UM MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE MACIÇOS ROCHOSOS COM BASE NO CRITÉRIO DE RUPTURA DE HOEK-BROWN

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral PPGEM UM MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE MACIÇOS ROCHOSOS COM BASE NO CRITÉRIO DE RUPTURA DE HOEK-BROWN Autor: JEFFERSON TALES SIMÃO Orientadora: Prof a. Dr a. CHRISTIANNE DE LYRA NOGUEIRA Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação do Departamento de Engenharia de Minas da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral. Área de concentração: Lavra de Minas Ouro Preto/MG Agosto de 04

2 S593m Simão, Jefferson Tales. Um modelo numérico para análise elastoplástica de maciços rochosos com base no critério de ruptura de Hoek-Brown [manuscrito] / Jefferson Tales Simão f.: il. color; grafs.; tabs. Orientador: Profa. Dra. Christianne de Lyra Nogueira. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral PPGEM. Área de concentração: Lavra de Minas.. Método dos elementos finitos - Teses.. Elastoplasticidade - Teses. 3. Análise funcional não linear - Teses. 4. Solos - Compactação - Teses. I. Nogueira, Christianne de Lyra. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título. CDU: 64.04:59. Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br

3 ii

4 AGRADECIMENTOS À Universidade Federal de Ouro Preto e a CAPES pela contribuição à minha formação acadêmica e apoio financeiro. À minha orientadora, professora Dra. Christianne de Lyra Nogueira, pela transmissão de conhecimentos, discussões, sugestões e contribuições técnicas a este trabalho. Aos meus familiares, pela sustentação e apoio em todas as etapas da vida. Aos meus colegas de casa em Ouro Preto, Pedro, Pedro Herinque, Lucas, Iure e Oswaldo. iii

5 RESUMO Esta dissertação tem como objetivo a implementação computacional do modelo constitutivo elástico perfeitamente plástico com base no critério de ruptura de Hoek- Brown e com plasticidade associada para análise não linear tensão deformação de obras geotécnicas, tais como escavações e fundações superficiais, em maciços rochosos. As implementação computacionais foram realizadas no programa ANLOG com base na formulação em deslocamento do método dos elementos finitos. Em função da natureza não linear do modelo constitutivo adota-se um processo de solução em nível global incremental interativo do tipo Newton-Raphson com incrementos automáticos de carga de modo a garantir o equilíbrio. Além disto, um algoritmo explícito com subincrementos automáticos de deformação é adotado para integração de tensão em nível local de modo a garantir a condição de consistência. Os resultados de simulações numéricas de ensaios triaxiais convencionais, adotando diferentes trajetórias de tensão, confirmam a implementação computacional. Exemplos relacionados com abertura de cavidades e capacidade de suporte em maciços rochosos foram usados para validar as implementações computacionais e demonstrar a aplicabilidade do modelo numérico gerado. Palavras-chaves: critério de resitência de Hoek-Brown, método de elementos finitos, elastoplasticidade, análise não linear, algoritmo de integração de tensão, capacidade de suporte, abertura de cavidade, maciço rochoso. iv

6 ABSTRACT This dissertation aims the computational implementation of an elastic perfectly plastic constitutive model based on the Hoek-Brown failure criterion and with nonassociative plasticity in order to be applied to non-linear analysis of geotechnical problems as excavation and shallow foundation in rock mass. The computational implementation was carried out into ANLOG system based on the finite element method displacement formulation. Due to the non-linear nature of the constitutive model an incremental iterative Newton-Raphson procedure with automatic increments of load is adopted in order to guarantee the equilibrium in global level. Besides, in order to guarantee the consistency condition in local level, an explicit algorithm with automatic sub increment of strain is adopted for the stress integration. Results from the numerical simulation of conventional triaxial test, following different stress path, have confirmed the computational implementation. Examples related to circular opening and bearing capacity in rock mass were used in order to validate the computational implementation and the applicability of the numerical model developed. Key words: Hoek-Brown failure criterion, finite element method, elastoplasticity, nonlinear analysis, stress integration algorithm, circular opening in rock mass, bearing capacity, rock mass. v

7 Sumário Página Lista de Figuras... vii Lista de Tabelas... ix Lista de Quadros... x Lista de Símbolos... xi Capítulo INTRODUÇÃO Considerações preliminares Objetivo e descrição do trabalho... Capítulo FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS Equações de equilíbrio estático Estratégias de solução de sistemas de equações não lineares Estratégias de integração de tensão... Capítulo 3 MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK- BROWN Conceitos da plasticidade O Modelo Hoek Brown... 5 Capítulo 4 O PROGRAMA ANLOG Macro comando Elementos finitos e aproximações Matriz constitutiva Implementações computacionais Capítulo 5 EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO Simulação de um ensaio CTC Cavidade cilíndrica em meio elastoplástico Capacidade de suporte de fundação superficial Capítulo 6 CONCLUSÕES Referências Bibliográficas vi

8 Lista de Figuras Capítulo - FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS Figura. - Ilustração do método puramente incremental... 0 Figura. - Processo de Newton Raphson... Figura.3 - Algorítmo de integração de tensão genérico (Adaptado de Oliveira 006)... 5 Capítulo 3 - MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN Figura 3. - Tipos de comportamento tensão deformação... Figura 3. - Comportamento linear elastoplástico bidimensional em meio isotrópico... 4 Figura Modelo constitutivo geral... 4 Figura Relação tensão deformação para um modelo elástico perfeitamente plástico... 5 Figura Influência da resistência à compressão uniaxial (ζ ci )... 8 Figura Influência constante petrográfica (m b )... 9 Figura Influência do parâmetro s... 9 Figura Influência do parâmetro a Figura Critério de Hoek-Brown (adaptado Benz, 008)... 3 Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG Figura 4. - Ambiente de trabalho do FORTRAN (Nogueira, 00) Figura 4. - Mtool - TecGraf (Nogueira, 00) Figura Elemento finito quadrangular quadrático (Q8) Capítulo 5 - EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO Figura 5. - Simulação de ensaios triaxiais CTC Figura 5. - Malha de elementos finitos trajetórias de tensão Figura Curva tensão-deformação ensaio CTC Figura Trajetórias de tensão no espaço p-q Figura Abertura de uma cavidade cilíndrica a grande profundidade Figura Malha de elementos finitos - cavidade cilíndrica em meio elastoplástico Figura Distribuição das tensões ao redor da abertura circular... 6 Figura Distribuição de tensão... 6 Figura Regiões elásticas e plásticas... 6 Figura Fundação superficial rígida (Lisa e rugosa) vii

9 Figura 5. - Curva carga-recalque - fundação corrida rígida e lisa - meio puramente coesivo.. 65 Figura 5. - Curva carga-recalque fundação rígida meio puramente coesivo - corrida versus circular Figura Curva carga-recalque fundação rígida e rugosa - filito Figura Curva carga-recalque fundação rígida e rugosa - basalto Figura Curva carga-recalque fundação rígida e rugosa - arenito viii

10 Lista de Tabelas Capítulo - FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS Tabela. - Fator de incremento de carga ( λ)... 8 Tabela. - Critérios de convergência ratio tolerância... Tabela.3 - Definição da ocorrência de fluxo plástico... 6 Capítulo 3 - MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN Tabela 3. - Valores da constante mi para rocha intacta (Hoek e Brown 997)... 6 Tabela 3. - Resistência à compressão uniaxial (Hoek e Brown 977)... 6 Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG Tabela 4. - Alterações no código computacional ANLOG Capítulo 5 - EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO Tabela 5. - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - CTC Tabela 5. - Parâmetros da solução incremental-iterativa - CTC Tabela Valores da resistência ao cisalhamento e deformação axial máxima Tabela Parâmetros do modelo Hoek-Brown - cavidade Tabela Raio de transição e tensões (p i =5MPa e r i =5m) Tabela Parâmetros da solução incremental-iterativa - fundação Tabela Parâmetros da solução incremental-iterativa efeito GSI Tabela Fator de capacidade de suporte - κ ult - (D=0; γ=0) ix

11 Lista de Quadros Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG Quadro 4. Sub-rotina DATNPROP Quadro 4. Sub-rotina DATIMAT Quadro 4.3 Sub-rotina PROPERTIES Quadro 4.4 Sub-rotina MATDE_ALL Quadro 4.5 Sub-rotina MATDEP_ALL Quadro 4.6 Sub-rotina TCALCG_ALL Quadro 4.7 Sub-rotina TCALC_ Quadro 4.8 Sub-rotina TCALC_ Quadro 4.9 Sub-rotina DHB Quadro 4.0 Sub-rotina DHB_GAGB Quadro 4. Sub-rotina YIELD_FUNC_HB Quadro 4. Sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB Quadro 4.3 Sub-rotina TSUP_HB... 5 x

12 Lista de Símbolos a - gradiente da função de plastificação a - parâmetro do critério de Hoek-Brown a h - função do incremento de deformação plástica b - gradiente da função potencial plástico B - matriz cinemática b p - vetor de forças de corpo D - fator de perturbação D e - matriz constitutiva elástica D ep - matriz constitutiva elastoplástica E - módulo de Young F - função de plastificação F ext - vetor de forças externas global e Fδ - parcela de força externa devido aos deslocamentos prescritos não nulos e Fb - parcela de força externa devido às forças de peso próprio e Fs - parcela de força externa devido às forças de superfície e F ext - vetor de forças externas do elemento F int - vetor de força interna global F e int - vetor de força nodal G - função potencial plástico GSI - índice geológico de resistência I - primeiro invariante do tensor de tensão I D - segundo invariante do tensor de tensão desviadora I 3D - terceiro invariante do tensor de tensão desviadora J - matriz jacobiana K - matriz de rigidez global K e - matriz de rigidez elementar m b - parâmetro do critério de Hoek-Brown m i - constante petrográfica da rocha intacta xi

13 N - matriz que contém as funções de interpolação N i - função de interpolação Q - força de reação q n - vetor de forças de superfície R - erro relativo local RMR - classificação do maciço rochoso s - parâmetro do critério de Hoek-Brown ST0L - tolerância para o erro relativo local T - pseudo tempo U - vetor de deslocamentos nodais û - vetor do incremento de deslocamento em cada elemento x - vetor das coordenadas locais - operador diferencial de primeira ordem - coeficiente de Poisson - fator de carga - vetor de deformação ci - resistência à compressão uniaxial da rocha intacta p - ângulo que define a relação entre a deformação axial e volumétrica plástica (ζ ζ 3 ) - diferença de tensão d - multiplicador escalar δ - valor do deslocamento nodal prescrito δδu k - correção iterativa do incremento de deslocamento a nível global Δλ i - fator de incremento de carga ε - deformação axial ε vol - deformação volumétrica θ - ângulo de Lode κ - fator de carga ζ - vetor das componentes de tensão Ψ k - vetor de força desequilibrada xii

14 Capítulo INTRODUÇÃO.. Considerações preliminares Esta dissertação de mestrado está inserida na linha de pesquisa de Geomecânica e Geotecnia da área de concentração de Lavra de Minas do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Mineral (PPGEM) da Escola de Minas (EM) da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP). Ela se justifica pela contribuição ao entendimento do comportamento mecânico de obras geotécnicas em equilíbrio estático e em estados de deformação plana e axissimétrica, com base na simulação numérica, via método dos elementos finitos (MEF). Esta dissertação está relacionada ao desenvolvimento do sistema computacional ANLOG que se constitui num código aberto, escrito em linguagem de programação FORTRAN, inicialmente desenvolvido na PUC-Rio (Zornberg, 989) e que vem sendo atualizado sob a supervisão da professora Christianne de Lyra Nogueira desde o final de sua tese de doutorado na PUC-Rio em 998 (Nogueira, 998). Este programa contou com a colaboração de vários alunos de iniciação científica, mestrado e doutorado (Zornberg, 989; Nogueira, 99 e 998; Machado Jr., 000; Pereira, 003; Pinto, 004; Silva, 005; Oliveira, 006; Yang, 009; Valverde, 00; Armond e Nogueira, 03). A aplicação do método dos elementos finitos para análise de problemas mecânicos em equilíbrio estático permite com certa facilidade investigar, dentre outros aspectos, a influência dos diversos modelos de comportamento tensão deformação, ou simplesmente constitutivos, nas previsões do comportamento de diversas obras geotécnicas.

