como já foi referido anteriormente o Maplet Builder apresenta algumas limitações na construção de Maplets mais complexas, e como tal, foi necessário fazer alguns ajustes no código produzido. Estas diferenças serão exibidas depois de exemplificar como é que a aplicação Fractmaplet foi construída. 5.2 Construção da aplicação Fractmaplet No inicio, começou-se por idealizar apenas uma janela base onde fosse possível inserir o axioma, a regra, o número de direcções, o número de gerações e clicar num botão para a imagem fractal aparecer. No final, a aplicação teria de ter mais alguns elementos, e a aparência da aplicação Maplet, em termos de aspecto, viria a ser o seguinte: Figura 5.1: Interface da Fractmaplet Como se pode observar, a estrutura-esqueleto da janela é de duas colunas, a primeira subdividida em 4 espaços e a segunda com 2 espaços distintos: a zona gráfica e a zona dos botões, como são dois botões intui-se que terá aí de haver também uma subdivisão.

90 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L90 Para criar a janela da aplicação que esboça a imagem fractal são necessários os seguintes elementos da paleta Body. Figura 5.2: Elementos do corpo da janela usados para definir a Maplet Seguem-se os passos necessários à construção da Maplet: Definir a estrutura da janela (número de colunas e linhas) da Maplet 1. Na divisão Properties: a. ir à lista drop-down e seleccionar Window1, a1. alterar para Fractmaplet no campo title; b. ir à lista drop-down e seleccionar BoxLayout1, b1. alterar para 2 no campo numcolumns; c. ir à lista drop-down e seleccionar BoxColumn1, c1. alterar para 4 no campo numrows; d. ir à lista drop-down e seleccionar BoxColumn2, d1. alterar para 2 no campo numrows; e. ir à lista drop-down e seleccionar BoxRow6, e1. alterar para 2 no campo numcolumns.

91 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L91 Não é possível mudar a legenda às Box Rows, por defeito, esta propriedade não vem especificada nas Properties do elemento, também não é possível activar o bordo das mesmas caixas. 3 Figura 5.3: A estrutura da Maplet No passo seguinte é criada a caixa de texto onde o utilizador pode introduzir a sequência de símbolos ou um único símbolo que corresponde ao axioma. As alterações das propriedades de qualquer elemento é realizada na zona da direita do interface do Maplet Builder depois de clicarmos sob o elemento já inserido no Layout. Formatar a primeira linha da Column1 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento TextField e soltá-lo sob a primeira linha da primeira coluna. a. alterar para axioma no campo reference; 3 A legendagem e a activação dos bordos será feita no próprio código que a Maplet irá produzir.

92 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L92 b. alterar para F no campo value 4. Figura 5.4: A caixa de texto para o axioma A segunda linha terá todos os elementos necessários para que o utilizador possa criar as regras de produção do sistema-l. Terá de seleccionar de uma lista a letra para a qual vai definir uma regra; a sequência de caracteres que define a regra de produção é escrita numa caixa de texto, e premindo um botão guardada. Formatar a segunda linha da Column1 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Label e soltá-lo sob a segunda linha da primeira coluna. a. alterar para Regras no campo Caption. 2. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento DropDown- Box e soltá-lo junto da etiqueta. 4 Por defeito o valor do campo passa a ser F

