TRIGONOMETRIA E OS RAIOS DE SOL NA TERRA

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1 TRIGONOMETRIA E OS RAIOS DE SOL NA TERRA Éder Leonardo Monteiro Ferreira Dionísio Santos Jacobina Augusto César Santos Dra. Janaina Viana Barros UPE Universidade de Pernambuco Campus Garanhuns RESUMO Neste artigo veremos alguns conceitos de radiação solar e como a trigonometria pode ser aplicada nos cálculos dos mesmos; abordando o ângulo de elevação solar e a importância da função trigonométrica no cálculo da porcentagem de radiação disponível para a região calculada; mostraremos ainda à declinação solar, o ângulo do pôr do sol, a radiação extraterrestre e todas as variáveis necessárias para se efetuar os cálculos. Cada conceito envolverá algum tipo de cálculo trigonométrico. Quando este cálculo for efetuado ele terá, na medida do possível, como exemplo a cidade de Garanhuns, estado de Pernambuco. PALAVRASCHAVE: Trigonometria, Radiação Solar, Garanhuns. ABSTRACT In this paper we will see some concepts of solar radiation and as may be applied to trigonometric calculations thereof; addressing the solar elevation angle and the importance of the trigonometric function in calculating the percentage of the available radiation to the calculated region; also the solar declination, show the angle of Revista Diálogos N. 11 abr./mai

2 the sunset, the extraterrestrial radiation and all necessary to make the calculations variables. Each concept will involve some kind of trigonometric calculation. When this calculation is made it will, to the extent possible, for example the city of Garanhuns, state of Pernambuco. KEYWORDS: Trigonometry, Solar Radiation, Garanhuns. INTRODUÇÃO Trigonometria, palavra que significa medida do triângulo, teve origem quando ainda se acreditava que os planetas descreviam órbitas circulares ao redor da terra, surgindo o interesse de relacionar o comprimento da corda de uma circunferência com o ângulo central por ela subentendido. O objetivo inicial da trigonometria era a resolução de problemas com triângulos. Posteriormente foi surgindo as noções de seno, cosseno e seus associados: tangente, cotangente, secante e cossecante. Ao longo dos anos, as funções trigonométricas foram ficando mais abrangentes, surgindo então à sua aplicação na Astronomia, no cálculo do raio da terra e na incidência dos raios de sol na terra. A grande maioria dos raios solares nunca alcança a superfície da Terra. Porém os raios que chegam a terra variam sua intensidade de acordo com as estações do ano, com a localidade do planeta em que os raios incidem e o horário de incidência dos mesmos. Todas essas variações estão também relacionadas com o ângulo de elevação do sol, muitos cálculos da radiação solar podem ser resolvidos a partir de funções trigonométricas. Para cada ponto do planeta essa incidência é calculada de modo diferente, ou seja, quando a radiação do sol é nos equinócios o ângulo de elevação do sol será calculado de maneira diferente da radiação solar nos solstícios, dessa incidência podemos calcular também a porcentagem de incidência dos raios de sol em um Revista Diálogos N. 11 abr./mai

3 ponto da terra, a declinação solar e o ângulo do pôr do sol, por exemplo. O objetivo deste artigo é mostrar como a trigonometria é usada para calcular essas diferentes formas de radiação solar. Em um primeiro momento discutiremos o ângulo de elevação do sol, que tem seu índice de radiação calculado a partir da função seno. A seguir mostraremos os raios de sol nos equinócios, nos solstícios, o dia Juliano, a distância relativa da terra ao sol, a declinação solar, o ângulo do pôr do sol e a radiação extraterrestre. Quando for conveniente mostraremos exemplos com a cidade de Garanhuns. 1. Ângulo de elevação solar Observe a figura 1 abaixo: R aios Solares α P O Figura 1: Ângulo de elevação solar relativo a um ponto P no globo Revista Diálogos N. 11 abr./mai

4 Seja a circunferência C que contém o meridiano que passa por uma localidade P do globo terrestre e t é a reta tangente a C em P. Esse ângulo, formado pelos raios solares e pela reta t é o chamado ângulo de elevação do sol ao meio dia solar. Quanto menor o ângulo de elevação do sol, menor é a incidência dos raios solares. E quanto mais próximos de 90 graus, maior será a incidência desses raios (ALVES, 2008). Observe abaixo a figura 2: R A t c Q b α P Figura 2: Barreira contra os raios solares formado pelo ângulo de elevação do sol. Seja c um prolongamento perpendicular de t em b tal que dê origem ao triângulo PQR e seja um ângulo de 67 graus, por exemplo. Então se calcula sen para determinar a porcentagem de radiação recebida, sendo sen 67 = 0,92051 então a terra recebe, convertendo em porcentagem, aproximadamente 92% da radiação solar disponível, ou seja, quanto mais próximo de 90 Revista Diálogos N. 11 abr./mai

