Modelização do Sistema Produtivo Modelos de Sistemas Discretos

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1 Modelização do Sistema Produtivo Modelos de Sistemas Discretos Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Gil M. Gonçalves gil@fe.up.pt 2004/2005 Outline Introdução Modelos de Sistemas Discretos Modelos Temporizados Modelos Estocásticos 2

2 Introdução 3 Sistema Produtivo Informação Controlos Matéria Prima Energia Sistema Produtivo Produtos Serviços Componentes Serviços Externos Subprodutos Resíduos 4

3 Exemplo: body shop 5 Sistema Produtivo: ciclo de vida 6

4 Controlo do Sistema Produtivo Informação Externa Objectivos Sistema de Controlo Ordens Feedback Fornecedores: Material ( Compras) Sistema Produtivo Clientes: Produtos ( Vendas) 7 Diferentes vistas Sistema de Controlo Sistema de Informação Sistema de Decisão Fornecedores: Material ( Compras) Sistema Físico Clientes: Produtos ( Vendas) 8

5 Modelizar Sistemas Produtivos: porquê? Entidades complexas Pessoas, processos, produtos, sistemas de informação, sistemas de movimentação e processamento, etc. Diversos tipos de modelos produtivos (projecto, produção em massa, costumização em massa, etc.) Conhecimento distribuído e multidisciplinar 9 Modelizar Sistemas Produtivos: para quê? Melhorar a compreensão Comunicar Especificar e simular Analisar Avaliar o desempenho Gerir a evolução 10

6 Modelizar Sistemas Produtivos: como? Utilizar conhecimento existente na empresa Várias fontes, várias representações Necessário sintetizar e validar Adquirir e organizar o conhecimento através de metodologias Utilizar modelos de referência Melhorar a comunicação entre os elementos envolvidos 11 Sistema Vs. Modelo Sistema algo real Modelo abstracção da realidade input output Sistema u(t) Modelo y = g(u) 12

7 Espaço de estados (modelo) Variáveis input u(t), output y(t) e de estado x(t) Modelizar determinar relações matemáticas entre as variáveis equações de estado espaço de estados equações de saída Modelo. x(t) = f( x(t), u(t), t), x(t 0 ) = x 0 y(t) = g( x(t), u(t), t) 13 Sistema Classes de sistemas (não exclusivas) Estático Dinâmico Linear Não Linear Contínuo (estado) Discreto (estado) Tempo Eventos Discrete Event Systems Determinístico (DES) Estocástico Contínuo (tempo) Discreto (tempo) 14

8 DES: Propriedades Sistemas (dinâmicos) de acontecimentos discretos O espaço de estados é discreto O mecanismo de transição de estado é guiado por eventos Evolução do estado depende exclusivamente da ocorrência de acontecimentos discretos ao longo do tempo Muitos sistemas (especialmente desenvolvidos pelo Homem) têm de facto um espaço de estados discreto Em muitas aplicações pode ser necessária uma visão discreta do espaço de estados de um sistema complexo 15 Exemplos Estado de uma máquina {On, Off} ou {Busy, Idle, Down} Execução de um programa num computador {Waiting, Running, Down} Inventário de artigos discretos (produtos, etc.) Jogos... 16

9 Exemplos de Sistemas Discretos Sistemas de Filas de Espera (bloco básico de representação) Entidades que aguardam: clientes Recursos utilizados: servidores Espaço onde os clientes aguardam: fila Computadores Sistemas de Comunicação Sistemas Produtivos Sistemas de Tráfego... Sistemas C 3 I (command, control, communication, and information) Actividade provocada por ocorrências assincronas de acontecimentos discretos 17 Modelos de Sistemas Discretos 18

10 Autómato de Estado Finito: Definição ( E, X, f, X 0, F) E : alfabeto (conjunto de eventos) finito X : conjunto finito de estados f : função de transição de estado f : X E X (dinâmica) X 0 : Estado inicial - X 0 X F : Conjunto de estados final - F X 19 Diagrama (de transição) de estados Autómato ( E, X, f, X 0, F) onde: E = { α, β, γ} X = { x, y, z} f(x,α) = x, f(x,β) = f(x,γ) = z f(y,α) = x, f(y,β) = f(y,γ) = y α x γ β α α γ γ y β f(z,β) = z, f(z,α) = f(z,γ) = y z X 0 = { x} (seta de entrada) β F = { x, z} (sombreado) 20

