3 o Trabalho de Laboratório - Circuitos não-lineares

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1 3 o Trabalho de Laboratório - Circuitos não-lineares Grupo 18, Turno 4 a feira André Patrício (67898) Bavieche Samgi (67901) Miguel Aleluia (67935) MEFT, TCFE 16 de Março de 2011 esumo Neste trabalho experimental, analisamos vários circuitos não lineares, utilizando para tal técnicas de análise por troços lineares e análise incremental. Em particular, estuda-se o comportamento de um circuito rectificador de meia onda em polarização directa( forward bias ) e inversa( reverse bias ) e de um circuito limitador com díodos, assumindo um modelo linear por troços com tensão constante. Analisamos, ainda, um circuito regulador de tensão com resistência não-linear construído com um transistor MOSFET VN2222L, apesar de tal circuito( porém, com menor eficiência de regulação ) poder também ser construído com díodos. Todos os resultados experimentais obtidos foram os esperados. 1

2 1 Introdução e Teoria elevante I. a) - Circuito ectificador de Meia Onda-Polarização Directa Começamos a análise teórica pelo estudo do seguinte circuito, denominado Circuito ectificador de Meia Onda por razões que apareceram mais à frente: Figura 1: Circuito rectificador de meia onda a analisar Analisaremos o circuito pelo método dos estados assumidos, supondo que o díodo pode ser representado pelo seguinte modelo linear por troços, com tensão constante v γ : Figura 2: Modelo linear por troços, com tensão constante v γ, do díodo. O comportamento deste modelo linearizado pode representar-se ainda em termos do modelo de díodo ideal: Assim, o comportamento do modelo linearizado com tensão constante par ao díodo pode resumir-se como segue: Díodo ON: v D = v γ para correntes i D positivas Díodo OFF: i D = 0 para v D < v γ Assim, o circuito a analisar é o seguinte: Estudemos, agora, cada um dos segmentos lineares do comportamento do díodo. 2

3 Segmento linear de curto-circuito O circuito que resulta neste segmento da descrição linear do díodo é o seguinte: É claro que este segmento se aplica quando i D 0, logo, v 1 v γ. Cálculos triviais mostram, então, que i D = (v 1 v γ ) (1) v 0 = v 1 v γ (2) Segmento de circuito aberto O circuito que resulta neste segmento da característica do díodo mostra-se na seguinte figura: Claramente, este segmento aplica-se quando v 1 < v γ. Nessa situação, vemos de imediato que i D = 0 (3) v 0 = 0 (4) Pretendemos combinar agora os dois resultados para v 1 v γ e para v 1 < v γ. Combinando os resultados anteriores, temos, finalmente, a resposta total v 0 do circuito: Figura 3: Formas de onda de input e output do rectificador com polarização directa. A caracteristica de transferência do circuito, v 0 (v D ), é, portanto, a seguinte: 3

4 Figura 4: A característica de transferência do circuito rectificador com polarização directa. Concretização Numérica O circuito a usar no laboratório terá os seguinte valores para os parâmetros do circuito atrás apresentado: A = 2.5 V (5) f = 1 KHz (6) ω = 2πf (rad.s 1 ) (7) v γ = 0.7 V (8) A tensão máxima v 1 é e o valor da tensão máxima rectificada é v 1max = A = 2.5 V (9) v 0max = A = 1.9 V (10) A corrente no díodo é e o seu valor máximo é Já a tensão no díodo é i D = { 0 para v 1 < v γ v 1 v γ para v 1 v γ (11) i Dmax = v 1 max v γ = 1.9 ma (12) v D = v 1 v 0 (13) sendo a tensão máxima inversa, valor minimo de v D na situação do díodo estar inversamente polarizado,( v D < 0 ), igual a v Dmin = v 1min v 0 = v 1min = 2.5 V (14) pois na situação de polarização inversa i D = 0 A e v D = 0 V. O ângulo de condução, intervalo angular em que o díodo rectifica tensão, é( como se pode deduzir facilmente da forma de onde de outut v 0 ) β = π 2α 2.66 rad = o (15), onde α = arcsin( v γ ) rad (16) A 4

