As Teorias de Lebesgue e Schwartz e suas contribuições no Cálculo Diferencial e Integral

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências xatas e de Tecnologia Departamento de Matemática As Teorias de Lebesgue e Schwartz e suas contribuições no Cálculo Diferencial e Integral Autora: Renata de Oliveira Orientador: Rafael Fernando Barostichi Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso Curso: Bacharelado em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone São Carlos, 15 de Março de 2014.

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3 As Teorias de Lebesgue e Schwartz e suas contribuições no Cálculo Diferencial e Integral Autora: Renata de Oliveira Orientador: Rafael Fernando Barostichi Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso Curso: Bacharelado em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências xatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 15 de Março de Renata de Oliveira (aluna) Rafael Fernando Barostichi (orientador)

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5 Aos meu pais, Reginaldo e Luzia

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7 Agradecimentos Não poderia nem se quer estar aqui se não fosse pela misericórdia de Deus, portanto agradeço ao meu primeiro Pai por, nada mais e nada menos, que tudo. Sou grata à minha mãe por excelência, a sempre Virgem Maria, por me proteger em todas as circuntâncias. Agradeço: À minha família, meu pai Reginaldo, minha mãe Luzia, meus irmãos Rogério e Érica e meus maravilhosos sobrinhos Pedro, Maria e Renan, por me darem um alicerce forte sem o qual não poderia seguir em frente. Ao meu namorado Rafael por estar comigo em todos os momentos, por ser o meu refúgio, por todo cuidado, preocupação e, em especial, pela ajuda para confeccionar este trabalho. À Comunidade Santo Sacrifício da Cruz por ser o meu consolo espiritual e fonte de graças em minha vida. À Ong Práxis, à todos os professores e amigos que lá trabalham ou estudam, principalmente à coordenadora Luciene. Tais foram essenciais no meu ingresso acadêmico. À todos os meus amigos da UFSCar que aguentaram todas as minhas reclamações, em especial aos meus colegas (loucos) de curso que souberam partilhar maravilhosos anos desta graduação. Por m, à estrutura do departamento de Matemática e ao seu corpo docente, quero destacar o professor Rafael Fernando Barostichi pela sua excepcional orientação, paciência e dedicação.

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9 Resumo Apresentamos neste trabalho um estudo sobre duas das principais revoluções ocorridas na Análise Matemática nos últimos séculos, a Integral de Lebesgue e a Teoria das Distribuições de Schwartz. m um primeiro momento, introduzimos a Teoria da Medida com a qual ampliamos a noção usual de medir subconjuntos de R n. Feito isto, denimos a Integral de Lebesgue e mostramos suas principais propriedades, os teoremas de convergência e sua comparação com a Integral de Riemann. Posteriormente, trabalhamos com alguns espaços de funções, os primeiros são os espaços L p e em seguida o espaço C0 que consiste das funções innitamente diferenciáveis com suporte compacto, sendo este último espaço essencial para denirmos as distribuições. Finalizamos o texto com as principais operações no espaço das distribuições D e o grande avanço que esta teoria trouxe para o Cálculo Diferencial.

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11 Sumário Introdução xiii 1 Integral de Lebesgue Teoria da Medida Funções Mensuráveis Integração Comparação com a Integral de Riemann Os spaços L p Denição e Propriedades O Dual de L p O spaço C0 (Ω) O spaço C (Ω) O spaço C0 (Ω) Distribuições Distribuições sobre um aberto de R n Distribuições de Suporte Compacto Distribuições de Ordem Finita Derivada de uma Distribuição ix

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13 Lista de Figuras 1.1 Interseção de n-cubos xi

14 xii Lista de Figuras

15 Introdução A teoria de integração é uma parte fundamental da área que conhecemos como Análise Matemática, seu desenvolvimento tornou-se notório principalmente no período compreendido entre o m do século XIX e início do século XX, quando a teoria de integração, devida especialmente à Riemann, foi ampliada por meio de uma nova denição de integral, devida à Lebesgue, que generalizava a anterior e que possibilitava o cálculo de integrais de certas funções que não eram integráveis segundo Riemann. Uma revolução similar a esta, ocorrida na teoria do Cálculo Integral, aconteceu em meados do século XX no que tange ao Cálculo Diferencial, com a teoria das Distribuições. sta teoria representou um grande avanço, pois proporcionou uma ampliação signicativa da noção comum do que se entendia por solução de uma equação diferencial e até mesmo da ideia a respeito do conceito tradicional de função. Como um exemplo, a função delta de Dirac, utilizada largamente no estudo da mecânica quântica, embora sem uma formalização matemática precisa, encontra na teoria de Schwartz o rigor matemático necessário para a sua formalização. Ainda, a teoria das distribuições nos permite introduzir uma noção de derivada mais fraca que a noção clássica, dando à mesma uma importância muito grande no desenvolvimento da teoria de equações diferenciais parciais. O objetivo deste texto é apresentar as teorias de Lebesgue e Schwartz, ressaltando os ganhos obtidos no Cálculo Diferencial Integral e fazer a correlação entre esses tópicos. Para tanto, admitimos que são conhecidos conceitos básicos de: teoria dos conjuntos, espaços métricos, topologia e funções de várias variáveis. No primeiro capítulo estudamos a Teoria da Medida com o intuito de obtermos as ferramentas necessárias para denirmos a Integral de Lebesgue. Com esta denição em mãos, provamos suas principais propriedades, cujos resultados mais importantes são os Teoremas da Convergência Monótona e Convergência Dominada e o Lema de Fatou. Na última seção, evidenciamos como a Integral de Lebesgue generaliza a Integral de Riemann. m seguida, trabalhamos com o espaço L p formado pelas funções p-integráveis, o que inicia o segundo capítulo. Mostramos que L p é um espaço de Banach, cuja norma é denida em termos da Integral de Lebesgue, sendo esta uma importante aplicação dos tópicos estudados até o momento. O terceiro capítulo contém algumas características do espaço das funções denidas em um aberto Ω de R n, que são innitamente diferenciáveis e se anulam fora de um compacto, espaço este denotado por C0 (Ω). Fazemos um breve comentário sobre a topologia em xiii

16 xiv 0. Introdução C0 (Ω) que o torna um espaço de Fréchet, ou seja, um espaço vetorial topológico, localmente convexo, metrizável e completo. Construímos, ainda neste capítulo, uma partição da unidade innitamente diferenciável subordinada à uma dada cobertura aberta e localmente nita de Ω, a qual foi de grande serventia para designarmos, no capítulo seguinte, as distribuições de suporte compacto. Finalizando este trabalho, no último capítulo, abordamos os principais elementos da Teoria das Distribuições desenvolvida por Schwartz. O modo como apresentamos esta teoria tem o objetivo de destacar uma ampliação do conceito de derivada de uma função. ste propósito é atingido ao nal do capítulo com o qual encerramos nosso estudo.