15 Vários modelos constitutivos podem ser encontrados na literatura. No entanto, os que melhor representam o comportamento tensão deformação são os modelos não lineares, tais como o elástico (Duncan e Chang, 970), elástico perfeitamente plástico (Sloan e Booker, 986) e elastoplástico (Lade e Kim, 990). As grandes dificuldades encontradas na ampla utilização de análises tensão deformação não lineares estão: no controle do processo de solução não linear, tanto em nível global quanto local; e, na definição dos parâmetros dos modelos constitutivos, os quais, em sua maioria são definidos a partir de resultados de ensaios de laboratórios tal como o ensaio de compressão triaxial convencional (CTC). Um modelo constitutivo que vem sendo cada vez mais adotado nas análises tensão deformação de maciços rochosos e que considera parâmetros empíricos que podem ser determinados a partir de observações do levantamento geológico-geotécnico é o modelo elástico perfeitamente plástico com base no critério de resistência de Hoek- Brown (Hoek, 006). O critério de resistência de Hoek-Brown foi inicialmente desenvolvido para estimar a resistência de maciços rochosos não fraturados e em seguida foi modificado levando em conta a condição de fraturamento do maciço (Hoek e Brown, 980, 988 e 997; Hoek, 980 e 994; Hoek et al, 99; 995 e 00). As dificuldades associadas aos processos de integração de tensão e de solução de equação não linear também tem sido objeto de estudo de alguns autores no âmbito da aplicação do critério de Hoek- Brown (Clausen e Damkilde, 008; Choi e Deb, 005) e é objeto de estudo desta dissertação... Objetivo e descrição do trabalho Esta dissertação de mestrado tem como objetivo o desenvolvimento de um modelo numérico, com base no MEF, para análise tensão deformação em condição de deformação plana e axissimétrica de obras geotécnicas realizadas em maciços rochosos, considerando o modelo elástico perfeitamente plástico com plasticidade associada de Hoek-Brown (Clausen e Damkilde, 008). O desenvolvimento desta dissertação envolve: além das características básicas do programa ANLOG, a obtenção da matriz elastoplástica com base na formulação em

16 deslocamento do MEF e do algoritmo de integração de tensão para o modelo Hoek- Brown. Esta dissertação está organizada em 6 capítulos, incluindo este. No Capítulo é apresentada a formulação via MEF do problema mecânico de equilíbrio estático, as equações elastoplásticas, os procedimentos mais utilizados para a solução de sistemas de equações não lineares, em nível global; e, os algoritmos de integração de tensão. No Capítulo 3 apresenta-se o modelo constitutivo de Hoek-Brown. No Capítulo 4 é apresentado o programa ANLOG e as mudanças necessárias para a implementação do modelo Hoek-Brown. No Capítulo 5 são apresentados os resultados dos exemplos de verificação e aplicação. E, finalmente, no Capítulo 6, apresentam-se as conclusões obtidas nesta dissertação. 3

17 Capítulo FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS A aplicação do MEF na análise de problemas mecânicos em equilíbrio estático levando em conta a natureza elastoplástica das relações constitutivas conduz a um sistema de equações não lineares cuja solução deverá garantir a condição de equilíbrio, em nível global, e a condição de consistência, em nível local, pela qual todo estado de tensão deve permanecer no interior ou no máximo sob a superfície de plastificação definida pelo modelo constitutivo adotado. Neste capítulo apresenta-se o sistema de equação, na forma matricial com base na formulação em deslocamento do MEF, que governa esse problema mecânico para um estado generalizado de tensão e deformação juntamente com as estratégias de solução da equação de equilíbrio e da integração de tensão ao longo de uma trajetória de deformação qualquer. A apresentação generalizada destas equações pode ser encontrada na literatura específica cabendo destacar os trabalhos: Bathe (98), Crisfield (99 e 997), Nogueira (998), Oliveira (006); Sloan e Booker (986) e Sloan et al (00). 4

18 .. Equações de equilíbrio estático O sistema de equação diferencial que governa um problema mecânico de equilíbrio estático é dado por: T ζ b p 0 em V (.) em que é um operador diferencial de primeira ordem, ζ é o vetor das componentes de tensão, b p é o vetor de forças de corpo (peso próprio) e V é o domínio do problema. Esse sistema de equação deverá atender às seguintes condições de contorno: ζ n q n em S q (condição de contorno natural) (.a) U δ i em S u (condição de contorno essencial) (.b) em que q n é o vetor de forças de superfície, U é o vetor de deslocamentos nodais e δ é o valor do deslocamento nodal prescrito (nulo ou não) num ponto do contorno do domínio do problema. S q e S u são, respectivamente, os contornos do domínio do problema com força e deslocamentos prescritos. Com base na formulação em deslocamento do MEF o sistema de equação de equilíbrio (Equação.) pode ser reescrito na seguinte forma simplificada: Fint F ext (.3) em que F ext é o vetor de forças externas que representam o arranjo global do vetor de forças nodais equivalentes às forças externas do elemento e F ext definido como: e ext e s e b e F F F F (.4) em que e e F s N T q dsqe (.5a) S qe 5

19 representa a parcela de força externa devido às forças de superfície; e Ve T e F b N bp dve (.5b) representa a parcela de força externa devido às forças de peso próprio; e por fim, e e F K δ (.5c) representa a parcela de força devido aos deslocamentos prescritos não nulos. As Equações.5a e.5b são integradas, respectivamente, ao longo de uma face (S qe ) e do volume (V e ) de um dado elemento finito. e K é a matriz de rigidez elementar e N é a matriz que contém as funções de interpolação N i que dependem do tipo de elemento (Nogueira, 998). O vetor de força interna F int representa o arranjo global do vetor de força nodal e F equivalente ao estado de tensão em um dado elemento, o qual é definido como: int e T F B ζdv (.6) int V e e O operador B é a matriz cinemática que relaciona as componentes de deformação e deslocamento e, portanto, contém as derivadas das funções de interpolação N i. As matrizes de rigidez, de interpolação e cinemática são descritas no Capitulo 4 juntamente com a descrição do programa ANLOG (Nogueira, 00)... Estratégias de solução de sistemas de equações não lineares Problemas mecânicos de equilíbrio estático que envolve materiais com comportamento elastoplástico são representados matematicamente por um sistema de equações algébricas não lineares em função da não linearidade da parcela de força interna (Equação.6). Assim, para a obtenção da solução deste sistema de equação, 6

20 alguma estratégia de solução deve ser adotada de modo a garantir a condição de equilíbrio global (Equação.3). Dentre as estratégias de solução de sistemas de equação não lineares as que adotam um procedimento puramente incremental ou incremental iterativo são as mais difundidas. Nessas estratégias, a trajetória de equilíbrio é controlada pelo fator de carga,, que é atualizado a cada passo de carga i ao longo desta trajetória fazendo: (.7) i i i em que i é o fator de incremento de carga. O fator de carga varia de zero à unidade ao longo de uma dada trajetória de equilíbrio. Para problemas fortemente não lineares o tamanho do passo de carga pode conduzir a uma resposta numérica que se afasta da resposta real, no caso do procedimento puramente incremental, ou pode inviabilizar a convergência do processo iterativo, no caso do procedimento incremental-iterativo. Incrementos de carga muito pequenos podem tornar o processo de solução muito lento. Desta forma, a seleção automática do tamanho do incremento de carga é fator importante para o sucesso do processo de solução do sistema de equação (Nogueira, 998). Uma estratégia eficiente de incremento automático de carga deve fornecer grandes incrementos quando a resposta da estrutura for quase linear e conduzir a pequenos incrementos quando a resposta da estrutura for fortemente não linear. A Tabela. apresenta os valores dos fatores de incrementos de carga tal como sugerido por Crisfield (99 e 997) os quais podem ser usados juntamente com um procedimento de solução incremental-iterativo partindo de um valor inicial para o fator de incremento de carga, 0, previamente estabelecido. 7

21 I I Tabela. - Fator de incremento de carga ( ) Numa solução incremental-iterativa com incrementos automáticos de carga, os fatores de incrementos de carga calculados automaticamente não poderão ser maiores ou menores que valores máximos e mínimos ( max e mín ) fornecidos pelo usuário para que o programa não entre num loop infinito. Se a convergência não é verificada para um número máximo de iterações num dado passo, uma simples estratégia de corte do tamanho do passo é utilizada. d i Estratégia i / 0 ninc toler ratio I d é o número de iterações desejadas para se obter a convergência; I i- é o número de iterações necessárias para a convergência do passo anterior; é um expoente usualmente tomado como 0.5 ou.0; toler é a tolerância do processo iterativo; ratio é uma variável que depende do tipo de critério de convergência adotado; ninc é o número de incremento de carga. Nas estratégias puramente incremental e incremental iterativa atualizam-se, no final de cada passo de carga, a nível global (ou da estrutura), os vetores de deslocamento, U, de força externa, F ext, e de força interna, F int ; e a nível local (ou do elemento), os vetores de deformação,, e tensão,, de modo que: i U i U U (.8) i i F ext i F ext i F ext i (.9) F int i F int i F int i (.0) ε i ε ε (.) i i ζ i ζ ζ (.) i i O incremento de deformação,, avaliado a nível do elemento depende da relação cinemática e do incremento de deslocamento em cada elemento, û. O 8

