Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets

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1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets Eberson Ferreira da Silva João Pessoa PB Abril de 203

2 EBERSON FERREIRA DA SILVA Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets Dissertação apresentada em 08 de abril de 203 ao Corpo Docente do Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal da Paraíba como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Carlos Bocker Neto João Pessoa PB Abril de 203

3 S586t Silva, Eberson Ferreira da. Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets / Eberson Ferreira da Silva.-- João Pessoa, f. Orientador: Carlos Bocker Neto Dissertação (Mestrado) UFPB/CCEN. Matemática. 2. Sistemas Dinâmicos. 3. Expoentes de Lyapunov. 4. Ergódica. 5. Probabilidade Invariante. 6. Pontos Regulares. 7. Fibrados. UFPB/BC CDU: 5(043) iii

4 Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets por Eberson Ferreira da Silva Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal da Paraíba como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Aprovado em 08 de abril de 203. Banca Examinadora:

5 Aos meus Pais

6 Agradecimentos Em primeiro lugar, agradeço a Deus por ter me acompanhado e guiado em todos os momentos de minha vida. Agradeço a minha mãe Eliete por ter dedicado a mim um amor incomensurável. Por ter me ensinado, através de exemplos, como ser uma pessoa boa e honesta, por ter me apoiado em todas as decisões, por ter sempre zelado pelo bem de nossa família e por todos os sacrifícios feitos até hoje. Tudo o que sou como homem e cidadão é responsabilidade dessa mulher maravilhosa que sempre fez o melhor por mim e expressar o quanto sou grato em um texto seria impossível. Agradeço ao meu pai Edson, que me mostrou desde cedo o valor do trabalho duro. Que mesmo nas dificuldades nunca deixou de me dar suporte. Agradeço pelo seu carinho e por seu bom humor presente em nosso lar. Agradeço a Suelen, por ter me apoiado nesse ultimo ano, por sua compreensão nas horas difíceis e por ter me dedicado seu amor. Agradeço ao amigo Sanderson por ter me apoiado no começo dessa jornada, por ter assumido responsabilidades que não eram suas para poder me ajudar. Agradeço muito pela força e grande parte dessa conquista eu devo a você. Agradeço muito aos meus professores de graduação, Maité Kulesza e Jorge Antonio Hinojosa, pois além de me passarem seus conhecimentos, me incentivaram bastante a seguir a carreira acadêmica. Agradeço aos meus professores do mestrado, em especial ao professor Fagner Araruna, que confiou em mim e me recomendou para o mestrado na UFPB. Agradeço aos meu amigos e colegas do mestrado pelo apoio nas horas complicadas e pelos momentos de divertimento que também são essenciais. Um agradecimento especial à Mariana, Wanderson, Rainelly, Paulo e Francisco. Agradeço também a Islanita Cecilia que me acolheu na minha chegada em João Pessoa e me deu dicas valiosas sobre o mestrado. Enfim, à todos que de uma forma direta ou indireta contribuíram para que eu chegasse até aqui. Agradeço muito ao amigo Rafael Barbosa com quem partilhei esse dois anos de mestrado. Obrigado pela convivência e paciência. Pelas conversas produtivas, pelas coisas que me ensinou e por ter me ajudado sempre que possível. Agradeço ao amigo Felipe Fernando por toda paciência, pelo apoio técnico, por todas as conversas e pela amizade. Agradeço meu orientador Carlos Bocker pela sua paciência e por ter me ajudado nesse trabalho. Meus agradecimentos também aos componentes da banca, por terem aceitado examinar meu trabalho. Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

7 Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis René Descartes

8 Resumo: Neste trabalho, estudamos uma versão do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets para difeomorfismos de classe C sobre uma variedade Riemanniana compacta de dimensão finita que garante a existência dos expoentes de Lyapunov em quase todo ponto com relação a uma medida de probabilidade boreliana invariante pelo difeomorfismo. Na verdade, demonstraremos o teorema em uma versão mais geral, a saber, no contexto de cociclos lineares. O teorema de Oseledets para difeomorfismos será estabelecido como um caso particular desta versão. Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos, Expoentes de Lyapunov, Ergódica, Probabilidade Invariante, Pontos Regulares, Fibrados.

9 Abstract In this paper, we study a version of the Multiplicative Ergodic Theorem of Oseledets for diffeomorphisms of class C on a compact Riemannian manifold of finite dimension which ensures the existence of Lyapunov exponents at almost every point with respect to a Borel probability measure invariant by diffeomorphism. In fact, we demonstrate the theorem in a more general version, namely in the context of linear cocycles. The theorem of Oseledets for diffeomorphisms will be established as a special case of this version. Keywords: Dynamical Systems, Lyapunov exponents, Ergodic, Invariant Probability, Regular Points, bundles.

10 Sumário Introdução xi Preinares. Tópicos em Teoria da Medida Espaços de medida Funções Mensuráveis Integração em Espaços de Medida Tópicos em Teoria Ergódica. 2. Medida Invariante e Teorema de Recorrência de Poincaré Teorema de Recorrência de Poincaré Teorema Ergódico de Birkhoff Ergodicidade Decomposição ergódica de medidas invariantes Teorema de Oseledets Expoentes de Lyapunov Pontos Regulares e Expoentes de Lyapunov Teorema de Oseledets Prova do Teorema 3.2 : Mensurabilidade Crescimento Subexponencial Prova do Teorema 3.2 : Probabilidade Total Prova do Lema Prova do Lema Referências Bibliográficas 64 x

11 Introdução Quando estudamos um sistema dinâmico, uma das questões mais frequentes é a sensibilidade do comportamento do sistema em relação as condições iniciais. Para medirmos o quão sensível é o sistema é necessário sabermos como se comporta a taxa com a qual dois pontos muito próximos, isto é, com condições iniciais muito próximas se distanciam mediante a evolução do sistema. Um método desenvolvido pelo matemático russo Alexander M. Lyapunov (857-98) mede o afastamento entre dois pontos iniciais considerando que a taxa de aumento da distância entre eles seja exponencial. A sensibilidade às condições iniciais de um sistema pode ser medida pelo número real denominado expoente de Lyapunov. É natural questionar o que ocorre em um sistema dinâmico quando o número de iterações sobre seus pontos tende a infinito. Neste caso, o expoente de Lyapunov é definido como um ite para cada ponto do espaço onde o sistema se desenvolve, e portanto também podemos questionar sobre a existência ou não do expoente de Lyapunov para cada ponto. Sob o ponto de vista probabilístico o teorema conhecido como Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets (devido a Valery Oseledets) garante a existência dos expoentes de Lyapunov para quase todo ponto de um sistema dinâmico sob certas condições. Em 965, Valery Oseledets era um estudante de pós-graduação sob a orientação de Y. Sinai. Do trabalho de Sinai tornou-se claro que a entropia positiva nos sistemas dinâmicos clássicos está relacionado a divergência exponencial de órbitas originadas em pontos próximos. Esta conexão se tornou o ponto de partida do interesse de Oseledets no problema de divergência exponencial. Em 965, durante o workshop sobre teoria ergódica em Khumsan, ele provou o Teorema Ergódico Multiplicativo. A ideia principal da prova é reduzir o caso geral para o caso de cociclos triangulares. Em 966, Oseledets deu uma palestra intitulada A lei forte dos grandes números para os processos de matrizes aleatórias no Congresso Internacional de Matemáticos, em Moscou. Um ano depois, ele defendeu sua tese doutorado, o terceiro capítulo desta tese foi chamado de A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems ( Teorema ergódico multiplicativo. Números de Lyapunov característicos de sistemas dinâmicos ). Finalmente, em 968, o artigo com o mesmo título, foi publicado. Ragunathan deu mais uma prova do Teorema Ergódico Multiplicativo explorando o Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman. Outras demonstrações alternativas e em vários contextos do Teorema Ergódico Multiplicativo foram sendo dadas desde então. xi

