ADMINISTRAÇÃO VOLUME 3

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1 UNIVERSIDADE DE UBERABA ADMINISTRAÇÃO ETAPA V VOLUME Organização Raul Sérgio Reis Rezende

2 ROTEIRO DE ESTUDO 1 Aplicações da programação linear no ambiente de gestão Objetivos: Ao final dos estudos deste roteiro, esperamos que você seja capaz de: Desenvolver modelos matemáticos que auxiliem na tomada de decisão; Identificar situações que possam ser trabalhadas através da programação linear; Utilizar planilhas eletrônicas para resolver modelos matemáticos; Assumir os riscos de gestão e lidar eficientemente com eles; Interpretar os resultados encontrados. Texto introdutório Prezado (a) aluno (a).?qual é a melhor solução para um determinado problema? A forma de encontrar uma resposta a esta indagação está na Pesquisa Operacional, pois, ao representar a situação por uma expressão matemática, você verá que é possível encontrar uma melhor resposta para um determinado problema por meio do uso da programação linear. Apresentarei a você, ao longo deste roteiro, o funcionamento do processo de modelagem, utilizando a programação linear para minimizar ou maximizar funções no cotidiano de gestão. Os conhecimentos da matemática serão importantes para que os dados do cotidiano organizacional possam ser convertidos em expressões numéricas. É importante salientar que, a partir deste assunto, a utilização do computador para nos auxiliar com os cálculos é imprescindível para que possamos tirar maior proveito da parte de análise dos resultados atingidos. Programação linear O que é P.L.? Segundo Bregalda, Oliveira e Bornstein (1, p.1), a programação linear é uma técnica matemática que tem por objetivo encontrar a melhor solução para problemas que tenham seus modelos representados por expressões lineares, ou seja, que possam ser representados por uma linha reta no gráfico. Conforme mencionamos no roteiro anterior, no volume 1, o problema será convertido em um modelo simbólico ou matemático, representando as situações de gestão em expressões lineares. É possível utilizar esta técnica para resolver problemas de distribuição de recursos, transportes, planejamento de produção, corte de materiais, etc. O principal objetivo da programação linear é maximizar ou minimizar o resultado de uma função linear, denominada Função-Objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades que recebem o nome de Restrições do modelo. Problema gestão de Função Objetivo Restrições Solução Ótima Programação Linear Identificamos no desenho quatro situações que estão presentes nas resoluções de problemas com a utilização da programação linear: Problema de gestão situação cotidiana que necessita ser otimizada e que possa ser representada por meio de um modelo com variáveis e equações matemática lineares.

3 Função Objetivo expressão matemática linear que representa a realidade estudada. Normalmente, é relacionada com as variáveis identificadas no problema de gestão. Neste ponto, a utilização dos conceitos de matemática aprendidos no início deste curso, será fundamental para que você consiga determinar a expressão correta para cada situação. Restrição condição impeditiva ou limitadora que pode ser escrita em função das variáveis de gestão e afeta, de forma positiva ou negativa, o desempenho de um determinado contexto. Pode ser uma disponibilidade de capital, recursos, horas de trabalho ou fatores de produção, que necessitam ser preenchidos para atingir o objetivo de otimização desejado. Solução Ótima resposta viável que tem o valor otimizado da função objetivo, ou seja, que maximiza ou minimiza a função objetivo. Esta solução pode ser única ou admitir mais de uma resposta. Esses conceitos de função-objetivo, restrição e solução ótima serão melhores compreendidos quando inseridos em uma situação real de gestão, conforme demonstrarei no caso prático, a seguir. Exemplo prático Imaginemos que seja pedido a você, como gestor de uma confecção de roupas, e precisa determinar a melhor forma de produzir a linha Jeans da empresa, neste momento, para que a margem de contribuição total da linha seja a maior possível. Você, juntamente com o setor de contabilidade da empresa, consegue as seguintes informações relevantes: 1. Margens de contribuição dos produtos, por unidade: PRODUTO MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO UNITÁRIA Saia R$,00 Calça R$,00 Bermuda R$,00. Restrições à produção: RESTRIÇÕES QUANTIDADE MÁXIMA DISPONÍVEL QUANTIDADE REQUERIDA PELOS PRODUTOS Saia (a) Calça (b) Bermuda (c) Espaço Físico (m ).00 1 Tecido (m) Horas-máquinas (hm).00 1 A melhor solução, neste caso, seria uma combinação de produção que contribuísse para gerar a maior Margem de Contribuição Total (MCT) possível, dentro dos limites máximos estabelecidos para o espaço físico, estoque de tecidos e horas-máquinas. Neste caso, atribuindo as variáveis a, b e c para as quantidades de cada produto, temos que a função objetivo para a MCT pode ser representada pela soma das margens totais de contribuição para cada produto, assim: MCT = a + b + c

4 Já que a função está sujeita às restrições impostas pelo problema, teremos que a quantidade total de recursos necessários para a produção não poderá ultrapassar o limite estabelecido no levantamento das informações. Assim, podemos representar os limites do problema por meio de inequações, como apresentado, a seguir: a + 1b + c.00 (espaço físico em m ) 1a + b + c.000 (tecido em m) 1a + b + c.00 (horas-máquina em h) Em que : a, b e c 0, pois não se pode fabricar quantidades de produtos negativas. Vimos que o nosso problema pode ser visualizado por meio de um modelo (representação numérica) com as expressões matemáticas anteriores, existindo várias formas de chegarmos a uma solução para o problema, sem que haja a utilização de um computador. Porém, as técnicas manuais requerem conhecimentos matemáticos mais específicos, tais como: sistemas de equações lineares e operações com matrizes, e, ainda, outras técnicas matemáticas para representar a solução, tais como o método gráfico, quando temos um máximo de três variáveis e o algoritmo Simplex. No entanto, dentro do objetivo de seu curso, é importante que você, como futuro gestor, entenda as facilidades da programação linear, sabendo modelar um problema e fazer a sua análise. Para que isso ocorra, não aprofundaremos nas técnicas citadas anteriormente, buscando atingir o adequado entendimento por meio do equacionamento do problema e utilização do recurso SOLVER, contido no grupo de ferramentas Análise da guia Dados do software Microsoft Excel. Esta ferramenta pode, com relativa facilidade, encontrar as respostas que precisamos, bem como também, auxiliar em outras análises cotidianas de gestão. Exemplo prático Para resolver o problema proposto e, através da programação linear, utilizar as funções da planilha eletrônica no Microsoft Excel, seguiremos seis passos que nos ajudarão na compreensão do processo: 1. estabeleça as variáveis, a função objetivo a ser otimizada e as restrições;. defina os parâmetros do SOLVER;. adicione as restrições;. defina as opções do SOLVER;. resolva o problema;. interprete o resultado final no Relatório de Resposta. Passo #01: estabeleça as variáveis, a função objetivo a ser otimizada e as restrições Conforme você pode observar, em Lachtermacher (00), o segredo da modelagem em uma planilha eletrônica está na maneira como arrumamos as células. Devemos, portanto, elaborar uma planilha, identificando as variáveis que serão obtidas e a função que será otimizada (maximizada, minimizada ou igualada), bem como introduzir os valores e regras de restrições impostas pelo problema. Para facilitar a visualização das funções matemáticas criadas para a nossa indústria de jeans, o layout da planilha eletrônica pode ser elaborado da seguinte maneira:

