Estudando redes reais

Transcrição

1 Modelos de rede 1

2 Estudando redes reais Como estudar uma rede real? Internet, Facebook,... Modelo matemático! Abstração matemática da realidade Permite resultados analíticos através da simplificação da realidade não somente caracterização, mas também análise e predição 2

3 Modelos Determinísticos para Redes Estrutura topológica é derterminística Propriedades e características topológicas são determinísticas por exemplo, diâmetro possui valor conhecido ou pré-estabelecido Exemplos de modelos? Grafo completo, hipercubo, etc. 3

4 Modelos Probabilísticos para Redes Estrutura topológica é aleatória Grafo é definido através de um processo aleatório dinâmica do processo origina o grafo Espaço amostral são todos os possíveis grafos Exemplos de modelos? Grafos aleatórios teoria iniciada em 1959, por Erdös e Réyni 4

5 Três Características Importantes 5

6 Modelos de Redes G(n,p) de grafos aleatórios Modelo (de Erdös-Rényi) Small-World Modelo (de Watts-Strogatz) Preferential Attachment Modelo (de Barabási-Albert) 6

7 Modelos de Redes G(n,p) de grafos aleatórios Modelo (de Erdös-Rényi) Small-World Modelo (de Watts-Strogatz) Preferential Attachment Modelo (de Barabási-Albert) 7

8 Modelo G(n,p) Modelo clássico para grafos aleatórios proposto por Erdös e Rényi (1959) Como funciona o modelo? Grafo possui n nós Cada aresta do grafo existe, independentemente, com probabilidade p 8

9 Modelo G(n,p) Modelo possui dois parâmetros determinísticos n: número de vértices p: prob. de existência de cada aresta Para um par de valores de (n,p), diversos grafos podem ser gerados 9

10 Modelo G(n,p) n = 50; p =

11 Modelo G(n,p) n = 50; p =

12 Modelo G(n,p) A estrutura esperada de um grafo aleatório G(n,p) varia com o valor de p arestas conectam nós formando componentes, i.e. subconjuntos de nós alcançáveis por caminhos pela rede 12

13 Exemplos... 13

14 Exemplos... 14

15 Exemplos... 15

16 Grau do G(n,p) Qual é o grau esperado de um nó qualquer do modelo? Se D é a variável aleatória do número de vizinhos de um nó qualquer, qual a distribuição de D? i... 16

17 Grau do G(n,p) Cada aresta incide sobre o nó i com probabilidade p Distribuição binomial Grau esperado de G(n,p)? 17

18 Grau do G(n,p) Para valores grandes de n, a distribuição do grau de um nó é dada pela distribuição de Poisson Para n grande e k<<n Distribuição com valor esperado E[D] 18

19 Grau do G(n,p) 19

20 Coeficiente de Clusterização do G(n,p) Nó qualquer, escolhido ao acaso Efeito meus amigos também são amigos depende somente da probabilidade de existência de uma aresta entre eles Qual o valor esperado para a variável aleatória K representando o coeficiente de clusterização do G(n,p)? 20

21 Diâmetro do G(n,p) Grafos aleatórios tendem a ter diâmetro pequeno Modelo G(n,p) captura esta propriedade para diversas redes reais: roteadores na Internet, WWW Na maioria dos casos, o modelo G(n,p) oferece boa aproximação de redes reais em termos de diâmetro 21

22 Onde o G(n,p) falha? Na predição do coefiente de clusterização! baixo coeficiente de clusterização Modelo G(n,p) ignora características que favorecem a clusterização! P. ex. mixing patterns em redes sociais, etc 22

23 Onde o G(n,p) falha? modelo bom para o diâmetro 23 modelo falho para a clusterização

24 Modelos de Redes Modelo G(n,p) de grafos aleatórios Modelo Small-World Modelo Preferential Attachment (de Erdös-Rényi) (de Watts-Strogatz) (de Barabási-Albert) 24

25 Small-World Quantas vezes nos surpreendemos ao descobrir poucos saltos para completos estranhos? 25

26 Small-World A partir dos resultados do experimento pioneiro do psicólogo social Milgram (1967), dois indivíduos aleatoriamente escolhidos se mostraram muito próximos numa rede social Seis graus de separação! Experimento popularizou o termo SmallWorld pares de nós conectados através de um caminho curto 26

27 Modelo Small-World Inspirado nos resultados pioneiros de Milgram: baixo diâmetro Inspirado na alta clusterização observada empiricamente alta probabilidade de dois nós conectados entre si terem vizinho(s) em comum Proposto por Watts e Strogatz em 1998 (Nature 393) Modelo captura as duas propriedades (tanto o baixo diâmetro quanto a alta clusterização) mostra que ambas podem coexistir em um mesmo grafo 27

28 Modelo Small-World A partir de látice regular: estrutura com ordem n nós organizados em um círculo arestas são definidas entre um nó e seus k nós mais próximos Para cada aresta, escolher uma nova extremidade com probabilidade p (introduzir aleatoriedade) escolha uniforme entre os demais nós valor de p reflete o grau de aleatoriedade 28

29 Modelo Small-World Modelo possui três parâmetros: n, p, k Modelo Small-World está entre uma látice regular e um grafo aleatório 29

