UMA REVISÃO SOBRE ABORDAGENS E MÉTODOS DE CÁLCULO DE INCERTEZA

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1 UMA REVISÃO SOBRE ABORDAGENS E MÉTODOS DE CÁLCULO DE INCERTEZA Daniel Homrich da Jornada 1, Carla ten Caten 2 1 Certificar e PPGEP/UFRGS, Porto Alegre, Brasil, daniel@portalcertificar.com.br 2 PPGEP/UFRGS, Porto Alegre, Brasil, tencaten@producao.ufrgs.br Resumo: o cálculo da incerteza de medição vem ganhando maior destaque no ramo da metrologia, principalmente considerando a publicação de documentos orientativos e suplementares ao GUM. É importante que os laboratórios apliquem um método de cálculo que seja matematicamente válido e que esse processo seja implantado com uma abordagem (ou estratégia) que seja tecnicamente e economicamente viável. Existem diversos métodos para cálculo da incerteza de medição e esses muitas vezes apresentam um grau de dificuldade que pode requer, por parte do laboratório, pessoal com sólidos conhecimentos em estatística. Uma questão importante e que não vem sendo discutida com especial atenção é com relação a qual abordagem adotar para estimar as fontes de incerteza. Nesse sentido, o presente artigo preocupa-se em traçar um panorama geral sobre métodos e abordagens para o cálculo da incerteza de medição. Os métodos e abordagens indicados serão discutidos em termos de suas vantagens e desvantagens e aplicações. Será apresentada uma relação cruzada em termos dos métodos e abordagens mais apropriados a cada situação, visando assim, facilitar a estratégia dos laboratórios para implementar tais cálculos em seus ensaios e calibrações. Palavras chave: incerteza de medição, métodos de cálculo, abordagens de cálculo de incerteza. 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Como o resultado de uma medição é meramente uma estimativa do valor do mensurando, ao relatá-lo, torna-se necessária a indicação quantitativa da qualidade dessa estimativa, de tal forma que os usuários desse resultado possam avaliar a adequação frente as suas necessidades. A incerteza de uma medição reflete a falta de conhecimento exato do valor do mensurando. Ela compreende, em geral, muitos componentes. Alguns desses componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística dos resultados das séries de medições e podem ser caracterizados por desvios padrão experimentais. Outros componentes, que também podem ser caracterizados por desvios padrão, são avaliados por meio de distribuições de probabilidade assumidas, baseadas na experiência ou em outras informações [1]. A avaliação da incerteza é de extrema importância, destacando-se por [2]: a) estimar a margem de dúvida em torno do resultado declarado pelo laboratório e conseqüentemente prover confiança nesse resultado; b) representar um fator de vantagem competitiva: laboratórios com menores incertezas têm melhores capacidades de medição; c) propiciar fontes de melhoria aos laboratórios dos seus métodos de ensaio, na medida em que identifica e quantifica todas as componentes de incerteza; d) possibilitar ao cliente uma avaliação adequada do resultado frente a limites de conformidade; e) possibilitar ao laboratório eventual redução de custos com calibração de determinados instrumentos, caso seja demonstrado que os mesmos pouco influenciem na incerteza. Quando for estimada a incerteza de medição, todos os componentes de incerteza que sejam importantes para uma determinada situação devem ser considerados usando-se métodos de análise apropriados [3]. Uma diversidade de métodos está estabelecida. Dentre eles, o mais difundido e universalmente reconhecido é estabelecido pelo Guia Para a Expressão da Incerteza de Medição, conhecido como GUM [1]. É importante, salientar, neste sentido, que o laboratório adote um método matematicamente válido, adequado as suas necessidades e que seja técnica e economicamente viável. Outra questão que deve ser tratada com especial atenção é com relação a qual abordagem (ou estratégia) adotar para quantificar as fontes de incerteza. As abordagens podem variar de acordo com a natureza da medição e com as informações disponíveis ao laboratório. Deve ser aplicada uma abordagem que seja prática e resulte em valores de incerteza válidos. Neste sentido, o presente artigo tem por objetivo apresentar um panorama sobre métodos e abordagens para o cálculo de incerteza, enfocando as vantagens, desvantagens e as possibilidades de aplicações em cada caso. Na primeira parte, o artigo traz um resumo sobre os principais métodos de cálculo de incerteza. Na segunda, são apresentadas abordagens para quantificação de fontes de incerteza. Após, os métodos e abordagens são comparados em termos de suas vantagens, desvantagens e aplicações.

