TESE DE DOUTORADO ANÁLISE SÍSMICA USANDO TRANSFORMADA CURVELET. Michelli Silva de Oliveira

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Pós-Graduação em Física TESE DE DOUTORADO ANÁLISE SÍSMICA USANDO TRANSFORMADA CURVELET Michelli Silva de Oliveira Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena Natal, julho de 2011.

2 Dedico este trabalho a meu esposo e a minha filha. i

3 Agradecimentos A Deus acima de tudo. Ao meu orientador, Professor Doutor Liacir dos Santos Lucena, por permitir trabalhar ao seu lado, pelo apoio e incentivo no desenvolvimento deste trabalho. Ao Professor Doutor Gilberto Corso e ao Professor Doutor Edcarlos Alves pelas contribuições dadas a esta tese. Ao Professor e amigo Marcos Vinícius por estar sempre disposto a ajudar. Ao Conselho nacional de desenvolvimento Científico e Tecnológico CNPq pelo suporte financeiro concedido. Ao meu marido Vladimi, companheiro e melhor amigo, por fazer parte de mais uma etapa da minha vida, sempre me confortando com seu carinho, amor e paciência. À minha filha Ana Beatriz, agradeço por você ter existido durante o desenvolvimento deste trabalho, você foi minha fonte de inspiração. Obrigada por estar sempre animada e sorrindo para mim mesmo com toda a minha ausência. À minha mãe Neuza, irmã Márcia e minha madrinha Maria Diamantina pelo incentivo, mesmo à distância nunca deixaram de estar presentes, sempre me confortando com palavras encorajadoras fortalecendo meus momentos mais difíceis. A todos meus amigos, em especial minhas amigas Cláudia Cruz e Nivânia que muito me fortaleceram. A todos os professores, colegas e funcionários do departamento de pós Graduação em Física da matéria Condensada que de forma direta e indireta muito ajudaram na conclusão deste trabalho. ii

4 tese. Aos membros da banca pelas correções e sugestões apresentadas quando da defesa da iii

5 Resumo A exploração petrolífera é uma das atividades mais complexas e de difícil execução na indústria do petróleo e também é umas de suas tarefas mais importantes. Devido aos elevados custos dos métodos diretos usados para localização e avaliação das jazidas de petróleo, tais como a perfuração de poços exploratórios para a medição de propriedades in situ, métodos indiretos são utilizados com esta finalidade. O principal destes métodos é o da sondagem sísmica. Neste processo de exploração, ondas sísmicas geradas por explosões ou por vibradores, propagam-se no subsolo e após serem espalhadas pelas heterogeneidades das estruturas geológicas retornam à superfície onde são coletadas para construção dos sismogramas ou imagens sísmicas. No entanto, os sismogramas contêm, além das informações sobre as estruturas do subsolo, uma grande quantidade de ruído, sendo o principal deles o chamado ruído de rolamento superficial ( ground roll ou ondas de Rayleigh). A atenuação desses ruídos é essencial para uma boa interpretação dos dados e sinais sísmicos. A análise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos tipos de transformadas espectrais que levam o sinal sísmico para o espaço das frequências (Transformada de Fourier) ou para o espaço tempo-frequência (Transformada Wavelet), onde costuma ser mais simples atenuar ou remover os ruídos de uma forma cirúrgica. Isto permite que, ao levar o sinal sísmico de volta ao espaço original, o sinal represente apenas as informações sobre as estruturas geológicas de interesse. Por outro lado, a transformada curvelet é uma nova e efetiva transformada espectral que tem sido largamente usada no estudo e representação de dados complexos. Nessa análise, as funções ou sinais estudados são expressados em termos de funções de base com caráter direcional que permitem representar, mais efetivamente que outras análises, imagens e sinais com descontinuidades iv

6 superficiais ou ao longo de curvas. A análise curvelet mapeia o espaço das frequências em diferentes escalas e em setores angulares, de modo que se pode identificar as regiões deste espaço dominadas pelo ruído presente no sinal. Remover os coeficientes referentes a essas regiões é remover o ruído do sinal. Assim, nesta tese implementamos e aplicamos a análise curvelet para remover o ruído de rolamento superficial dos sinais sísmicos. Testamos este método tanto para um sismograma sintético quanto para um sismograma real e obtivemos uma ótima atenuação do ruído em ambos os casos. Comparamos este método com os métodos empregados anteriormente e discutimos possíveis aplicações desta técnica a outros problemas. v

7 Abstract Oil prospecting is one of most complex and important features of oil industry Direct prospecting methods like drilling well logs are very expensive, in consequence indirect methods are preferred. Among the indirect prospecting techniques the seismic imaging is a relevant method. Seismic method is based on artificial seismic waves that are generated, go through the geologic medium suffering diffraction and reflexion and return to the surface where they are recorded and analyzed to construct seismograms. However, the seismogram contains not only actual geologic information, but also noise, and one of the main components of the noise is the ground roll. Noise attenuation is essential for a good geologic interpretation of the seismogram. It is common to study seismograms by using time-frequency transformations that map the seismic signal into a frequency space where it is easier to remove or attenuate noise. After that, data is reconstructed in the original space in such a way that geologic structures are shown in more detail. In addition, the curvelet transform is a new and effective spectral transformation that have been used in the analysis of complex data. In this work, we employ the curvelet transform to represent geologic data using basis functions that are directional in space. This particular basis can represent more effectively two dimensional objects with contours and lines. The curvelet analysis maps real space into frequencies scales and angular sectors in such way that we can distinguish in detail the sub-spaces where is the noise and remove the coefficients corresponding to the undesired data. In this work we develop and apply the denoising analysis to remove the ground roll of seismograms. We apply this technique to a artificial seismogram and to a real one. In both cases we obtain a good noise attenuation. vi

8 Sumário Agradecimentos Resumo Abstract ii iv vi Introdução 1 1 A Prospecção de Petróleo e a Exploração Sísmica A Sondagem Sísmica e as Ondas Sísmicas Ondas de Corpo ou Ondas de Volume Ondas de Superfície Velocidade de Propagação das Ondas Sísmicas Métodos Sísmicos e a Sondagem Sísmica Aquisição de Dados Sísmicos O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido Ground Roll Técnicas de Filtragem Sinais Temporais e Transformadas Introdução A Análise de Fourier A Transformada de Fourier-Gabor A Transformada em Ondaletas Transformada Contínua em Ondaletas Transformada Discreta em Ondaletas vii

9 3 A Análise Curvelet Introdução Definição da Transformada Curvelet Propriedades da Transformada Curvelet Tight frame Parâmetro de escala parabólico Comportamento oscilatório Momentos nulos Transformada Curvelet Discreta Definição Coronização discreta As funções curvelets Remoção de Ruído Sísmico usando Análise Curvelet Introdução Análise Curvelet e a decomposição do sinal Identificação e remoção do ruído Reconstrução do sinal Procedimento para remoção de ruído de rolamento superficial Análise de dados reais usando transformada curvelet Introdução O dado sísmico real versus dado sintético A extração do ruído de rolamento superficial do dado sísmico real Supressão do ruído de rolamento superficial: análise em ondaletas versus análise curvelet Conclusões e Perspectivas 86 Bibliografia 89 viii

10 Lista de Figuras 1.1 Esquema descritivo da propagação de uma onda primária ou longitudinal. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave Properties2.html [2] Esquema descritivo da propagação de uma onda secundária ou de cisalhamento. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave P roperties2.html[2] Esquema descritivo da propagação de uma onda de Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave P roperties2.html[2] Esquema descritivo da propagação de uma onda de Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave P roperties2.html[2] Distribuição de velocidades comumente encontradas na prospecção de petróleo. Figura reproduzida de THOMAS[1] Esquema da aquisição de dados sísmicos terrestres e marítimos. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3] Representação da formação de um traço sísmico pelas reflexões de um pulso pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3] Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma sondagem sísmica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3] ix

11 2.1 a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionário e sua representação no espaço das frequências obtida pela análise de Fourier do sinal; (b) um sinal temporal não estacionário e sua representação no espaço das frequências obtida pela análise de Fourier. Figura adaptada da página de internet [9] Representação simbólica da caixa de Heisemberg no plano tempofrequência. A energia do átomo de Gabor está distribuída nesta caixa centrada em (u, ξ) e com larguras σ t no tempo e σ ω na frequência. Figura reproduzida de LEITE[15] Representação de uma família de ondaletas contínuas (figura (a)) e de seu espectro de Fourier (figura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16] Esquema ilustrativo da divisão do espaço tempo-frequência (a) para a transformada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas Decomposição diádica do espaço de frequência. Na figura (a) temos esta decomposição em termos da janela radial; na figura (b) temos esta decomposição em termo das janelas radial e angular; já na figura (c) temos que a área sombreada é a fatia do espaço de Fourier onde as curvelets tem seu suporte definido. Figura adaptada da página de internet hart/uwss.pdf [29] Decomposição diádica do espaço de frequência da transformada curvelet discreta. A região sombreada representa uma fatia típica deste espaço localizada pela janela Ũj,l Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sintético com reflexões horizontais representando as camadas litológicas e um traço com maior inclinação que pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando o comportamento do ruído de rolamento superficial. Na figura (b) temos o dado sintético limpo em que a reflexão destacada já foi removida x

12 4.2 Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 3 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 4 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 5 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b Figura comparativa entre sismogramas. Na figura (a) temos um exemplo de sismograma sintético; e na figura (b) temos um exemplo de sismograma real. Nos dois sinais, o ruído de rolamento superficial aparece com uma estrutura triangular macroscópica Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado filtrado (sinal de interesse); e (c) o padrão referente ao ruído de rolamento superficial que foi excluído do dado xi

13 5.3 Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 5. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala Conjunto de ângulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real xii

14 5.15 Componentes do ruído de rolamento superficial para as escalas de j = 2 a j = 5. Na parte superior da figura temos os ângulos correspondentes em cada escala (círculos cheios) e na parte superior da figura temos a estrutura correspondente ao ruído de rolamento superficial em cada escala xiii

15 Lista de Tabelas 5.1 Balanço de energia (em porcentagem) para as escalas 2 j 5. O GR representa a energia do ruído de rolamento superficial; e RW a energia das ondas refletidas Distribuição de energia (em porcentagem) para as escalas 1 j 5. O GR representa a energia do ruído de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na última coluna é representada a energia total destes dois padrões xiv

16 Introdução A exploração petrolífera é uma das tarefas mais complicadas e de difícil execução na indústria do petróleo e também é umas das tarefas mais importantes desta indústria. A tarefa de localizar jazidas de petróleo e de avaliar o seu potencial de produção representa um intrigante e complicado problema na área de Ciência e Tecnologia, pois as jazidas e reservatórios naturais de petróleo e gás natural são encontrados em estruturas geológicas que constituem sistemas de alta complexidade, com heterogeneidades em todas as escalas e com uma enorme variedade em suas características básicas, tais como permeabilidade e porosidade. As dificuldades na localização das jazidas são aumentadas também pelo elevado nível de incerteza advindo da quantidade reduzida de informações sobre o subsolo e suas estruturas geológicas. A maneira mais precisa de superar estas dificuldades na localização das jazidas e comprovar a existência ou não de petróleo é a perfuração de poços exploratórios que possibilitem a coleta de amostras e a introdução de sensores a grandes profundidades para a medição in situ das propriedades físicas da rochas e do ambiente próximo. Entretanto, a perfuração de um poço exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando de exploração off shore e, portanto, o número de poços exploratórios usados na busca por jazidas de petróleo é bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados diretamente, comparado ao volume total do campo petrolífero, corresponde a uma fração praticamente desprezível ( ). 1

17 A alternativa para a busca por jazidas de petróleo, diante da impossibilidade de perfuração de um grande número de poços exploratórios, é o uso de métodos indiretos. O principal método indireto é o da exploração sísmica. Este método consiste em gerar ondas sísmica que se propaguem no subsolo. Essas ondas são geradas por explosões para o caso de pesquisa continental e por canhões de ar comprimido para a exploração no mar e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenômenos de espalhamento, refração, difração, reflexão e outros, pelas diversas camadas e estruturas geológicas do subsolo. Uma parte destas ondas retorna à superfície trazendo informações sobre as camadas e estruturas geológicas do interior da Terra. Na verdade, o problema de descobrir as propriedades físicas e as estruturas geológicas do subsolo através dos sinais sísmicos captados na superfície por geofones ou hidrofones é chamado de espalhamento inverso. Este problema é de difícil solução e pertence a uma classe de problemas denominada problemas mal postos. Estes problemas aparecem em diversas áreas da ciência, mas é ainda mais complicado de se resolver no caso da prospecção sísmica, pois o volume da região espalhadora das ondas sísmicas, no caso o subsolo, é muito grande, há falta de conhecimento sobre as velocidades de propagação das ondas sísmicas nas diferentes estruturas e regiões do subolo e também devido ao acentuado grau de desordem do subsolo. Apesar da enorme dificuldade em se interpretar adequadamente as imagens obtidas para o subsolo a partir de dados sísmicos, essas são as mais importantes fontes de informação sobre grandes volumes de subsuperfície e permitem, se bem interpretadas, a delimitação apropriada dos reservatórios e jazidas de petróleo. Na verdade, as imagens sísmicas são o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolação e a extrapolação de dados colhidos em poços exploratórios. Essas imagens, se bem interpretadas, fornecem as informações mais confiáveis sobre grandes quantidades de subestruturas da crosta terrestre. A análise e interpretação dos dados sísmicos representam uma etapa fundamental do processo de obtenção de imagens sísmicas do subsolo. É nesta etapa que são estimados os coeficientes das ondas sísmicas, dados pelos contrastes de impedância acústica que 2

18 geralmente existem nas transições entre camadas geológicas e, a partir destes dados, são construídas as imagens das camadas e estruturas geológicas. No entanto, os dados sísmicos ou sismogramas contém, além das informações sobre as estruturas do subsolo, uma grande quantidade de ruído e a atenuação desses ruídos é essencial para uma boa interpretação desses dados. A análise dos sismogramas pode ser feita utilizando-se diversos tipos de transformadas espectrais. Nesta tese de doutorado vamos descrever e/ou estudar os principais tipos de análise que podem ser utilizados no estudo de sinais sísmicos para remover os ruídos e recuperar as informações sobre as estruturas do subsolo, bem como entender as limitações desses métodos de análise e implementar o método de análise curvelet para a remoção de ruídos em sismogramas de exploração sísmica. Assim, para descrevermos os trabalhos realizados no decorrer de nosso doutoramento, esta tese de doutorado foi estruturada em cinco capítulos principais e um capítulo de conclusão. No primeiro capítulo vamos falar um pouco sobre a prospecção de petróleo e entender como funciona o método de sondagem sísmica, como são geradas e captadas as ondas sísmicas que permitem a formação dos sismogramas e entender como o método de sondagem sísmica é utilizado para o estudo das propriedades geológicas do subsolo e para a busca de jazidas de petróleo. No capítulo 2 desta tese, vamos estudar e descrever as principais transformadas espectrais utilizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruídos presentes nesses sinais, desde a transformada de Fourier até a transformada wavelet (transformada em ondaletas). Também vamos perceber as limitações dessas transformadas e a necessidade de um outro tipo de transformada para se estudar/analisar sinais sísmicos. No capítulo 3 vamos definir e estudar a transformada curvelet e entender esta análise e suas propriedades. No capítulo 4, o primeiro capítulo baseado no trabalho original desta tese de doutorado, vamos descrever como a transformada curvelet foi implementada para ser utilizada na análise de sinais sísmicos e na remoção do ruído de rolamento superficial desses sinais, bem como descreveremos o teste realizado em dados sintéticos. 3

