FLAVIO BAROSSI GIOVANNA SAQUIETTI KIM HOFFMANN MARINA LEONARDI

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ARQUITETURA E URBANISMO ESCOLA POLITÉCNICA PEF 2602 ESTRUTURAS NA ARQUITETURA II SEGUNDO SEMESTRE DE 2010 EXERCÍCIO 4 FLAVIO BAROSSI GIOVANNA SAQUIETTI KIM HOFFMANN MARINA LEONARDI

2 [INTRODUÇÃO] O exercício propunha um estudo da ponte Alamillo, obra do arquiteto Santiago Calatrava inaugurada em 1992 na cidade de Sevilha, na Espanha. Modelo simplificado da estrutura da ponte feito no programa Ftool.

3 [1] No programa Ftool, fizemos um modelo simplificado da estrutura da ponte, conforme sugeria o enunciado do exercício. Os materiais e as seções transversais atribuídas a cada elemento da estrutura estão sintetizados na tabela abaixo. ELEMENTO DA ESTRUTURA TIPO MATERIAL PESO ESPECÍFICO [kn/m 3 ] MÓDULO DE ELASTICIDADE [GPa] SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO ÁREA [m 2 ] MOMENTO DE INÉRCIA [m 4 ] tabuleiro aço * 205 genérica 1,61 16 pilão genérico genérica estais aço * 160 círculo 0,035 * [*] Dados atribuídos automaticamente pelo programa Ftool em função do tipo de material ou da geometria da seção transversal. Com relação ao tabuleiro, ainda que a área de sua seção transversal fosse irrelevante para o estudo que faríamos, o programa Ftool exige que se atribua uma área. Para determiná-la, consideramos que o peso próprio do tabuleiro corresponde à soma dos pesos próprios de seus elementos metálicos e em concreto. Conhecendo o volume dos elementos em concreto, obtivemos o volume dos elementos metálicos, e com isso a área do caixão metálico central. Como apenas esse caixão é efetivo à flexão, foi a sua área que atribuímos ao tabuleiro: Q tab = q tab. C tab Q tab = 300 kn/m. 233,69 m = kn Q tab = P metal + P concreto = V metal. γ metal + V concreto. γ concreto Q tab = A metal. C tab. γ metal + e concreto. L tab. C tab. γ concreto A metal = [Q tab (e concreto. L tab. C tab. γ concreto ] / (C tab. γ metal ) A metal = [ (0, ,69. 25] / (233,69. 77) = 1,6138 m 2 q tab = carga distribuída por metro do tabuleiro Q tab = carga total do tabuleiro P metal = peso próprio dos elementos metálicos do tabuleiro C tab = comprimento do tabuleiro P concreto = peso próprio dos elementos de concreto do tabuleiro L tab = largura do tabuleiro e concreto = espessura de concreto sobre as pitas de rolagem γ metal = peso específico do metal V metal = volume dos elementos metálicos do tabuleiro γ concreto = peso específico do concreto V concreto = volume dos elementos de concreto do tabuleiro A metal = área equivalente dos elementos metálicos, atribuída à seção do tabuleiro O valor obtido está longe dos 4 m 2 que sugeriu o professor Ruy Pauletti, mas não nos preocupamos com essa variação porque o próprio professor explicou que ela não alteraria os resultados. Com relação aos 13 estais, a área atribuída à seção transversal de cada um deles no modelo equivale à área de um par de estais na estrutura real; sabendo que o diâmetro deles é de 0,15 m,