2 2. MÉTODOS DE CÁLCULO DE INCERTEZA Existem vários métodos para cálculo da incerteza de medição e esses muitas vezes apresentam um grau de dificuldade que pode requer, por parte do laboratório, pessoal com sólidos conhecimentos em estatística. Os métodos descritos a seguir são os principais aplicados por laboratórios de calibração e ensaio Método do GUM O GUM foi elaborado no sentido de harmonizar as metodologias utilizadas pelos laboratórios de metrologia para a estimativa da incerteza nas medições, bem como servir como um guia de fácil entendimento e implantação nas diferentes áreas da metrologia. Seu princípio consiste em demonstrar que a incerteza global do ensaio ou calibração incorpora diversas fontes de incerteza, que surgem de efeitos sistemáticos e aleatórios, propiciando, assim, a comparabilidade dos resultados de medições executadas por laboratórios distintos [1]. A implantação do GUM parte da análise do modelo matemático da medição (equação da medição propriamente dita) que deve incluir todas as contribuições relevantes para o ensaio ou calibração. A incerteza global é então estimada pela lei da propagação da incerteza, seguindo a identificação e a quantificação da incerteza individual dos fatores de influência [4]. O procedimento geral para aplicação do GUM consiste em representar as grandezas de entrada (variáveis independentes) do modelo matemático da medição em termos de suas médias e desvios padrão [5]. O método do GUM está fundamentado na lei da propagação de incertezas, a qual provém da lei de propagação de erros, desenvolvida inicialmente por Gauss no final do século XIX. A lei de propagação de incertezas afirma que a incerteza de cada fator de influência (fonte de incerteza) do ensaio ou calibração é propagada para a obtenção da incerteza final da medição através de uma expansão de série de Taylor, truncada geralmente em primeira ordem. Assume-se a priori, através da aplicabilidade do Teorema do Limite Central, que a medição e a sua respectiva incerteza possuirá uma função densidade de probabilidade (FDP) normal, ou t-student para pequenas amostras [1]. O procedimento de estimativa de incerteza nas medições segundo o método proposto pelo GUM consiste em [6]: definir o modelo matemático da medição: é a definição analítica daquele processo de medição, na qual f é o mensurando em questão e Xi são as grandezas de entrada, da qual dependem o mensurando; identificar e aplicar eventuais correções significativas: corrigir os erros sistemáticos a fim de não incorporá-los na incerteza (o que aumentaria a incerteza e poderia até mesmo gerar um valor incoerente); relacionar todas as fontes de incerteza: verificar os fatores que podem ter influência sobre o resultado do ensaio ou calibração. Para a apresentação de tais fontes de incerteza, pode-se utilizar, por exemplo, o diagrama de causa e efeito; calcular os coeficientes de sensibilidade: consiste em calcular as derivadas parciais de f em relação a cada X i; ; essa etapa serve para verificar quanto cada fonte contribui para a incerteza global do ensaio ou calibração, convertendo cada uma em uma mesma unidade de medida desejada; calcular as incertezas do tipo A: fontes de incertezas obtidas através de meios estatísticos, por uma série de observações de repetidas de uma mesma medição; calcular as incertezas do tipo B: fontes de incertezas obtidas por outros meios que não estatísticos; calcular as contribuições de incerteza: estimar quanto cada uma das fontes de incerteza, do tipo A e do tipo B, influenciam na incerteza global do ensaio ou calibração, por meio da aplicação dos coeficientes de sensibilidade; avaliar correlações: analisar a eventual existência de correlação entre as fontes de incerteza e avaliá-las; obter a incerteza padrão combinada: é a incerteza do ensaio ou calibração considerando todas as fontes de incerteza