SIMULAÇÃO E TRATAMENTO DE SINAIS SONOROS USANDO OCTAVE

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1 SIMULAÇÃO E TRATAMENTO DE SINAIS SONOROS USANDO OCTAVE Um livro de: Elicardo Alves de Souza Gonçalves Rudi Garrido da Costa Lima Fabrício Luciano da Silva Profilo Lucas da Costa de Souza Miguel Ângelo Oliveira Martins Caio da Silva Nápole Rodrigues

2 3 - MODELOS FÍSICOS PARA O SOM 3.1 ONDAS No contexto mais geral, ondas são perturbações que se propagam no espaço sem que haja propagação equivalente de matéria. Isso significa que a energia se desloca de alguma forma que não precise ser transportada por partículas ou moléculas. Em casos mais particulares e em situações mais específicas, uma única perturbação é chamada de pulso e onda é a denominação de sequência regular destes. A natureza destas ondas é uma distinção importante. Os tipos mais comuns são as ondas eletromagnéticas e as ondas mecânicas. Ondas eletromagnéticas se manifestam pela oscilação de campos magnéticos e elétricos, que se propagam no vácuo ou em diversos outros meios. Esse tipo engloba ondas de raio, TV, micro-ondas, raios gama, raios-x, infravermelho, ultravioleta e a própria luz. Ondas mecânicas, como o próprio nome sugere, se manifestam pela pertubação mecânica que se propaga em algum material ou meio físico. Esse tipo de onda engloba vibrações dos mais diversos tipos, ultrassom, ondas do mar (e demais ondas na superfície da água), e também o som. Figura 3.1 A propagação do som é caracterizada pela propagação de zonas de compressão e descompressão.

3 A propagação pode ser em uma, duas ou três dimensões, dependendo de sua natureza e do meio onde se propaga. Um exemplo de uma onda se propagando em uma única direção é uma perturbação feita em uma corda esticada. Em duas dimensões, podemos pensar na superfície de uma dada quantidade de água, como um pequeno lago ou mesmo uma grande bacia, sendo perturbada pela queda de um objeto. Figura 3.2: onda unidimensional se propagando em uma corda (cima) e onda bidimensional como as que se propagam na superfície de um líquido (baixo). Em três dimensões, não existem exemplos em que a evolução das propagações seja visíveis aos nossos olhos, mas exemplos em que podemos entendê-las conceitualmente em todas as direções. Um deles é o próprio som: é possível imaginar a propagação em três dimensões a partir do momento em que, sem obstáculos, uma fonte sonora comum, como a queda de um objeto

4 no chão, pode ser ouvida em qualquer direção. Ondas eletromagnéticas também apresentam essa manifestação tridimensional, e uma fonte pontual de luz, por exemplo, pode ser vista de todas as direções. Grande parte das ondas tridimensionais são isotrópicas, ou seja, não tem preferência por uma dada direção, sendo iguais em todas elas. Nestes casos, um pulso de onda tridimensional pode ser imaginado como uma bolha esférica que nasce na fonte da onda, e cresce igualmente em todas as dimensões. Uma sequência desses pulsos seria, dessa forma, um conjunto de bolhas concêntricas de raios diferentes, onde a mais externa seria a primeira a ser emitida, e a mais interna a última. Figura 3.3: Emissão tridimensional como bolhas centradas na fonte. Caso a fonte ou a propagação seja anisotrópica, essas bolhas não seriam perfeitamente esféricas, demonstrando preferência por uma determinada direção. Uma outra classificação importante nos diversos tipos de onda seria quanto a sua direção de oscilação. Enquanto algumas manifestações ondulatórias têm oscilações em direções perpendiculares à direção de propagação, sendo chamadas de ondas transversais, outras oscilam no mesmo sentido da propagação, e por causa disto são denominadas ondas longitudinais. Ondas

