MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O BETÃO ARMADO FENDILHADO

Transcrição

1 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O BETÃO ARMADO FENDILHADO Barros, J. A. O. * ; Figuiras, J. A. ** Póvoas, R. H. C. F. *** * Dpt. Eg. Civil, Escola d Egharia, Uivrsidad do Miho ** Dpt. Eg. Civil, Faculdad d Egharia, Uivrsidad do Porto *** Faculdad d Arquitctura, Uivrsidad do Porto SUMÁRIO A rspoa dormacioal do btão rutural é baat ssívl ao modlo coitutivo adoptado a simulação do comportamto pós-fdilhação d compósito. No ado fdilhado o btão tr fdas rtém aida tsõs d tracção dvido fudamtalmt aos mcaismos d gragm mcâica associados à rugosidad xit as facs das fdas aos fómos d itracção qu s ablcm tr as armaduras o btão volvt. Assim, um modlo coitutivo ralia para o btão armado fdilhado dvrá icluir as propridads d fractura associadas ao btão (rsiêcia à tracção, rgia d fractura diâcia tr fdas) as propridads associadas às armaduras qu atravssam a fda, omadamt a prctagm, a adrêcia a rspctiva oritação. No prst trabalho são aprstados algus dos mais rcts modlos coitutivos propoos para a caractrização do comportamto do btão armado fdilhado, bm como os riamtos itroduzidos visado a obtção d uma mlhoria o rspctivo dsmpho. É propoo um modlo qu iclui a sua formulação os pricipais parâmtros qu govram o prst fómo. Os modlos slccioados foram adaptados por forma a possibilitar a sua iclusão um modlo computacioal basado a dcomposição das dormaçõs (a dormação do btão fdilhado rsulta das dormaçõs associadas às fdas ao btão tr fdas) dispodo d modlos d fdas diribuídas com multifdas fixas ão cssariamt ortogoais fdas rotativas. O dsmpho rlativo dos modlos coitutivos aprstados do modlo propoo é avaliado através da comparação das rspoas uméricas xprimtais obtidas para um cojuto d paiéis d btão armado. ABSTRACT Th dormatioal rspos of cocrt ructurs is vr ssitiv to th coitutiv formulatio adoptd for th po-crackig bhaviour. Aftr crackig, cocrt btw cracks is ill abl to carr o som tsil rsss i dirctio ormal to th crack, th so calld tsio-iffig fct. A raliic tsio-iffig modl mu tak ito accout th cocrt fractur proprtis (tsil rgth, fractur rg, crack spacig) ad th proprtis of th riforcmt crossig th crack, aml, th riforcmt ratio, th bod charactriics ad th riforcmt oritatio. Rct publishd tsio-iffig modls wr aalsd ad improvd b itroducig som modificatios. A mor cosit tsio-iffig modl wr dvlopd ad implmtd i a computatioal cod basd o th rai dcompositio cocpt, coupld with rotatig ad multifixd crack modls. Th prdictios of th tsio-iffig modls ar compard with th rsults obtaid o td riforcd cocrt pals. Diffrcs btw th various modls as wll as diffrcs with th xprimtal bhaviour ar ivigatd. - Itrodução

2 Os matriais d matriz cimtícia são matriais frágis qu aprstam baixa rsiêcia à tracção. As ruturas coruídas com tipo d matrial fdilham quado submtidas a acçõs qu lhs iduzm tsõs d tracção supriors à qu o matrial rsi. A fdilhação é uma das pricipais causas do comportamto ão liar do btão. Para qu ão ocorra roturas frágis, o btão é rorçado com a armadura cssária para absorvr as tsõs d tracção aplicadas. Quado um lmto d btão armado fdilha, as tsõs o btão dcrscm actuadamt a scção da fda, forçado a qu as armaduras qu atravssam a fda absorvam quas itgralmt as forças actuats. Etr fdas dsvolv-s, um crto comprimto, tsõs tagciais a itrfac armadura-btão, d qu rsultam tsõs d tracção o btão. E fómo é dscrito squmaticamt a figura é domiado a omclatura iglsa por "tsio-iffig". F F Tirat d btão armado fdilhado σsm σ s Diribuição d tsõs a armadura f ctm σctm Diribuição d tsõs o btão τbm τ bm Diribuição d tsõs tagciais a itrfac armadura-btão Figura - Diribuição d tsõs a armadura, o btão a itrfac armadura-btão, um lmto d btão armado fdilhado []. Quado traccioado, um tirat d btão armado aprsta o comportamto gérico rprstado a figura. σ s = F/A s A s F l/ l o A c F l/ armadura isolada F x F x - parcla d força rtida plo btão σ ct = F/A c (a) ε m = l/lo f ctm F σ x ct,x = A c (b) ε m Figura - Rlação tsão-xtsão um tirat d btão armado traccioado axialmt []. a) Rlação tr xtsão média força xtra rlativa à ára d armadura. b) Rlação xtsão média-força rtida plo btão ( F) rlativa à ára d btão.

