Autômatos e computabilidade

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1 Autômatos e computabilidade Expressões regulares Pedro A D Rezende UnB IE CIC Cadeia vazia: l (ou e) é a cadeia tal que l = 0

2 Expressões Regulares A notação algébrica que denota Concatenação como produto União de conjuntos como soma e Fecho de Kleene como série de potências serve para descrever linguagens formais. Uma fórmula nesta notação é dita, por motivos que ficarão óbvios, expressão regular d q para q' por a

3 Definição recursiva de Expressão Regular Dado S, são expressões regulares (ER) sobre S: (o conjunto vazio) l (ER que denota {l} ) a (ER que denota {a}, a S ) Se x, y são ERs que denotam as linguagens X e Y respectivamente, também são ERs as expressões (x+y), (xy) e (x*) denotando, respectivamente, X Y, X Y e X* OBS: x + abrevia xx * ; x n abrevia xx...x n vezes

4 Definição recursiva de Expressão Regular Dado S, são expressões regulares (ER) sobre S: (o conjunto vazio) l (ER que denota {l} ) a (ER que denota {a}, a S ) Se x, y são ERs que denotam as linguagens X e Y respectivamente, também são ERs as expressões (x+y), (xy) e (x*) denotando, respectivamente, X Y, X Y e X* OBS: x + abrevia xx * ; x n abrevia xx...x n vezes

5 Definição recursiva de Expressão Regular Dado S, são expressões regulares (ER) sobre S: (o conjunto vazio) l (ER que denota {l} ) a (ER que denota {a}, a S ) Se x, y são ERs que denotam as linguagens X e Y respectivamente, também são ERs as expressões (x+y), (xy) e (x*) denotando, respectivamente, X Y, X Y e X* OBS: x + abrevia xx * ; x n abrevia xx...x n vezes

6 Definição recursiva de Expressão Regular Dado S, são expressões regulares (ER) sobre S: (o conjunto vazio) l (ER que denota {l} ) a (ER que denota {a}, a S ) Se x, y são ERs que denotam as linguagens X e Y respectivamente, também são ERs as expressões (x+y), (xy) e (x*) denotando, respectivamente, X Y, X Y e X* OBS: x + abrevia xx * ; x n abrevia xx...x n vezes

7 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

8 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

9 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

10 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

11 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

12 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

13 Notação simplificada Usando a precedência das operações homônimas, omite-se ( ) onde possível Exemplos ( fixando S={0, 1} ): 01 * +0 simplifica ((0(1 * ))+0) (0+1) * 0 denota L = {a0 a S * } (10+1) * denota L = {a S * a começa com 1 e não repete 0s} (0+1) * 00(0+1) * denota L = {a S * a repete 0 pelo menos uma vez}

14 Expressões Regulares geram Linguagens Regulares Dado r ER, existe M lfa tal que L(r) = L(M) Demonstração: Por indução sobre op(r) = operações em r, usando grafos para lfas P(0): (zero operações em r) r = r = l r = a

15 Expressões Regulares geram Linguagens Regulares Dado r ER, existe M lfa tal que L(r) = L(M) Demonstração: Por indução sobre op(r) = operações em r, usando grafos para lfas P(0): (zero operações em r) r = r = l r = a

16 Expressões Regulares geram Linguagens Regulares Dado r ER, existe M lfa tal que L(r) = L(M) Demonstração: Por indução sobre op(r) = operações em r, usando grafos para lfas P(0): (zero operações em r) r = r = l r = a

17 Expressões Regulares geram Linguagens Regulares Dado r ER, existe M lfa tal que L(r) = L(M) Demonstração: Por indução sobre op(r) = operações em r, usando grafos para lfas P(0): (zero operações em r) r = r = l r = a

18 Expressões Regulares geram Linguagens Regulares Dado r ER, existe M lfa tal que L(r) = L(M) Demonstração: Por indução sobre op(r) = operações em r, usando grafos para lfas P(0): (zero operações em r) r = r = l r = a

19 ER geram Linguagens Regulares (cont) n N [P(n) P(n+1)]: (supondo L(r) L Reg se op(r)=n Renomeando estados, lfa M que reconhece r = r 1 +r 2

20 ER geram Linguagens Regulares (cont) n N [P(n) P(n+1)]: (supondo L(r) L Reg se op(r)=n Renomeando estados, lfa M que reconhece r = r 1 r 2

21 ER geram Linguagens Regulares (cont) n N [P(n) P(n+1)]: (supondo L(r) L Reg se op(r)=n Renomeando estados, lfa M que reconhece r = r 1 *

22 Linguagens Regulares são descritas por ERs Dado M DFA, existe ER r tal que L(M) = L(r) Demonstração: Por indução sobre (k) em R ij(k), com Q = {q 1 (start),..., q n } ordenado, R ij(k) dado por: R ij(k) = R ik(k-1) (R kk(k-1) )*R ij(k-1) R kj(k-1) R ij(0) = {a d(q i,a)=q j } [ {l} se i = j ] (R ij(k) são as cadeias correspondentes aos caminhos de q i a q j que não passam por nenhum q s s > k ; L(M) = R 1s(n) q s F)

23 Linguagens Regulares são descritas por ERs Dado M DFA, existe ER r tal que L(M) = L(r) Demonstração: Por indução sobre (k) em R ij(k), com Q = {q 1 (start),..., q n } ordenado, R ij(k) dado por: R ij(k) = R ik(k-1) (R kk(k-1) )*R ij(k-1) R kj(k-1) R ij(0) = {a d(q i,a)=q j } [ {l} se i = j ] (R ij(k) são as cadeias correspondentes aos caminhos de q i a q j que não passam por nenhum q s s > k ; L(M) = R 1s(n) q s F) s

24 Linguagens Regulares são descritas por ERs Dado M DFA, existe ER r tal que L(M) = L(r) Demonstração (cont): P(0): (base da indução) R ij(0) = {a s1,..., a sn }[ l] é descrita por a s a sn [+l] n N [ P(n) P(n+1) ]: (passo da indução) R ij(k) é descrita por r ik(k-1) (r kk(k-1) )*r ij(k-1) + r ij(k-1) (R ij(k) são as cadeias correspondentes aos caminhos de q i a q j que não passam por nenhum q s s > k ; L(M) = R 1s(n) q s F)

25 Linguagens Regulares são descritas por ERs Dado M DFA, existe ER r tal que L(M) = L(r) Demonstração (cont): P(0): (base da indução) R ij(0) = {a s1,..., a sn }[ l] é descrita por a s a sn [+l] n N [ P(n) P(n+1) ]: (passo da indução) R ij(k) é descrita por r ik(k-1) (r kk(k-1) )*r ij(k-1) + r ij(k-1) (R ij(k) são as cadeias correspondentes aos caminhos de q i a q j que não passam por nenhum q s s > k ; L(M) = R 1s(n) q s F)

26 Linguagens Regulares são descritas por ERs Dado M DFA, existe ER r tal que L(M) = L(r) Demonstração (cont): P(0): (base da indução) R ij(0) = {a s1,..., a sn }[ l] é descrita por a s a sn [+l] n N [ P(n) P(n+1) ]: (passo da indução) R ij(k) é descrita por r ik(k-1) (r kk(k-1) )*r ij(k-1) + r ij(k-1) (R ij(k) são as cadeias correspondentes aos caminhos de q i a q j que não passam por nenhum q s s > k ; L(M) = R 1s(n) q s F) s