4 calculamos o diâmetro equivalente para que cada estai do modelo tivesse o dobro a área de seção transversal em relação a um estai da ponte: d = 0,15 m r = 0,075 m A = π. r 2 = π. (0,075) 2 = 0,01767 m 2 A eq = 2. 0,01767 = 0,03534 m 2 r eq = (A eq / π) r eq = 0,10606 m d eq = 0,21213 m Nessa primeira etapa, atribuímos aos estais um módulo de elasticidade muito baixo (E = 1 N/m 2 ), no intuito de estudar os efeitos independentes das cargas de peso próprio do pilão e do tabuleiro. No tabuleiro e no pilão foram aplicadas cargas uniformemente distribuídas decorrentes do peso próprio desses dois elementos. O peso próprio dos estais foi desprezado; o do tabuleiro, fornecido no enunciado, vale q tab = 300 kn/m; e o do pilão foi calculado multiplicando-se a área da sua seção transversal pela sua altura (inclinada) e pelo peso específico do seu material: Q pilão = , = ,50 kn q pilão = 750 kn/m A figura mostra a atuação dos carregamentos e as forças reativas nos três apoios: Sob tais parâmetros, ocorrem apenas forças de reação verticais, demonstrando que os estais não estão trabalhando, pois, caso estivessem, haveriam componentes horizontais. O apoio sob o pilão é o mais solicitado, pois suporta o peso do próprio pilão e de metade do trecho entre os dois apoios fixos. O apoio fixo ao lado é o segundo mais solicitado, apresentando reação para baixo. O apoio móvel da esquerda é solicitado numa ordem de 10 vezes menos do que os outros dois.

5 deformada Devido ao pequeno módulo de elasticidade (E = 1 N/m 2 ) dos estais, eles apresentam grande deformação. Aliado à esse fato, o peso próprio do pilão faz com que o mesmo se incline excessivamente. Também pelo seu próprio peso, o tabuleiro flete. Essas duas ações fazem com que os estais sejam bastante solicitados por tração e, por serem altamente deformáveis, apresentem grande alongamento. momento fletor O maior momento fletor do sistema é na base do pilão, quando encontra o tabuleiro. É necessário um grande momento reativo para equilibrar o momento provocado pelo peso do pilão, por isso esse ponto é bastante solicitado. Os cabos por definição, não têm momentos fletores.

6 forças cortantes Como era de se esperar, as maiores forças cortantes se localizam nos pontos de apoio. Verificase que entre os dois apoios fixos ocorre uma força cortante bem pronunciada, uma vez que ali estão atuando tanto o peso próprio do pilão quanto do tabuleiro. O pilão possui força cortante devido à inclinação entre seu eixo e seu peso próprio, o que resulta em uma componente perpendicular do peso em relação ao pilão. A força cortante varia uniformemente, sendo nula na extremidade superior e máxima em sua base, uma vez que ali se concentra seu peso total. Outra observação importante é que onde a força cortante é nula no tabuleiro, a cerca de 85 m do apoio móvel, coincide o maior momento fletor da parábola do tabuleiro, como pode ser percebido na imagem anterior. Os cabos não possuem força cortante pois seus pesos próprios foram desconsiderados. forças normais A força normal no tabuleiro é constante e nula, uma vez que seu peso próprio é perpendicular, não possuindo componente horizontal. Já o pilão, por ter o peso próprio inclinado, apresenta a componente horizontal do peso. No pilão, a força normal de compressão varia uniformemente, sendo nula na extremidade superior e máxima em sua base, uma vez que ali se concentra o peso

7 total do pilão. Os cabos não possuem força normal pois seus pesos próprios foram desconsiderados. Para uma melhor visualização dos diagramas, optamos por não exibir os valores numéricos. Ainda assim, a título de comparação, tabelamos a seguir os módulos dos esforços solicitantes máximos e mínimos e também os deslocamentos máximos tanto no pilão quanto no tabuleiro: Tabela 1.1 esforços solicitantes Valor máximo Valor mínimo P T P T Momento fletor [kn.m] Força cortante [kn] Força normal [kn] [P] e [T] indicam, respectivamente, pilão e tabuleiro. Tabela 1.2 máximas deformações x y Deformação máxima no pilão [mm] - 2, , Deformação máxima no tabuleiro [mm] - 2,543-1, Tanto pelos diagramas quanto pelas tabelas que apresentam os valores dos esforços solicitantes e máximas deformações é possível notar que, sob as condições aqui impostas, a estrutura sofre um momento fletor muito grande. Além disso, o apoio fixo sob o pilão é demasiadamente requesitado por todos os esforços solicitantes, que apresentam ali seus pontos máximos. Devido aos altos valores dos momentos e ao pequeno módulo de elasticidade dos estais, a estrutura apresenta grandes deslocamentos e os estais grandes alongamentos. O maior deslocamento, representado pelo pilão no eixo x, é de quase 2,8m, o que não seria admissível para esse tipo de estrutura, já que provavelmente viria a ocorrer o colapso. Se houvesse intenção de se construir uma estrutura que suportasse tamanha solicitação, haveria a necessidade de um grande consumo de material, provavelmente tornando a construção inviável.

