FLEXIBILIDADE COGNITIVA E NIVEIS DE CONHECIMENTO: a NOÇÃO DE FUNÇÃO AFIM

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1 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas FLEXIBILIDADECOGNITIVAENIVEISDECONHECIMENTO:aNOÇÃODEFUNÇÃOAFIM MarleneAlvesDias,SirleneNevesdeAndrade,TâniaMariaMendonçaCampos UNIBAN Brasil Campodeinvestigación: gráficos,funções Nivel: Médio Resumo.CentradonanoçãodeníveisdeconhecimentoconformedefiniçãodeRobert(1997) apresentamososresultadosdasanálisessobreaspossibilidadesdearticulaçãodequadros, representaçõessemióticasepontosdevistaquandoseconsideraaabordagemdanoçãode funçãoafimnoensinomédio.paratalidentificamosasrelaçõesinstitucionaisesperadase existentespormeiodaanálisededocumentosoficiaiselivrosdidáticosearelaçãopessoal desenvolvidaporumgrupodeestudantesdoensinomédiodeumaescolapúblicadoestado desãopaulo.osresultadosencontradoscolocamemevidênciaqueexisteumapreocupação institucionalemseconsideraraarticulaçãoentreosconhecimentosadquiridosnoensino Fundamental e no decorrer do Ensino Médio. Apesar do trabalho desenvolvido institucionalmente,poucosestudantesdogrupoanalisadosãocapazesdedesenvolverum trabalhoondeessasarticulaçõessãonecessárias. Palavraschave:Flexibilidadecognitiva,níveisdeconhecimento,funçãoafim Introdução Adeficiêncianoprocessodeensinoaprendizagematingetodososníveisetemdiversascausas. Emdiversospaíses,existemgruposquetentamestudarnovasformasparamelhoraressasituação. Nessapesquisanossoobjetivoéestudarasdeficiênciasrelativasaotrabalhocomamatemática, principalmentenoqueserefereaoestudantedoensinomédio.pretendemoscomessaanálise, propornovosmeiosdereflexãoquepossibilitemumtratamentomaiseficientedanoçãode funçãoafim. Emgeral,osprofessoresnatransiçãodeumaetapaescolaraoutrareclamamqueseusestudantes nãoestãosuficientementepreparadose,emgeral,elesatribuemasdificuldadesencontradasà faltadeconhecimentospréviosemrelaçãoaosconteúdossupostosdisponíveisequedeveriam serfacilmentearticuladossemnecessidadedeseremevocadosoupedidosexplicitamente.essa condiçãoconduzalgunsestudantesaumasituaçãodedesinteressedifícildeserultrapassada,uma vezque,afaltadeconhecimentosmobilizáveisedisponíveistendeaaumentarnodecorrerdas diferentesetapasdaescolaridade. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 701

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 IssoserefletenaqualidadedeensinodamatemáticanoEnsinoMédioeSuperior.Sendoassim, escolhemostrabalharaquestãodaflexibilidadecognitiva,istoé,acapacidadedetrabalhare articulardiversosquadros,podendoefetuarmudançasdequadroquandonecessário,semque paraissosejafeitoalgumapeloexplícito,utilizararepresentaçãomaisadequadaparaaresolução de uma tarefa, articular diferentes pontos de vista e concepções; saber planejar, analisar, desenvolver,justificarecontrolarotrabalhomatemáticoexecutado. Escolhemosassim,analisarquaisascondiçõesnecessáriasparaqueoestudantepossaarticularde formaautônomaasnoçõesassociadasaoconceitodefunçãoafim,umavezqueessanoçãoé fundamentalparaamaioriadoscursosdeexatasdoensinosuperior.tratasedeumanoção essencialparaoestudodocálculodiferencialeintegralqueéumadisciplinaquenobrasil,em geral,apresentaaltosíndicesdereprovação. Iniciamosassim,estetrabalhocomoseguintequestionamento: 1) Comoestãosendotrabalhadosinstitucionalmenteosníveisdeconhecimentotécnico, mobilizáveledisponível,definidosporrobert(1997),noensinomédio? 2) Quaisasrelaçõespessoaisdesenvolvidaspelosestudantesparaanoçãodefunçãoafim, quandoseconsideraasrelaçõesinstitucionaisexistentesparaoensinomédio? Analisamos,assim,ofuncionamentoinstitucionaldostrêsníveisdeconhecimentoparaanoçãode funçãoafimconformedefiniçãopropostaporrobert(1997)considerandotambémanoçãode relaçõesinstitucionalepessoaldechevallard(1996). Nasequênciaapresentamosoreferencialteóricoutilizadoparaodesenvolvimentodapesquisa. Essasabordagensteóricaspermitiramconstruiragradedeanáliseparaaqualdamosumexemplo deseufuncionamento. Referencialteóricodapesquisa Para tratar as questões levantadas acima, escolhemos como referencial teórico central a abordagemteóricaemtermosdeníveisdeconhecimentoesperadosdosestudantessegundo definiçãoderobert(1997),quedistingueosníveistécnico,mobilizáveledisponívelquesão relativos,poisfuncionamdependendodoníveldeconceituaçãoescolhidoparaodesenvolvimento ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 702