93 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L93 a. alterar para listavar no campo reference; b. inserir os itens da lista, para tal no campo itemlist introduzir todas as letras do alfabeto separadas por, e sem deixar espaços; c. alterar para F no campo value. A acção associada a este elemento será definida depois de criar o próximo elemento. 3. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento TextField e soltá-lo junto à lista. a. alterar para regrastexto no campo reference; b. alterar para F + F F + F no campo value Seleccionar o elemento referenciado por listavar e definir a acção que lhe está associada. a. no campo onchange seleccionar <Evaluate>, surge uma pequena janela. Nesta, teremos de indicar qual o elemento alvo e a instrução que será executada. Neste caso, a letra que o utilizador seleccionar na lista Drop Down Box entrará como informação no procedimento do Maple designado por obterregra e deste virá de volta a regra de produção que lhe está associada que será visualizada na Text- Field2 referenciada por regrastexto. Assim, na lista Target seleccionamos TextField2 e na primeira caixa designada por Expression da aba Command Form, escrevemos obterregra(). É ainda possível mudar o nome dado à acção, para tal basta seleccionar o ícone da acção na zona dos comandos da janela e no campo reference alterar para mudaregra. 5. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Button e soltá-lo o mais à direita possível na segunda linha. a. mudar o campo caption para Guardar Regras ; 5 Por defeito o valor do campo passa a ser F + F F + F.

94 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L94 b. na lista do campo onclick, seleccionar <Evaluate>. Este botão tem como função guardar a nova regra de produção, para tal terá de enviar a informação para o procedimento do Maple designado por criarregras, mas não precisa de recuperar nenhuma informação para a aplicação. Como, por defeito, o Maplet Builder assume sempre algum elemento alvo teremos de estar atentos ao código produzido pela Maplet e apagar essa instrução. Assim, na dialog teremos apenas de escrever a sintaxe do procedimento que vai ser executado criarregras(). Figura 5.5: Activação do botão Guardar Regras A formatação da terceira linha desta coluna é muito simples, basta inserir uma caixa de texto na qual o utilizador irá indicar o número de direcções e uma etiqueta que mostra o cálculo para determinar o ângulo de orientação da tartaruga antes de iniciar um movimento. Embora seja de simples formatação, este dado vai ser usado em muitos dos procedimentos do Maple para a leitura gráfica da sequência de símbolos que descreve a imagem fractal.

95 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L95 Formatar a terceira linha da Column1 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Label e soltá-lo sob a terceira linha da primeira coluna. a. alterar para 360 o /N no campo caption. 2. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento TextField e soltá-lo sob a terceira linha à direita da etiqueta. a. alterar para numerdir no campo reference; b. alterar para 6 no campo value 6. Figura 5.6: A caixa de texto para inserir o número de direcções Por fim, a informação sobre o número de gerações que o utilizador pretende efectuar será recuperada quando este arrastar o cursor sobre uma régua. Note-se que o número máximo de iterações que a Maplet permite que o utilizador escolha é de 8, uma vez que, a velocidade do processador do computador pode não ser suficiente para comportar tal instrução ou demorar demasiado tempo a produzir a imagem fractal. 6 Por defeito o valor do campo passa a ser 6

96 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L96 Formatar a quarta linha da Column1 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Slider e soltá-lo sob a quarta linha da primeira coluna. a. alterar para 2 no campo majorticks. Esta propriedade, de graduação da régua, indica que o espaçamento entre cada traço maior é de 2; b. alterar para n no campo reference; c. alterar para 8 no campo upper. Figura 5.7: Slider que dá o número da geração da imagem fractal A segunda coluna da Maplet possui uma região gráfica e dois botões. Formatar a primeira linha da Column2 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Plotter e soltá-lo sob a primeira linha da segunda coluna.

97 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L97 a. alterar para 300 no campo height; b. alterar para 350 no campo width. Estas duas propriedades permitem redimensionar a zona gráfica. Figura 5.8: Introdução de uma zona gráfica na Maplet A segunda linha da segunda coluna vai comportar dois botões essenciais. O primeiro manda executar o gráfico da interpretação geométrica da sequência de símbolos gerado no sistema-l e o segundo é o botão que fecha a aplicação. Formatar a segunda linha da Column2 1. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Button e soltá-lo sob a segunda coluna da segunda linha à esquerda. a. mudar o campo caption para Desenhar. Para definir a acção associada a este botão: b. na lista do campo onclick, seleccionar <Evaluate>. Ao pressionar o botão não é enviada nenhuma informação para o Maple, mas sim recuperada a

