RESUMO O trabalho apresenta resultados de um estudo sobre o texto A Geometria do Globo Terrestre

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1 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, O ÂNGULO DE ELEVAÇÃO DO SOL E A ENERGIA SOLAR Antonio da Silva Gomes Júnior 1, José Paulo Rodrigues da Silveira, Thatiane de Almeida Oliveira, Eugenia Brunilda Opazo Uribe Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Campus de Três Lagoas. E mail: antonio_3lagoas@hotmail.com. 1 Bolsista do Grupo PET Conexões de Saberes Matemática/CPTL/UFMS RESUMO O trabalho apresenta resultados de um estudo sobre o texto A Geometria do Globo Terrestre que foi desenvolvido como parte das atividades do projeto Grupos de Estudo em Ensino de Matemática, vinculado às disciplinas de Prática de Ensino de Matemática, com o objetivo de entender o conceito de ângulo de elevação do Sol e sua relação com a intensidade relativa solar, como aplicações de conceitos de Geometria e Trigonometria. Foram estudados alguns conceitos geográficos importantes para o desenvolvimento do trabalho, bem como a leitura de mapas. Em seguida, foram determinados o ângulo de elevação do Sol e a intensidade relativa do Sol nos dias de Equinócios e de Solstícios, reproduzindo primeiro os dados apresentados pelo autor do texto e em seguida foram determinados dados de outras cidades de diferentes latitudes, para estabelecer comparações. Palavras chave: Ângulo de Elevação do Sol, Intensidade relativa do Sol, Ensino de Matemática INTRODUÇÃO O trabalho apresenta resultados de um estudo sobre o texto A Geometria do Globo Terrestre produzido para a II Bienal de Matemática e que foi disponibilizado para utilização em nível de Iniciação Científica. O texto é desenvolvido em 6 capítulos e explora segundo o seu autor a geometria da esfera que encontra na Geografia uma natural contextualização por meio do estudo do globo terrestre e dos vários assuntos a ele relacionados (Alves, 2009). Este trabalho foi desenvolvido como parte das atividades do projeto Grupos de Estudo em Ensino de Matemática, que busca desenvolver conteúdos de Matemática do Ensino Básico, complementados por aplicações e exemplos motivadores e está vinculado às disciplinas de Prática de Ensino de Matemática. O objetivo do presente trabalho é entender os conceitos de ângulo de elevação e intensidade relativa solar e a relação existente entre eles, como aplicações de alguns conceitos de Geometria e Trigonometria. Para desenvolver o presente trabalho houve a necessidade de desenvolver um trabalho teórico, fazendo uma revisão de vários conceitos de Geometria, como por exemplo, a superfície esférica e seus elementos, posições relativas de um plano em relação a uma superfície esférica, bem como posições relativas de uma reta em relação a uma superfície esférica e posições relativas entre duas superfícies esféricas (Gerônimo, 2010). Em seguida, foram estudados com bastante atenção alguns conceitos de Geografia, necessários ao desenvolvimento do trabalho, como as