11 Autómatos de Estado: Definição ( E, X, Γ, f, X 0 ) E : Conjunto (contável) de acontecimentos X : Conjunto (contável) de estados (espaço de estados) Γ : Conjunto de acontecimenos admissíveis x X, Γ(x) E f : Função de transição de estado f(x,e): x X e Γ(x), f(x,e): X E X X 0 : Estado inicial X 0 X 21 Autómato: Exemplo (fila de espera) a chegada de cliente d saída de cliente E = { a, d} X = { 0, 1, 2, 3, } a Fila Servidor d Γ(x) = { a, d} x > 0 Γ(0) = { a} a a a a f(x,a) = x + 1 x 0 f(x,d) = x - 1 x > X 0 = { 0} d d d d 22

12 Autómato: Exemplo (servidor) I α início de serviço β fim de serviço λ avaria µ - reparação α β µ λ B E = { α, β, λ, µ} X = { I, B, D} Γ(I) = { α}, f(i,α) = B Γ(B) = { β, λ}, f(b,β) = I, f(b,λ) = D Γ(D) = { µ}, f(d,µ) = I D 23 Redes de Petri (RdP) Alternativa aos autómatos de estado. Autómato RdP. Manipula eventos de acordo com regras. Permite explicitar as condições que activam eventos. 24

13 RdP: Definição (P, T, A, w) P : Conjunto (finito) de lugares T : Conjunto (finito) de transições A : Conjunto de arcos - A (P T) (T P) w : Função peso - w: A {1,2,3, } P = { p 1, p 2,..., p n }, T = { t 1, t 2,..., t n } ( p i, t j ) ou ( t j, p i ) lugares de entrada - I(t j ) = { p i P: (p i,t j ) A} lugares de saída - O(t j )= { p i P: (t j,p i ) A} 25 RdP: Exemplo P = { p 1, p 2 }, T = { t 1 }, A ={ (p 1,t 1 ), (t 1,p 2 )} w( p 1, t 1 ) = 2, w( t 1, p 2 ) = 1 I(t 1 ) = { p 1 }, O(t 1 ) = { p 2 } p1 t1 p2 26

14 RdP (exercício) P = {p 1,p 2,p 3,p 4 } T = {t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 } p 1 t 1 p 2 p 3 t 2 t 4 A =? t 3 t 5 p 4 w =? 27 RdP: Marcação Mecanismo que permite definir estado das transições. Consiste na atribuição de marcas (tokens) a lugares. As condições expressas pelo lugar estão satisfeitas. x = { x(p 1 ), x(p 2 ),..., x(p n )}, x(p i ) {0,1,2,...} RdP marcada (P,T,A,w,x 0 ) onde (P,T,A,w) é uma RdP e x 0 é a marcação inicial 28

15 RdP: Exemplo x 1 = {1,0} p1 t1 p2 x 2 = {2,1} p1 t1 p2 29 RdP: Estado O estado de uma RdP é a marcação x={ x(p 1 ), x(p 2 ),..., x(p n )}, x(p i ) {0,1,2,...} O estado (ou marcação) permite definir como são activadas as transições. Uma transição t j T está activa se x(p i ) w(p i,t j ) p i I(t j ) 30

16 RdP: Dinâmica Transição activa pode disparar Função de transição de estado Altera a marcação (estado) da rede através do disparo de transições f: {0,1,2,...} n T {0,1,2,... } n definida para t j T se e só se x(p i ) w(p i,t j ) p i I(t j ) Se f(x,t j ) está definida então x = f(x,t j ), onde x (p i ) = x(p i ) - w(p i, t j ) + w(t j, p i ) i=1,...,n 31 RdP: Exemplo x 0 ={2,0,0,1} p 2 t 2 x 1 ={1,1,1,1} (t 1 ) p 1 t 1 p 3 t 3 p 4 x 2 ={0,2,2,1} (t 1 ) ou x 2 ={1,1,0,2} (t 2 ) ou x 2 ={0,1,0,0} (t 3 ) 32