22 incremento de tensão,, depende, além do modelo constitutivo, do algoritmo de integração de tensão adotado. O incremento de deslocamento, U, em cada passo de carga i depende da estratégia de solução adotada em resposta ao incremento de força externa: F F (.3) ext i i ext No procedimento puramente incremental o vetor de incremento de deslocamento nodal é obtido a nível global resolvendo o seguinte sistema de equação: U K Fext (.4) em que K é a matriz de rigidez global que representa o arranjo global das matrizes de rigidez de cada elemento e K definida como: e T K B D BdV (.5) v e ep que depende da matriz constitutiva elastoplástica, e D ep, a qual é avaliada em função do estado de tensão em cada elemento. Este procedimento pode ainda ter algumas variações em função do estado de tensão adotado na avaliação da matriz de rigidez, quais sejam: método da rigidez inicial (Figura.a) e método da rigidez tangente (Figura.b). No método da rigidez inicial (Figura.a) a matriz de rigidez é avaliada em função do estado de tensão inicial e é mantida constante ao longo de toda trajetória de deformação. No método da rigidez tangente (Figura.b) a matriz de rigidez é avaliada em função de estado de tensão no início de cada incremento ou passo de carga. 9

23 a) Método da rigidez inicial b) Método da rigidez tangente Figura. - Ilustração do método puramente incremental A eficiência deste método (entendida como a capacidade de reproduzir uma dada trajetória de equilíbrio) é altamente influenciada pelo tamanho dos incrementos utilizados e pelo grau de não linearidade da relação constitutiva do material. No procedimento incremental iterativo o vetor de incremento de deslocamento nodal é obtido a nível global resolvendo a seguinte lei de recorrência: em que iter 0 k U U U (.6) k 0 U é a solução predita obtida de acordo com a Equação.4 tal como no procedimento puramente incremental, e k k K Ψ k U (.7) é a correção iterativa do incremento de deslocamento a nível global, do tipo Newton- Raphson, em que: k k Ψ Fext F (.8) int é o vetor de força desequilibrada em cada iteração k. Esse processo é interrompido quando numa dada iteração k um dado critério de convergência (Tabela.) é verificado. 0

24 Tabela. - Critérios de convergência ratio tolerância Critério ratio F F F Força ext int ext Deslocamento Energia U Ψ O símbolo indica produto escalar U U U 0 F O método de correção iterativa de Newton Raphson caracteriza-se por manter o nível de força externa constante durante o ciclo iterativo. Com relação à matriz de rigidez, dois procedimentos podem ser adotados: o padrão e o modificado. O procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson é chamado de padrão quando a matriz de rigidez é atualizada em cada ciclo iterativo (ver Figura.a) ou de modificado quando a matriz de rigidez é mantida constante durante o ciclo iterativo (ver Figura.b). O procedimento modificado, apesar de ser mais lento é mais estável que o procedimento padrão e, por isso é adotado neste trabalho. ext a) Padrão b) Modificado Figura. - Processo de Newton Raphson Também colabora para o bom desempenho do procedimento incremental iterativo a avaliação do vetor de força interna que depende do esquema de integração de tensão adotado para avaliação do estado de tensão ao longo da trajetória de deformação.

25 .3. Estratégias de integração de tensão Os procedimentos apresentados anteriormente envolvem a avaliação do estado de tensão em cada elemento e a cada ciclo iterativo. Esta avaliação é feita atualizandose o estado de tensão no início do passo corrente uma vez obtido as variáveis incrementais: ε i Bu (.9) ζ D ε (.0) i ep i As Equações. e. (ou ainda, as Equações.9 e.0) só são válidas para incrementos infinitesimais de tensões, dζ, e deformações, dε. No entanto, como estes incrementos não são infinitesimais e erros podem ser cometidos e acumulados durante a integração das tensões, algum esquema de integração de tensão em nível local deverá ser adotado a fim de o critério de plastificação não seja violado. Em uma situação multiaxial, ou generalizada em termos do estado tensãodeformação, a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação experimentado pelo corpo ao longo de uma determinada trajetória de deformação e/ou tensão, pode ser escrito como a soma das componentes de natureza elástica e plástica desta deformação, ou seja: dε e p dε dε (.) em que e dε é a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação elástica e p dε é a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação plástica. A componente elástica pode ser escrita como: D ζ e dε d (.) e em que D e é matriz constitutiva elástica cujos coeficientes são funções dos parâmetros elásticos do material. A variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação plástica pode ser escrito de acordo com a lei de fluxo como:

26 dε p db (.3) em que b G (.4) ζ em que d é um multiplicador escalar positivo que depende do acúmulo de deformação plástica a ser definida por uma lei de endurecimento e b é o gradiente da função potencial plástico, G(). A função potencial plástico define a direção do incremento de deformação. Ao longo de uma dada trajetória de equilíbrio os estados de tensão devem permanecer dentro ou, no máximo, sobre a superfície de plastificação. Desta forma, tem-se que: F F h df d bd a p h ε T d a d 0 h (.5) ou ainda: a T d a d (.6) h em que a F (.7) é o gradiente da função de plastificação, F(,h), e a h F h b (.8) h ε p é função do incremento de deformação plástica e h é uma função do parâmetro de endurecimento. No caso de modelos de comportamento com plasticidade perfeita, a função do incremento de deformação plástica é nula (a h =0). 3

27 Substituindo-se as Equações. e.3 na Equação., pré multiplicando-se ambos os termos por chega-se a: a T D, e em seguida substituindo-se o resultado na Equação.6, e T a De d d a D b a ε T (.9) e h Usando a definição da Equação.9 e considerando a decomposição aditiva da Equação., pode-se definir a variação infinitesimal do vetor de componentes de tensão, como sendo: dζ D dε (.30) ep em que D ep T a b D D D (.3) e T e T e a D b a e h é a matriz elastoplástica que deverá ser adota para avaliação da matriz de rigidez durante o processo de solução incremental a nível global e para a integração de tensão a nível local. Nos casos em que a função potencial plástico, G, é tomada como igual à função de plastificação, F, tem-se uma plasticidade associada e uma matriz elastoplástica simétrica uma vez que o vetor b é idêntico ao vetor a. Caso contrário, quando a função potencial plástico é diferente da função de plastificação, tem-se uma plasticidade não associada e uma matriz elastoplástica não simétrica uma vez que os vetores a e b são diferentes. A integração, a nível local ou em cada ponto de Gauss, da equação constitutiva elastoplástica ao longo de um incremento de deformação,, conhecido é uma tarefa fundamental e não trivial, pois, apesar da magnitude da deformação incremental ser conhecida, o modo como ela varia dentro do incremento é desconhecido. 4

28 Vários algoritmos para integração de tensão têm sido propostos e tem sido observado que eles interferem diretamente na precisão da solução numérica, induzindo erros que podem se propagar ao longo da solução incremental. Desta forma, considerando a situação indicada na Figura.3 a qual representa um fluxo plástico para uma condição de plasticidade associada, diferentes algoritmos para integração das equações constitutivas podem ser representados através da seguinte regra: p ζn ζint De(Δε Δε ) (.3) ou ainda, ζ * p n ζn DeΔε (.33) em que p Δε Δλ[( ) a a ], [0,] (.34) A C e * ζn ζ n D e Δε (.35) é a tensão elástica predita obtida no ponto B. n ζint n n+ Figura.3 - Algorítmo de integração de tensão genérico (Adaptado de Oliveira, 006). 5

29 Quando =, tem-se um algoritmo do tipo backward Euler ou completamente implícito. Neste caso, como as tensões no ponto C não são conhecidas é necessário a adoção de um processo iterativo. Quando =0, tem-se um algoritmo tipo forward Euler, ou completamente explícito. Neste caso, é necessário calcular as tensões no limite da região elástica no ponto A, ζ int, assim como o gradiente da função de plastificação neste ponto, a A. ζ ζ D Δε D Δλa n int e e A (.36) Durante uma dada trajetória de deformação incremental ε e partindo de um estado de tensão inicial Tabela.3. Caso 3 4 ζ n quatro situações podem ser observadas tal como indicada na Tabela.3 Definição da ocorrência de fluxo plástico Observação o estado de tensão é inicialmente elástico e permanece elástico o estado de tensão inicial muda de elástico para plástico o estado de tensão é inicialmenete plástico e permanece plástico o estado de tensão é inicialmente plástico e experimenta um descarregamento elástico seguido de um fluxo plástico F( ζ n ) FTOL e ( ζ ) FTOL F * n F( ζ n ) FTOL e ( ζ ) FTOL F * n F( ζ n ) FTOL e ( ζ ) FTOL F * n F( ζ n ) FTOL e F ( ζ * n) FTOL / 6 FTOL é uma pequena tolerância positiva. Sloan et al. (00) sugerem 9 FTOL 0, 0 No caso o incremento de tensão é completamente elástico e a tensão atualizada considerando um incremento de tensão puramente elástico adotando a matriz constitutiva elástica, ou seja, fazendo: ζn ζn Deε (.37) O caso 4 ocorre quando o ângulo β entre o vetor gradiente da função de plastificação no ponto A, a A, e o vetor de incremento de tensão elástica, ζ De ε, é maior que 90. A tensão atualizada, neste caso é obtida pela Equação.37. O ângulo β pode ser obtido pela seguinte expressão: 6

30 β cos a a T A A Δζ Δζ (.38) Nos casos e 3, é necessário determinar a porção elástica do incremento de deformação, Δε. Isto pode ser feito, determinando-se o valor de que satisfaz a seguinte equação: F( ζ n αδζ,h n ) FTOL (.39) em que α é um escalar que varia de 0 a unidade e é obtido resolvendo a inequação.39 iterativamente. Quando =0 o incremento de deformação gera apenas incremento de tensão de natureza elastoplástica (caso 3). Quando = o incremento de deformação gera variações de tensão apenas de natureza elástica (caso ). Uma vez conhecido o valor de, as parcelas do incremento de tensão elástica, do incremento de deformação elástica e o valor da tensão no limite da região elástica são avaliadas fazendo-se: ζe αδζ (.40) Δε e αδε (.4) ζ int ζ Δζ (.4) n e Partindo-se de um estado de tensão na superfície de plastificação, ζ int, e assumindo-se a hipótese de que a direção do fluxo plástico permanece constante ao longo do incremento de deformação de natureza elastoplástica, o estado de tensão no final do incremento fazendo: ε, pode-se atualizar ep ζ n ζint ζ (.43) ep em que ζ ( ε (.44) ep Dep ζint) ep 7

31 εep ( ) ε (.45) Com o intuito de tornar mais precisa a integração de tensão ao longo de uma trajetória incremental finita o incremento de deformação elastoplástica pode ser dividido em subincrementos (nsub) de tal forma que: ζ k ζ k dζ k ep (.46) k ep nsub k- dζ D ( ζ )(Δε /nsub) (.47) k ep ep A tensão é atualizada no final de cada subincremento, partindo-se do estado de tensão 0 corresponde ao ponto na superfície de plastificação ( ζ ζ ). Este procedimento é mais eficiente quando o número de subincrementos é calculado de forma automática, considerando-se o grau de não-linearidade do comportamento tensão-deformação e/ou o erro cometido durante o processo. Desta forma, vários critérios têm sido sugeridos para a definição do seu tamanho. Sloan et al. (00) sugeriram uma estratégia em que o tamanho do subincremento de deformação de natureza elastoplástica, trajetória incremental, εep, fazendo: int dε ep, varia ao longo da d k k εep ΔT Δε ep (.48) em que ΔT k é um escalar chamado de incremento de pseudotempo. O incremento de pseudotempo varia de zero a unidade e é obtido em função do erro relativo local cometido na avaliação das tensões. A primeira aproximação para o pseudotempo é feita considerando-se um incremento unitário, ΔT=. O processo é controlado pelo pseudotempo T (0 T ) que é atualizado a cada subincremento, ΣΔT=T=. Para um dado subincremento k de deformação (Equação.48), são calculadas duas estimativas de variação de tensão, Δζ e Δζ, fazendo: 8