5 1 A B C D E F G Saia Calça Bermuda Quantidades Margem unitária Margem Total =B*B =C*C =D*D =B+C+D Função Objetivo Espaço Físico(m ) 1 =(B*$B$+C*$C$+D*$D$) <=.00 Tecido (m) 1 =(B*$B$+C*$C$+D*$D$) <=.000 Horas máquina(hm) 1 =(B*$B$+C*$C$+D*$D$) <=.00 Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição Ao elaborar esta planilha foram relevados alguns pontos importantes em sua construção, que devemos seguir se quisermos resolver com facilidade outros problemas que exijam modelagem no Excel. As células variáveis (quantidades de saias, calças e bermudas entre B e D) devem estar próximas para facilitar a identificação e o relacionamento dos coeficientes com as variáveis de cada função; A célula que irá receber o valor da solução ótima deve ser sempre representada por uma fórmula em função das variáveis do problema. Assim, no nosso exemplo, a margem de contribuição total é a soma das margens de contribuição unitárias presentes entre as células B e D e está localizada na célula E; As células com os valores das condições estabelecidas pelo problema devem ser fórmulas e, obrigatoriamente, assim como a função objetivo, devem ser funções das variáveis entre B e D. As restrições devem ser posicionadas ao lado juntamente com os critérios de relacionamento para facilitar o processo de modelagem no SOLVER. Passo #0: defina os parâmetros do SOLVER Antes de iniciarmos a definição dos parâmetros, é importante que você verifique se o seu Excel tem o SOLVER instalado como ferramenta de análise de dados. Ele pode ser facilmente localizado assim: 1. Clique no botão do Office. Aparecerá a Janela:

6 . Clicando em Opções do Excel teremos uma nova Janela, a Opções do Excel, como mostrado abaixo:

7 . Clique em Suplementos, a Janela Opções do Excel mudará para:

8 . Agora clique no botão Ir.. Aparecerá a Janela Suplementos:

9 . Marque a caixa de verificação SOLVER.. Uma vez instalado o SOLVER, o mesmo aparecerá no grupo de Ferramentas de Análise da guia Dados. Ao selecionar o SOLVER, uma nova Janela se abrirá, Parâmetros do Solver, onde deverão ser informados os dados contidos na planilha construída e explicada no passo anterior para compor os parâmetros de solução do problema. Definir célula de destino: indique a célula onde será inserido o resultado final da funçãoobjetivo. Em nosso exemplo, deveremos inserir a célula E, onde, a margem de contribuição total é apresentada na planilha. Igual a: identifique o tipo ótimo de solução que se deseja obter para o problema: maximizar, minimizar ou igualar a um valor definido. Em nosso caso, escolheremos maximizar. Células Variáveis: indique o endereço das células variáveis de quantidades da planilha, ou seja, entre B e D. Passo #0: adicione as restrições Após clicada a função Adicionar, uma nova janela se abrirá, onde deverão ser escritas todas as restrições do problema. As restrições deverão ser digitadas quantas vezes forem necessárias, sendo importante que, a cada restrição, cliquemos no botão Adicionar e, após a inserção da última restrição, cliquemos em OK. Durante o processo de inserção das restrições, devemos observar quais são os locais corretos para fazer um correto relacionamento com as células da planilha: Referência de célula: informar o endereço das células que possuem valores de condições semelhantes e sequenciais. Em nosso exemplo, escolheremos o intervalo de células entre E e E; Relação: escolha na caixa de diálogo central, uma das relações >= (maior ou igual), = (igual), <= (menor ou igual), num (números) ou Bin (números binários). Em nosso caso, escolheremos <= devido ao fato de ser a condição comum a todas as restrições; Restrição: indicar onde se encontram os valores das restrições. No caso de nossa planilha, selecionamos as células entre G e G.

10 Ao final deste processo, teremos inseridas as três condições simultaneamente, devido ao fato de existir uma relação de igualdade em todos os casos IMPORTANTE! No caso de problemas que tenham restrições com relações diferentes, é preciso inserir cada restrição separadamente para que possamos concluir o processo. Caso surgisse uma nova condição de análise, como por exemplo, uma quantidade mínima a ser produzida em qualquer um dos itens devido a um pedido de venda urgente pendente para ser atendido, bastaria inserir uma nova condição na lista de submissão de restrições antes de rodar o processo de resolução. Para fins de conclusão do exemplo que estamos trabalhando, continuaremos com as condições propostas anteriormente. Passo #0: definição das opções do SOLVER Nesta fase, são indicadas opções que permitem gerir a maneira como o SOLVER irá resolver o problema. É possível melhorar a precisão do resultado obtido e o tempo consumido no processo de solução e, dependendo da escolha, a solução poderá ser encontrada com maior ou menor rapidez e, também, com maior ou menor precisão.