3 O diagrama rprstado a figura b) traduz a capacidad do btão tr fdas rtr tsõs d tracção. Divrsos modlos d rtção d tsõs d tracção têm sido propoos [3-8] vrificado-s da aális do comportamto ds modlos da rspoa dos xmplos aalisados com os rridos modlos qu os pricipais factors qu ifluciam o fómo m udo são a prctagm, ado d tsão, dircção, caractríicas da suprfíci diâmtro das armaduras qu atravssam a fda. As propridads d fractura do btão o tipo d carrgamto (mootóico ou cíclico) também itrfrm o prst fómo. Foram aalisados rvios algus dos modlos d rtção d tsõs d tracção rctmt publicados qu potciam uma mlhor simulação do comportamto do btão armado fdilhado. Algus dos modlos aalisados basiam-s a itrprtação do comportamto d um tirat d btão armado plo qu a sua aplicação foi gralizada a ruturas com camadas d armaduras difrtmt oritadas. Para tal foi itroduzido o cocito d armadura quivalt [5] qu s dscrv a scção sguit. - Cocito d armadura quivalt No caso gral das ruturas d btão armado, as fdas surgm com oritaçõs qu podm ão sr ortogoais às armaduras. A maior part dos modlos d simulação do comportamto à tracção do btão armado fdilhado basiam-s a rspoa d um tirat d btão armado, plo qu admitm qu a armadura é ortogoal à fda. Uma forma d adaptar a formulação ds modlos a lmtos rorçados com armaduras ão cssariamt ortogoais às fdas, cosi m diir as propridads d uma armadura fictícia, ortogoal à fda tdo caractríicas d rsiêcia d rigidz cosits com o comportamto das armaduras rais. Para tal cosidr-s o lmto d btão armado rprstado a figura 3 (para simplificar rprsta-s apas uma malha ortogoal) dtrmi-s o acréscimo d força rtida plas armaduras qu atravssam a fda, a dircção ormal ao plao da fda [5], io é, r F = Ac, ρ, iei εsi cos θi () i= m qu r é o úmro d armaduras com difrts propridads, A c, ρ,i são a ára ctiva d btão a prctagm ctiva d armadura diidas sgudo as rcomdaçõs do modlo código do CEB-FIP 990 [9]. E i é o módulo d laicidad tagcial da armadura i, θ i é o âgulo tr a dircção da fda a dircção da armadura i ε si é o acréscimo d xtsão a dircção da armadura compot i. Explicitado ε si m fução do ado d dormação rrido ao sima local da fda obtém-s od r q, i, i i i= F A E ε ρ, () = c, s q, j (3) i i i i ρ = ηρ cos θ cos θ + msi θ + qsiθ cosθ é a prctagm ctiva d armadura quivalt, sdo ε a xtsão a dircção ormal à fda E η i ε i =, m tt γ = q = t. (4) Es ε ε

4 t ρ, ρ, x ε tt t γ t ρ, F s θ θ γ t ε F F s ρ, A c, A c, x fda A c, A c, = A c, cos θ A c, = A c, cos θ Figura 3 -Forças as armaduras d um lmto d btão armado fdilhado. S o momto m qu s iicia a fdilhação ocorrr a cdêcia da armadura quivalt é porqu a prctagm d armadura é ifrior à míima, a qual vm diida pla quação ε ρ cr q, = εsq εcrj, (5) od ε cr = f ctm / E c, = Es / Ec r εsq = ρ ε θ, i si cos i (6) ρq, i= é a xtsão d cdêcia da armadura quivalt, sdo ρ q, a prctagm d armadura quivalt calculada sgudo (3) com η i = (admit-s as armaduras m rgim láico) ε si é a xtsão d cdêcia da armadura compot i. A xprssão (5) foi dduzida a partir da quação qu ablc o quilíbrio tr a força absorvida pla armadura a scção da fda as forças absorvidas plo btão pla armadura a rgião tr fdas, quado a última rgião s atig a xtsão d fdilhação, ε cr [0]. 3 - Modlos implmtados D tr os modlos d rtção d tsõs d tracção aalisados, slccioaram-s para srm icluídos o código computacioal dsvolvido os modlos propoos por Collis t al. [3,], Massicott t al. [6], Lik t al. [5], Gupta Marii [7], Stvs t al. [4] Crvka t al. [8]. Es modlos foram uma primira fas itroduzidos o código computacioal dsvolvido as suas "prformacs" foram avaliadas através da comparação dos rsultados obtidos com os rsultados publicados rlativos a saios xprimtais sobr placas d btão armado [0]. A aális dos rsultados obtidos com os modlos slccioados prmitiu cocluir da cssidad d s itroduzirm algumas altraçõs as rspctivas formulaçõs. Assim, uma sguda fas os aspctos mais gativos ds modlos foram cotorados algumas iovaçõs foram itroduzidas com o objctivo d mlhorar o dsmpho dos modlos slccioados. Es modlos são sumariamt dscritos a scção. Modlo d Collis t al. E modlo basia-s fudamtalmt os rsultados xprimtais obtidos por Vcchio Collis sobr placas d btão rorçado com malha ortogoal submtidas a ados d tsão multiaxial []. A tsão atribuída ao btão fdilhado qu é obtida por uma xprssão qu mlhor aproxima aquls rsultados xprimtais, é limitada supriormt plo valor obtido através da quação r σct ρ, i σ σ cos θ i= si sij i (7)