2 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, coordenadas geográficas latitude e longitude, movimentos da Terra e estações, equinócios e solstícios. Estes conceitos foram estudados com base em Alves (2009), Grimm (1999) e Silva (2010), cujos textos foram utilizados para apresentar, a seguir, os principais conceitos de maneira resumida. O globo terrestre e os mapas permitem localizar uma determinada cidade ou região, utilizando as chamadas coordenadas geográficas: latitude e longitude. A latitude de um ponto P é a medida do arco do meridiano que passa por P situado entre o paralelo que contém P e o Equador, é expressa em graus, minutos e segundos e varia de 90 S (Pólo Sul) a 90 N (Pólo Norte). A longitude de um ponto P é a medida do arco do paralelo que passa por P situado entre o meridiano que contém P e o meridiano de Greenwich, é expressa em graus, minutos e segundos e se mede de 0 a 180 E (leste) ou de 0 a 180 W (oeste) (Silva, 2010). A Terra tem dois movimentos principais, o movimento de rotação, em torno de seu eixo, e o movimento de translação, em torno do Sol. Como conseqüência do movimento de rotação da Terra, o Sol vá iluminando progressivamente diferentes regiões, resultando em dia nas partes voltadas para o Sol e noite nas outras. Uma das conseqüências do movimento de translação é o ciclo das estações do ano, que ocorrem porque o eixo da Terra está inclinado relativamente ao plano da sua órbita. Devido à inclinação existente, os dias e as noites não têm a mesma duração em todos os lugares da Terra, porque a orientação da Terra em relação ao Sol muda continuamente durante o movimento. Existem duas exceções, que ocorrem aproximadamente em 21 de março e 23 de setembro, são os chamados equinócios, nestes dias os raios solares incidem perpendicularmente sobre a linha do Equador, que recebe mais calor. Existem outros dois dias especiais, são os chamados solstícios, que ocorrem aproximadamente em 21 de dezembro (solstício de verão para o Hemisfério Sul e o solstício de inverno para o Hemisfério Norte), neste dia o Hemisfério Sul tem o dia mais longo e a noite mais curta e no Hemisfério Norte a situação se inverte. Aproximadamente em 21 de junho ocorre o solstício de inverno para o Hemisfério Sul e o solstício de verão para o Hemisfério Norte, neste caso o Hemisfério Sul tem a noite mais longa do ano, enquanto no Hemisfério Norte esta data indica o dia mais longo do ano (Grimm, 1999). A quantidade relativa de energia solar recebida por um lugar também está relacionada com a inclinação da Terra. A grande maioria da energia solar nunca alcança a superfície da Terra. Porém, a intensidade de radiação que a alcança varia de acordo com o chamado ângulo de elevação do Sol (Alves, 2009).

3 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, METODOLOGIA O trabalho é resultado de uma pesquisa teórica desenvolvido em grupo como parte das atividades do projeto Grupos de Estudo em Ensino de Matemática, vinculado às disciplinas de Prática de Ensino de Matemática. O trabalho incluiu uma etapa de leitura e discussão do texto, divisão dos tópicos, desenvolvimento das atividades propostas e a tabulação dos resultados obtidos. Foi realizada uma atividade experimental no Laboratório de Ensino de Matemática do Campus de Três Lagoas da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. O estudo e as atividades desenvolvidas foram avaliados através da apresentação de seminários de discussão. RESULTADOS Desenvolvimento Teórico Em primeiro lugar foi necessário fazer a leitura e discussão do texto de Alves (2009), para entender os conceitos de ângulo de elevação e sua relação com a intensidade relativa solar. Para isto, consideraremos uma circunferência C, um ponto P do globo terrestre representando uma localidade qualquer e uma reta t tangente a C em P. O ângulo de elevação ao meio dia solar em P, será o menor ângulo formado pelos raios solares e pela reta t, como representado na figura 1. Figura 1. Ângulo de Elevação do Sol Alves (2009). Estamos interessados em calcular a intensidade relativa solar que alcança a superfície da Terra, para isto precisamos do conceito apresentado por Alves (2009) e, entenderemos intensidade relativa como a razão da intensidade de radiação solar incidente na superfície pela intensidade de radiação se os raios incidissem perpendicularmente à superfície (ângulo de elevação igual a 90 ). Quanto mais próximo de 90 a medida deste ângulo estiver, maior a intensidade da radiação solar. Esta situação pode ser representada através de uma atividade experimental sugerida por (Alves, 2009), que foi reproduzida pelos autores no Laboratório de Ensino de Matemática e que é facilmente reproduzível em sala de aula, utilizando duas folhas de papel e uma lanterna. Esta

4 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, atividade oferece um bom modelo para quantificar a relação entre a medida do ângulo de elevação do Sol e a intensidade relativa da radiação solar recebida por uma cidade particular. Em primeiro lugar, escurecemos o local e acendemos uma lanterna sobre um papel branco A e em seguida sobre um papel branco B, como indicado na figura 2. Como resultado, observamos através da sombra que B projeta em A, que ao inclinarmos o papel B, diminui a sombra mostrando que a quantidade de luz que incide sobre B também diminui. A quantidade de energia luminosa recebida pelo papel inclinado é a mesma recebida por C, que é paralelo a A. Neste modelo, o papel representa uma área da Terra e o ângulo do papel representa o ângulo de elevação do Sol. Figura 2. Modelo experimental para quantificar a relação entre a medida do ângulo de elevação do Sol e a intensidade relativa solar (Alves, 2009). A figura 3 apresenta uma ilustração da visão lateral do modelo experimental. De esquerda para direita, mostra como diminui a energia luminosa recebida pelo papel a medida que o ângulo de elevação do Sol (α) é reduzido. Figura 3. Ilustração da visão lateral do modelo experimental (Alves, 2009). Considerando o triângulo retângulo da figura 3, observamos que podemos obter uma medida da intensidade relativa da luz solar, através da razão entre o comprimento de C e o comprimento de B, que representa sen. Se o comprimento de B é tomado como 1, então sen C 1 C. Por exemplo, se B é perpendicular à direção da luz solar, isto é, 90, a intensidade relativa da luz solar (neste caso igual a sen90 ) é 1 ou, em porcentagem, 100%. Se o ângulo de elevação é de 57, por exemplo, entã o o papel recebe aproximadamente 84% da radiação solar disponível, pois sen57 0,8387.

