ESTUDO DA SIMPLIFICAÇÃO NA MODELAÇÃO DE PAINÉIS REFORÇADOS

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1 ESTUDO DA SIMPLIFICAÇÃO NA MODELAÇÃO DE PAINÉIS REFORÇADOS Higor Pêgas Rosa de Faria Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Naval e Oceânico. Orientadora: Prof.ª Marta Cecilia Tapia Reyes Co-Orientador: Prof. Peter Kaleff RIO DE JANEIRO Agosto de 2014 I

2 ESTUDO DA SIMPLIFICAÇÃO NA MODELAÇÃO DE PAINÉIS REFORÇADOS Higor Pêgas Rosa de Faria PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO. Aprovado por: Prof.ª Marta Cecilia Tapia Reyes, D.Sc. - COPPE/UFRJ (Orientadora) Prof. Peter Kaleff, D.Sc. - Universitat Hannover (Co-orientador) Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D.Sc. - COPPE/UFRJ Prof. Julio Cesar Ramalho Cyrino, D.Sc. - COPPE/UFRJ Rio de Janeiro, RJ - BRASIL Agosto de 2014 II

3 Agosto de 2014 ESTUDO DA SIMPLIFICAÇÃO NA MODELAÇÃO DE PAINÉIS REFORÇADOS Faria, Higor Pêgas Rosa de. Estudo da Simplificação na Modelação de Painéis Reforçados/ Higor Pêgas Rosa de Faria. Rio de Janeiro: UFRJ / Escola Politécnica, VIII, 47 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Marta Cecilia Tapia Reyes, Peter Kaleff. Projeto de Graduação UFRJ/ Escola politécnica/ Curso de Engenharia Naval e Oceânica, Referências bibliográficas: p Análise Estrutural. 2. Painel Reforçado. 3. Modelo de Elementos Finitos. 4. Rigidez à Flexão. 5. Simplificação de Modelação. I. Tapia Reyes, Marta Cecilia et al. Kaleff, Peter. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. Estudo da Simplificação na Modelação de Painéis Reforçados. III

4 Agradecimentos A minha mãe, que sempre foi meu maior exemplo de vida. A minha avó, que sempre me apoiou em tudo e em todos os momentos. A toda minha família. À Tatiane, minha namorada, que foi a responsável por me mostrar o que significa ter uma companheira ao meu lado. À professora Marta e ao professor Kaleff, que atuaram como uma mão guia durante todo o projeto. IV

5 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico. V

6 Resumo do Projeto Este projeto tem como objetivo estabelecer um procedimento genérico de modelação que resulte na criação de modelos menos detalhados representativos de estruturas oceânicas flutuantes, de forma que a precisão da análise não seja prejudicada pela simplificação. O meio de alcance do objetivo foi feito através da modelação de dois modelos distintos no software FEMAP Nastran, um modelo-base composto por uma chapa reforçada e o outro de uma chapa sem reforçador que, após calibração, representaria estruturalmente o primeiro modelo. Project Abstract This project aims to establish a generic modeling procedure that results in the creation of less-detailed models who represent floating oceanic structures, in such a way that the analysis' precision is not impaired by the simplification. The means of obtaining the project's goal was based on the modeling of two distinct models at the FEMAP Nastran software, one base-model composed by a plate reinforced by a web and another composed by a solitary plate, not reinforced, that after calibration, would structurally represent the first model. VI

7 Sumário 1 INTRODUÇÃO MÉTODO EMPREGADO NO PROJETO Módulo de Young Razão de Aspecto (Aspect Ratio, AR) Linha Neutra e Tensões Normais Pressão Tensões Coplanares Tensões de Flexão de Chapa Rigidez à Flexão (Rigidez à Flexão) Linha Neutra e Momento de Inércia Segundo o FEMAP MODELOS PARA VALIDAÇÃO DA PROPOSTA Características gerais Geometria do Modelo Material Elementos a serem utilizados Definição da Malha Condições de Contorno Carregamentos COMPARAÇÃO DE RESULTADOS Refinamento da malha Cálculo das Tensões Teóricas Tensões de Saída do Modelo a Serem Comparadas Calibração da Malha Modelo I - Painel Reforçado com Carregamento Linear VII

8 4.3 Modelo II - Painel reforçado com Carregamento Aplicado na Área da Chapa Modelo III - Painel sem Reforçador com Rigidez à Flexão Adicionada 37 5 CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA Anexo A - Tensões de Von Mises VIII