19 Já no capítulo 5, descrevemos o procedimento e os resultados da análise curvelet aplicada a sinais sísmicos e discutiremos os resultados obtidos em comparação com os resultados de outros métodos de análise. Por fim, no capítulo das conclusões, faremos uma breve análise dos resultados obtidos em nosso trabalho de tese e discutiremos algumas aplicações e perspectivas para o método desenvolvido e implementado nesse doutoramento. 4

20 Capítulo 1 A Prospecção de Petróleo e a Exploração Sísmica A atual sociedade humana é extremamente dependente dos combustíveis fosseís, como o petróleo e o gás natural, com isto a indústria do petróleo é uma das mais importantes e significativas do mercado mundial. Das tarefas realizadas, a exploração petrolífera é uma das mais complicadas e de difícil execução e também é umas das mais importantes desta indústria. Localizar jazidas de petróleo sob a crosta terrestre, quer seja em terras continentais ou em terreno submarino, e avaliar seu potencial de produção, representa um intrigante e complicado problema na área de Ciência e Tecnologia, pois esses reservatórios naturais são encontrados em estruturas geológicas que constituem sistemas de alta complexidade. As dificuldades na localização das jazidas de petróleo são enormes e são aumentadas, ainda mais, pelo elevado nível de incerteza advindo da quantidade reduzida de informações sobre o subsolo e suas estruturas geológicas. A maneira mais precisa de superar estas dificuldades para localizar jazidas e comprovar a existência ou não de petróleo é a perfuração de poços exploratórios que possibilitem a coleta de amostras e a introdução de sensores a grandes profundidades para a medição in situ das propriedades físicas das rochas e do ambiente próximo. Entretanto, a perfuração de um poço exploratório exige grande soma de dinheiro, principalmente em se tratando de exploração off shore e, portanto, o número de poços exploratórios usados na busca por 5

21 jazidas de petróleo é bem pequeno e o volume de subsolo do qual se tem dados coletados diretamente, comparado ao volume total do campo petrolífero, corresponde a uma fração praticamente desprezível ( ). A perfuração de poços exploratórios é utilizada para confirmar a existência de uma jazida de petróleo em uma região, onde os métodos indiretos indicaram uma grande probabilidade de existência de óleo. Assim, a pesquisa com poço exploratório irá confirmar a existência dessa jazida e avaliar seu potencial de produção de petróleo. Os métodos indiretos são, diante da impossibilidade de perfuração de um grande número de poços exploratórios, a melhor alternativa para a busca por jazidas de petróleo. Estes métodos indiretos tem custos bastante moderados e, mesmo sujeitos a interpretações e visualizações, fornecem informações detalhadas do subsolo e de suas estruturas geológicas. O principal método indireto usado no estudo das estruturas geológicas do subsolo terrestre e na prospecção de petróleo é a exploração sísmica ou sondagem sísmica. Este método consiste em gerar ondas sísmicas que se propaguem no subsolo. Estas ondas são geradas por explosões para o caso de pesquisa continental e por canhões de ar comprimido para a exploração no mar e, em se propagando no subsolo, experimentam os fenômenos de espalhamento, refração, difração, reflexão e outros, pelas diversas camadas e estruturas geológicas do subsolo. Uma parte dessas ondas retorna à superfície trazendo informações sobre as camadas e estruturas geológicas do interior da Terra. As ondas refletidas e/ou refratadas nas várias camadas e estruturas do subsolo que voltam à superfície trazem uma informação que precisa ser interpretada e analisada e, apesar da enorme dificuldade em se interpretar adequadamente as informações e imagens obtidas para o subsolo a partir de dados sísmicos, essas imagens são as mais importantes fontes de informação sobre grandes volumes de subsuperfície e permitem, se bem interpretadas, a delimitação apropriada dos reservatórios e jazidas de petróleo. Na verdade, as imagens sísmicas são o meio mais difundido e preciso para guiar a interpolação e a extrapolação de dados colhidos em poços exploratórios, por isto precisamos entender claramente como elas são obtidas para poder melhor estudar, interpretar e analisar esses dados sísmicos. 6

22 Vale ressaltar que o método de sondagem sísmica também é bastante utilizado no estudo das estruturas geológicas das placas tectônicas para estudar regiões onde ocorreram abalos sísmicos e, por exemplo, calcular a probabilidade de novos abalos. Embora, o foco do estudo da sondagem sísmica, nesta tese, seja a prospecção de petróleo, os métodos e ferramentas aqui estudados e desenvolvidos também podem ser aplicados em estudos sismológicos. Nas seções deste primeiro capítulo vamos estudar e entender como funciona o método de sondagem sísmica e como este método é utilizado para o estudo das propriedades geológicas do subsolo e para a busca de jazidas de petróleo. Com este entendimento inicial sobre sondagem sísmica, estaremos aptos a, nos próximos capítulos, estudar as principais ferramentas matemáticas utilizadas na análise e interpretação dos dados obtidos nas sondagens sísmicas. Devemos ainda ressaltar que este é um capítulo básico que trata da descrição geral da prospecção de petróleo e da sondagem sísmica usada para localizar e delimitar jazidas de petróleo e gás natural, portanto as descrições apresentadas aqui são de conhecimento geral da engenharia de petróleo. A principal referência utilizada na construção deste capítulo foi o livro do THOMAS[1]. Outras referências que se fizerem necessárias serão citadas no decorrer do capítulo. 1.1 A Sondagem Sísmica e as Ondas Sísmicas A sondagem sísmica ou exploração sísmica é um método indireto de exploração do subsolo terrestre que faz uso de aparelhos e técnicas especiais para estudar e caracterizar o subsolo. Este método tem sido comumente utilizado pelo fato de ser capaz de cobrir grandes áreas e, ao mesmo tempo, ser economicamente viável, permitindo assim, uma observação cautelosa e barata do subsolo terrestre, sendo largamente empregado na localização de jazidas de petróleo e gás natural e também no estudo e detecção de falhas geológicas. A sondagem sísmica do subsolo faz uso de ondas sísmicas, que são ondas de natureza 7

23 mecânica que transportam energia de deformação elástica no meio em que foram geradas. A velocidade de propagação destas ondas depende das propriedades elásticas e da densidade do meio em que elas se propagam. É a sua reflexão e refração entre as camadas do subsolo que nos permite inferir as propriedades do subsolo e de suas camadas e estudá-las. Para entendermos as ondas sísmicas e seu efeito sobre o solo e subsolo devemos lembrar que quando se aplica uma força sobre a superfície de um corpo, pode-se modificar sua forma e/ou seu volume. A elasticidade é a propriedade de um corpo resistir a essa deformação e de retornar à sua forma e/ou volume iniciais depois que a força causadora da deformação cessa. A teoria da elasticidade estuda as relações entre as forças e as mudanças na forma e volume dos corpos, com base nos conceitos de tensão (stress) e deformação (strain). Segundo a lei de Hooke, para pequenas deformações, as que ocorrem em rochas podem ser consideradas como perfeitamente elásticas e como as ondas sísmicas geradas na exploração sísmica e prospecção de petróleo são causadoras de pequenas deformações (da ordem de 10 6 % a 10 3 %), as estudadas na sondagem sísmica podem ser consideradas deformações elásticas. A tensão sobre uma superfície é definida como a força por unidade de área na superfície. Quando esta tensão é perpendicular à área em que atua, esta tensão é denominada tensão normal. E quando ela é tangencial à área em que atua, é denominada tensão cisalhante ou tensão de cisalhamento. As tensões que atuam em um corpo ou superfície podem causar sua deformação. A deformação (ou strain) de um corpo é a mudança na forma e/ou volume de um corpo quando este está sujeito a ação de uma tensão. A deformação normal, ou seja, a deformação de um corpo devido à uma tensão normal modifica o volume do corpo, mas não modifica a forma do corpo. Já a deformação cisalhante modifica a forma mas não modifica o volume do corpo. Quando um corpo está sujeito a uma tensão e o equilíbrio estático deste corpo é rompido, dá-se início à propagação da tensão e da deformação sob a forma de ondas elásticas. Assim, as ondas sísmicas são ondas elásticas que se propagam na Terra e que podem ser classificadas como ondas de corpo ou como ondas de superfície. 8

24 1.1.1 Ondas de Corpo ou Ondas de Volume As ondas de corpo ou ondas de volume são as que se propagam através do interior da Terra. Elas apresentam direções radiais a partir do ponto onde foram geradas com desvios devidos às variações de densidade do meio. As ondas de volume são responsáveis pelos primeiros tremores sentidos durante um terremoto e podem ser classificadas em dois tipos: as ondas primárias (ondas P); e as ondas secundárias (ondas S). As ondas primárias ou ondas P ou ondas compressionais são ondas longitudinais, ou seja, são ondas nas quais o deslocamento e a vibração das partículas do meio ocorre na mesma direção da propagação da energia da onda. As ondas longitudinais são mais velozes que as ondas S e, por isto, são os primeiros eventos a serem detectados após um abalo sísmico. Na figura 1.1 é mostrado um esquema descritivo da propagação de uma onda longitudinal ou primária, onde podemos ver que o deslocamento das partículas do meio ocorre na direção de propagação da onda. Figura 1.1: Esquema descritivo da propagação de uma onda primária ou longitudinal. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave Properties2.html [2]. 9

25 As ondas secundárias ou ondas S ou ondas de cisalhamento são ondas transversais, ou seja, são ondas de volume nas quais o movimento das partículas do meio ocorre na direção transversal à direção de propagação da onda. As ondas S se propagam apenas em corpos sólidos, pois os fluidos não suportam forças de cisalhamento. Sua velocidade é, em um dado meio, menor que a velocidade das ondas P, mas sua amplitude é várias vezes maior. Na figura 1.2 é mostrado um esquema descritivo da propagação de uma onda de cisalhamento ou secundária, onde podemos ver que o deslocamento das partículas do meio ocorre na direção perpendicular à propagação da onda. Figura 1.2: Esquema descritivo da propagação de uma onda secundária ou de cisalhamento. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave Properties2.html [2] Ondas de Superfície As ondas de superfície são ondas que se propagam logo abaixo da superfície terrestre e deslocam-se mais lentamente que as ondas de volume. Devido à sua baixa frequência, longa duração e grande amplitude, possuem elevado poder destrutivo. Elas propagam-se pela superfície a partir do epicentro de um evento sísmico. 10

26 Existem dois tipos de ondas de superfície: as ondas de Rayleigh e as ondas de Love. As ondas de Rayleigh ou ondas R são o resultado da superposição de ondas P e S. A existência destas ondas foi prevista por Lord Rayleigh em 1985 e são ondas que provocam vibrações no sentido contrário à propagação da onda, causando um movimento de rolamento (como uma órbita elíptica) em sentido contrário ao movimento da onda. Esta onda também é denominada onda de rolamento superficial e sua amplitude diminui rapidamente com a profundidade. A figura 1.3 mostra um esquema descritivo para uma onda R. Observe que a onda se propaga em uma direção e o movimento dos elementos de volume do meio descrevem um rolamento cuja intensidade diminui rapidamente com a profundidade. Figura 1.3: Esquema descritivo da propagação de uma onda de Rayleigh ou onda R. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave Properties2.html [2]. Como veremos, ainda nesse capítulo, o principal tipo de ruído presente nos sinais sísmicos obtidos em sondagens sísmicas e chamado de ruído de rolamento superficial, é devido a ondas do tipo Rayleigh. As ondas de Love ou onda L são ondas que produzem cisalhamento horizontal do solo 11

27 e sua energia é obrigada a permanecer nas camadas superiores da Terra devido ao fato de ocorrer por reflexão interna total. Essas ondas são o resultado da superposição de duas ondas S, são ligeiramente mais rápidas que as ondas de Rayleigh e são muito destrutivas. Na figura 1.4 é mostrado um esquema descritivo da propagação de uma onda Love. Observe que os elementos de volume do meio de propagação sofrem um cisalhamento no plano horizontal cuja intensidade diminui com a profundidade. Figura 1.4: Esquema descritivo da propagação de uma onda de Love ou onda L. Figura reproduzida/adaptada da página de internet jlafever/wanimate/wave Properties2.html [2] Velocidade de Propagação das Ondas Sísmicas A velocidade de propagação das ondas sísmicas é função da densidade e das constantes elásticas do meio. Consequentemente, depende da constituição mineralógica da rocha, do grau de cimentação, dos estágios de compactação, da porosidade, do conteúdo e da saturação de fluidos, além de depender da temperatura e da presença de microfraturas na rocha. As velocidades das ondas P e S em uma rocha ou a razão entre estas velocidades é, 12

28 no geral, usada para caracterizar uma determinada rocha, ou seja, as velocidades calculadas ou estimadas para as ondas sísmicas numa região do subsolo podem determinar a composição das rochas daquela subsuperfície. Na figura 1.5 ilustramos a distribuição de velocidades comumente encontradas na prospecção de petróleo. Como o método da sondagem sísmica permite o cálculo destas velocidades, pode-se estimar os parâmetros das rochas a partir do conhecimento das velocidades. Figura 1.5: Distribuição de velocidades comumente encontradas na prospecção de petróleo. Figura reproduzida de THOMAS[1]. 1.2 Métodos Sísmicos e a Sondagem Sísmica Os métodos sísmicos usados na sondagem sísmica se baseiam na emissão de ondas sísmicas geradas artificialmente na superfície terrestre ou no mar e posterior captação das ondas que são refletidas e/ou refratadas pelas descontinuidades do interior da crosta 13