17 Capítulo 1 Integral de Lebesgue A ideia de medir conjuntos sempre esteve presente na Matemática. No ínicio do século XX, Henri Lebesgue ( ) observou que uma boa denição de quais conjuntos eram, de fato, mensuráveis ampliaria a família de funções integráveis (ou somáveis como ele se referia). Apresentamos neste capítulo a Teoria da Medida básica para introduzir a Integral de Lebesgue e abordar alguns dos seus resultados mais importantes, como os teoremas de convergência e o Lema de Fatou. 1.1 Teoria da Medida Denição (σ-anel). Seja A uma família de conjuntos. Caso a seguinte propriedade aconteça 1. Se A, B A, então A B A e A \ B A; dizemos que A é um anel. Se, além disso, A satisfaz 2. Dados A 1, A 2,... A, temos n=1 A n A; o chamamos de σ-anel. Decorre desta denição que interseção enumerável de elementos em um σ-anel A ainda pertence a A. De fato, dados A 1, A 2,... A temos ( ) A n = A 1 \ A 1 \ A n A n A, já que cada A 1 \ A n A. n=1 n=1 n=1 Com o mesmo raciocínio, concluímos que qualquer anel é fechado para interseções nitas. A título de simplicações consideramos uma expansão de R, denotada por R, na qual contém, além de todos os números reais, os símbolos e +. 1

18 2 1. Integral de Lebesgue As funções que estão denidas em um anel e possuem valores em R são comumente chamadas de funções conjunto, elas associam cada conjunto a um número (em que + e também podem ser atingidos). Funções conjunto são as ferramentas primordiais para a teoria da medida, uma vez que o desejado é adquirir a habilidade em mensurar subconjuntos de R n. Denição (σ-aditiva). Sejam A um anel e φ : A R uma função. Dizemos que φ é: Aditiva, se dados A, B A com A B = tivermos φ(a B) = φ(a) + φ(b). σ-aditiva, se além de ser aditiva ocorrer ( ) φ A n = φ(a n ), em que A i A, i N e A i A j =, i j. n=1 n=1 Assumiremos sempre que a imagem de qualquer função conjunto φ não contém + e simultaneamente (para evitar as indeterminações). Ainda, excluiremos aquelas que possuem apenas + ou em suas imagens. stão listadas abaixo algumas propriedades de funções aditivas φ : A R. a) φ( ) = 0, pois A =, para qualquer A A tal que φ(a) R, e daí φ(a) = φ(a ) = φ(a) + φ( ) φ( ) = 0. b) Para todo k N, φ(a 1 A 2... A k ) = φ(a 1 )+φ(a 2 )+...+φ(a k ) com cada A i A e A i A j = (i j). O resultado se dá por indução sobre k, visto que a propriedade é válida para k = 2 os passos da indução seguem de maneira natural. c) φ(a B) + φ(a B) = φ(a) + φ(b). Observamos inicialmente que A B é igual a união dos conjuntos disjuntos dois a dois A \ (A B), B \ (A B) e A B, portanto φ(a B) = φ(a \ (A B)) + φ(b \ (A B)) + φ(a B). Somamos φ(a B) na igualdade acima e obtemos φ(a B) + φ(a B) = ( φ(a \ (A B)) + φ(a B) ) + ( φ(b \ (A B)) + φ(a B) ). Para concluirmos a propriedade basta notarmos que o lado direito desta equação é exatamente igual a φ(a) + φ(b), uma vez que A = (A \ (A B)) (A B) e B = (B \ (A B)) (A B)

19 1.1. Teoria da Medida 3 com ambas uniões disjuntas. d) Se φ é uma função não negativa e B A, então φ(b) φ(a). screvemos A = A B = (A \ B) B, como (A \ B) B = e φ é aditiva temos φ(a) = φ(a B) = φ(a \ B) +φ(b) φ(b). }{{} 0 e) Se B A e φ(b) <, então φ(a \ B) = φ(a) φ(b). No item anterior obtemos a igualdade φ(a) = φ(a \ B) + φ(b), como, por hipótese, φ(b) é nito podemos subtraí-lo em ambos lados da expressão de forma a obtermos o resultado desejado. Teorema Seja φ uma função σ-aditiva no anel A. Se a sequência {A m } em A é tal que então lim m φ(a m) = φ(a). A 1 A 2... e A = m=1 A m A, Demonstração. Construímos a sequência {B m } do seguinte modo esta sequência também satisfaz B 1 = A 1 e B m = A m \ A m 1 (m = 2, 3...), m=1 B m = A. Sejam i, j N com i j. Sem perda de generalidade supomos i < j, assim i j 1 A i A j 1 A i (A j \ A j 1 ) = B i B j =, e por φ ser σ-aditiva segue que ( ) φ(a) = φ B j = j=1 φ(b j ). j=1 Por outro lado, A m = A 1 (A 2 \ A 1 )... (A m \ A m 1 ) = B 1 B 2... B m o que

20 4 1. Integral de Lebesgue implica em φ(a m ) = m j=1 φ(b j ) lim m φ(a m) = φ(b j ) = φ(a). j=1 Para a próxima denição, recordamos que um n-cubo é um subconjunto de R n dado por I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] = {(x 1,..., x n ) R n ; a j x j b j }, sendo cada [a j, b j ] um intervalo da reta (os intervalos que denem o n-cubo também podem ser tomados abertos ou semiabertos). Denição (Conjunto lementar). Seja A R n. elementar se ele pode ser escrito como união nita de n-cubos. Dizemos que A é um conjunto Proposição Sejam I = válidas: n i=1 [a i, b i ] e J = n [α i, β i ] n-cubos não disjuntos. São i=1 1. I J é um n-cubo. 2. I \ J é um conjunto elementar. Demonstração. 1. Ora, ( n ) ( n ) I J = [a i, b i ] [α i, β i ] = i=1 i=1 n ([a i, b i ] [α i, β i ]). i=1 Para cada i = 1,..., n, [a i, b i ] [α i, β i ] é sempre um intervalo e portanto I J é um n-cubo. 2. Da teoria de conjuntos sabemos que I \ J = n [a i, b i ] \ [α i, β i ], i=1 em que [a i, b i ] \ [α i, β i ] é um intervalo, ou união de dois intervalos, para todo i = 1,..., n. Denotamos [a i, b i ] \ [α i, β i ] = X i Y i, i = 1, 2,..., n, com X i e Y i intervalos. Podemos escrever I \ J = n X i Y i = {z = (z 1,..., z n ) R n ; z i X i ou z i Y i }, i=1

21 1.1. Teoria da Medida 5 ou ainda, ( n ) I \ J =... Z j i j, (1.1) i 1 =1 i 2 =1 i n=1 j=1 em que Z j 1 = X j e Z j 2 = Y j. De fato, observamos que ( n ) z... Z j i j i j = 1, 2 tal que z j Z j i j, j = 1,... n i 1 =1 i 2 =1 i n=1 j=1 z j X j ou z j Y j, j = 1,... n n z X i Y i = I \ J. Portanto, a expressão em (1.1) mostra que I \ J é uma união nita de n-cubos, ou seja, I \ J é um conjunto elementar. i=1 Por simples indução, segue desta proposição que interseções nitas de conjuntos elementares ainda é um conjunto elementar. Denotamos por a família de todos os conjuntos elementares de R n. Já podemos armar sobre : a) é um anel, mas não é um σ-anel. De fato, tomamos A, B isto signica que A = I 1 I 2... I k e B = J 1 J 2... J r, sendo I i e J j n-cubos (i = 1, 2,..., k e j = 1, 2,..., r). É imediato que A B. Quanto ao complemento, obervamos que ( r ) r A \ B = A \ J j = (A \ J j ), (1.2) j=1 j=1 e para cada j = 1,... r ( k ) k A \ J j = I i \ J j = (I i \ J j ). i=1 i=1 Da proposição anterior temos que I i \ J j, para todo i = 1,..., k, e então, para qualquer j = 1,..., r o conjunto A \ J j é elementar. Concluímos de (1.2) que A \ B é interseção nita de conjuntos elementares e portanto, usando novamente a proposição anterior, A \ B.