5 graus for o ângulo de elevação do sol, maior em porcentagem será a incidência da radiação solar no ponto do globo. 2. Ângulo de elevação do sol durante os equinócios em Garanhuns Usando como referência o método mostrado por Alves (2008) vamos determinar agora o ângulo de elevação do sol ao meio dia solar nos dias de equinócios de primavera e outono na cidade de Garanhuns, localizada a aproximadamente 9 graus de latitude sul (ignorando seu sinal de negativo), esta mesma referência é válida para todas as outras cidades do Estado de Pernambuco que também possuem a latitude aproximada de 9 graus (Lajedo, Cachoeirinha, Caetés...). Observe a figura 3: Equador B 8 O A α G D C Figura 3: Ângulo de elevação do sol durante os equinócios em Garanhuns Revista Diálogos N. 11 abr./mai

6 Seja O, o ponto central do globo terrestre, G a cidade de Garanhuns e B o ponto de intersecção com o equador, formando o ângulo BÔG com a reta GB tangente a circunferência no ponto G. Sendo BÔG igual a aproximadamente 9 graus que é a latitude de Garanhuns. Podemos determinar o ângulo, usando a teoria dos ângulos correspondentes no contexto de retas paralelas, onde a linha do equador é paralela aos raios solares (ALVES, 2008), portanto é 81 graus, calculamos sen 81 que é igual a 0,9877, que em porcentagem equivale à 98%, ou seja, GaranhunsPE tem um ângulo de elevação solar ao meio dia solar nos dias de equinócios de 81 e recebe 98% da radiação solar disponível. 3. Ângulo de elevação do sol durante os solstícios em Garanhuns Mostraremos agora o ângulo de elevação do sol ao meio dia solar no solstício de junho em Garanhuns. Nesses dias os raios solares incidem perpendicularmente no Trópico de Câncer que está a de latitude Norte aproximadamente como na figura 4 e 5 abaixo (ALVES, 2008). Observe as figuras: N Fig ura 4: Lati tud e apr oxi ma da do Raios Solares 23 30' S Trópico de Câncer Equador Revista Diálogos N. 11 abr./mai

7 Trópico de Câncer Trópico de Câncer Equador B D O E Raios Solares A C G Figura 5: Ângulo de elevação do sol nos dias de solstícios do mês de junho em Garanhuns A figura 5 repr esenta o ângulo de elevação do sol em Garanhuns, de modo semelhante ao que acontece nos equinócios. A reta GB é tangente à circunferência no ponto G, que representa Garanhuns, formando com os pontos O que é o centro da terra e B, que é o ponto de intersecção da reta GB e os raios solares. Tanto o triângulo GOB quanto o ângulo EÔG tem aproximadamente Somando este ângulo com o ângulo EÔB que é a latitude aproximada de Garanhuns, ou seja, 9 graus origina o ângulo GÔB: EÔB + EÔB = GÔB = 32º 30. Revista Diálogos N. 11 abr./mai

8 Logo, o ângulo GBO mede: = Então: GBO e BGA são alternos internos, o ângulo de elevação solar de Garanhuns durante os solstícios é que é igual ao ângulo. Agora usando a função trigonométrica do seno, calculamos sen que equivale à aproximadamente 0, 8387, ou seja, em porcentagem, 83% da radiação solar disponível que Garanhuns recebe nos solstícios de junho. Agora iremos calcular o ângulo de elevação do sol no solstício dezembro em Garanhuns. O cálculo é semelhante ao de junho, observe a figura 6: 13 30' 76 30' A C E B P O Equador Trópico de Capricórnio Figura 6: Ângulo de elevação do sol nos dias de solstícios do mês de dezembro em Garanhuns Temos que a reta GB é tangente e m G (representando Garanhuns) e junto com os pontos O e B formam o triângulo GBO. Como o ângulo no Trópico de Capricórnio é de pela congruência de ângulos correspondentes no paralelismo Revista Diálogos N. 11 abr./mai