32 k- Dep ( ζ )d k ep Δζ ε (.49) Δζ k- Dep ( ζ Δζ)d k ep ε (.50) definidos: A partir destas duas estimativas, dois estados de tensão aproximados são ζ k ζ k- Δζ (.5) ζ~ k ζ k / (Δζ Δζ ) (.5) Sloan et al. (00) sugeriram o cálculo do erro relativo local, R, cometido ao longo do subincremento corrente k, em função da diferença entre os estado de tensão k aproximados ζ k e ~ζ, fazendo: R k ~ k ζ ζ ~ k ζ k 0.5(Δζ Δζ) ~ k ζ STOL (.53) em que ST0L é uma dada tolerância adotada. Sloan et al. (00) sugerem uma tolerância em torno de 0-6 a 0 -. Se o erro local relativo no subincremento corrente for menor que uma dada tolerância o subincremento corrente será aceito, ou seja: a tensão aproximada será atualizada, ζ k ζ ~ k, o pseudotempo, T, será atualizado e um novo valor (maior ou igual ao corrente) de incremento de pseudotempo, ΔT, será calculado. Se o erro local relativo no subincremento corrente for maior que uma dada tolerância o subincremento corrente não será aceito, ou seja: a tensão aproximada não será atualiazada, o pseudotempo, T, não será atualizado e um novo valor (menor que o corrente) de incremento de pseudotempo, ΔT, será calculado. Independentemente de o subincremento corrente ser aceito ou não, os próximos valores de ΔT são dados pela expressão: k k ΔT q ΔT (.54) 9

33 em que k q 0.9 STOL/R (.55) O incremento de pseudotempo pode aumentar ou diminuir ao longo da trajetória ade incremento de deformação em função da tolerância adotada. Assim, de acordo com Sloan et al. (00), para acelerar o processo o incremento de psuedotempo pode ser ampliado em até 0% do valor anterior, ou seja, k k ΔT.ΔT. Da mesma forma, para que o tamanho do subincremento não fique muito pequeno o valor do incremento de pseudotempo deve ser limitado a 0% do valor anterior, k k ΔT 0.ΔT. 0

34 Capítulo 3 MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN Em uma análise tensão-deformação elastoplástica as variações nos campos de deslocamento, tensão e deformação dependem do nível de tensão e deformação, mas também, do histórico de tensões e deformações experimentadas ao longo de uma trajetória de equilíbrio. A formulação de um modelo de comportamento elastoplástico envolve invariavelmente três conceitos: condição de plastificação, que define o estado de tensão que corresponde ao início do fluxo plástico; a lei de fluxo plástico, que relaciona o incremento de deformação plástica com as tensões correntes; e a lei de endurecimento, que define como a condição de plastificação modifica durante o fluxo plástico. Neste capítulo apresenta-se o modelo de comportamento tensão deformação elástico perfeitamente plástico, com fluxo associado, baseado no critério de resistência de Hoek-Brown (Clausen et al., 006 e Clausen e Damkilde, 008).

35 3.. Conceitos da plasticidade A fim de explicar o comportamento típico de alguns materiais inelásticos, ou plásticos, considere a situação de compressão uniaxial ilustrada na Figura 3.. ζ lim a) Elástico perfeitamente plástico b) Elastoplástico com endurecimento c) Elastoplástico com amolecimento Figura 3. - Tipos de comportamento tensão deformação

36 Na Figura 3.a tem-se um material com comportamento elástico perfeitamente plástico. Neste caso, para valores de tensão inferiores à tensão limite ou de escoamento, ζ lim, o corpo experimenta deformações de natureza elástica. Para um valor de tensão igual à tensão limite o corpo experimenta uma deformação de natureza plástica. A Figura 3.b ilustra o comportamento de um material com endurecimento plástico (strain hardening). Nesse caso a relação tensão-deformação é linear e elástica até certo ponto (ponto B) a partir do qual se torna não linear com o material experimentando acúmulos de deformação plástica. A Figura 3.c ilustra o comportamento de um material com amolecimento plástico (strain softening). Neste caso, o material comporta-se como linear e elástico até o limite de escoamento a partir do qual se inicia uma diminuição de tensão com o aumento da deformação. O conceito de tensão limite ou de escoamento é adotado apenas em situações uniaxiais. Para situações multiaxiais deve-se usar o conceito de função de escoamento ou plastificação (F). A função de plastificação, que define uma superfície no espaço das tensões, é uma função do estado de tensão e de deformação plástica. Sob a superfície de plastificação, a função de plastificação é nula (F=0) e no interior desta superfície tem-se um valor negativo (F<0) indicando que nesta região o comportamento do material é elástico. Uma vez alcançado o primeiro nível de plastificação, a superfície de plastificação pode expandir na medida em que acumula deformação plástica. Este fenômeno, ilustrado na Figura 3.a, caracteriza um comportamento com endurecimento. No caso do material que apresenta um amolecimento (Figura 3.b) observa-se uma contração da superfície de plastificação. Nestes casos a função de plastificação é uma função do tipo: p p F F(,h( ε )) F( ) F(h( ε )) (3.) em que h é uma função da deformação plástica p ε. 3

37 a) Endurecimento b) Amolecimento Figura 3. - Comportamento linear elastoplástico bidimensional em meio isotrópico A Figura 3.3 apresenta uma curva tensão versus deformação típica para um modelo constitutivo que leva em conta tanto endurecimento quanto o amolecimento. Figura Modelo constitutivo geral. Num modelo elástico perfeitamente plástico a função, ou superfície, de plastificação se confunde com a superfície de ruptura. Este modelo não adota o endurecimento e, portanto, a função de plastificação depende apenas no nível de tensão, ou seja, F F( ) 0 (3.) Uma curva tensão s deformação típica de um modelo constitutivo com plasticidade perfeita é ilustrada na Figura 3.4. Nesta figura, ) é a diferença de ( 3 4

38 ( 3 ) tensão, é a deformação axial, Young, é o coeficiente de Poisson, vol é a deformação volumétrica, E é o módulo de ( é a resistência à compressão e p é um 3) r ângulo que define a relação entre a deformação axial e volumétrica plástica que dependem do critério de resistência adotado. E ( 3 ) r axial vol tg( e )=() e axial p Figura Relação tensão-deformação para um modelo elástico perfeitamente plástico 3.. O Modelo Hoek Brown O critério de resistência de Hoek-Brown (Hoek e Brown, 980) foi desenvolvido na década de 80, com base em observações empíricas, originalmente para estimar a resistência de rochas duras. No espaço das tensões principais, o critério descreve uma relação não linear, originalmente definida como: σ3 σ σ3 σci mi s (3.3) σ ci em que ci é a resistência à compressão uniaxial, m i é a constante petrográfica e s é um parâmetro ajustável, obtido a partir de ensaios triaxais realizados com amostras de rocha 5

39 intactas. As Tabelas 3. e 3. apresentam, respectivamente, valores padrões para a constante petrográfica e a resistência à compressão uniaxial de algumas rochas. Ao longo das últimas décadas várias atualizações foram propostas, motivadas pelo número crescente obras geotécnicas realizadas em maciços rochosos de qualidade muito baixa, a fim de se considerar a condição do maciço. Tabela 3. - Valores da constante m i para rocha intacta (Hoek e Brown, 997) Rocha m i Mármore 9 Quartzito 4 Granito 33 Gnaisse 33 Tabela 3. - Resistência à compressão uniaxial (Hoek e Brown, 997) Rocha Condição ci (MPa) Granito Extremamente forte >50 Gnaisse Muito forte Filito Forte Concreto Média 5-50 Gesso Fraco 5-5 Rochas alteradas -5 Solo Extremamente fraco 0.5- Em 988, Hoek e Brown (Hoek e Brown, 988) propuseram uma atualização de modo a se levar em conta a qualidade da rocha utilizando o conceito do RMR proposto por Bieniawski. Nesta nova versão tem-se que: σ3 σ σ3 σ mb s ci (3.4) σ em que, para um maciço não perturbado: c m b (RMR 00) / 8 mie (3.5) s (RMR 00) / 8 e (3.6) e, para um maciço perturbado: 6

40 m b (RMR 00) /4 mie (3.7) s (RMR 00) / 6 e (3.8) Em 99, uma nova modificação foi proposta para aplicação em maciços rochosos altamente fraturados e sem resistência à tração (Hoek et al, 99). Nesta nova versão, um novo parâmetro, a, é introduzido: σ σ a 3 σ3 σ m ci b (3.9) σc Na década de 90, Hoek (Hoek, 994) introduziu o conceito do índice geológico de resistência (GSI) como uma forma de reduzir a resistência do maciço rochoso com base nas condições geológicas. O índice geológico de resistência varia de 0 a 00 e depende da análise geológica estrutural levando em conta a existência de fraturas, o estado da rocha e o grau de intemperização. 995): A partir daí uma nova versão do critério de Hoek-Brown é proposto (Hoek et al, a σ3 σ σ3 σ m ci b s σ (3.0) c onde m b (GSI00) / 8 mie (3.) e para um maciço com GSI>5 s (GSI00) / 8 e (3.) a 0.5 (3.3) e para GSI<5 s 0 (3.4) 7

41 ( 3 )(GPa) GSI a 0.65 (3.5) 00 As Figuras 3.5 a 3.8 ilustram a influência dos parâmetros do critério de resistência. Da Figura 3.5 podemos observar que quanto maior a resistência à compressão maior o nível de tensão admissível. Da Figura 3.6 pode-se observar que a constante petrográfica afeta a inclinação da superfície de modo que quanto maior o m b mais íngreme é a superfície. O parâmetro s afeta a resistência à tração de modo que quanto maior o s maior a resistência à tração (Figura 3.7). A curvatura da superfície é comandada pelo parâmetro a (Figura 3.8) de modo que quanto menor o valor do parâmetro a maior a curvatura. 0 9 ci (MPa) ci = 00MPa ci = 50MPa m b =m i =33 s=.0 a=0.5 ci = 5MPa ( + 3 ) (GPa) Figura Influência da resistência à compressão uniaxial ( ci ) 8

42 ( 3 )(GPa) ( 3 )(GPa) ci =00MPa s=.0 a=0.5 m b =m i =33 m b =m i =5 m b =m i =5 m b =m i = ( + 3 ) (GPa) Figura Influência constante petrográfica (m b ). 0 0 s=.5 s=.0 s=0.5 s= ci =00MPa m b =.0 a= ( + 3 ) (GPa) Figura Influência do parâmetro s 9

