Teoria da Computação Exemplo de relatório para o trabalho n o 2

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Therezinha Aveiro Almeida
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1 Teoria da Computação Exemplo de relatório para o trabalho n o Simão Melo de Sousa Ano lectivo 003/004 1 Primeiro exercício Demonstre no sistema Coq as fórmulas lógicas: 1. A, B Prop. A (A B). A, B Prop. ((A B) B) A 3. A Set, P, Q (A Prop), x A. ( x A.(P x) (Q x)) (( x A.(P x)) ( x A.(Q x))) Resolução classic A [A] 1 i 1 A (A B) 1 i A A (A B) [A] 3 [ A] e e 3 i B i A B A (A B) i A A (A B) A (A B) Figura 1: demonstração de A (A B) Segue nas linhas seguintes o script Coq correspondente as árvores de demonstração apresentados: codigo coq solucao 1

2 1 i i e e [(A B) B] 1 e 1 A B [A] B A ((A B) B) A e [(A B) B] 1 B Figura : demonstração de ((A B) B) A 1 i i [ x A.(P x)] 3 [ x A.(P x) (Q x)] e e (P x) (P x) (Q x) e (Q x) [x A] 1 i ( x A.(Q x)) 3 i ( x A.(P x)) ( x A.(Q x)) ( x A.(P x) (Q x)) ( x A.(P x)) ( x A.(Q x)) x A.( x A.(P x) (Q x)) ( x A.(P x)) ( x A.(Q x)) Figura 3: demonstração de x A.( x A.(P x) (Q x)) ( x A.(P x)) ( x A.(Q x)) Segundo exercício Seja somat a função Coq seguinte: ( Funcao S o m a t o r i o ) Fixpoint somat [ n : nat ] : nat := Cases n of O O ( S m ) ( plus n ( somat m )) end. Esta função está então denida como (somat n) = n i=0 i. Demonstre a correcção da função somat, ou seja: (somat n) = n (n+1). Tal lema se expressa, em Coq, por: Lemma somat_correct : ( n : nat )( somat n )= ( div ( mult n ( S n ))). Resolução Para demonstrar que (somat n) = n (n + 1) iremos demonstrar os lemas auxiliares seguintes: n, m N. n + m = n + n + m

3 n N. (n + (somat n)) = n + n + n + (n n) Todas as demonstrações podem ser processadas por indução sobre o primeiros parâmetro inteiro. Exempliquemo-las com a demonstração de (somat n) = n (n+1) Demonstração: Demonstremos por indução sobre n que n N. (somat n) = n (n+1). Caso de Base: quando n = 0 verica-se facilmente que (somat 0) = 0 (0+1). De facto, somat 0 = 0 e 0 (0+1) = 0 Passo Indutivo. Tendo por hipótese de indução que (H) : (somat n) = n (n+1) Temos de vericar que (somat (n + 1)) = (n+1) (n+). somat (n + 1) = (n + 1) + (somat n) (por denição de somat) = (n + (somat n)) + 1 (por denição de +) = n+n+n+(n n) + 1 (por somat_aux) (n+1) (n+) = n+n (n+)+ = n+n (n+) (por denição de ) + 1 (por denição de div) = n+(n+) n + 1 (por comutatividade de ) = n+n+n+(n n) + 1 (por denição de ) = somat (n + 1) QED Repare que neste exemplo em particular, não foi preciso utilizar a hipótese de indução 1. Tal não acontece na demonstração dos lemas auxiliares. Em COQ as demonstrações são as seguintes: Lemma dois_ div : (n, m : nat )( plus n ( div m ))=( div ( plus n ( plus n m ))). Induction n ; Simpl ; Try Rewrite ( plus_sym n0 ( S ( plus n0 m ))); Simpl Rewrite ( plus_sym n0 ( plus n0 m )). Rewrite H. Qed. Lemma somat_ aux : ( n : nat )( plus n ( somat n ))=( div ( plus n ( plus n ( plus n ( mult n n ))))). 1 Tal facto limita o interesse das demonstrações por indução neste particular exemplo. 3

4 Induction n ; Simpl ; Try Intros n0 Hind ; Rewrite Hind ; Rewrite ( plus_ sym n0 ( S ( plus n0 ( S ( plus n0 ( S ( plus n0 ( mult n0 ( S n0 ))))))))); Rewrite ( plus_sym n0 ( S ( plus n0 ( S ( plus n0 ( mult n0 ( S n0 ))))))); Rewrite ( mult_sym n0 ( S n0 )); Rewrite ( plus_sym n0 ( S ( plus n0 ( mult ( S n0 ) n0 )))); Rewrite ( plus_sym n0 ( S ( div ( plus n0 ( plus n0 ( plus n0 ( mult n0 n0 ))))))); Simpl ; Rewrite ( plus_sym ( div ( plus n0 ( plus n0 ( plus n0 ( mult n0 n0 ))))) n0 ); Rewrite ( dois_div n0 ( plus n0 ( plus n0 ( plus n0 ( mult n0 n0 ))))); Rewrite ( plus_ sym ( plus n0 ( plus n0 ( mult n0 n0 ))) n0 ); Rewrite ( plus_sym ( plus n0 ( plus n0 ( plus n0 ( mult n0 n0 )))) n0 ); Rewrite ( plus_sym ( plus n0 ( plus n0 ( plus n0 ( plus n0 ( mult n0 n0 ))))) n0 ); Qed. Lemma somat_correct : ( n : nat )( somat n )= ( div ( mult n ( S n ))). Induction n ; Simpl ; Try Reflexivity ; Clear n ; Intros n ; Rewrite ( mult_sym n ( S n )); Rewrite ( mult_sym n ( S ( S n ))); Simpl ; Intros H ; Rewrite ( somat_aux n ); Qed. 3 Terceiro exercício Vamos, neste ponto, vericar que demonstrar é programar. Demonstre no sistema Coq o seguinte lema: b N.(b > 0) ( a N.( (q, r) N.(a = b q + r) (b > r))) A versão Coq sendo: Lemma euclides : ( b : nat )( gt b O ) ( a : nat ){ par :( nat * nat ) ( a =( plus ( mult ( Fst par ) b ) ( Snd par )) /\ ( gt b ( Snd par )))}. Este lema arma que para todo o a e para todo o b inteiro tal que b seja estritamente positivo então existem dois valores q e r inteiros tais que (a = b q + r) (b > r). Por outras palavras, dados os inteiros a e b > 0, o quociente (q) e o resto (r) da divisão inteira de a por b existem sempre. 4