29 terrestre e retornam à superfície. Há dois principais métodos sísmicos: o método sísmico de refração, que registra somente as ondas refratadas com ângulo crítico e que tem grande aplicação na área de sismologia e, no entanto, tem aplicação restrita na área de prospecção de petróleo; e o método sísmico de reflexão que registra as ondas refletidas pelas descontinuidades do interior do subsolo e é largamente utilizado na área de prospecção de petróleo. Destes métodos vamos estudar apenas o segundo, discutindo o estritamente necessário para um melhor entendimento dos capítulos seguintes e do trabalho original desta tese. Para o levantamento sísmico de uma área do subsolo começa-se com a geração de ondas sísmicas artificiais na superfície terrestre, onde se faz uso de dinamite ou de vibradores com queda de peso, ou no mar, onde se faz uso de canhões de ar comprimido. As ondas sísmicas assim geradas tem um pulso característico conhecido como assinatura da fonte e são captadas após se refletirem e/ou refratarem em cada uma das descontinuidades e camadas do interior do subsolo por onde viajam. Os receptores utilizados para captar e registrar as reflexões são, basicamente, de dois tipos: os eletromagnéticos (geofones) que são utilizados para registros em terra; e os de pressão (hidrofones) usados para levantamentos em águas oceânicas. Os geofones são compostos por uma bobina suspensa dentro de um campo magnético gerado por um potente imã acondicionado por um invólucro imperméavel. O geofone é firmemente cravado na superfície da Terra e quando uma onda sísmica o atinge, o movimento relativo entre a bobina e o imã gera uma corrente elétrica induzida que é proporcional à vários fatores, inclusive à amplitude da onda incidente. Os hidrofones utilizam-se de cristais piezoelétricos que geram uma corrente elétrica proporcional à variação da pressão produzida pelas ondas sísmicas na água. Os hidrofones e geofones devem reproduzir, o mais fielmente possível, as vibrações mecânicas na forma de oscilações elétricas. Estas oscilações elétricas irão permitir a construção do sismograma e/ou imagens do interior da Terra que serão analisadas e trabalhadas para o completo levantamento das estruturas internas da subsuperfície. 14

30 1.3 Aquisição de Dados Sísmicos Utilizando-se uma fonte artificial de ondas sísmicas, como dinamite para os casos em terra e ar comprimido para os casos em mar, são produzidas ondas que irão se propagar no interior da crosta terrestre. Para todos os fins práticos, a propagação das ondas sísmicas é regida pelas mesmas leis da ótica geométrica. Assim, quando uma frente de onda incide sobre uma interface separando duas rochas com velocidades e densidades diferentes, parte da energia da onda é refletida e retorna à superfície e parte é refratada para o meio inferior e continua sua propagação. A quantidade de energia que é refletida depende do contraste de impedância das rochas. É possível simular a resposta sísmica de um pacote sedimentar ou traço sísmico (também chamado de sismograma sintético) a partir do conhecimento de velocidades e densidades das rochas que o compõe e da assinatura da fonte. Usando um conjunto de geofones (ou hidrofones) convenientemente distribuídos e ordenados, como esquematizados na figura 1.6, pode-se captar as ondas refletidas nas diversas camadas e descontinuidades do subsolo. Figura 1.6: Esquema da aquisição de dados sísmicos terrestres e marítimos. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3]. Em geral, é considerado que o pulso refletido em uma descontinuidade tenha a mesma 15

31 forma do pulso incidente. Os geofones ou hidrofones registram as superposições das amplitudes sísmicas ou reflexões individuais que variam de valores negativos a positivos e são armazenados em um traço sísmico. Cada traço sísmico é apresentado como uma série temporal de amplitudes que tem sua área positiva preenchida. Na figura 1.7[1] está ilustrada a formação de um sismograma através das reflexões de um pulso pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura 1.7: Representação da formação de um traço sísmico pelas reflexões de um pulso pelas camadas sedimentares do subsolo. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3]. Na figura 1.7.A tem-se a representação das camadas sedimentares do subsolo. Em 1.7.B vê-se as inomogeneidades ou impedâncias acústicas dessas camadas sedimentares. Em 1.7.C temos o pulso incidente e a reflectividade das diversas camadas. Na figura 1.7.D temos as reflexões individuais de cada uma das camadas sedimentares, e finalmente, em 1.7.E tem-se o traço sísmico final registrado em apenas um geofone. Devido ao arranjo dos geofones (hidrofones) e dos registros de uma mesma reflexão em vários desses sensores, pode-se calcular as distâncias das várias camadas e heterogeneidades e as velocidades das ondas sísmicas nestas camadas de subsuperfícies. 16

32 1.4 O Ruido de Rolamento Superficial ou Ruido Ground Roll Os registros obtidos por um conjunto de geofones ou hidrofones das reflexões da onda nas camadas de subsuperfícies formam um sismograma. Na figura 1.8[3] é mostrado um sismograma construído a partir dos dados de um conjunto de geofones durante uma sondagem sísmica. Figura 1.8: Exemplo de sismograma captado por um conjunto de geofones durante uma sondagem sísmica. Figura reproduzida de OLIVEIRA[3]. No sismograma da figura 1.8 são observadas algumas estruturas, no entanto, a maioria das estruturas visualmente presentes no sismograma não são devidas às reflexões das ondas nas heterogeneidades do subsolo. A maioria dos sinais presentes em um sismograma de sondagem sísmica são sinais expúrios que dificultam a leitura do sismograma e sua interpretação e, consequentemente, o estudo das estruturas do subsolo terrestre. 17

33 Estes sinais indesejados que aparecem nos sismogramas são chamados de ruídos. O principal sinal indesejado nos sismogramas de sondagem sísmica são sinais coerentes devidos a ondas de superfície, do tipo das ondas de Rayleigh, que contribuem com cerca de dois terços de toda a energia sísmica captada pelo geofone durante essas sondagens[5]. Esses sinais indesejados são chamados de ruído de rolamento superficial ou ruído ground roll. O ruído de rolamento superficial está sempre presente nos sismogramas de sondagem sísmica e, no exemplo da figura 1.8, ele aparece geometricamente com a forma de um cone central marcado por A. A forma de cone para o registro do ruído de rolamento superficial vem do posicionamento dos geofones em relação ao ponto de tiro (ponto de energia onde são geradas as ondas sísmicas para o levantamento sísmico). As principais características do ruído de rolamento superficial são: grandes amplitudes, maiores que as do sinal refletido nas camadas do subsolo; baixa velocidade; e concentração de energia em frequências baixas[5]. Por serem ondas do tipo Rayleigh, as ondas do ruído de rolamento superficial se limitam a uma propagação próxima à superfície da Terra sem transmitir energia para o seu interior. E, então, as amplitudes que constituem o ground roll não contêm informações relacionadas com as interfaces de reflexões e irão se sobrepor às amplitudes (menores) que foram refletidas pelas estruturas geológicas do interior da terra. 1.5 Técnicas de Filtragem O ruído de rolamento superficial e outros sinais indesejados precisam ser removidos do sismograma para que se possa estudar as estruturas presentes e, com isto, estudar as estruturas do interior da terra. Convencionalmente, para a remoção de ruídos são usados filtros tais como: filtros passa-baixa, passa banda, balanço espectral, multicanal, f k, entre outros. Os vários métodos desenvolvidos baseados nessas técnicas, podem ser utilizados para a remoção do ruído de rolamento superficial[6]. No entanto, esses métodos tem limitações, pois só podem 18

34 ser aplicados ou no domínio da frequência ou no domínio do tempo. Os filtros passa-alta e passa banda, por exemplo, são aplicados no domínio da frequência e são incapazes de separar as grandes amplitudes do ruído de rolamento superficial das amplitudes das reflexões. Isto ocorre porque, para uma mesma banda de frequência, as amplitudes do ruído e do sinal de interesse se sobrepõe fortemente[5]. Por isto, usando-se este tipo de filtragem, frequências baixas presentes nas reflexões são perdidas. Por outro lado, os filtros baseados na transformada f k são bastante utilizados para remover os ruídos de rolamento superficial[7], porém estas transformadas têm a desvantagem de gerar distorções nos sinais das reflexões devido ao fato das amplitudes do ground roll serem bem maiores que as amplitudes das reflexões. Há vários métodos e transformadas que são utilizadas para tratar e estudar os sismogramas e, desta forma, estudar as estruturas do interior da terra. Nos próximos capítulos faremos um breve estudo das principais transformadas temporais usadas para remover ruídos dos sinais sísmicos, bem como suas limitações, para podermos comparar com a transformada curvelet, que é o objeto principal de estudo desta tese. 19

35 Capítulo 2 Sinais Temporais e Transformadas 2.1 Introdução Toda grandeza física pode ser representada por uma função f(t) que dá o seu comportamento com o tempo. A princípio, conhecendo-se a função que representa uma grandeza física, conhecemos o comportamento desta grandeza em qualquer tempo e nos referimos a esta função como sendo o sinal temporal da grandeza física. Entretanto, o sinal temporal não fornece toda a informação que precisamos para estudar e analisar a grandeza física. Em muitos casos é necessário realizar uma transformação matemática sobre a função para que esta possa ser analisada em um domínio diferente do domínio temporal e, desta forma, possamos obter outras informações relevantes e importantes sobre a grandeza física. As transformações mais utilizadas para se analisar sinais temporais são as chamadas transformadas espectrais, que levam o sinal temporal para o espaço das frequências e permitem recuperar as frequências presentes no sinal temporal. Por outro lado, os sinais temporais obtidos no mundo real a partir do estudo de alguma grandeza física de interesse estão sempre contaminados. Por exemplo, em um sismograma coletado para se estudar a estrutura interna de uma área da crosta terrestre há vários outros sinais misturados que atrapalham o estudo do sismograma por não pertencerem ao fenômeno de interesse. Chamamos estes sinais espúrios ou indesejados de ruídos. A presença de ruídos é inevitável no estudo de qualquer grandeza ou fenômeno físico. Há alguns procedimentos utilizados para atenuar o ruído presente no sinal e, desta forma, 20

36 recuperar o sinal desejado. Estes procedimentos de atenuação de ruídos são conhecidos como filtragem [8]. Assim, procedimentos matemáticos têm sido propostos para atenuar estes sinais que não pertencem ao fenômeno observado e que não são de interesse do pesquisador. As transformadas espectrais estão entre os filtros mais utilizados para remoção de ruídos na exploração do petróleo. Nestes casos, é feita uma transformada sobre o sinal levando-o para o espaço das frequências e as frequências dos sinais indesejados são atenuadas ou removidas e, ao se realizar a transformada inversa para levar o sinal de volta ao espaço temporal, o sinal desejado deve, em teoria, estar livre dos ruídos. Neste capítulo vamos estudar brevemente as principais transformadas espectrais utilizadas para se estudar sinais temporais e/ou atenuar ruídos presentes nesses sinais, bem como perceber as limitações destas transformadas. 2.2 A Análise de Fourier Em 1807, o físico e matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier desenvolveu um método de análise de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes que passaram a se chamar Séries de Fourier. Levando-se em consideração que senos e cossenos são funções periódicas, ele propôs que qualquer função periódica pode ser decomposta em termos destas funções base num somátório infinito. Assim, uma função f(t) periódica pode ser escrita em termos de funções senoidais (senos e cossenos) como: f(t) = a 0 + [ ( ) ( )] nπt nπt a n cos + b n sen L L n=1 (2.1) onde os coeficientes da expansão, a n e b n, são determinado a partir da relação de ortogonalidade das funções base da expansão (senos e cossenos) e são dados por: e a n = 1 L L L ( ) nπt f(t) cos dt, n = 0, 1, 2, 3,... (2.2) L 21

37 b n = 1 L L L ( ) nπt f(t)sen dt, n = 1, 2, 3,... (2.3) L Com o sinal, f(t), escrito como uma série de Fourier na forma da equação (2.1), podemos analisá-lo mais facilmente no domínio temporal e, também, transformá-lo para outros domínios para obter e estudar informações que não estão disponíveis neste domínio. Usando a Transformada de Fourier (TF), que é uma transformada integral que leva uma função periódica em suas componentes no domínio das frequências, podemos transformar o sinal temporal em uma função que está representada no domínio das frequências a partir da integral: ˆf(ω) = F[f](ω) = f(t)e iωt dt (2.4) Por outro lado, conhecendo-se o espectro f(ω) de um sinal temporal, é possível obter este sinal utilizando a transformada inversa de Fourier, dada por: f(t) = f[f](t) = 1 2π ˆf(ω)e iωt dt (2.5) Diz-se então que f(t) e ˆf(ω) formam um par de transformadas, indicando isto por f(t) ˆf(ω). Ou seja, de um sinal temporal podemos obter o sinal no espaço das frequências e vice-versa. O fato das funções de base da série de Fourier ou, equivalentemente, da integral da transformada de Fourier (equação (2.4)), se estender de menos a mais infinito, torna esta transformada adequada para se estudar um sinal estacionário. Assim, no estudo de sinais estacionários, utilizar um filtro do tipo Fourier é uma boa escolha para decompor o sinal do domínio do tempo em sinais harmônicos simples para o domínio das frequências. Neste novo domínio pode-se analisar o sinal e atenuar as frequências dos sinais indesejados e, em tese, ao voltar ao domínio temporal pela transformada de Fourier inversa, recupera-se o sinal sem a presença de ruídos e sinais indesejados. Na figura 2.1.a temos um exemplo de um sinal estacionário simples, f(t) = cos(ν 0 ) representado em seu domínio temporal e sua análise de Fourier, representada no domínio das frequências, onde vemos que sua frequência é representada por uma delta sobre ν 0 22

38 no espaço das frequências. Já na figura 2.1.b temos a função f(t) = cos(ν 0 ) dentro de uma caixa limitada no intervalo [ b/2, b/2] e sua respectiva representação no espaço das frequências, o que já nos mostra a limitação da análise de Fourier para analisar sinais não-estacionários. Figura 2.1: a) Exemplo de (a) um sinal temporal estacionário e sua representação no espaço das frequências obtida pela análise de Fourier do sinal; (b) um sinal temporal não estacionário e sua representação no espaço das frequências obtida pela análise de Fourier. Figura adaptada da página de internet [9]. Apesar de ser extremamente útil e importante no estudo de sinais estacionários, a transformada de Fourier não pode visualizar ou recuperar uma informação localizada em um tempo específico. Ou seja, a transformada de Fourier é ineficaz para fornecer a localização de um evento no sinal, tal como mudança de frequência, descontinuidades, singularidades e fenômenos transientes em geral. A limitação na análise de Fourier advém do fato da transformada de Fourier não permitir analisar, em separado, trechos diferentes dos sinais [10]. Assim, caso o sinal contenha 23

