Discretização. Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica. Edward Angel, Cap. 7 Apontamentos CG

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1 Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Discretização Edward Angel, Cap. 7 Apontamentos CG

2 Pipeline de Visualização 3D

3 Pipeline de Visualização 3D

4 Pipeline de Visualização 3D

5 Pipeline de Visualização 3D

6 Pipeline de Visualização 3D

7 Pipeline de Visualização 3D

8 Vértices Coordenadas do Mundo Transfs. de Modelação e Visualização Transformação de Projecção Divisão Perspectiva Mapeamento Janela-Viewport Coordenadas da Câmara Coordenadas de Recorte Coordenadas do Dispositivo Normalizadas Coordenadas do Dispositivo Vértices

9 Coordenadas do Mundo Transfs. de Modelação e Visualização Coordenadas da Câmara !"# 2!# 2 Transformação de Projecção Divisão Perspectiva Mapeamento Janela-Viewport Coordenadas de Recorte Coordenadas do Dispositivo Normalizadas Coordenadas do Dispositivo

10 Pipeline de Visualização 3D

11 Pipeline de Visualização 3D

12 LEIC CG Discretização

13 Pipeline 3D No final do 2º andar do pipeline temos: Primitivas Pontos, Linhas, Polígonos Já em coordenadas do viewport Agora Como desenhar essas primitivas no dispositivo? Rasterização

14 Discretização de Pontos Não é relevante per se Discretização de segmentos de recta Representar vectores como fragmentos Discretização de polígonos Preencher polígonos num espaço discreto Rasterização

15 Discretização Milhões de execuções por cena Necessidade de compromisso Usar algoritmos optimizados

16 Representação de Segmento como fragmentos

17 Representação de Segmento como fragmentos Como fariam se vos pedissem para codificar? void DesenhaLinha(int x1, int y1, int x2, int y2, int color);

18 LEIC CG Discretização de Segmentos de Recta

19 Discretização de Segmentos de recta Hipóteses: Linhas sólidas com 1 pixel de espessura Ignorar variação luminosidade com densidade das quadrículas Recta com declive contido no primeiro octante y, -x Y y, x -x, y -x, -y x, y x, -y X -y, -x -y, x

20 Discretização de Segmentos de Recta Algoritmo Imediato Partir da equação da recta y = m.x + b Calcular declive e coeficientes a partir dos extremos do segmento m = (y2 - y1) / (x2 - x1) b = y1 - m. x1 Para x 1 x x 2 calcular ordenada usando equação da recta y = Round (m. x + b) = Floor (0.5 + (m. x + b)) Arredondar o resultado para coordenadas do pixel a desenhar

21 Discretização de Segmentos de Recta Algoritmo Imediato Problema: Cada iteração requer Multiplicação e adição virgula flutuante Arredondamento de real para inteiro Alternativa: Usar algoritmo incremental

22 Discretização de Segmentos de Recta Algoritmo de Bresenham Baseado na função implícita do segmento de recta F ( x, y) = a x + b y + c Calcula variável de decisão para determinar incrementos Posição de um ponto relativamente a uma recta substituir coordenadas do ponto na equação e examinar o sinal F(x, y) < 0 F(x, y) = 0 F(x, y) > 0

23 Algoritmo de Bresenham Critério do Ponto Médio Para escolher o próximo pixel a pintar Calcular F(M) d = F (M) = F (x p + 1, y p + 1/2) d = a (x p + 1) + b (y p + 1/2) + c testar o sinal (d > 0) NE (d < 0) E (d = 0) qualquer Convencionou-se escolher E (x p, y p ) Q NE M E Variável de decisão d Pixel Anterior Escolhas para pixel corrente Escolhas para pixel seguinte Calculada incrementalmente

24 Algoritmo de Bresenham Cálculo Incremental de d (E) d i+1 = a (x p + 2) + b (y p + 1/2) + c = a (x p + 1) + a + b (y p + 1/2) + c = d i + a incre = a; y p +1 M y p x p x p +1 x p +2

25 Algoritmo de Bresenham Cálculo Incremental de d (NE) d i+1 = a (x p + 2) + b (y p + 3/2) + c = a (x p + 1) + a + b (y p + 1/2) + b + c = d i + a + b incrne = a + b; y p +2 y p +1 M y p x p x p +1 x p +2

26 Algoritmo de Bresenham Valores Iniciais F(x, y) < 0 F(x 1, y 1 ) = 0 F(x, y) = 0 F(x 2, y 2 ) = 0 F(x, y) > 0 Extremos do segmento de recta em posições da grelha inteira F (x 1, y 1 ) = F (x 2, y 2 ) = 0 Segundo pixel estudar F(M), com M = (x 1 + 1, y 1 + ½) Ficamos com: d 0 = a + b/2 incr.e = a incr.ne = a + b

27 Algoritmo de Bresenham Código void Bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2, int color) { /*... algoritmo...*/ } Como implementavam a inicialização? d 0 = 2. y - x incr.e = 2. y incr.ne = 2. ( y - x)