12 Neste trabalho apresentaremos uma versão do Teorema de Oseledets seguindo a demonstração dada por Marcelo Viana (referência [3]) que é um aperfeiçoamento da demonstração dada por Mañé ([0]). O intuito do Capítulo será estabelecer notações e dar definições e resultados importantes para o restante do texto. Iniciaremos com alguns conceitos da Teoria da Medida que aparecerão com frequência durante o texto. Alguns teoremas deste capítulo não serão demonstrados, pois os mesmos são teoremas clássicos e são facilmente encontrados nos textos sobre o assunto. No entanto, será dado a referência onde pode-se encontrar tais demonstrações. Logo após, no Capítulo 2, passaremos a dar definições importantes de Teoria Ergódica, tais como a definição de Medida Invariante e Ergodicidade. Ainda será apresentado alguns resultados importantes, como o Teorema de Recorrência de Poincaré e o Teorema Ergódico de Birkhoff. No Capítulo 3, iniciaremos com definições do expoente de Lyapunov mostrando sua relação com os iterados de pontos em condições muito próximas. Depois, passamos a definir pontos regulares, expoentes de Lyapunov e espaços próprios de um difeomorfismo de classe C em um ponto qualquer de uma variedade Riemanniana compacta de dimensão finita. Neste capítulo será apresentado o resultado principal da nossa dissertação que é o Teorema de Oseledets. A demonstração do Teorema de Oseledets vai seguir de um resultado mais geral cuja a demonstração será dada em etapas e as definições e resultados necessários para seu entendimento serão introduzidas ao longo do capítulo. xii

13 Capítulo Preinares Neste capítulo apresentaremos as definições e notações básicas ao entendimento do texto e também resultados que serão utilizados futuramente. Não será apresentado todas as demonstrações, mas indicaremos as referências onde podem ser encontradas.. Tópicos em Teoria da Medida.. Espaços de medida Definição.. Uma álgebra no conjunto é uma família Σ de subconjuntos de que satisfaz as seguintes propriedades: (i), Σ. (ii) Se A Σ, então A C := \A Σ. (iii) Se A, B Σ, então A B Σ. Desta definição, temos também que A, B Σ A B = (A C B C ) C Σ e A\B = A B C Σ. Definição.2. Dizemos que uma álgebra Σ no conjunto é uma σ álgebra de subconjuntos de, se A n Σ para todo n N A n Σ Definição.3. O par ordenado (, Σ), composto pelo conjunto e por sua σ álgebra é chamado de espaço mensurável. Os elementos da σ álgebra são ditos conjuntos mensuráveis. n=

14 . Preinares Vemos também que A n Σ, n N A n = ( A C n ) C Σ. n= Dada uma família F de subconjuntos de, dizemos que uma σ álgebra Σ(F) é a σ álgebra gerada por F, se F Σ(F) e para toda σ álgebra Ω de subconjuntos de tal que F Ω tivermos Σ(F) Ω. Notemos que a σ álgebra gerada por F é a menor σ álgebra em que contém F. Se é um espaço topológico a σ álgebra gerada pela família dos conjuntos abertos recebe o nome de σ álgebra de Borel de e a denotamos B(). Os elementos de B() são chamados de conjuntos de Borel ou borelianos de. Definição.4. Uma medida num espaço mensurável (, Σ) é uma função µ : Σ [0, + ] que satisfaz: (i) µ( ) = 0 (ii) se (A n ) n= é uma sequencia de conjuntos disjuntos dois a dois de Σ, então ( ) µ A n = n= n= µ(a n ). A medida µ é dita finita se µ() <, e dita σ finita se existirem conjuntos (A n ) n= em Σ tais que = n= A n e µ(a n ) < para todo n. Definição.5. A tripla (, Σ, µ) é chamada espaço de medida. Se µ() = dizemos que µ n= é uma medida de probabilidade(ou apenas, probabilidade). espaço de probabilidade. Neste caso, chamamos (, Σ, µ) de Se (, Σ, µ) é um espaço de medida, dizemos que um conjunto C tem medida 0 se existe A Σ tal que C A e µ(a) = 0. Uma propriedade aplicável a pontos de um conjunto S vale em quase todo ponto x S com relação a medida µ(abreviadamente µ q.t.p.) se o conjunto dos pontos de S onde não vale a propriedade é de medida zero. Proposição.. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida. Então:. Se A, B Σ e A B, então µ(a) µ(b). 2. Se A, B Σ e A B e µ(a) <, então µ(b A) = µ(b) µ(a). ( ) 3. Se A n Σ para todo n N e A A 2..., então µ A n = µ(a n). n= 2

15 . Preinares 4. Se A n Σ para todo n N e A A 2... e µ(a ) <, então µ ( n= ( ) 5. A n Σ para todo n N, então µ A n Demonstração. Ver as referências [2], [4]. n= A n ) = µ(a n). µ(a n ). n=..2 Funções Mensuráveis Definição.6. Dados dois espaços mensuráveis (, Σ) e (Y, Ω) dizemos que a aplicação T : Y é mensurável se T (A) Σ para todo A Ω. Se e Y são espaços topológicos dizemos que T : Y é mensurável se o é com respeito às σ álgebras de borelianos. Proposição.2. Sejam C uma família de subconjuntos de Y e Σ 2 = Σ(C) a σ álgebra gerada por C. Então f : (, Σ ) (Y, Σ 2 ) é mensurável se, e somente se f (A) Σ para cada A C. Demonstração. Uma das implicações é obvia. Então basta mostrar que se f (A) Σ para cada A C então f é mensurável. Mostremos inicialmente que o conjunto Q = {A Σ 2 : f (A) Σ } é uma σ álgebra em. De fato,pois. Q, pois f ( ) = Σ 2. Seja A Q. Notemos que f (Y \A) = \f (A) Σ. Ou seja, A C := Y \A Q. 3. Se A n Q para todo n, então f ( A n ) = f (A n ) Σ, ou seja, A n Q. n= n= n= Como C Q, segue que Σ 2 Q e, portanto f (B) Σ, B Σ 2, isto é, f é mensurável. Desta forma, se T : Y, onde e Y são espaços topológicos, é contínua, então T é mensurável. De fato, continuidade significa que a pré-imagem de qualquer aberto de Y é um aberto de e, portanto, está na σ álgebra de Borel de. Como os abertos de Y geram a σ álgebra de Borel de Y, segue que a pré-imagem de qualquer boreliano de Y também é um boreliano na σ álgebra de Borel de. Passaremos agora a apresentar definições e teoremas que relacionam convergência e mensurabilidade. Alguns dos resultados a seguir serão de utilidade no decorrer do texto. 3