relevantes, expressa como um desvio padrão, calculado de acordo com a equação (1) a seguir: 2 y uc = ui (y) = u( x i ) xi Onde: 2 (1) u c : é a incerteza padrão combinada, ou simplesmente incerteza combinada; u i (y) são as contribuições de incerteza para o mensurando y; u(x i ) são as incerteza padrão das grandezas X i ; e y x i são os coeficientes de sensibilidade. obter a incerteza expandida: consiste em obter um valor de incerteza que possua uma maior probabilidade de abrangência na estimativa; é calculada através do produto da incerteza combinada por um fator de abrangência, segundo equação (2): U = ku ( ) c y Onde: U é a incerteza expandida; k é o fator de abrangência para incerteza; Maiores detalhes sobre o passo-a-passo para o cálculo da incerteza podem ser consultados em [1; 2; 5-7]. Para a aplicação do método do GUM, as seguintes premissas devem ser atendidas [5]: a) suficiente linearidade do modelo matemático da medição; b) aplicabilidade do Teorema do Limite Central, implicando na representação da FDP do mensurando através de uma distribuição Normal ou tipo t-student, com média e desvio padrão conhecidos; c) adequação da equação de Welch-Satterthwaite. Quando as premissas apresentadas anteriormente não são atendidas, métodos de cálculo de incerteza alternativos ao GUM devem ser aplicados [1]. (2)

3 2.2. Método de Monte Carlo A Simulação de Monte Carlo é um método probabilístico baseado na aleatoriedade, que, através de tentativas experimentais, torna-se possível resolver difíceis problemas determinísticos (não probabilísticos) [11]. A Simulação de Monte Carlo está inserida no ramo da estatística chamado de bayesiana. A estatística bayesiana, ao contrário da estatística clássica ou freqüentista, faz uso das informações e conhecimentos prévios ao evento conhecidos como informações a priori para, a partir destas e de dados observados, obter-se uma informação posterior chamada de a posteriori [12; 13]. As informações a priori utilizadas no Método de Monte Carlo são aquelas referentes FDPs das fontes de incerteza. A partir da geração de n números aleatórios, as distribuições a priori são propagadas pelo modelo matemático da medição, para então obter uma FDP a posteriori [8]. Levando em consideração os aspectos de confiabilidade na metodologia de cálculo da incerteza nas medições e, utilizando uma abordagem que seja tecnicamente válida e economicamente aplicável, o método de Monte Carlo está sendo discutido entre a comunidade metrológica internacional como um método alternativo eficaz para os casos onde a aplicação do método do GUM é inadequada ou muito complexa. O método de Monte Carlo, diferentemente do método do GUM, utiliza o conceito de propagação de toda a distribuição de probabilidade das grandezas de entrada, ao invés de somente propagar seus segundos momentos. Tal fator torna a aplicação do método de Monte Carlo mais ampla. Devido à importância do tema, um documento suplementar ao GUM, a respeito da utilização da Simulação de Monte Carlo para o cálculo da incerteza de medição, vem sendo desenvolvido, ainda em forma de minuta, por um comitê ligado ao BIPM chamado de Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM) [8]. O conceito de propagação de distribuições utilizado pela Simulação de Monte Carlo consiste primeiramente em assumir FDPs apropriadas para cada fonte de incerteza do ensaio ou calibração, como por exemplo, uniforme, normal, triangular, entre outras. Essas distribuições são, então, propagadas n vezes através da equação da medição e os valores para a média e desvio padrão dos resultados são estimados. A incerteza do ensaio ou da calibração será calculada de acordo com uma determinada probabilidade de abrangência desejada (normalmente 95,45%), após um grande número de repetições executadas [5]. Os valores correspondes à cada fonte de incerteza são