9 temos que AGC = 13 30, então = BGC AGC = = Com isso podemos concluir que Garanhuns tem um ângulo de elevação solar ao meio dia solstícios de dezembro de e agora calculando o seno que é igual ao sen = 0,9703 podemos dizer que Garanhuns recebe 97% da radiação solar disponível nesses mesmos dias e não só em Garanhuns, como também nas cidades de latitude semelhante. Perceba que o objetivo dos cálculos do ângulo de elevação do sol é saber o índice de radiação solar que a terra recebe. Sem saber a função seno, esse cálculo seria muito mais complexo e talvez até inviável. As funções trigonométricas nesse caso tornamse uma ferramenta matemática bastante eficaz na aplicação da radiação solar. 4. Outros casos de radiação solar A seguir iremos expor alguns cálculos que utilizam radiação solar e a trigonometria: declinaç ão solar (, o ângulo do pôr do sol (ws) e a radiação extraterrestre (Ra), descreveremos também, algumas variáveis úteis para calcular estas funções como, por exemplo, a distância reativa da terra ao sol (dr) e o dia Juliano (J). As aplicações destes cálculos são as mais variadas, por exemplo, o índice de limpidez que é uma função da atenuação devido a presença de nuvens e outros constituintes atmosféricos (aerossóis, gases, ozônio e vapor d água) (IQBAL, 1983 apud MARQUES; PEREIRA; ASSIS, s/d.). Utilizaremos todas estas funções citadas para obter os dados relativos a cidade de Garanhuns como forma de exemplificar os cálculos. Vamos dispor de tabelas logo a seguir para tornar à compreensão ainda melhor. 5. Dia Juliano O dia Juliano, representado por J, baseado no calendário introduzido pelo imperador romano Júlio Cesar que vai de 1 a Revista Diálogos N. 11 abr./mai

10 365 dias sem considerar o ano bissexto. Tomando como ponto inicial 15 dias de cada mês (que é mais ou menos o meio de cada mês) podemos calcular o dia Juliano da seguinte maneira: conforme Tomaz (2008), o primeiro mês que é janeiro corresponde a 15 J, já fevereiro é o número de dias de todo mês de janeiro mais 15, ou seja, = 46 J de fevereiro, a partir de fevereiro podemos determinar o dia Juliano de março de modo que seu resultado é a soma dos dias do mês de janeiro mais fevereiro mais 15, ou seja, = 74 J e assim por diante conforme a tabela 1: Tabela 1: Dia Juliano Mês Dia Juliano Janeiro 15 Fevereiro 46 Março 74 Abril 105 Maio 135 Junho 166 Julho 196 Agosto 227 S etembro 258 Outubro 288 N ovembro 319 Dezembro Distância relativa da Terra ao Sol (dr) A distância da terra ao sol foi medido pela primeira vez por Aristarco de Samos, há mais de 2000 anos (FERREIRA, 2008), Aristarco montou um esquema a partir de um triângulo Revista Diálogos N. 11 abr./mai

11 retângulo usando a lua, a terra, o sol, fórmulas trigonométricas e dados de calendários (meses do ano, horários, dia do mês etc.). Foi calculada assim, a distância da terra ao sol (é muito importante saber a distância relativa da terra ao sol, pois com esse dado, podemos calcular a radiação extraterrestre que também será apresentado neste trabalho), hoje em dia esses cálculos se modernizaram e foi possível chegar a seguinte equação: dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x /365) x J] Onde J = Dia Juliano Perceba que o dia Ju liano varia na fórmula, isso implica dizer que a distância relativa da terra ao sol varia a cada mês do ano. Vamos calcular agora a distância relativa da terra ao sol para alguns meses do ano usando essa fórmula para exemplificar o seu cálculo. Distância relativa da terra ao sol no mês de janeiro dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x /365) x J] dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x 3,1416/365) x 15] dr = 1 + 0,033 x cos [0, ] dr = 1,032 rad Distância relativa da terra ao sol no mês de fevereiro dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x /365) x J] dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x 3,1416/365) x 46] dr = 1 + 0,033 x cos [0, ] dr = 1,023 rad Distância relativa da terra ao sol no mês de março dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x /365) x J] dr = 1 + 0,033 x cos [(2 x 3,1416/365) x 74] dr = 1 + 0,033 x cos [1, ] Revista Diálogos N. 11 abr./mai

12 dr = 1, 010 rad E assim por diante até o mês de dezembro (ver tabela 3) 7. Declinação Solar ( É o ângulo entre o raio vetor do Sol e o plano equatorial celeste. Varia de 0 a (Sol no hemisfério Norte Celeste) e de 0 a (Sol no hemisfério Sul Celeste) (RIBEIRO, 2003). E é expresso pela equação em radianos conforme Tomaz (2008). = 0,4093 x sen [(2 x /365) x J 1,405] Entre tantas utilidades, a declinação solar de acordo com Sobral (s/d) é usada no modelo de barragem superficial e de acordo com Marques (s/d) no índice de limpidez. Vamos agora calcular a declinação solar para alguns meses do ano usando essa fórmula para exemplificar o seu cálculo. Declinação solar no mês de janeiro = 0,4093 x sen [(2 x /365) x 15 1,405] = 0,4093 x sen [1, ] = 0, 373 D eclinação solar no mês de fevereiro = 0,4093 x sen [(2 x /365) x 46 1,405] = 0,4093 x sen [0, ] = 0, 236 Declinação solar no mês março = 0,4093 x sen [(2 x /365) x 74 1,405] Revista Diálogos N. 11 abr./mai