16 . Preinares Definição.7. Se é um conjunto e Y um espaço topológico, dizemos que uma sequência de funções f n : Y converge pontualmente para uma função f : Y, se para todo x. f n(x) = f(x) Proposição.3. Se (, Σ) e (Y, B(Y )) são espaços mensuráveis, onde Y é um espaço métrico, e f n : Y, n é uma sequência de funções mensuráveis convergindo pontualmente para uma função f : Y, então fé mensurável. Demonstração. Observemos que pela Proposição.2, basta apenas mostrar que f (U) Σ para todo aberto U em Y. Definamos o conjunto F m := {y U : B(y, m ) U}, onde B(y, r) := {v : d(v, y) < r}. Então F m é fechado: Se y j F m, para todo j N, y j y, e d(v, y) <, então para j suficientemente grande temos d(v, y m j) <, assim v U. Agora, m f(x) U se e somente se f(x) F m para algum m, e então para n suficientemente grande temos que d(f n (x), f(x)) < 2m e isto implica que f n (x) F 2m para n suficientemente grande. Reciprocamente, se f n (x) F m para n suficientemente grande, então como F m é fechado temos f(x) F m U. Portanto, mostramos que f (U) = m k n k f n (F m ) e como fn (F m ) Σ, pois cada f n é mensurável, segue que f (U) Σ como queríamos mostrar. Proposição.4. Sejam (A, Σ) e (B, Ω) espaços mensuráveis e uma aplicação f : A B. Se existe uma cobertura enumerável (A n ) n de A por conjuntos mensuráveis, tal que f An : A n B é uma aplicação mensurável para cada n, então f : A B é uma aplicação mensurável. Demonstração. Seja Y Ω. Temos que (f An ) (Y ) Σ, n N, logo (f An ) (Y ) Σ. Agora, mostremos que f (Y ) = (f An ) (Y ). n= De fato, uma das inclusões é obvia, provemos então que f (Y ) (f An ) (Y ). Seja x n= n= 4

17 . Preinares f (Y ). Como A A n, segue que x A n0 para algum n 0 N, logo vemos que x n= (f An0 ) (Y ). Desta forma, concluímos que f (Y ) (f An0 ) (Y ) Donde segue o resultado. (f An ) (Y ). Definição.8. Sejam (, Σ, µ) um espaço de medida e Y um espaço topológico, dizemos que uma sequência f n : Y, n, converge em µ quase todo lugar (µ q.t.p x ) se existe M Σ com µ(m) = 0 tal que n= f n(x) = f(x), x \M. Teorema.. (Egorov) Seja (, Σ, µ)um espaço de probabilidade, f : R uma função, f n : R, n, uma sequência de funções mensuráveis tal que f n(x) = f(x) em µ q.t.p. x. Então a sequência f n converge quase uniformemente a f, isto é, para todo ɛ > 0 existe A Σ com µ(a) ɛ tal que a sequência f n A C converge uniformemente a f A C. Demonstração. Ver referências [2], [3] e [4]. Definição.9. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida. Dizemos que uma sequência de funções mensuráveis f n : R converge em medida à uma função f : R se para todo ɛ > 0: µ({x : f n(x) f(x) ɛ}) = 0. Dizemos também que f n é de Cauchy em medida se µ({x : f n(x) f m (x) ɛ}) = 0, ɛ > 0. n,m + Proposição.5. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida. Se uma sequência de funções mensuráveis f n : R converge em medida, então f n é de Cauchy em medida. Demonstração. Se f n converge em medida então para todo ɛ > 0, temos Notemos que para quaisquer n, m N temos µ({x : f n(x) f(x) ɛ}) = 0. n f n (x) f m (x) f n (x) f(x) + f(x) f m (x). 5

18 . Preinares Deste modo, {x : f n (x) f m (x) ɛ} {x : f n (x) f(x) ɛ 2 } {x : f m(x) f(x) ɛ 2 }. Logo, µ({x : f n (x) f m (x) ɛ}) µ({x : f n (x) f(x) ɛ 2 })+µ({x : f m(x) f(x) ɛ 2 }). Fazendo agora, n, m ir para o infinito, temos µ({x : f n(x) f m (x) ɛ}) 0 m,n donde µ({x : f n(x) f m (x) ɛ}) = 0 m,n Teorema.2. Se (, Σ, µ) é um espaço de medida e f n : R uma sequência de funções mensuráveis tal que f n converge em medida para uma função mensurável f : R, então existe uma subsequência f nk de f n que converge em µ q.t.p x para f. Demonstração. Pela Proposição anterior, temos que (f n ) é de Cauchy em medida. Assim, tomemos uma subsequência (f nk ) = (g k ) de (f n ) tal que para o conjunto E k = {x : g k+ (x) g k (x) 2 k } tenha-se µ(e k ) < 2 k. Seja F k = E j, onde vemos que F k Σ e j=k µ(f k ) µ(e j ) < j=k 2 j = 2 (k ). j=k Se i j k e x / F k, então g i (x) g j (x) g i (x) g i (x) g j+ (x) g j (x) 2 i j = 2 j 2 i < 2 j. Agora, considere F = k= F k. Assim, F Σ e µ(f ) = k µ(f k ) = 0. Podemos concluir então 6

19 . Preinares que (g k ) é uma sequência de Cauchy que converge em \F. Se definirmos uma função f por { gk (x), x / F f(x) = 0 x F Temos que (g k ) converge em µ q.t.p. para a função mensurável f...3 Integração em Espaços de Medida. Definição.0. Seja B. Uma função B : R dada por { B (x) = se x B B (x) = B (x) = 0 se x / B é chamada função característica de B. Definição.. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida. Dizemos que uma função ϕ : R é simples se existem a, a 2,..., a k R e conjuntos mensuráveis A,..., A k Σ disjuntos dois-a-dois tais que k ϕ = a i Ai i= k Existe uma única representação ϕ = a i Ai tal que a, a 2,..., a k são números reais não nulos e distintos e = i= k A i, neste caso dizemos que é a representação padrão de ϕ. i= Denotemos por M(, Σ) como o conjunto das funções mensuráveis f : (, Σ) R e por M + (, Σ) o conjunto das funções mensuráveis não negativas. Proposição.6. Seja [, ] uma função mensurável. Então existe uma sequência (ϕ n ) de funções simples tal que ϕ n (x) f(x) para todo n e ϕ n(x) = f(x) para todo x. n Se f é itada então a sequência pode ser tomada de modo que a convergência seja uniforme. Se f M + (, Σ) então podemos escolher 0 ϕ ϕ 2... f. Demonstração. Ver as referências [2], [4] e [5]. 7

20 . Preinares Definição.2. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida.. A integral da função simples ϕ M + (, Σ), cuja a representação padrão é ϕ = em relação à medida µ é definida por k a i Ai, i= ϕdµ = k a i µ(a i ). i= 2. A integral da função f M + (, Σ) em relação à medida µ é definida por { } fdµ = sup ϕdµ : ϕ M + (, Σ) é simples e 0 ϕ f. 3. Para f M + (, Σ) e A Σ, define-se A fdµ = Proposição.7. Sejam f, g M + (, Σ) e A, B Σ.. Se f g, então fdµ gdµ. 2. Se A B, então 3. A fdµ B fdµ. fdµ = 0 se, e somente se, f = 0 µ q.t.p. Demonstração. Ver referências [2] e [4]. f A dµ. Dada uma função f : R defina as funções f +, f : [0, + ) como f + (x) = max{0, f(x)} e f (x) = max{0, f(x)}. Notemos que f = f + f e que f +, f são não negativas. Observemos ainda que f M(, Σ) f +, f M + (, Σ). Definição.3. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida. Dizemos que uma função f M(, Σ) é integrável (ou µ integrável quando existir a necessidade de especificar sob qual medida estamos considerando) se f + dµ < + e f dµ < +. 8