11 Deixaremos as pré-seleções apresentadas pelo programa da mesma forma como foram apresentadas, marcando apenas as caixas de seleção: Presumir modelo linear: permite utilizar a programação linear como método; Presumir não negativos: apresenta apenas valores positivos para as variáveis. Passo #0: resolva o problema Ao escolhermos a opção Resolver, na janela de parâmetros do SOLVER, dá-se início ao processo de busca por uma solução ótima para o problema. Após rodado o processo, será apresentada uma janela para escolher a forma de apresentação dos resultados, onde podemos manter a solução obtida ou retornar aos valores originais Para obtenção do relatório de resposta que utilizaremos para a análise final, devemos selecionar a opção Resposta na lista de relatórios e clicar OK, assim, teremos o resultado final das iterações e a planilha ficará como apresentada a seguir: 11

12 1 Na planilha final, é indicada qual a quantidade de cada produto deve ser produzida para que haja a maximização da margem de contribuição total, otimizando os recursos empregados na produção. Em qualquer outra combinação que fizermos entre as quantidades, não conseguiremos atingir a margem de contribuição total calculada como solução ótima. Passo #0: interprete o resultado final no Relatório de Respostas Este relatório espelha os dados da planilha inicial com os resultados obtidos após o processo de resolução do problema, e é dividido em três partes. A primeira parte é relativa à célula de destino (função objetivo), apresentando a opção de otimização escolhida, que no nosso caso foi a de maximização (Máx). A segunda parte se refere às células ajustáveis (variáveis de decisão), e traz uma comparação entre o valor encontrado e o existente anteriormente. Já, a terceira parte, faz referência às restrições, onde as linhas fazem referência a cada condição estabelecida pelo problema e inserida na planilha A B C D E F G Saia Calça Bermuda Quantidades 1, 1,, Margem unitária Margem Total,.,1.0,00.,1 Função Objetivo Espaço Físico(m ) 1 00 <=.00 Tecido (m) <=.000 Horas máquina(hm) 1 00 <=.00 Coeficientes das variáveis Valores das condições Relação Restrição A B C D E F G H Microsoft Excel 1.0 Relatório de resposta Planilha: [MetQuantitatEtapaVvol.xlsm]ExemploPL1. Relatório criado: 01/0/00 1:: Célula de destino (Máx) Célula Nome Valor original Valor final $E$ Margem Total 0,00.,1 Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final $B$ Quantidades Saia 0,0 1, $C$ Quantidades Calça 0,0 1, $D$ Quantidades Bermuda 0,0, Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $E$ Espaço Físico(m) Função Objetivo 00 $E$<=$G$ Agrupar 0 $E$ Tecido (m) Função Objetivo 000 $E$<=$G$ Agrupar 0 $E$ Horas máquina(hm) Função Objetivo 00 $E$<=$G$ Agrupar 0 Vejamos o que significa cada um dos campos apresentados: 1

13 Valor Original: valores informados na planilha inicial, a partir dos quais o SOLVER iniciou as iterações. Valor Final: valor da célula que otimizará a solução e das variáveis básicas. No exemplo, a margem de contribuição total (MCT) e as quantidades de produtos a fabricar. Valor da célula: valor de cada restrição, de acordo com a solução encontrada. Fórmula: cada uma das expressões lineares representativas das restrições, as quais foram informadas no Passo. Status: Agrupar significa que não houve diferença entre o valor da restrição inicial e o valor do recurso necessário calculado para a solução ótima. A restrição, neste caso, está justa, não existe folga. Transigência: valor da diferença (folga) existente entre o recurso necessário calculado e o valor original da restrição. Este valor será diferente de zero quando o Status for do tipo Não Agrupar, ou seja, quando existir folga de recurso. Considerações finais A programação linear possibilita a você, como futuro gestor, ter informações importantes para o processo de tomada de decisão, em que, com a utilização de equações matemáticas e planilhas eletrônicas é possível criar modelos e otimizar soluções para problemas cotidianos. Uma das maiores vantagens da técnica é poder calcular o reflexo do impacto de decisões locais na lucratividade global de um empreendimento. Com isso, fica mais fácil saber quais ações devem ser perseguidas, para que haja benefícios para a organização como um todo, ao invés daquelas que provoquem apenas melhorias individuais de processos e setores. Portanto, a ênfase maior é na prestação de informações como suporte à ação gerencial, não bastando saber apenas qual o volume requerido de produção. É imprescindível avaliar como utilizar cada recurso de acordo com o planejamento delineado. É importante também ressaltar que a programação linear apresenta algumas limitações. Uma delas é apresentar resultados numéricos sem arredondamento, mesmo para variáveis indivisíveis. No nosso exemplo, apresentou como solução para o problema a produção de quantidades não inteiras, ficando como recomendação, neste momento, considerar a quantidade inteira imediatamente inferior, porém, no próximo roteiro, aprenderemos a encontrar estas quantidades de forma mais correta, utilizando os relatórios de sensibilidade. Antes de concluirmos este assunto, releve que a construção do modelo matemático, no caso um modelo linear, é parte mais complicada deste nosso estudo. Lembre-se de que é necessário, primeiramente, definir quais são as variáveis de decisão e o objetivo do problema. Em seguida, defina as restrições e escolha a melhor forma de processar o modelo e encontrar a resposta. Veremos, no nosso próximo e último encontro desta disciplina, como fazer avaliações econômicas, utilizando os relatórios de análise de limites e sensibilidade, bem como aplicar a programação linear na resolução de problemas de transporte. Por agora, leia o livro de estudos e treine as três perguntas apresentadas, fazendo todos os exercícios que são propostos. Sucesso, e até o nosso próximo encontro! 1