obtidos através de gerações de números aleatórios que observam a FDP das grandezas de entrada. Cada número aleatório gerado é combinado no modelo matemático da medição e um resultado é, então, obtido para a grandeza de saída. Este passo é repetido n vezes, de forma independente, a fim de avaliar a FDP resultante do mensurando [8]. Desta forma, os procedimentos adotados pela Simulação de Monte Carlo dispensam os cálculos das derivadas parciais, o que em muitos casos pode ser um fator de complicada obtenção [5]. Uma importante utilidade do método de Monte Carlo consiste na possibilidade avaliar a validade dos cálculos executados pelo método do GUM. A lei da propagação da incerteza, proposta pelo GUM, pode funcionar plenamente, na maioria dos casos. Contudo, é complexo quantificar os efeitos das aproximações envolvidas, tais como nãolinearidade do modelo matemático, inaplicabilidade da fórmula de Welch-Satterthwaite e a distribuição não normal da grandeza de saída. Neste sentido, sempre que houver dúvidas com relação à adequação do método do GUM, os cálculos devem ser validados de alguma forma. A Simulação de Monte Carlo, associada à utilização de softwares computacionais, pode ser uma alternativa para validar tais cálculos, já que a propagação de distribuições é uma generalização da lei de propagação de incertezas [9]. Diversos artigos encontram-se publicados sobre a aplicação do método de Monte Carlo para cálculo da incerteza de medição. As referências [9-10; 14-16] apresentam aplicações práticas do método Métodos Alternativos A soma de duas FDPs pode ser resolvida através da convolução das mesmas [17]. Uma expressão semelhante para o produto de variáveis aleatórias também existe [13]. Um método de integração numérica direta pode ser aplicado para resolver tais casos, porém não são de trivial implantação, sobretudo pela complexidade computacional. Para que essa operação seja realizada via integração numérica direta, o espaço do sistema deve ser discretizado em um número N de pontos, de forma que o tempo necessário irá crescer com o quadrado de N. O método pode ser computacionalmente aprimorado através da aplicação de Transformadas de Fourier e de Mellin. Um trabalho aplicado sobre tais transformadas encontra-se disponível em [9]. Métodos numéricos podem cobrir teoricamente qualquer expressão analítica, por isso são de ampla aplicação. Ressalta-se, contudo, que tais métodos numéricos requerem conhecimentos sólidos e mais avançados de matemática. O esforço para implementá-los muitas vezes não se justifica. Além dos métodos discutidos anteriormente, pode-se citar outra categoria, os chamados métodos analíticos. Esses métodos se baseiam em resolver analiticamente integração e, desta forma, obter uma FDP a posteriori exata [5; 8]. Os métodos analíticos têm a vantagem de serem exatos, porém, devido à extrema complexidade, tornam-se geralmente inviáveis na prática, sendo restrita a aplicação. Por essa razão, não serão alvos de estudo detalhado no presente trabalho. 3. ABORDANGES PARA CÁLCULO DE INCERTEZA A abordagem para o cálculo de incerteza não se refere ao método de cálculo em si, mas sim, à estratégia utilizada para quantificar as fontes de incerteza relevantes para o ensaio ou calibração. O uso incorreto de uma abordagem pode levar com que o laboratório subestime ou superestime sua incerteza. Uma das razões para o atual cenário confuso é que a terminologia utilizada para descrever as abordagens ainda não está padronizada em nível internacional [21]. Outro fator