43 ( 3 )(GPa) a=.0 a=0.5 a=0.3 a= a=0. a=0.3 a=0.5 a= ci =00MPa m b =.0 s= ( + 3 ) (GPa) Figura Influência do parâmetro a Recentemente, Hoek et al (00) propuseram uma modificação na definição dos parâmetros m b, s, e a, de tal forma que: m b (GSI00)/(84D) mie (3.6) s (GSI00)/(93D) e (3.7) e GSI /5 0/3 e 6 a 0.5 (3.8) D é fator de perturbação obtido em função do dano provocado pelo desmonte do maciço e pela relaxação das tensões. Hoek et al (00) apresenta alguns valores para D em função da condição do maciço e do processo construtivo. A Equação 3.0 pode ser considerada uma forma geral do critério de Hoek- Brown. As diferentes versões apresentadas afetam os parâmetros m b, s e a, tal como apresentado anteriormente. Este critério de resistência será usado como função de plastificação (F) e potencial plástico (G) uma vez que será adotado, neste trabalho, um 30

44 modelo de comportamento tensão deformação linear elástico perfeitamente plástico com plasticidade associada. Assim sendo, a superfície de plastificação (e potencial plástico) do modelo elástico perfeitamente plástico de Hoek-Brown é definida no espaço das tensões principais, como: σ 3 F( ) G( ) σ σ3 σci mb s 0 σ (3.9) ci a A Figura 3.9 ilustra a superfície de plastificação no espaço das tensões principais e no plano desviador. No plano desviador, a superfície de plastificação é um hexágono irregular. extensão compressão a) Espaço das tensões principais b) Plano desviador Figura Critério de Hoek-Brown (adaptado Benz et al, 008). As tensões principais podem ser escritas em termos dos invariantes de tensão tal como (Owen e Hinton, 980): ID I I I sen θ ID cosθ sen (3.0) ID I sen θ (3.) 3 3 ID 4 I I 3 sen θ ID cosθ sen (3.)

45 em que 3 3 I3D ( I D,I3D ) sen (3.3) 3 ID ID é o ângulo de Lode ( / 6 / 6 ); I é o primeiro invariante do tensor de tensão; e, I D e I 3D são, respectivamente, o segundo e o terceiro invariante do tensor de tensão desviadora. Estes invariantes de tensão podem ser definidos em termos das componentes cartesianas do tensor de tensão num estado de deformação plana e axissimétrica como: I (3.4) x y z I ( x y z ) ( xy yz zx ) ( xy ) (3.5) 3 3 D I 3D 9 4 x 9 x ( y y z z 7 ) ( y 3 x ( z 3 y x 3 z ) ) 3 z ( x x 3 y ) y z 3 xy (3.6) Substituindo as Equações 3.0 e 3. na Equação 3.9 obtém-se a o critério de plastificação do modelo de Hoek-Brown generalizado definido em termos dos invariantes de tensão: F(I,I /a I cosθ D mbi, ) ci IDmbcosθ sen cis 0 (3.7) ci 3 3 D Como pode ser observado na Figura 3.9, o modelo de Hoek-Brown apresenta singularidades nas arestas. Assim, a seguinte modificação é sugerida para esses pontos: Para θ = 30 (na compressão): /a 3I D mb 3ID I F σ ci mb σcis = 0 (3.8) σ ci 3 3 Para θ = + 30 (na extensão): 3

46 /a 3I D mb 3ID I F σ ci mb σcis = 0 (3.9) σ ci 3 3 O critério de resistência de Hoek-Brown tem sido largamente utilizado para estimar a capacidade de suporte e a deformação de maciços rochosos (Sharan, 003; Choi e Deb, 005; Benz et al., 008; Clausen, 03 e Wang et al., 0). Uma das razões da popularidade do critério é a possibilidade de estimar os parâmetros do material através de simples observações de campo e da resistência à compressão uniaxial da rocha intacta Com relação o módulo de deformabilidade elástico várias sugestões foram indicadas. Serafim e Pereira (983) sugeriram a seguinte relação em termos do RMR: E(GPa) (RMR 0/ 40) 0 (3.30) Hoek e Brown (997) a presentam a seguinte modificação: E(GPa) 0 ( GSI0/ 40) ci 00 (3.3) Em seguida, levando em conta a influência da perturbação do maciço, tem-se que: 5 ( D/)0 E(MPa) (3.3) 755DGSI/ e ou ainda, em função do módulo de deformabilidade da rocha intacta, E i, fazendo: D/ E Ei DGSI/ (3.33) e 33

47 Capítulo 4 O PROGRAMA ANLOG O programa computacional ANLOG (Análise não linear de obras geotécnicas) é escrito em linguagem de programação FORTRAN 90. Sua primeira versão foi desenvolvida por Zornberg (989) tendo sido utilizada na análise de problemas mecânicos de equilíbrio estático, envolvendo a simulação de aterros e escavações, em condição de deformação plana e axissimétrica e levando em conta comportamento tensão-deformação elastoplástico. Uma nova versão do programa foi desenvolvida por Nogueira (998) considerando o acoplamento entre fluxo e deformação. Dando continuidade aos trabalhos desenvolvidos por Nogueira (998) outras versões deste código foram desenvolvidas. Machado Jr. (000) desenvolveu uma versão (GEOFLUX) para análise de problemas de fluxo em meio poroso não saturado. Pereira (003) incorporou os elementos de reforço que possibilitou a análise de problemas mecânicos de equilíbrio estático de estruturas de solos reforçado (ANLOG v.003). Pinto (004) incorporou à formulação acoplada o efeito da variação do nível d água (ANLOG v.004). Silva (005) introduziu os elementos tridimensionais e generalizou o código para situações 3D (ANLOG v.005). Oliveira (006) incorporou ao código os elementos de reforço e interface axissimétricos e os modelos Mohr-Coulomb modificado para o solo e Coulomb para a interface com comportamento elástico-perfeitamente plástico (ANLOG v.006). Yang (009) incorporou a versão do modelo Lade-Kim proposta por Jacobsen e Lade (00), assim como, sugeriu uma nova modificação para a função de amolecimento a fim de suavizar a curva tensão-deformação na condição pós-pico e ainda levar em conta o efeito da tensão de confinamento na resistência residual (ANLOG v.009). Valverde (00) generalizou os modelos constitutivos para 34

48 simulações 3D (ANLOG v.00). Armond e Nogueira (03) incorporaram os modelos constitutivos Brooks e Corey (964) e Fredlund e Xing (994) para análise de problemas de fluxo em meio não saturado (ANLOG v.03). De uma forma geral o programa ANLOG pode ser usado para análise de problemas sem ou com acoplamento de fluxo e deformação (em condições saturadas); análise de problemas de fluxo em meio poroso saturado e não saturado; simulação de problemas mecânicos em condições de tensão plana e deformação plana, axissimétrica e tri-dimensional; e, simulação de problemas acoplados em condições de deformação e fluxo planos. Do ponto de vista da aproximação por elementos finitos, o ANLOG apresenta os seguintes elementos finitos: elementos unidimensionais (linear e quadrático); elementos planos triangulares e quadrangulares (linear e quadrático); elementos sólidos (linear e quadrático); elementos de interface de espessura nula e elementos específicos para reforço; e, elementos finitos para análises acopladas: elementos planos (triangulares e quadrangulares). Em relação aos modelos constitutivos os seguintes modelos constitutivos encontram-se implementados no ANLOG: modelos constitutivos para solos - elásticos (Linear e Hiperbólico), elastoplásticos (CamClay Modificado, Lade 77, Lade & Kim, Lade & Kim modificado) e elásticos perfeitamente plástico (Mohr-Coulomb e Drucker&Prager, originais e modificados); modelos constitutivos para reforços - elástico linear e elástico perfeitamente plástico von Mises; modelos constitutivos para junta/interface solo-reforço - elástico linear e elástico perfeitamente plástico baseado no critério de Coulomb; e, modelos constitutivos para fluxo não saturado - modelo exponencial, modelo de van Genuchten, interpolação linear e por spline cúbica de dados de ensaios. Do ponto de vista de procedimento de solução de sistemas de equações algébricas, os seguintes algoritmos encontram-se implementados no ANLOG: algoritmo puramente incremental; algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson); e, algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson) incluindo a estratégia de incrementos automáticos de cargatempo. 35

49 No que diz respeito ao procedimento de integração de tensão, tem-se os seguintes algoritmos: algoritmos de integração de tensão puramente explícitos; algoritmos de integração de tensão puramente explícitos com sub-incremento; e, algoritmos de integração de tensão explícitos com sub-incremento e controle do erro na avaliação das tensões. O ANLOG roda numa plataforma Windows (Figura 4.) e o programa MTOOL (Figura 4.) desenvolvido pelo grupo de tecnologia em computação gráfica da PUC-Rio (TecGraf ) é usado como pré e pós processadores gráficos. Figura 4. - Ambiente de trabalho do FORTRAN (Nogueira, 00). Figura 4. - Mtool - TecGraf (Nogueira, 00). 36

50 O programa ANLOG adota uma estrutura em macro comando que permite a simulação de processos construtivos de forma relativamente simplificada. Além disto, ele adota, no mínimo, arquivos de dados para análise tensão deformação acoplada ou não: um arquivo com extensão.d contendo a sequência de macro-comandos e seus respectivos conjunto de dados, e outro com extensão.nf contendo as informações da malha de elementos finitos. Para uma análise de fluxo em meio não saturado se faz necessário, além dos arquivos.d e.nf, um arquivo de dados com extensão.ini. Os resultados são registrados em arquivos com extensões.out e.pos. O arquivo com extensão.pos é compatível com o pós-processador gráfico através do programa MTOOL. 4.. Macro comando Um macro comando é uma palavra chave utilizada para controlar a execução de blocos de rotinas que devem ser acionadas para realização de uma tarefa específica. O usuário deverá fornecer a sequência de macro comandos e todos os dados relacionados a eles. Esta sequência de macro comandos define o fluxo de informação que deverá ser usado na solução de um problema específico. Para solução de um problema mecânico de equilíbrio estático se adota, de uma forma geral, os seguintes macros comando: DADOS; CEDGE e/ou CPOINT e/ou CGRAV; SOLVE; e FEXEC (Nogueira, 00). O macro comando DADOS ativa um bloco de rotinas as quais são responsáveis pela leitura dos dados geométricos (coordenadas e conectividades), materiais (modelos constitutivos e parâmetros) e condições de contorno (essencial). Os macros comandos CPOIN, CEDGE e CGRAV ativam um bloco de rotinas que fornecem o carregamento nodal devido às forças pontuais, de superfície e de volume (ou corpo), respectivamente. O macro comando SOLVE é usado para se obter as matrizes características globais e resolver o sistema de equação algébrico característico do problema. As 37