9 1 INTRODUÇÃO Um navio, sendo um meio de transporte de bens e passageiros, deve obviamente apresentar o menor peso leve (peso do navio e seus componentes essenciais) possível, no entanto, uma estrutura resistente também tem um peso de aço elevado. Com o propósito de se manter a capacidade de carregamento do navio e diminuir o peso estrutural, os construtores navais desenvolveram os painéis reforçados, que constam de um chapeamento reforçado por um perfilado, que pode ter vários tipos distintos de seção, cada um pertinente a um tipo de carregamento e construção. Algumas seções desses perfilados são mostradas na Figura 1. Figura 1 - Perfis usados na indústria naval Além dos painéis reforçados, a estrutura do navio ainda é completada por anéis enrijecedores (reforçadores primários), que podem ser longitudinais ou transversais, de acordo com os sistemas homônimos de construção, podendo ser também mista, com partes do navio de um determinado sistema, de acordo com a necessidade estrutural da parte do navio projetada. Sendo assim, a estrutura de um navio é composta por: 1

10 Chapeamento reforçado por perfilados reforçadores; Anéis enrijecedores transversais e longitudinais; Possíveis reforços adicionais como: borboletas, pilares, barras, etc. A Figura 2 apresenta graficamente uma os chapeamentos de costado e fundo com seus reforçadores e anéis enrijecedores. Figura 2 - Representação de uma parte da estrutura do costado e fundo de um navio As Figura 3 e Figura 4 mostram, respectivamente, um corte no corpo paralelo e o perfil em 3 dimensões de um petroleiro. 2

11 Figura 3 - Seção típica de um petroleiro Figura 4 - Representação em 3D da Seção Mestra mostrada na Figura 3 Como pode se perceber na Figura 3 e Figura 4, ainda conta-se com a presença de anteparas transversais e longitudinais na estrutura de um navio, esses elementos, além de serem relevantes na compartimentação da embarcação, trabalha em conjunto com o resto do perfil estrutural da embarcação na resistência aos esforços sofridos durante a operação. Analisando-se mais atentamente a Figura 3, pode-se perceber que há a ocorrência muito mais frequente de um elemento estrutural em relação aos outros: os perfilados (que também podem ser chamados de reforços secundários). Tendo esse fato em mente, nota-se que, numa análise estrutural, esse elemento tem influência nas tensões resultantes de uma carga sobre o painel reforçado. Logo, sua consideração na análise é essencial para obtermos resultados plausíveis com a realidade estrutural do navio. Atualmente, a modelação computacional se apresenta como uma das mais importantes ferramentas na análise de estruturas flutuantes compostas por painéis reforçados, já que testes empíricos com tais estruturas são inviáveis, tanto economicamente quanto fisicamente, devido ao tamanho das estruturas a serem construídas e testadas. 3

12 Sendo assim, a otimização do tempo de modelação e processamento para tal tipo de análise ganha maior importância, pois o nível de detalhamento do modelo será proporcional à demora na manufatura do mesmo e na obtenção de resultados. O detalhamento supracitado do modelo estrutural é traduzido pela inserção de elementos estruturais que se relacionam com as tensões locais geradas pela ação de algum tipo de carregamento, como ocorre com o conjunto chapa/reforçadores secundários, onde atuam tensões desse tipo de caráter. A Figura 5 exemplifica graficamente a grande quantidade de reforços secundários que devem ser modelados para que o modelo estrutural se aproxime do navio real. Figura 5 - Exemplo de modelação de painéis reforçados com anéis enrijecedores de um portacontentor Como se pode perceber, um modelo completo de uma embarcação, sendo modelada com todos os reforços secundários seria computacionalmente onerosa, além de demandar muito tempo e habilidade para se modelar todos esses reforçadores. Sendo assim, o estudo com meta de simplificar a representação de modelos de painéis reforçados, sem que haja perda no resultado obtido após análise, se apresenta como a melhor escolha para a otimização desse tipo de abordagem estrutural. 4

13 2 MÉTODO EMPREGADO NO PROJETO Como modelar um painel reforçado simplificado? Algumas sociedades classificadoras utilizam elementos de viga para representar os reforçadores, outros adicionam espessura na chapa modelada de acordo com a quantidade de reforçadores e sua separação. A proposta deste projeto é avaliar quanto é a colaboração dos reforçadores na rigidez a flexão da placa simples sem reforçadores. Para obter esta avaliação faremos primeiro o modelo teórico perfeito, chapa com reforçadores e a carga aplicada como uma força por unidade de comprimento ao longo da alma, modificaremos, então o carregamento do modelo a fim de representar a real chapa com reforçador, mas com a carga aplicada como uma pressão ao longo do chapeamento, com estes dois modelos podemos calcular qual é a rigidez à flexão da porção dos reforçadores, e uma vez obtido este valor será feito um terceiro modelo que consistirá em uma chapa com as mesmas condições de carregamento (carga de pressão), e de contorno. No entanto, a rigidez à flexão obtida nos outros modelos anteriores será inserida nesse modelo. Além da proposta de projeto, esse trabalho tem como objetivo a simplificação da modelação de um painel reforçado através da substituição desse modelo por outro composto por uma chapa, entretanto, as tensões a serem usadas como critério de projeto devem ser mantidas de um modelo para outro para que a simplificação seja validada. A forma do modelo de chapa reforçada é apresentada na Figura 6. 5