3 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas deumdeterminadoconteúdomatemático.otrabalhonessestrêsníveispodeexigirmudançasde quadrosconformedefiniçãodedouady(1984)oudepontosdevistacomodefinerogalski(1995), sendo que tanto as mudanças de quadros como de pontos de vista podem exigir ainda a conversãoderegistrosderepresentaçãosemióticaqueaquiétratadasegundodefiniçãodeduval (1993,1995). Paramelhorcompreendercomooensinotrataaquestãodaflexibilidadecognitiva,emfunçãodas escolhasteóricasapresentadasacima,consideramosasnoçõesderelaçãoinstitucionalepessoal definidasporchevallard(1996)eboschechevallard(1999),queapartirdasnoçõesprimitivasde objeto,pessoaseinstituiçãodefinemrelaçãoinstitucionalàumobjetoquandopelomenosuma instituiçãoreconheceomesmocomoobjetodosabererelaçãopessoalquandoesseúltimoé reconhecidoporpelomenosumapessoa.issonospermitiuconceberasrelaçõesinstitucionais esperadas,aquianalisadaspormeiodedocumentosoficiais,asrelaçõesinstitucionaisexistentes, estudadaspormeiodoslivrosdidáticoseasrelaçõespessoaisdesenvolvidaspelosestudantes,ou seja,asmarcasdasrelaçõesinstitucionais,aquiexaminadaspormeiodeumamacroavaliação. Consideramos,maisparticularmente,aabordagememtornodostrêsníveisdeconhecimento esperadosdosestudantessegundodefiniçãoderobert(1997),portratarsedeumaanálisemais globalondeasabordagensconsideradasacimatambémsãolevadasemconta. Descrevemosbrevemente,aseguir,ametodologiadapesquisa. Metodologiadapesquisa Apesquisasedesenvolveuemduasfases,inicialmentefizemosumaanáliseinstitucionaldas possibilidadesdearticulaçãoentreasdiferentesformasdetratamentodanoçãodefunçãoafim viaparâmetroscurricularesnacionaisparaoensinomédio(brasil,2000,2006)elivrosdidáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (Brasil, 2005). Em seguida,analisamosasrelaçõespessoaisdesenvolvidaspelosestudantesdeumaescolapúblicade SãoPaulo,viaquestõessobreanoçãodefunçãoafimencontradasnaprovadeavaliaçãodo sistemadeensinopaulista. Paraaanáliseinstitucionalseconsidera: ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 703