5 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, O Ângulo de Elevação do Sol e a Intensidade Relativa Solar nos Equinócios Determinaremos a medida do ângulo de elevação do Sol ao meio dia solar, isto é, o momento em que o Sol está mais alto no céu, nos dias de equinócios de primavera e outono, para, com estes dados, obter a intensidade relativa solar. Em primeiro lugar reproduzimos os resultados apresentados por Alves (2009) para a cidade de Porto Alegre e em seguida, efetuamos o mesmo desenvolvimento para obter e apresentar resultados para outras cidades, de diferentes latitudes mostrando a variação dos valores obtidos tanto para o ângulo de elevação como para a intensidade relativa solar. Consideremos a cidade de Porto Alegre localizada a 30 de latitude sul e representada na figura 4 pelo ponto P. Nesta mesma figura, a reta PB é tangente a Terra no ponto P e o ponto O representa o centro da Terra. Observamos que m( BOP) m( APC) 30, pois as retas AP e BO são paralelas aos raios solares. Logo m ( APB) 60, considerando que m( BPC) 90. Assim, o ângulo de elevação do Sol ao meio dia solar, durante os equinócios de primavera e outono, na cidade de Porto Alegre mede 60, o mesmo acontece com outras cidades que tenham a mesma latitude. Como vimos anteriormente, a intensidade relativa da radiação solar será dada por sen 60, isto é, aproximadamente 0,8660, indicando que a intensidade de Sol em Porto Alegre nos dias de equinócios é aproximadamente 86% da que seria se os raios solares incidissem perpendicularmente à superfície. Figura 4 Representação do ângulo de elevação do Sol para a cidade de Porto Alegre nos Equinócios (Alves 2009). Analogamente, podemos calcular a intensidade relativa da radiação solar que incide em qualquer cidade cuja latitude seja conhecida. Com a utilização de mapas obtivemos dados aproximados de latitude de algumas cidades, para as quais foi calculada a intensidade relativa da radiação solar ao meio dia solar nos dias de equinócios. Foram escolhidas cidades de diferentes latitudes, para observar as variações dos valores obtidos, os resultados são apresentados na tabela

6 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Por exemplo, a cidade de Três Lagoas em Mato Grosso do Sul (Brasil), está localizada a 20 de latitude sul. Portanto, o ângulo de elevação do Sol ao meio dia solar nos dias de equinócios mede Indicando que a intensidade relativa da radiação solar que a cidade rece be nesses dias, é aproximadamente de 94%. Observamos que a cidade de João Pessoa no Brasil ( 07 S) tem a maior intensidade relativa solar, aproximadamente 99%, enquanto a cidade de Nuuk na Groenlândia de latitude 64 N, tem a menor intensidade relativa solar, aproximadament e 44%. Tabela 1. Ângulo de Elevação do Sol e Intensidade Relativa Solar nos Equinócios Cidade Latitude Ângulo de Elevação do Sol Intensidade Relativa Três Lagoas João Pessoa Ushuaia Nuuk 20 S 07 S 54 S S S S N 26 N 0,4384 O Ângulo de Elevação do Sol e a Intensidade Relativa Solar nos Solstícios Agora iremos calcular a medida do ângulo de elevação do Sol ao meio dia solar nos dias de solstício do mês de junho. Nesse dia os raios solares incidem perpendicularmente sobre o Trópico de Câncer, aproximadamente a N de latitude. Em primeiro lugar, foram reproduzidos os dados apresentados por Alves (2009) para as cidades de Cleveland e Porto Alegre. Em seguida, apresentamos resultados para outras cidades, como no caso dos equinócios. A figura 5 (esquerda) mostra o ângulo de elevação do Sol em Cleveland, localizada a 41 N e represen tada pelo ponto P. A reta PB é tangente a Terra em P, O representa o centro da Terra. Como AP e BO são paralelas aos raios solares, temos que m( APC) m( BOP) m( EOP) m(eob)