14 Figura 6 - Modelo Geométrico de Chapa + Reforçador A modelação dos painéis será feita usando-se o software de elementos finitos FEMAP versão O método a ser empregado consistirá na verificação teórica dos resultados obtidos a partir do FEMAP e na criação de 2 modelos computacionais diferentes: o de uma chapa reforçada por uma alma (carregado de 2 formas: carga linear sobre reforçador e carga sobre a área da chapa) e o modelo de uma chapa pura (sem reforço). Sabe-se que o modelo de chapa reforçada é o mesmo, seja carregado linearmente ou sobre a superfície da chapa, entretanto, como os resultados das tensões resultantes dos diferentes carregamentos. Todavia, as tensões de saída desses 2 modelos serão as primeiras a serem comparadas, para a certificação de que o carregamento na área da chapa reforçada era equivalente ao linear. Sendo assim, diferenciar-se-á o tipo de carregamento empregado através de numerais romanos: o modelo quando carregado linearmente será chamado de Modelo I, e quando a carga for aplicada na área da chapa ao invés de estar sobre o reforçador, o modelo ganhará o nome de Modelo II. Ambos os Modelos I e II têm suas características geométricas mostradas na Figura 6. Seguindo-se a tendência em voga, chamar-se-á o Modelo da chapa pura de Modelo III. O modelo geométrico da chapa pura é representado a Figura 7. 6

15 Figura 7 - Modelo geométrico da chapa pura No entanto, antes de se começar a comparar modelos do FEMAP, deveria se ter certeza que os resultados provenientes da simulação computacional serviriam para confirmar os valores da teoria de vigas. 2.1 Módulo de Young O Módulo de Young, ou módulo de elasticidade, é uma propriedade mecânica intrínseca de cada material. Ele é considerado como uma medida de rigidez de um material sólido. Esse módulo é dado por: Eq.1 Onde: é a tensão aplicada em uma certa direção; é a deformação elástica consequente da aplicação da tensão direcional. 7

16 É importante mencionar que essa formulação é válida para a fase elástica dos materiais; no regime plástico, a deformação não se dará de acordo com essa equação. O Coeficiente de Poisson é a propriedade que relaciona a deformações em direções ortogonais. Quando um material sofre tensão normal em uma determinada direção, além da deformação naquela direção, há também deformação no material na direção transversal da aplicação da tensão. Sendo assim, esse coeficiente é dado por: Eq.2 Para efeitos de apresentação, foi considerada uma tensão na direção X, o que pode ser observado pelas deformações em Y e Z estarem relacionadas primariamente àquelas ocorridas em X, na Eq Razão de Aspecto (Aspect Ratio, AR) A razão de aspecto é a medida do desvio de uma malha de se ter todos os elementos quadrados. Pela formulação da razão de aspecto, tem-se que: Eq.3 Onde: LE: é a maior aresta do elemento finito; SH: é a menor altura, sendo que altura é definida como a distância entre um vértice e uma aresta, ou vértice, oposto a ele. 8

17 2.3 Linha Neutra e Tensões Normais Os valores extremos de tensão normal ao longo de uma seção são originados da distribuição típica de tensões em uma seção transversa de viga. A Figura 8 exemplifica essa distribuição de tensões em 2 seções diferentes: uma simétrica, onde a linha neutra está a meia altura; e outra assimétrica, onde o centro geométrico (correspondente à linha neutra) está em um ponto diferente. Figura 8 - Distribuições da Tensão Normal Sendo assim, torna-se óbvio que a Linha Neutra deve ser encontrada durante o cálculo de tensões, já que a magnitude da tensão é função direta da distância entre a altura dessa linha e os extremos da seção, como demonstrado na equação: Eq.4 Onde: M é o momento fletor na seção observada, em N.m; y é a distância da linha neutra ao ponto de aplicação da tensão, em m; I é o momento de inércia da seção observada, em. 9

18 Figura 9 - Seção transversal composta por chapa + reforçador Um exemplo de cálculo da linha neutra pode ser feito através da Eq.2 e utilizando-se as dimensões mostradas na Figura 9: Eq.5 Para se proceder com o cálculo das tensões normais, é necessário se obter o valor do momento fletor aplicado na seção transversal, a meio-vão, tal momento é descrito pela Eq.3: Eq.6 Onde: q é a carga distribuída linearmente, em N/m; l é o comprimento total da viga, em m; A distância entre a linha neutra e os extremos superior e inferior, a partir da Figura 9, é dado por: Eq.7 10

19 Eq.8 A última variável a ser definida para o cálculo das tensões normais é o momento de inércia. Para elementos de barra, ele é dado por: Eq.9 Na Figura 9, como os centróides das seções da alma e da chapa não estão no centro geométrico do conjunto total, faz-se o teorema dos eixos paralelos para se chegar ao momento de inércia total da seção. Esse teorema, matematicamente, diz que: Eq.10 Onde: I é o momento de inércia inicial, no eixo anterior; S é a área do elemento a ser levado paro o novo eixo; r é a distância entre o centro da área do elemento e o eixo a ser transportado. 10. A representação gráfica do teorema dos eixos paralelos é apresentada na Figura 11