21 . Preinares Neste caso definimos fdµ = f + dµ f dµ. Proposição.8. Sejam f, g M(, Σ) integráveis e c R. Então cf e f + g são integráveis e cfdµ = c fdµ e Demonstração. Ver referências [2] e [4]. (f + g)dµ = fdµ + Proposição.9. Uma função f M(, Σ) é integrável se, e somente se, f é integrável. Neste caso temos Demonstração. Ver referências [2] e [4]. fdµ f dµ. Definição.4. Seja (, Σ, µ) um espaço de medida. Uma função f : C é dita integrável se as funções f, f 2 : R são integráveis, onde gdµ. f (x) = Re(f(x)) e f 2 (x) = Im(f(x)). Neste caso definimos fdµ = f dµ + i f 2 dµ. O conjunto de todas as funções integráveis f : K é denotada por L K (, Σ, µ). Seja p. Denota-se L p (, Σ, µ) o conjunto das funções f : R tais que f p é integrável. Passemos agora a enunciar alguns dos mais importantes teoremas em Teoria da Medida relacionados a convergência e integral. Teorema.3. (Convergência monótona) Seja f n : R, n, uma sequência de funções integráveis tal que para µ q.t.p x a sequência {f n (x)} n é monótona crescente e Então a função f(x) = sup f n dµ < +. n f n(x) é integrável e Demonstração. Ver referências [2] e [4]. f n dµ = fdµ Teorema.4. (Fatou) Seja f n : R uma sequência de funções positivas e integráveis tal que inf f n dµ < + 9

22 . Preinares e convergindo em µ q.t.p para f : R. Então f é integrável e Demonstração. Ver referências [2] e [4]. inf f n dµ fdµ Teorema.5. (Teorema da Convergência Dominada) Seja (f n ) n uma sequência de funções em L K (, Σ, µ) que converge µ q.t.p. para uma função f : K. Se existe g L K (, Σ, µ) tal que f n g para todo n, então f L K (, Σ, µ) e Demonstração. Ver referências [2] e [4]. f n dµ = fdµ. Definição.5. Seja um conjunto e Σ uma σ álgebra de subconjuntos de. Se µ : [0, + ) e ν : [0, + ) são medidas, dizemos que µ é absolutamente contínua com respeito a ν, denotamos µ ν, se A Σ e ν(a) = 0 implica µ(a) = 0. Teorema.6. (Radon-Nikodym) Seja (, Σ, µ) um espaço de medida e ν : Σ [0 : + ) uma medida satisfazendo µ ν. Se (, Σ, µ) é σ finito (isto é,se existe uma cobertura enumerável de por conjuntos em Σ de medida µ finita), então existe uma função ν integrável f : R + tal que para todo A Σ: µ(a) = Mais ainda, uma função g : C é µ integrável se, e somente se, fg é ν integrável e gdµ = A fdν fgdν. A função f é única em ν q.t.p e é chamada de derivada de Radon-Nikodym de µ com respeito a µ e a denotamos por dµ dν. Demonstração. Ver referências [2] e [4]. 0

23 Capítulo 2 Tópicos em Teoria Ergódica. 2. Medida Invariante e Teorema de Recorrência de Poincaré A matéria de estudo da Teoria Ergódica são sistemas dinâmicos que possuem medidas invariantes sob a ação da dinâmica. Entederemos por sistemas dinâmicos de tempo discreto transformações do tipo f : M M, sendo M é um espaço qualquer, onde consideramos o comportamento do conjunto {f n (x) M : x M}, denominado órbita de x por f. Consideraremos também sistemas dinâmicos com tempo contínuo, neste caso estaremos lidando com fluxos, isto é, com uma família de transformações f t : M M, t R satisfazendo f 0 = id e f t f s = f t+s para todo s, t R. Notemos que na definição de fluxo temos que f t é invertível e sua inversa é f t. O sistema dinâmico é dito mensurável quando o espaço M está munido de uma σ álgebra Σ de subconjuntos mensuráveis e f (A) Σ, A Σ, (ou f t (A) Σ, A Σ e t R ). Definição 2.. Sejam (M, Σ, µ) um espaço de medida e f : M M uma transformação mensurável. Dizemos que a medida µ é invariante por f, ou que f preserva µ, se µ(b) = µ(f (B)) para todo subconjunto mensurável B M. Dizemos que uma medida µ é invariante pelo fluxo (f t ) t se ela é invariante para cada transformação f t, isto é, se µ(b) = µ(f t (B)) para todo subconjunto B M e t R. Notemos que a definição dada de medida invariante foi dada para uma transformação mensurável f : M M. Na verdade, a definição 2. acima é um caso particular da seguinte definição: Definição 2.2. Sejam (, Σ, µ) e (Y, Ω, ν) espaços de medida. Dizemos que uma transformação T : Y preserva medida se é mensurável e µ(t (A)) = ν(a), A Ω.

24 2. Tópicos em Teoria Ergódica. O próximo resultado caracteriza quando uma medida µ é invariante por um transformação f em um espaço M. Proposição 2.. Seja f : M M uma transformação mensurável e µ uma medida em M. Então f preserva a medida µ se, e somente se, para cada função µ integrável ψ : M R vale : ψdµ = ψ fdµ. (2.) Demonstração. Suponhamos primeiramente que f preserva a medida µ. Se ψ é uma função característica, digamos de um conjunto B M mensurável, então ψ(x) = B (x) onde µ(b) = B dµ e µ(f (B)) = f (B) = B fdµ. Como µ é invariante por suposição, segue B dµ = B fdµ. Dessa forma, fica provado que ψdµ = ψ f dµ quando ψ é uma função característica. Logo, por linearidade da integral, segue que 2. também vale para funções simples. Agora, considere uma função µ integrável ψ : M R qualquer. Seja (ϕ n ) n uma sequência de funções simples convergindo para ψ com ϕ n ψ, n. A existência da sequência (ϕ n ) é garantida pela Proposição.6. Agora, usando o teorema da convergência dominada (Teorema.5), temos Notemos que ϕ n dµ = ψdµ = n ϕ n dµ e ψ fdµ = n ϕ n fdµ, pois ϕ n é simples, então segue que ϕ n fdµ. ψdµ = ψ fdµ. A reciproca é imediata, dado um conjunto mensurável B e tomando ψ = B, então ψdµ = ψ fdµ µ(b) = µ(f (B)). O resultado a seguir garante a existência de medidas invariantes sob certas condições. demonstração de tal fato encontra-se nas referências [3], [0] e [2]. A Teorema 2.. Seja T : uma transformação contínua num espaço métrico compacto. Então existe pelo menos uma probabilidade invariante por T. 2