7 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Figura 5 Representação do ângulo de elevação do Sol para as cidades de Cleveland e Porto Alegre, respectivamente, no solstício de junho (Alves 2009). Como BPC 90, segue que APB, que é o ângulo de elevação do Sol ao meio dia solar, tem medida Assim, Cleveland e outras cidades localizadas a 41 de latitude norte recebem o maior brilho solar direto do ano durante o dia de solstício de junho, quando o ângulo de elevação do Sol mede ao meio dia solar, indicando que Cleveland recebe ce rca de 95% da radiação solar que incidiria se o ângulo fosse de 90 ao meio dia no solstício de junho. De maneira análoga, utilizando a figura 5 (direita), podemos reproduzir o desenvolvimento para o caso da cidade de Porto Alegre; obtemos que m ( BOP) m( EOP) m( EOB) , assim m ( APC) 53 30, portanto o ângulo de elevaç ão do Sol ao meio dia solar mede Assim, Porto Alegre recebe o menor brilho solar direto do ano durante o dia de solstício de junho, quando o ângulo de elevação do Sol mede 36 30, indicando que Porto Alegre recebe cerca de 59% da radiação solar que incidiria se ângulo fosse de 90 ao meio dia no solstício de junho. Seguindo o mesmo raciocínio, determinamos estes mesmos dados o para as cidades consideradas anteriormente no caso dos equinócios, os resultad os estão registrados na tabela 2. Tabela 2. Ângulo de Elevação do Sol e Intensidade Relat iva Solar Solstício Junho Cidade Latitude Ângulo de Elevação do Sol Intensidade Relativa Três Lagoas 20 S S João Pessoa 07 S S Ushuaia Nuuk 54 S N S N 0,7604 O solstício de junho marca o início do inverno no hemisfério sur e o início do verão no hemisfério norte. Os dados da tabela 2 mostram que, a cidade de Ushuaia na Argentina, recebe a menor intensidade relativa solar, aproximadamente 22%, enquanto a cidade de Nuuk na Groenlândia recebe aproximadamente 76%. Através de raciocínio análogo podemos obter resultados para o caso do solstício de dezembro.

8 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, DISCUSSÃO Foram obtidos resultados para o ângulo de elevação do Sol e para a intensidade relativa solar nos dias de equinócios, bem como para o solstício de junho em várias cidades, de diferentes latitudes, o que permitiu fazer comparações entre os resultados obtidos. Os dados obtidos são aproximados, devido à aproximação dos dados utilizados para a latitude, que é utilizada nos cálculos. CONCLUSÃO Através do trabalho foram obtidos resultados que permitem calcular o ângulo de elevação do Sol e intensidade relativa do Sol nos dias de Equinócios e Solstícios, a partir do conhecimento da latitude de uma cidade. O trabalho oferece uma oportunidade para o desenvolvimento de projetos multidisciplinares, vinculando conceitos utilizados em Geometria e Trigonometria com conceitos da Geografia. REFERÊNCIAS ALVES, S. A geometria do Globo Terrestre. Programa de Iniciação Científica OBMEP. No GERÔNIMO, J.R. FRANCO, V.S. Geometria Plana e Espacial: Um Estudo Axiomático. 2ª. Ed. Editora da Universidade Estadual de Maringá GRIMM, A.M. Radiação Solar e Terrestre. Balanço de Calor. Notas de Aula de Meteorologia Básica. Universidade Federal do Paraná Disponível em: < Consultado em: 16/09/2012. SILVA, J.F.C. Notas de Aula de Cartografia. Capítulo V. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciência e Tecnologia Disponível em: < Consultado em: 22/09/2012. UNIVERSIDADE DE LISBOA. O Nosso Sistema Solar. PRISMA: À Luz da Física. CFTC Centro de Física Teórica e Computacional. Disponível em: < Consultado em: 15/09/2012.