22 6 1. Integral de Lebesgue Agora, consideremos os n-cubos I k = [ k, k] [ k, k]... [ k, k], k N e notemos que a união enumerável I k = R n, k=1 não é um conjunto elementar. De fato, caso contrário teríamos que R n é união nita de n-cubos o que implica em R n ser limitado, um absurdo. Logo, não é um σ-anel. b) Se A, então A pode ser escrito como união disjunta de um número nito de n- cubos. Para simplicar notações, faremos o caso n = 2 e vamos considerar A = I J, em que I = (a, b) (c, d) e J = (r, s) (t, u) estão na situação da gura abaixo. Figura 1.1: Interseção de n-cubos. Basta observarmos que A é a união dos 2-cubos (a, r] (c, d), (r, b) (c, t], (r, b] (t, u) e (b, s) (t, u) que são dois a dois disjuntos. Objetivamos denir a medida de Lebesgue m, nosso intuito é deni-la no maior conjunto possível, isto é, conseguir medir (através de m) o maior número de subconjuntos de R n de forma a estender a noção que já tínhamos sobre medir conjuntos. Denição Se I = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] é um n-cubo, denimos n m(i) = (b j a j ), j=1 e se A é a união disjunta dos n-cubos I 1,..., I k, então m(a) = m(i 1 ) + m(i 2 ) m(i k ).

23 1.1. Teoria da Medida 7 Se os intervalos que descrevem o n-cubo I forem abertos ou semiabertos a denição de m(i) continua a mesma. Ainda, notemos que nos casos n = 1, 2 e 3 o valor m(a) coincide com o comprimento, a área e o volume de A, respectivamente. Denição (Regular). Uma função aditiva não negativa φ : R é regular se, dados A e ε > 0 existirem conjuntos F, G, F fechado e G aberto, tais que F A G e φ(g) ε φ(a) φ(f ) + ε. Teorema A função m é aditiva e regular em. Demonstração. De fato, sejam A = I 1 I 2... I k e B = J 1 J 2... J r conjuntos elementares disjuntos. Pelas propriedades acima mencionadas, podemos considerar I i I l = e J j J t =, i l e j t. Assim, ( k ) ( r ) A B = I i J j, i=1 j=1 como A B = temos I i J j =, para todo i = 1, 2,..., k e todo j = 1, 2,..., r. Portanto, A B é uma união disjunta de um número nito de n-cubos, da denição de m seguem as igualdades m(a B) = m(i 1... I k J 1... J r ) = k r m(i i ) + m(j j ) = m(a) + m(b). i=1 j=1 A função m é regular. Para comprovarmos esta armação é suciente garantir a propriedade para cada n-cubo em R n, já que os demais elementos de são uniões nitas destes conjuntos. Dado ε > 0, sendo I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ], denimos F = I e G = (a 1 ε 0, b 1 + ε 0 ) (a 2 ε 0, b 2 + ε 0 )... (a n ε 0, b n + ε 0 ), em que ε 0 > 0 será escolhido convenientemente para que m(g) ε m(i). Assim, F I G, F é fechado, G é aberto e m(i) = m(f ). Agora, se 0 < ε 0 < 1, então podemos escrever

24 8 1. Integral de Lebesgue n m(g) = (b j a j + 2ε 0 ) i=1 = m(i) + ε 0 [P (b 1 a 1,..., b n a n )], em que P é um polinômio não nulo de coecientes constantes positvos que não depende de ε 0. Desta maneira, escolhemos ε 0 = min { ε [P (b 1 a 1,..., b n a n )] 1, 1 } o que garante o desejado. Denição (Medida xterior). Seja µ uma função conjunto regular com valores nitos em. Dado um subconjunto de R n, denimos { } µ () = inf µ(a m ), m=1 em que este ínmo é tomado sobre todas as possíveis coberturas enumeráveis {A m } de por abertos elementares. O valor µ () é chamado medida exterior de correspondente à µ. xemplo Seja A R n enumerável. A medida exterior de A com relação à m é zero. De fato, escrevemos A = {a 1, a 2,...}, com a k = (a (1) k cada k N, tomamos o n-cubo I k = n i=1 ( a (i) n k ε, 2 k a(i) +1 n Como a k I k, k, segue que A k + n ε k=1 2 k n +1 elementares, então por denição de medida exterior, a(2) k ), temos m(i k ) =,..., a(n) k ). Dado ε > 0, para ( n ε 2 k n ) n = ε 2 k. I k, ou seja, {I k } é uma cobertura de A por abertos m (A) m(i k ) = k=1 k=1 ε 2 k = ε 2, sendo ε > 0 arbitrário concluímos que m (A) = 0. Proposição Sendo µ como na denição anterior, é válido: I. µ (A) = µ(a), sempre que A. II. Se = n=1 n, então µ () µ ( n ). n=1

25 1.1. Teoria da Medida 9 Demonstração. Dados A e ε > 0. Da regularidade de µ podemos assumir que A está contido em algum conjunto aberto elementar G tal que µ(g) µ(a) + ε. m particular, {G} é uma cobertura enumerável de A por abertos elementares, então, por denição, µ (A) µ(g) e com isto µ (A) µ(a) + ε µ (A) µ(a). Resta agora mostrarmos a desigualdade contrária µ(a) µ (A). Usando a denição de ínmo, sabemos que existe uma sequência {A n } de conjuntos abertos elementares, cuja união contém A e que satisfaz µ(a n ) µ (A) + ε. n=1 Novamente pela regularidade de µ, existe um fechado F contido em A tal que µ(f ) µ(a) + ε. O conjunto A é limitado, uma vez que A é união nita de conjuntos limitados. Sendo {A m } cobertura aberta de A e F A compacto (fechado e limitado), temos F A 1 A 2... A N, para algum N N. Daí, ( N ) µ(a) µ(f ) + ε µ A i + ε = i=1 N µ(a i ) + ε µ (A) + 2ε. i=1 Fazendo ε 0 em µ(a) µ (A) + 2ε concluímos a prova primeiro item. Seja = n. Notemos que se µ ( n ) =, para algum n N, a desigualdade n=1 µ () µ ( n ) é imediata, portanto será suciente mostrarmos o caso em que cada µ ( n ) <. n=1 Dado ε > 0, pela denição de medida exterior, existe cobertura A nk, k = 1, 2,..., de n por conjuntos elementares abertos de modo que k=1 µ(a nk ) µ ( n ) + ε 2 n. ntão, [ ] µ () µ(a nk ) µ ε ( n ) + 2 = µ ( n n ) + ε, n=1 k=1 n=1 n=1 n=1 e como ε > 0 é arbitrário obtemos a desigualdade desejada. Denição Seja µ função conjunto regular com valores nitos em. Para quais-

26 10 1. Integral de Lebesgue quer A, B R n denimos 1. S(A, B) = (A \ B) (B \ A). 2. d(a, B) = µ (S(A, B)). screvemos A m A se lim d(a, A m) = 0. m A expressão para S(A, B) é também conhecida como diferença simétrica entre A e B, nomenclatura esta bastante sugestiva, uma vez que d(a, B) é, sob certas condições como veremos adiante, uma função distância. Denição (µ-mensurável). Dizemos que A R n é nitamente µ-mensurável se existe sequência {A m } de subconjuntos elementares de R n tal que A m A. Denotamos por M F (µ) a coleção de todos os conjuntos nitamente µ-mensuráveis. Se A R n consiste de uma união enumerável de elementos em M F (µ) dizemos que A é µ-mensurável, ou que A M(µ). Vejamos algumas propriedades de S(A, B). a) S(A, B) = S(B, A) e S(A, A) = 0. A primeira igualdade segue da associatividade da união e a segunda é imediata da denição. b) S(A, B) S(A, C) S(C, B), para quaisquer subconjuntos A, B e C de R n. Ora, dado x S(A, B) temos que x A \ B ou x B \ A. Supomos que x A \ B, ou seja, x A e x / B, existem as seguintes possibilidades x C x C \ B x S(C, B); x / C; x A \ C x S(A, C); em ambos casos x S(A, C) S(C, B). Da mesma forma, assumindo que x B \ A obtemos x C x C \ A x S(A, C); x / C x B \ C x S(C, B); e novamente x S(A, C) S(C, B). c) S(A 1 A 2, B 1 B 2 ) S(A 1 A 2, B 1 B 2 ) S(A 1 \ A 2, B 1 \ B 2 ) S(A 1, B 1 ) S(A 2, B 2 ). Se x S(A 1 A 2, B 1 B 2 ), então isto é, x (A 1 A 2 ) \ (B 1 B 2 ) ou x (B 1 B 2 ) \ (B 1 B 2 ),