14 CAPÍTULO do livro Pesquisa Operacional na tomada de decisões de Lachtermacher, Gerson UTILIZAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR NO MUNDO REAL Neste capítulo estaremos procurando mostrar uma série de tipos de problemas reais que são resolvidos através da Programação Linear. Todos os problemas serão resolvidos no Excel. Dentre os problemas escolhidos podemos citar: Decisões do Tipo - Fazer ou Comprar Escolha de Carteira de Investimentos Escala de Funcionários Problema de Mistura de Componentes Problemas de Mix de Produção Problemas de Produção e Estoque Problemas de Fluxo de Caixa Multiperíodo Problemas de Escala de Produção.1 RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR EM UM MICROCOMPUTADOR Até agora nos preocupamos com o embasamento teórico necessário para a resolução do problema e sua análise. A partir deste ponto estaremos mostrando como evitar todos os cálculos. Concentraremos nossa atenção no que esperamos ser a tarefa de um gerente, isto é, vamos nos concentrar na modelagem de problemas e na análise de suas respostas. Existem muitos softwares disponíveis no mercado que podem nos auxiliar na tarefa dos cálculos. Dentre as ferramentas que vêm ganhando cada vez mais adeptos, as Planilhas Eletrônicas são as preferidas, pois, além da facilidade de utilização, estão presentes em praticamente todas as empresas modernas. Dentre estas planilhas, as mais utilizadas são o Excel da Microsoft, a Lotus da Lotus/IBM e o Quattro-Pro da Corel. Todas as planilhas dispõem basicamente das mesmas das mesmas ferramentas, diferindo apenas na forma do comando empregado. No nosso caso, estaremos focalizando a utilização da planilha Excel da Microsoft, por ser a mais popular no Brasil. Presumiremos que o leitor tem conhecimento básico de operação de uma planilha Excel. As versões do Excel podem ser em inglês ou em português. Em relação ao Excel as diferenças estão nos menus, nomes de funções, nas diferenças dos separadores utilizados nas funções (,para;), nos separadores decimais (. para,). A utilização do Excel em português pode nos causar problemas quando adicionamos suplementos existentes na internet, por duas razões: na procura de nomes de funções que estão na língua inglesa e que diferem do nome em português (por exemplo: sum no lugar de soma) e pela diferença dos separadores de função (,para;). Apesar disso, estaremos utilizando neste livro a planilha em português (diferentemente da 1ª edição), por acreditarmos que a maioria dos leitores dificilmente utilizará estes suplementos. Existe uma série de softwares específicos para a resolução de problemas de programação linear. Um dos mais populares é o LINDO da Lindo Systems. Uma versão educacional limitada pode ser obtida gratuitamente, via download da página da Lindo Systems ( ), bem como um suplemento para o Excel ou para o Lotus chamado What s Best que substitui a ferramenta Solver do Excel e possibilita a resolução de problemas de maior porte..1.1 RESOLVENDO PROGRAMAÇÃO LINEAR COM O SOLVERDO EXCEL 1

15 Começaremos com a solução de um problema simples, mostrando como ele seria resolvido no Excel. Considere o problema a seguir. Max Z = x 1 + x Sujeito a: x 1 + x x 1 + x -x 1 + x 1 x x 1, x 0 A mágica da modelagem de um problema de programação linear em uma planilha eletrônica está na maneira como arrumamos as células. Primeiramente devemos designar uma célula para representar cada uma das seguintes entidades: Função objetivo (expressão a ser Maximizada ou Minimizada) Variáveis de Decisão (variáveis cujo valor o modelador pode alterar) Para cada Restrição: 1. Uma para o lado esquerdo da restrição LHS (left hand side). Uma para o lado direito da restrição RHS (right hand side) A Figura.1 apresenta uma das possíveis maneiras de se representar o problema anterior em uma planilha Excel A B C D E Função Coeficientes das Variáveis Objetivo X1 X Variáveis Z= 1 Restrições Coeficientes das Variáveis Nº X1 X LHS RHS Constantes FIGURA.1 Modelagem do problema 1 no Excel Nesta planilha as células a seguir designarão cada uma das entidades citadas anteriormente. B irá representar o valor da função-objetivo a ser maximizada. B e C representarão os valores que as variáveis de decisão assumirão na solução. D até D1 irão representar os LHS das quatro restrições. E até E1 irão representar os RHS das quatro restrições. Para que possamos definir cada uma das células anteriormente citadas necessitamos inserir uma série de parâmetros do nosso problema, tais como todos os coeficientes das restrições e da função-objetivo. Para 1

16 lembrar o que cada célula representa é aconselhável a colocação de títulos que especifiquem o conteúdo de cada célula (células com texto). As células B e C são utilizadas para inserir os valores dos coeficientes da função-objetivo, enquanto as células de B até C1 representam os coeficientes das quatro restrições. Agora devemos definir cada uma das entradas citadas anteriormente. A tabela.1 representa as fórmulas colocadas em cada uma destas células. B =(B*B) + (C*C) Função-objetivo D =B*$B$ + C*$C$ LHS da 1ª Restrição D =B*$B$ + C*$C$ LHS da ª Restrição D11 =B11*$B$ + C11*$C$ LHS da ª Restrição D1 =B1*$B$ + C1*$C$ LHS da ª Restrição Precisamos agora avisar ao Excel quais são as células que representam a nossa função-objetivo, as variáveis de decisão, as restrições do modelo e, finalmente, mandar o Excel resolver para nós. Isto é feito utilizando-se a Ferramenta (Solver) do Excel. Para tal, clique na guia Dados e no grupo de ferramentas Análise, clique em Solver 1. FIGURA. Tela de ativação da ferramenta Solver do Excel Após este procedimento aparecerá na tela a janela representada pela Figura.. Nesta janela é que serão informadas ao software as células que representarão a função-objetivo, as variáveis de decisão e as restrições. FIGURA. Janela de ferramenta do Solver do Excel 1 Esta ferramenta deve estar instalada 1

17 Na parte superior da janela (Figura.) aparece um campo, para a entrada de dados, chamado Definir Célula de Destino que deve representar o valor da função-objetivo. Existem duas maneiras para designar esta célula. A primeira é clicar sobre o ícone que está do lado direito do campo. A segunda é digitar o nome da célula (B no nosso exemplo) no campo. Realizando uma das duas maneiras, a janela resultante para o nosso problema é representada pela Figura.. FIGURA. Escolha da célula-alvo Na linha seguinte são apresentadas as opções de Maximizar, Minimizar e Valor de. Dependendo do problema devemos clicar o mouse sobre uma das três. A opção Valor de pode ser utilizada em análise do tipo ponto de equilíbrio, onde desejamos que a função Lucro (por exemplo) atinja o valor de zero. Nos casos de Programação Linear esta opção não será utilizada. Na próxima linha há um campo denominado Células Variáveis. Neste campo serão inseridas as células que representarão as variáveis de decisão. Os valores podem ser inseridos da mesma maneira como o caso da função-objetivo, isto é, clicando sobre o ícone à direita do campo e marcando as células escolhidas ou simplesmente digitando seus nomes utilizando as regras do Excel para tal. Utilizando uma das maneiras, a janela terá o seguinte formato. FIGURA. Janela do Solver após a designação das células das variáveis. O próximo passo é designar as restrições do problema. Devemos inserir uma restrição de cada vez. Para inserir a 1ª restrição devemos clicar no botão Adicionar para exibir uma janela de entrada de restrições como representada pela Figura., abaixo FIGURA. Janela de entrada de restrição. 1