39 algum trecho extremamente ruídoso ou que contenha pontos anômalos, o processamento de todo o sinal ficará comprometido. E, no caso dos sinais sísmicos da prospecção de petróleo, as partes mais importante dos sinais costumam ser os eventos pontuais ou singularidades presentes no sinal temporal. Como ferramentas de análise alternativas à Tranformada de Fourier no estudo de sinais não-estacionários ou que contenham descontinuidades pontuais, surgiram outras transformadas espectrais que visam incorporar à análise de um sinal a possibilidade de localizar um evento no sinal ao mesmo tempo que leva o sinal temporal do espaço dos tempos para o espaço das frequências. Vamos estudar brevemente algumas destas transformadas nas seções seguintes deste capítulo. 2.3 A Transformada de Fourier-Gabor Para cobrir a deficiência da Transformada de Fourier em estudar sinais não estacionários e interessado em representar sinais não-estacionários em problemas de comunicação usando funções de base oscilatórias no plano tempo-frequência, o físico Dennis Gabor[11] desenvolveu um método que divide o sinal temporal original em partes e realiza uma análise de Fourier em cada parte em separado. Este método é denominado Transformada Fourier-Gabor ou Transformada de Fourier Janelada (em inglês Short Time Fourier Transform). A transformada de Fourier Janelada usa uma função auxiliar no integrando da transformada de Fourier que divide o sinal temporal em partes, através de janelas de formato gaussiano, e faz a transformada de Fourier em cada parte do sinal, permitindo obter informações sobre quais frequências ocorrem em cada parte do sinal. Matematicamente temos que a transformada de Fourier-Gabor relaciona o sinal temporal f(t) com a função de análise g u,ξ (t), conhecida como átomo de Gabor, pela equação: f(u, ξ) = f(t)g u,ξ(t)dt (2.6) A função átomo de Gabor é construída por uma translação temporal: 24

40 g u,ξ (t) = g(t u)e iξt. (2.7) Desta forma, a transfomada de Fourier-Gabor é dada por: ˆf(u, ξ) = f(t)g(t u)e iξt dt (2.8) Sendo assim, a transformada de Fourier janelada está definida no domínio tempo frequência (ω, t). E a energia de g u,ξ é concentrada na vizinhança de u em um intervalo de tamanho σ t e sua transfomada de Fourier é uma translação por ξ: A transformada inversa de Fourier Gabor é dada por: ĝ u,ξ (ω) = ĝ(ω ξ)e iu(ω ξ). (2.9) f(t) = 1 2π ˆf(u, ξ)g(ξ t)e iξu dudξ. (2.10) A função g u,ξ (t), da transformada de Fourier-Gabor, é delimitada por uma região e, também por isto, conhecida como uma função janelada. A energia de g u,ξ (t) está concentrada na vizinhança de u em um intervalo de tamanho σ t. E a energia de ĝ u,ξ (t) é localizada na frequência ξ em um intervalo de tamanho σ ω. No plano tempo-frequência (t, ω), o espalhamento da energia do átomo g u,ξ é representado simbolicamente pela caixa de Heisemberg, como ilustrado na figura 2.2. Esta caixa está centrada em (u, ξ) e tem largura σ t no tempo e σ ω na frequência. A janela usada na transformada de Fourier janelada é de tamanho fixo. Isto torna inviável a análise simultânea das componentes de altas frequências e de baixas frequências do sinal, pois há um limite, advindo do Princípio da Incerteza de Heisemberg, para a localização tempo-frequência do sinal. A variância temporal σ t e a variância na frequência σ ω do sinal temporal f(t) satisfazem a equação: σ t σ ω 1 4π (2.11) Sendo assim, uma boa localização na frequência (σ ω pequeno) implica em não se ter uma boa localização no tempo (σ t 1/4πσ ω ). A localização da função no domínio 25

41 Figura 2.2: Representação simbólica da caixa de Heisemberg no plano tempo-frequência. A energia do átomo de Gabor está distribuída nesta caixa centrada em (u, ξ) e com larguras σ t no tempo e σ ω na frequência. Figura reproduzida de LEITE[15]. tempo-frequência está representada geometricamente pela dimensão do retângulo σ t σ ω. Do princípio da incerteza temos que a área desse retângulo mostrado na figura 2.2, é 1/4π. Na transformada de Fourier janelada, uma vez escolhida uma janela do domínio do tempo, esta mesma janela tem de ser usada em todas as frequências. Assim, é possível se analisar sinais que apresentam componentes de frequências altas ou sinais que apresentam componentes de frequências baixa, mas não sinais que apresentam ambas componentes, como os sinais geofísicos. A limitação na transformada de Fourier janelada fez surgir uma modificação nessa transformada, que veio a ser chamada de Transformada Wavelet ou transformada em ondaleta. 26

42 2.4 A Transformada em Ondaletas A Transformada Wavelet ou Transformada em Ondaletas também surgiu da limitação da análise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e da limitação da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequências. Devido à esta limitação da transformada de Fourier janelada em analisar sinais não estacionários e compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequências, Grossmann e Morlet [10] usaram funções de análise na base com parâmetros variáveis σ e τ relacionados com frequência e tempo, respectivamente, e que ajustavam às janelas de análise do sinal, contornando a limitação da análise de Fourier-Gabor. Assim, as funções de análise são ajustadas pelos parâmetros σ e τ dependendo da frequência que se deseja analisar, ou seja, para estudar as estruturas de sinais f(t) em tamanhos diferentes, é necessário usar uma decomposição em tempo-frequência com suportes diferentes no tempo. A transformada em ondaletas é uma técnica recente com enorme aplicabilidade no estudo de funções não-estacionárias e de sinais com transientes ou singularidades, como é o caso de sinais geofísicos[16]. A enorme utilidade das ondaletas está na possibilidade de atuarem como funções de base na decomposição de sinais temporais (funções f(t) L 2 (IR)) de forma mais eficiente que as bases senoidais do método de Fourier e que as janelas do método Fourier-Gabor. Muitas vezes a transformada em ondaletas é comparada a um microscópio matemático, pelo fato de proporcionar um efeito tipo lente de aumento que permite localizar, no tempo e na escala, transientes e singularidades em um sinal temporal. Tornando esta análise extremamente conveniente para a análise de sinais não-estacionários e com sigularidades. Nesta seção, vamos apresentar e discutir brevemente a transformada contínua em ondaletas e a transformada discreta em ondaletas e perceber, também, suas limitações. 27

43 2.4.1 Transformada Contínua em Ondaletas A Transformada Contínua em Ondaletas é uma transformação matemática que decompõe um sinal temporal f(t) L 2 (IR) em funções de base denominadas ondaletas ou wavelets. Esta transformada gera um novo sinal f ψ (σ, τ) L 2 (IR) que é dependente dos parâmetros σ e τ que são, respectivamente, o parâmetro de dilatação/contração e o parâmetro de translação. Comparando a transformada contínua em ondaletas com a transformada de Fourier janelada, como veremos a seguir, percebe-se que o parâmetro τ é similar ao parâmetro de localização da transformada de Fourier janelada. Já o parâmetro σ não existe na transformada de Fourier janelada. A decomposição da função f(t) em termos das ondaletas, pode ser representada pela equação: f ψ (σ, τ) = + f(t)ψ σ,τ(t)dt (2.12) onde a função ψ σ,τ(t) é conseguida por dilatações (parâmetro σ) e translações (parâmetro τ) de uma função principal ou função protótipo, conhecida por ondaleta mãe (ou wavelet mãe), e dada por: onde σ, τ IR, σ 0; e o termo ψσ,τ(t) = 1 ( ) t τ ψ σ σ (2.13) 1 σ corresponde a um fator de normalização da energia para cada ondaleta, que faz com que cada ondaleta tenha a mesma energia da ondaleta principal. A dependência da ondaleta com os dois parâmetros, σ e τ, é o que torna esta transformada uma ferramenta eficiente para analisar sinais não-estacionários e localizar singularidades e transientes, pois é possível analisar a função em um amplo conjunto de localizações temporais e com relação a um grande conjunto de frequências. Na figura 2.3.a ilustramos uma família de ondaletas contínuas para diferentes valores dos parâmetros σ e τ. Já na figura 2.3.b ilustramos o espectro de Fourier destas ondaletas. A ondaleta escolhida é a segunda derivada da gaussiana, também conhecida como Chapéu Mexicano devido a seu formato peculiar. A ondaleta principal ou protótipo usada 28

44 Figura 2.3: Representação de uma família de ondaletas contínuas (figura (a)) e de seu espectro de Fourier (figura (b)). Figura reproduzida de MALLAT[16]. para gerar a família de ondaletas é ψ 1, que está localizada em τ 0 = 0 para uma determinada escala σ 0, ou seja, ψ 1 = ψ σ0,τ 0 =0. Observa-se na figura 2.3.a que quando a ψ 1 é contraída em σ 0 σ 0 2 e transladada para a direita, τ 0 +τ, é gerada a ondaleta ψ 2, caracterizada por ψ 2 = ψ σ0 /2,τ. Já a ondaleta ψ 3 é gerada pela contração σ 0 σ 0 e pela translação 4 τ 0 τ, assim ψ 3 = ψ σ0 /4, τ. No espectro de Fourier desta família de ondaletas, mostrado na figura 2.3.b, observase que quando é diminuída a análise do domínio da temporal (tanto em ψ 2 quanto em ψ 3 que são menos espalhadas que ψ 1 ), a análise no domínio das frequências é deslocada para frequências maiores. E, consequentemente, a ondaleta que possui maior suporte no tempo, ψ 1, tem seu espectro de frequência concentrado em frequências menores. 29

45 A transformada em ondaletas, assim como a transformada de Fourier, é inversível. A recuperação do sinal original é possível pela transformada em ondaletas inversa, cuja expressão matemática é: f(t) = f 1 1 ψ (σ, τ) = c ψ + + ( 1 t τ f ψ (σ, τ) ψ σ σ ) dτ dσ σ 2 (2.14) onde o termo C ψ depende da ondaleta dada e, matematicamente, é escrito na forma: C ψ = + onde o termo ˆψ(ω) é a transformada de Fourier da função ψ(t). ˆψ(ω) 2 dω < (2.15) ω A equação 2.15 é definida como a condição de admissibilidade da função ψ(t), que tem de satisfazê-la para que a função f(t) possa ser reconstruída sem perda de informação. A equação 2.15 exige, ainda, que ˆψ(0) = 0 ou + ψ(t)dt = 0, de forma que ψ(t) muda seu sinal, ao menos, uma vez ao longo de seu domínio e que se anula para t. Esta propriedade garante que ψ(t) tem caráter ondulatório. Por outro lado, levando-se em consideração a localização da energia da função ψ, temos que essa está localizada numa região do plano (τ, ω) e, portanto, no plano (τ, σ), uma vez que σ 1/ω. Isto significa que as amplitudes de ψ são apreciáveis apenas nesta região. Desta forma, a equação 2.12 mede as flutuações do sinal f na vizinhança de τ, cujo tamanho é proporcional à escala σ. Se a ondaleta é mais localizada, ou seja, sua energia está concentrada em uma pequena região do espaço, ela fornece uma melhor representação da função no plano tempo-frequência, mas a forma da ondaleta permanece inalterada sob dilatação e translação (como pode ser visto na figura 2.3). Para compararmos melhor a análise de Fourier-Gabor com a análise em ondaletas, podemos analisar um esquema ilustrativo da divisão que a transformada em ondaletas faz do espaço tempo-frequência (figura 2.4.b) com a divisão do espaço tempo-frequência feito pela análise de Fourier-Gabor (figura 2.4.a). As diferentes larguras das janelas (tanto em tempo quanto em frequência) permitem a melhor representação das singularidadese e 30

46 eventos localizados do sinal temporal quando estudado no domínio tempo-frequência. Na figura 2.4.b podemos observar, também, o esquema da discretização do domínio tempoescala para as ondaletas. Figura 2.4: Esquema ilustrativo da divisão do espaço tempo-frequência (a) para a transformada de Fourier-Gabor; e (b) para a transformada em ondaletas. Figura reproduzida de MALLAT[16] Transformada Discreta em Ondaletas Vimos, até agora, que a transformada contínua em ondaletas analisa sinais temporais a partir de sua representação em termos de funções de base dadas pela equação 2.13, onde os parâmetros σ e τ controlam a largura e a localização das funções de análise que formam a base. Com os parâmetros σ e τ, a transformada contínua em ondaletas é uma representação redundante dos sinais temporais. A diminuição da redundância aumenta a eficiência dos algoritmos de análise e uma discretização dos parâmetros σ e τ é suficiente para passar de uma representação redundante a uma representação em uma base ortonormal. Uma escolha adequada para o parâmetro de escala é σ = σ0, j com j Z e σ 0 > 1. E para o parâmetro de translação é τ = kτ 0 com k Z e τ 0 > 0. O valor de τ 0 deve 31

47 ser escolhido de modo que as ondaletas ψ(t kτ 0 ) cubram todo o eixo temporal. Devese perceber também, que a discretização de τ deve estar relacionada à discretização de σ = σ0, j portanto, uma escolha conveniente para τ é da forma τ = kσ0τ j 0. Uma classe particular de ondaletas discretas são as ondaletas com os seguintes valores numéricos para os parâmetros de translação e contração da ondaleta τ 0 = 1 e σ 0 = 2, de forma que, temos σ 2 j e τ 2 j k, com (j, k) Z Z. Esta notação conduz a uma estrutura em escalas (índice j) e translações (índice k) chamada diádica, que assemelhase a uma notação musical, em que as potências de 2 estão relacionadas com intervalos (oitavas) e duração das notas. Então, uma ondaleta discreta é uma função ψ(t), tal que a família de funções ψ j,k (t) = 1 ( ) t k2 j ψ 2 j seja uma base ortonormal para o L 2 (IR) com j e k inteiros. Da definição acima, se ψ é uma ondaleta, então, ψ j,k 2 j (2.16) também será para qualquer j, k Z. Os parâmetros j e k são quem controlam, respectivamente, as dilatações e as translações das ondaletas. Então, a transformada discreta em ondaletas será da forma d j,k = + f(t) 1 ( t k2 j ψ 2 j 2 j ) dt (2.17) onde os coeficientes gerados d j,k 0 são chamados de coeficientes de detalhe ou coeficientes ondaletas. Algoritmos baseados nesta transformada são usados para analisar sinais temporais que são formados por bandas de alta e baixa frequências e que possuem eventos localizados no tempo ou singularidades. Estas singularidades são bem localizadas no espaço tempofrequência, permitindo verificar quais coeficientes da transformada discreta em ondaletas são mais importantes na representação do sinal. A transformada em ondaletas aplicada a sinais geofísicos, por exemplo, faz com que os sinais sejam representados em termos de um número muito grande de coeficientes de detalhe. Sem contar que, usando a transformada em curvelets, como estudaremos no capítulo 3, a imagem/sinal pode ser representada com bem menos coeficientes que na 32