27 1.1. Teoria da Medida 11 x A 1 A 2 e x / B 1 B 2 ou x B 1 B 2 e x / A 1 A 2. Temos as implicações x A 1 A 2 e x / B 1 B 2 x A 1 \ B 1 ou x A 2 \ B 2 e x B 1 B 2 e x / A 1 A 2 x B 1 \ A 1 ou x B 2 \ A 2, em cada um dos casos x S(A 1, B 1 ) S(A 2, B 1 ) e disto obtemos a primeira inclusão. As outras inclusões seguem passos similares. Dispondo destes fatos sobre S e das desigualdades µ ( 1 ) µ ( 2 ) ( 1 2 ) e µ () µ ( n ) n=1 ( ) = n, n=1 obtemos, para quaisquer A, B, C R n, 1. d(a, A) = d(a, B) = d(b, A). 3. d(a, B) d(a, C) + d(c, B). 4. d(a 1 A 2, B 1 B 2 ) d(a 1 A 2, B 1 B 2 ) d(a 1 \ A 2, B 1 \ B 2 ) d(a 1, B 1 ) + d(a 2, B 2 ). Am de que d dena uma métrica em P(R n ) (partes de R n ) resta comprovarmos a propriedade d(a, B) = 0 A = B, mas se considerarmos µ = m, A enumerável e B = teremos d(a, B) = m (S(A, B)) = m (A \ \ A) = m (A) = 0, sem que A = B. Agora, se denirmos uma relação de equivalência em P(R n ) dada por A B d(a, B) = 0, dividimos os subconjuntos de R n em classes de equivalência e nestas condições d será uma métrica no conjunto quociente. Portanto, podemos considerar M F (µ), denido acima, como sendo o fecho de segundo a tal métrica d.

28 12 1. Integral de Lebesgue Para a prova do último resultado desta seção nos falta apenas uma desigualdade a qual apresentamos em forma de lema. Lema Seja µ uma função conjunto regular com valores nitos em. Se A, B R n são tais que µ (A) e µ (B) são nitos, então µ (A) µ (B) d(a, B). Demonstração. Observamos que d(a, ) = µ (S(A, )) = µ (A), assim, da desigualdade triangular segue que d(a, ) d(a, B) + d(b, ) µ (A) d(a, B) + µ (B). Como µ (B) é nito concluímos que µ (A) µ (B) d(a, B). Da mesma forma, d(b, ) d(a, B) + d(a, ) µ (B) d(a, B) + µ (A)). Logo, d(a, B) µ (A) µ (B) d(a, B) µ (A) µ (B) d(a, B). Teorema O conjunto M(µ) é um σ-anel e µ é σ-aditiva no mesmo. Demonstração. Faremos a demonstração por itens. M F (µ) é um anel. Dados A, B M F (µ), existem sequências {A m } e {B m } em tais que A m A e B m B. Das propriedades que constatamos para d obtemos } d(a m B m, A B) d(a m, A) + d(b m, B), d(a m \ B m, A \ B) e pela convergência das sequências {A m } e {B m } o lado direito desta expressão converge a zero. Portanto, d(a m B m, A B) 0 A m B m A B d(a m \ B m, A \ B) 0 A m \ B m A \ B, o que conclui a prova de que A B e A \ B são elementos de M F (µ).

29 1.1. Teoria da Medida 13 µ é aditiva em M F (µ). Am de que µ seja aditiva em M F (µ) devemos mostrar que se A B =, então µ (A B) = µ (A) + µ (B). Como A m e B m são conjuntos elementares para todo m N e µ é aditiva em temos que µ(a m ) + µ(b m ) = µ(a m B m ) + µ(a m B m ). (1.3) Usando novamente as propriedades de d, mais precisamente a desigualdade d(a m B m, A B) d(a m, A) + d(b m, B), obtemos que A m B m A B. Ainda, decorre do lema anterior que se A m A então µ (A m ) µ (A). Portanto, fazendo m em (1.3) concluímos que µ (A) + µ (B) = µ (A B) + µ (A B) = µ (A B), pois µ (A B) = µ ( ) = 0. µ é σ-aditiva em M(µ). Tomamos A M(µ), então A pode ser representado como uma união enumerável de conjuntos em M F (µ) dois a dois disjuntos. De fato, se A = A m com cada A m M F (µ), construímos os conjuntos m=1 A 1 = A 1 e A m = (A 1... A m) \ (A 1... A m 1), m = 2, 3,.... ntão A = m=1 A m e esta é a representação desejada. Pela Proposição , µ (A) µ (A m ). m=1 Por outro lado, A A 1... A m, para todo m N, usando a aditividade de µ em M F (µ) obtemos µ (A) µ (A 1... A m ) = µ (A 1 ) µ (A m ), m N. Façamos m nesta última expressão e assim µ (A) µ (A m ), m=1 o que resulta na igualdade µ (A) = µ (A m ). Supomos adicionalmente que µ (A) m=1

30 14 1. Integral de Lebesgue é nito e consideramos B m = A 1... A m. ntão, d(a, B m ) = µ (S(A, B m )) = µ (A m+1 A m+2...) = µ (A i ). i=m+1 Uma vez que µ(a) é nito, isto é, m=1 µ (A m ) é convergente, temos µ (A i ) 0, quando m, i=m+1 o que nos permite concluir d(a, B m ) 0 B m A. Desde que M F (µ) é um anel e cada B m é união nita de elementos em M F (µ) segue que B m M F, para todo m N, e portanto A M F (µ). Com isto mostramos que se A M(µ) com µ (A) < +, então A M F (µ). Para que µ seja σ-aditiva em M(µ), devemos garantir que se A = {A m } é formada por elementos de M(µ), então µ (A) = µ (A m ). m=1 m=1 A m, em que No caso µ (A m ) <, para todo m, como vimos, cada A m M F (µ). Resta então supor µ (A m ) =, para algum m N, nesta situação a igualdade desejada se torna imediata. M(µ) é um σ-anel. Se, para cada j N, o conjunto A j é uma união enumerável de elementos de M F (µ), então a união A j continua sendo uma união enumerável de j=1 conjuntos nitamente µ-mensuráveis e, portanto, uma das condições para ser σ-anel está satisfeita. Agora, denotamos por A = A m e B = B m, com A m, B m M F (µ), m=1 m=1 dois elementos de M(µ). Para cada m, segue das leis de D'Morgan a igualdade ( ) A m B = A m B k = (A m B k ), k=1 k=1 sendo M F (µ) um anel, temos que A m B k M F (µ), para todo k N, e portanto A m B M(µ) garantindo assim que