8 [2] Em seguida, atribuímos aos estais seu módulo de elasticidade real, E = 160 GPa. Nada mais foi alterado em relação ao modelo anterior. carregamentos e reações Com a aplicação do módulo de elasticidade real dos estais, ocorrem forças de reação horizontais, demonstrando que os estais estão trabalhando. Isso ocorre porque com um valor maior do módulo de elasticidade, há uma maior resistência à deformação. Os dois apoios fixos apresentam a mesma força horizontal de reação, mas com sentidos contrários. Nesse caso, todas as forças verticais apresentam o mesmo sentido. O apoio mais solicitado continua a ser o que está sob o pilão, com uma força vertical numa ordem 10 vezes maior do que os outros dois apoios. deformada

9 Ao aplicarmos o módulo de elasticidade real aos estais (E = 160 GPa), é possível perceber que a estrutura apresenta uma deformação consideravelmente menor, uma vez que o maior módulo de elasticidade condiz com um material mais rígido e que, portanto, sofre menos deformação. Sendo assim, mesmo sob a ação dos mesmos pesos que o item anterior, uma maior rigidez nos estais resulta numa menor flexão do tabuleiro e numa menor inclinação do pilão. momento fletor Há uma notável diminuição do momento fletor de maneira geral. Um fato interessante é que, com uma maior resistência à deformação pelo módulo de elasticidade dos estais, o maior momento fletor deixa de ser no apoio fixo sob o pilão e passa para o apoio fixo ao lado. forças cortantes Além de serem menores, as forças cortantes, com a atuação dos estais, deixam de ser uniformemente distribuídas ao longo do pilão e do tabuleiro e passam a zerar em todas as articulações, tanto dos apoios quanto dos estais. Além disso, a parte entre os dois apoios fixos deixa de ser a mais requisitada. Tanto o apoio fixo

10 sob o pilão como o apoio fixo ao lado estão bem aliviados em relação ao item anterior, uma vez que o peso próprio do pilão vai sendo equilibrado com a ação dos estais. forças normais Com a atuação dos estais no equilíbrio e estabilidade da estrutura, esses passam a ter pequenas forças normais, sendo a maior no estai 5, tracionado com 7609,3 kn. As forças normais também passam a agir no tabuleiro, sendo a maior de compressão com quase kn. Em contrapartida, ocorreu uma notável diminuição das forças normais no pilão, antes o único elemento solicitado por tal força. Tabela 2.1 esforços solicitantes MODELO 1 MODELO 2 Valor máximo Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo P T P T P T P T Momento fletor [kn.m] Força cortante [kn] Força normal [kn] Tabela 2.2 máximas deformações MODELO 1 MODELO 2 x y x y Deformação máxima no pilão [mm] Deformação máxima no tabuleiro [mm] - 2, , ,1-193,4-2,543-1, ,74-449