48 síntese em ondaletas. Além disso, o caráter direcional da transformada curvelet permite que a representação do sinal seja feita através de uma operação que inclui um parâmetro angular na função de base e permite atenuar melhor os ruídos e partes indesejadas do sinal quando comparada à transformada em ondaletas. 33

49 Capítulo 3 A Análise Curvelet 3.1 Introdução No capítulo anterior começamos a estudar sinais temporais e as transformadas utilizadas em suas análises. Neste capítulo vamos dar continuidade ao estudo de transformadas tempo-frequência estudando um tipo recente de transformada e com inúmeras aplicações em diversas áreas da ciência e da tecnologia, a transformada curvelet. Em todo o corpo desta tese manteremos o termo em inglês, curvelet, para esta transformada pois, por ser uma análise recente, ainda não há na literatura uma tradução adequada para este termo. Voltando ao estudado no capítulo anterior, vimos que a análise de Fourier pode ser utilizada para decompor um sinal periódico em termos de senos e cossenos, ou seja, podemos escrever um sinal periódico como uma combinação linear de senos e cossenos e descobrir as frequências presentes no sinal temporal. A análise de Fourier é extremamente útil no estudo de sinais estacionários, mas apresenta sérias limitações ao analisar sinais que apresentam descontinuidades ou eventos localizados no tempo. Devido à essa limitação da análise de Fourier, surgiu a análise de Fourier-Gabor ou análise de Fourier janelada. Esta análise divide o sinal temporal original em partes e realiza uma análise de Fourier em cada parte em separado. Nesse tipo de análise, a janela utilizada tem tamanho fixo, o que torna uma análise simultânea das componentes de altas e de baixas frequências inviável, sendo possível realizar apenas um desses tipos de análise 34

50 e não os dois simultaneamente. Da limitação da análise de Fourier em localizar um evento em um sinal temporal e da limitação da transformada de Fourier-Gabor em estudar sinais compostos, simultaneamente, por bandas de altas e de baixas frequências, surgiu a análise em ondaletas. Neste tipo de análise, o sinal temporal ou função a ser estudada é representada em termos de pequenas ondas que sejam localizadas no tempo e que permitem ajustar o tamanho das janelas de análise do sinal, contornando a limitação da análise de Fourier-Gabor. A transformada em ondaletas é uma técnica recente com enorme aplicabilidade no estudo de funções não-estacionárias e de sinais com transientes ou singularidades, como é o caso de sinais geofísicos[16]. No entanto, esta técnica de análise também tem suas limitações. Por exemplo, apesar de representar surpreendentemente bem descontinuidades pontuais em uma dimensão, a análise em ondaletas apresenta severas restrições para representar regiões com descontinuidades superficiais em duas dimensões, ou seja, descontinuidades ao longo de curvas, precisando-se de um número muito grande de coeficientes para tais representações[22] ou mesmo recuperando representações imprecisas. Partindo-se desta limitação na análise em ondaletas, Candès e Donoho[22] propuseram, em 1999, uma nova classe de funções de base, as curvelets que podem ser utilizadas na remoção de ruídos de sinais e imagens, na compressão de sinais, no reconhecimento de padrões, entre outras aplicações. A análise curvelets consiste em representar um sinal/imagem em termos de funções de base que tenham em seus parâmetros, além dos parâmetros relacionados à frequência e ao tempo, um parâmetro angular, dando um caráter direcional à análise e permitindo-se identificar e representar singularidades direcionais. Neste capítulo vamos definir a transformada curvelet e entender esta análise e suas propriedades para, no próximo capítulo, podermos descrever a remoção do ruído de rolamento superficial usando esse tipo de análise. 35

51 3.2 Definição da Transformada Curvelet A transformada curvelet é uma nova transformada multiescala com um forte caráter direcional que vem sendo largamente utilizada na representação de objetos, imagens e sinais que tem descontinuidades ao longo de curvas[22, 23, 24, 25, 26, 27, 28]. Este caráter direcional das curvelets vem do fato delas estarem localizadas, além do domínio espacial e de frequências, em orientação angular, o que consiste num passo além da análise em ondaletas[16]. Nesta seção vamos definir a transformada curvelet contínua e estudar suas propriedades. Vamos considerar que as funções de base curvelets estão definidas em duas dimensões, com variável espacial x, ω e com r e θ as coordenadas polares no domínio das frequências. Assim, considerando o par de janelas W (r) e V (t) que são, respectivamente, a janela radial e a janela angular e que são, ambas, suaves, não-negativas e reais, com W tomando argumentos reais e positivos com suporte r no intervalo (1/2, 2) e V tomando argumentos reais com suporte em t [ 1, 1]. Estas janelas obedecerão às condições de admissibilidade: + j= + l= W 2 (2 j r) = 1, r ( 3, ) V 2 (t l) = 1, t ( 1 2, 1 2 ) (3.1) (3.2) Para cada j j 0, o que significa dizer que estamos trabalhando com as escalas finas das curvelets, introduziremos as janelas de frequência U j definida no domínio de Fourier por: U j (r, θ) = 2 3j/4 W (2 j r)v ( ) 2 j/2 θ 2π (3.3) onde j/2 é a parte inteira de j/2. Desta forma, o suporte de U j é uma fatia polar definida pelo suporte de W e V, ou seja, é uma janela com largura dependente da escala em cada direção. O sinal ou imagem a ser analisado deve ser decomposto em termos destas janelas agular e radial, de modo que em cada janela seja aplicada a análise curvelet. Para visualizarmos 36

52 essas janelas em um sinal/imagem a ser estudado, vamos considerar que o espaço de frequência, a partir de sua origem, em camada de frequência definidas por 2 j < W < 2 j+1, de modo que o espaço de frequência fica decomposto em camadas como na figura 3.1.a. Já a decomposição do espaço de frequência para a construção da janela angular é a segunda decomposição diádica e, por isto, feita no espaço já decomposto na escala radial de modo que temos (W, V ) 2 j/2. Esta decomposição é mostrada na figura 3.1.b. Assim, o suporte das curvelets é como uma fatia parabólica neste espaço de frequência sob as decomposições em escala radial e angular. Na figura 3.1.c a área sombreada representa esta fatia parabólica do espaço que é dependente de escala em cada direção, onde as curvelets tem seu suporte definido e onde cada análise será feita sobre a imagem/sinal. Para obtermos as curvelets reais que atuam sobre este espaço de frequência decomposto, iremos trabalhar com a versão simétrica da equação (3.3), ou seja, trabalharemos com: U j (r, θ) = U j (r, θ + π) (3.4) Para definirmos as funções curvelets, vamos considerar que temos a função φ(x), a curvelet mãe, pois todas as curvelets na escala 2 j são obtidas por rotações e translações de φ j. Assim, as curvelets: i) apresentam uma sequência igualmente espaçada de ângulos de rotação θ l = 2π 2 j/2 l, com l = 0, 1,..., tal que 0 θ l < 2π. Devemos ressaltar que o espaçamento entre ângulos consecutivos são dependentes de escala. ii) e a sequência dos parâmetros de translação k = (k 1, k 2 ) Z 2. Com o estabelecimento dessas notações, vamos definir as curvelet como funções de x = (x 1, x 2 ) na escala 2 j, com orientação θ l e posição x (j,l) k = R 1 θ l, por: [ ( )] φ j,l,k (x) = φ j R θl x x j,l k (3.5) onde R θ é a matriz de rotação de θ em radianos e R 1 θ sua transposta: sua inversa, que também é igual à 37

53 Figura 3.1: Decomposição diádica do espaço de frequência. Na figura (a) temos esta decomposição em termos da janela radial; na figura (b) temos esta decomposição em termo das janelas radial e angular; já na figura (c) temos que a área sombreada é a fatia do espaço de Fourier onde as curvelets tem seu suporte definido. Figura adaptada da página de internet hart/uwss.pdf [29]. R θ = cos θ senθ 38 senθ cos θ, (3.6)

54 o que nos dá: R 1 θ = R T θ = R θ (3.7) Então, um coeficiente curvelet é definido como sendo o produto interno entre a função f que representa o sinal e a curvelet φ j,l,k. Ou seja: c(j, l, k) = f φ j,l,k = f(x)φ j,l,k (x)dx R 2 (3.8) Como a transformada curvelet opera no domínio da frequência, podemos usar o teorema de Plancherel e expressar o produto interno da equação (3.8) como uma integral sobre o plano frequência: c(j, l, k) = 1 (2π) 2 ˆf(x)φ j,l,k (ω)dω = 1 (2π) 2 ˆf(x)U j (R θl ω)e x(j,l),ω k dω. (3.9) Para o caso de escalas mais grosseiras (0 j j 0 ), podemos introduzir um filtro do tipo passa-baixa, W 0, que obedece à equação: W 0 (r) 2 + j j o W (2 j r) 2 = 1 (3.10) E para k 1, k 2 Z, definimos a curvelet de escala grossa como: φ j0,k(x) = φ j0 (x 2 j 0 k) (3.11) ˆφ j0 (ω) = 2 j 0 ω (3.12) Destas equações percebemos que as curvelets na escala grossa são não direcionais, ou seja, no maior fator de escala as curvelets são simétricas. A Transformada curvelet, portanto, consiste dos elementos direcionais de escala fina, (φ j,l,k ) j j0,l,k, e dos elementos não-direcionais de escala grossa, (φ j0,k) k. Os elementos aos quais deve-se dar maior atenção nas análises são os elementos direcionais, pois deles pode-se obter informações que não são possíveis de se obter de outras transformadas tempo-frequência. 39

55 3.3 Propriedades da Transformada Curvelet A transformada curvelet tem algumas propriedades importantes que devemos ressaltar nesta seção para entendermos melhor a análise de sinais utilizando este tipo de transformada Tight frame Um conjunto de funções é chamado de tight frame se, mesmo não sendo um conjunto ortonormal de funções, funciona da mesma forma que uma base ortonormal e é possível expandir uma função ou sinal em termos deste conjunto de funções. Ou seja, esse conjunto de funções chamado de tight frame funciona como um protótipo ou arcabouço do espaço de funções. As funções curvelet funcionam como se fossem uma base ortonormal, na qual é possível expandir um sinal ou função arbitrária f(x 1, x 2 ) L 2 R 2 como uma série de curvelets dada por: f = j,k,l f φ j,l,k φ j,l,k (3.13) Esta igualdade vale no espaço de todas as funções de quadrado integráveis L 2 e, portanto, também é válida a relação de Parseval: f, φ j,l,k 2 = f 2 L 2 (R) (3.14) 2 j,k,l onde as somas nas equações (3.13) e (3.14) são feitas em todas as escalas Parâmetro de escala parabólico Dada uma função curvelet, φ i, bem localizada no espaço de frequência, isto significa que a função espacial φ j (x) tem um decaimento rápido dentro do retângulo de 2 j por 2 j/2 com o eixo maior apontando na direção vertical. O comprimento e a largura efetiva do retângulo obedecem a uma relação de escala onde: 40

56 comprimento 2 j/2, largura 2 j (3.15) ou seja, temos que: largura (comprimento) 2 (3.16) Comportamento oscilatório Como podemos perceber pela definição da transformada curvelet, ˆφ j, esta função é suportada a partir do eixo vertical (ω 1 = 0), exceto no eixo horizontal (ω 2 = 0). Em outras palavras, a função φ j (x) é oscilatória na direção x 1 e um passa-baixa na direção x 2. Assim, na escala 2 j, uma curvelet é uma estrutura cujo envelope é uma determinado cume de comprimento efetivo 2 j/2 e largura 2 j e que exibe comportamento oscilatório ao longo do cume principal Momentos nulos O molde das funções curvelet φ j é dito ter q momentos nulos quando: + para todo 0 n < q, para todo x 2. φ j (x 1, x 2 )x n 1dx 1 = 0 (3.17) Esta mesma propriedade é válida para curvelets giradas, ou seja, quando tomamos x 1 e x 2 como coordenadas giradas correspondentes. Observe que a integral da equação (3.17) é calculada na direção perpendicular ao cume, de modo que a contagem de momentos nulos é uma forma de quantificar o comportamento oscilatório das curvelets. No domínio de Fourier, a equação (3.17) torna-se uma linha de zeros com algumas multiplicidades. Ou seja: n ˆφ j (0, ω ωj n 2 ) = 0 (3.18) 41

57 para todo0 n < q, para todo ω 2. As curvelets tem um número infinito de momentos nulos, pois possuem suporte compacto fora da origem no plano da frequência, como ilustrado na figura Transformada Curvelet Discreta Definição Ao trabalharmos e analisarmos sinais em geral não estamos estudando funções contínuas. Na verdade, estaremos estudando e analisando sinais discretos. Mesmo assim, como toda transformada podemos, a partir do caso contínuo, definir a forma discreta da transformada curvelet e trabalhar com ela para analisar nossos sinais ou funções. As definições e conceitos aqui expressos foram construídos a partir do trabalho de Candès e Donoho, 2005[26]. A transformada curvelet discreta, assim como a transformada contínua, é linear. Ela utiliza como dados de entrada vetores cartesianos da forma f[t 1, t 2 ], com 0 t 1, t 2 < n. Isto nos permite pensar nos dados de saída da transformada como uma coleção de coeficientes c D (j, k, l) obtida pelo análogo discreto da equação (3.8), ou seja, obtidos por: onde φ D j,l,k c D (j, k, l) = f[t 1, t 2 ]φ D j,l,k [t 1, t 2 ] (3.19) 0 t 1,t 2 <n é um pequeno pacote de onda digital Coronização discreta Dada a definição da transformada curvelet discreta, falta-nos entender (visualizar) a representação diádica discreta do espaço de frequência onde essa transformada atua, que também é chamada de coronização discreta do espaço de frequência. Na definição contínua da transformada curvelet (equação (3.3)), a janela U j extrai suavemente frequências próximas da coroa diádica (2 j r 2 j+1 ) e próximo do ângulo 42