28 Algoritmo de Bresenham Código (inicialização) void Bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2, int color) { int dx = x2 x1; int dy = y2 y1; int d = 2*dy dx2; int incre = 2*dy; int incrne = 2*(dy - dx); int x = x1; int y = y1; WritePixel (x, y, color); /*... ciclo... */ }

29 Algoritmo de Bresenham Código (ciclo) void Bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2, int color) { /*... inicializacao...*/ while (x < x2) { if (d <= 0) { d += incre; x++; } else { d += incrne; x++; y++; } WritePixel (x, y, color); }

30 Algoritmo de Bresenham Exemplo P 1 = (5, 8) P 2 = (9, 11) x = 5 y = 8 dx = 4 dy = 3 d0 = 2 incre = 6 incrne = - 2 Write (5, 8) d0 = 2 => NE => Write (6, 9) 8 d1 = 0 => E => Write (7, 9) 7 d2 = 6 => NE => Write (8, 10) d3 = 4 => NE => Write (9, 11)

31 Algoritmo de Bresenham Exemplo P 1 = (5, 8) P 2 = (10, 9) x =? y =? dx =? dy =? d0 =? incre =? incrne =? Write (?,?) d0 =? =>? => Write (?,?) d1 =

32 Algoritmo de Bresenham Vantagem (1º Octante)

33 LEIC CG Preenchimento de Polígonos

34 Preenchimento de polígonos Princípios Básicos Traçar sucessivas linhas de varrimento horizontais Scan line Calcular intersecção entre scan line e arestas Arredondar valores para interior Y Ordenar por abcissa scan-line x 1 < x 2 < x 3 < x 4 Preencher cadeias de quadrículas x 1 x 2 x 3 x 4

35 Algoritmo da scan line Contabilizar Intersecções (1/2) Scan-line ao passar por um vértice intermédio contabiliza intersecção na aresta intersectada em y min não na aresta intersectada em y max B (1) C (0) A A (2) C C 1 intersecção em [AB], 0 intersecções em [BC] 0 intersecções em [AB], 0 intersecções em [BC] B 1 intersecção em [AB], 1 intersecção em [BC]

36 Algoritmo da scan line Contabilizar Intersecções (2/2) Solução anterior pode não ser suficiente Retirar arestas horizontais Não contabilizar intersecções em y max G F [A,B] é preenchido I H E [C,D] é preenchido C D [H,I] não é preenchido J A B [F,G] não é preenchido

37 Preenchimento de polígonos Princípios Básicos Traçar sucessivas linhas de varrimento horizontais Scan line Calcular intersecção entre scan line e arestas Arredondar valores para interior Y Ordenar por abcissa scan-line x 1 < x 2 < x 3 < x 4 Preencher cadeias de quadrículas x 1 x 2 x 3 x 4

38 Algoritmo da scan line Spans e Arredondamentos À esquerda Arredondamento por excesso Exemplos: 6,4 -> 7 6,0 -> 6 6,6 -> 7 À direita Arredondamento por defeito Exemplos: 9,6 -> 9 4,4 ->4 6,0 -> 6 i+3 i+2 i+1 i

39 Algoritmo da scan line Coerência de Aresta Arestas intersectadas por uma linha podem ser as intersectadas pela linha anterior i+3 i+2 i+1 i Usando coerência de aresta: pontos de intersecção com nova linha calculados de modo incremental a partir dos pontos calculados para a scan-line anterior Cálculo incremental apenas requer uma soma algébrica Para cada aresta: x = y = x = 1 = m x ( y ) x( ymin ) max ( ) 1 x y + 1 = ( y + 1 ) ymax y 1 1 x b m m x y min m 1 1 = y + m m 1 = x( y) + m 1 b m 1 b m

40 Algoritmo da scan line Tabela de Lados (Edge Table: ET)

41 Algoritmo da scan line Tabela de Lados Activos (AET) O algoritmo mantém uma Tabela de Lados Activos (Active Edge Table: AET) AET regista informação relativa aos lados intersectados pela linha actual arestas horizontais, colineares com a scan-line

42 Algoritmo da scan line Algoritmo (1/2) Preencher a ET arestas horizontais são descartadas Criar AET e inicializá-la vazia Ciclo à linha de varrimento y entre y min e y max do polígono: Mover de ET para AET lados com y min = y Ordenar esses lados por x

43 Algoritmo da scan line Algoritmo (1/2) Preencher spans da linha corrente utilizando pares de coordenadas x relativas aos lados registados em AET Actualizar a AET Remover de AET todas as arestas com y max -1 =y (terminam na próxima linha) Para as que permanecem incrementarxde 1/m e Ordenar AET por x (se for poligono auto-intersectante) Incrementar o valor de y de uma unidade (ordenada da próxima scan-line)