30 Modelo Small-World O que significa re-organizar as arestas? Interpretação em redes sociais Pessoas tem muitas conexões próximas que se conhecem entre si (vizinhos, colegas de trabalho, amigos, família,...): alta clusterização Pessoas também tem algumas conexões distantes (outra cidade, país, comunidade de interesse,...), representadas pelas arestas reposicionadas: baixo diâmetro 30

31 Modelo Small-World látice regular Modelo G(n,p) Collective dynamics of Small-World networks, D. Watts & S. Strogatz, Nature 393,1998 Small-World 31

32 Grau do Modelo Small-World Para p=0 (látice regular) todos os nós possuem o mesmo grau: parâmetro k Para p 1 (aproximando de rede aleatória) distribuição do grau é semelhante ao modelo G(n,p): exponencial 32

33 Diâmetro do Modelo Small-World Diâmetro/distância decresce rapidamente com o aumento de p Poucas arestas aleatórias são suficientes para diminuir significativamente o diâmetro Arestas criam atalhos! 33

34 Coeficiente de Clusterização do Modelo Small-World Para diversas probabilidades de redistribuição de arestas, coeficiente de clusterização se mantém alto Apesar dos atalhos, clusterização continua alta mesmo em nós que participam dos atalhos 34

35 Exemplos de Redes com Características de SmallWorld Cactual Crandom Lactual Lrandom 35

36 Onde o Modelo Small-World falha? De forma similar ao modelo G(n,p) distribuição do grau dos nós não considera diferenciação entre os nós não considera evolução da rede no tempo: total de nós e arestas são constantes Como capturar a dinâmica de um sistema e/ou a preferência entre nós? 36

37 Modelos de Redes Modelo G(n,p) de grafos aleatórios Modelo Small-World Modelo Preferential Attachment (de Erdös-Rényi) (de Watts-Strogatz) (de Barabási-Albert) 37

38 Motivação Muitas redes reais são dominadas por um número pequeno de nós que estão conectados com muitos outros nós Nós em vermelho possuem uma grande quantidade de vizinhos 38

39 Motivação Muitos nós com poucos vizinhos e poucos nós com muitos vizinhos distribuição do grau segue uma lei de potência (power-law) também conhecidas como redes scale-free 39

40 Lei de Potência Fonte: Linked:The New Science of Networks, A. Barabási,

41 Redes Scale-Free 41 Programa de Verão LNCC Minicurso Redes Complexas A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A. Ziviani (LNCC)

42 Redes Scale-Free 42

43 Redes Scale-Free Distribuição de probabilidades em função do grau Grande parte das redes reais apresenta 2<γ<3 43

44 Como obter Redes Scale-Free? Modelo deve considerar duas características principais Crescimento: nós e arestas são adicionados incrementalmente Preferential Attachment: novos nós tendem a se tornarem vizinhos de nós que possuem uma vizinhança maior 44

45 Modelo BA Proposto por Barabási & Albert em 1999 [Emergence of Scaling in Random Networks, Science vol 286 no 5439, 1999] Qual a dinâmica do modelo? Dividido em duas partes Crescimento Preferential attachment Modelo generativo topologia da rede é função do processo gerador 45

46 Modelo BA Crescimento comece com um número pequeno de nós adicione um novo nó e o conecte a m diferentes nós que já estejam presentes no sistema Preferential Attachment probabilidade de escolher um vizinho dependerá do grau do vizinho nós com mais vizinhos serão escolhidos com maior probabilidade 46 Probabilidade de nova conexão do nó s depende de seu grau

47 Preferential Attachment 47 Efeito Rico fica mais rico Diversas funções de preferência podem ser usadas (mixing pattern)

48 Grau do Modelo BA Evolução do modelo nós mais populares atraem mais vizinhos ex., twitter: celebridades possuem milhares de seguidores e tendem a atrair mais entre novos participantes Distribuição de grau dos nós segue uma lei de potência com um coeficiente γ específico no modelo BA, γ = 3

49 Grau do Modelo BA 49 Simulação do modelo diversos valores para o total de nós que estão inicialmente na rede e quantas arestas são acrescidas a cada passo para um novo nó inclinação γ próxima a 3

50 Diâmetro do Modelo BA Diâmetro menor do que o do Modelo G(n,p) 50 Hubs (nós com grande número de vizinhos) fazem com que os nós fiquem mais próximos ex. disseminação de informação é mais eficiente

51 Coeficiente de Clusterização do Modelo BA Clusterização maior do que do modelo G(n,p) Diminuição do valor com o aumento da rede CBA 5 vezes maior do que CG(n,p) CSW > CBA para mesmo N (memória de ordenação) CSW independe de N 51 Programa de Verão LNCC Minicurso Redes Complexas A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A. Ziviani (LNCC)

52 Discussão Redes Scale-Free possuem propriedades típicas de redes Small-World baixo diâmetro (comparada com tamanho da rede) alto coeficiente de clusterização (comparada com grafo aleatório) Visão mais genérica de redes small-world igualitárias (grau similar entre os nós): modelo de Watts-Strogatz aristocráticas (grau segue lei de potência scale-free): modelo de Barabási-Albert Ref.: Nexus: Small Worlds and the Groundbreaking Science of Networks, M. Buchanan, Programa de Verão LNCC Minicurso Redes Complexas A. P. C. da Silva (UFJF), N. Alves Jr. (CBPF) & A. Ziviani (LNCC)