98 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L98 informação necessária para executar o procedimento SISTEMAL. O elemento alvo é Plotter1 que exibirá a construção gráfica da sequência de símbolos gerada no procedimento. Assim, na dialog teremos de na lista Target seleccionar Plotter1 e escrever na caixa de texto Expression da aba Command Form a sintaxe do procedimento que vai ser executado SISTEMAL(axiomastring(),numerdir,n,regras). Figura 5.9: Activar o botão Desenhar 2. Usando o recurso arrasta-e-solta trazer da paleta Body o elemento Button e soltá-lo sob a segunda coluna da segunda linha à direita. a. mudar o campo caption para Fechar. A função deste botão é de fechar a janela, pelo que para a associar essa acção ao botão basta: b. na lista do campo onclick, seleccionar <Shutdown>. E na pequena janela que aparece clicar em (Ok). Todos os elementos visuais que pretendo que a aplicação Fractmaplet contenha são possíveis de ser introduzidos através do recurso arrasta-e-solta. Também as acções associadas a cada elemento foram definidas através do Maplet Builder. No entanto,

99 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L99 há dois "erros" que terão de ser colmatados alterando o código que a Maplet produziu. Neste momento, a construção está completa. Falta apenas gravar a aplicação, para isso, abrir o menu «File» e seleccionar «Save As». Guardar a Maplet com o nome Fractmaplet.maplet na localização que se desejar Alteração do código do programa O Maplet Builder esconde um bloco de execução de comandos que pode ser visualizado se abrirmos o ficheiro criado com este interface, mas numa sessão de Maple. O bloco de comandos que a aplicação Fractmaplet criou foi copiado e inserido na folha de trabalho onde estão descritos todos os procedimentos que tornam funcional o programa. No entanto, enquanto procedíamos à construção visual da janela da aplicação detectamos duas limitações que só são possíveis serem ultrapassadas depois de estudado o código de programação Maplet e feito as respectivas alterações. Uma das alterações tem haver com o aspecto gráfico do programa. Como vimos não era possível tornar visível o bordo das caixas nem lhes atribuir uma legenda. O código que o Maplet Builder escreveu referente a este assunto foi o seguinte:

100 CAPÍTULO 5. MAPLET PARA A INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS-L100 Para tornar visível o bordo da caixa temos de inserir a seguinte sintaxe border = true e para atribuir a legenda à caixa caption ="...". A outra alteração tem haver com a descrição da acção atribuída ao botão Guardar Regras na qual é preciso limpar o campo Target. Com estas alterações ficam colmatadas as limitações do interface Maplet Builder e corrigido todo o código de programação do programa. Agora, este é guardado num único ficheiro aplicfractmaplet.mw passível de ser alterado sempre que um novo utilizador entender.

101 Capítulo 6 Fractmaplet e Geometria Dinâmica O uso do computador pode trazer grandes benefícios ao ensino da matemática, mas para isso é necessário escolher programas adequados a uma metodologia que tire proveito das características positivas do computador. Um bom exemplo deste benefício são os programas computacionais de Geometria Dinâmica que implementam no computador as construções geométricas elaboradas com régua e compasso. A utilização de Maplets que designam as interfaces gráficas amigáveis para o utilizador com a programação computacional Maple serão apresentadas neste trabalho como um outro aproveitamento dos recursos computacionais da actualidade. A geometria é, sob o meu ponto de vista, a área da matemática que mais benefícios tira com o uso do computador e das suas tecnologias, quando se considera o ensino-aprendizagem. Em particular, a geometria fractal tem uma ligação e até dependência relativamente aos computadores e ao seu uso. É, por um lado, um possível factor de motivação para alguns alunos estudarem e explorarem estas formas geométricas e, por outro, uma eventual entrada para o mundo da programação e da exploração de software(dinâmico) de representação de imagens fractais. Ao tentarem desenhar uma curva fractal com lápis no papel, facilmente se aperceberão da utilidade e da necessidade da utilização 101