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 - Umaanálisedassugestõesfeitasnosdocumentosoficiaisemrelaçãoàarticulação entreaspossíveisformasdetratamentodanoçãodefunçãoafim,viaparâmetroscurriculares NacionaisdoEnsinoMédio(PCNEM,2000)eParâmetrosCurricularesNacionais:EnsinoMédio +:CiênciasdaNaturezaesuasTecnologias(PCN+,2006). Umaanáliseparaobservarcomoépropostootrabalhosobreanoçãodefunçãoafim emdoislivrosdidáticosdestinadosaosestudantesdoensinomédioindicadospeloprograma NacionaldoLivroDidáticodoEnsinoMédiodoMinistériodaEducação(Brasil,2005). Paraaanálisedasrelaçõespessoaisdesenvolvidaspelogrupodeestudantesseconsidera: Umaanálisedosresultadosobtidospelosestudantesdeumaescolapúblicaestadual, localizadaemumbairrodazonasuldesãopauloparaasquestõesdosaresp(sistemade AvaliaçãodeRendimentoEscolardoEstadodeSãoPaulo,2005)queversamsobreanoçãode funçãoafim. Paraasanálisespropostasacima,construímosaseguintegradedeanálise. Agradedeanálise Opropósitodessagradeédeservircomouminstrumentoquepermitaanalisarosdiferentes níveisdeconhecimentoexigidosdosestudantesnumcursodeintroduçãoànoçãodefunçãoafim noensinomédio.elapermiteanalisarostrêsníveisdeconhecimento(técnico,mobilizávele disponível)exigidosdosestudantes: EmfunçãodastarefasassociadasànoçãodefunçãoafimencontradasnoEnsinoMédio; Em função das variáveis dessas tarefas, para as quais damos ênfase ao nível de conhecimento pedido explicitamente no enunciado e os diferentes níveis de conhecimentodeoutrasnoçõesquedevemserutilizadosparasuasolução. Asvariáveisdastarefassãodefinidasabaixo: Oníveldeconhecimentopropostopelatarefa; Osregistrosderepresentaçãodadosnoenunciado; Oquadroemqueatarefaéenunciada; ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 704

5 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Ostiposderepresentaçõesexigidosnasoluçãodatarefa; Osníveisdeconhecimentonecessáriosparaaexecuçãodatarefaemrelaçãoàsnoções queserãoutilizadas. Exemplodefuncionamentodagradeemumatarefa Tarefageral:Conversãodoregistroderepresentaçãográficoparaoregistroderepresentação algébricoexplícito. Nafigura1apresentamosumexemplodessetipodetarefa. Figura1:Saresp2005ProvadeMatemáticada3ºsériedoEnsinoMédio,períodonoturno Níveldeconhecimentoexigidonatarefa:disponível; Registros de representação dados no enunciado: registro de representação da língua natural; Quadroemqueatarefaéenunciada:numéricoealgébrico; Tiposderepresentaçãoexigidosnasoluçãodatarefa:registroderepresentaçãográfica, registro de representação algébrico intrínseco e registro de representação algébrico explícito; Níveisdeconhecimentonecessáriosparaaexecuçãodatarefaemrelaçãoàsnoçõesque serãoutilizadas:mobilizaranoçãodefunçãoafimearticularcom:anoçãodeinclinação ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 705

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 dareta(coeficienteangularecoeficientelinear).alémdisso,asoluçãopodeexigiroutros conhecimentosdisponíveisquedependemdocaminhoescolhidoparasolução. Aanálisedosdocumentosoficiais Ao examinar os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (Brasil, 2000, 2006) observamosqueexisteumapreocupaçãocomotrabalhoarticuladoentreanoçãodefunçãoafim comasnoçõesdeprogressões,asnoçõesassociadasaoquadrodageometriaanalítica,anoção depolinômio.alémdisso,sugeresequeéimportantedesenvolverashabilidadesdeleiturae interpretaçãodosregistrosderepresentaçãográfica,mesmosenãotratamaquestãocomessa terminologia.propõese,também,aarticulaçãocomoutrosquadroscomoosquadrosdafísica,da economia,etc.equeseutilizesituaçõesquepodemseridentificadaspelosestudantescomo cotidianas. Aanálisedoslivrosdidáticos Aanálisedoslivrosdidáticosfoiestruturadaemtornodasseguintesquestões: Comoéintroduzidaanoçãodefunçãoafim,quaisrepresentaçõessãoutilizadasecomoelas searticulam? Que pesos respectivos ocupam os níveis: técnico, disponível e mobilizável nas tarefas propostasaosestudantes? Quetipodediscursoacompanhaastarefasresolvidaseseesseauxiliaosestudantesno desenvolvimentodosníveismobilizáveledisponível? AnalisamososlivrosdidáticosavaliadospeloProgramaNacionaldoLivroDidáticoparaoEnsino Médio(Brasil,2005)eapresentamosaquiosresultadosdeDante(2005).Paraaintroduçãoda noçãodefunçãoafim,verificamosque,emgeral,esselivrodidáticocomeçacomadefinição algébricautilizandosímbolosefórmulas.algunsprocedimentossãoapresentadospormeiode exemplosespecíficos,ouainda,nosexercíciosresolvidoseproblemaspropostos,ondeaparecem algumasarticulações,porexemplo:temperaturaemfunçãodetempo,custoemfunçãodetempo, havendoumapreferênciaporcasosemqueoscálculosnãosãocomplicados,poisoquesevisaéa compreensãodoprocedimentoeoraciocíniodoestudante. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 706