5 Extraia o teorema para a linguagem OCaml (comando Coq Extraction). resultado? Justique. Qual é o Resolução 1. Eis uma demonstração possível: b N.(b > 0) ( a N.( (q, r) N.(a = b q + r) (b > r))) Demonstração por indução sobre a. Caso de Base. Para a = 0 temos b N.(b > 0) ( (q, r) N.(0 = b q + r) (b > r)). Neste caso o q e o r são 0. O que dá b N.(b > 0) (0 = b 0 + 0) (b > 0). Se simplicarmos as expressões vemos que este resultado é obviamente verdade. Caso indutivo. Por hipótese temos : P (n) = b N.(b > 0) ( (q, r) N.(n = b q +r) (b > r)). O objectivo é demonstrar que temos P (n+1) = b N.(b > 0) ( (q, r ) N.(n + 1 = b q + r ) (b > r )). Procedemos aqui por uma análise por caso: ou (b r + 1) ou (b > r + 1) QED. caso (b r + 1). Neste caso basta escolher q = q + 1 e r = 0. De facto, temos b = r + 1 (porque b > r e b r + 1 ). Se substituirmos b por r + 1 e n por (r + 1) q + r em P (n + 1) então, após simplicação da expressão obtemos (r + (q r + 1)) + 1 = (r + (q r + 1)) + 1, o que é trivialmente verdade. caso (b > r + 1) Neste caso basta escolher q = q e r = r + 1. De forma similar, se substituirmos n por b q + r em P (n + 1) (utilização da hipótese de indução), obtemos, após simplicação, q b + r + 1 = q b + r + 1. O que é verdade. Em COQ, a demonstração transcreve-se da seguinte forma: Lemma euclides : ( b : nat )( gt b O ) ( a : nat ){ par :( nat * nat ) ( a =( plus ( mult ( Fst par ) b ) ( Snd par )) Induction a ; Auto with arith. /\( gt b ( Snd par )))}. Split with ( ' N :0 ', ' N :0 '); Auto with arith. Intros n H0. Elim H0. Intro qr. Elim qr. Intros q r. 5

6 Elim p. Clear H0 a qr. Clear p. Elim ( le_gt_dec b ( S r )). Intro Hle. Cut b =( S r ); Auto with arith. Intro Heq. Split with ( S q, ' N :0 '). Split ; Auto with arith. Rewrite Heq. Rewrite ( plus_sym ' N :0 ' ( plus r ( mult q ( S r )))). Rewrite H0. Rewrite Heq. Rewrite ( plus_sym r ( mult q ( S r ))). Split with ( q, S r ). Split ; Auto with arith. Rewrite ( plus_sym ( S r ) ( mult q b )). Rewrite ( plus_sym r ( mult q b )). Rewrite H0. Defined.. O comando Extraction "trab.ml"euclides. produz, automaticamente, o seguinte programa OCaml: type nat = O S of nat type ( 'a, ' b ) prod = Pair of ' a * ' b type ' a sig0 = ' a ( s i n g l e t o n i n d u c t i v e, whose c o n s t r u c t o r was e x i s t ) type sumbool = Left Right ( v a l l e _ l t _ d e c : n a t n a t s u m b o o l ) let rec le_ lt_ dec n m = match n with 6

7 O Left S n0 ( match m with O Right S n1 le_ lt_ dec n0 n1 ) ( v a l l e _ g t _ d e c : n a t n a t s u m b o o l ) let le_ gt_ dec n m = le_ lt_ dec n m ( v a l e u c l i d e s : n a t n a t ( nat, n a t ) p r o d s i g 0 ) let rec euclides b = function O Pair ( O, O ) S n let Pair ( x, x0 ) = euclides b n in ( match le_gt_dec b ( S x0 ) with Left Pair (( S x ), O ) Right Pair ( x, ( S x0 ))) Trata-se do programa que efectua a divisão inteira. Tal programa é automaticamente extraído da demonstração da sua própria existência! A grande vantagem é que a função OCaml euclides é produzida duma demonstração que implica a correcção da função. Temos, por este processo, uma função que termina e sem bugs! 7

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