5 eletromagnéticas são essencialmente transversais, enquanto ondas sonoras se propagando no ar são longitudinais. 3.2 Características de uma onda. Independente da natureza, da direção e da dimensionalidade uma onda específica pode ser caracterizada por diversos parâmetros. Dentre os mais importantes estão a frequência, o período, a amplitude, a velocidade, a fase o formato e o comprimento A frequência é uma característica de muitas manifestações da natureza, e normalmente diz respeito ao número de repetições em um determinado intervalo de tempo. No caso das ondas, a melhor maneira para defini-la é tomar um ponto no espaço por onde a onda passa, e tomar nota da quantidade de ciclos repetidos esse ponto sofrerá por segundo. Para ser mais claro, é possível tomar como exemplo uma onda unidimensional que se propaga ao longo de uma corda esticada. Um determinado ponto desta corda sofrerá diversos ciclos de oscilação em um intervalo de tempo. O se dividir o número de oscilações pelo intervalo tempo, é encontrado o valor da frequência. Figura 3.4: Um ponto de uma corda onde passa uma onda com frequência f terá oscilações com a mesma frequência.

6 No sistema internacional de medidas, esse intervalo de tempo é medido em segundos, ou seja, a frequência é dada em ciclos por segundo (s -1 ) que também é denominado Hertz (Hz). Isso não significa que não se possa usar outras unidades de tempo para medir a frequência, apenas que esta é o padrão. Outras unidades como o número de ciclos (ou rotações, ou voltas, ou repetições) por minutos, por hora, por dia, por semana, por mês ou qualquer outra unidade de tempo. Em casos de ciclos senoidais, onde a oscilação apresenta uma analogia com movimentos circulares, é comum encontrar a frequência caracterizada pelo valor de parte de uma rotação (uma medida de ângulo) por segundo. Esta é conhecida como frequência angular. O ângulo é medido em Radianos (rad), onde uma volta completa (um ciclo completo) C é dado por: C = 2π rad Dessa forma, a frequência natural f está associada à frequência angular ω pela seguinte relação matemática: ω = 2π f No caso das ondas, a frequência é uma propriedade herdada da fonte. Isto significa que é a fonte quem define qual será a frequência da onda. Se voltarmos ao exemplo da onda em uma corda, supondo que os pulsos de ondas são gerados por uma pessoa que segura a corda em sua extremidade, fazendo-a oscilar, a frequência de oscilação da mão da pessoa será a frequência de oscilação de cada ponto da corda, e consequentemente, a frequência que caracteriza a onda. O período seria exatamente o inverso da frequência. Enquanto a primeira mede o número de repetições por tempo, o período mede o tempo levado para uma determinada repetição. Se por exemplo, uma determinada frequência for igual a 2Hz, isso significa dois ciclos a cada segundo. Nesse caso, cada segundo seria igual a 0,5 segundos, ou seja, o período é igual a meio segundo.

7 É razoável notar que existe uma relação entre período T e a frequência f, dada por: T = 1 f A amplitude está relacionada com o tamanho máximo que a grandeza física relacionada à onda consegue chegar em cada oscilação. No caso de ondas mecânicas unidimensionais como em uma corda, este seria o tamanho do deslocamento de cada ponto da corda ao oscilar; no caso de ondas na água, a amplitude seria a altura destas ondas; no caso de ondas eletromagnéticas está relacionada ao valor máximo de campo elétrico e magnético. Na prática, a intensidade da luz, a força da onda do mar e o volume do som estão relacionados à amplitude da onda. A velocidade está relacionada ao meio e a alguns de seus parâmetros. Ao mudar o meio a velocidade de propagação também muda. Isso traz algumas consequências como refração, difração e reflexão. A fase está ligada com a posição onde a oscilação começa. Como é possível observar, é indicada pela fonte. Ondas iguais com fases diferentes apresentarão deslocamentos uma em relação a outra. A fase está relacionada a fenômenos como interferência e a ressonância. Figura 3.5: Três ondas com mesma amplitude, comprimento e frequência, mas com fases diferentes.