58 ( π 2 j/2 θ π 2 j/2 ). Porém, coroa e rotações não são conceitos facilmente adaptados para representar linhas e colunas cartesianas. Na transposição do contínuo para o discreto é conveniente substituir esses conceitos por equivalentes discretos/cartesianos. Assim, a coroa cartesiana é baseada em quadrados concêntricos e cisalhados. Por exemplo, o análogo cartesiano da família (W j ) j 0,W j (ω) = W (2 j ω) é uma janela da forma: W j (ω) Φ 2 j+1 (ω) Φ2 j (ω) (3.20) para j 0 e onde Φ é definido como o produto de uma janela unidimensional passa-baixa: Φ j (ω 1, ω 2 ) = ϕ(2 j ω 1 )ϕ(2 j ω 2 ) (3.21) A função ϕ, que vale 0 ϕ 1, obedece a condição de ser igual a 1 no intervalo [ 1/2, 1/2] e nula fora do intervalo [ 2, 2]. Deste modo, temos que: Φ 0 (ω) 2 + j 0 W 2 j (ω) = 1 (3.22) As equações acima nos mostram como separar as escalas. Para termos a representação diádica discreta precisamos construir a localização angular. Suponha que a janela angular V seja definida como no caso contínuo, isto é, seja dada pela equação (3.2). Estabelecendo que: V j (ω) = V (2 j/2 ω 2 /ω 1 ) (3.23) Assim, podemos usar W j e V j para definirmos a janela do espaço de frequência da transformada curvelet discreta: Ũ j (ω) = W j (ω)v j (ω) (3.24) Desta equação, vemos facilmente que Ũj isola frequências próximas da fatia {(ω 1, ω 2 ) : 2 j ω 1 2 j+1, 2 j/2 ω 2 /ω 1 2 j/2 } e é uma janela cartesiana equivalente à janela do caso contínuo. Introduzindo, agora, o conjunto de inclinações igualmente espaçadas 43

59 onde l = 2 j/2,..., 2 j/2 1. Assim, podemos definir: tan θ l = l 2 j/2 (3.25) onde S θ é a matriz cisalhamento Ũ j,l (ω) = W j (ω)v j (S θl ω) (3.26) S θ = 1 0 tan θ 1 (3.27) Os ângulos θ l não são igualmente espaçados, mas as inclinações são. Assim, as janelas Ũ j,l preenchem o espaço de frequência do caso discreto como um ladrilhamento concêntrico cuja geometria é mostrada na figura 3.2. Figura 3.2: Decomposição diádica do espaço de frequência da transformada curvelet discreta. A região sombreada representa uma fatia típica deste espaço localizada pela janela Ũ j,l. 44

60 3.5 As funções curvelets Até o momento, neste capítulo, definimos a transformada curvelet na forma contínua e também na discreta e vimos que podemos representar sinais ou funções em geral em termos de funções bases chamadas de funções curvelets. Falta-nos, agora, conhecer a cara destas funções. De um modo prático, podemos pensar nas curvelets como sendo funções obtidas através de dilatações, rotações e translações parabólicas de uma função de forma específica φ. As curvelets são indexadas pelos parâmetros de escala (j), de orientação (l) e de localização (k), de modo que podemos pensar numa função curvelet como: φ a,b,θ(x) = 1 4 a 3 ΨD ar θ(x b), (3.28) onde D a é uma matriz de escala parabólica; R θ é a rotação em radianos e, para (x 1, x 2 ) R 2, Ψ(x 1, x 2 ) é algum tipo de perfil admissível. É possível decompor e reconstruir uma função arbitrária f(x 1, x 2 ) como uma superposição de curvelets em várias escalas, posições e orientações. É exatamente isto que faremos no próximo capítulo, onde iremos decompor um sinal sismológico em termos de funções curvelet e, após suprimirmos a parte indesejada do sinal (o ruído de rolamento superficial), iremos reconstruir o sinal de forma que este representará as estruturas internas do subsolo. De um modo geral, as funções curvelets podem ser discretizadas fazendo-se: desta forma, temos que a j = 2 j, j = 0, 1, 2,... (3.29) θ j,l = 2πl 2 j/2, l = 0, 1,..., 2 j/2 1 (3.30) b (j,l) k = R θj,l (k 1 2 j, k 2 2 j/2 ), k 1, k 2 Z (3.31) 45

61 A coleção de funções curvelets φ j,k,l obedece a: φ j,l,k = φ aj,b (j,l) k θ j,l (3.32) f = j,k,l f φ j,l,k φ j,l,k (3.33) e f 2 L 2 = f φ j,l,k 2 (3.34) j,k,l Assim, como pudemos perceber no decorrer deste capítulo, a análise curvelet permite levar qualquer sinal ou função estudada do espaço dos tempos para o espaço curvelet, que é um espaço de frequências que está dividido em escalas e setores angulares dentro de cada escala. A divisão desse espaço curvelet, quer na forma contínua ou na forma discretizada, permite uma melhor decomposição e análise de funções e sinais que tenham um forte caráter direcional ou que apresentem singularidades superficiais. Como os sinais sísmicos tem estruturas com um forte caráter direcional e apresentam inúmeras singularidades superficiais, pareceu-nos natural que a análise curvelet pudesse ser aplicada para o estudo de sinais sísmicos, como o fizemos e descrevemos no próximo capítulo desta tese. 46

62 Capítulo 4 Remoção de Ruído Sísmico usando Análise Curvelet 4.1 Introdução A prospecção de petróleo, como vimos no primeiro capítulo desta tese, é uma das tarefas mais importantes e mais complicadas na indústria de petróleo, devido ao pouco conhecimento que ainda se tem sobre as estruturas do interior da crosta terrestre e ao grande grau de incerteza que advém das sondagens. O principal método indireto usado no estudo das estruturas geológicas do subsolo terrestre e na prospecção de petróleo é a exploração sísmica. Esta exploração consiste em gerar ondas sísmicas que se propaguem no subsolo e captá-las após suas reflexões e refrações e, em seguida, analisá-las e interpretá-las para determinar a estrutura do subsolo. A análise e interpretação desses dados é uma tarefa de extrema complexidade, devido à grande quantidade de ruído presente nos sinais sísmicos obtidos por tal procedimento. A principal fonte de ruído presente nos sinais sísmicos é o ruído de rolamento superficial que, como descrito no capítulo 1 desta tese, é responsável por um percentual considerável da energia que chega ao geofones (ou hidrofones) e, desta forma, está presente com grande intensidade nos sinais sísmicos sem trazer qualquer informação sobre a estrutura interna do subsolo terrestre. As técnicas e transformadas usadas para analisar dados sísmicos tem como objetivo 47

63 separar o ruído do sinal de interesse, eliminar o primeiro e reconstruir o segundo com informações mais precisas acerca da estrutura geológica estudada. Neste quarto capítulo de nossa tese vamos descrever, com um bom nível de detalhes, como a transformada curvelet, definida e estudada no capítulo anterior, pode ser utilizada para analisar os dados sísmicos para remover o ruído de rolamento superficial e reconstruir o sinal de interesse. Ou seja, vamos descrever como a transformada curvelet foi implementada para ser utilizada na análise de sinais sísmicos e na remoção do ruído de rolamento superficial desses sinais. E perceberemos, também, as principais vantagens da análise curvelet em relação, por exemplo, à análise em ondaletas. A análise de sinais ou funções utilizando a transformada curvelet está estruturada com três principais passos que podem ser explicitados como: (1) decomposição do sinal no espaço curvelet; (2) detecção e remoção dos coeficientes que representam o ruído de rolamento superficial em seus respectivos setores angulares no espaço curvelet; (3) reconstrução do sinal após a extração do ruído. Em cada uma das três seções a seguir, descrevemos esses passos do processo de análise curvelet de um sinal e na última seção do capítulo explicamos esse procedimento aplicado a um dado sintético e mostramos o resultado obtido. Este capítulo e o próximo são baseados no artigo original fruto do trabalho desenvolvido ao longo desse doutoramento e que serve de referência para esta tese[30]. Nesse e no próximo capítulo explicamos, com mais detalhes, a estrutura da análise curvelet aplicada a dados sísmicos e os resultados dessa análise, tanto para um dado sintético (este capítulo) quanto para um dado sísmico real (próximo capítulo). 48

64 4.2 Análise Curvelet e a decomposição do sinal O primeiro passo executado pela análise curvelet é a decomposição do sinal ou função a ser estudada no espaço curvelet. Neste passo devemos escrever o sinal ou função como uma combinação linear de funções curvelets, ou seja, devemos escrever o sinal na forma da equação (3.13), aqui reproduzida: f = j,k,l f φ j,l,k φ j,l,k (4.1) e determinar os coeficientes f φ j,l,k que correspondem a esta decomposição. A decomposição desses dados sísmicos é feita aplicando-se a transformada rápida discreta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domínio de Fourier, ou seja, os coeficientes de cada combinação de escala e ângulo serão dados, de acordo com o Teorema de Plancherel, por: c j,l,k = f, ϕ j,l,k = ˆf, ˆϕ j,l,k (4.2) onde ˆf e ˆϕ são as transformadas de Fourier do sinal, f, e da função curvelet, ϕ, respectivamente. O algoritmo usado para a decomposição Curvelet, ou seja, o algoritmo usado para descrever o sinal em termos de suas componentes no espaço curvelet, cria uma estrutura de dados organizada da seguinte forma: os coeficientes Curvelets correspondentes a determinada escala e determinado ângulo são armazenados em uma matriz de tamanho m n, ou seja, para cada combinação de escala e ângulo teremos uma matriz. Esse tipo de procedimento, onde para cada combinação de ângulo e escala temos uma matriz de coeficientes de tamanho m n, requer, para o caso de dados sísmicos dos tamanhos considerados na análise de sinais sísmicos usuais, uma boa disponibilidade de memória para armazenamento de dados, no entanto, como a análise curvelet mostrou-se mais econômica, em termos de número de coeficientes, que a análise em ondaletas[25], por exemplo, os resultados de análise feitos utilizando-se curvelets devem trazer resultados mais precisos que os resultados obtidos via uma análise em ondaletas, mesmo que esta última possa ter sido adaptada para reconhecer singularidades direcionais. 49

65 O tamanho m n de cada matriz de coeficientes depende da escala e do ângulo correspondente. Para as escalas mais finas, por exemplo, teremos matrizes maiores, uma vez que são gerados mais coeficientes para essas escalas. O ângulo das Curvelets também influi na quantidade de linhas e colunas usadas em cada matriz de coeficientes da análise curvelet e é determinada pelo algoritmo utilizado para decomposição do sinal no espaço curvelet. A decomposição realizada nos nossos dados resulta em apenas 1 ângulo disponível para a 1 a escala, 16 para a 2 a escala, 32 para a 3 a escala, 32 para a 4 a escala, 64 para a 5 a escala e assim por diante, dobrando o número de ângulos a cada 2 escalas, mas a título de exemplo, se realizarmos uma decomposição em que a 1 a escala possua 16 ângulos disponíveis, a 2 a escala 32 ângulos e a 3 a escala 32, teremos = 80 matrizes de coeficientes somente nestas três escalas. Cada posição na matriz contendo um coeficiente corresponde a uma determinada região do sinal bidimensional. A localização dessa região na imagem está diretamente relacionada com a posição do coeficiente correspondente na matriz. Assim, por exemplo, o elemento da 1 a linha e 1 a coluna contém o coeficiente correspondente à região mais à esquerda e mais acima na imagem. O tamanho dessa região de influência da Curvelet depende diretamente da escala. Escalas mais grosseiras terão coeficientes correspondentes à regiões maiores e, portanto, representados por matrizes menores, uma vez que podemos dividir a imagem em um menor número de regiões. Da mesma forma, escalas menores ou mais finas terão coeficientes correspondentes a regiões menores na imagem e, desta forma, representado por matrizes maiores. Tendo-se feito a decomposição do sinal no espaço curvelet, passaremos às etapas seguintes da análise curvelet dos sinais sísmicos. 50

66 4.3 Identificação e remoção do ruído Nesta segunda etapa da análise curvelet dos sinais sísmicos, identificamos e apagamos os coeficientes da decomposição do sinal no espaço curvelet que correspondem ao ruído de rolamento superficial para que possamos reconstruir o sinal sem qualquer contribuição desse ruído ou, pelo menos, com uma contribuição mínima de ruído para o sinal. A análise curvelet implementada em nosso trabalho se baseia na premissa de que os dados sísmicos e imagens possuem uma representação esparsa x 0 no domínio das curvelets[31]. Desta forma, os dados reais sempre podem ser expressos na forma: y = C t x 0 + n (4.3) onde que C t é a transformada curvelet inversa e n é um ruído Gaussiano, ou seja, um ruído com forma gaussiana que está presente nos dados. A identificação deste ruído a ser eliminado e que, no caso de nossos dados, corresponde ao ruído de rolamento superficial presente em dados sísmicos, pode ser realizada por meio de testes visuais ou de análises estatísticas. O ruído de rolamento superficial devido à disposição dos geofones/hidrofones usados na coleta dos dados e também devido à forma como é gerado (como discutido no capítulo 1 desta tese) aparece geometricamente com a forma de um cone central nos sismogramas de sondagem sísmica, como mostrado na figura 1.8. Assim, uma análise visual dos sinais visando a eliminação do ruído de rolamento superficial de dados sísmicos poderia ser feita gerando-se uma tabela de imagens da reconstrução do sinal para cada combinação de escala e ângulo e então identificar as escalas e ângulos com maior presença de ruído. Estatisticamente, temos a opção de comparar os coeficientes das energias nos ângulos em cada escala. Os ângulos com quantidades de energia semelhantes devem corresponder a um mesmo padrão de ruído ou de informação geológica e assim, identificando-se um ângulo onde a presença do ruído seja certa, determinamos a energia presente neste ângulo, eliminamos sua contribuição para a reconstrução da imagem/sinal sem ruído e eliminamos também dessa reconstrução todos os ângulos com contribuição semelhante de energia para o sinal. 51

67 Precisamos comparar a amplitude de energia do ruído de rolamento superficial com a amplitude da energia carregada pelas ondas refletidas nas interfaces entre as camadas geológicas, que são os sinais de interesse para a reconstrução do sinal. Para essa comparação, usamos em nossa análise curvelet, dos sinais sísmicos, a energia como sendo o somatório do quadrado de seus coeficientes curvelets. Assim, a expressão para a energia usada é, então, dada por: E j = l,k f, ϕj,l,k 2 (4.4) onde E j é a energia total na escala j. Assim, para calcular a energia do ruído de rolamento superficial ou das ondas refletidas numa escala fazemos a soma sobre os coeficientes angulares l correspondentes a essa escala. No próximo capítulo, quando discutiremos a análise de dados usando a transformada curvelet, voltaremos a tratar da energia presente em cada escala no espaço curvelet e também calcularemos explicitamente e discutiremos a razão entre a energia do ruído de rolamento superficial e das ondas refletidas em um dado real, explicitando os valores encontrados nessa comparação para um dado real. Após alguns testes para o conjunto de dados sísmicos sintéticos que tínhamos disponível, identificamos que os coeficientes curvelet correspondentes ao ruído de rolamento superficial são os coeficientes com ângulos mais próximos da horizontal independentemente da escala estudada. Assim, em cada escala estudada e representando o espaço curvelet nesta escala por um círculo fechado, iremos eliminar a contribuição dos coeficientes dos quatro ângulos mais próximos à horizontal pois esses coeficientes correspondem ao ruído de rolamento superficial. Por exemplo, como veremos explicitamente na figura 4.2, na escala j = 2 os ângulos mais próximos à horizontal são os ângulo 6, 7, 14 e 15, portanto os seus coeficientes curvelets serão zerados e eles não contribuirão para a reconstrução do sinal. Nestes testes e durante a identificação e remoção do ruído, percebemos que no espaço das Curvelets é muito mais fácil a separação dos padrões sísmicos gerados por fenômenos físicos distintos. Isto ocorre devido à boa adequação da representação em Curvelets com os padrões oscilatórios presentes nos dados sísmicos. 52