25 2. Tópicos em Teoria Ergódica. 2.. Teorema de Recorrência de Poincaré Apresentamos agora um importante teorema de recorrência, devido a Poincaré, que na sua versão probabilística afirma que para medidas invariantes finitas por uma transformação mensurável f : M M em algum espaço M, quase todo ponto x de um conjunto mensurável E com medida positiva retorna infinita vezes ao conjunto por f. Teorema 2.2. (Recorrência de Poincaré) Seja f : M M uma transformação mensurável e seja µ uma medida finita invariante por f. Seja E M qualquer conjunto mensurável tal que µ(e) > 0. Então, para µ quase todo ponto x E tem-se que f n (x) E para um número infinito de índices n. Prova: Denotemos por E 0 = {x E : f n (x) / E, n N}, isto é, E 0 é o subconjunto de E dos pontos que nunca regressam a E por f. Vamos mostrar primeiramente que E 0 tem medida nula. Afirmamos que f n (E 0 ) f m (E 0 ) =, m > n. De fato, suponha que exista um elemento x f n (E 0 ) f m (E 0 ) e seja y = f n (x). Desta forma temos que y E 0 e que f m n (y) = f m (f n (y)) = f m (x) E 0 E, ou seja, y retorna a E pelo menos uma vez mais, o que contradiz a definição de E 0. Portanto, da nossa afirmação e da invariância de µ, concluímos que ( ) µ f n (E 0 ) = µ(f n (E 0 )) = µ(e 0 ) n= n= n= Como supomos µ finita temos que o lado esquerdo da igualdade acima é finito e como o lado direito é uma soma de infinitas parcelas iguais, só nos resta que µ(e 0 ) = 0. Assim, quase todo ponto x retorna a E pelo menos uma vez. Considere agora o conjunto F dos pontos de E que retornam por f a E apenas um número finito de vezes. Afirmamos que F f n (E 0 ). n=0 De fato, seja x F, logo existe k N tal que f k (x) E e f j (x) / E para todo j > k, isto é, f k (x) E 0 e assim x f k (E 0 ) f n (E 0 ). Como µ(e 0 ) = 0 e µ é invariante por f, temos n=0 µ(f ) µ( f n (E 0 )) n=0 µ(f n (E 0 )) = µ(e 0 ) = 0. k=0 n=0 Portanto, µ(f ) = 0 e isto conclui a demonstração do teorema. Na sua versão topológica o Teorema de recorrência de Poincaré considera M um espaço topológico munido da σ álgebra de Borel. Dizemos que um ponto x M é recorrente se para toda vizinhança U de x existe algum iterado f n (x) em U. Consideraremos ainda que M admite uma base enumerável de abertos, isto é, uma família enumerável de conjuntos abertos {U α : α N} 3

26 2. Tópicos em Teoria Ergódica. tal que todo aberto de M pode ser escrito como união de elementos U α dessa família, Teorema 2.3. (Recorrência de Poincaré-Versão Topológica) Suponhamos que M admite uma base enumerável de abertos. Seja f : M M uma transformação mensurável e µ uma medida invariante finita. Então, µ quase todo ponto x M é recorrente para f. Demonstração. Para cada α representamos por Uα 0 o conjunto dos pontos x U α que nunca regressam a U α. De acordo com o Teorema 2.2, Uα 0 tem medida nula para cada α. Logo, a união enumerável Ũ = Uα 0 α N tem medida nula. Desta forma, para demonstrar o teorema teremos que mostrar apenas que se x / Ũ, então x é recorrente. Seja x M\Ũ e seja U uma vizinhança qualquer de x. Como M admite uma base de abertos, segue que U pode ser escrito como união de elementos U α dessa base. Logo, existe k N tal que x U k com U k U. Sendo assim, como x / Ũ, também x / U 0 k e, com isso x tem algum iterado f n (x), n que está em U k. Em particular f n (x) U e como supomos U uma vizinhança qualquer de x, segue que x é um ponto recorrente. 2.2 Teorema Ergódico de Birkhoff Trataremos agora de um resultado de grande importância na Teoria Ergódica demonstrado primeiramente por George David Birkhoff em 93. A demonstração que apresentamos segue da referência [4], veja também [8]. Teorema 2.4. (Teorema Ergódico de Birkhoff) Seja (, Σ, µ) um espaço de probabilidade e T : uma transformação que preserva a medida µ. Então, dada qualquer função integrável f : R, o ite n f(x) = f(t j (x)) (2.2) n n existe para µ quase todo ponto x. Além disso, f é uma função integrável com fdµ = j=0 fdµ e f T = f. 4

27 2. Tópicos em Teoria Ergódica. Demonstração. Comecemos a prova mostrando que f T = f. De fato, esta igualdade segue de f(t (x)) = n n = n = n n f(t j (T (x))) j=0 ( n ) n f(t j (x)) n f(x) j=0 ( n + n = n n + ) n + n j=0 n j=0 f(t j (x)) = f(x). f(t j (x)) n n f(x) Agora iremos provar a existência (em µ q.t.p) do Limite 2.2. Como toda função pode ser escrita como diferença de duas funções não negativas, isto é, f = max{f, 0} max{ f, 0} podemos sem restrição, supor f 0. Sejam as funções f(x) = sup n Se conseguirmos mostrar que n n j=0 f(t j (x)) e f(x) = inf n fdµ fdµ n n j=0 f(t j (x)). fdµ, (2.3) então segue que (f f)dµ 0 e, como (f f) 0, temos f = f em µ q.t.p, que é exatamente o que precisamos concluir. Vamos inicialmente provar a primeira desigualdade em 2.3. Para isto, consideremos f K = min{f, K}, onde K N é um inteiro fixado (grande). Também fixamos ɛ > 0 (pequeno) e para cada x definimos { } t(x) = min n : n f(t j (x)) f n K (x) ɛ. (2.4) j=0 Notemos que t(x) sempre existe pela definição de sup e porque f f K. Notemos ainda que 2.4 implica t(x) j=0 f(t j (x)) t(x)(f K (x) ɛ). (2.5) 5

28 2. Tópicos em Teoria Ergódica. Escolhemos M N grande de modo que o conjunto E = {x : t(x) > M} tenha µ(e) (ɛ/k). Notemos que isso é sempre possível, uma vez que a família de conjuntos E n = {x M : t(x) = n} forma uma partição do espaço e desta forma tem-se que µ(e n ) = µ() =, logo µ(e) = n>m µ(e n) (ɛ/k) desde que M seja suficientemente grande. Agora para cada x e n definamos sequências x i (de iterados de x ) e t i (de inteiros positivos), da seguinte forma:. Tomamos x = x Suponhamos que x i já foi definido. Para a definição de t i e de x i+ temos duas possibilidades: (a) Se t(x i ) M então tomamos t i = t(x i ) e x i+ = T t i (x i ). (b) Se t(x i ) > M então tomamos t i = e x i+ = T (x i ). 3. Terminamos quando encontramos x s tal que t 0 + t t s + t s n. Do fato que cada t i M e t 0 + t t s + t s n, segue que n= t 0 + t t s n M. (2.6) No caso (a) acima, usando 2.5 obtemos t i t i (f + K E )(T j (x i )) f(t j (x i )) t i (f K (x i ) ɛ) = t i (f K (x) ɛ), (2.7) j=0 j=0 onde a ultima igualdade segue de que f K (T (y)) = f k (y) (a prova disto é análoga a de f(t (x)) = f(x)). Por outro lado, no caso (b) temos t i (f + K E )(T j (x i )) = f(x i ) + K K t i (f K (x) ɛ). (2.8) j=0 Então, usando 2.7, 2.8, e 2.6, e escrevendo τ = t t s, para simplificar a notação),temos n s t i n (f + K E )(T j (x)) = ( (f + K E )(T j (x))) + (f + K E )(T j (x)) j=0 i=0 j=0 s j=τ ( t i )(f K (x) ɛ) + 0 (n M)(f K (x) ɛ). i=0 (2.9) 6