7 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas AnálisedosresultadosobtidospelosestudantesdeumaescolapublicadoestadodeSãoPaulono Saresp(2005)SistemadeAvaliaçãodeRendimentoEscolardoEstadodeSãoPaulo Tratasedeumresultadoparcialquepermitecompreendermelhorarelaçãoqueosestudantesde umaescolaestadualdesãopaulodesenvolveramemrelaçãoaoobjetofunçãoafim. Nafigura2apresentamosumexemplodetarefadessaavaliação. Figura2:Saresp2005ProvadeMatemáticada1ºsériedoEnsinoMédio,períodonoturno I Níveldeconhecimentoesperadodosestudantes:Disponível; IIConhecimentossupostosdisponíveisparasoluçãodatarefa: Aplicação das quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão); lei de formação (fórmula)deumafunçãoafimatravésdafórmulaf(x)=ax+b. Desempenhodosestudantes Questã o07 A B C D Total TurmaD % TurmaE % TurmasD+E %Turmas D+E 3,6 1 3,3 2 3,4 7, , ,5 60,7 8 26, , Quadro1:Desempenhodosestudantes ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 707

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Comentarios Por meio dos dados obtidos, verificamos que apenas 34,5% dos estudantes responderam corretamente à questão, podemos considerar que a dificuldade está na interpretação do problemaenofatodeprecisaremmobilizarconhecimentospréviossobreanoçãodecálculode áreaparasaberquantosmetrosquadradosforampintados,oqueparecenãoestardisponível paramuitosdessesestudantes,emespecial,paraosestudantesdaturmad.valeressaltara diferençaestabelecidaentreasturmasdee,poisnaturmad,amaioriadosestudantesoptou pelaalternativad,oquejánãoocorreucomaturmae,ondeumnúmeromaiordeestudantes optoupelaalternativacorreta.podemosconcluirqueexisteumgrandetrabalhoaserrealizado paramelhoraressesresultados. ConsideraçõesFinais Aanálisedoslivrosdidáticospodeserconsideradacomoummeioeficazparacompreenderquais osconhecimentosmatemáticosnecessáriosparacompreenderanoçãodefunçãoafim,ecomo essesmesmosconhecimentospodemseraplicadosdeformaeficaz.alémdisso,comessamesma análiseépossívelsaberqualoníveldeconhecimento(técnico,mobilizáveledisponível)podeser esperadodosestudantesqueterminamoensinomédioequaloníveldeconhecimentoqueera esperadodosestudantesqueterminamoensinofundamentalemrelaçãoaosconhecimentos matemáticosquepodemserassociadosànoçãodefunçãoafim. Osdocumentospropõemqueoprofessordesenvolvaumtrabalhoondeasmudançasdequadros, conversãoderegistrosderepresentaçãosemióticaemudançasdepontosdevista,mesmosenão tratadascomestaterminologia,sãocomponentesessenciaisquedevemsertrabalhadasnoensino Médio. Agradedeanáliseserviucomoinstrumentoparaaanálisedasrelaçõesinstitucionais.Alémdisso, a grade ao ser aplicada sobre as questões do SARESP permitiu reconhecer que nível de conhecimentoérealmenteesperadodosestudantesnofinaldecadasérieemrelaçãoànoçãode funçãoafimeassuaspossíveisarticulações. É importante ressaltar que nos livros didáticos destinados aos estudantes do Ensino Médio podemosobservarumapreocupaçãoemdesenvolveratividadesqueexigemaconversãodos registrosderepresentaçãosemiótica,mesmoseessaterminologianãoéutilizada.osautores ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 708