31 1.1. Teoria da Medida 15 Além disso, A B = (A m B) M(µ). m=1 µ (A m \ B) µ (A m ) <, já que A m \ B A m, o que implica em A m \ B M F (µ) e com isso A \ B M(µ), pois A \ B = (A m \ B). m=1 Nesta última demonstração obtivemos o seguinte resultado: A M(µ) tal que µ (A) < A M F (µ). Isto justica designarmos os elementos de M F (µ) como conjuntos nitamente µ-mensuráveis. Além disso, não faremos mais distinção entre µ e µ. Assim, originalmente µ estava denida em e foi extendida a uma função σ-aditiva no σ-anel M(µ), esta extensão é chamada de medida. Denição (Medida de Lebesgue). A extensão da função m (vide Denição 1.1.6) é chamada medida de Lebesgue em R n. xemplo Seja X um conjunto qualquer. Denimos a função # : P(X) R por #(A) = cardinal de A, A X. A função # é chamada de medida da contagem. É simples observarmos que # é σ-aditiva. Para denir tal função não estamos preocupados com cardinais innitos de diferentes tamanhos, ou seja, se um elemento de P(X) tem innitos elementos então # associa este conjunto a + R. Donde, os conjuntos que possuem medida nita com relação à # são exclusivamente aqueles subconjuntos de X que possuem nitos elementos. Agora vejamos alguns fatos sobre o σ-anel M(µ) formado pelos subconjuntos de R n que são mensuráveis segundo µ. a) Se A é aberto, então A M(µ). Ora, basta que consideremos uma base B para a topologia de R n formada por cubos de raio racional e centro em vetores cujas coordenadas são racionais. A família B é enumerável (é possível realizar uma bijeção com

32 16 1. Integral de Lebesgue Q n Q) e como os abertos são uniões de elementos básicos, concluímos que A é uma união enumerável de n-cubos e portanto um elemento de M(µ). Por complemento, todos os conjuntos fechados também estão em M(µ). b) Dados A M(µ) e ε > 0, existem conjuntos F e G, F fechado e G aberto, tais que F A G e µ(g \ A) < ε, µ(a \ F ) < ε. Se µ(a) <, pela Denição e usando propriedade de ínmo, existe uma cobertura por abertos elementares de A cuja união denotamos por G de modo que A G e µ(g) < µ(a) + ε, logo G é um aberto contendo A com µ(g \ A) < ε. Se µ(a) =, como A M(µ) podemos escrever A = A j tal que µ(a j ) <. j=1 Pelo passo anterior, para cada j N existe um aberto G j satisfazendo A j G j com µ(g j \ A j ) < ε 2 j. Seja G a reunião de todos G j. Desta forma, G é um aberto que contém A e ( ) ( ) µ (G \ A) = µ (G j \ A) µ (G j \ A j ) < j=1 j=1 j=1 ε 2 j = ε. Agora, para econtrarmos o fechado F consideremos o conjunto B = R n \A. Já sabemos que existe um aberto G tal que B G e µ(g \ B) < ε. Tomamos o fechado F = R n \ G e observamos que B G R n \ G R n \ B F A e A \ F = G \ B µ(a \ F ) = µ(g \ B) < ε. c) Dizemos que é um conjunto de Borel se pode ser obtido por um número enumerável de operações com conjuntos abertos, em que cada operação consiste de

33 1.1. Teoria da Medida 17 união, interseção ou complementação. Se denotarmos por B a coleção de todos os conjuntos de Borel, pelo item a) temos B M(µ). Além disso, B é o menor anel contendo todos os conjuntos abertos de R n. d) Dado A M(µ), existem conjuntos de Borel F e G tais que F A G e µ(g \ A) = µ(a \ F ) = 0. Para cada m N, pelo item b), sabemos que existem F m fechado e G m aberto satisfazendo F m A G m, µ(a \ F m ) < 1 m e µ(g m \ A) < 1 m. Consideremos os seguintes conjuntos borelianos F = F m e G = G m. m=1 m=1 Segue de imediato que F A G e, além disso, ( ) µ(g \ A) = µ (G m \ A) µ(g m \ A) < 1 m, m N m=1 ( ) µ(a \ F ) = µ (A \ F m ) m=1 µ(a \ F m ) < 1, m N. m e Fazendo m nas duas expressões acima concluímos que µ(g \ A) = µ(a \ F ) = 0. Como A = (A \ F ) F, vemos que cada A M(µ) é união de um conjunto de Borel com um conjunto de medida nula. A coleção B é sempre a mesma independente da medida µ, enquanto que os conjuntos de medida nula podem variar. e) O conjunto O = { M(µ); µ() = 0} é um σ-anel, para cada medida µ. Dados A, B O, temos µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) = 0 µ(a B) = µ(a B) = 0, pois µ é uma função não negativa, assim A B O. Além disso, µ(a \ B) = µ(a) µ(b) = 0 A \ B O, com isto mostramos que O é um anel. Para nalizar, tomamos A 1, A 2,... O e então

34 18 1. Integral de Lebesgue pela Proposição ( µ m=1 A m ) µ(a m ) = 0 m=1 m=1 A m O. A seguir mostramos que não são apenas os conjuntos enumeráveis que possuem medida de Lebesgue nula. xemplo O conjunto de Cantor C é não enumerável e sua medida segundo Lebesgue é nula. O conjunto de Cantor C é um subconjunto fechado do intervalo [0, 1] R, obtido pelo complementar de uma reunião de intervalos abertos do seguinte modo: Retiramos do intervalo [0, 1] seu terço médio aberto ( 1 3, 2 3). Depois, retiramos o terço médio de cada um dos intervalos restantes [0, 1 3 ] e [ 2 3, 1], sobrando [ 0, 1 9] [ 2 9, 1 3] [ 2 3, 7 9] [ 8 9, 1]. Repetimos este processo indenidamente. conjunto de Cantor. O conjunto C dos pontos que não foram retirados é o É conhecido da teoria dos conjuntos que C é não enumerável. Como C é obtido removendo um intervalo de comprimento 1 3, depois dois intervalos de comprimento 1 9, quatro de comprimento 1 81 m(c) = m([0, 1]) e assim por diante. Temos que j=0 2 j 3 j+1 = ( j=0 ( ) ) j 2 1 = 1 3 3(1 2) = Funções Mensuráveis Denição (spaço de Medida). Seja X um conjunto qualquer. Dizemos que X é um espaço de medida se existir um σ-anel M de subconjuntos de X (os quais são chamados mensuráveis) e uma função conjunto σ-aditiva e não negativa µ denida em M. Na seção anterior mostramos que R n é um espaço de medida no qual consideramos a medida de Lebesgue m. Denição (Funções Mensuráveis). Seja f uma função denida no espaço de medida X com valores em R. A função f é mensurável se o conjunto {x X; f(x) > a} é mensurável para cada a R. xemplo Sejam X = R n e M = M(µ) como na seção anterior. Toda função f : X R contínua é mensurável.

35 1.2. Funções Mensuráveis 19 De fato, dado a R temos {x X; f(x) > a} = f 1 ((a, + )). A continuidade de f implica que A é um aberto em X, e como foi visto, todo conjunto aberto pertence a M. Proposição Sejam X um espaço de medida e f : X R uma função. Todas as armações abaixo são equivalentes. (1) {x X; f(x) > a} é mensurável para todo a R. (2) {x X; f(x) a} é mensurável para todo a R. (3) {x X; f(x) < a} é mensurável para todo a R. (4) {x X; f(x) a} é mensurável para todo a R. Demonstração. (1) (2). De fato, {x X; f(x) a} = m=1 { x X; f(x) > a 1 }, m de (1) segue que {x X; f(x) > a 1 } é mensurável para todo m N, então o conjunto m {x X; f(x) a} é interseção enumerável de mensuráveis e portanto mensurável. (2) (3). Como complementar de elementos em M estão em M, a relação {x X; f(x) < a} = X \ {x X; f(x) a} garante a mensurabilidade de {x X; f(x) < a}, uma vez que por hipótese cada {x X; f(x) a} é mensurável. (3) (4). Basta observarmos que {x X; f(x) a} = (4) (1). Segue da igualdade n=1 { x X; f(x) < a + 1 }. n {x X; f(x) > a} = X \ {x X; f(x) a}. Corolário Se f : X R é mensurável, então f é mensurável. Demonstração. Para todo a R temos {x X; f(x) < a} = {x X; f(x) < a} {x X; f(x) > a}.