44 Algoritmo da scan line Y Exemplo Tabela de Arestas Activas Tabela de Arestas 1 AB 3 7-5/2 BC 5 7 6/4 - FA, CD, EF, DE 2 AB 3 4,5-5/2 BC 5 8,5 6/4 - FA, CD, EF, DE 3 FA BC /4 - CD, EF, DE 4 FA BC 5 11,5 6/4 - CD, EF, DE 5 FA CD EF, DE 6 FA CD EF, DE 7 FA EF 9 7-5/2 DE /4 CD vazia 8 FA EF 9 4,5-5/2 DE 11 8,5 6/4 CD vazia 9 DE /4 CD vazia 10 DE 11 11,5 6/4 CD vazia 11 vazia vazia

45 Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Visibilidade Edward Angel, Cap. 7 Apontamentos CG

46 Pipeline de Visualização 3D

47 Pipeline de Visualização 3D

48 LEIC CG Sombreamento

49 Sombreamento Métodos Principais Sombreamento Constante (Flat Shading) Sombreamento de Gouraud (Gouraud Shading) Sombreamento de Phong (Phong Shading) Diferente de modelo de iluminação de Phong

50 Sombreamento

51 Sombreamento

52 LEIC CG Remoção de Superfícies Ocultas Algoritmo Z-Buffer

53 Algoritmo Z-Buffer Características Necessita de um buffer para armazenar a profundidade Z Não necessita ordenação de polígonos mas... (ver à frente) Não necessita de cálculos de intersecções Pode ser facilmente integrado com algoritmo de rasterização de polígonos (scan-line)

54 Algoritmo Z-Buffer Funcionamento

55 Algoritmo Z-Buffer Passos do Algoritmo Inicializa o Z-Buffer com a profundidade máxima Inicializa o Frame-Buffer com a cor de fundo Para cada polígono Para cada ponto do polígono: p z = valor de z (x, y) Se p z < ReadZ (x, y): WriteZ (x, y, p z ); WritePixel (x, y, Cor em(x,y))

56 Algoritmo Z-Buffer Cálculo de Z num ponto Para polígonos planares Temos equação do plano que suporta o polígono Então: Ax + By + Cz + D = 0 z = ( - D - Ax - By ) / C Computacionalmente caro!

57 Algoritmo Z-Buffer Cálculo de Z num ponto Y Y1 Ys Za Z1 Zp Zb linha de varrimento (s) Y2 Z2 Y3 Z3

58 Algoritmo Z-Buffer Cálculo de Z num ponto Interpolação bilinear ao longo de uma linha de varrimento tirando partido da coerência de scan line Conhecendo o valor z 1 do ponto P 1 (x,y), Pode-se calcular o valor z 2 do ponto P 2 (x + Δx, y) z 2 = z 1 - A (x) C com x = 1 z 2 = z 1 - A / C

59 Algoritmo Z-Buffer Cálculo de Z num ponto Y Z 1 Y 1 Y i Y 2 Z 2 Z a,i Z a,i-1 Z b,i linha de varrimento (i) Z b,i-1 Cálculo Incremental Y 3 Z 3 Conhecendo z a,i para P i (x,y) pode obter-se z a,i+1 de P i+1 (x, y+1) pela expressão Z i+1 = z i - B / C ( y = 1 )

60 Algoritmo Z-Buffer Cálculo de Z num ponto Y Z 1 Y 1 Y i Z a,i Z i,j Z b,i linha de varrimento (i) Y 2 Z 2 Cálculo Incremental Y 3 Z 3 Conhecendo z i,j para P i,j (x,y) pode obter-se z i,j+1 de P i,j+1 (x+1,y) pela expressão z i,j+1 = z i,j - A / C ( x = 1 )

61 Algoritmo Z-Buffer Vantagens Espaço de memória independente do nº de polígonos Aplicável a qualquer forma Realizado em hardware Mas Melhora o desempenho com pré-ordenação em Z Problemas de aliasing (solução: A-Buffer)

62 LEIC CG Visibilidade Depth Buffer em OpenGL

63 Buffers em OpenGL Introdução Open GL Buffer n x m elementos de k bits

64 Buffers em OpenGL OpenGL Frame Buffer

65 Buffers em OpenGL OpenGL Frame Buffer

66 Color Buffers Front & Back Buffers (ou só o primeiro) Mais suavidade no desenho Left & Right (para estéreo) Guardam a cor dos fragmentos Por omissão RGB

67 Single vs Double Buffering GLUT_SINGLE GLUT_DOUBLE

68 Double Buffering glutswapbuffers()

69 DepthTest Teste de profundidade (usando z-buffer) Implementa visibildade/oclusões Compara valor de Z do fragmento com valor do Z-buffer Descarta condicionalmente, ou pinta e actualiza Z-buffer

70 Activar a RSO em OpenGL Activar o depth buffer glutinitdisplaymode ( GLUT_DEPTH) Activar o depth test glenable (GL_DEPTH_TEST) Em cada frame - limpar também o depth buffer gclear ( GL_DEPTH_BUFFER_BIT)

71 Pipeline de Visualização 3D