5 qu traduz o valor da tsão qu as armaduras podm aida absorvr até à sua cdêcia, tsõs as projctadas para o plao da fda covrtidas para tsõs o btão. Na xprssão σ si σ si são rspctivamt a tsão d cdêcia a tsão corrt da armadura compot i. Modlo d Stvs t al. Stvs t al. dsvolvram um modlo [4] qu vita a cssidad d s vrificar as tsõs rsiduais qu as armaduras qu atravssam a fda garatm até à sua cdêcia (codição xprssa pla quação (7)) itroduziram a ifluêcia da oritação, prctagm diâmtro das armaduras a formulação dsvolvida. O modlo basia-s a diição d uma fução xpocial a dircção da xtsão pricipal máxima d tracção, qu traduz a capacidad d rtção d tsõs d tracção do btão. Ea li suporta-s a quação dsvolvida por Gopalaratam Shah [3] para btõs simpls. Para a adaptar ao caso do btão armado, Stvs t al. itroduziram ssa quação um coicit para simular o ito das armaduras o comportamto pós-fdilhação do btão. Tal como a maior part dos modlos coitutivos para o btão armado, também o modlo d Stvs t al. as lis coitutivas são formuladas m trmos d tsõs xtsõs médias. Assim, quado a scção da fda s atig a tsão d cdêcia do aço da armadura, a tsão é maior qu a tsão média ialada a armadura ao logo do comprimto d trasfrêcia d tsõs tr a armadura o btão volvt. Para atdr a fómo, aquls autors dduzm à tsão d cdêcia do aço do varão isolado, a tsão d tracção rtida plo btão tr fdas. Modlo d Gupta Marii O modlo propoo por Gupta Marii [7] foi dduzido para o caso d um tirat d btão armado, tdo o btão o aço sido cosidrados m rgim liar. As quaçõs d quilíbrio compatibilidad m qu o modlo s basia tivram m cota, além das lis coitutivas dos matriais itrvits, também o comportamto da itrfac armadura-btão através da adopção d diagramas liar biliar qu simulam a rlação tr as tsõs tagciais o dslizamto armadura-btão. Adoptado-s algumas hipótss simplificativas a formulação do modlo coduz a um diagrama triliar cujos potos caractríicos dpdm da rsiêcia à tracção do matrial, da prctagm d armadura, do coicit d homogização, do módulo d laicidad do btão da xtsão d cdêcia da armadura. Modlo d Crvka t al. O modlo propoo por Crvka t al. basia-s o pricípio d qu o comportamto à tracção do btão armado é govrado plas propridads d fractura do btão simpls plo ito iduzido plas armaduras m trmos d atribuir ao btão tr fdas capacidad para rtr tsõs d tracção. O primiro fómo é modlado por um diagrama liar d amolcimto, qu é diido a partir da rgia d fractura do matrial (G f ) da largura da bada d fdilhação [6]. O sgudo fómo é simulado através dum diagrama triliar, a dircção da armadura, propoo plo código modlo CEB-FIP 990. Es dois fómos actuam simultaamt até ao sgotamto d G f. Após o cosumo d G f, a capacidad d rtção d tsõs d tracção do btão tr fdas passa a sr somt garatida pla participação das armaduras. Modlo d Massicott t al. Sgudo o modlo d Massicott t al., o comportamto do btão armado fdilhado é govrado tato plas propridads d fractura do btão como plas caractríicas das armaduras. Tal como é propoo o código modlo CEB 985, um lmto d btão armado fdilhado é cosidrado como sdo coituído por rgiõs d btão itacto tr fdas (rgião I) por zoas compltamt fdilhadas (rgião II). Equaçõs d quilíbrio compatibilidad dtrmiam três potos caractríicos qu dim o diagrama d rtção d tsõs d tracção. Es potos traduzm três fass diitas da volução do procsso d fdilhação: abilização da fdilhação, cdêcia da armadura a rgião II cdêcia da armadura a rgião I. A gralização do modlo para lmtos rorçados com várias armaduras difrtmt oritadas é ralizada através do cocito d armadura quivalt, coquato s tha admitido o cálculo da prctagm ctiva d armadura

6 quivalt qu as armaduras compots s cotram m rgim liar, io é m=q=0 (vr xprssão (3)). Modlo d Lik t al. Tal como o modlo d Massicott t al., o modlo propoo por Lik t al. [5] um lmto d btão rorçado com armaduras ão ortogoais à fda é rduzido ao caso d um lmto rorçado com uma armadura quivalt, ormal ao plao da fda. O diagrama d rtção d tsõs d tracção foi diido para o caso do lmto sr rorçado por duas armaduras compots, plo qu é caractrizado por dois potos. Um corrspodt à primira cdêcia a rgião II d uma das armaduras compots o outro à cdêcia da outra armadura a msma rgião. N modlo admit-s qu a partir do momto m qu ambas as armaduras s cotram m cdêcia a scção da fda, o btão tr fdas dixa d tr capacidad d rtção d tsõs d tracção, idpdtmt da tsão atribuída ao btão o momto da cdêcia da sguda armadura. A comparação tr rsultados xprimtais obtidos por Vcchio Collis [] os obtidos umricamt com os modlos aprstados, vidciou a cssidad d s itroduzir algumas altraçõs por forma a mlhorar o dsmpho ds modlos. São as sguits as pricipais altraçõs itroduzidas a maior part dos modlos: itrodução do cocito d armadura quivalt; s a prctagm for ifrior à míima, a capacidad d rtção d tsõs d tracção é garatida somt plas propridads d fractura do btão; a tsão d tracção atribuída ao btão fdilhado é limitada ao valor qu s obtém com a xprssão (). Altraçõs spcíficas d cada modlo são dscritas m [0]. 4 - Modlo propoo Na figura 4 rprsta-s o diagrama d rtção d tsõs d tracção qu s propõ. σ ct f ctm A fdilhação abilizada σ ct,b σ ct, σ ct, i σ ct, r B ª cdêcia d uma das armaduras compots a scção da fda i iésima cdêcia d uma das armaduras compots a scção da fda r última cdêcia q. (7) ε ct,' = ' (ε si ) max cos 65 o ε cr ε ct,b εct, εct, i εct,r εct, εct,' ε ct Figura 4 - Diagrama d rtção d tsõs d tracção para o btão, propoo para o caso d um lmto rorçado com r armaduras compots. Os potos caractríicos qu dim diagrama corrspodm à abilização da fdilhação (poto B), à ocorrêcia da cdêcia das armaduras compots a scção da fda (potos Y i com i= a r, caso o lmto sja rorçado com armaduras) ao sgotamto da capacidad d rtção d tsõs d tracção do btão fdilhado (poto Y _ ). Coordadas do poto B Logo após a formação das primiras fdas, a tsão o btão da zoa d fdilhação dcrsc so proporcioalmt com o módulo E c (vr figura 5) a tsão a armadura qu atravssa a fda aumta proporcioalmt com o rspctivo módulo d laicidad E s.