68 Após a identificação das escalas e ângulos correspondentes ao ruído de rolamento superficial, procedemos à remoção dos seus coeficientes. Isto é realizado simplesmente zerando-se todos os elementos das matrizes correspondentes a cada combinação de escala e ângulo identificados. Passamos a ter então, para essas combinações de ângulos e escalas, matrizes nulas que não representarão nenhuma contribuição ao sinal após a reconstrução. Percebemos então a simplicidade do algoritmo utilizado para a análise curvelet de dados sísmicos devido à boa representação que o espaço das Curvelets proporciona a esse tipo de dado. 4.4 Reconstrução do sinal A reconstrução do sinal é a terceira etapa da análise curvelet. Nessa etapa o sinal sísmico, após ter sido decomposto no espaço curvelet e ter tido os coeficientes correspondente ao ruído de rolamento superficial eliminados, é reconstruído apenas com as componentes de interesse. Ou seja, se pensarmos no sinal em termos da equação (4.3), após reconstrui-lo teremos apenas o primeiro termo desta equação que nos dá o sinal de interesse ou o sinal limpo. Notamos que todo o processo da análise curvelet é executado sem qualquer atenuação artificial. Os coeficientes angulares correspondentes ao ruído de rolamento superficial são completamente removidos da imagem sísmica. 4.5 Procedimento para remoção de ruído de rolamento superficial Nas seções precedentes descrevemos como a análise curvelet, que devido a seu caráter angular deve ser mais adequada à análise de sinais que contenha singularidades superficiais, é utilizada para remover o ruído de rolamento superficial de dados sísmicos. Para implementação e teste deste método de análise em dados sísmicos, foi usado um 53

69 dado sintético que simula sinais sísmicos. Neste dado sintético, onde consta a presença de reflexões com velocidades aparentes distintas, resultando em diferentes inclinações no sismograma, sendo uma com inclinação mais acentuada representando o sinal do ruído de rolamento superficial. Também foi incluído um ruído sintético neste conjunto de dados. O objetivo da análise curvelet aqui implementada é remover a reflexão mais acentuada, que corresponde ao ruído de rolamento superficial, e preservar as reflexões de interesse. Utilizando o algoritmo da análise Curvelet foi possível identificar o ângulo de inclinação da reflexão indesejada e, com isto, este ângulo teve seus coeficientes zerados. Em seguida, restauramos a imagem sem a presença deste sinal. Na figura 4.1 temos o dado sintético usado para testar o método de análise curvelet em sinais sísmicos. Especificamente, na figura 4.1.a temos o dado sintético com reflexões horizontais representando as camadas litológicas do subsolo onde ocorrem as reflexões de interesse e também com um traço com maior inclinação que representa o ruído de rolamento superficial presente neste dado sintético. Na figura 4.1.b temos o dado sintético filtrado, onde é mostrado o sinal reconstruído pela análise curvelet. Já na figura 4.1.c é mostrado apenas o ruído que foi removido do dado sintético por nossa análise. O procedimento para executar essa limpeza a partir da transformada Curvelet é simples. Vamos entender esse procedimento. 54

70 Figura 4.1: Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sintético com reflexões horizontais representando as camadas litológicas e um traço com maior inclinação que pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando o comportamento do ruído de rolamento superficial. Na figura (b) temos o dado sintético limpo em que a reflexão destacada já foi removida. A transformada curvelet permite decompor o sinal primeiramente em escalas e, a seguir, em zonas angulares. Na figura 4.2, por exemplo, podemos verificar a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Os gráficos em forma de pizza, na parte superior da figura, indicam as zonas angulares selecionadas e cujos padrões são mostrados a partir de uma reconstrução parcial a partir dos coeficientes das respectivas escala e zonas angulares na parte inferior da figura. 55

71 Figura 4.2: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala. Por exemplo, a última coluna desta figura demonstra o padrão referente aos ângulos 2, 3, 10 e 11 da escala 2, que são as partes marcadas do gráfico em forma de pizza na parte superior dessa coluna. Na parte inferior da coluna, temos a reconstrução parcial do dado sísmico, vemos que o padrão correspondente a estas zonas angulares representa uma reflexão horizontal. Se visualizarmos esse padrão como uma onda em propagação, a sua frente de onda estaria se propagando em uma direção vertical. Isto já era esperado, já que esses ângulos correspondem a curvelets com padrão oscilatório com direções mais próximas à vertical. Vale ressaltar que nenhum dos ângulos (2, 3, 10 e 11) se ajusta perfeitamente à vertical, por isso dizemos que eles estão mais próximos à vertical ou que 56

72 estão aproximadamente na vertical. Para encontrar os padrões desejados em cada escala foi utilizada uma análise da distribuição de energia, conforme a definição dada pela equação (4.4), nos diferentes ângulos de cada escala. Uma quantidade de energia maior, concentrada em determinadas zonas angulares indica que os sinais referentes a estas zonas estão mais presentes, ou são mais fortes, na determinada escala. Na figura 4.3, vemos a distribuição de energia, conforme a equação (4.4), para os diferentes ângulos da escala 2. Podemos ver, pelo gráfico polar, que, para o caso da escala 2, a energia está mais concentrada nos ângulos correspondentes aos padrões de oscilação mais próximos à vertical. Figura 4.3: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 2. Pela análise das reconstruções parciais do sinal na escala 2 para cada conjunto de ângulos (reconstruções parciais mostradas na figura 4.2) e também da distribuição de 57

73 energia (mostrada na figura 4.3) pudemos escolher o conjunto de ângulos da escala 2 a serem utilizados na reconstrução do sinal sísmico de interesse. Esse conjunto de ângulos é mostrado na figura 4.4, onde vemos que apenas os ângulos mais próximos à horizontal foram excluídos por nossa análise. Figura 4.4: Conjunto de ângulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. A análise descrita acima e que foi feita para a escala 2, também foi feita para as escalas 3, 4 e 5, para nos permitir uma reconstrução acurada do sinal de interesse e excluir o ruído de rolamento superficial em todas as escalas. Nas figuras 4.5 a 4.13 verificamos os resultados dessa análise, como a descrita para a escala 2, para as escalas 3, 4 e 5. Estas escalas são mais finas que a escala 2 e, portanto, possuem um número maior de ângulos disponíveis e sua análise precisa ser mais criteriosa. Na figura 4.5 temos a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos. Como podemos verificar visualmente, a presença no sismograma sintético da estrutura determinada pelo ruído de rolamento superficial tem ângulos bem mais próximos à horizontal (primeira coluna da figura 4.5) e, portanto, são estes ângulos que devem ser 58

74 Figura 4.5: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3. excluídos da reconstrução do sinal. Na figura 4.6 vemos a distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3. Nesta figura percebemos que a distribuição de energia para a escala 3 também é maior nos ângulos próximos à horizontal, embora possamos visualizar uma razoável contribuição de energia para ângulos intermediários. Essa análise de energia corrobora o fato de que, para a reconstrução do sinal, os ângulos excluídos da escala 3 devem ser apenas os ângulos mais próximos à horizontal, ou seja, apenas os ângulos 12, 13, 28 e 29. Na figura 4.8 temos a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4. Na parte superior da figura temos, também, os ângulos selecionados 59

75 Figura 4.6: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3. Figura 4.7: Conjunto de ângulos da escala 3 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala. As estruturas apresentadas em cada conjunto de ângulos são muito parecidas, vi- 60

76 Figura 4.8: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4. sualmente falando, com as estruturas apresentadas para a escala 3. Podemos ver isto comparando as figuras 4.5 (escala 3) e 4.8 (escala 4). Assim, podemos concluir também que a presença da estrutura determinada pelo ruído de rolamento superficial, a estrutura em forma de cone com ângulo acentuado, é bem mais marcante nos ângulos próximos à horizontal (primeira coluna da figura 4.8) e, portanto, estes ângulos devem ser excluídos da reconstrução do sinal. Na figura 4.9 vemos a distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4. Nesta figura percebemos que a distribuição de energia para a escala 4 também é maior nos ângulos próximos à horizontal. A contribuição de energia nos ângulos mais afastados da horizontal (intermediários) é comparativamente menor que na escala 3. 61

77 Figura 4.9: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4. Também na escala 4, essa análise de energia indica, junto com a análise das estruturas das reconstruções parciais do sinal, que, para a reconstrução do sinal, os ângulos excluídos da escala 4 devem ser apenas os ângulos mais próximos à horizontal, ou seja, apenas os ângulos 12, 13, 28 e 29. Na escala 5, por esta ser uma escala mais fina, o número de ângulos é o dobro das escalas 3 (ou 4). A análise das estruturas presentes em cada grupo de ângulos foi feita, na figura 4.11 apresentamos as estruturas apenas para alguns poucos grupos de ângulos. Nesta análise foi perceptível que nos ângulos mais próximos à horizontal (24, 25, 56, e 57) não há contribuição significativa devida a reflexões de ondas por estruturas litológicas, ou seja, a parte do sinal mostrada na primeira coluna da figura 4.11 é, provavelmente, devida ao ruído sintético inserido nesse dado de teste. Já a presença da estrutura determinada pelo ruído de rolamento superficial, a estrutura com ângulo mais acentudo, é marcante 62

78 Figura 4.10: Conjunto de ângulos da escala 4 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. nos outros ângulos próximos à horizontal (23, 26, 55 e 58), como podemos ver na segunda coluna da figura Portanto, todos esses ângulos onde as contribuições dos ruídos sintético e de rolamento superficial são importantes devem ser excluídos da reconstrução do sinal. Na escala 5 vemos, de forma mais dramática, a partir da análise da distribuição de energia (figura 4.12), a separação entre os diferentes padrões do sinal. O padrão mostrado nessa figura, referente a ângulos mais inclinados, compõe quase toda a energia presente nesta escala, o que nos confirma que podemos excluir, sem perdas para o sinal sísmico de interesse, os ângulos próximos à horizontal no espaço curvelet. Na figura 4.13 é mostrado o conjunto de ângulos selecionados na escala 5 para a resconstrução do sinal. Amorim[34] utilizou o método de Decomposição em Modos Empíricos (EMD) para decompor este mesmo conjunto de dados sintéticos em eventos distintos. O resultado obtido foi semelhante. O método EMD decompõe o sinal em sinais de oscilação simples (modos), de forma análoga aos métodos da transformada em ondaletas e da transformada Curvelet 63

79 Figura 4.11: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 5. e, desta forma, pode também ser aplicado a sinais não-lineares e não-estacionários. A diferença é que, no caso do método EMD, as bases são retiradas do próprio dado. Esse método também foi aplicado, de forma satisfatória, a dados de uma bacia sedimentar terrestre. A vantagem da transformada Curvelet para dados sísmicos é que sua intuitiva natureza anisotrópica é bem adaptada aos padrões gerados por diferentes refletores, além de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequências e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e confiáveis ao analisarmos sinais sísmicos reais. No capítulo a seguir discutiremos a análise de dados feita aplicando-se a análise curvelet a sinais sísmicos reais. 64

80 Figura 4.12: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 5. 65

81 Figura 4.13: Conjunto de ângulos da escala 5 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução de parte do sinal indicado na figura 4.1.b. 66

82 Capítulo 5 Análise de dados reais usando transformada curvelet 5.1 Introdução Os sinais sísmicos ou sismogramas obtidos em sondagens sísmicas são uma crucial fonte de informações acerca da estrutura geológica do subsolo terrestre e sua análise e interpretação nos permite, entre outras coisas, localizar e avaliar o potencial de jazidas de petróleo nessa importante e difícil tarefa relacionada à prospecção de petróleo. As várias técnicas de análise que são atualmente utilizadas na remoção de ruídos dos sinais sísmicos e, sobretudo, do principal ruído presente nos sinais sísmicos, o ruído de rolamento superficial, acabam fornecendo resultados imprecisos quer sejam por não conseguir remover a contento esse ruído ou por distorcer os sinais e imagens reconstruídos após a análise. Uma boa ferramenta recente de análise de sinais sísmicos é a transformada em ondaletas, que pode ser utilizada para a análise de sismogramas dando bons resultados[15], no entanto, da própria definição da transformada em ondaletas, esse tipo de análise não é bem adequada ao reconhecimento de singularidades superficiais[22] e, em análise de imagens e sinais com este tipo de singularidade, como é o caso dos sinais sísmicos, os resultados poderiam ser melhores usando-se uma análise baseada na transformada curvelet que, por seu caráter direcional, está mais adequada a recuperar sinais que possuam singularidades 67

83 superficiais. O método implementado nos trabalhos desta tese para se analisar sinais sísmicos usando a transformada curvelet foi explicado e testado no capítulo anterior para um conjunto de dados sintéticos, mostrando-se muito eficaz em separar os padrões relacionados ao ruído de rolamento superficial dos padrões referentes a reflexões de ondas por camadas geológicas, no entanto, para comprovarmos a eficácia do método em analisar sinais sísmicos, precisamos testá-lo para um conjunto de dados reais e o fazemos neste capítulo, onde explicamos, novamente, o procedimento de análise devido às peculiaridades e diferenças que há entre a análise de um dado sintético e a análise de um dado real. É importante ressaltarmos novamente que, para um dado real que envolva singularidades superficiais como os dados sísmicos, a vantagem da transformada Curvelet é que sua intuitiva natureza anisotrópica é bem adaptada aos padrões gerados por diferentes refletores, além de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequências e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e confiáveis ao analisarmos sinais sísmicos reais. 5.2 O dado sísmico real versus dado sintético No capítulo anterior usamos um dado sísmico sintético para explicar e testar a implementação da análise curvelet em sismogramas. Para testarmos, efetivamente, a análise curvelet, neste capítulo vamos aplicá-la a um conjunto de dados reais. Para efeitos de comparação, colocamos lado a lado na figura 5.1 um exemplo de sismograma do dado sintético e um exemplo de sismograma do dado real. Comparando as estruturas apresentadas nos dois sismogramas podemos ver que no dado sintético as reflexões devido à camadas geológicas (sinal de interesse) aparecem como linhas horizontais retas enquanto que no sismograma real tais reflexões apareem como hiperbóles próximas à horizontal. Vemos também que, nos dois sismogramas, a estrutura devida ao ruído de rolamento superficial aparece como um padrão macroscópico triangular que é completamente diferente, tanto no dado sintético quanto no dado real, 68