20 Figura 10 - Teorema dos Eixos Paralelos 2.4 Pressão A pressão mensura a ação de uma força sobre um determinado espaço. Seu conceito pode ser matematicamente expresso através da seguinte fórmula: Eq.11 uma área. Essa fórmula nos diz que a pressão é a medida de força distribuída ao longo de 2.5 Tensões Coplanares A tensão coplanar corresponde à tensão oriunda de uma força axial dividida pela espessura do elemento de chapa, ou seja, é semelhante à tensão obtida ao se tracionar ou comprimir um elemento estrutural, como uma barra, viga ou chapa. Tal situação é mostrada na Figura

21 Figura 11 - Exemplo de Tração e Compressão em barra A fórmula dessa tensão é dada por: Eq.12 seria dada por: Na Figura 11, segundo a teoria de Resistência dos Materiais, a tensão de tração Eq.13 Já a tensão de compressão seria obtida de forma semelhante ao se substituir a força T, de tração, por C, uma força de compressão. 2.6 Tensões de Flexão de Chapa As tensões de flexão de chapa em X são equivalentes às tensões sofridas por uma chapa no caso de flexão pura. As tensões coplanares se diferem das tensões de flexão de chapa por serem resultantes da presença do reforçador na chapa. As tensões de flexão em chapa são dadas pela Eq.11: 13

22 Eq Rigidez à Flexão (Rigidez à Flexão) O conceito de Rigidez à Flexão é o responsável pela transferência dos valores das tensões coplanares de um modelo de chapa com a presença de reforço para as tensões de flexão em chapa. A formulação do Rigidez à Flexão é dada por: Eq.15 Onde: é o momento de inércia do modelo base a partir do FEMAP; t é a espessura da estrutura do modelo base. 2.8 Linha Neutra e Momento de Inércia Segundo o FEMAP A formulação universalmente conhecida para linha neutra não pôde ser aplicada para o cálculo do momento de inércia usado na Rigidez à Flexão. Isso é decorrência da característica do FEMAP de basear sua modelação em linhas e pontos, inicialmente, sem espessura. No caso de um modelo de chapa reforçada, a espessura da chapa não influencia na posição vertical do reforçador. Um exemplo pode tornar o entendimento mais fácil: Ao se criar um modelo com a seção transversal semelhante à Figura 9 e com a origem do sistema de coordenadas no centro da área transversal da chapa, a altura do centro da área da alma deveria receber o valor de: 14

23 Eq.16 Pois, em realidade, a meia espessura da chapa eleva o centro da área do reforçador já que a alma está apoiada na chapa. Contudo, observa-se que o software define como centro vertical da área da alma o valor: Eq. 17 Essa modificação é responsável pela alteração da altura da linha neutra e, consequentemente, do valor do momento de inércia, já que este torna-se função da altura da linha neutra ao se aplicar o teorema dos eixos paralelos. 15

24 3 MODELOS PARA VALIDAÇÃO DA PROPOSTA Para entender quanto colabora o reforçador no painel reforçado serão feitos três modelos básicos de painel reforçado, como foi indicado no Capítulo 2, que serão denominados de: Modelo I: Painel reforçado carregado linearmente; Modelo II: Painel reforçado carregado na superfície da chapa; Modelo III: Painel com a rigidez a flexão adicionada. Para todos os modelos teremos em comum algumas características que estão indicadas a seguir. 3.1 Características gerais Para todos os modelos teremos em comum algumas características: Geometria do Modelo A geometria apresenta as seguintes especificações: Chapa: o Comprimento: 4m o Largura: 0,8m o Espessura: 0,018m Reforçador (Seção Transversal): o Altura: 0,2m o Espessura: 0,018m Material Usar-se-á o aço naval como material da estrutura para o estudo, sendo assim, as propriedades necessárias ao projeto são o Módulo de Young (E) e o Coeficiente de Poisson (ν). Sendo assim, seguindo-se 16

25 Módulo de Young: Coeficiente de Poisson: 0,3 As características de material para o Modelo I são apresentadas na Figura 12. Figura 12 - Definições do material usado no Modelo I Elementos a serem utilizados Para representar o chapeamento e seus reforçadores se utilizará elementos de chapa, as características dos elementos são as correspondentes á geometria e ao material utilizados. 17

26 Chapa: o Espessura : 0,018m Também se adotará elementos de viga com rigidez suficiente para assegurar que as seções de extremidade permaneçam planas e livres da distorção mesmo utilizando-se um único nó para impor a condição de apoio articulado com as seguintes características: o Área Transversal : 0,1m² o Izz = 0,001 o Iyy = 0,001 As definições de propriedades apresentadas podem ser vistas na Figura 13 e na Figura 14. Figura 13 - Definições do Elemento "Chapa" 18