13 = 0,4093 x sen [0, ] = 0, 054 Dessa forma, podemos calcular para todos os meses variando apenas o dia Juliano (ver tabela 3). 8. Ângulo da hora do pôr do sol em GaranhunsPE (ws) É o ângulo medido no polo celestial entre o meridiano do observador e o meridiano solar. Apresenta uma variação de aproximadamente 15 por hora; é considerado igual a zero, meio dia solar, positivo no período da manhã e negativo no período da tarde (RIBEIRO, 2003), além disso, é possível determinar o número de horas de sol por dia em função do ângulo do pôr do sol que também será mostrado. A fórmula do ângulo do pôr do sol é expresso pela seguinte equação, em radianos conforme Rosa (s/d): ws = arccos [tg( ) x tg( ] Onde: ws = Ângulo da hora do pôr do sol = Latitude local (rad) = Declinação solar (rad) Vamos agora calcular o ângulo do pôr do sol em Garanhuns, em alguns meses do ano utilizando essa fórmula para exemplificar seu cálculo. No entanto, a tabela 3 mostrará por completo todos os dados relativos à Garanhuns mostrados aqui nesse artigo. Para todo s os cálculos do ângulo da hora do pôr do sol temos que primeiro converter a latitude de Garanhuns ( para radianos, ou seja: 180 assim como 9 x, logo Revista Diálogos N. 11 abr./mai

14 x = rad que é a latitude de Garanhuns convertida em radianos, depois substitui os dados na fórmula e se calcula normalmente como na equação descrita a seguir. Ângulo da hora do pôr do sol em janeiro: ws = arccos [tg( ) x tg( ] ws = arccos [ tg () x tg (0,054)] ws = arccos [0, ] ws = 1,58 rad E assim por diante até o mês de dezembro (ver tabela 3). 8.1 Número Garanhuns de horas de sol durante o dia em Através dos dados obtidos do ângulo da hora do pôr do sol representado por (N) para os diferentes meses do ano, vamos estabelecer o número de horas de sol durante o dia no município de Garanhuns, nos dias sem nebulosidade e é expresso pela seguinte equação conforme Tomaz (2007): N = (24/ ) x ws Vamos calcular o número de horas de sol durante o dia para alguns meses do ano usando essa fórmula para exemplificar o seu cálculo. Neste cálculo, basta apenas substituir o ângulo do pôr do sol por seu valor encontrado e efetuar o cálculo normalmente. Número de horas de sol durante o dia no mês de janeiro N = (24/3,1416) x 1,63 N = 12,45 h Número de horas de sol durante o dia no mês de fevereiro N = (24/3,1416) x 1,61 Revista Diálogos N. 11 abr./mai

15 N = 12,30 h Número de horas de sol durante o dia no mês de março N = (24/3,1416) x 1,58 N = 12, 07 h E assim por diante, conforme a tabela 2 abaixo: Tabela 2: Valores de N para os meses de janeiro a dezembro para o município de Garanhuns Número de horas Mês WS (RAD) de sol durante o dia N (h) janeiro 1,63 12,45 fevereiro 1,61 12,30 março 1,58 12,07 abril 1,55 11,84 maio 1,52 11,61 junho 1,50 11,46 julho 1,51 11,53 agosto 1,53 11,69 se tembro 1,56 11,92 outubro 1,60 12,22 novembro 1,63 12,45 d ezembro 1,64 12,53 9. Radiação extraterrestre É a radiação obtida no topo da atmosfera, isto é, incidente numa superfície horizontal fora da presença da atmosfera (RIBEIRO, 2003). Esta é a fórmula que mais possuem variáveis, Revista Diálogos N. 11 abr./mai