7 σ so ct f ctm so E c G f - rgia d fractura l b - largura da bada d fdilhação G f /l b α f ctm E c so E c ε cr p ε cr Figura 5 - Diagrama d rtção d tsõs d tracção para o btão simpls (ão armado). Para uma prctagm ctiva d armadura quivalt ifrior a um valor domiado d prctagm abilizadora, ρ q,, a xtsão média aumta até atigir-s um ado abilizado d fdilhação corrspodt à xtsão média ε ct, B. O ρ q, é a míima prctagm d armadura cssária para qu o iício da fdilhação sob carga coat, a xtsão a rgião II ão ultrapass o valor d p ε cr (vr figura 5). Eablcdo o quilíbrio a rgião II tr o acréscimo d força absorvida pla armadura o dcréscimo d força librtada plo btão, quado á aplicada a força qu iicia a fdilhação, obtém-s [0] ρq, =, (8) ζ sdo, ζ = E c Ec p ε cr ε ct so. (9) S a prctagm ctiva d armadura quivalt for suprior a ρ q,, o poto B coicidirá com o corrspodt ao iício da fdilhação (poto A). Para prctagm d armadura ifrior a ρ q, a dormação do btão da rgião II aumta até qu a armadura suha a prda d carga ocorrida o btão m fas d amolcimto. S a xtsão o btão abilizar tr os valors d p ε cr p ε cr, a xtsão média a rgião II, o iício da fdilhação, srá dtrmiada pla sguit xprssão [0] ζ bp g p+ ζρq, ζ εii = ε cr, (0) ζρq, od, ζ = E c, () so Ec poddo os valors d p p srm xplicitados m fução dos parâmtros d fractura do btão [0]. A xtsão média o lmto d btão armado fdilhado é dtrmiada pla xprssão qu é rcomdada m [] b g, () εct, B = ξcr εcr + ξcrε II m qu β β simulam as propridads da suprfíci das armaduras o tipo d solicitação actuat, rspctivamt. A tsão o poto B é uma média da tsão dsvolvida as rgiõs I II dvidamt psadas plo comprimto rlativo das rgiõs, traduzido-s pla xprssão so b g, (3) σct, B = ξcr fctm + ξcrσct od σ so ct é a tsão ormal à fda, calculada para a xtsão ε II o diagrama d amolcimto (figura lim 5). Para uma prctagm d armadura domiada d prctagm limit, ρ q, a xtsão do btão a rgião II atig o valor d p ε cr. Ea prctagm é obtida através da quação