17 RdP: Dinâmica Estado x = [ x(p 1 ), x(p 2 ),..., x(p n )] (actual) x = [ x(p 1 ), x(p 2 ),..., x(p n )] (próximo) Vector de disparo u={0,0,..,0,1,0,..,0} 1 na j-ésima posição indica transição disparada Matriz de incidência A Matriz m n a ji = w(t j,p i ) - w(p i,t j ) Equação de estado x = x + ua f(x,t j ) = x + ua 33 RdP (exercício) A=? p 2 t 2 x 0 =[2,0,0,1] p 1 t 1 p 4 x 1 se dispara t 1 p 3 t 3 x 2 se dispara t 2 x k+1 = f(x k,t k ) = x k + u k A (t 1, t 2,...} sequência de disparos t k k-ésima transição a disparar 34

18 RdP: Filas de Espera 3 eventos (transições) a chegada de cliente s início de serviço c fim de serviço (e cliente sai) a Q I lugares Q - fila I servidor livre B servidor ocupado B s c 35 RdP: Filas de Espera (> detalhe) 4 eventos (transições) a chegada de cliente s início de serviço c fim de serviço d saída do cliente A a Q I lugares A possível cliente Q - fila I servidor livre B servidor ocupado F cliente terminado s B c F d 36

19 RdP: Filas de Espera (c/ avaria) 4 eventos (transições) A a chegada de cliente s início de serviço c fim de serviço d saída do cliente b avaria r - reparação lugares A possível cliente Q - fila I servidor livre B servidor ocupado F cliente terminado D servidor em baixo a Q s B c F I b r d 37 RdP Vs. Autómatos RdP apresentam 2 tipos de nós e estrutura multigrafo Autómato de estados (finito) RdP Exercício: dado ( E, X, Γ, f, x 0 ) construa (P, T, A, w, x 0 ) RdP maior generalidade RdP maior complexidade RdP permite decompor sistemas complexos 38

20 RdP Vs. Autómatos (exercício) Protocolo de comunicação (simples) Transmissor livre e chega pedido de transmissão de msg, então processado senão ignorado. Processamento envolve duas acções: Guardar cópia local da msg e enviar msg (utiliza canal de comm) Inicializar temporizador (timeout) Recepção de confirmação (msg trasmitida c/ sucesso): Apagar cópia local Parar temporizador Timeout assume mensagem perdida, processa novamente Acontecimentos: a chegada de msg, t mensagem transmitida, τ timeout, r - confirmação 39 RdP Vs. Autómatos (exercício) 2 transmissores iguais ao anterior Competem pela utilização de um canal de comunicação partilhado 40

21 Análise de DES (modelos) não temporizados Estudo de aspectos lógicos ou qualitativos Desenhar sistemas de modo a evitar estados indesejáveis Desenhar sistemas de modo a alcançar estados desejáveis num determinado nº de transições Verificar que o comportamento está de acordo com um conjunto de especificações Aplicando Autómatos ou RdP (sistema e não modelo) 41 Propriedades e implicações RdP e Autómatos apresentam diversas propriedades Identificar propriedades funcionais do sistema: Comportamento: dependem do estado inicial Estrutural: dependem da topologia da rede 42

22 Propriedades Autómato Reachability Segurança: atingir estados indesejáveis Coaccessibility Bloqueio: deadlock & livelock cycles RdP Reachability Segurança: atingir estados indesejáveis Liveness Bloqueio: deadlock & livelock cycles Boundedness & Safeness Estabilidade do sistema, limitação de recursos, evita overflows Conservativeness Conservação do número de recursos no sistema Reversibility Recuperação de falhas 43 Propriedades RdP Reachability (comportamento) Um estado x numa RdP diz-se atingível a partir de x 0 se existe uma sequência de transições que leve o sistema de x 0 até x Pode interessar verificar o contrário (evitar bloqueios) Cobertura (comportamento) Partindo de x 0, y é coberto (dominado) se existe uma sequência de disparos de x 0 até x e x(p i ) y(p i ) Persistente (estrutural) Uma RdP é designada persistente se, para duas transições activas, o disparo de uma não desactiva a outra 44