18 A janela de restrições tem três campos, que representam o LHS Referência de Célula à esquerda, o sinal da restrição ao centro e o RHS Restrição (Constraint) à direita. Como já mencionado anteriormente, o LHS representa a equação do lado esquerdo da restrição (o lado esquerdo do dicionário modificado). O RHS representa o lado direito da restrição (a constante do dicionário). Em ambos os casos não é necessária a introdução de variáveis de folga/excesso, já que o Excel fará isto de uma forma automática. A Figura. representa o formato de entrada da 1ª restrição do problema ( x 1 + x ). FIGURA. Formato de entrada da 1ª restrição. Vale notar que na célula D já havia sido colocada a fórmula que representa x 1 + x, ou seja, =B*$B$+C*$C$, onde: B representa o coeficiente de x 1 (valor = 1) B representa o valor da variável x 1 (os $ significam que a linha e a coluna são fixas) C representa o coeficiente de x (valor = ) C representa o valor da variável x (os $ significam que a linha e a coluna são fixas) E representa o valor do RHS (constante = ) O passo seguinte será o de clicar no botão OK, no caso de não haver nenhuma outra restrição, ou Adicionar para confirmar esta restrição e abrir espaço para uma nova entrada. No nosso caso, devemos clicar em Adicionar e inserir as outras restrições. Ao final da entrada de todas as restrições, a janela de parâmetros do Solver terá a forma representada pela Figura.. FIGURA. Janela de entrada de parâmetros do Solver. Existe uma maneira mais simples de inserir as quatro restrições simultaneamente. Como todas as LHS e RHS estão em células adjacentes e possuem o mesmo sinal da restrição, poderíamos simplificar a entrada, marcando todos os LHS e RHS simultaneamente. Isto é, a entrada da janela de restrições deveria ter o formato representado pela Figura. e a janela do Solver representada pela Figura.. 1

19 FIGURA. Entrada de restrições, forma alternativa FIGURA. Janela do Solver, forma alternativa Faltam ainda as restrições de não-negatividade, isto é, que as variáveis de decisão não são negativas. Existem duas maneiras de colocar estas restrições no modelo. A primeira é simplesmente criar restrições dizendo que cada variável deve ser maior ou igual a zero, adicionando a restrição mostrada na Figura.11. FIGURA.11 Restrições de não-negatividade A segunda alternativa para introduzir as variáveis de não-negatividade é através de opções do Solver. Para poder utilizá-las, devemos clicar no botão Opções na janela de parâmetros. A janela representada pela Figura.1, contendo as opções da ferramenta Solver do Excel, é então apresentada. Para incluir essa opção basta marcar a caixa de seleção ao lado da opção Presumir Não Negativos, como indicado na Figura.1. 1

20 FIGURA.1 Opção de não-negatividade A última característica do modelo que deve ser implementada é a da Programação Linear. Isto é feito na mesma janela de opções da Ferramenta Solver utilizada anteriormente. Basta marcar a opção Presumir Modelo Linear, bem acima da opção de não-negatividade. Esta opção também está assinalada na Figura.1. Para sair da janela basta clicar sobre o botão OK da janela e isto o levará de volta para a janela de parâmetros. Uma vez inserido o modelo e suas características, devemos efetivamente resolvê-lo. Para tanto basta clicar no botão Resolver na janela dos parâmetros da ferramenta Solver do Excel. (Figura.). Se o modelo foi corretamente inserido, será processado e o resultado será automaticamente exibido na planilha. A seguinte janela (Figura.1) aparecerá na tela. FIGURA.1 Opções de resultado da ferramenta Solver Se observarmos valores incoerentes ou inesperados, devemos neste ponto clicar na opção Restaurar Valores Originais para restaurar os valores iniciais do modelo. Existe ainda neste ponto a opção de requisitar três tipos de relatórios (lado direito da janela). Falaremos sobre cada um dos relatórios mais adiante. Devemos ser cuidadosos com a mensagem que o Excel está nos mandando. Neste caso, a mensagem é O Solver encontrou uma solução. Todas as Restrições e Condições Otimizadas foram atendidas, informando que uma solução ótima foi encontrada para o nosso modelo. Outras mensagens poderiam aparecer, indicando que soluções não foram encontradas por serem inviáveis ou por serem ilimitadas. Por ora vamos apenas clicar no botão OK para manter os resultados na planilha, a fim e melhor estudálos. Ao clicar no botão OK, a Janela de Resultado do Solver será apagada e os resultados aparecerão na planilha como mostra a Figura.1. 0

21 A B C D E Função Coeficientes das Variáveis Objetivo X1 X Variáveis, 1, Z= 1, Restrições Coeficientes das Variáveis Nº X1 X LHS RHS , Constantes FIGURA.1 Resultados inseridos na planilha Os únicos resultados que podem ser lidos diretamente da planilha são os valores das variáveis de decisão na solução ótima e o valor da função-objetivo nesta solução. Esses valores se encontram marcados na Figura.1 (células B, C e B). Para visualizarmos todos os resultados, deveríamos ter marcado a opção Resposta na janela de Resultado do Solver (Figura.1) FIGURA.1 Opção do relatório de respostas O resultado seria apresentado em uma janela do Excel em separado, como apresentada na Figura A B C D E F G H Microsoft Excel 1.0 Relatório de resposta Planilha: [Exemplo_1.xls]Sheet1 Relatório criado: 0/0/00 1:1: Célula de destino (Máx) Célula Nome Valor original Valor final $B$ Z= X1 0 1, Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final $B$ Variáveis X1 0, $C$ Variáveis X 0 1, Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $D$1 LHS 1, $D$1<=$E$1 Sem agrupar 0, $D$ LHS $D$<=$E$ Agrupar 0 $D$11 LHS - $D$11<=$E$11 Sem agrupar $D$ LHS $D$<=$E$ Agrupar 0 1