8 b g (4) b g ζ p p+ p lim ζ ρq, = ζ p qu rsulta da igualdad cr FsII, = F (5) sc, I qu ablc o quilíbrio tr a força absorvida pla armadura quivalt a rgião II (F sii, ) a cr soma das forças absorvidas a rgião I plo btão plas armaduras (F sc, I ), quado a rgião I s lim atig a xtsão p ε cr. Para ρq, < ρq, < ρq,, a xtsão do btão da rgião II ultrapassa o valor d p ε cr, o qu sigifica qu o btão a rgião dixa d tr capacidad para rtr tsõs d tracção, sdo as forças suportadas plo btão ats do iício da fdilhação trasfridas itgralmt para as armaduras. N caso, F HG εii = εcr + (6) ρq, qu rsulta da quação (5) quado s atribui às xtsõs do btão armadura a rgião I a xtsão ε cr sdo ε II a xtsão a armadura a rgião II. As xprssõs () (3) são aida válidas para caso, dsd qu s tha m cota qu σ so ct é agora ula ε II é obtida sgudo a quação (6). S ρq, < ρq, o ito dvido à itracção armadura-btão é dsprzávl, sdo somt garatida a capacidad d rtção d tsõs d tracção do btão simpls (diagrama da figura 5). Coordadas dos potos Y i Cosidr-s um lmto rorçado com r armaduras qu aprstam difrts oritaçõs tsõs d cdêcia qu k- armaduras já s cotram cdidas. A quação d quilíbrio, a dircção da fda, tr a força a armadura quivalt as forças as armaduras compots, quado a armadura k tra m cdêcia, traduz-s pla quação k r k sq q, c, = si, i c, i sk, k c, k si, i c, i= i= k + σ ρ A σ ρ A cos θ + σ ρ A cos θ + σ ρ A cos θ m qu a primira parcla do lado dirito da quação traduz a força ialada as armaduras qu já s cotravam cdidas, a sguda parcla rprsta a força absorvida pla armadura k qu passou a trar m cdêcia a trcira parcla é a força rtida plas armaduras qu aida ão cdram. Tdo m atção qu para as armaduras ão cdidas σsi = βikσsk, com cos θ θ θ θ β i + msi i + qsi icos i ik = (8) cos θj + msi θj + qsiθjcosθj obtém-s d (7), k i i F σsiρ, cos θ σ k σsq = i= sk + ρ, k cos θk + βikρ, i cos θi. (9) ρq, ρq, HG i= k+ KJ Para o caso corrt m qu o úmro d armaduras compots é igual a dois, a quação (9) rduzs à rlação σ σ s sq = ρ θ β ρ θ, cos +, cos ρq, qu forc a tsão a armadura quivalt o momto m qu ocorr a primira cdêcia d uma armadura compot. Como critério para imar a ordm d cdêcia das armaduras toma-s a difrça tr o valor da tsão d cdêcia da armadura o valor do su ado d tsão corrt. k Assim, σ sq traduz a tsão a armadura quivalt quado a armadura k tra m cdêcia, o qu sigifica qu a armadura k- k+ atigm prviamt poriormt a cdêcia, dado qu I KJ I i (7) j (0)

9 possum, rspctivamt, mor maior itrvalo tr o valor da rspctiva tsão d cdêcia o valor do ado corrt d tsão. E critério é uma imativa do qu podrá ocorrr a ralidad dado qu s á a prvr uma crta squêcia da cdêcia das armaduras compots com bas m ados d tsão qu podrão sr altrados ao logo do carrgamto. Ea aproximação pod sr aida mais agravada quado a fda roda s utiliza um modlo d fdas rotativas, dado qu o âgulo tr as armaduras a fda variará ao logo do carrgamto, plo qu as prvisõs imadas com (9) m dtrmiada fas do carrgamto podm ão sr as qu s vrificam quado dtrmiada armadura tra ctivamt m cdêcia. Para s podr suavizar o rro comtido com procdimto, tato a tsão a armadura quivalt como a prctagm ctiva d armadura quivalt vão sdo calculadas ao logo da hiória do carrgamto. Assim, para um dtrmiado icrmto d xtsão obtém-s o sguit icrmto d tsão a armadura quivalt r ρ, iησ i si cos θi σ i sq = = () ρq, qu prmit actualizar o valor ral dσ sq, sdo η i a prctagm d rigidz corrt a armadura i, tal como é diida m (4), ρ q, dsiga a corrt prctagm ctiva d armadura quivalt. No momto m qu η i passa a sr mor qu a uidad sigifica qu a armadura i trou m i cdêcia, obtdo-s o corrspodtσ sq. Os valors da variávl passam a sr tidos m cota a diição do diagrama d rtção d tsõs d tracção do btão fdilhado. Not-s qu, da forma, pod sr simulado um vtual durcimto da armadura. Quado a scção da fda todas as armaduras ivrm cdidas tm-s r σsiρ, i cos θ i r σsq = σ i sq = = () ρq, O diagrama d rtção d tsõs d tracção qu s propõ para o btão traduz-s pla xprssão cr F σ I σct = fctm ββ HG σ sqkj, (3) od f ρ cr ctmd+ q, i σsq = ( ββ ) (4) ρq, é a tsão a armadura quivalt, a rgião II o iício da fdilhação. Subituido (4) m (3) obtém-s f ρ ctmd + q, i σct = ββ σsqρ b g. (5) q, Para dtrmiar a xtsão ε ct, a corrspodt tsão σ ct,, rlativas ao momto m qu ocorr, pla primira vz, a cdêcia d uma das armaduras compots a scção da fda, rcorr-s à quação d quilíbrio xprssa pla rlação σ ρ σ ε = sq q, ct ct,. (6) ρq, E s Itroduzido a quação (5) m (6) subituido σ sq por σ sq obtém-s, tão, σsq fctm( + ρq, ) εct, = ( ββ ). (7) Es Es( ρq, ) σsq Subituido (6) m (5) rsolvdo a rspctiva quação d sgudo grau pod obtr-s a tsão corrspodt a ε ct,, ou sja