4 relevante é que os diversos guias disponíveis para o cálculo da incerteza, sobretudo na área de ensaios [1-2; 6-8; 20], possuem estruturação distinta, ainda que o método de cálculo sugerido pelos mesmos geralmente esteja baseado no GUM. Sob o ponto de vista prático, uma abordagem adequada é aquela que possibilita ao laboratório o cálculo da incerteza sem grandes esforços adicionais de obtenção das fontes [22]. Isso inclui a utilização de dados de validação de métodos e garantia da qualidade e uso de informações de ensaios de proficiência que o laboratório tenha participado. As abordagens apresentadas a seguir estão subdividas de acordo com o nível das informações utilizadas para quantificar as fontes de incerteza Abordagem bottom-up A abordagem bottom-up, também conhecida na literatura como abordagem de modelagem, teórica, preditiva ou tradicional [19], é aquela clássica proposta no método do GUM, na qual cada fonte de incerteza é quantificada individualmente e seus efeitos são então combinados, geralmente através da aplicação do método do GUM, com uma expansão da série de Taylor, normalmente de primeira ordem [7; 18]. É freqüentemente utilizada na área de calibração. Neste caso, a informação flui de um nível caracterizado por dados específicos sobre cada etapa analítica ou fator que contribui para a incerteza da medição, até um nível caracterizado pela combinação da informação do nível anterior, produzindo a incerteza combinada da medição [21]. Ou seja, ela vai do início até o fim da medição, passando etapa por etapa, daí a razão por sua designação como abordagem bottom-up (do inglês, de baixo para cima). Na área de ensaios, muitas vezes pode ser de difícil implantação uma vez que as medições envolvem geralmente uma grande quantidade de fatores de influência e quantificálo individualmente pode ser técnica ou economicamente inviável. Tal abordagem requer um conhecimento detalhado da equação da medição, de forma que todos os fatores de influência estejam explícitos no modelo matemático e possam, assim, ser aplicados os métodos de cálculos de incerteza apropriados Abordagem experimental: top-down Considerações Gerais Com relação às abordagens experimentais para o cálculo de incerteza, não há uma uniformidade de classificação e terminologia na comunidade metrológica. Neste trabalho, optou-se por considerar todas as abordagens experimentais dentro da categoria top-down pelo fato de ser a classificação mais comumente utilizada na literatura, ainda que não de forma única Abordagem top-down A abordagem top-down, também conhecida como supralaboratorial [21], empírica, experimental ou retrospectiva [19], utiliza um determinado nível de informações que corresponde a todo o processo de medição para resultar em uma incerteza global do ensaio ou calibração. Por essa abordagem, não há necessidade de quantificar cada componente de incerteza individualmente, podendo as mesmas ser avaliadas de forma combinada, seja através de um estudo experimental ou de ensaios de proficiência [19]. Por essa abordagem, é possível identificar separadamente as componentes aleatórias e as sistemáticas para a incerteza de medição, subdividindo-as nas etapas do processo de medição, tais como etapa de amostragem, analítica, etc. [19]. Informações externas ao laboratório (em nível supralaboratorial) tais como resultados de comparações interlaboratoriais, podem ser utilizadas, desde que com cuidado, para que o laboratório possa calcular a incerteza de seus métodos. Tais informações incluem medidas de exatidão e precisão do método em avaliação. Neste caso, a abordagem top-down requer, naturalmente, que o laboratório participe regularmente de programas de comparações interlaboratoriais e obtenha desempenhos satisfatórios em tais programas [7;18]. A informação interlaboratorial é extremamente útil para estimar a incerteza da medição, visto que reflete a variação de fatores do método de medição, alguns dos quais dificilmente estudados em um ambiente intralaboratorial. Contudo, a informação interlaboratorial é muitas vezes cara de ser obtida e, certas vezes, não está disponível ou não inclui informação sobre todas as etapas que afetam a qualidade da medição [21]. A abordagem em nível supralaboratorial é bastante direta e simples, porém possui duas grandes desvantagens. A primeira consiste em que o laboratório, ao estimar a incerteza do método, estará incluindo na sua própria incerteza, efeitos de variabilidade devido aos demais laboratórios que também participaram dos mesmos programas interlaboratoriais. Em algumas aplicações, essa forma de aplicar a abordagem top-down pode gerar valores de incerteza elevados e que não satisfaçam às necessidades do laboratório e de seus clientes. Outra questão que também pode ser um empecilho para a aplicação dessa abordagem consiste no fato de que o laboratório deve participar regularmente de atividades de comparações interlaboratoriais, o que nem sempre é possível, pois muitos programas são pontuais, sem terem uma periodicidade definida. Uma estimativa de incerteza baseada no resultado de uma participação em um ensaio de proficiência pontual é desaconselhada por não haver garantia de que o desempenho obtido pelo laboratório seja de fato representativo de sua rotina [20]. Em um ambiente intralaboratorial, a abordagem topdown faz uso de dados internos de validação e confirmação de métodos (como estudos internos de precisão, exatidão e análise de variância) e de garantia da qualidade (como dados de cartas de controle e verificações periódicas de desempenho do método). Essas informações geralmente já estão disponíveis no laboratório e pouco esforço adicional é requerido para quantificar fontes de incerteza relevantes nessa situação. A abordagem utilizando informações em um nível intralaboratorial é particularmente interessante quando os métodos de medição envolvem etapas complexas (que é o

5 caso em muitos ensaios) ou quando não estão disponíveis dados interlaboratoriais. Normalmente, o desempenho do método varia de dia para dia devido a fatores como variabilidade entre técnicos laboratoristas, equipamentos, condições ambientais e à variação de outros fatores experimentais não controlados. A informação intralaboratorial usada para estimar a incerteza inclui resultados recolhidos num âmbito mais amplo e, por isso, geralmente representa melhor a incerteza global envolvida no método de medição do laboratório [21]. Há diversas formas de obter as informações referentes às fontes de incerteza para que a abordagem bottom-up seja implantada. Referências podem ser consultadas na literatura [7; 18-21]. 4. COMPARATIVO ENTRE MÉTODOS E ABORDAGENS Os quadros 1, 2 resumem um comparativo de vantagens e desvantagens discutidas anteriormente referentes a cada método e a cada abordagem utilizada para o cálculo da incerteza de medição. O quadro 3 apresenta um comparativo cruzado entre métodos e abordagens evidenciando as compatibilidades e aplicações entre os mesmos. MÉTODO VANTAGENS DESVANTAGENS Método do GUM Cálculos geralmente simples; não necessita emprego de As premissas para sua aplicação precisam ser softwares específicos. Não requer conhecimentos avançados atendidas. Derivadas podem ser difíceis. em matemática. Aproximações do método podem introduzir erros Método de Monte Carlo Métodos Alternativos Dispensa o cálculo de derivadas parciais. Não requer a linearidade do modelo. Não requer a aplicabilidade do Teorema do Limite Central. Pode servir para validar o GUM. Não dependem de geradores de números pseudo-aleatórios. Podem ser estendidos para teoricamente qualquer expressão analítica. Podem servir para validar o GUM. Boa aplicação quando do cálculo da incerteza no limite físico. Nesse caso, é importante que se tenha a FDP resultante com a melhor resolução possível, condição facilmente alcançada. Quadro 1. Vantagens e desvantagens entre métodos de cálculo de incerteza não conhecidos na incerteza calculada. Qualidade do resultado depende da qualidade do algoritmo pseudo-aleatório e do número de gerações. Requer