11 Com a inserção do real módulo de elasticidades dos estais, nota-se que, por esses passarem a apresentar certa resistência à deformação, eles atuam nas solicitações à estrutura. Com isso, os esforços solicitantes ficaram mais bem distribuídos por toda a estrutura. Assim, o apoio fixo sob o pilão, que antes possuía todos os máximos esforços solicitantes, agora contém apenas a máxima força normal. Apenas as forças normais apresentaram aumento do item 1 para o 2, tanto as força cortantes quanto os momentos fletores diminuíram. O máximo momento fletor no tabuleiro diminuiu quase 8 vezes, enquanto que no pilão chegou a quase 11 vezes. Essa grande diminuição da solicitação de momentos, junto com uma melhor distribuição dos esforços solicitantes de maneira geral, resultou em deformações bem menores, que chegaram a reduzir em quase 10 vezes, como é o caso do deslocamento horizontal do pilão. Apesar de possuir parâmetros bem mais aceitáveis, espera-se que os momentos fletores diminuirão mais com a protensão dos estais, simulado no próximo item com a atuação de temperaturas negativas nos mesmos. [3] Submetendo os estais a variações negativas de temperatura, simulamos a aplicação de cargas de protensão sobre esses elementos. O nível de protensão que anula o momento fletor na base do pilão (M = kn.m) é obtido quando se varia a temperatura de 57ºC. Como a representação do Ftool é um tanto confusa, vale ressaltar que a variação de temperatura foi aplicada apenas nos estais, e não no tabuleiro e no pilão. carregamentos e reações Com os estais tensionados (fato simulado pela temperatura negativa), as reações horizontais apresentam um aumento de cerca de 7000 kn e continuam iguais, com sentido contrário. As maiores mudanças ocorrem nas reações verticais. O apoio móvel reage com uma força quase 10

12 vezes maior do que anteriormente, mostrando que sob tais condições ele é muito mais solicitado. Em compensação, o apoio fixo no meio do tabuleiro é menos solicitado na mesma ordem de grandeza. deformada A deformada da estrutura sob tais condições demonstra deslocamentos muito menores, principalmente do pilão que apresenta deslocamentos de cerca de 4 cm, evidenciando que provavelmente o momento fletor se anula em diversas partes do pilão. O tabuleiro, sob ação de seu peso, ainda flete, mas com um deslocamento no eixo vertical menor do que ocorria anteriormente, uma vez que há a atuação dos estais tensionados. momento fletor Através desse diagrama, nota-se que o momento fletor em todo o pilão diminuiu consideravelmente, zerando em diversos pontos. Para isso, supõe-se que as forças cortantes e normais aumentaram. O ponto com maior momento fletor continua a ser no apoio no meio do tabuleiro.

13 forças cortantes As forças cortantes entre os apoios fixos aumentaram, em todas as outras partes ocorreu a diminuição. A diminuição ocorre pela força de tração inclinada realizada pelos estais. O aumento se dá pelo fato de que, nesse ponto, os estais trabalhando estão mais longe, contrabalanceando menos o peso próprio da estrutura. forças normais As forças normais aumentam em relação ao item anterior. Proporcionalmente os estais apresentam maior variação, aumentando cerca de 1000kN cada um.

14 Tabela 3.1 esforços solicitantes MODELO 2 MODELO 3 Valor máximo Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo P T P T P T P T Momento fletor [kn.m] Força cortante [kn] Força normal [kn] Tabela 3.2 máximas deformações MODELO 2 MODELO 3 x y x y Deformação máxima no pilão [mm] - 289,1-193,4-39,52-42,99 Deformação máxima no tabuleiro [mm] - 21, ,78-376,9 Com a protensão nos estais, a maior mudança foi no momento fletor do pilão, tendo seu máximo valor diminuído em quase 4 vezes. As forças normais e cortantes aumentaram de maneira geral. Percebe-se que com a diminuição dos momentos fletores, as deformações foram muito mais sutis no pilão, como mostra a tabela acima. Sua deformação máxima apresenta deslocamentos de cerca de 4 cm tanto no eixo x quanto no y. O tabuleiro apresentou um ligeiro aumento no deslocamento horizontal, mas uma diminuição de cerca de 7 cm no eixo vertical em relação ao item anterior. A atuação dos estais torna a estrutura mais estável, principalmente pela pouca deformação do pilão. [4] Nessa etapa,estudamos o comportamento da estrutura mediante aplicação de cargas variáveis. Os resultados serão apresentados em cinco tópicos: 4.1 a variação de mais 10% no valor das cargas de protensão dos estais 4.1 b variação de menos 10% no valor das cargas de protensão dos estais 4.2 a aplicação de carga concentrada no nó de ancoragem do estai nº b aplicação de carga concentrada no nó de ancoragem do estai nº c aplicação de carga concentrada no nó de ancoragem do estai nº 10 [4.1a] Para simular uma variação de mais 10% no valor das cargas de protensão dos estais, diminuímos ainda mais a temperatura. Esta variação é obtida com variação de temperatura C. Essa variação de temperatura foi aplicada nos estais, e não no pilão e no tabuleiro.