8 O formato de uma onda normalmente está relacionado tanto a fonte de emissão quanto ao meio. O modo de oscilar da fonte desenha a forma da onda, e a velocidade com que esta se propaga estica om comprime esta forma, criando o formato final. É possível entender a relação da oscilação da fonte com a forma imaginando, no caso da corda, que o modo como a mão se move desenhará a onda. É o mesmo que acontece na saída de um antigo sismógrafo, onde o movimento da agulha desenha o sinal em um papel que passa por ela. Figura 3.6: Representação de um antigo sismógrafo: O movimento da agulha as o desenho ao longo do papel, análogo ao que acontece com a oscilação da fonte e a onda. O comprimento de onda, ou tamanho de onda é parte de seu formato. É, dentro de uma mesma onda, a distância entre duas repetições (dois pulsos ou ciclos). Assim como o formato, é dependente tanto do meio quanto da fonte. O comprimento de onda está ligado a frequência e a velocidade através da equação fundamental da ondulatória: v = λf 3.3 Ondas senoidais

9 Grande parte das ondas têm formato senoidal, ou seja, tem o formato de um gráfico de uma função seno ou cosseno. Esses casos acontecem quando a oscilação da fonte é característica de uma oscilação harmônica. A oscilação harmônica é caracterizada pela seguinte equação: A(t) = A 0 cos(ωt + φ) Onde A(t) é a amplitude num determinado instante t, A0 é a amplitude máxima, ω é o valor da frequência angular, e φ é a fase. A oscilação harmônica acontece principalmente por causa de forças restauradoras, que fazem com que um sistema, deslocado de sua posição de equilíbrio, volte a ele. Isto faz com que grande parte das oscilações, e consequentemente, as ondas criadas, tenham no deslocamento inicial sua amplitude máxima, fazendo com que a fase φ seja igual a zero. Quando a fonte é caracterizada dessa forma, e anda no meio com velocidade v, a equação da onda no tempo t e no espaço x pode ser dada por: A(t) = A 0 cos(kx + ωt + φ) Onde além dos parâmetros da oscilação harmônica, o valor da amplitude é dependente do número de onda k, que é dado por k = 1 λ Sendo λ o comprimento de onda. Note que A(t) é uma função de duas variáveis: x e t. E que, a menos dos parâmetros k e ω, essas duas variáveis matematicamente são análogas pata o valor de A(t).

10 Figura 3.7: Gráfico tridimensional da amplitude de uma onda em função do tempo t e da posição x. Normalmente para estudos dessa função, transforma-se uma das variáveis em constante, vendo comportamento da outra. Transformar t em constante seria como congelar a onda em um determinado instante para ser seu comportamento ao longo do espaço; transformar x em constante seria estudar o movimento, ao longo do tempo, de um único ponto desta onda e suas oscilações. 3.4 O som O som é um tipo específico de onda mecânica que se propaga no espaço principalmente (mas não somente) através do ar. Trata-se da propagação de frentes de compressão, sendo a pressão a grandeza que oscila ao longo do tempo. O ouvido humano é capaz de ouvir ondas mecânicas deste tipo num espectro de frequência que vai de 20 Hz até Hz. Alguns animais têm espectros

11 em diferentes janelas, fazendo com que alguns sons sejam percebidos por eles e não por nós e vice-versa. Mas numa definição mais conservadora, podese limitar a caracterização do que é som como o que se encaixa dentro da janela de percepção humana. A captura do som é feita pelo ouvido, nos vertebrados. Resumidamente, nele existe uma membrana sensível a vibrações sonoras, o tímpano e uma estrutura de transmissão dessas vibrações mecânicas até uma região chamada cóclea, onde células sensíveis específicas transformarão essas vibrações em sinais elétricos distinguindo a frequência e a amplitude do som. Análogo a isto, a captura de sons para transmissão, armazenamento, reprodução e/ou análise elétrica/eletrônica é feita convertendo-se as vibrações sonoras em sinal elétrico. Como toda conversão, ela não é extremamente fiel ao sinal de entrada, sendo mais eficiente em determinadas frequências e/ou intensidades do que em outras. Isso faz o sinal sonoro sofrer alterações ao ser captado, como será mostrado mais à frente. 3.5 Características do Som Frequência, altura, velocidade e comprimento de onda. As características de ondas mecânicas se refletem em manifestações conhecidas no som. A altura (não confundir com volume), por exemplo, que indica o quão grave ou agudo é um som, está relacionado à frequência da onda. Dessa forma, cada nota musical tem um valor característico, em hertz. A nota musical padrão é o La 3 (na classificação brasileira) de 440 Hz. Como frequência é uma característica herdada da fonte sonora, independente da velocidade de propagação do som, a frequência é a mesma. A velocidade, por sua vez, é dependente do meio e de suas condições. Sabe-se por exemplo, que a velocidade de propagação do som no ar gira em torno de 331 m/s nas condições normais pressão e temperatura, enquanto o mesmo som na água se propagaria com velocidade de 1435 m/s. Esses valores ainda variam de