22 FIGURA.1 Relatório de resultados do Solver Vamos agora analisar o resultado recebido. O relatório é dividido em três partes. A primeira é relativa à função-objetivo, a segunda tem relação com as variáveis de decisão e a terceira com as restrições. A primeira parte simplesmente mostra no lado esquerdo a célula que tínhamos escolhido para representar a função-objetivo, depois o valor inicial da função-objetivo (zero no nosso caso) e, finalmente no extremo direito, o valor da função-objetivo na solução ótima. A segunda parte simplesmente mostra no lado esquerdo as células que tínhamos escolhido para representar cada uma das variáveis de decisão, depois o valor inicial das mesmas (zero no nosso caso) e, finalmente no extremo direito, o valor de cada variável na solução ótima. A terceira parte se refere às restrições do modelo. Cada linha desta parte está relacionada a uma restrição. No lado esquerdo, na coluna Célula aparece cada célula que representa o LHS (lado esquerdo) de cada restrição. Na coluna Valor da Célula são apresentados os valores das respectivas células na solução ótima, isto é, os valores que são obtidos pela substituição dos valores da solução ótima no lado esquerdo das restrições. Sob a coluna Fórmula aparece a fórmula da restrição (célula do LHS, o sinal de comparação e a célula do RHS). Sob a coluna Status podem aparecer duas opções: Agrupar e Sem Agrupar. A opção Agrupar aparece quando o LHS é igual ao RHS na solução ótima, significando que a restrição participa da definição da solução ótima, ou seja, limita de alguma maneira a melhora do valor da função-objetivo. A última coluna (Transigência) está relacionada às variáveis de folga/excesso. Como sabemos, para cada restrição de desigualdade devemos introduzir uma variável de folga ou de excesso de maneira a tornar a desigualdade uma igualdade. Essas variáveis medem a diferença entre o LHS e o RHS da restrição. Se a diferença entre RHS-LHS for positiva, no caso de restrições do tipo menor ou igual devemos introduzir variáveis de folga. Se RHS-LHS for negativa, no caso de restrições do tipo maior ou igual devemos introduzir variáveis de excesso.

23 EXERCÍCIOS.1 Resolvidos A B C D E F G H Microsoft Excel 1.0 Relatório de resposta Planilha: [PLLachtermacher.xlsm]Exercício.1.1 Relatório criado: 0/0/00 1:: Célula de destino (Máx) Célula Nome Valor original Valor final $B$ Z= X1 0 1 Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final $B$ Variáveis X1 0 $C$ Variáveis X 0 0 Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $D$ LHS $D$<=$E$ Sem agrupar $D$ LHS $D$<=$E$ Sem agrupar $D$11 LHS $D$11<=$E$11 Agrupar 0 $D$1 LHS 0 $D$1<=$E$1 Sem agrupar

24 A B C D E F G H Microsoft Excel 1.0 Relatório de resposta Planilha: [PLLachtermacher.xlsm]Plan Relatório criado: 0/0/00 1:: Célula de destino (Mín) Célula Nome Valor original Valor final $B$ Z= X1 0,0 Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final $B$ Variáveis X1 0,011 $C$ Variáveis X 0 1,110 Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $D$11 LHS 1 $D$11>=$E$11 Agrupar 0 $D$ LHS $D$>=$E$ Agrupar 0 $D$ LHS,00 $D$>=$E$ Sem agrupar,00

25 A B C D E F G H Microsoft Excel 1.0 Relatório de resposta Planilha: [PLLachtermacher.xlsm]Exercício.1. Relatório criado: 0/0/00 1:1:1 Célula de destino (Máx) Célula Nome Valor original Valor final $B$ Z= X1 0 0 Células ajustáveis Célula Nome Valor original Valor final $B$ Variáveis X1 0 0 $C$ Variáveis X 0 Restrições Célula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência $D$ LHS $D$<=$E$ Sem agrupar $D$ LHS $D$<=$E$ Agrupar 0 $D$11 LHS 0 $D$11<=$E$11 Sem agrupar. Uma empresa industrial fabrica três produtos, p 1, p e p, com lucro unitário de, respectivamente, R$,00, R$,00 e R$,00. O gerente de produção identificou as seguintes restrições no processo produtivo: a. A capacidade produtiva total é de 0 unidades por mês. b. Por utilizar material radioativo, a empresa recebe uma autorização do governo federal para importar apenas uma quantidade fixa de 0 kg deste material, o qual deve ser plenamente utilizado durante o mês por motivos de segurança. c. As quantidades necessárias do material radioativo para fabricação dos produtos p 1, p e p são de, respectivamente, kg, 1 kg e kg. Encontre o nível de produção ótimo utilizando o Solver do Excel. Solução Para resolver este problema onde não estão matematicamente explícitas a função objetivo e as restrições, devemos primeiro fazer a Modelagem do Problema: a. Variáveis de Decisão - Elas se referem às decisões a serem tomadas, visando encontrar a solução do problema. Nesse nosso exemplo, desejamos identificar quais quantidades dos produtos p 1, p e p deverão ser produzidas visando o objetivo de otimizar a produção. b. Função-objetivo - É uma expressão matemática por meio da qual relacionamos as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido. Em nosso exercício, o que objetivamos é maximizar o lucro total, produzindo o melhor mix possível dos produtos p 1, p e p. Estes produtos têm um lucro unitário de R$,00, R$,00 e R$,00, respectivamente. Assim a função-objetivo do exercício é expressa como: Lucro = p 1 + p + p c. Restrições - São limitações impostas sobre os possíveis valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão. Em nosso exercício, temos: p 1 + p + p <= 0...capacidade produtiva total é de 0 unidades/mês.

26 p 1 + p + p <= 0...restrição de importação Agora podemos iniciar a solução computacional do problema utilizando a ferramenta Solver do Excel. 1 A B C D E F Função Coeficientes das Variáveis Objetivo p 1 p p Variáveis Z= Restrições Coeficientes das Variáveis Constantes Nº p 1 p p LHS RHS A Nitroglicerina S/A está desenvolvendo um novo aditivo para gasolina de avião. O aditivo é uma mistura de três ingredientes líquidos: A, B e C. Para que haja um desempenho adequado, o montante (total) de aditivo (montante do ingrediente A + montante do ingrediente B + montante do ingrediente C) deve ser de, pelo menos, decilitros por litro de gasolina. Entretanto, por questões de segurança, o montante de aditivo não deve exceder 1 decilitros por litro de gasolina. A mistura dos três ingredientes é crítica. No mínimo um decilitro do ingrediente A deve ser usado para cada decilitro do ingrediente B. O montante utilizado do ingrediente C deve ser maior ou igual à metade do montante utilizado do ingrediente A. Encontre, utilizando o Solver do Excel, a mistura dos três produtos com custo mínimo por litro de gasolina de avião, sabendo que o custo por decilitro dos ingredientes A, B e C é de R$ 0,, R$ 0,0 e R$ 0,0, respectivamente. Solução Para resolver este problema onde não estão matematicamente explícitas a função objetivo e as restrições, devemos primeiro fazer a Modelagem do Problema: a. Variáveis de Decisão - Elas se referem às decisões a serem tomadas, visando encontrar a solução do problema. Nesse nosso exemplo, desejamos identificar quais quantidades dos produtos (ingredientes) A, B e C deverão ser misturadas visando o objetivo de minimizar o custo por litro de gasolina de avião. b. Função-objetivo - É uma expressão matemática por meio da qual relacionamos as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido. Em nosso exercício, o que objetivamos é minimizar o custo por litro, fazendo o melhor mix possível dos ingredientes A, B e C. Estes produtos têm um custo por decilitro de R$ 0,, R$ 0,0 e R$ 0,0, respectivamente. Assim a função-objetivo do exercício é expressa como: Minimizar Custo/litro = 0,A + 0,0B + 0,0C c. Restrições - São limitações impostas sobre os possíveis valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão. Em nosso exercício, temos: A + B + C >=...restrição para que haja um desempenho adequado. A + B + C <= 1...restrição de segurança A >= B......restrição crítica da mistura C >= 0, A...restrição crítica da mistura Agora podemos iniciar a solução computacional do problema utilizando a ferramenta Solver do Excel.