29 2. Tópicos em Teoria Ergódica. Observando que (f + K E ) T j dµ = (f + K E )dµ para todo j, pois µ é T invariante, e integrando o primeiro e o ultimo membro da desigualdade 2.9 acima, temos ( n ) ( fdµ + Kµ(E) (n M) ) f K dµ ɛ. Dividindo ambos os membros por n e fazendo n, vemos que fdµ + Kµ(E) f K dµ ɛ = fdµ f K dµ ɛ ɛ para todo ɛ > 0 e portanto fdµ f K dµ. Agora, observemos que f K é uma sequência crescente (em K) que converge monotonamente para f. Assim usando o Teorema.3, obtemos fdµ fdµ. A segunda desigualdade em 2.3 é provada basicamente da mesma forma, apenas com algumas diferenças com relação ao caso anterior. Vamos indicar tais diferenças. Consideremos { } t(x) = min n : n f(t j (x)) f(x) + ɛ. (2.0) n j=0 e definamos x i, t i de mesmo modo que antes. Tomemos o conjunto E da mesma forma que antes, mas com M fixado de tal forma que E fdµ ɛ. (2.) Aplicando a (f f E ) o mesmo tipo de cálculo que usamos em 2.7, 2.8, 2.9 para a função (f + K E ), obtemos n s t i n (f f E )(T j (x)) = ( (f f E )(T j (x))) + (f f E )(T j (x)) j=0 i=0 i=0 j=0 j=τ s n ( t i )(f(x) + ɛ) + f(t j (x)) j=τ n n(f(x) + ɛ) + f(t j (x)). Observemos que, por 2.6, n τ M, e integrando o primeiro e ultimo membro da desigualdade j=τ 7

30 2. Tópicos em Teoria Ergódica. acima, temos ( n fdµ E ) ( fdµ n ) fdµ + ɛ + M Dividindo ambos os lados por n, fazendo n e usando 2., temos fdµ fdµ + ɛ + ɛ para todo ɛ > 0 fdµ. e portanto fdµ fdµ. Isto conclui a prova de 2.3. Dos argumentos apresentados segue também que fdµ = Teorema está completa. fdµ. Desta forma a prova do Definição 2.3. O ite f(x) n = f(t j (x)) dado pelo Teorema Ergódico de Birkhoff é n n chamado de média temporal de f. j=0 Considerando ainda uma transformação mensurável f :, dado um conjunto E mensurável com medida positiva e x, definamos a fração τ n (x, E) = n #{j {0,,..., n } : f j (x) E}. Notemos que τ n (x, E) = n E (f j (x)) n j=0 Definição 2.4. Chamamos tempo médio de visita da órbita de x a E o ite τ(x, E) = n τ n (x, E). Como o tempo médio de visita é definido como um ite é natural perguntar se tal ite existe ou não. Vemos que esse ite existe para µ quase todo ponto x para toda medida µ de probabilidade, pois basta aplicar o Teorema Ergódico de Birkhoff para a função mensurável E e além disso temos ainda que τ(x, E)dµ = E dµ = µ(e) e τ(x, E) = τ(f(x), E). 8

31 2. Tópicos em Teoria Ergódica. 2.3 Ergodicidade Definição 2.5. Sejam (, Σ, µ) um espaço de medida e uma transformação T : que preserva medida. Um conjunto A mensurável é dito T invariante se T (A) = A. Uma função mensurável ψ : R é dita T invariante se ψ T = ψ em µ q.t.p. Proposição 2.2. Seja (M, Σ, µ) uma espaço de probabilidade onde µ é invariante por uma transformação f : M M. As seguintes condições são equivalentes: n. Para toda função integrável ψ : M R tem-se ψ(f j (x)) = n n quase todo ponto. j=0 ψdµ, para µ 2. Para todo subconjunto mensurável E M tem-se τ(x, E) = µ(e), para µ quse todo ponto. 3. Para todo subconjunto mensurável f invariante E tem-se µ(e) = 0 ou µ(e) =. 4. Toda função integrável f invariante ψ : M R é constante em µ quase todo ponto. Demonstração. ( 2) De fato, temos n τ(x, E) = E (f j (x)) = n n j=0 E dµ = µ(e) em µ quase todo ponto. (2 3) Seja E M um conjunto mensurável f invariante. Temos, por (2), que n µ(e) = τ(x, E) = E (f j (x)). n n Como E é f invariante, segue que x E se, e somente se, f(x) E. Logo E (f j (x)) = E (x), para todo j. Desta forma, se x / E, então µ(e) = 0 e se x E então µ(e) =. (3 4) Seja uma função integrável f invariante ψ : M R. Considere o conjunto j=0 B α = {x M : ψ(x) α} com α R. Notemos que f (B α ) = {x M : f(x) B α } = {x M : ψ(f(x)) α} = {x M : ψ(x) α} = B α. Isto é, B α é f invariante. Logo µ(b α ) = 0 ou µ(b α ) =, para todo α R. Observemos ainda que a função g : R {0, } definida por g(α) = µ(b α ) é não-decrescente, ou seja, dados α, α 2 R com α α 2, então g(α ) = µ(b α ) µ(b α2 ) = g(α 2 ). Assim, existe α R tal que µ(b α ) = 0 9

32 2. Tópicos em Teoria Ergódica. para todo α < α e µ(b α ) = para todo α α. Donde concluímos que ψ(x) = α para µ quase todo ponto. (4 ) Seja ψ : M R uma função integrável. Pelo Teorema 2.4 temos que em µ q.t.p. existe a função n ψ(x) = ψ(f j (x)) n n onde ψdµ = ψdµ e ψ f = ψ em µ quase todo ponto. Donde vemos que ψ é f invariante e portanto ψ(x) = A com A R. Observamos também que ψdµ = A, isto é, ψdµ = ψ(x). Assim, temos em µ quase todo ponto. j=0 j=0 n ψ(f j (x)) = n n ψ(x) = ψdµ = Definição 2.6. Uma transformação f : M M diz-se ergódica para uma probabilidade invariante µ se uma das condições dadas na Proposição 2.2 (e portanto todas) é satisfeita. (Também dizemos que a medida µ é ergódica para f, ou que o sistema (f, µ) é ergódico) Lema 2.. Seja uma transformação f : M M qualquer. Se µ e ν são probabilidades invariantes ψdµ tais que µ é ergódica e ν é absolutamente contínua com relação a µ então µ = ν. Prova: Seja ψ : M R uma função mensurável itada qualquer, e consideremos n ψ(x) = ψ(f j (x)) n n a sua média temporal. Como µ é invariante e ergódica, segue que a média temporal é constante ψ(x) = j=0 ψdµ para µ q.t.p. Temos que isto vale também para ν q.t.p., pois ν << µ. Assim, concluímos que ψ(x)dν = ψ(x)dµ. Por outro lado, pelo teorema ergódico de Birkhoff 2.4, temos ψ(x)dν = ψ(x)dν. Ou seja, temos ψ(x)dν = funções características, ν = µ. ψ(x)dµ para qualquer que seja a função itada ψ. Logo, tomando 20