27 Figura 14 - Definições da "Viga" Definição da Malha A malha será definida para que as tensões encontradas nos pontos mais críticos do modelo sejam fidedignas com os valores reais, neste caso, o ponto mais crítico do modelo é o reforçador e a região de encontro da chapa com ele. Para isso, será realizada uma calibração do refinamento, processo descrito no próximo capitulo. Na tentativa de obter o melhor resultado na simulação, manter-se-á a razão de aspecto igual a 1 para todo elemento finito do modelo. Essa definição de Razão de Aspecto igual a 1 resulta em elementos finitos quadrados. A disposição dos elementos finitos no extremo longitudinal do modelo utilizado no projeto pode ser vista na Figura

28 Figura 15 - Detalhe da malha no reforçador Condições de Contorno As condições do contorno consideradas devem espelhar a condição simplesmente apoiada. Para isso ser simulado, o ponto de apoio será colocado na linha neutra, e como foi explicado no seção 3.1.3, com o auxilio dos elementos de viga este apoio simples será emulado com maior precisão. Com o intuito de diminuir o tamanho do modelo e o tempo de computação, será aplicada a condição de simetria nos extremos do chapeamento entre reforçadores, desta forma estaremos emulando um painel reforçado com vários reforçadores de forma mais simples e rápida. As condições de contorno dos modelo I e II utilizadas são apresentadas na Figura

29 Figura 16 - Condições de contorno do Modelo I No caso do Modelo III as condições de contorno aplicadas deverão refletir as mesmas condições de simetria aplicadas nos Modelos I e II para as arestas perpendiculares ao eixo Y. Nas arestas perpendiculares ao eixo X serão aplicadas condições de contorno de forma que a chapa se comportasse como se estivesse simplesmente apoiada. Logo, as condições de contorno do Modelo III serão: Condição de simetria: Essa condição foi simulada através da simetria em Y, tal condição é aplicada no modelo se restringindo os graus de liberdade 2, 4 e 6 (TY, RX e RZ, respectivamente) nas arestas perpendiculares ao eixo Y da chapa. Simplesmente Apoiada: Tal condição é satisfeita se utilizando a opção "Pinned" do Nastran. Essa opção é similar a se restringir os graus de liberdade 1, 2 e 3 (Respectivamente TX, TY e TZ). A Figura 17 mostra as condições de contorno aplicadas no Modelo III. 21

30 Figura 17 - Condições de Contorno do Modelo III 3.2 Carregamentos Como indicado anteriormente, serão dois tipos de carregamentos aplicados. Para o Modelo I, o carregamento usado será de uma força por unidade de comprimento de 10 kn/m aplicada linearmente ao longo do comprimento da alma. O carregamento do Modelo I é apresentado na Figura 18. Figura 18 - Carregamento linear empregado no Modelo I 22

31 Para o Modelo II e modelo III, o carregamento será aplicado como uma pressão aplicada no chapeamento com valor de 0,0125 MPa. Figura 19 - Carregamento empregado no Modelo II Figura 20 - Carregamento aplicado no Modelo III 23

32 4 COMPARAÇÃO DE RESULTADOS Neste capitulo são apresentados os resultados obtidos nas diversas modelações do painel reforçado. Antes de fazer os cálculos se faz necessário definir qual é o refinamento necessário para ter resultados coerentes com a teoria. 4.1 Refinamento da malha Como primeiro passo, após serem definidos todos os modelos com seus carregamentos condições de contorno, se faz necessário definir o refinamento dos modelos a serem utilizados. Então, como passo inicial, fazemos o calculo das tensões que a chapa deveria sofrer, segundo a teoria, e comparamos os resultados com os resultados das tensões oriundos dos diversos refinamentos. A tensão a ser analisada será a tensão teórica de uma viga carregada normalmente (Item 4.1.1), no caso do resultado de tensões fornecida pelo NASTRAN é necessário fazer uma programação para obter esta tensão, este procedimento esta indicado no item Para este fim, utilizaremos o modelo de painel reforçado Cálculo das Tensões Teóricas Como o que estava sendo calculado era o valor das tensões normais baseando-se no modelo feito ao se imaginar a estrutura real, utilizou-se a formulação convencional, e não a do FEMAP, para o cálculo da linha neutra. Ao se aplicar a Eq. 5: escolhida. A Figura 21 demonstra graficamente a posição da linha neutra na estrutura 24

33 Figura 21 - Altura da Linha Neutra Foi definida a carga de 10 kn/m como carga plausível para a visualização dos seus efeitos sobre o modelo, que também teve seu comprimento estipulado em 4 m (comprimento da viga teórica). Calculando-se. então, o momento fletor atuante sobre a seção transversal a meiovão do modelo com a Eq.6, teve-se que: A distância entre a linha neutra e os extremos superior e inferior, a partir da Figura 21 e Equações 7 e 8, foi dado por: A última variável faltante para se poder calcular as tensões normais é o momento de inércia da seção transversal da estrutura imaginada. Ao se aplicar a Eq. 9, obteve-se como resultado: 25