27 A B C D E F Função Coeficientes das Variáveis Objetivo A B C 0,1 0,0 0,0 Variáveis Z= 0,0 Restrições Coeficientes das Variáveis Constantes Nº A B C LHS RHS A Motorbike S/A produz os modelos das motos C0, C0 e C00. A, B e C são os três componentes que entram no processo produtivo, cuja oferta diária é pequena para limitar a produção. Os suprimentos diários dos componentes A, B e C são, respectivamente, de 00 kg, 00 kg e 00 kg. Embora os componentes B e C possam não ser utilizados ao dia, todos os componentes A existentes devem ser utilizados ao dia por motivos de segurança. A tabela a seguir apresenta o lucro unitário e as quantidades de componentes para produzir cada modelo de motocicleta: Motocicleta Componentes (kg) Modelo Lucro unitário A B C C0 R$, C0 R$ 00, C00 R$ 00,00 1 Encontre a programação de produção diária ótima utilizando a ferramenta Solver do Excel Solução Para resolver este problema onde não estão matematicamente explícitas a função objetivo e as restrições, devemos primeiro fazer a Modelagem do Problema: a. Variáveis de Decisão - Elas se referem às decisões a serem tomadas, visando encontrar a solução do problema. Nesse nosso exemplo, desejamos identificar quais quantidades x 1 (C0), x (C0) e x (C00) de motocicletas deverão ser produzidas por dia visando o objetivo de maximizar o lucro total diário. b. Função-objetivo - É uma expressão matemática por meio da qual relacionamos as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido. Em nosso exercício, o que objetivamos é maximizar o lucro diário (produção diária), fazendo o melhor mix possível das motocicletas x 1, x e x. respectivamente. Assim a função-objetivo do exercício é expressa como: Maximizar Lucro Total Diário = x x + 00x c. Restrições - São limitações impostas sobre os possíveis valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão. Em nosso exercício, temos: x 1 + x + x = 00...restrição de utilização do componente A ao dia por motivos de segurança. x 1 +x +x <= 00...restrição diária do componente B x 1 + x <= 00...restrição diária do componente C

28 Agora podemos iniciar a solução computacional do problema utilizando a ferramenta Solver do Excel A B C D E F Função Coeficientes das Variáveis Objetivo x1 x x Variáveis Z= 000,00 Restrições Coeficientes das Variáveis Constantes Nº x1 x x LHS RHS A Opinião Popular S/A é uma empresa especializada em avaliar a reação de consumidores a novos produtos, serviços e/ou campanhas de publicidade. Um cliente pediu à empresa para providenciar informações sobre a reação de consumidores para um produto recentemente lançado. O contrato do cliente necessita que sejam feitas entrevistas pessoais de porta em porta, respeitando as seguintes condições: 1. Entrevistar pelo menos 00 famílias com crianças.. Entrevistar pelo menos 00 famílias sem crianças. A quantidade de famílias entrevistadas durante a noite deve ser, pelo menos, tão grande quanto o número de entrevistados durante o dia.. O total de entrevistados deve ser de, pelo menos, famílias. Baseando-se em entrevistas realizadas anteriormente, os custos das entrevistas são os seguintes: Custo da Entrevista Tipo de Família Dia Noite Criança $ $1 Sem Criança $ $ Para minimizar os custos das entrevistas, quantas entrevistas com cada tipo de família devem ser realizadas em cada um dos horários (dia ou noite), atendendo às restrições impostas? Resolva utilizando o Solver do Excel Solução Para resolver este problema onde não estão matematicamente explícitas a função objetivo e as restrições, devemos primeiro fazer a Modelagem do Problema: a. Variáveis de Decisão - Elas se referem às decisões a serem tomadas, visando encontrar a solução do problema. Nesse nosso exemplo, desejamos identificar quais quantidades x CD (Criança/Dia), x SD (Sem Criança/Dia), x CN (Criança/Noite) e x SN (Sem Criança/Noite) de famílias que deverão ser entrevistadas dia visando o objetivo de minimizar o custo total. b. Função-objetivo - É uma expressão matemática por meio da qual relacionamos as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido. Em nosso exercício, o que objetivamos é minimizar o custo, fazendo o melhor mix possível das das quantidades x CD, x SD, x CN e x SN, respectivamente. Assim a função-objetivo do exercício é expressa como: Minimizar Custo = x CD + x SD + 1 x CN + x SN