10 R S L T NM O QP d i d ib g. (8) σct, = 05. ρq, Esεct, + 4fctm + ρq, ββ ρq, E s ε ct, Dtrmi-s agora o acréscimo d xtsão cssário para trar m cdêcia uma outra armadura compot. Para diir uma xprssão gérica admita-s qu i- armaduras compots ão cdidas. O acréscimo d xtsão cssário para qu a armadura i tr m cdêcia é obtido através da sguit quação d quilíbrio: i σ ρ ε ρ i sq q c s ct i q c sρ i, A, = E,, A, + E q, εct, i Ac, + σct, i A c,, (9) od a primira parcla do sgudo mmbro da quação dsiga a força a armadura quivalt o momto da cdêcia da armadura i- a sguda parcla dtrmia o acréscimo d força qu a corrt armadura quivalt cosgu absorvr durat o acréscimo d xtsão ε ct, i até a armadura i cdr. O último trmo rprsta a tsão d tracção rtida plo btão tr fdas. Na i xprssão (9) ρ q, é a prctagm ctiva d armadura quivalt o momto m qu a armadura i tra m cdêcia, plo qu é calculada através da quação (3) com η= para a armadura i rats armaduras ão cdidas, η< para as armaduras qu ão m cdêcia (o valor d η i dpd da xtsão o aço da rspctiva li coitutiva). O sigificado d ρ q, obtém-s por i similaridad com o acabado d diir para ρ q,. i Itroduzido (5) m (9) subituido a xprssão rsultat σ sq por σ sq rsulta F H G f i ε = σ ρ i ctm q ct, i sq q, q, sq d i b g I K J. (30) s q, + ρ, i ββ ε ρ i Es ct, i q, i ρ σ E ρ Para obtr a tsão d tracção rtida plo btão, corrspodt à cdêcia da armadura i, σ ct i subitui-s (5) m (9) rsolv-s a rspctiva quação d sgudo grau m trmos d σ ct, i, vido R S L O T NM d i d ib g i i i i σct, i = 05. εct, i ρq, + εct, iρq, Es + 4fctm + ρq, ββ ( εct, i ρq, + εct, iρq, ) E QP s (3) S ρ q, for mor qu ρ q, tão a armadura cd a scção da fda o momto do iício da fdilhação, caso, a capacidad d rtção d tsõs d tracção do btão fdilhado é somt garatida plas propridads d fractura do btão simpls (vr diagrama da figura 5). Para simplificar o tratamto umérico, todos os potos caractríicos do diagrama d rtção d tsõs d tracção são uidos por sgmtos d rcta. A prctagm ctiva d armadura quivalt ρ q, vai dimiuido com a trada m cdêcia das i armaduras compots. Aalisado a xprssão (30), coata-s qu dimiuido ρ q, aumta i i ε ct, i, o qu coduz a valors xcssivamt altos d ε ct, i σ sq, s ρ q, for dmasiadamt baixo. Da xprssão (3) rsulta qu ão ocorr um dcréscimo suficitmt sigificativo da tsão com o aumto da dormação d tracção, o qu coduz a uma sobravaliação da capacidad d rtção d tsõs d tracção para o btão fdilhado. Para ttar ultrapassar a diciêcia do modlo, a tsão máxima rtida plo btão fdilhado é limitada à tsão obtida com a quação (), poddo-s aida, opcioalmt activar a xprssão fctm = fctmo xpb Cεctg (3) propoa por Gupta Marii [0]. A rrida xprssão simula a dgradação da rsiêcia do btão à tracção qu acompaha o aumto da xtsão d tracção ormal à fda ε ct, dsigado, f ctmo a rsiêcia à tracção do btão ão fdilhado. Para lmtos submtidos a um ado d tsão uiaxial aquls autors propusram para C o valor d 550, quato para placas submtidas a um ado d tsão multiaxial foi sugrido o valor d 50. i U V W U V W,,

11 5- Exmplos Para avaliar o dsmpho dos modlos implmtados o código computacioal, foram comparadas as rspoas uméricas xprimtais d algus dos paiéis saiados por Vcchio Collis. Dpddo do tipo d carrgamto, disposição quatidad das armaduras, os paiéis aprstaram difrts modos d rotura. Havrá assim itrss m ivigar o comportamto dos difrts modlos d rtção d tsõs d tracção a prvisão da rspoa dos paiéis qu aprstaram difrts modos d rotura. Foram assim slccioados os paiéis PV0, PV, PV, PV6, PV8, PV9, PV0, PV, PV5 PV8, tdo prst qu: os paiéis PV0, PV, PV8, PV9 PV0 aprstaram rotura por smagamto do btão dvido a grads dormaçõs d cort após a cdêcia da armadura d mor prctagm, mas ats da cdêcia da armadura d maior prctagm (rotura tipo C); os paiéis PV PV6 rompram por cdêcia d ambas as armaduras (rotura tipo SY); os paiéis PV, PV5 PV8 aprstaram rotura por smagamto do btão dvido a grads dormaçõs d cort, sm cdêcia d qualqur das armaduras (rotura tipo C). O pail PV5 foi submtido a cort comprssão biaxial quato o pail PV8 foi submtido a cort tracção biaxial. Os rats paiéis foram solicitados ao cort (forças tagciais ao cotoro do pail). Na caractrização matrial dos paiéis foram adoptadas as sguits xprssõs valors: Ec = 4730 fctm Gf = 0. N / mm (33a) υ = 09. lb = 75 mm (33b) Es = 0. 00Es α = / 3 ; β = 4/ 5 (33.c) m qu E s é o módulo d laicidad do sgudo ramo da li coitutiva da armadura (E s =00 GPa). A diâcia média tr fdas mdida os paiéis (50 a 00 mm) idica qu é razoávl tomar 75 mm para largura da bada d fdilhação. Diz-s qu o btão smaga por motivo d grads dormaçõs d cort quado a xtsão quivalt, obtida através da aplicação da suprfíci d cdêcia por smagamto [7], xcd a xtsão última d comprssão,ε c cu, sdo a soma das compots xtsioais d sial gativo (comprssão) a diorção a maior compot do ado d dormação actuat. N trabalho aprstam-s rsultados corrspodts à aplicação do modlo d fdas rotativas (mfr) modlo d fdas fixas (mff). N último modlo atribuiu-s para âgulo limit (âgulo qu di o critério d abrtura d ova fda) [8] o valor d 30 graus. Dado qu as dircçõs das tsõs xtsõs pricipais rodam mos do qu 0 graus rlativamt às rspctivas dircçõs iiciais, sigifica qu o modlo d fdas fixas as fdas prmacram durat todo o carrgamto com a oritação das rspctivas tsõs-xtsõs pricipais rgiadas o iício da fdilhação (45 graus com o ixo do x). O factor d rtção d rigidz d cort associado ao mff foi dtrmiado através da xprssão propoa por Kolmar [9], quato o modlo d fdas rotativas o valor d factor rsulta da codição d coaxialidad tr as tsõs xtsõs pricipais [8] Na figura 6 rprsta-s a gomtria codiçõs d carga d um pail gérico. O pail foi discrtizado um lmto d 4 ós com itgração umérica x potos d Gauss. No quadro I iclum-s os valors adoptados para a rsiêcia à tracção para a xtsão última d comprssão do btão, assim como a prctagm d armadura os rsultados mais sigificativos obtidos xprimtalmt. No quadro II aprstam-s algus dos rsultados obtidos umricamt (ídic ) faz-s a sua comparação com os corrspodts rsultados xprimtais (ídic ). Nos rats b g modlos implmtados o coicit d variação dos factors τm τ c b Mg θ σεh cθσεh variaram tr 4.4% a 8.%.7% a 7.9%, rspctivamt. Por limitação d spaço rprsta-s graficamt apas algumas das rlaçõs obtidas, slccioado-s um pail por cada modo d rotura: PV0, PV PV8. Na figura 7a) rprsta-s, para os três paiéis slccioados, a rlação tr xtsõs d cort tsõs d cort, γ τ. A rlação tr tsõs d cort a média dos âgulos ralizados pla tsão xtsão pricipal máxima d tracção (θ σε ) é icluída a figura 7b) para os paiéis PV0 PV.