51 variáveis secundárias (deformação, tensão, gradiente hidráulico, velocidade de fluxo, etc.) são também obtidas através deste macro comando. Além destes macros comando, ainda podem ser usados os seguintes macro comando para definição de um estado de tensão inicial diferente de zero considerando nulo o estado de deformação inicial: TINIS e TINK0. O macro comando TINK0 é usado para se obter um estado de tensão geoestático e o TINIS para um estado de tensão isotrópico. 4.. Elementos finitos e aproximações No âmbito desta dissertação foi adotado o elemento isoparamétrico: quadrangular quadrático Q8, tal como ilustrado na Figura (-,) 6 (0,) 5 (;) 8 (-,0) 4 (;0) ξ (-,-) (0;-) 3 (;-) Figura Elemento finito quadrangular quadrático (Q8) Relacionado a este elemento finito tem-se as seguintes funções de forma/interpolação escritas em termos das coordenadas naturais (, ): N (, ) 0.5( )( )( ) (4.a) N (, ) 0.5( )( ) (4.b) N 3(, ) 0.5( )( )( ) (4.c) N 4(, ) 0.5( )( ) (4.d) N 5(, ) 0.5( )( )( ) (4.e) N 6(, ) 0.5( )( ) (4.f) N 7(, ) 0.5( )( )( ) (4.g) N (, ) 0.5( )( ) (4.h) 8 38

52 Para problemas em estado plano de deformação e axissimétrico, abordados no âmbito desta dissertação, os deslocamentos em qualquer ponto do domínio do elemento pode ser escrito em função dos deslocamentos nodais como: u u Nuˆ (4.) v onde T v... unno vnno u ˆ u (4.3) é o vetor de deslocamentos nodais com u e v sendo, respectivamente, as componentes do vetor de deslocamento nas direções x e y; N 0 Nnno 0 N x6... (4.4) 0 N 0 Nnno é a matriz das funções de interpolação quadráticas, definidas pelas Equações 4., e nno é o número de pontos nodais de cada elemento. Para o elemento Q8, nno é igual a 8. Usando o conceito de elemento isoparamétrico, as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer no domínio do elemento podem ser escritas em termos das coordenadas dos pontos nodais tal como: x x Nxˆ (4.5) y em que T y... xnno ynno x x (4.6) é o vetor das coordenadas locais dos pontos nodais em relação ao sistema cartesiano (x,y). A matriz jacobiana J é utilizada na transformação de sistemas de coordenadas local-natural (xy e ) e é definida como: 39

53 J x x y y (4.7) onde x y N 0 N 0 N nno 0 xˆ 0 N (4.8a) nno x y N 0 N 0 N nno 0 xˆ 0 N (4.8b) nno como O volume elementar dv = dxdydz pode ser escrito em coordenadas naturais dv t det J dd (4.9) onde, para problemas de deformação plana t é igual a unidade e para problemas axissimétricos t é igual a r, em que: r N x (4.0)... Nnnoxnno O operador diferencial,, adotado na Equação. depende da condição de deformação a qual o meio está sendo submetido. Desta forma, para a condição de deformação plana, tem-se que: x 0 0 y (4.) 0 0 y x e para a condição de deformação axissimétrica, tem-se que: x 0 0 y (4.) x 0 y x 40

54 4 Este operador é adotado para definição da equação cinemática que relaciona as componentes de deformação,, com as componentes de deslocamento, u, ou seja: u B u u ε ˆ ˆ (4.3) em que, para o estado plano de deformação x N 0 y N 0 y N 0 0 x N x N 0 y N 0 y N 0 0 x N nno nno nno nno B (4.4a) e para o estado axissimétrico de deformação x N 0 y N 0 y N x N 0 x N x N 0 y N 0 y N x N 0 x N nno nno nno nno nno B (4.4b) O sinal negativo na relação cinemática (Equação 4.3) indica a convenção de sinal de compressão positiva Matriz constitutiva De uma forma geral a matriz constitutiva elastoplástica utilizada na definição da matriz de rigidez (Equação.5) e da relação constitutiva (Equação.30) é dada por e h e T T T e e ep a D D b a b a D D D (4.5) No âmbito desta dissertação adota-se uma constitutiva com num modelo elástico perfeitamente plástico (a h =0) com plasticidade associada (a=b). Desta forma a matriz elastoplástica pode ser definida como: e e T T T e e ep D D a a a a D D D (4.6)

55 4 onde E e D (4.7) é a matriz constitutiva elástica, em que E é o módulo de Young e é o coeficiente de Poisson; e o vetor a é o gradiente da função de plastificação. O gradiente da função de plastificação é definido fazendo: ζ ζ ζ ζ a D 3 3D D D D 3D D D I I F I I F I F I I F )) I, (I, I, F(I (4.8) ou então: 3 3 C C C a a a a (4.9) em que, considerando as definições dos invariantes de tensão (Equações 3.4 a 3.6), tem-se 0 I ζ a (4.0) xy z y x z y x z y x D )/3 ( )/3 ( )/3 ( I ζ a (4.) ) ( 3 3 ) ( 9 ) ( 9 3 ) ( 9 ) ( 9 3 ) ( 9 ) ( 9 I z y x xy xy x z z y y x z y x xy x z z y y x z y x xy x z z y y x z y x 3D 3 ζ a (4.)

56 Da Equação 4.9 tem-se que: C F (4.3) I C F F (4.4) I I D D C 3 F (4.5) I 3D Considerando a definição da Equação 3.7, tem-se que: F I m 3 b (4.6) F I D ci a ID cosθ ci /a I D mbcosθ sen 3 I D (4.7) / a F cosθ I ci D tg I m cos sen (4.8) D b a ci 3 I D I I 3D D I D I 3D I D 3 3 cos 3 (4.9) I 3D I D I D 3 cos 3 (4.30) Para (na compressão), tem-se que: 6 C mb (4.3) 3 C / a σ 3I ci D mb 3ID (4.3) a σ ci 3 ID C 3 0 (4.33) 43

57 Para (na extensão), tem-se que: 6 C mb (4.34) 3 C / a σ 3I ci D mb 3I D (4.35) a σ ci 3 I D C 3 0 (4.36) 4.4. Implementações computacionais Neste item são apresentadas as intervenções feitas no programa ANLOG a fim de viabilizar a inclusão de mais um modelo constitutivo tensão-deformação. A Tabela 4. apresenta as sub-rotinas que sofreram alterações em função de cada macro comando e ainda as sub-rotinas que foram criadas exclusivamente para o modelo Hoek-Brown. Tabela 4. - Alterações no código computacional ANLOG Macro comando Sub-rotina Modificada Nova DATNPROP DADOS DATIMAT PROPERTIES MATDE_ALL DHB MATDEP_ALL DHB_GAGB SOLVE TCALCG_ALL YIELD_FUNC_HB TCALC_ e TCALC_7 COEF_GRAD YIELD_HD TSUP_HB 44

58 4.4.a. Macro comando DADOS A sub-rotina DATNPROP lê ou determina o número de parâmetros necessários para cada tipo de problema que se pretende resolver. Para a implementação do modelo Hoek-Brown será incluída nessa sub-rotina o número de parâmetros necessários ao modelo, conteúdo do vetor KELEM(9), o número de funções de plastificação, conteúdo do vetor KELEM(30), e o número de funções de endurecimento, conteúdo do vetor KELEM(3). No Quadro 4. o texto destacado em negrito é o que está sendo adicionado à sub-rotina, sendo que a expressão LCODE==9, representa o código do modelo Hoek-Brown implementado. A sub-rotina DATIMAT lê do arquivo de entrada os parâmetros que serão necessários ao modelo e os escreve no arquivo de saída. Novamente, o texto destacado em negrito no Quadro 4. é o que está sendo adicionado à sub-rotina. A sub-rotina PROPERTIES é responsável por atribuir às constantes do modelo os valores lidos no arquivo de entrada. O Quadro 4.3 mostra as linhas adicionadas à sub-rotina. Quadro 4. - Sub-rotina DATNPROP SUBROUTINE DATNPROP (KELEM,PROPG,THICK) Use Global_variables Use Local_variables DO IKEL=KEL,KEL,INCR IF(LTIPEL==.OR.LTIPEL==.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4)THEN ELSE IF (LCODE==9) THEN KELEM(9,IKEL)=7 KELEM(30,IKEL)= KELEM(3,IKEL)=0 END IF END IF END DO RETURN END Quadro 4. - Sub-rotina DATIMAT SUBROUTINE DATIMAT (LCODE,PROPS,LTIPEL,NPROPM) Implicit None IF(LTIPEL==.OR.LTIPEL==.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4)THEN ELSE IF (LCODE==9)THEN!Hoek & Brown 45

59 READ (,*) (PROPS(I),I=,3)!...E,, ci READ (,*) (PROPS(I),I=4,7)!...m b, s, a, ftol WRITE (,04) (PROPS(I),I=,7) END IF 04 FORMAT (/5X,'BILINEAR - HOEK & BROWN MODEL:',/, & 8X,'E =',G8.6,/, & 8X,' =',G8.6,/, & 8X,' ci =',G8.6,/, & 8X,'m b =',G8.6,/, & 8X,'s =',G8.6,/, & 8X,'a =',G8.6,/, & 8X,'Ftol =',G8.6,/) END IF RETURN END Quadro Sub-rotina PROPERTIES SUBROUTINE PROPERTIES (PROPS) Use Global_variables Use Local_variables Use Properties_declare IF(LTIPEL==.OR.LTIPEL==.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR. & LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4)THEN! PLANE AND SOLID ELLEMENT ELSE IF (LCODE==9)THEN!Hoek-Brown model...e,, ci, m b,s,a,ftol E =PROPS() NI =PROPS() QCI =PROPS(3) MHB =PROPS(4) SHB =PROPS(5) AHB =PROPS(6) FTO =PROPS(7) END IF END IF RETURN END 4.4.b. Macro comando SOLVE Neste item são apresentadas as rotinas incluídas e as alterações feitas em rotinas já existentes no código do ANLOG e que estão relacionadas ao macro comando SOLVE. Estas alterações estão relacionadas à obtenção da matriz constitutiva, à definição de esquema de integração de tensão e à verificação do nível de tensão. Os Quadros 4.4 e 4.5 apresentam as alterações feitas nas rotinas MATDE_ALL, que gerencia a montagem da matriz constitutiva elástica, e MATDEP_ALL que gerencia a montagem da matriz constitutiva elastoplástica de acordo com o critério de plastificação adotado. 46