34 Usado o teorema dos eixos paralelos (Eq.10), encontrou-se para o momento de inércia da chapa: E para o momento de inércia da alma: O momento de inércia total foi então composto pela soma dos 2 momentos calculados anteriormente: Com esses dados, tornou-se possível se calcular as tensões teóricas. Logo, a tensão na extremidade livre da alma, a partir da Eq.1: 26

35 Já na base da chapa, teve-se: As tensões a serem obtidas nas análises dos modelos reforçados são apresentados na Tabela 1. Tabela 1 - Tensões a Serem Obtidas Tensões nos Pontos Extremos da Estrutura Valores Teóricos (Mpa) Extremidade Livre da Alma -80,333 Base da Chapa 13, Tensões de Saída do Modelo a Serem Comparadas Essa etapa de calibração e validação tem como pivô a comparação das tensões normais oriundas da teoria de vigas com os valores de tensões coplanares em X ou Y, dependendo da direção do comprimento da alma. Como as tensões coplanares são função do vetor de saída "Plate Membrane Force", e esta saída é gerada em unidade de força/comprimento pelo software, a divisão referente à Eq.12 gerou um resultado fisicamente igual ao resultado da Eq.13, ou seja, a saída era a tensão de tração ou compressão ao qual o elemento finito estava exposto. Logo, utilizou-se tais tensões para comparar os valores teóricos obtidos no subitem anterior com os valores saídos do software. A direção das tensões a serem comparadas, X ou Y, seguiu a direção do eixo paralelo ao comprimento da alma modelado. Antes de se proceder à obtenção dos resultados comparativos vindos do FEMAP, era necessário se saber se qual o nível de refinamento da malha admissível para que os resultados computacionais refletissem os valores calculados com a teoria apresentada anteriormente. 27

36 O processo de refino de malha foi iterativo, no sentido de que o processo de tentativa-verificação-refino é repetido até que as tensões estejam dentro de um limite considerado plausível para a continuação do projeto. É relevante mencionar que as malhas foram criadas com elementos quadrados, a fim de se manter a melhor razão de aspecto possível, resultando, desta forma, em resultados mais confiáveis Calibração da Malha A primeira tentativa foi feita com uma malha composta por elementos de aresta igual a 25 mm. Esse valor foi escolhido com base no número de elementos a estarem presentes na alma modelada. Como a geometria escolhida apresentava uma altura de alma de 200 mm, foi decidido que 8 elementos de mesma aresta no decorrer da altura da alma seria uma tentativa plausível como valor inicial de projeto. Por motivos de coerência na malha, tanto a chapa quanto a alma receberam malhas iguais, sendo assim, os nós de malha gerados nessas 2 estruturas estariam sobrepostos, podendo ter seus nós mergidos sem nenhum problema e mantendo a integridade e continuidade de malha no modelo inteiro. As próximas iterações foram feitas se mantendo as mesmas premissas da primeira malha, de 25 mm, com a diferença que o tamanho da malha era reduzido pela metade a cada iteração, de modo que as tendências de valores de tensões com os sucessivos refinos pudessem ser observados mais metodicamente. Sendo assim, as 4 iterações que foram feitas tiveram os seguintes tamanhos de elementos de malha: mm 2. 12,5 mm 3. 6,25 mm 4. 3,125 mm As malhas são mostradas detalhadamente na Figura 22, Figura 23, Figura 24 e Figura

37 Figura 22 - Detalhe do modelo I com malha de 25 mm Figura 23 - Detalhe do Modelo I com malha de 12,5 mm 29

38 Figura 24 - Detalhe do Modelo I com malha de 6,25 mm Figura 25 - Detalhe do Modelo I com malha de 3,125 mm Os resultados das análises no FEMAP são mostrados nas figuras seguintes. 30

39 Figura 26- Resultados de Tensão Coplanar X para Malha de 25 mm Figura 27 - Resultados de Tensão Coplanar X para Malha de 12,5 mm 31

40 Figura 28 - Resultados de Tensão Coplanar X para Malha de 6,25 mm Figura 29 - Resultados de Tensão Coplanar X para Malha de 3,125 mm Tanto o valor teórico, quanto os valores de tensões, em MPa, a serem comparados nas 4 malhas são apresentados na Tabela 2. A Tabela 3 apresenta a variação do valor teórico de tensões em relação aos valores obtidos com todas as malhas. 32