23 Propriedades RdP Limitada (estrutural) Marcas representam clientes (fila de espera) Propriedade de um lugar manter um número de marcas que nunca excede um determinado limite Um lugar é k-limitado se x(p i ) k (safe k=1) Conservativa (estrutural) Marcas representam recursos Propriedade da rede manter um número fixo de marcas; pode ser definida com recurso a um vector de pesos γ Conservativa relativamente a γ se Σ n i=0 γ i x(p i ) = k 45 Propriedades RdP Viva (comportamento) Partilha de recursos Dado um estado inicial x 0 uma transição numa RdP é: Morta ou L0-viva, nunca pode disparar (t 2 ) L1-viva, se existe uma sequência de disparos que permite que a transição dispare pelo menos uma vez (t 1 ) L2-viva, se a transição pode disparar pelo menos k vezes L3-viva, se existe uma sequência de disparos infinita na qual a transição aparece infinitas vezes (t 3 ) Viva ou L4-viva, se a transição é L1-viva para cada estado atingível de x 0 t 1 t 3 p 1 p 2 t2 46

24 Árvore de cobertura Técnica de análise Árvore: nós estados; arcos transições [1,0,0,0] t 1 [0,1,1,0] p 2 t 2 t 2 t3 p 1 t 1 p 4 [1,0,1,0] [0,0,1,1] p 3 t 3 [0,1,2,0] t 2 t 3 [1,0,2,0] [0,0,2,1] 47 Árvore de cobertura: notação Raíz primeiro nó da árvore, corresponde a um determinado estado inicial Nó terminal (folha) qualquer nó (estado) onde não existe qualquer transição activa Nó duplicado nó idêntico a um outro já existente na árvore Nó dominante sejam x = [x(p 1, x(p 2,.., x(p n ] e y = [y(p 1, y(p 2,.., y(p n ] estados (nós) x domina y x > d y se se verificam as seguintes condições a) x(p i ) y(p i ) i = 1, 2,..., n b) x(p i ) > y(p i ) pelo menos para um i = 1, 2,..., n w marcação de um lugar não limitado 48

25 Algoritmo de construção 1. Inicializar x = x 0 (estado inicial) 2. Para cada novo nó (x) avaliar f( x, t j ) t j T 2.1 Se f( x, t j ) é indefinida t j T então x é um nó terminal 2.2 Se f( x, t j ) está definida para algum t j T criar um novo nó x = f( x, t j ). Então Se x(p i ) = w para algum p i então x (p i ) = w Se existe um nó y no caminho da raíz x 0 até x tal que x > d y então x (p i ) = w p i tal que x (p i ) > y(p i ) Senão x = f( x, t j ) 3. Se todos os novos nós são terminais ou duplicados então pára 49 Árvore de cobertura: Exemplo [1,0,0,0] p 2 t 2 t 1 p 1 t 1 p 4 t 2 [0,1,1,0] t3 p 3 t 3 [1,0,w,0] [0,0,1,1] [0,1,w,0] t 2 t 3 [1,0,w,0] [0,0,w,1] 50

26 Árvore de cobertura: Exercício a Q I [0,0,1] a s a [w,0,1] s B [w,0,1] a [w,1,0] c c [w,1,0] [w,0,1] 51 Aplicações da árvore de cobertura Ferramenta de verificação de algumas propriedades Limitação Por simples inspecção da árvore (procurar w) Cobertura Por simples inspecção da árvore Apresenta algumas limitações w representa a agregação de vários estados atingíveis (perda de informação) Só pode ser utilizada nos casos em que o espaço de estados é finito Problemas de bloqueio (evitar) Reachability 52