102 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 102 de um computador para realizar esta tarefa com maior precisão e rapidez. 6.1 Fractmaplet uma ferramenta para o ensino A aplicação fractmaplet é uma janela interactiva que permite que os alunos abordem a construção de fractais através de programação matemática. O professor deve garantir que todos os alunos dominem um conjunto mínimo de conhecimentos e técnicas, de forma a permitir que, a partir desse patamar, se possam desenvolver as competências que lhe estão associadas. Neste sentido, o aluno tem de ter conhecimento prévio dos símbolos e seu significado na linguagem própria dos sistemas-l. Usando um alfabeto de apenas três símbolos, F, + e -, o aluno é já capaz de definir as instruções necessárias para criar uma linha fractal. Ao utilizar a aplicação Fractmaplet o aluno, além de aprender a construir um fractal e a verbalizar matematicamente as operações necessárias para tal, utilizando e trabalhando vários conceitos matemáticos, está também a adquirir a noção de programação e vai apercebendo-se da importância da matemática e do raciocínio matemático na criação das ferramentas electrónicas que usa todos os dias. Ao aprender a programar, o aluno também pode aprofundar a noção de variável, de concretização de uma variável e perceber como e para quê se criam sub-rotinas, e se aplicam métodos recursivos. Além disso, pode ainda dar-se conta não só das capacidades do computador como das suas limitações. A aplicação Fractmaplet torna-se muito funcional quando o aluno está a desenvolver uma actividade em que tem de explorar e investigar particularidades de um fractal em diferentes gerações. Depois de este adquirir os conceitos básicos que permitem caracterizar o sistema-l, que descreve o fractal em questão, tem apenas de inserir nos campos indicados para o efeito a sequência de símbolos, ou símbolo inicial axioma,

103 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 103 a(s) regra(s) de produção, o número de direcções e com o deslocamento fácil de um cursor sobre uma régua escolher a ordem da geração da imagem fractal. Por exemplo, para visualizar a linha fractal designada por Curva de Koch preenche-se os campos da janela do seguinte modo: A imagem fractal que se pode visualizar na região gráfica corresponde à segunda geração, para visualizar a linha fractal na sexta geração basta deslocar o cursor do slider mais quatro unidades para a direita.

104 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 104 O utilizador facilmente dá conta que demora mais algum tempo a mostrar o fractal, sendo esta uma das possíveis limitações da máquina. 6.2 A Geometria Dinâmica uma ferramenta para o ensino A Geometria Dinâmica Os programas de Geometria Dinâmica são hoje largamente utilizados no estudo da Geometria Euclideana. Contrariamente às outras ferramentas de desenho gráfico os programas de Geometria Dinâmica preservam as relações geométricas entre os objectos que se vão criando, por exemplo, se se desenha um triângulo o aluno pode mudar a posição dos vértices e a ferramenta de Geometria Dinâmica, automaticamente, arrasta os segmentos que unem os vértices formando um novo triângulo definido pela posição que os vértices passaram a ocupar após a manipulação realizada pelo aluno. Outro exemplo simples que pode ilustrar o "dinamismo" desta geometria é a construção da mediatriz de um segmento de recta dados dois pontos, A e B,

105 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 105 extremidades do segmento. Para construir a mediatriz basta encontrarmos dois pontos equidistantes de A e de B, e por eles traçar a recta resposta r (mediatriz). Uma vez efectuada a construção podemos mover os pontos A ou B pela a área de desenho e o programa que implementa a Geometria Dinâmica, automaticamente, redesenhará todos os objectos preservando as suas propriedades. Desta forma, a recta r continuará visualmente a ser a mediatriz de A e B. (Figura 6.1) Exemplo: Dados dois pontos, A e B, construir a mediatriz do segmento de recta [AB]. Construção: contém o ponto B; 1. Construir a circunferência C 0, com centro no ponto A e que 2. Construir a circunferência C 1, com centro no ponto B e que contém o ponto A; 3. Construir a recta r definida pelos pontos C e D, intersecções entre C 0 e C 1. Figura 6.1: Exemplo de construção da mediatriz Os programas de Geometria Dinâmica facilitam, ainda, a verificação da validade no formalismo das construções. No exemplo anterior, se o usuário não construiu correctamente a mediatriz, ao arrastarmos o ponto A (ou B) pela área de desenho aparecerá algum erro que pode ser identificado visualmente.