29 c. Restrições - São limitações impostas sobre os possíveis valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão. Em nosso exercício, temos: x CD + x SD + x CN + x SN >= 00...restrição...o total de entrevistados deve ser de, pelo menos, famílias. x CD + x CN >= 00...restrição1...entrevistar pelo menos 00 famílias com crianças x SD + x SN >= 00...restrição..entrevistar pelo menos 00 famílias sem crianças -x CD - x SD + x CN + x SN >= 0...restrição..quantidade de famílias entrevistadas durante a noite deve ser, pelo menos, tão grande quanto o número de famílias entrevistadas durante o dia Agora podemos iniciar a solução computacional do problema utilizando a ferramenta Solver do Excel A B C D E F G Função Coeficientes das Variáveis Objetivo x CD x SD x CN x SN 1 Variáveis Z= 00,00 Restrições Coeficientes das Variáveis Constantes Nº x CD x SD x CN x SN LHS RHS A Verificação Total S/A inspeciona cápsulas de remédios passando-as sobre uma mesa com iluminação especial (a empresa só detém uma única mesa), onde um inspetor verifica visualmente a existência de cápsulas quebradas ou parcialmente avariadas. Atualmente, qualquer um dos três inspetores pode ser alocado para o serviço de inspeção visual. Os inspetores, porém, diferem na precisão e no tempo de inspeção, além de receberem valores diferentes pelo serviço. As Diferenças são as seguintes: Inspetor Velocidade Precisão Valor por hora (unidades por (percentual) trabalhada hora) Pedro 00 $,0 João 00 $,0 Marcelo 0 $,0 Operando num período de oito horas, a empresa precisa de pelo menos.000 cápsulas inspecionadas com não mais do que % de erro nesta inspeção. Além disso, por causa do fator fadiga do processo de inspeção, nenhum inspetor pode trabalhar mais do que quatro horas por dia. Quantas horas cada inspetor deve trabalhar no processo de inspeção durante um dia de oito horas de trabalho para minimizar os custos da inspeção? Qual o volume será inspecionado por dia e qual será o custo de inspeção por dia? Resolva utilizando o Solver do Excel). Solução Para resolver este problema onde não estão matematicamente explícitas a função objetivo e as restrições, devemos primeiro fazer a Modelagem do Problema:

30 a. Variáveis de Decisão - Elas se referem às decisões a serem tomadas, visando encontrar a solução do problema. Nesse nosso exemplo, desejamos identificar quais quantidades x 1, x e x de horas que cada inspetor deve trabalhar no processo de inspeção durante um dia de oito horas de trabalho para minimizar os custos da inspeção. b. Função-objetivo - É uma expressão matemática por meio da qual relacionamos as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido. Em nosso exercício, o que objetivamos é minimizar o custo da inspeção, fazendo o melhor mix possível das quantidades x 1, x, e x, respectivamente. Assim a funçãoobjetivo do exercício é expressa como: Minimizar Custo =,0 x 1 +,0 x +,0 x c. Restrições - São limitações impostas sobre os possíveis valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão. Em nosso exercício, temos: 00x x + 0x >= restrição 1...número total de cápsulas inspecionadas num período de oito horas. x - x >= 0...restrição.. x 1 <= restrição..número de horas trabalhadas por dia devido à fadiga x <= restrição..número de horas trabalhadas por dia devido à fadiga x <= restrição..número de horas trabalhadas por dia devido à fadiga x 1 + x + x >=...restrição...número total de horas de trabalho executado por todos os inspetores Agora podemos iniciar a solução computacional do problema utilizando a ferramenta Solver do Excel A B C D E F G Função Coeficientes das Variáveis Objetivo x 1 x x,,, Variáveis, 0, Z= 1,1 Restrições Coeficientes das Variáveis Constantes Nº x 1 x x LHS RHS >= >= <= <= <= <=. Para produzir três tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes: o de montagem dos aparelhos, configuração e verificação. Para a fabricação do celular Multi Tics, é necessária 0,1 hora de montagem, 0, hora de configuração e 0,1 hora de verificação. O aparelho mais popular, Star Tic Tac, requer 0, hora de montagem, 0,1 hora de configuração e 0,1 hora de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0, hora de montagem, 0,1 hora para configuração, e, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. Devido a uma imposição do governo de economia de energia, a fábrica não pode consumir mais do que kwh/mês de energia, o que significa, de acordo com os cálculos técnicos da empresa, que eles poderão dispor de 0 h/mês na linha de montagem, 0 h/mês na linha de configuração e 1 h/mês na linha de verificação. Sabe-se ainda que o lucro por unidade dos produtos Muti Tics, Star Tic Tac e Vulcano é de R$ 0, R$ e R$ 0

31 0, respectivamente, e que a empresa operadora do sistema de telefonia celular adquire todos os celulares produzidos pela Motorela. Pede-se: o número de celulares de cada modelo a ser produzido mensalmente para que a empresa maximize os seus lucros. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que os três modelos sejam produzidos e quer lucrar pelo menos R$.00/mês como modelo Star Tic Tac. Para incentivar o crescimento de seus produtos mais modernos, o presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic Tac. (Resolva utilizando o Solver do Excel). Solução Para resolver este problema onde não estão matematicamente explícitas a função objetivo e as restrições, devemos primeiro fazer a Modelagem do Problema: a. Variáveis de Decisão - Elas se referem às decisões a serem tomadas, visando encontrar a solução do problema. Nesse nosso exemplo, desejamos identificar quais quantidades x 1, x e x de celulares de cada modelo a ser produzido mensalmente para a empresa maximizar os lucros. b. Função-objetivo - É uma expressão matemática por meio da qual relacionamos as variáveis de decisão e o objetivo a ser atingido. Em nosso exercício, o que objetivamos é maximizar o lucro da empresa, fazendo o melhor mix possível das quantidades x 1, x, e x, respectivamente. Assim a funçãoobjetivo do exercício é expressa como: Maximizar Custo = 0 x 1 + x + 0 x c. Restrições - São limitações impostas sobre os possíveis valores a serem assumidos pelas variáveis de decisão. Em nosso exercício, temos: 0,1x 1 + 0,x + 0,x >= 0...restrição 1...imposição do número de horas-mês em função da restrição governamental de consumo de kwh/mês para a linha de montagem. 0,x 1 + 0,1x + 0,1x >= 0...restrição...imposição do número de horas-mês em função da restrição governamental de consumo de kwh/mês para a linha de configuração. 0,1x 1 + 0,1x >= 1 restrição..imposição do número de horas-mês em função da restrição governamental de consumo de kwh/mês para a linha de verificação. x -0,1x + 0,x >= do modelo Star Tic Tac <=.00 restrição.. lucro mínimo por mês com o modelo Star Tic Tac 0 restrição..exigência do presidente de que a produção do Vulcano seja o dobro x 1 >= 0 restrição... restrição de não negatividade/ x >= 0 restrição...restrição de não negatividade x >= 0 restrição...restrição de não negatividade Agora podemos iniciar a solução computacional do problema utilizando a ferramenta Solver do Excel. 1