41 Tensões nos Pontos Extremos da Estrutura Tabela 2 - Tabela comparativa das tensões teóricas com as tensões coplanares em X para todas as malhas Valores Teóricos (Mpa) Tensões para Malha de 25 mm Tensões para Malha de 12,5 mm Tensões para Malha de 6,25 mm Tensões para Malha de 3,125 mm - Extremidade Livre da Alma -80,333-77,025-80,201-81,665 82,538 Base da Chapa 13,217 12,389 12,322 12,327 12,274 Relação entre Valor Teórico e Valor Computacional dastensões nos Pontos Extremos da Estrutura Tabela 3 - Diferença percentual entre valores teóricos e computacionais das tensões Como se pôde notar a partir das Tabela 2 e Tabela 3, os valores de tensão na extremidade livre da alma se mantinham com uma diferença percentual de, aproximadamente, 2%, sendo uma exceção a 1ª iteração, que teve um desvio de pouco mais de 4% nos valores de tensão, sendo assim, já descartada. Quando examinados os valores de tensões na chapa, pôde-se perceber um desvio constante de, aproximadamente, 7%; sendo assim, uma escolha mais refinada de malha foi feita. É relevante ressaltar que todos os erros e desvios foram considerados aceitáveis dentro da premissa de que tais erros eram decorrentes não só do refinamento da malha, mas também das hipóteses assumidas pelo algoritmo do software. A Tabela 4 apresenta as variações percentuais nas tensões a serem comparadas (na extremidade livre da alma e na base da chapa) em decorrência dos refinamentos de malha. Diferença Percentual do Valor Teóri co (25mm) Diferença Percentual do Valor Teóri co (12,5mm) Diferença Percentual do Valor Teóri co (6,125mm) Diferença Percentual do Valor Teóri co (3,125mm) Extremidade Livre da Alma 4,12% 0,16% 1,66% 2,74% Base da Chapa 6,27% 6,77% 6,74% 7,14% Tabela 4 - Porcentagem de variação de valores de tensão entre malhas 25mm / 12,5mm 12,5mm/6,25mm 6,25mm/3,125mm Extremidade Livre da Alma 3,96% 1,83% 1,07% Base da Chapa 0,54% 0,04% 0,43% 33

42 A partir dos dados na Tabela 4, pode se perceber que, percentualmente, a variação no modelo de 6,25 mm para 3,125mm já apresenta valores bem baixos. Deduziu-se então que a curva de refino já apresentava valores assintóticos de tensão x refino para valores tamanho de malha a partir de 6,25 mm. Os gráficos de número de elementos de cada modelo contra tensão coplanar em X são apresentados na Figura 30 e Figura 31, a fim de se observar o comportamento assintótico das tensões. -76,000-77,000-78,000-79,000-80,000-81,000-82,000-83,000 Tensão na Extremidade Livre da Chapa Figura 30 - Gráfico para Tensão na Extremidade Livre da Alma 12,400 12,380 12,360 12,340 12,320 12,300 12,280 12,260 Tensão na Base da Chapa Figura 31 - Gráfico para Tensão na Extremidade Livre da Alma 34

43 Logo, o tamanho de malha de 6,25 mm foi definido como padrão para este e próximos modelos deste projeto. 4.2 Modelo I - Painel Reforçado com Carregamento Linear Os modelos computacionais desse projeto tiveram então definidos como padrão para seus tamanhos de malha o valor de 6,25 mm. A Figura 32 apresenta a saída das tensões coplanares em X no Modelo I com refinamento selecionado. Figura 32 - Modelo com refinamento escolhido e tensões coplanares em X Os resultados da análise são expostos na Tabela 5. Tabela 5 - Resultados da Análise Lugar de retirada das Tensões Tensões Coplanares em X (Mpa) Extremidade Livre da Alma -81,67 Base da Chapa 12,33 35

44 4.3 Modelo II - Painel reforçado com Carregamento Aplicado na Área da Chapa na Figura 33. Como indicado no capítulo 2, a carga foi aplicada na área chapa, como exposto Figura 33 - Modelo II (chapa e reforçador carregado na superfície da chapa) Utilizando-se o conceito de pressão, foi possível calcular a carga distribuída na área da chapa equivalente à carga linear aplicada no Modelo I. Como a carga do Modelo I já era linearmente distribuída, para se obter a unidade de medida da força aplicada sobre toda a superfície da chapa, só se foi necessário aplicar essa força linear pela largura da chapa. Sendo assim, teve-se: Usou-se então o valor encontrado de pressão para se confirmar, primeiramente, que a hipótese da transformação da força linear em carregamento superficial estava correta. Tal verificação foi feita com comparações de tensões coplanares de saída. A hipótese a ser testada parte do princípio que o carregamento do Modelo I poderia ser transformado em superficial ao se utilizar o conceito de pressão. Para tal hipótese se confirmar, os dois modelos deveriam apresentar valores de tensões 36