106 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 106 Figura 6.2: Exemplo da mediatriz em diversas configurações São vários os programas de Geometria Dinâmica que estão ao alcance dos alunos: Cabri Géomètre, Geometer Sketchpad-GSP, Cinderella e Régua e Compasso-R.e.C R.e.C. O programa de Geometria Dinâmica que utilizaremos neste trabalho é o programa Régua e Compasso que é um software desenvolvido pelo professor René Grotheman da Universidade Católica de Eichstaett na Alemanha. Num regime de código aberto (as pessoas têm acesso ao código fonte do programa) e de utilização livre (o programa não necessita do pagamento de qualquer licença para a sua utilização). O nome do programa R.e.C. surgiu da tradução do alemão Z.u.L. (Zirkel und Lineal) para o português Régua e Compasso. A primeira versão do programa R.e.C. foi desenvolvida para um computador Atari ST em Quatro anos mais tarde foi lançada a versão R.e.C para Windows. Contudo, com o surgimento da linguagem Java 1 e sua posterior popularização, o professor René iniciou a reconstrução do programa, na linguagem Java, ficando pronta em O software sofre actualizações constantes, que estão disponíveis, no endereço electró- 1 Linguagem de programação para Internet lançada em 1995 pela Sun Microsystems

107 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 107 nico en/index.html, no qual também é possível encontrar informações diversas sobre o mesmo. A versão actual do programa à data deste trabalho é a versão 6.1 e é disponibilizada gratuitamente, inclusive o seu código fonte, através da Licença Publica Geral da GNU (GNU General Public License). 2 O interface do programa é suficientemente intuitivo para que o professor seja capaz de orientar o aluno para as diversas construções geométricas presentes no Currículo do Programa do Ensino Secundário. Figura 6.3: Tela do R.e.C com actividades desenvolvidas Neste trabalho não vamos descrever em pormenor este programa, mas sim apresentar as construções com ele obtidas e que simulam os fractais obtidos recorrendo à 2 Para obter mais informações sobre a GNU General Public License consultar o endereço

108 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 108 tecnologia das Maplets. Deste modo, os fractais podem ser apresentados sem recorrer à ferramenta computacional Maple que obriga a ter o software Maple NT comercial (pago) instalado Fractais construídos em R.e.C O programa R.e.C. permite desde a realização de construções geométricas simples até construções bastante complexas. Permite construir imagens fractais através de rotinas recursivas, mas neste caso o utilizador não programa directamente escrevendo as ordens numa determinada linguagem de programação- é o programa que faz um background através das indicações que se dão ao escolher e seleccionar pontos, segmentos de recta, figuras, etc, e ao realizar-se determinado número de operações com esses objectos. O programa interpreta um procedimento e "aprende-o" para voltar a repeti-lo quando solicitado, a partir de outros objectos que se selecciona previamente. Este recurso pode ser entendido como um algoritmo para realizar uma construção, ou seja, o programa R.e.C. dispõe de ferramentas para agrupar passos de construção na forma de uma função geométrica, designada por macro. Assim, o uso de recorrência em macro permite uma elegante introdução ao conceito de algoritmo sem a necessidade de explicar variáveis ou comandos do tipo for. Em contrapartida, não é tão fácil que o aluno se dê conta do que é programar. Uma destas macros é designada por slider e é obtida do seguinte modo: 1. Sob a tela clicar com o botão direito do rato (surge o menu <Padrão>);