12 acordo com fatores como composição química do meio, densidade, temperatura entre outros. Por causa da equação fundamental da ondulatória, é possível dizer que o comprimento de onda depende tanto da fonte quanto do meio Amplitude, Intensidade sonora, volume e nível de intensidade A onda sonora se propagando no ar é essencialmente uma onda que se propaga tridimensionalmente e é possível ser imaginada como bolhas saindo da fonte sonora, e na maior parte das vezes, crescendo isotropicamente. O esforço de uma fonte ao emitir som é usualmente medido em unidades de energia por tempo, o que dá a grandeza de potência. Ao se propagar em três dimensões, essa potência emitida pela fonte é diluída ao longo da área da bolha de emissão. Ou seja, a intensidade a fonte sonora é caracterizada pela potência de emissão, cuja unidade padrão é o watt (w). Diferente disto, intensidade da onda sonora é caracterizada pela razão da potência pela área abrangida, e é medida em watt por metro quadrado (w/m 2 ). Esta é a unidade da amplitude das ondas sonoras e é o que caracterizará o volume do som que ouvimos. É importante notar que nossos ouvidos têm uma determinada área padrão, e ao caracterizarmos o som que ouvimos, este também será medido em watts. Como a área depende do raio, que é basicamente a distância da fonte até a borda da bolha, onde estaria uma região ou objeto afetado (como os ouvidos de uma pessoa, por exemplo), é possível imaginar que quanto mais distante a fonte deste objeto, maior a área, mais diluída a intensidade e menor a intensidade sentida pelo próprio objeto. A área A de uma bolha esférica é dada por: A = πr 2

13 Onde r é o raio, ou a distância. Isso significa é a intensidade sentida por um determinado objeto é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte. Figura 3.8: A uma distância d, um objeto O com área A é afetado por uma determinada potência. A uma distância 2d essa mesma potência afeta uma área quadro vezes maior, ou seja, o mesmo objeto O, que obre um quarto dessa região é afetado por um quatro da potência. Dobra-se a distância, e a potência decresce de um fator de 2 2. É um exemplo clássico de como funciona a lei do inverso do quadrado da distância. Nossos ouvidos, e todos os dispositivos capazes de detectar sons são sensíveis a uma ampla faixa de intensidades, e, por causa disto, é comum o som ser caracterizado pelo nível de intensidade: uma escala com variação numérica muito menor. O nível de intensidade β pode ser dado por β = log( I I 0 ) Onde I é a intensidade detectada pelo instrumento ou ouvido e I0 é uma grandeza padrão, definida como a menor intensidade ouvida pelo ouvido humano: I0 = w/m 2

14 A unidade do nível de intensidade é o bel, representado pela letra B. Ele é mais conhecido na sua subunidade dez vezes menor, o decibel (db). Para achar β em decibéis, a equação fica: β = 10log( I I 0 ) Formato da onda, timbre e teorema de Fourier O formato de uma onda está estritamente ligado ao seu timbre. Desta forma, ao ouvirmos a mesma nota musical em diversos instrumentos diferentes, conseguimos diferenciá-los. O formato em si, é criado pela forma de oscilar da fonte sonora. Figura 3.9 Diferentes timbres e seus respectivos formatos de onda. Graças ao teorema de Fourier, e às operações matemáticas correspondentes, todo sinal sonoro poderá ser visto como uma soma de senóides, simplificando sua matematização e sua simulação.