12 Fialmt a figura 7c) rprsta-s a rlação tr a tsão a xtsão pricipal máxima d tracção para o pail PV. x f V x ρ 890 mm f x ρ x f x x V x V x V x 70 mm 6 mm 6 mm f 890 mm Figura 6 - Gomtria codiçõs d carga dum pail. Pail Quadro I - Algumas caractríicas dos paiéis aalisados rsultados obtidos xprimtalmt. f =f x :V x Prctagm das f c ctm ε τ () armaduras cu M θ () σε Tipo d rotura ρ x (%) ρ (%) (Mpa) (0 3 ) (Mpa) (graus) PV0 0: C PV 0: SY PV 0: C PV6 0: SY PV8 0: C PV9 0: C PV0 0: C PV 0: C PV5-0.69: C PV8 0.3: C () - τ M - tsão máxima d cort () - média dos âgulos ralizados pla tsão a xtsão pricipal d tracção o momto corrspodt à tsão máxima d cort Quadro II - Comparação tr os rsultados obtidos umérica xprimtalmt. Pail mfr mff mfr mff Tipo d rotura bτ M g bτmg bτ M g bτmg cθσεh cθσεh c θσε (Mpa) bτmg (Mpa) bτmg c h θσεh cθσεh (graus) (graus) cθσεh mfr mff PV C C PV SY SY PV C (N) PV SY SY PV C (N) PV C (N) PV C (N) PV C C PV C C PV C C Média s () 5.5% 5.67% 3.0% 3.0% () - Coicit d variação (N) - Cdêcia da armadura ρ x sm smagamto do btão até à carga d Vx=0000N/mm. (N) - Cdêcia da armadura ρ x sm smagamto do btão até à carga d Vx=700N/mm.

13 τ (MPa) PV0 θ σε (º) xprimtal umérico (mfr) umérico (mff) PV0 xprimtal umérico (mfr) umérico (mff) γ τ (MPa) τ (MPa) PV θ σε (º) PV xprimtal umérico (mfr) umérico (mff) xprimtal umérico (mfr) umérico (mff) γ b) τ (MPa) τ (MPa) xprimtal umérico (mfr=mff) σ (MPa) xprimtal umérico (mfr=mff) PV PV8 γ a) c) Figura 7 - Comportamto dos paiéis PV0, PV, PV8: a) rlação γ τ para os paiéis PV0, PV PV8; b) rlação τ θ σε para os paiéis PV0 PV; c) rlação ε -σ para o pail PV. ε Da aális da figuras 7 dos rsultados icluídos o quadro II coclui-s qu o modlo qu s propõ prvê satisfatoriamt o comportamto dos paiéis aalisados. Em trmos médios pod-s afirmar qu o mff prviu comportamtos ssivlmt smlhats aos obtidos com o mfr. Tal facto dv-s a qu, comparativamt com o qu ocorr com o mfr, com o mff a rlação tr a tsão a xtsão pricipal máxima d tracção é mais rígida, mas o factor d rtção d rigidz d cort é mor. Es dois procssos quas s compsam, tdo cotudo a maior rigidz do modo I d fractura do mff um pso mais sigificativo, plo qu modlo d fdilhação ima cargas d rotura um pouco supriors. O mfr captou o modo d rotura d todos os paiéis aalisados, quato qu algus paiéis qu aprstaram xprimtalmt rotura tipo C, o btão ão chgou a smagar quado