109 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA Seleccionar a opção slider na lista do menu <Padrão>; 3. Marcar dois pontos sob a tela (surge uma janela que solicita um parâmetro); 4. Quando solicitado, indicar para o valor do parâmetro a, o valor mínimo pretendido para o slide. Clicar no botão Ok (surge uma nova janela a solicitar um novo parâmetro); 5. Indicar para o valor do parâmetro b, o valor máximo que deve ter o slide. Clicar no botão Ok. O slider é criado de acordo com os parâmetros indicados pelo utilizador. Nas construções que se seguem foi associado um slider aos passos da construção do fractal. Assim, quando se anima o ponto no slider actualiza-se na construção a

110 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 110 ordem da geração do fractal. Comparando os elementos da janela Fractmaplet com as ferramentas do programa R.e.C. podemos dizer que o axioma, as regras de produção e o número de direcções são na Maplet o que é a construção da macro no software dinâmico. E, em ambos o slider tem a mesma funcionalidade. 1 Conjunto de Cantor Figura 6.4: Cinco primeiras gerações do fractal Cantor

111 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA Triângulo de Sierpinski Figura 6.5: Sete primeiras gerações do fractal Triângulo de Sierpinski

112 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA Tapete de Sierpinski Figura 6.6: Cinco primeiras gerações do fractal Tapete de Sierpinski

113 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA Curva de Koch Figura 6.7: Sete primeiras gerações do fractal Curva de Koch

114 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA Ilha de Koch Figura 6.8: Cinco primeiras gerações do fractal Ilha de Koch

115 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA Curva de Peano Figura 6.9: Quatro primeiras gerações do fractal Curva de Peano A abordagem às aplicações Fractmaplet e R.e.C. é realizada de modo diferente. A primeira é baseada em programação Maple e a segunda na exploração da construção geométrica proporcionada pelo programa R.e.C. Na verdade, a imagem final, como era de esperar, é similar nas duas aplicações. Enquanto que, ao utilizar o R.e.C. o aluno apenas pode manipular os fractais construídos (Cantor, Triâgulo de Sierpinski, Tapete de Sierpinski, Curva de Koch, Ilha de Koch e Curva de Peano) visualizando as diferentes gerações, analisando propriedades e observando as alterações que um fractal sofre quando se modificam algumas das condições iniciais que lhe dão origem, com a aplicação Fractmaplet o aluno pode gerar todo o tipo de fractais que podem ser produzidos por um sistema-l.

116 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 116 Outra divergência entre as duas aplicações, reside nas vantagens que um software de acesso livre e integralmente desenvolvido em Java, o R.e.C., possui relativamente à aplicação Fractmaplet que necessita de um software comercial (pago). O programa R.e.C. pode ser executado em qualquer plataforma e também via internet, permitindo que quase todos os recursos (a menos os recursos de manipulação de arquivos) estejam disponíveis em páginas HTML. Estes programas em Java que podem ser interpretados pela Internet recebem o nome de applet. Assim, para além da portabilidade e interactividade que este programa oferece, temos a possibilidade de trabalhar com as imagens gráficas, permitindo em tempo real animações directamente de uma página da Internet. Para exportar as construções em R.e.C. para HTML, basta aceder ao menu <Especial> e seleccionar a opção <Exportar para HTML>, surge uma janela na qual podemos mudar algumas definições (por exemplo, a cor do fundo da página, o titulo da página, etc). Figura 6.10: Exportar uma construção em R.e.C para HTML

117 CAPÍTULO 6. FRACTMAPLET E GEOMETRIA DINÂMICA 117 Figura 6.11: Applet com o Triângulo de Sierpinski O usuário do applet pode escolher a ordem da geração na qual pretende visualizar o fractal e observar as alterações que o fractal sofre quando desloca pela tela os pontos P 1, P 2 e P 3.