emprego de software. Requerem conhecimentos mais aprofundados de matemática e o emprego de softwares específicos. Métodos analíticos têm aplicação restrita pelo seu grau de dificuldade. ABORDAGEM VANTAGENS DESVANTAGENS Bottom-up Explicita todas as fontes de incerteza consideradas no cálculo, Requer o conhecimento aprofundado do em consonância como o modelo matemático de medição. Quando informações prévias estão disponíveis e o modelo matemático é simples, a abordagem apresenta o melhor custobenefício. Ideal para calibrações e ensaios simples. mensurando, definido detalhadamente em um modelo matemático de medição. Em situações de medições complexas pode ser impraticável ou até fornecer um valor subestimado de incerteza. Top-down Inclui todas as fontes de incerteza sem que o laboratório tenha que identificá-las individualmente. Geralmente apresenta baixo custo de implantação, pois os dados referentes às fontes de incerteza normalmente já estão disponíveis, havendo várias possibilidades para que essas sejam quantificadas. Ideal para situações envolvendo ensaios com etapas complexas e quando não há conhecimento detalhado do modelo matemático. Não identifica as componentes de incerteza de forma individual. Não é baseada em um modelo matemático apurado, por isso, o valor resultante de incerteza é apenas aproximado. Eventuais valores extremos obtidos em experimentos para quantificar as fontes de incerteza podem inadequadamente superestimar a incerteza final. Quadro 2. Vantagens e desvantagens entre abordagens para quantificação das fontes de incerteza MÉTODO DE CÁLCULO Método do GUM Método Monte Carlo Métodos Alternativos de ABORDAGEM DE QUANTIFICAÇÃO DAS FONTES DE INCERTEZA Bottom-up Top-down Compatibilidade Aplicação Compatibilidade Aplicação Compatível: é a situação ideal Muito utilizado na área Compatível: quando há Muito utilizado proposta pelo GUM de avaliação de calibração, ainda que grande complexidade nas em ensaios, individual das fontes de incerteza possa ser aplicado em etapas do método ou quando sobretudo em um modelo matemático, para a ensaios mais simples. não há um conhecimento naqueles com posterior combinação dessas. detalhado no modelo etapas mais matemático da medição. complexas. Compatível: usados genericamente Ensaios e calibrações Incompatível: os cálculos Não aplicável. em qualquer tipo de medição na com modelo matemático necessários e o emprego de qual sejam conhecidos o modelo definido. Ideal quando as softwares não justificariam a matemático e as FDPs das fontes premissas do GUM não utilização de Monte Carlo de incerteza. são atendidas. nesta situação. Compatível: usados genericamente em qualquer tipo de medição na qual sejam conhecidos o modelo matemático e parâmetros específicos relacionados às fontes de incerteza. Por sua complexidade, são pouco usados na. Porém, podem ser aplicados a qualquer tipo de medição, sem as restrições do GUM. Incompatível: os cálculos necessários e o emprego de softwares não justificariam a utilização de métodos numéricos e analíticos nesta situação. Quadro 3. Comparativo cruzado entre métodos e abordagens de cálculo de incerteza Não aplicável.

6 5. CONCLUSÕES O presente artigo abordou uma revisão e um comparativo entre os principais métodos e abordagens para o cálculo da incerteza de medição. Os métodos apresentados foram os do GUM, de Monte Carlo e, de maneira sucinta, métodos alternativos. As abordagens para quantificação das fontes de incerteza estudadas foram bottom-up e top-down. Vale ressaltar o fato de que ainda não há uma plena padronização em nível internacional quanto à terminologia de classificação das abordagens. O comparativo cruzado dos métodos e abordagens (conforme quadro 3) possibilitou evidenciar as compatibilidades e aplicações entre os mesmos. O trabalho também apresentou as vantagens e desvantagens dos métodos e