9 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas mostram,semseremexaustivos,comoessaspossibilidadespodemserrealizadas,comumaênfase maioroumenorparadeterminadasconversõesquedependemdasescolhaspessoais,permitindo assim,umavisãogeraldosdiferentescasosquepodemserconsiderados. Comrelaçãoàstarefasdestinadasaosestudantes,queforamanalisadasnosdoislivrosdidáticos doensinomédio,verificamosquenamaioriadoscasos,ficaacargodoestudantedesenvolvera maioriadastarefasqueapresentamumcontextodeumasituaçãoproblema,exigindodeleum bom nível de leitura e interpretação de textos, além de conhecimentos matemáticos ou relacionadosaoutrasciênciasquesesupõetenhamsidoadquiridosanteriormenteequenesse momentosãoconsideradosdisponíveis. Dessaforma,mesmoqueaspropostasdearticulaçãodasdiferentesformasdeconhecimento associadasànoçãodefunçãoafim esuasrespectivasrepresentações,aindaquenãosejam tratadasapormeiodessaterminologia,vêmsendoconsideradasessenciais,comomostraaanálise institucionalfundamentadanosparâmetroscurricularesnacionaisenoslivrosdidáticos,existe aindaumaimensadistânciaentreoqueépropostoinstitucionalmenteeoqueosestudantes foramcapazesdedesenvolver.issomostraquetemosumenormecaminhoapercorrerequeé necessáriaumamaioratençãoporpartedosprofessoresemrelaçãoaestetipodearticulação, poisnamaioriadoscasosapresentados,oníveldeconhecimentoexigidodosestudanteséo disponível e não se pode dizer se o desempenho dos estudantes foi bom ou ruim, apenas constamosqueelestêmdificuldadesemreconhecerasarticulaçõesentreanoçãodefunçãoafim comoutrasnoçõestantodentroquantoforadamatemática,oquenospermitesuporqueessas dificuldades estão associadas a uma falta de trabalho com tarefas em que os níveis de conhecimentoemjogosãoomobilizáveledisponível. Referênciabibliográfica Bosch,M.&Chevallard,Y.(1999)Lasensibilitédel activitémathématiqueauxostensifs.grenoble: Recherchesendidactiquedesmathématiques19(1), Brasil.(2000)SecretariadeEducaçãoMédiaeTecnológica.ParâmetrosCurricularesnacionais: EnsinoMédio/MinistériodaEducação,SecretariadeEducaçãoMédiaeTecnológica.Brasília: MEC,SEMTEC. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 709

10 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Brasil.(2006).ParâmetrosCurricularesnacionais:EnsinoMédio+:CiênciasdaNaturezaesuas tecnologias/ministériodaeducação,secretariadeeducaçãomédiaetecnológica.brasília:mec, SEMTEC. Acesso em: 20 de março Disponível em: Brasil. (2005) Matemática: catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio: PNLEM/2005/SecretariadeEducaçãoBásica,FundoNacionaldeDesenvolvimentodaEducação. Brasília:MinistériodaEducação,SecretariadeEducaçãoBásica. Chevallard,Y.(1996)LesoutilssémiotiquesdutravailmathématiquePetitx42,3357. Dante,L.R.(2005)Matemática:livrodoprofessor.SãoPaulo:Ática. Douady, R. (1984)..Jeux de cadre et dialectique outil objet dans l enseignement des mathématiques.paris:iremdel UniversitédeParisVII. Duval,R.(1993)Registredereprésentationsémiotiqueetfonctionnementcognitifdelapensée. AnnalesdeDidactiquesetdeSciencesCognitive5,3765. Duval,R.(1995)Sémiosisetpenséehumaine.Paris:.PeterLang. Robert,A.(1997).Quelquesoutilsd analyseepistemologique etdidactiquedeconnaissances mathématiquesàenseigneraulycéeetàl université.enactesdelaixécoled étédedidactique desmathématiquesdehoulgate(pp ).frança:houlgate. Rogalski,M.(1995).NotasmanuscritasdoSeminárioemSãoPaulo.Brasil. SãoPaulo(2005)SarespEncontrodeMatemáticaAvaliaçõesExternas.CoordenadoriadeEstudos enormaspedagógicas.sãopaulo:secretariadeestadodaeducaçãodesãopaulo. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 710