14 s foram aalisados sgudo o mff. Na figura 7c vrifica-s qu a part fial do carrgamto a capacidad d rtção d tsõs d tracção do btão foi govrada pla xprssão (7), plo qu, s a codição xprssa por a rlação ão for atdida, srá atribuído ao btão fdilhado xcssiva capacidad d rtção d tsõs d tracção. 6 - Coclusõs No prst trabalho dscrv-s sucitamt algus dos mais rcts modlos d rtção d tsõs d tracção dsvolvidos para o btão armado fdilhado. Ns modlos são itroduzidas algumas altraçõs por forma a mlhorar o su dsmpho é propoo um modlo qu iclui a sua formulação os pricipais parâmtros qu ifluciam o fómo m udo. Assim, as propridads d fractura do btão são tidas m cota por forma a s podr simular matriais com difrt capacidad d absorção d rgia, como é o caso do btão simpls do btão rorçado com fibras. Os lmtos d btão podm sr rorçados com qualqur úmro d armaduras compots, poddo as tr qualqur oritação propridads. S o aço aprstar durcimto, pod sr simulado corrctamt o modlo. A qualidad dos rsultados obtidos prmit cocluir qu o modlo propoo simula com suficit rigor o fómo m aális. 7 - Rrêcias [] - CEB Maual, "Crackig ad Dormatios", Pritd ad diffusd b Écol Poltchiqu Fédéral d Lausa, 985. [] - Guthr G., "Vrbudvrhalt zwisch Stahl ud Bto utr mooto igdr, schwlldr ud lag adaurdr Blaug', Dissrtatio, Kassl, 989. [3] -Vcchio, F. J. ; Collis, M. P., "Th Modifid Comprssio-Fild Thor for Riforcd Cocrt Elmts Subjctd to Shar", ACI Joural, pp. 9-3, 986. [4] - Stvs, N. J.; Uzumri, S.M.; Collis, M.P., "Aaltical Modllig of Riforcd Cocrt Subjctd to Mootoic ad Rvrsd Loadigs", Publicatio No. 87-, ISBN , Uivrsit of Toroto, Jauar 987. [5] - Lik, R. A.; Elwi, A.E.; Scalo, A., "Biaxial Tsio Stiffig du to Grall Oritd Riforcd Lars", ASCE, Jour. of Eg. Mchaics, Vol. 5, No. 8, pp , 989. [6] - Massicot, B.; Elwi, A. E.; MacGrgor, J. G., "Tsio-Stiffig Modl for Plaar Riforcd Cocrt Mmbrs", Jour. of Struct. Egirig, Vol. 6, No., pp , Novmbr 990. [7] - Gupta A. K.; Marii S. R., "Tsio-Stiffss Modl for Riforcd Cocrt Bars", ASCE Jour. of Struct. Egirig, Vol. 6, No. 3, pp , March 990. [ 8] - SBETA, Computr Program for Noliar Fiit Elmt Aalsis of Riforcd Cocrt Structurs i Pla Strss Stat, Program Docummtatio, Pkl Irumts, B.V., 99. [9] - CEB-FIP Modl Cod 990, Comité Euro-Itratioal du Béto, Publishd b Thomas Tlford Srvics Ltd. [0] - Barros, J. A. O., "Modlos coitutivos para o btão armado fdilhado", Rport DECEST/FEUP/94, 30 p., 994. [] - Collis M. P.; Mitchll D., "Prrssd Cocrt Basics", Caadia Prrssd Cocrt Iitut, Ottawa, 64p., 987. [] - Vcchio, F. J. ; Collis, M. P., "Th Rspos of Riforcd Cocrt to I-Pla Shar ad Normal Strsss",Pub. No. 8-03, Dpart. of Civil Egirig,Uivrsit of Toroto, 33 p., 98. [3] - Gopalarata, V. S.; Shah, S. P., "Softig Rspos of Plai Cocrt i Dirct Tsio", ACI Joural, Ma-Ju, pp.30-33, 985. [4] - Hordijk, D.A., "Local approach to fatigu of cocrt", Dissrtatio, Dlft Uiv. of Tcholog, 99. [5] - Barros, J.A.O.; Figuiras, J.A.; V, C.V.D., "Tsil Bhaviour of Glass Fibr Riforcd Cocrt", Rct Advacs i Exprimtal Mchaics, ds. J.F. Silva Goms t al., Vol., pp , 994. [6] - Bazat, Z.P. ; Oh, B.H., "Crack bad thor for fractur of cocrt", Matrials ad Structurs, RILEM, 6(93), pp , 983. [7] - Póvoas, R.H.C.F., "Modlos ão-liars d aális dimsioamto d ruturas lamiars d btão icluido itos difridos",ts d Doutoramto, FEUP, 99. [8] - Rots, J.G., "Mixd-mod fractur of cocrt: a xprimtal approach", Dissrtatio, Dlft Uiv. of Tcholog, 988. [9] - Kolmar, W., "Bschribug dr Kraftubrtragug ubr Riss i ichtliar Fiit-Elmt-Brchug vo Stahlbtotragwrk", Dissrtatio, Tch. Hochschul Darmadt, 985.