15 deformada com reação momento fletor cortante

16 normal [4.1b] Carga de protensão 10% menor temperatura 46ºC deformada

17 momento fletor cortante normal

18 Tabela 4.1 esforços solicitantes MODELO 3 MODELO 4.1a MODELO 4.1b Valor máximo Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo P T P T P T P T P T P T M [kn.m] V [kn] N [kn] Tabela 4.2 máximas deformações MODELO 3 MODELO 4.1a MODELO 4.1b x y x y x y Deformação máxima no pilão [mm] Deformação máxima no tabuleiro [mm] - 39,52-42,99 412,5 229,5-490,0-314,6-23,78-376,9-27,47-248,6-20,67-506,0 t = -160ºC t = 46ºC [4.2a] Força F, vertical, aplicada no 4º estai deformada

19 momento fletor cortante

20 normal [4.2b] Força F, vertical, aplicada no 7º estai. deformada

22 normal [4.2c] Força F, vertical, aplicada no 10º estai. deformada com reação

24 normal Tabela 4.3 esforços solicitantes MODELO 4.2a MODELO 4.2b MODELO 4.2c Valor máximo estai 4 estai 7 estai 10 Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo P T P T P T P T P T P T M [kn.m] V [kn] N [kn] Tabela 4.4 máximas deformações MODELO 4.2a MODELO 4.2b MODELO 4.2c x y x y x y Deformação máxima no pilão [mm] Deformação máxima no tabuleiro [mm] - 1,154-19,99 20,83-6,736 15,48-9,912-24,57-454,2-24,69-502,8-24,6-488,6 [5] Na última etapa, estudamos o efeito provocado pelo acréscimo de um contra-estai vertical ligando o nó do topo do mastro a um apoio fixo ao nível do solo. Admitiu-se que a área desse contra-estai é igual a cinco vezes a área dos estais. Assim:

25 A contra-estai = 5. 0,03534 = 0,1767 m 2 d contra-estai = 2. (0,1767 / π) = 0,4743 m Para comparar com os modelos feitos anteriormente, escolhemos repetir, para esta nova estrutura, o tópico 4 do exercício. PONTO 4 (Força F, vertical, aplicada no 4ºestai) forças atuantes e reações Observa-se que, pelo contra-estai ser um cabo, seu apoio não tem reação no sentido horizontal. Uma força desse tipo seria uma força cortante ao cabo e sabemos que não há forças cortantes em cabos. Em relação à estrutura sem contra-estai, as reações verticais dos apoios não mudaram muito, o apoio intermediário do tabuleiro diminuiu cerca de 1000 tf. Mas as reações no sentido horizontal aumentaram com a introdução do contra-estai.

26 deformada No pilão, o maior deslocamento horizontal é na ponta superior. O maior deslocamento do tabuleiro no sentido vertical acontece na ponta direito. O que faz sentido já que o apoio não impede o movimento nesse sentido. O peso próprio faz o tabuleiro fletir para baixo e o pilão tombar mais para a esquerda. Os estais seguram esses elementos diminuindo a deformação de cada um dos lados. Em relação à estrutura sem contra-estai, o deslocamento no pilão é bem maior, mas no tabuleiro é um pouco menor. momento fletor Em comparação com a mesma estrutura sem o contra-estai mas com a mesma protensão, o momento no pilão mudou um pouco. Parece que o contra estai faz com que o momento na parte de cima do pilão seja maior que embaixo, ao contrário do que acontecia antes. Além disso, os momentos no tabuleiro diminuem um pouco.