36 20 1. Integral de Lebesgue Uma vez que f é mensurável segue da proposição anterior que {x X; f(x) < a} e {x X; f(x) > a} são mensuráveis, desta forma, pela igualdade acima, concluímos que {x X; f(x) < a} M. Teorema Seja {f m } uma sequência de funções mensuráveis em X. Consideremos g(x) = sup f m (x) e h(x) = lim sup f m (x). m N ntão as funções g e h são mensuráveis. (O mesmo ocorre para inf e lim inf) Demonstração. Dado a R, se g(x) > a segue da denição de supremo que existe m N tal que f m (x) > a, ou seja, {x X; g(x) > a} {x X; f m (x) > a}. m=1 Ainda, g(x) > a sempre que f m (x) > a, para algum m N, isto garante a igualdade {x X; g(x) > a} = {x X; f m (x) > a}. m=1 Sendo f m mensurável para todo m N, concluímos que o conjunto acima é uma união enumerável de conjuntos mensuráveis, o que resulta em g ser mensurável. Resta a mensurabilidade de h. Pela denição de lim sup podemos escrever h(x) = inf k N {g k(x)}, em que g k (x) = sup{f m (x); m k}, o que implica em {x X; h(x) < a} = {x X; g k (x) < a}. k=1 Como vimos acima, cada g k é mensurável e portanto cada conjunto {x X; g k (x) < a} está em M, isto garante que {x X; h(x) < a} é mensurável. Deste teorema seguem os dois corolários abaixo, ambos imediatos. Corolário Se f e g são mensuráveis, então I. H(x) = max{f(x), g(x)} e h(x) = min{f(x), g(x)} são mensuráveis; II. f + (x) = max{f(x), 0} e f (x) = min{f(x), 0} são mensuráveis. Corolário O limite de uma sequência de funções mensuráveis é mensurável.

37 1.2. Funções Mensuráveis 21 Teorema Sejam f e g funções mensuráveis com valores reais denidas em X. Dada uma função contínua F : R 2 R, denimos h(x) = F (f(x), g(x)), x X. Nessas condições, h é mensurável. Demonstração. Dado a R denotamos G a = {(u, v); F (u, v) > a}. Como F é contínua e G a = F 1 ((a, + )), segue que cada G a é aberto. Assim, podemos escrever G a = I m, m=1 em que {I m } é uma sequência de 2-cubos abertos dados por I m = (a m, b m ) (c m, d m ). Como f e g são mensuráveis, os conjuntos {x X; a m < f(x) < b m } = {x X; f(x) > a m } {x X; f(x) < b m } e {x X; c m < g(x) < d m } = {x X; g(x) > c m } {x X; g(x) < d m } são mensuráveis e portanto o mesmo ocorre com {x X; (f(x), g(x)) I m } = {x X; a m < f(x) < b m } {x X; c m < g(x) < d m }. Disto segue que {x X; h(x) > a} = {x X; F (f(x), g(x)) > a} = {x X; (f(x), g(x)) G a } = {x X; (f(x), g(x)) I m } m=1 é também mensurável. Observação. m particular, o teorema acima implica que f + g e f g são mensuráveis. Denição (Função Simples). Seja s uma função de valores reais denidas em X. Se a imagem de s é nita, dizemos que s é uma função simples. Denição (Função Característica). Seja X. Denimos { 1, x χ (x) = 0, x /,

38 22 1. Integral de Lebesgue chamamos χ a função característica do subconjunto. Proposição Toda função simples s : X R é combinação linear nita de funções características. Além disso, digamos que s = m c i χ i com cada i X, então s é mensurável se, e somente se, i for mensurável para todo i = 1, 2,..., m. Demonstração. Supomos que a imagem de s é constituída pelos números distintos c 1, c 2,..., c m. Denotamos i = {x X; s(x) = c i }, então dado x X temos s(x) = c j, para algum j {1, 2,... m} x j e x / i, i j χ j (x) = 1 e χ i (x) = 0, i j m s(x) = c i χ i (x). Logo, s = c 1 χ c m χ m. Para concluir o resultado basta notarmos que dado a R m {x X; s(x) a} = { i ; c i a} i=1 i=1 i=1 e esta união será mensurável para todo a R se, e somente se, cada i for mensurável. Teorema Seja f : X R uma função. ntão, existe uma sequência {s m } de funções simples tais que Além disso: lim s m(x) = f(x), x X. m a) Se f é mensurável podemos escolher {s m } sequência de funções simples mensuráveis. b) Se f 0, {s m } pode ser tomada como sendo uma sequência monótona crescente. Demonstração. Supomos inicialmente que f é não negativa. Para cada m N, denotamos F m = {x X; f(x) m} e mi = { x X; i 1 2 f(x) < i }, m 2 m com i = 1,..., m2 m. Notemos que, xado m N, os conjuntos mi disjuntos dois a dois. Denimos as funções e F m cobrem X e são s m (x) = m2 m i=1 i 1 2 m χ mi + mχ Fm. Armamos que a sequência {s m } é monótona crescente. De fato, dado um natural m temos dois casos a serem analisados:

39 1.2. Funções Mensuráveis x mi, para algum i = 1, 2,..., m2 m. Nesta situação, e também ocorre s m (x) = i 1 2 m, i 1 2 f(x) < i (2i 1) 1 f(x) < 2i m 2m 2 m+1 2. m+1 Logo, x (m+1)(2i 1) ou x (m+1)2i. Assim, s m+1 (x) = i 1 ou s 2 m m+1 (x) = 2i 1 2 m+1 e em ambos casos concluímos que s m (x) s m+1 (x). 2. x F m. Neste caso, s m (x) = m e f(x) m. Se f(x) m + 1, então s m+1 (x) = m + 1 > m = s m (x), donde resta supor f(x) estritamente menor que m + 1, ou seja, x (m+1)i, para algum i = 1, 2,..., (m + 1)2 m+1. Como f(x) m devemos ter Desta forma, i 2 m+1 > m i m2m i 1 i f(x) < 2m+1 2, para algum i = m+1 m2m+1 + 1,..., (m + 1)2 m+1, e portanto s m+1 (x) = i 1 2 m+1 (m2m+1 + 1) 1 2 m+1 = m = s m (x). Além disso, para cada x X, {s m (x)} é limitada superiormente por f(x), disto concluímos que {s m (x)} é convergente. Para mostrarmos que f(x) é o limite da sequência {s m (x)}, para cada x X, é suciente vericarmos que f(x) = sup{s m (x)}, visto que toda sequência monótona crescente m N e limitada converge para o seu supremo. Ora, dado ε > 0 tomamos m 0 sucientemente grande de modo que