60 Os Quadros 4.6, 4.7.e 4.8 apresentam as alterações feitas nas rotinas TCALCG_ALL, que gerencia o esquema de integração de tensão, e TCALC_ e TCALC_7 que executam o esquema de integração de tensão Forward-Euller. Nos Quadros 4.9 a 4.3 são apresentadas, respectivamente, a sub-rotina DHB que executa a montagem da matriz elastoplástica para o modelo de Hoek-Brown (Equação 4.6); a sub-rotina DHB_GAGB que calcula o gradiente da função de plastificação (Equação 4.9); a sub-rotina YIELD_FUNC_HB que avalia a função de plastificação (Equações 3.7, 3.8 e 3.9); a sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB que calcula os valores das constantes da superfície de plastificação (Equações 4.3, 4.4 e 4.5); e a sub-rotina TSUP_HB que verifica o estado de tensão de acordo com o critério de Hoek-Brown para realizar a integração de tensão. Quadro Sub-rotina MATDE_ALL SUBROUTINE MATDE_ALL (TENSAO,DEF,PROPS,DE,DT,SUP,THICK) Use Global_variables Use Local_variables Use Properties_declare IF(LTIPEL==.OR.LTIPEL==.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4)THEN IF(LCODE==9)CALL DHOOKE (DE) END IF RETURN END Quadro Sub-rotina MATDEP_ALL SUBROUTINE MATDEP_ALL (TENSAO,PROPS,DE,DT,SUP,SUP,ENDUC,ENDUC,ET,EC,THICK) Use Global_variables Use Local_variables Use Properties_declare IF(LTIPEL==.OR.LTIPEL==.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4)THEN IF (LCODE==9) CALL DHB (DE,DT,TENSAOG) END IF RETURN END Quadro Sub-rotina TCALCG_ALL SUBROUTINE TCALCG_ALL (PROPS,TENSAO,SUP,SUP,ENDUC,ENDUC,DDEF,DEF,STEP,THICK) Use Global_variables Use Local_variables Use Solve_variables IF(LTIPEL==.OR.LTIPEL==.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4)THEN 47

61 END IF RETURN END IF(LCODE==9)THEN! ORIGINAL HOEK BROWN IF(LLINT==.OR.LLINT==.OR.LLINT==4)THEN! EXPLICIT WITH SUBINCREMENT CALL TCALC_ (TENSAOG,DEFG,DDEF,SUP,STEP) ELSE IF(LLINT==3)THEN!EXPLICIT WITH ATOMATICALY SUBSTEPS CALL TCALC_7 (TENSAOG,DEFG,DDEF,SUP,STEP) ELSE WRITE(*,*)'LLINT MUST BE,,4 OR 3' STOP END IF END IF Quadro Sub-rotina TCALC_ SUBROUTINE TCALC_ (TENSAO,DEF,DDEF,SUP,STEP) Use Global_variables Use Local_variables Use Properties_declare Use Solve_variables DO ISUB=,NSUB! substeping loop IF(LCODE==3.OR.LCODE==5.OR.LCODE==.OR.LCODE==6.OR.LCODE==9)THEN! Evaluating the constitutive matrix CALL DHOOKE (DE) END DO RETURN END IF(LCODE==9)CALL DHB (DE,DT,TENSAO) END IF IF(SUP(5)/=5.0D0.OR.(SUP(5)==5.0D0.AND.LLRUPT==0))THEN IF(LCODE==9)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP)! Generalised Hoek Brown! updating the stess level! Generalised Hoek Brown SUBROUTINE TCALC_7 (TENSAO,DEF,DDEF,SUP,STEP) Use Global_variables Use Local_variables Use Properties_declare Use Solve_variables!-- VERIFYING THE INITIAL STRESS STATE IF(LCODE==9)CALL YIELD_FUNC_HB (STRESS_OLD,F0)!-- EVALUATING THE ELASTIC PREDICTOR STRESS!-- VERIFYING THE ELASTIC FINAL STRESS SATE F(STRESS) IF(LCODE==9)CALL YIELD_FUNC_HB (STRESS,F)!--- CHECKING THE ELASTIC CONDITION PREDICTION Quadro Sub-rotina TCALC_7 IF(F<=FTOL) THEN! THE STRAIN INCREMENT IS PURELY ELASTIC! UPDATE THE STRESS, STRAIN AND STRESS LEVEL IF(LCODE==9)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP) 48

62 ELSE IF (F>FTOL)THEN! THE STRAIN INCREMENT IS ELASTIC AND PLASTIC IF(F0<-FTOL) THEN!EALSTOPLASTIC PATH ELSE IF(DABS(F0)<=FTOL) THEN! UNLOADING ELASTOPLASTIC IF(LCODE==9)CALL DHB_GAGB (DE,STRESS_OLD,GA,GB,DEN,F0) END IF DO WHILE (TSUB<.0D0)! LOOP OF SUBINCREMENT! EVALUATING THE FIRST TRIAL FOR THE INCREMENT OF STRESS (DS) IF(LCODE==9)CALL DHB (DE,DT,STRESS_T)! EVALUATING THE SECOND TRIAL FOR THE INCREMENT OF STRESS (DS) IF(LCODE==9)CALL DHB (DE,DT,STRESS_T)! EVALUATING THE ERROR ON STRESS IF(R>STOL) THEN! 'THE SUBSTEP HAS FAILED - A NEW SIZE WILL BE CALCULATED' ELSE IF(R<=STOL) THEN! 'THE SUBSTEP HAS SUCCEED' END IF END DO! END OF SUB-STEP LOOP END IF RETURN END!---- UPDATING THE STRESS, STRAIN AND STRESS LEVEL IF(LCODE==9)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP) Quadro Sub-rotina DHB SUBROUTINE DHB (DE,DT,TENSAOG) Use Local_variables Use Properties_declare Use Global_variables Implicit None CALL DHB_GAGB (DE,TENSAOG,GA,GB,DEN,F) IF (FHB<-FTOL)THEN! --- ELASTIC REGIME DT=DE DEALLOCATE(GA,GB,DP,CP) RETURN END IF! --- PERFORMING CP=B*At/DEN DO I=,NCOMP DO J=,NCOMP CP(I,J) = (.0D0/DEN)*GB(I)*GA(J) END DO END DO! DEFINING HE PLASTIC MATRIX [DP]= [D EL] * [CP] [D EL] DP = MATMUL(MATMUL(TRANSPOSE(DE),CP),DE)! -- CALCULATING [DT]= [D EL] - [DP] DT= DE-DP DEALLOCATE (GA,GB,DP,CP) 49

63 RETURN END SUBROUTINE DHB_GAGB (DE,TENSAOG,GA,GB,DEN,F) Use Local_variables Use Properties_declare GA=0.0D0; GB=0.0D0 A=0.0D0; A=0.0D0; A3=0.0D0 AD=0.0D0; AD=0.0D0; AD3=0.0D0 CALL YIELD_FUNC_HB (TENSAOG,F) CALL COEF_GRAD_YIELD_HB (TENSAOG,C,C,C3) CALL DIFF_INVD (AD,AD,AD3,TENSAOG,NCOMP) CALL DIFF_INV (A,A,A3,TENSAOG,NCOMP)!--- YIELD FUNCTION GRADIENT (GA)--- GA=C*A+C*AD+C3*AD3!--- POTENTIAL FUNCTION GRADIENT (GB)--- GB=GA! CALCULATING DEN = GA*DE*B + H => H = 0 A = MATMUL(DE,GB) DEN=DOT_PRODUCT(GA,A) DEALLOCATE (A,A,A3,AD,AD,AD3) RETURN END SUBROUTINE YIELD_FUNC_HB (TENSAOG,F) Use Properties_declare Use Local_variables PI=.0D0*DACOS(0.0D0) IDTOL=.0D-0 I=TENSAOG()+TENSAOG()+TENSAOG(3) CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,ID,ID,I3D) IF(I3D==0.0D0)I3D= D0 IF(ID>IDTOL)THEN RID=DSQRT(ID) T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(.0D0*ID*RID) IF(T3<-.0D0)T3=-.0D0 IF(T3>.0D0)T3=.0D0 T=(.0d0/3.0d0)*dasin(T3) ELSE ID = IDTOL T = 0.0D0 T3 = 0.0D0 RID =DSQRT(IDTOL) END IF X= QCI*(.0D0*DCOS(T)*RID/QCI )**(.0D0/AHB) X= MHB*RID*( DCOS(T)+DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) ) X3= -SHB*QCI-MHB*I/3.0D0 F= X+X+X3 RETURN END Quadro Sub-rotina DHB_GAGB Quadro 4. - Sub-rotina YIELD_FUNC_HB Quadro 4. - Sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB SUBROUTINE COEF_GRAD_YIELD_HB (TENSAOG,C,C,C3) Use Properties_declare Use Local_variables PI=.0D0*DACOS(0.0D0) IDTOL=.0D-0 I=TENSAOG()+TENSAOG()+TENSAOG(3) CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,ID,ID,I3D)!IF(I3D==0.0D0)I3D= D0 IF(ID>IDTOL)THEN RID=DSQRT(ID) R3ID=DSQRT(3.0D0*ID) T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(.0D0*ID*RID) IF(T3<-.0D0)T3=-.0D0 IF(T3>.0D0)T3=.0D0 T=(.0d0/3.0d0)*dasin(T3) 50

64 ELSE ID = IDTOL T = 0.0D0 T3 = 0.0D0 RID =DSQRT(IDTOL) R3ID =DSQRT(3.0D0*IDTOL) END IF TL=PI/6.D0 C4 = (QCI/AHB)*(RID*.0D0*DCOS(T)/QCI)**(.0D0/AHB) C5 = MHB*RID C6 = DSQRT(3.0D0)/(.0D0*ID*RID*DCOS(3.0D0*T)) DF_DI = -MHB/(3.0D0*QCI) IF (DABS(T)>TL) THEN DF_DI=(QCI/AHB)*( R3ID/QCI )**(.0D0/AHB) IF (T < 0.0D0)DF_DI= DF_DI + MHB*R3ID/(3.0D0) IF (T > 0.0D0)DF_DI= DF_DI +.0D0*MHB*R3ID/(3.0D0) DF_DI = DF_DI/(.0D0*ID) DF_DT = 0.0D0 DT_DI = 0.0D0 DT_DI3 = 0.0D0 ELSE IF (DABS(T)<TL) THEN DF_DI = C4 + C5*(DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) + DCOS(T)) DF_DI = DF_DI/(.0D0*ID) DF_DT = -C4*DTAN(T) + C5*( DCOS(T)/DSQRT(3.0D0) - DSIN(T) ) DT_DI = (C6*I3D)/(.0D0*ID) DT_DI3 = -C6 END IF C = DF_DI C = DF_DI + DF_DT*DT_DI C3 = DF_DT*DT_DI3 RETURN END Quadro Sub-rotina TSUP_HB SUBROUTINE TSUP_HB (TENSAOG,SUP) Use Global_variables Use Local_variables Use Properties_declare IDTOL=.0D-0 I=TENSAOG()+TENSAOG()+TENSAOG(3) CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,ID,ID,I3D) IF(I3D==0.0D0)I3D= D0 IF(ID>IDTOL)THEN RID=DSQRT(ID) T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(.0D0*ID*RID) IF(T3<-.0D0)T3=-.0D0 IF(T3>.0D0)T3=.0D0 T=(.0d0/3.0d0)*dasin(T3) ELSE ID = IDTOL T = 0.0D0 T3 = 0.0D0 RID =DSQRT(IDTOL) END IF X= QCI*(.0D0*DCOS(T)*RID/QCI)**(.0D0/AHB) X= MHB*RID*( DCOS(T)+DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) ) - SHB*QCI - MHB*(I/3.0D0) SUP()= DABS(X)!... SUP() I cosθ ci SUP(4)= DABS(X)!... SUP(4) I m cosθ sen 3 (m I ) 3 s SUP(3)=SUP()/SUP(4) IF(SUP(3)>.0D0)SUP(3)=.0D0 IF (SUP(3)==.0D0)THEN SUP(5) = 5.0D0 ELSE IF (SUP(3)<.0D0)THEN IF (SUP()>SUP()) SUP(5) =.0D0 IF (SUP()<=SUP())SUP(5) =.0D0 END IF RETURN END D D b ci / a b ci 5