84 Figura 5.1: Figura comparativa entre sismogramas. Na figura (a) temos um exemplo de sismograma sintético; e na figura (b) temos um exemplo de sismograma real. Nos dois sinais, o ruído de rolamento superficial aparece com uma estrutura triangular macroscópica. do padrão referente às reflexões por camadas geológicas. Embora, por uma primeira análise visual, pareça mais simples separar o padrão do sinal de interesse do ruído no sismograma sintético, a análise curvelet separará muito bem estes padrões no sismograma real e poderemos reconstruir o sismograma somente com o padrão de reflexão devido às estruturas geológicas. 69

85 5.3 A extração do ruído de rolamento superficial do dado sísmico real Sabe-se que os sinais/imagens obtidos nas sondagens sísmicas do subsolo tem um forte componente de ruído e o objetivo das análises utilizadas para limpar essas imagens é remover esse ruído que é gerado por ondas de superfície e é chamado de ruído de rolamento superficial. A análise curvelet implementada para se analisar dados sísmicos no trabalho desta tese de doutorado, mostrou-se eficiente para recuperar o sinal sísmico, eliminando o ruído de rolamento superficial, em um dado sintético, como mostrado no capítulo anterior. Vamos agora mostrar e explicar a extração seletiva do ruído de rolamento superficial utilizando curvelets em um dado real. O resultado obtido está resumido na figura 5.2, onde é mostrado o dado original real que foi analisado (figura 5.2.a), o dado filtrado que é o sinal de interesse já sem o ruído e obtido como resultado de nossa análise (figura 5.2.b) e o padrão referente ao ruído de rolamento superficial que foi excluído do dado em nossa análise (figura 5.2.c). Neste passo, escrevemos o sinal ou função como uma combinação linear de funções curvelets. A decomposição desses dados sísmicos é feita aplicando-se a transformada rápida discreta em curvelet[28], que consiste em obter o produto interno no domínio de Fourier, como descrito no capítulo anterior para o dado sintético. O procediemnto é exatamente o mesmo. Após a decomposição do sinal sísmico no espaço curvelet, fazemos a sua análise em cada escala para determinarmos quais os coeficientes correspondentes ao ruído de rolamento superficial e, desta forma, zerá-los no espaço curvelet para que, ao reconstruirmos o sinal, este ruído tenha sido completamente atenuado. A figura 5.3, mostra a análise visual feita para alguns conjuntos de ângulos da escala j = 2. Nesta figura é mostrado, na parte superior da figura, um gráfico na forma de pizza 70

86 Figura 5.2: Figura contendo: (a) o dado original real a ser analisado; (b) o dado filtrado (sinal de interesse); e (c) o padrão referente ao ruído de rolamento superficial que foi excluído do dado. com o conjunto de ângulos selecionados destacados em vermelho e, na parte inferior da figura, é mostrada a distribuição de padrões ou estruturas do sinal referentes aos ângulos escolhidos para essa escala. Nessa figura (figura 5.3) vemos, por exemplo, que o ruído de rolamento superficial é dominante nessa escala, para ângulos próximos à horizontal. Portanto, nessa escala, os ângulos próximos à horizontal terão seus coeficientes zerados para a reconstrução do sinal analisado. Essa conclusão pode ser corroborada pela análise de energia feita nessa escala, como podemos ver na figura 5.4. Nessa figura percebemos que, embora o ruído de rolamento superficial seja dominante para os ângulos próximos à horizontal, em relação à distribuição de energia nessa escala, o ruído não é dominante nessa escala. Veja comparando a energia 71

87 Figura 5.3: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala. dos ângulos 6, 7, 14 e 15 com a energia dos outros ângulos da escala 2. Na verdade, a contribuição de energia para a escala nos ângulos próximos à horizontal (ângulos 6, 7, 14 e 15), que são os ângulos correspondentes ao ruído de rolamento superficial, é de apenas 7,9% em relação à contribuição para a energia das ondas nos outros ângulos (ondas refletidas por estruturas geológicas) que é de 92,1%. A contribuição da energia em cada ângulo dessa escala foi calculada via equação (4.4) e, para a energia do ruído de rolamento superficial foram somadas as energias dos ângulos 6, 7, 14 e 15 e dividiu-se o valor pela energia total da escala. Enquanto que para a energia correspondente às reflexões em estruturas geológicas foi somada a energia dos 72

88 outros ângulos da escala, dividindo-se o resultado obtido pela energia total da escala. Figura 5.4: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 2. Assim, o conjunto de ângulos selecionados na escala 2 para a reconstrução do sinal sísmico real são os ângulos marcados em vermelho na figura 5.5. Para a escala j = 3, temos, na figura 5.6, a análise visual feita para alguns conjuntos de ângulos. Na parte superior desta figura são mostrados os gráficos na forma de pizza que representam os conjuntos de ângulos selecionados (marcados em vermelho) para cada coluna e, na parte inferior da figura, são mostradas as distribuições de padrões ou estruturas do sinal referentes aos ângulos escolhidos em cada gráfico-pizza correspondente. Nessa figura (figura 5.6) vemos, assim como para a escala 2, que o ruído de rolamento superficial é dominante na escala 3, para ângulos próximos à horizontal. Portanto, também nessa escala, os ângulos próximos à horizontal terão seus coeficientes zerados para a recontrução do sinal analisado. 73

89 Figura 5.5: Conjunto de ângulos da escala 2 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real. Da análise de energia, mostrada na figura 5.7, e dos cálculos de contribuição de energia do ruído de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia correspondente ao ruído de rolamento superficial nesta escala é subdominante em relação à contribuição de energia das ondas refletidas por estruturas geológicas. Numericamente, temos que 17,6% da energia da escala é referente ao ruído de rolamento superficial, enquanto 82,4% corresponde ao sinal de interesse. Na tabela 5.1 temos esses percentuais de energia do ruído e do sinal nas escalas estudadas. Assim, o conjunto de ângulos selecionados na escala 3 para a reconstrução do sinal sísmico real são os ângulos marcados em vermelho na figura 5.8. Repetindo o procedimento acima descrito para a escala 4, temos na figura 5.9 a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala. Nessa figura (figura 5.9) vemos, novamente, que o ruído de rolamento superficial está presente somente para ângulos próximos à horizontal. Portanto, também nessa escala, os 74

90 Figura 5.6: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para esses ângulos nessa escala. ângulos próximos à horizontal terão seus coeficientes zerados para a recontrução do sinal analisado. Da análise de energia, mostrada na figura 5.10, e dos cálculos de contribuição de energia do ruído de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia correspondente ao ruído de rolamento superficial nesta escala é dominante em relação à contribuição de energia das ondas refletidas por estruturas geológicas. Numericamente, temos que 68,1% da energia da escala 4 é referente ao ruído de rolamento superficial, enquanto 31,9% corresponde ao sinal de interesse. Como já foi dito, na tabela 5.1 reunimos esses percentuais de energia do ruído e do sinal nas escalas estudadas. 75

91 Figura 5.7: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 3. Assim, o conjunto de ângulos selecionada na escala 4 para a reconstrução do sinal sísmico real são os ângulos marcados em vermelho na figura Considerando a análise feita para a escala j = 5, temos a figura 5.12 onde é mostrada a distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados. Na parte superior da figura temos, assim como nos casos anteriores, os ângulos selecionados (marcados em vermelho) e na parte inferior temos, novamente, a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala. Nessa figura (figura 5.12) vemos que, também na escala 5, o ruído de rolamento superficial está presente somente para ângulos próximos à horizontal. É importante ressaltarmos que, embora na escala 5 o número de ângulos (64 ângulos) seja o dobro do número de ângulos das escalas 3 e 4 e quatro vezes o número de ângulos da escala 2, o número de ângulos próximos à horizontal onde há contribuição do ruído de rolamento superficial 76

92 Figura 5.8: Conjunto de ângulos da escala 3 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real. para o sinal é o mesmo das escalas anteriores. Isto porque, embora o ruído de rolamento superficial apareça nos sismogramas como uma estrutura triangular bastante inclinada quando olhamos para uma escala mais fina do espaço das curvelets este ruído aparece quase como linhas verticais (linhas próximas à horizontal no gráfico de pizza da análise angular). O caráter direcional da transformada curvelet permite apagar estes setores quase verticais. Destacamos ainda que o setor angular do ruído de rolamento superficial pode mudar dependendo da distância entre os geofones, e o tempo de amostragem no eixo vertical. Da análise de energia, mostrada na figura 5.13, e dos cálculos de contribuição de energia do ruído de rolamento superficial para a energia total da escala, vemos que a energia correspondente ao ruído de rolamento superficial nesta escala é dominante em relação à contribuição de energia das ondas refletidas por estruturas geológicas. Numericamente, temos que 76,3% da energia da escala 5 é referente ao ruído de rolamento superficial, enquanto 23,7% da energia corresponde ao sinal de interesse. Assim, o conjunto de ângulos selecionados na escala 5 para a reconstrução do sinal 77

93 Figura 5.9: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala. sísmico real são os ângulos marcados em vermelho na figura Nesta análise de um sinal sísmico real, implementada e realizada no trabalho original desta tese, excluimos o ruído de rolamento superficial de um sismograma a partir da decomposição desse sinal no espaço das curvelets. Na figura 5.15 é mostrada a componente do ruído de rolamento superficial que foi removida, em cada escala, pela análise e que, somando-se, dá a contribuição total desse ruído que foi extraída do sinal. Na parte superior da figura temos os ângulos correspondentes ao ruído de rolamento superficial em cada escala (círculos cheios) e na parte inferior da figura temos a estrutura correspondente 78

94 Figura 5.10: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 4. ao ruído de rolamento superficial em cada escala. Vale ressaltar novamente que a simetria angular do ruído de rolamento superficial no espaço das curvelets é completamente diferente da simetria angular relacionada às reflexões por estruturas geológicas, por isto torna-se fácil a remoção desse ruído do sismograma via análise curvelet. Referente ao balanço energético entre o ruído de rolamento superficial e as ondas refletidas em estruturas geológicas, na tabela 5.1 temos o resumo desse balanço, em termos percentuais, para as escalas de j = 2 a j = 5, onde a energia foi separada em dois grupos: GR, a energia do ruído de rolamento superficial (sigla da expressão em inglês Ground Roll); e RW, a energia das ondas refletidas (da expressão em inglês Reflected Waves). 79

95 Figura 5.11: Conjunto de ângulos da escala 4 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real. Escala GR RW Tabela 5.1: Balanço de energia (em porcentagem) para as escalas 2 j 5. O GR representa a energia do ruído de rolamento superficial; e RW a energia das ondas refletidas. É interessante neste sistema considerar a relação sinal/ruído para comparar as amplitudes do ruído de rolamento superficial com as amplitudes do sinal de interesse que é referente às ondas refletidas que estão espalhadas nas interfaces entre as camadas geológicas. Para realizar esta análise, usamos a energia do sinal como a soma do quadrado dos coeficientes curvelet, como explicitado na equação (4.4) aqui reproduzida: E j = k,l f, ϕ j,k,l 2 (5.1) Pelos dados da tabela 5.1 vemos que a informação geológica está, principalmente, nas 80

96 Figura 5.12: Distribuição de padrões para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 5. Na parte superior da figura temos os ângulos selecionados (marcados em vermelho) nessa escala e na parte inferior temos a reconstrução parcial do sinal para os ângulos correspondentes nessa escala. escalas j = 2 e 3, enquanto as informações referentes ao ruído de rolamento superficial domina o sinal para j = 4 e 5. Nós não colocamos na tabela 5.1 a escala j = 1 porque o ruído de rolamento superficial domina as informações nesta escala e como só há um ângulo para esta escala, as informações dessa escala são removidas pela análise. Na tabela 5.2 temos a distribuição de energia (em porcentagem) para as cinco escalas. Nesta tabela, mostramos, também, a energia para os dois padrões: GR, para a energia do ruído de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na última linha dessa tabela mostramos a porcentagem de energia em cada escala. Na última coluna da 81

97 Figura 5.13: Distribuição de energia para os diferentes ângulos da escala 5. tabela mostramos a energia total dos dois padrões, o ruído de rolamento superficial soma quase 60% da energia total da imagem sísmica. Scale Total GR RW Total Tabela 5.2: Distribuição de energia (em porcentagem) para as escalas 1 j 5. O GR representa a energia do ruído de rolamento superficial; e RW, a energia das ondas refletidas. Na última coluna é representada a energia total destes dois padrões. 82

98 Figura 5.14: Conjunto de ângulos da escala 5 (marcados em vermelho) cujos coeficientes foram selecionados para a reconstrução do sinal sísmico real. Pelas informações da tabela 5.2, percebemos que a distribuição de energia é bastante impressionante quando pensamos que 60% da energia do sinal original deve ser removida para revelar o verdadeiro conteúdo geológico da imagem. Além disso, cerca da metade do total de energia está concentrada na escala j = 5, que é dominado pelo ruído de rolamento superficial. 5.4 Supressão do ruído de rolamento superficial: análise em ondaletas versus análise curvelet No trabalho de Leite e colaboradores[15], os autores usaram um filtro baseado na análise em ondaletas, com a Transformada de Karhunen-Loève para realizar a supressão do ruído de rolamento superficial em sinais sísmicos, obtendo bons resultados. Entretanto, devido às limitações da análise em ondaletas, como não descrever bem descontinuidades superficiais de uma imagem, por exemplo, na referida análise foi necessário, antes 83

99 Figura 5.15: Componentes do ruído de rolamento superficial para as escalas de j = 2 a j = 5. Na parte superior da figura temos os ângulos correspondentes em cada escala (círculos cheios) e na parte superior da figura temos a estrutura correspondente ao ruído de rolamento superficial em cada escala. de aplicar o filtro à imagem sísmica, determinar, no espaço dos tempos, a região onde aparecem as estruturas devidas ao ruído de rolamento superficial e limitar essa região da imagem para aplicar o filtro baseado na análise em ondaletas apenas nessa região, com um fator constante de atenuação de energia para cada ponto dessa região. Além disso, esses autores detacam que o ruído de rolamento superficial está mais concentrado em algumas escalas (j = 4, 5). Assim, apesar dessa análise em ondaletas apresentar bons resultados, é um pouco restrita, pois mesmo identificando regiões/escalas do espaço de frequências onde o ruído de rolamento superficial está presente, acaba atuando atenuando, nessas escalas, também parte das estruturas referentes ao sinal de interesse que estão presentes 84