40 24 1. Integral de Lebesgue e com isto obtemos 1 2 < ε e s m m 0 0 (x) = i 1 2, m 0 i 1 2 m 0 f(x) < i 2 m 0 f(x) < s m0 (x) m 0 < s m 0 (x) + ε f(x) ε < s m0 (x). Concluímos, então, que a sequência {s m (x)} converge para f(x), em que cada s m (x) é função simples não negativa. No caso geral, basta que consideremos f = f + f. Observamos que se f for mensurável, cada um dos conjuntos mi e F m serão mensuráveis garantindo assim a mensurabilidade das funções simples s m. 1.3 Integração Nesta seção continuaremos com as notações, ou seja, M é um anel constituído de subconjuntos de X os quais são ditos mensuráveis segundo a medida µ. Seja M. Supomos s(x) = m c i χ i (x) mensurável, com x X e c i > 0. Consideremos i=1 I (s) = m c i µ( i ), i=1 com isto temos a seguinte denição: Denição (Integral de Lebesgue). Se f é mensurável e não negativa, denimos fdµ = sup{i (s)}, em que este sup é tomado sobre todas as funções mensuráveis simples s tais que 0 s f. A expressão f dµ é chamada integral de Lebesgue da função f sobre com respeito à medida µ. Proposição Se s é uma função simples não negativa, então i=1 j=1 sdµ = I (s). Demonstração. Denotamos s = m a i χ i. Tomamos s = k b j χ Fj função simples satisfazendo 0 s s. Dado x F j, temos b j = s (x) s(x) = a i, para algum i = 1,... m, ou seja, x i o que implica em F j i. Reindexamos a família {F j } de modo que F j j, para todo j = 1, 2,..., k, desta forma obtemos µ( F j ) µ( j ) e b j a j, j = 1,..., k. O fato de s ser não negativa acarreta em a i 0, para todo

41 1.3. Integração 25 i = 1,..., m, e disto temos I (s ) = k b i µ( F i ) k a i µ( i ) m a i µ( i ) = I(s). i=1 i=1 i=1 Mostramos então que I(s) é um limitante superior de {I(s ); s função simples e 0 s s}, mas I(s) é também um elemento deste mesmo conjunto, portanto sdµ = sup{i (s ); s função simples e 0 s s} = I(s). xemplo Consideremos a medida da contagem # denida no xemplo com X = N. Neste caso, para toda função não negativa f : N R temos que fd# = f(n). (1.4) n=1 N Neste ponto, quando estamos trabalhando com séries podemos usar todas as propriedades da integral de Lebesgue, já que tal série pode ser vista como a integral relacionada à medida da contagem. De fato, por denição de integral, fd# = sup {I N (s); s é função simples e 0 s f}. (1.5) N Tomamos s uma função simples arbitrária tal que 0 s f, escrevemos s = k c i χ i, i=1 em que os is são tomados disjuntos dois a dois. Se para algum i tivermos #( i ) =, então devido à expressão (1.5) a igualdade em (1.4) é imediata. Desta maneira, podemos supor que, para cada i = 1, 2,..., k, #( i ) = m i N i = { } n 1 i, n 2 i,..., n m i i s(n j i ) = c i, j = 1,..., m i.

42 26 1. Integral de Lebesgue ntão, c i = s(n j i ) f(nj i ) para qualquer j = 1,..., m j e disto obtemos que I(s) = k c i #( i ) = i=1 k c i m i i=1 k i=1 ( f(n 1 i ) + f(n 2 i ) f(n m i i ) ) em que esta última soma é da forma M f(n) com M N. Portanto, sendo f não negativa, n=1 I(s) f(n) fd# f(n). n=1 n=1 N Para a desigualdade contrária, escolhemos para cada l N a função simples l s l = f(n)χ {n}. n=1 Notemos que s l (m) = { f(m), se m l 0, se m > l 0 s l f, l N, e assim, l I(s l ) = f(n) fd#, l N. n=1 N Fazendo l obtemos que f(n) n=1 N fd# o que conclui a igualdade em (1.4). Denição (Função Integrável). Seja f mensurável. Consideremos f + dµ e f dµ, em que f + = max{f, 0} e f = min{f, 0}. nita, denimos fdµ = f + dµ f dµ. Se ao menos uma das integrais acima é Se ambas integrais são nitas dizemos que f é uma função integrável em no sentido de

43 1.3. Integração 27 Lebesgue, com respeito à medida µ, e denotamos f L(µ) em. Usualmente escrevemos L = L(m), em que m é a medida de Lebesgue. Proposição Seja f uma função mensurável. São válidas: 1. Se f é limitada em e µ() < +, então f L(µ) em. 2. Se a f(x) b, para todo x, e µ() < +, então aµ() fdµ bµ(). 3. Se f é integrável em, para qualquer c R, temos cf L(µ). Além disso, cfdµ = c fdµ. 4. Se µ() = 0, então fdµ = Se f L(µ) em, então f L(µ) em A, para qualquer A M com A. Demonstração. 1. Para qualquer subconjunto i temos µ( i ) µ() < +. Desta forma, sendo f limitada, os conjuntos {I (s); 0 s f + } e {I (s); 0 s f } são limitados e portanto admitem supremo, ou seja, f + dµ < + e f dµ < Supomos a 0, o caso a < 0 é análogo. Consideremos a função simples { a, se x s = aχ = 0, se x /. Ora, 0 s a f e então I (s) fdµ, mas aµ() = aµ( ) = I (s) fµ. Para a outra desigualdade tomamos uma função simples s de modo que 0 s f e mostremos que I (s) µ()b. Denotamos s = k c i χ i, c 0 = max{c i ; 1 i k} i=1

44 28 1. Integral de Lebesgue e 0 = k i. Observamos que i=1 s f b c i b (i = 1,..., k) c 0 b, e sendo µ uma medida, ( ( k ) ) µ ( 0 ) = µ i Concluímos que i=1 = µ( 1 ) + µ( 2 ) µ( k ). I (s) = k ( k ) c i µ( i ) c 0 µ( i ) = c 0 µ( 0 ) bµ(), i=1 i=1 conforme o desejado. 3. Inicialmente mostremos para c 0. Como c 0 temos que (cf) + = max(cf, 0) = c max(f, 0) = c(f + ) e (cf) = min(cf, 0) = c( min(f, 0)) = c(f ), assim, (cf)dµ = (cf) + dµ (cf) dµ = c(f + )dµ c(f )dµ. Se s = k a i χ i é função simples tal que 0 s f +, então 0 cs cf + com cs i=1 também função simples, para todo c 0. Ainda, I (cs) = o que implica em ( k k ) ca i µ( i ) = c a i µ( i ) = ci (s), i=1 i=1 sup{i (cs); 0 s f + } = sup{ci (s); 0 s f + } = c sup{i (s); 0 s f + }, isto é, c(f + )dµ = c f + dµ, c 0. O procedimento acima se aplica para qualquer função positiva, ou seja, também é válido que c(f )dµ = c f dµ, e com isto garantimos o resultado para todo c 0.

45 1.3. Integração 29 Para o caso c < 0, basta mostrarmos que fdµ = fdµ, uma vez que cfdµ = = c ( c)( f)dµ fdµ. De fato, isto decorre direta- mente das igualdades ( f) + = max( f, 0) = min(f, 0) = f ( f) = min( f, 0) = max(f, 0) = f +. e 4. Ora, para todo subconjunto F de R n temos µ(f ) µ() = 0, ou seja, µ(f ) é zero. Assim, para qualquer função simples s, I (s) = 0 e portanto fdµ = sup{i (s); 0 s f} = Como A, temos µ( i A) µ( i ) para todo conjunto i R n. Desta forma I A (s) I (s), para qualquer função simples s, o que acarreta em sup{i A (s); 0 s f} sup{i (s); 0 s f} fdµ fdµ <. A Proposição Se f e g são integráveis em tais que f(x) g(x), para todo x, então fdµ gdµ. Demonstração. Como f(x) g(x), temos f + g + e g f. ntão, {I (s); 0 s f + } {I (s); 0 s g + } e {I (s); 0 s g } {I (s); 0 s f }, o que implica em f + dµ g + dµ e g dµ f dµ.