65 Capítulo 5 EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO Este capítulo apresenta uma série de exemplos com o objetivo de verificar a implementação computacional do modelo constitutivo de Hoek-Brown no sistema computacional ANLOG e exemplos com o objetivo de demonstrar a aplicação deste sistema para análise de problemas geotécnicos incluindo a abertura de cavidades e capacidade de suporte de fundações superficiais. Desta forma, apresenta-se primeiramente a simulação de ensaios de compressão triaxial convencional (CTC) considerando diferentes trajetórias de tensão. Em seguida apresenta-se um exemplo relacionado à análise elastoplástica de aberturas de cavidades cilíndricas (furos, poços e túneis) em maciços rochosos cuja solução analítica, considerando um modelo elástico-frágil perfeito de Hoek-Brown, foi apresentada por Sharan (003 e 005) e Park e Kim (006) e é adotada neste trabalho para verificação das implementações computacionais. Por fim apresenta-se um exemplo de aplicação relacionado à capacidade de suporte de fundações superficiais. 5

66 Eixo de simetria axial 0 cm 5.. Simulação de um ensaio CTC Neste item é apresentada a simulação de um ensaio CTC considerando as trajetórias de tensão de compressão, por carregamento axial (CA) e descarregamento lateral (DL), e extensão, por carregamento lateral (CL) e descarregamento axial (DA tal como ilustrado na Figura 5., considerando duas tensões de confinamento de 500kPa e 500kPa. q Envoltória de resistência na compressão CA Eixo de simetria horizontal CL DL DA Envoltória de resistência na extensão 5 cm Corpo de prova Trajetórias de tensão Cilíndrico Figura 5. - Simulação de ensaios triaxiais CTC p A malha de elementos finitos (constituída por 4 elementos Q8 e pontos nodais) e as condições de contorno são apresentadas na Figura 5.. O controle de deformação foi adotado, aplicando-se um deslocamento prescrito, de modo a possibilitar a descrição do comportamento do material após a ruptura. Os parâmetros do modelo Hoek- Brown são apresentado na Tabela 5.. Tabela 5. - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - CTC E(MPa) ci (MPa) m b s a A Tabela 5. apresenta os parâmetros adotados no processo de solução incremental-iterativo do tipo Newton-Raphson modificado com incrementos 53

67 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm automáticos de carga. Para a integração de tensão adotou-se o esquema explícito com sub-incrementos avaliados em função do erro cometido na avaliação da tensão adotando STOL=0 - e FTOL=0-5. Tabela 5. - Parâmetros da solução incremental-iterativa - CTC 0 max min I d miter toler (%) cm.5 cm Carregamento Axial (CA) Descarregamento Lateral (DL) = 0.0 cm =0.05cm a) Trajetória de compressão.5 cm.5 cm Descarregamento Axial (DA) Carregamento Lateral (CL) =0.05cm = 0.0 cm b) Trajetórias de extensão Figura 5. - Malha de elementos finitos trajetórias de tensão A Figura 5.3 apresenta as curvas tensão desviadora ( q 3I D ) versus deformação axial ( a ) obtidas numericamente para as diferentes trajetórias de tensão 54

68 q=sqrt(3i D ) (kpa) ilustradas na Figura 5. considerando dois níveis de tensão de confinamento iniciais de 500kPa e 500kPa. Como pode ser visto nesta figura, a resistência ao cisalhamento, q max, aumenta com nível de tensão de confinamento inicial, p 0, independente da trajetória de tensão. Para um mesmo nível de tensão de confinamento inicial, observa-se que a resistência ao cisalhamento numa trajetória de compressão por carregamento axial (CA) é idêntica à resistência ao cisalhamento numa trajetória de extensão por carregamento lateral (CL), no entanto, a deformação axial neste estado é maior, em módulo, na compressão que na extensão, indicando que a resistência ao cisalhamento é mobilizada mais rapidamente na extensão. O mesmo comportamento se observa para as trajetórias de compressão por descarregamento lateral (DL) e extensão por descarregamento axial (DA) CL-500 Extensão Compressão CA CL-500 CA DA-500 DA-500 DL-500 DL a (%) Figura Curva tensão-deformação ensaio CTC 55

69 A Tabela 5.3 apresenta os valores da resistência ao cisalhamento, q max, e a deformação axial na ruptura, ε a max, de acordo com as propriedades do modelo de Hoek Brown apresentadas na Tabela 5., para o para as tensões de confinamento de.5mpa e.5mpa. Tabela Valores da resistência ao cisalhamento e deformação axial máxima Trajetória de tensão p 0 (MPa) q max (MPa) ε a max (%) CA EA A Figura 5.4 apresenta as envoltórias de resistência do modelo Hoek Brown no espaço da tensão desviadora ( q ) e da tensão normal média ( I / 3), para as 3I D p trajetórias de compressão (Equação 3.8) e de extensão (Equação 3.9). Nesta figura são apresentados os resultados numéricos em termos das trajetórias de tensão indicadas na Figura 5. para os dois níveis de tensão de confinamento inicial de 500kPa e 500kPa. Como esperado, as trajetórias de tensão caminham para a superfície de plastificação e lá permanecem uma vez que a situação F>0 é uma situação não permitida. Pode-se concluir com esse exemplo que a implementação computacional, para esse tipo de análise foi bem sucedida, fornecendo soluções de acordo com as obtidas analiticamente. 56

70 q=sqrt(3i D ) (kpa) Comp. por CA Comp. por DL CA CA CL CL Exten. por CL Exten. por DA DL DL DA DA Envoltória de Resistência na Extensão na Compressão p=i /3(kPa) Figura Trajetórias de tensão no espaço p-q 5.. Cavidade cilíndrica em meio elastoplástico O problema a ser analisado neste item é ilustrado na Figura 5.5 e consiste na avaliação da distribuição das tensões e deslocamentos ao redor de uma cavidade cilíndrica de raio interno, r i, executada a grande profundidade num maciço rochoso, considerado homogêneo e isotrópico e submetido a um estado de tensão inicial isotrópico, 0. O comportamento tensão deformação do maciço rochoso é representado por um modelo elástico perfeitamente plástico, com plasticidade associada, adotando o critério de plastificação de Hoek-Brown. O raio de transição plástico-elástico, R, delimita a região de comportamento plástico (R-r i ) no entorno da cavidade e o raio externo, r e, delimita o domínio do problema, 57

71 y, elástica p i r i r r x,r plástica R r e 0 Figura Abertura de uma cavidade cilíndrica a grande profundidade Sharan (003 e 005) e Park e Kim (006) apresentaram uma solução analítica para este problema considerando um material com comportamento elástico frágil perfeito. Neste trabalho, apresenta-se uma adaptação esta solução para o material com comportamento elástico perfeitamente plástico. Assim, a distribuição das tensões radial e circunferencial na zona plástica, ou seja, para r i <r<r, é dada por: σ r m σ r r b ci ln ln mbσcipi sσci pi 4 r i r (5.) i mbσci r σ σ r mbσcipi sσci ln (5.) ri Na região elástica, ou seja, para R<r<r e, tem-se que: σ r R σ0 (σ0 σr ) (5.3) r R σ σ0 (σ0 R ) (5.4) r em que ζ R é a tensão radial no raio de transição, R, definido como: 58

72 F F mbσci R r e (5.5) I Onde F σ ci F0 m bσ ci m b σ cif0 (5.6) F 4 m bσ cip i s σ ci (5.7) F 0 6s σ ci mbσ ci 6m bσ 0 (5.8) A distribuição dos deslocamentos radial na zona elástica é dada por: R u r (σ0 σr ) (5.9) E r Na transição plástico-elástico, tem-se: u R (σ0 σr )R (5.0) E Este problema foi analisado numericamente por Wan (99), Clausen et al (006) e Clausen e Damkidle (008) considerando um estado de deformação axissimétrico no plano (zx) enquanto Choi e Deb (005) apresentam os resultados obtidos considerando uma análise em estado de deformação plana no plano vertical (xy). Neste trabalho foi adotada a análise em estado plano de deformação no plano xy. A Figura 5.6 ilustra a malha de elementos finitos adotada e a Tabela 5.4 apresenta os parâmetros do modelo de Hoek-Brown adotados neste exemplo. Para essa análise numérica foi adotado o procedimento incremental iterativo de Newton-Raphson Modificado com incrementos automáticos de carga (I d =0, miter=0; toler=0.%; 0 =0.0; min =0-6 ; max =0 - ) e o esquema de integração de tensão Foward Euler com sub incrementos variados (FTOL=0-5 e STOL=0 - ) 59

73 y 0 =30MPa r e =00m x r i =5m 00 elementos isoparamétricos Q8 e 66 pontos nodais Figura Malha de elementos finitos - cavidade cilíndrica em meio elastoplástico Tabela Parâmetros do modelo Hoek-Brown - cavidade E(MPa) ci (MPa) m b s a As respostas numérica, obtida pelo ANLOG, e analítica, considerando um estado de tensão inicial isotrópico de 30MPa, são apresentadas na Figura 5.7, em termos da distribuição de tensão ao longo da direção horizontal (y=0) e na Tabela 5.5, em termos do raio de transição e das tensões de transição, radial e circunferencial. Como pode ser observado, as soluções numérica e analítica apresentam uma excelente concordância. Tabela Raio de transição e tensões (p i =0MPa e r i =5m) Solução R/r i ζ r /ζ 0 ζ θ /ζ 0 ζ z /ζ 0 Analítica Numérica

74 Tensões normalizadas.6.4. / 0 Numérica Analítica 0.8 r / z / r/r i Figura Distribuição das tensões ao redor da abertura circular A distribuição de tensão no entorno da cavidade é apresentado na Figura 5.8 através das isócronas das componentes de tensão enquanto na Figura 5.9 são ilustradas as regiões elástica e plástica. Estas regiões são definidas em função da razão de tensão (SLR) definida como: SLR /a I cosθ σ (-/a) sinθ D ci m b I D cosθ 3 (5.) I sσ ci m b 3 Na região plástica, SLR= e na região elástica SLR <. 6

75 Tensões (MPa) 0 Tensões (MPa) Tensões (MPa) 45 0 a) x b) y Tensões (MPa) c) z d) xy Figura Distribuição de tensão Região plástica Região elástica Figura Regiões elásticas e plásticas 6