27 forças cortantes O diagrama das forças cortantes continua mais ou menos com o mesmo formato do da estrutura sem contra-estai e as forças no tabuleiro diminuíram um pouco. forças normais A presença do contra-estai aumenta um pouco a maioria das forças normais.

28 PONTO 7 (Força F, vertical, aplicada no 7º estai) forças atuantes e reações deformada No sentido horizontal, a maior deformação é na ponta onde há apoio móvel, como aconteceu com a aplicação da força no nó 4. As deformações não são muito diferentes da estrutura sem o contra-estai. A diferença é que o pilão inclina mais, se deslocando mais também. Isso acontece porque existe o contra-estai que puxa o pilão no sentido oposto às forças dos estais. No tabuleiro não há grandes mudanças.

29 momento fletor Como aconteceu com a aplicação da força no nó 4, os momentos, com o contra-estai, aumentaram na parte superior do pilão. Em compensação, no tabuleiro o momentos fletores diminuíram um pouco. forças cortantes O formato também continua o mesmo em relação à estrutura sem contra-estai. A maior diferença são as forças cortantes no tabuleiro, que diminuem um pouco.

30 forças normais As formas desse diagrama também continuam parecidas com a da outra estrutura, mas as forças normais aumentam um pouco em quase todos os trechos. PONTO 10 (Força F, vertical, aplicada no 10º estai) forças atuantes e reações

31 deformada No sentido horizontal, a maior deformação é na ponta onde há apoio móvel, como aconteceu com a aplicação da força nos nós 4 e 7. Por causa da força exercida pelo contra-estai, o pilão se desloca ainda mais no sentido contrário dos estais. Em contraposição, o tabuleiro se deforma menos. momento fletor O momento fletor aqui funciona de forma parecida em relação aos outros diagramas com contraestai. Isso é, aumenta na ponta superior do pilão e diminui ao longo do tabuleiro.

32 forças cortantes Da mesma forma que os momentos fletores, as forças cortantes diminuem no tabuleiro e próximo à base do pilão e aumentam na parte superior do pilão. forças normais Como nos outros casos (forças aplicadas nos outros nós), a força normal aumenta na maioria dos trechos. Tabela 5.1 esforços solicitantes MODELO 5a MODELO 5b MODELO 5c Valor máximo estai 4 estai 7 estai 10 Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo Valor máximo Valor mínimo P T P T P T P T P T P T M [kn.m] V [kn] 701, , , , , ,2 0 0 N [kn] , ,4 538, , ,13 919, , ,86 904,39 0

33 Na maioria dos casos o momento no pilão diminuiu com o contra-estai, exceto com a força aplicada no nó 4. Em todos eles o momento no tabuleiro diminuiu. A força cortante diminuiu no pilão e aumentou no tabuleiro. A força normal em todos eles aumenta. Aumentaram mais ainda as forças normais mínimas do pilão. A presença do contra-estai faz o momento e o deslocamento no tabuleiro diminuírem e suas forças cortantes e normais aumentarem. Tabela 5.2 máximas deformações MODELO 5a MODELO 5b MODELO 5c x y x y x y Deformação máxima no pilão [mm] Deformação máxima no tabuleiro [mm] 75,73 66,63 67,82 62,17 69,78 63,24 29,39 425,9 29,94 465,9 29,71 451,8 No tabuleiro o deslocamento horizontal aumentou e o vertical diminuiu com o contra-estai. Quanto mais perto da base do pilão é feita a força, maior o deslocamento da ponta do pilão. Também é interessante notar que em nenhum desses modelos o maior deslocamento do tabuleiro na vertical foi no ponto onde foram aplicadas as forças.