45 coplanares em X semelhantes, já que foram essas as tensões comparadas entre as saídas do Modelo I e os valores teóricos de tensão. A Figura 34 mostra as tensões coplanares em X presentes no Modelo II após a análise. Figura 34 - Modelo II com tensões coplanares em X mostradas A comparação entre tensões coplanares na direção X para os modelos I e II é apresentada a seguir: Tabela 6 - Comparação entre valores de tensão coplanar em X para carregamento linear e superficial Tensões para Tensões para Diferença Carga Linear Carga Superficial Percentual - 81,67-81,68 0,01377% 12,33 12,35 0,15964% Como se pode observar, a diferença percentual entre as tensões não chega nem a 0,2%, sendo assim, está confirmada a hipótese assumida como verdadeira para o projeto. 4.4 Modelo III - Painel sem Reforçador com Rigidez à Flexão Adicionada Finalmente, após a verificação e viabilização do segundo modelo, pôde-se passar para a simplificação propriamente dita. Nesse ponto do projeto, utilizou-se os valores da 37

46 Rigidez à Flexão (Bending Stiffness), aplicado à uma chapa, para se relacionar tal chapa com o modelo de chapa e reforçador criado anteriormente. Um ponto extremamente relevante nesse estágio de projeto é o cálculo do momento de inércia considerado pelo FEMAP. Nos modelos anteriores, percebeu-se que, para seções transversais semelhantes, essa diferença de cálculo do momento de inércia não apresentou problemas na comparação dos Modelos I e II. Entretanto, como se estava interessado na comparação de modelos onde o parâmetro de ligação entre eles é a Rigidez à Flexão, que é função do momento de inércia, o cálculo segundo o FEMAP se faz necessário. Sendo assim, com a modificação na altura da linha neutra, o momento de inércia também sofre alterações dos valores calculados anteriormente para o Modelo I e II. Usou-se então a Eq.17 para o cálculo da linha neutra do modelo de chapa com reforçador e, posteriormente, para o cálculo do momento de inércia: Para linha neutra: Para o momento de inércia, teve-se o cálculo: 38

47 Aplicando-se o teorema dos eixos paralelos, encontra-se para o momento de inércia da chapa: E para o momento de inércia da alma: O momento de inércia total é composto pela soma dos 2 momentos calculados: Calculou-se em seguida o parâmetro Rigidez à Flexão: Tendo esse parâmetro calculado, pôde-se completar o Modelo III, que é apresentado na Figura

48 Figura 35 - Modelo III A comparação feita nesse ponto do projeto, entre os Modelos II e III, teve como parâmetros-base as tensões coplanares em X encontradas no Modelo II e as tensões de flexão de chapa em X oriundas do Modelo III. Seguindo-se à retirada da tensão de flexão de chapa máxima do Modelo III, que ocorria à meio-vão da chapa (em X=2). Pode-se visualizar a distribuição de tensões de flexão de chapa no Modelo III na Figura

49 Figura 36 - Saída do Modelo III Para efeitos comparativos, os valores máximos das tensões a serem verificados foram tabelados. O resultado é mostrado na Tabela 7: Tabela 7 - Comparação das tensões máximas Tensão Coplanar (Mpa) - Modelo II Tensões de Flexão de Chapa (Mpa) - Modelo III Diferença Percentual 6,4166-6,2089 3,23692% O sinal negativo não é um problema nesse estágio do projeto já que o mesmo denota o sentido do momento aplicado. Para o objetivo final, levou-se em conta somente a amplitude das tensões. 41

50 5 CONCLUSÕES Este projeto, além do seu objetivo primário, serviu como demonstração da eficácia do software utilizado e como certificação do algoritmo utilizado dentro das teorias já aceitas nos meios acadêmicos; tal confirmação foi dada a partir da comparação das tensões de saída do Modelo I com àquelas deduzidas pela formulação teórica. Ademais, com a geração do Modelo II e comparação com os resultados oriundos do Modelo I, foram confirmados conceitos básicos de engenharia, como os relacionados à pressão e como ela atua sobre um sólido; seguido dos que fazem alusão aos diferentes tipos de tensões. Finalmente, com relação ao objetivo-mor desse projeto: a simplificação da modelação de painéis. Observou-se que as hipóteses utilizadas para a criação de um modelo simplificado de um painel reforçado são válidas quando se está interessado nas amplitudes das tensões atuantes sobre o chapeamento. Logo, em casos onde a modelação é demasiadamente onerosa e não se está interessado nas tensões locais (nos elementos secundários da embarcação), o método desenvolvido no decorrer do projeto se provou efetivo na definição quantitativa das tensões atuantes. Sendo assim, o projeto foi considerado bem sucedido dentro da sua proposta. 42

51 6 BIBLIOGRAFIA [1] - BEER, F. D. ; JOHNSTON, E. R. Jr. Resistência dos Materiais. 3ª Edição. São Paulo: Pearson Makron Books,

52 7 Anexo A - Tensões de Von Mises Figura 37 - Tensões de Von Mises no Modelo de malha 25 mm 44

53 Figura 38 - Tensões de Von Mises no Modelo de malha 12,5 mm Figura 39 - Tensões de Von Mises no Modelo de malha 6,25 mm 45

54 Figura Tensões de Von Mises no Modelo de malha 3,125 mm 46