46 30 1. Integral de Lebesgue Portanto, fdµ = f + dµ f dµ g + dµ g dµ = gdµ. Teorema Seja f função mensurável e não negativa em X. A função Φ(A) = fdµ, A M A é σ-aditiva em M. O mesmo ocorre se considerarmos f L(µ) em X. Demonstração. Dados A j M devemos mostrar que Φ(A) = união m=1 A m. Se f = χ, para algum R n, então Φ(A) = χ dµ = I A (χ ) = µ(a ) m=1 φ(a m ), em que A é a A e o resultado segue do fato de µ ser σ-aditiva. Da mesma forma, se f é simples, digamos f = k c i χ i, então i=1 Φ(A) = fdµ = I A (f) = A k c i µ(a i ). i=1 No caso geral, para cada função mensurável simples 0 s f já temos I A (s) = sdµ = sdµ A m=1 A m fdµ = Φ(A m ). A m=1 m m=1 ntão, Φ(A) = fdµ = sup{i A (s); 0 s f} Φ(A m ). A m=1 Agora, se Φ(A m ) = +, para algum m N, é claro que Φ(A) = m=1 Φ(A m ), portanto podemos supor cada Φ(A m ) < +. Dado ε > 0, por denição de supremo, existe função simples s tal que 0 s f e sdµ fdµ ε e A 1 A 1 sdµ fdµ ε. A 2 A 2

47 1.3. Integração 31 Por esta razão, Φ(A 1 A 2 ) sdµ = sdµ + sdµ φ(a 1 ) + φ(a 2 ) 2ε. A 1 A 2 A 1 A 2 Seguindo indutivamente, para cada m N, obtemos Φ(A 1 A 2... A m ) φ(a 1 ) +... φ(a m ) Como, para todo m N, A A 1 A 2... A m segue que Φ(A) m Φ(A j ), fazendo m concluímos que j=1 Φ(A) Φ(A j ) j=1 e conseguimos a igualdade. Corolário Se A M, B A, e µ(a \ B) = 0, então fdµ = fdµ. A B Demonstração. Da Proposição segue que fdµ = 0, escrevendo A = B (A \ B) A\B obtemos fdµ = fµ = fdµ, A B (A\B) B já que pelo teorema anterior fµ = fdµ + fdµ. B (A\B) B A\B Sejam f e g funções mensuráveis com valores em R denidas em X. m vista do último corolário, denimos a seguinte relação f g em µ ({x X; f(x) g(x)} ) = 0. Se f e g estão relacionadas em signica que f = g em a menos de um conjunto de medida nula, comumente dizemos que f = g em quase toda parte (q.t.p.) de (esta expressão depende da medida considerada, no caso em que não é explícito qual a medida usada é porque estamos lidando com a medida de Lebesgue m).

48 32 1. Integral de Lebesgue A relação acima denida é de equivalência, pois as seguintes propriedades são imeditas. i) f f, para toda função mensurável f : X R. ii) Se f g, então g f, para quaisquer f e g mensuráveis. iii) Se f g e g h, então f h, quaisquer que sejam f, g e h mensuráveis. Portanto, pelo corolário anterior, f g fdµ = gdµ, A A para todo conjunto mensurável A (assumindo que as integrais existam). Proposição Se f : X R é uma função não negativa, temos a seguinte implicação fdµ = 0 f = 0 q.t.p. de X. X Demonstração. Supomos, por absurdo, que f não se anula em quase toda parte de X. Portanto, existe uma constante a > 0 e um subconjunto A de X tal que µ(a) > 0 e f a > 0 em A. Desta forma, fdµ fdµ adµ = aµ(a) > 0, X A A o que contradiz a hipótese de que a integral da f sobre X é nula. Proposição Se f L(µ) em, então f L(µ) em e fdµ f dµ. Demonstração. Podemos considerar = A B, em que f(x) 0 em A e f(x) < 0 em B. Pelo Teorema 1.3.7, f dµ = f dµ + f dµ = f + dµ + f dµ. A B A B Como f L(µ) o lado direito da expressão acima é nito, o que garante a integrabilidade

49 1.3. Integração 33 de f. Ainda, f f e f f implicam que fdµ f dµ e fdµ f dµ. Portanto, fdµ f dµ. Proposição Seja g L(µ) em. f g, então f L(µ) em. Se a função f mensurável em satisfaz Demonstração. Ora, f + g e f g f + dµ, f dµ gdµ <. Teorema (Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue). Supomos M. Seja {f m } uma sequência de funções mensuráveis satisfazendo 0 f 1 (x) f 2 (x)... f m (x)..., x. Se f : R é denida por f(x) = lim m f m(x), então lim m f m dµ = lim f mdµ = m fdµ. Demonstração. Como {f m (x)} é monótona crescente e f m (x) f(x), para cada x, segue que a sequência f m dµ é também monótona crescente e limitada superiormente. Portanto, existe α R tal que f m dµ α, quando m. Além disso, f m f, m N f m dµ fdµ, m N α fdµ.

50 34 1. Integral de Lebesgue Resta mostrarmos a outra desigualdade, isto é, fdµ α. Tomamos 0 < c < 1 e uma função simples mensurável s com 0 s f. Denotamos m = {x X; f m (x) cs(x)}, é imediato que m.... Da convergência f m (x) f(x), para todo x em, concluímos que Para cada m N, temos que = m=1 m. f m dµ f m dµ c sdµ. (1.6) m m Por outro lado, sendo Φ(A) = f dµ uma função conjunto σ-aditiva, segue do Teorema A que Φ( m ) Φ(), ou seja, sdµ sdµ, quando m. m Fazendo m na equação (1.6), obtemos α c sdµ α sdµ, visto que 0 < c < 1 é arbitrário. Logo, fdµ α e com isto fdµ = α = lim f m dµ. m Teorema Se f = f 1 + f 2, em que f 1, f 2 L(µ) em. ntão, f L(µ) em e fdµ = f 1 dµ + f 2 dµ. Demonstração. Supomos inicialmente que f 1, f 2 0. Se f 1 e f 2 são funções simples, segue

51 1.3. Integração 35 da Proposição que fdµ = (f 1 + f 2 )dµ = I (f 1 + f 2 ) = I (f 1 ) + I (f 2 ) = f 1 dµ + f 2 dµ, e portanto o resultado é válido. Mais geralmente, para quaisquer funções mensuráveis f 1 e f 2, pelo Teorema , podemos escolher sequências {s (1) m } e {s (2) m } monótonas crescentes de funções simples não negativas e mensuráveis tais que lim m s(1) m = f 1 e lim m s(2) m = f 2. Consideremos s m = s (1) m + s (2) m. É imediato que {s m } converge para f e como já vimos s m dµ = s (1) m dµ + s (2) m dµ. Calculamos o limite da expressão acima quando m e aplicamos o teorema anterior para obtermos o desejado. Agora, supomos f 1 0 e f 2 0. Tomamos os conjuntos A = {x ; f(x) 0} e B = {x ; f(x) 0}. As funções f, f 1 e f 2 são não negativas em A, assim f 1 dµ = (f f 2 )dµ = fdµ f 2 dµ, A A A A ou seja, fdµ = f 1 dµ + f 2 dµ. (1.7) A A A Similarmente, f, f 1 e f 2 são não negativas em B e com isto f 2 dµ = fdµ + f 1 dµ fdµ = f 1 dµ + f 2 dµ. (1.8) B B B B B B Uma vez que = A B, basta somarmos as equações (1.7) e (1.8) para concluirmos o desejado. No caso geral, construímos os conjuntos