15 Se tivéssemos um sinal infinito (ou muito grande) de uma nota em um determinado timbre, seria fácil decompô-la em uma soma de senoide; mas na prática o sinal é ruidoso e é periódico apenas por um tempo, visto que o som de uma nota é finita e não muito grande para os padrões de repetição. Visto isso, o ideal seria encontrar as frequências em uma determinada nota em um timbre aplicando a transformada de Fourier. Na prática a diferença entre a transformada contínua e discreta (em série) será o erro associado. Enquanto o sinal perfeitamente periódico é transformado em valores perfeitos e discretos, na transformada é possível também ver esses valores, mas dentro de uma variação estatística, que se encaixa muito bem no modelo gaussiano. Figura 3.10: Série de Fourier para um sinal periódico ideal (esquerda) e transformada de Fourier de um exemplo equivalente, em situações reais. A largura da transformada de Fourier está associada a um erro relativo 3.6 Propriedades do som digital Até o momento foram apresentadas as características físicas e os modelos para representá-las. Mas o som representado digitalmente tem algumas características intrínsecas ao processo de digitalização ou criação virtual. Dentre as mais importantes estão a amostragem e a profundidade. O armazenamento do sinal sonoro na forma digital é feita através de sequências numéricas. Essas sequências representam o valor da amplitude no detector (e/ou no emissor) em cada intervalo regular de tempo.

16 Figura 3.11: o som digital é armazenado na forma de valores numéricos. Os valores entre dois números seguidos não são conhecidos, podendo apenas ser estimados. Dessa forma, quanto menor for o intervalo entre estes dois valores, mais fiel será a representação do som original. Deve-se levar em conta que sempre haverá perda de informação no processo de digitalização, pois por menor que seja, existirá um intervalo entre dois números. Como todos os intervalos são regulares, é usual quantificá-los pelo seu inverso, ou seja, número de medidas em um determinado intervalo de tempo. Este valor é conhecido como frequência amostral, ou simplesmente amostragem. De acordo com o teorema da amostragem de Nyquist Shannon, para se armazenar um sinal ondulatório com uma determinada frequência f, é preciso ter uma amostragem de, no mínimo o dobro desta frequência, ou seja, 2f. Sabe-se que o ouvido humano consegue ouvir até aproximadamente Hz, (varia com idade, condições e até de pessoa para pessoa) e por isso tradicionalmente as gravações profissionais usam uma frequência pouco maior que o dobro disto: Hz.

17 Figura 3.12: Representação de um sinal contínuo representado em diferentes amostragens. O outro parâmetro de qualidade do som digital está associado à precisão de cada medida (que se transformará em cada um dos números no sistema digital). Esses números estão associados à amplitude gravada em cada intervalo de tempo, e sua precisão depende do espaço armazenado a cada medida. Como a amplitude de reprodução dependerá do dispositivo que reproduz o som, essa amplitude é dividida entre valores intermediários entre o valor mínimo e o valor máximo. O número de possíveis valores entre esse mínimo e máximo é conhecido como número de degraus, e a medida da quantidade de degraus é conhecida como profundidade. A menor precisão possível é denominada binária, com apenas dois degraus: os próprios valores - mínimo e o máximo; uma profundidade de quatro degraus pode assumir estes dois valores extremos e dois intermediários. A quantificação dessa profundidade é dada em bits: D = 2 n

18 Onde D é o número de degraus, e n o número de bits. Em uma profundidade de 8 bits, por exemplo, cada medida pode assumir cada um dos 256 valores diferentes. Os dois parâmetros mencionados interferem diretamente na qualidade do som digital, mas é preciso lembrar que isso remete no espaço para armazenamento. O tamanho de um arquivo de som, sem compressão seria igual ao produto do valor da profundidade com o valor da amostragem, multiplicado ainda pelo tempo de duração do som. Tamanho = profundidade x amostragem x tempo Uma gravação de dez segundos com amostragem de Hz de amostragem e 24 bits (padrão de qualidade de um disco Blu-Ray) de profundidade ocuparia um espaço de aproximadamente 1,3 megabytes. Figura 3.13: Sinal original representado em diferentes profundidades