abordagens (conforme quadros 1 e 2), de forma que cada laboratório possa, assim, decidir qual estratégia adotar com relação ao processo de cálculo de incerteza de suas medições, levando em consideração suas necessidades específicas. REFERÊNCIAS [1] INMETRO. Guia para a Expressão da Incerteza de Medição. Terceira edição brasileira em língua portuguesa. Rio de Janeiro: ABNT, INMETRO, p. [2] EUROPEAN CO-OPERATION FOR ACREDITATION (EA). EA-4/16 EA guidelines on the expression of uncertainty in quantitative testing p. [3] ABNT NBR ISO/IEC Requisitos gerais para competência de laboratórios de calibração e ensaio. Edição 2, [4] BARWICK, Vicki J; ELLISON, Stephen L. R. Using validations data for ISO measurement uncertainty estimation: Part 2 Measurement uncertainty estimates compared with collaborative trial expectation. Anal. Commum, 35, p , out/1998. [5] COX, M. G. e HARRIS, P. M. GUM Supplements. CIE Expert Symposium on Uncertainty Evaluation, Method for analysis of uncertainties in optical radiation measurement, Vienna, Austria, [6] EUROPEAN CO-OPERATION FOR ACREDITATION (EA). EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration p. [7] EURACHEM/CITAC. Quantifying Uncertainty in Analitical Measurement. 2ª ed [8] BIPM. Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM) - Supplement 1: Numerical methods for the propagation of distributions - Temporary ISO Guide BIPM/JCGM-WG1-SC1-N [9] JORNADA, Daniel; JORNADA, Felipe. Cálculo de incerteza da medição: estudo comparativo entre os métodos do GUM, de Monte Carlo e de Integração Numérica. ENQUALAB Encontro para a Qualidade de Laboratórios. 2007, São Paulo. [10] JORNADA, Daniel; PIZZOLATTO, Morgana. Uso de planilhas eletrônicas para implementação do método de Monte Carlo para estimativa da incerteza de medição. ENQUALAB Encontro para a Qualidade de Laboratórios. 2005, São Paulo. [11] BENNET, Debora. Aleatoriedade. São Paulo, [12] AGOSTINI, Giulio D. Probability and Measurement Uncertainty in Physics - a Bayesian Primer. Universita La Sapienza and INFN, Roma, Italy Disponível em: < papers/zeus PAPERS/DES ps> Acessado em 20/10/2006. [13] AL-HUJAJ; H.L. HARNEY. Objective Bayesian statistics. MPI für Kernphysik, Postfach. Heidelberg, Germany, 2006 [14] BAZILIO, Fabio. S.; DAMASCENO, Jailton C.; ÁVILA, Akie K.; COUTO, Paulo Roberto Guimarães; BORGES, Renata M. Horta. Evaluation of measurement uncertainty in analytical inorganic assays: a study of case. IMEKO WORLD CONGRESS, [15] COUTO, Paulo R. G., DAMASCENO, Jailton C.; BORGES, Renata M. H. Uncertainty estimation of mechanical assays by ISO GUM 95 and Monte Carlo Simulation Case study: tensile strength, torque and brinell Hardness measurements. IMEKO WORLD CONGRESS, [16] TOMAN, Blaza. Bayesian Approach to Assessing Uncertainty and Calculating a Reference Value in Key Comparison Experiments. Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology. Volume 110, número 6, novembro/dezembro de [17] WINTNER, A. American Journal of Mathematics, 56 (1934) pp [18] RODRÍGUEZ, Ana. Incertidumbre de los resultados de los ensayos.iii Congreso Iberoamericano de Laboratorios. Cartagena, Colombia [19] RAMSEY, M H; ELLISON, S L R. Eurachem/EUROLAB/ CITAC/Nordtest/AMC Guide: Measurement uncertainty arising from sampling: a guide to methods and approaches. Eurachem (2007). Disponível wm: < Acesso em: 10/10/2007. [20] NORDEST. Handbook for Calculation of Measurement Uncertainty in Environmental Laboratories Disponível em: < Acessado em: 10/08/2006. [21] SILVA, R. J. N. B.; SANTOS, J. R.; CAMÕES, M. F. G. F. C. Nova terminologia para as abordagens usadas na quantificação da incerteza de medições químicas. 1ª Conferência Nacional da Sociedade Portuguesa de Metrologia, [22] SAHUQUILLO, Angels; RAURET, Gemma. Uncertainty and traceability: the view of the analytical chemist. International Workshop: Rome, March 2006.