33 2. Tópicos em Teoria Ergódica. Observe que se µ e µ 2 são probabilidades invariantes por uma transformação f : M M, então µ = ( t)µ + tµ 2 com t (0, ) é também uma probabilidade invariante. De forma que o conjunto de todas as probabilidades invariantes é convexo. Definição 2.7. Seja um conjunto convexo. Um ponto p é dito extremal, se para quaisquer x, y e t [0, ], x + t(y x) = p implica que t = 0 ou t =. Proposição 2.3. Uma probabilidade invariante µ é ergódica se, e somente se não é possível escrevê-la na forma µ = ( t)µ + tµ 2 com t (0, ) e µ, µ 2 probabilidades invariantes distintas. Demonstração. Primeiro provemos a parte se. Suponha que µ não é ergódica. Então pela Proposição 2.2, temos que existe um conjunto invariante A com 0 < µ(a) <. defina µ e µ 2 como sendo µ (E) = µ(e A) µ(a) e µ 2 (E) = µ(e AC ). µ(a C ) Como A e A C são conjuntos invariantes e µ é invariante, µ e µ 2 são também medidas probabilidades invariantes. Onde vemos que µ = µ(a)µ + µ(a C )µ 2 e assim, µ não é extremal. Agora, mostremos a recíproca. Suponha µ ergódica e que temos µ = ( t)µ + tµ 2 com t (0, ). Notemos que se µ(e) = 0 então devemos ter µ (E) = 0 e µ 2 (E) = 0, donde µ e µ 2 são absolutamente contínuas com respeito a µ. Logo, pelo Lema 2., temos µ = µ = µ 2. Portanto µ é extremal. A proposição acima afirma que medidas ergódicas são elementos extremais no conjunto de todas as probabilidades invariantes por f : M M Decomposição ergódica de medidas invariantes Nesta subseção não apresentaremos todos os detalhes, para maiores informações e demonstrações consultar [0, Cap.II, 6 ]. Definição 2.8. Seja um espaço topológico e seja µ uma medida na σ álgebra de Borel de. O suporte supp(µ) da medida µ é o conjunto formado pelos pontos x tais que µ(v ) > 0 para qualquer vizinhança V de x. Seja um espaço métrico compacto. Denotemos por C 0 () o espaço de todas as funções contínuas de em R provido da norma f = sup{ f(x) : x }. Teorema 2.5. (Riesz) Seja um espaço métrico compacto. Seja ϕ : C 0 () R um funcional linear positivo itado, isto é, uma aplicação linear tal que ϕ(f) 0 para todo f C 0 () com f(x) 0 para todo x e ϕ() = (onde C 0 () é a função identicamente ). Então existe uma única medida de probabilidade boreliana finita µ em tal que fdµ = ϕ(f) 2

34 2. Tópicos em Teoria Ergódica. para todo f C 0 (). A partir de agora consideraremos, salvo menção contrária, que é um espaço métrico compacto e T : uma transformação mensurável. Denotemos por M T () o conjunto das probabilidades T invariantes sobre os borelianos de. Observemos que pelo Teorema 2., se T é contínua então M T (). Quando M T () convém perguntar se existem elementos ergódicos neste conjunto. A resposta é afirmativa pelo resultado que iremos apresentar. Definamos n Σ 0 (T ) = {x : f(t j (x)), f C 0 ()}. n n Para cada x Σ 0 (T ), o funcional linear L x : C 0 () R dado por j=0 n L x (f) = f(t j (x)) n n é positivo e L x () =. Logo pelo Teorema 2.5 existe uma única probabilidade µ x sobre os borelianos de tal que j=0 fdµ x = L x (f). Em seguida definamos Σ (T ) = {x Σ 0 (T ) : µ x é T invariante }. Notemos que se T é contínua então Σ 0 (T ) = Σ (T ), pois para toda f C 0 () temos: (f T )dµ x = L x (f T ) = L x (f) = fdµ x. Finalmente definamos Σ 2 (T ) = {x Σ (T ) : µ x é ergódica} e Σ(T ) = {x Σ 2 (T ) : x supp(µ x )}. Pode-se mostrar Σ 0 (T ), Σ (T ), Σ 2 (T ) e Σ(T ) são borelianos. Definição 2.9. Um conjunto mensurável A tem probabilidade total se µ(a) = para toda µ M T (). O próximo resultado garante a existência de elementos ergódicos em M T () desde que o mesmo seja não-vazio. Teorema 2.6. Se M T (), então Σ(T ) é um conjunto de probabilidade total. 22

35 2. Tópicos em Teoria Ergódica. Lema 2.2. Se f : Σ 0 (T ) R é mensurável e itada, a igualdade: fdµ x = f(x) n = f(t j (x)) n n vale para um conjunto de probabilidade total de valores x. O teorema seguinte mostra que uma medida invariante pode ser decomposta em medidas ergódicas. Teorema 2.7. Seja T : uma transformação mensurável e µ M T (). Então toda função f µ integrável é µ x integrável para µ q.t.p. com x Σ(T ) e ( ) fdµ x dµ = j=0 fdµ. Prova: Quando f : R é mensurável e itada, pelo Lema 2.2: fdµ x = f(x) para µ q.t.p. x. Então ( ) fdµ x dµ = fdµ = fdµ. Quando f L(µ) podemos supor,sem perda de generalidade, que f é positiva. Logo, existe uma sequência monótona crescente de funções f n : R mensuráveis itadas que converge em todo ponto a f. Assim, fdµ x = f n dµ x = f n (x) para µ q.t.p. x. Como a sequência f n é monótona crescente, pois f n é monótona crescente, e como f n dµ = f n dµ podemos aplicar o Teorema da Convergência Monótona e obtemos ( fdµ x ) dµ(x) = ( ) f n dµ = = f n dµ = fdµ. f n dµ 23

36 2. Tópicos em Teoria Ergódica. Observação. Observemos que se f = A, onde A é um conjunto mensurável, no Teorema 2.7 acima, então µ x (A)dµ = µ(a). O corolário seguinte segue do Teorema 2.7 e da Observação e será de grande utilidade no nosso trabalho. Corolário 2.. Um conjunto A é de probabilidade total se µ(a) = para toda probabilidade µ M T () ergódica. 24

37 Capítulo 3 Teorema de Oseledets 3. Expoentes de Lyapunov De maneira informal vamos introduzir inicialmente a definição dos expoentes de Lyapunov em uma dimensão para uma aplicação diferenciável f : R R. Consideremos x R e seja x R pequeno de modo que x e x + x estejam bem próximos (condições iniciais próximas). Vamos observar o comportamento dos iterados destes dois pontos com relação a distância entre eles depois de n iterações. Ou seja, vamos descrever o que ocorre com valor f n (x + x) f n (x). Notemos que para x suficientemente pequeno temos f n (x + x) f n (x) x (f n ) (x) Ou seja, f n (x + x) f n (x) (f n ) (x) x tomemos agora a raiz n ésima em ambos lados da aproximação acima, logo ( f n (x + x) f n (x) ) n (f n ) (x) n x n. Aplicando a Regra da Cadeia vemos que n (f n ) (x) = f (f j (x)) j=

38 3. Teorema de Oseledets e assim, n f n (x + x) f n (x) n f (f j (x)) n x n. Aplicando agora o logaritmo e depois fazendo n ir para o infinito, temos ( n ) n n log f n (x + x) f n (x) log f (f j (x)). n n ( n ) Se o ite do lado direito existe, definimos λ(x) = log f (f j (x)) como o expoente n n de Lyapunov em x. Observemos que para n suficientemente grande, temos j= j= j= f n (x + x) f n (x) e nλ(x) onde observamos que dependendo do sinal de λ(x) os iterados de x e x + x se aproximam ou se afastam. Desta forma, considerando a existência de λ(x) podemos caracterizar o que ocorre com as órbitas de pontos sob condições iniciais muito próximas. Notemos ainda que se a função log f for integrável com relação a uma medida µ finita definida sobre os Borelianos de R e f for uma função que preserva µ, então pelo Teorema de Birkhoff 2.4 temos que λ(x) existe em µ q.t.p. No caso de R m, podemos introduzir também de maneira informal a definição de expoente de Lyapunov em um ponto x na direção de um vetor v unitário. Sejam f : U U um difeomorfismo sobre um aberto U R m, v R m tal que v = uma direção qualquer. Consideremos os pontos x U e x + t v com t 0 em R, suficientemente pequeno ( condições iniciais próximas). Da mesma forma que antes vamos tentar analisar o comportamento dos iterados desses pontos, isto é, vamos tentar analisar o comportamento do valor f n (x + t v) f n (x) com n. Observemos que f n (x + t v) f n (x) D x (f n ) v t onde D x (f n ) v é a derivada direcional de f n na direção de v. Tomemos a raiz n ésima, assim f n (x + t v) f n (x) n Dx (f n ) v n t n. (3.) Observemos que pela Regra da Cadeia, temos D x (f n ) v = D f n (x)f D f n 2 (x)f... D x f v 26