16 é composta de quase todas que já vimos até o momento, é também a que mais possui funções trigonométricas. Assim como a declinação solar, a radiação extraterrestre também é utilizada, entre tantos outros empregos, no modelo de barragem superficial (SOBRAL, s/d) e no índice de limpidez (MARQUES, s/d). É representado por (Ra) e é expresso pela seguinte equação conforme Tomaz (2008): Ra = (24/60/3,1416) x dr x Gsc x (ws x sen( ) x sen( ) + cos( ) x cos( ) x sen(ws) Sendo Ra = Radiação extraterrestre Gsc = Constante Solar = 0,0820 MJ/m 2 x min ws = Ângulo Solar (rad) = Latitude local (rad) = Declinação solar (rad) dr = Distância Relativa da Terra ao Sol (rad) Vamos agora, calcular a radiação extraterrestre em Garanhuns para alguns meses do ano como forma de exemplificar a fórmula. Para este cálculo, basta substituir as variáveis pelos seus respectivos valores, encontrados pelas fórmulas anteriores e efetuar os cálculos normalmente. Radiação extraterrestre no mês de janeiro em Garanhuns Ra = (24 x 60/3,1416) x 1,032 x 0,0820 x [1,63 x sen() x sen(0,373) + cos(0,373) x cos() x sen(1,63)] Ra = 39,24 MJ/m 2 x dia Radiação extraterrestre no mês de fevereiro em Garanhuns Ra = (24 x 60/3,1416) x 1,023 x 0,0820 x [1,61 x sen() x sen(0,236) + cos(0,236) x cos() x sen(1,61)] Ra = 39,16 MJ/m 2 x dia Radiação extraterrestre no mês de março em Garanhuns Ra = (24 x 60/3,1416) x 1,010 x 0,0820 x [1,58 x sen() x sen(0,054) + cos(0,054) x cos() x sen(1,58)] Ra = 37,94 MJ/m 2 x dia Revista Diálogos N. 11 abr./mai

17 E assim por diante até o mês de dezembro, conforme a tabela abaixo: Tabela 3: Dados relativos a Garanhuns Mês Dia Juliano dr (rad) Declinção Solar (rad) ws (rad) N (h) Latitu de (rad) Ra (MJ/m 2 x dia) Jan. 15 1,032 0,373 1,63 12,45 Fev. 46 1,023 0,236 1,61 12,30 Mar. 74 1,010 0,054 1,58 12,07 Abr ,992 0,160 1,55 11,84 Mai ,977 0,325 1,52 11,61 Jun ,968 0,406 1,50 11,46 Jul ,968 0,377 1,51 11,53 Ago ,976 0,244 1,53 11,69 Set ,991 0,043 1,56 11,91 Out ,008 0,164 1,60 12,22 39,24 39,16 37,94 34,91 31,54 29,56 30,19 33,01 36,36 38,45 Revista Diálogos N. 11 abr./mai

18 Nov ,023 0,332 1,63 12,45 Dez ,032 0,407 1,64 12,52 39,03 39,04 CONCLUSÕES A partir da pesquisa realizada, descobrimos o quanto a trigonometria tem uma aplicação abrangente, pois não é apenas um estudo de um triângulo ou de uma circunferência, mas também o estudo dos fenômenos que nos cercam como os raios de sol na terra. Quanto aos dados avaliados do ângulo de elevação do sol em relação a Garanhuns, percebemos que entre os períodos de equinócios e solstícios de dezembro a radiação é bem maior que nos solstícios de junho; isso explica o clima mais frio da cidade durante esse mês. Outros pontos que reforçam essa observação são os valores da radiação extraterrestre e o número de horas de sol por dia referente ao mês de junho, que são os menores em relação aos demais meses. Janeiro e dezembro são os mais quentes em Garanhuns, predominando o mês de janeiro. Nos meses seguintes, a temperatura vai diminuindo até junho, período em que fica mais frio, e a partir daí o clima volta a esquentar gradativamente até dezembro, repetindo esse ciclo nos anos seguintes. REFERÊNCIAS ALVES, S. A Geometria do Globo Terrestre P FERREIRA, A. C. S. Como se media a distância até o sol. Universidade Estadual de Campinas (Relatório Final), Campinas SP, 2008, p.3. Revista Diálogos N. 11 abr./mai

19 MARQUES, K.; PEREIRA, T. P.; ASSIS, S. V. Análise do comportamento mensal do índice de limpidez. Pelotas/RS, p.1. RIBEIRO, D. S. Análise harmônica da radiação solar global mensal na região de Pelotas, RS. Pelotas, p.3436, ROSA, D. J. M.; ZILLES, R. Caracterização da energia disponível na região do Lagamar, município de Cananéia. São PauloSP, p.5. SOBRAL, P. M.; SILVA, G. V.; SILVA, W. M. A. Comparação entre barragens subterrâneas e superficiais. XVI Congresso Brasileiro de Águas Subterrâneas e XVII Encontro Nacional de Perfuradores de Poços, p.7. Revista Diálogos N. 11 abr./mai