39 3. Teorema de Oseledets no entanto, essa igualdade não pode ser decomposta num produtório como no caso unidimensional. Desta forma tomando o logaritmo em 3., temos n log f n (x + t v) f n (x) n log D x(f n ) v + log t. n Agora façamos n tender para infinito, logo n n log f n (x + t v) f n (x) n n log D x(f n ) v. Então, desde que o ite no lado direito exista, parece natural definir o expoente de Lyapunov em um ponto x na direção de v como λ v (x) := n n log D x(f n ) v A existência no caso m dimensional dos expoentes de Lyapunov sob certas condições é dada pelo Teorema de Oseledets. Na próxima seção apresentaremos uma versão da definição de expoentes de Lyapunov onde estaremos lidando com variedades Riemannianas compactas de dimensão finita e f será um difeomorfismo de classe C. Além de provar a existência em µ q.t.p. dos expoentes de Lyapunov, o Teorema de Oseledets vai também garantir a existência de subespaços com certas propriedades associados aos expoentes. 3.2 Pontos Regulares e Expoentes de Lyapunov Definição 3.. Seja f : M M um difeomorfismo de classe C sobre uma variedade Riemanniana compacta M de dimensão finita. Dizemos que x M é um ponto regular para f se existem números reais λ (x) > λ 2 (x) >... > λ l (x) e uma decomposição T x M = E (x)... E l (x) do espaço tangente de M em x, tais que n ± n log Df n (x)u = λ j (x) para todo u E j (x)\{0} e j l. Observe que {λ, λ 2,..., λ l } deve coincidir com e devemos ter também {λ R : λ = n ± n log Df n (x)u para algum u T x M\{0}} E j (x) = {u T x M : n ± n log Df n (x)u λ j quando n ± } 27

40 3. Teorema de Oseledets Proposição 3.. Quando existem, os reais λ (x), λ 2 (x),..., λ l (x) e os subespaços E (x),..., E l (x) são unicamente determinados. Prova: Para provar esta proposição vamos utilizar o seguinte resultado: Lema 3.. Sejam k, n N e x n, x 2 n,..., x k n sequências em um espaço vetorial normado qualquer com x i n 0, i =,..., k e n log x n = λ >... > n log xk n = λ k. Então temos k que n log x i n = λ. i= Demonstração. Notemos que mostrar a igualdade k n log i= x i n = λ = equivale a mostrar que para a sequencia definida por n log x n ω n = k n log x i n n log x n = n log i= k x i n tem-se que ω n = 0. Sendo assim, passaremos a demonstrar isso. Como n log xi n = λ i, para cada i =,..., k, segue que dado ɛ > 0 existe N i N tal que n > N i nɛ < log x i n nλ i < nɛ Tomemos N = max{n i ; i =,..., k}, assim Temos que λ λ i i= x n exp( nɛ) < x i n exp( nλ i ) < exp(nɛ) exp(n[λ i ɛ]) < x i n < exp(n[λ i + ɛ]). n > N x n < exp( n[λ ɛ]) e x i n < exp(n[λ i + ɛ]), i = 2,..., k xi n x n < exp(n[λ i + ɛ] n[λ ɛ]), i = 2,..., k xi n x n < exp( n[λ λ i 2ɛ]), i = 2,..., k ( ). > 0, i = 2,..., k e como ɛ é arbitrário segue que podemos considerar λ λ i 2ɛ > 0. Assim, fazendo n + em ( ) temos que xi n x n 0 e com isso k i=2 x i n x n 0. 28

41 3. Teorema de Oseledets Portanto, para n suficientemente grande temos Desta forma, k i=2 x i n x n C, com 0 < C < + C k x i n i= x n k x i n i=2 x n C n log( + C) w n log( C), n para todo n suficientemente grande. Logo, Como queríamos mostrar. 0 = log( + C) n ω n log( C) = 0. n Agora, considere x um ponto regular para f e seja u T x M. Como T x M = l escrever u = u i, com u i E i (x). Assim, pelo Lema 3. segue que i= l E i (x) podemos i= n log Df n (x)u = n log Df n (x)( = n log l u i ) i= l Df n (x)u i = λ j (x) onde j = inf{ i l : u i 0}. Além disso, aplicando também o Lema 3. considerando as sequencias x i n = Df n (x)u i, temos n n log Df n (x)u = λ k (x) onde k = sup{ i l : u i 0}. Portanto n n log Df n (x)u = n log Df n (x)u se, e somente se, j = k, ou seja, u pertence a algum subespaço E j (x), j l. Agora, consideremos uma outra decomposição m T x M = Ê(x)... Êm(x). Seja u j E j (x)\{0}. Logo, u j = v i com v i Êi(x). Assim, λ j (x) = i= i= n log Df n (x)u j = λ k +(x) 29

42 3. Teorema de Oseledets onde k + = inf{ i m : v i 0} e λ j (x) = n n log Df n (x)u j = λ k (x) onde k = sup{ i m : v i 0}. Portanto, λ k +(x) = λ k (x) e k + = k = k. Logo, u j Êk(x) e com isso E j (x) Êk(x). Podemos, de modo análogo, mostrar que Êk(x) E j (x). Como T x M tem dimensão finita, segue-se que l = m e como λ l (x) > λ 2 (x) >... > λ l (x) e λl (x) > λ 2 (x) >... > λ l (x) concluímos que λ i (x) = λ i (x) e que E i (x) = Êi(x) para todo i l. Os números λ i (x) são chamados de expoentes de Lyapunov, os espaços E i (x) são chamados de espaços próprios de f no ponto regular x e a decomposição T x M = E (x)... E l (x) é chamada de decomposição de Oseledets. Denotemos por R(f) o conjunto de todos os pontos regulares de f. Temos que R(f) é um conjunto f-invariante sob iteração, ou seja, f(r(f)) = R(f), com E j (f(x)) = Df(x)E j (x) e λ j (f(x)) = λ j (x) para todo j e todo x R(f). De fato, mostremos que f(r(f)) R(f). Seja y f(r(f)), logo existe x R(f) tal que y = f(x). Como x é um ponto regular temos que T x M = E (x)... E l (x). Temos ainda que Df(x) : T x M T f(x) M e sendo Df(x) linear segue que T f(x) M = Df(x)T x M = Df(x)E (x)... Df(x)E l (x). Agora pelo fato de f ser um difeomorfismo, temos Df(x) um isomorfismo. Assim, dado v Df(x)E j (x)\{0} existe u E j (x) tal que Df(x)u = v. Logo, λ j (x) = n ± = n ± = n ± n + log Df n+ (x)u ( ) n log Df n (f(x))df(x)u n + n log Df n (f(x))v = λ j (f(x)). Portanto concluímos que y = f(x) R(f). Notemos ainda que Df(x)E j (x) = E j (f(x)). Agora, seja x R(f). Se provarmos que f (x) R(f) então teremos que x f(r(f)). Utilizando os mesmos argumentos acima podemos mostrar que λ j (f (x)) = λ j (x) e que Df (x)e j (x) = E j (f (x)) para cada j =,..., l. Segue então que f (x) R(f). Vamos agora dar alguns exemplos, inicialmente mostremos que os expoentes de Lyapunov em uma Isometria são todos nulos. Exemplo 3.. Uma transformação linear f : R m R m é dita uma Isometria se f(x), f(y) = x, y 30