5 Note-se que o sinal de input não possui valor médio, componente DC, enquanto que o sinal de output tem um valor DC igual a < v 0 > = 1 α+β [Asinφ v γ ]dφ = (17) 2π α = Acosα v γ π 2 + v γα (18) π V (19) pois o circuito aproveita apenas os ciclos positivos do sinal de input. I. b) - Circuito ectificador de Meia Onda-Polarização Inversa Suponhamos que trocamos agora os terminais do díodo. O circuito a analisar é, agora, o seguinte: Figura 5: Circuito rectificador de meia onda com polarização reversa. Evidentemente, que se espera que v 0 (t) seja agora constituído pelas alternâncias negativas de v 1 (t). Analisemos cada um dos segmentos do comportamento do díodo ideal: Segmento de curto circuito O circuito que resulta neste segmento da característica do díodo é o seguinte: Este segmento é válido quando i D 0, logo, quando v 1 v γ > 0 v 1 v γ. Neste caso, i D = v 1 + v γ (20) v 0 = i D = (v 1 + v γ ) (21) Segmento de circuito aberto O subcircuito que resulta neste segmento do comportamento do díodo mostra-se na figura que se segue: Nesta situação, válida para v 1 > v γ, temos que i D = 0 (22) v 0 = 0 (23) 5

6 Figura 6: Formas de onda de input e output do rectificador com polarização inversa. Traçamos, seguidamente, os gráficos de input( v 1 ) e output( v 0 ) da tensão: Pode, agora, traçar-se a característica de transferência do circuito, v 0 (v D ): Figura 7: A característica de transferência do circuito rectificador com polarização reversa. Concretização Numérica Os parâmetros do circuito são idênticos aos anteriores com o díodo em polarização directa. A tensão máxima( em módulo ) rectificada é v 0max = v 1max v γ = A v γ = 1.9 V (24) A corrente no díodo é { 0 para v1 > v γ i D = ) (25) para v 1 v γ ( v1 +v γ O ângulo de condução é igual ao anterior: β = 2.66 rad (26) 6

7 Já o valor médio DC do sinal rectificado é:, < v 0 > = 1 2π 2π α π+α igual ao da etapa anterior,mas com polaridade oposta. II - Circuito Limitador [Asinφ + v γ ]dφ = (27) = Acosα + v γ π 2 v γα (28) π V (29) Figura 8: Circuito limitador a analisar. Considere-se o circuito limitador anterior, útil para obter ondas aproximadamente quadradas a partir de ondas sinusoidais e para limitar a amplitude de uma onda de output quando a onde de input tem uma amplitude variável num largo intervalo. Vamos analisar o circuito assumindo que os díodos podem ser descritos por um modelo linear por troços como segue: O comportamento do díodo pode, assim, resumir-se como segue: Díodo ON: v D = v γ para correntes i D positiva Díodo OFF: i D = 0 para v D < v γ Assim, a análise do circuito vai realizar-se pelo método dos estados assumidos para os díodos. De notar que, com este modelo linearizado, o circuito a analisar é, de facto, o seguinte: 7

8 Estado D 1 ON D 2 ON (ON, ON) Neste caso, o subcircuito a analisar é o seguinte: Porém, vemos de imediato que este estado não é possível Estado D 1 ON D 2 ON (ON, OFF) O subcircuito correspondente a este estado mostra-se na figura seguinte: Este estado é válido quando v 1 v γ1 e, segue que i D1 = (v 1 v γ1 ) (30) v = v 1 v γ1 (31) v D = v γ1 (32) Estado OFF/ON O subcircuito a que corresponde este estado é: Este estado é válido para v 1 v γ2 e cálculos triviais mostram que i = v 1 + v γ2 (33) v = v 1 + v γ2 (34) v 0 = v γ2 (35) i D2 = (v 1 + v γ2 (36) 8

9 Estado OFF/OFF Pretende-se, agora, analisar o subcircuito seguinte: Neste estado, válido apenas para v γ2 v 1 v γ1, obtemos os valores i = i D1 = i D2 = 0 (37) v = 0 (38) v 0 = v 1 (39) Assim, o sinal de input v 1 (t) e a resposta total do sistema v 0 (t), são representadaos nos gráficos que se seguem: Figura 9: Sinais de input e output para o circuito limitador. 9

10 Concretizações Numéricas Os parâmetros do circuito usado no laboratório resumem-se de seguida: A tensão máxima e mínima de v 0 (t) são O intervalo angular onde v 0 = v γ1 é B 1 tal que A = 5 V (40) f = 1 KHz (41) w = 2πf (42) v γ1 = 0.6 V (43) v γ2 = 1.8 V (44) v 0max = v γ1 = 0.6 V (45) B 1 = π 2α 1 = π 2arcsin O intervalo angular onde v 0 = v γ2 é B 2 tal que Já o valor médio do sinal de output v 0 é < v 0 > = 1 2π [ α1 0 B 2 = π 2α 2 = π 2arcsin Asinφdφ + v 0min = v γ2 = 1.8 V (46) α1 +β 1 α 1 v γ1 dφ + ( vγ1 (47) ) = 2.9 rad o (48) A ) = 2.4 rad o (49) A ( vγ2 α1 +β 1 +α 1 +α 2 α 1 +β 1 Asinφdφ + ] v γ2 dφ 2π α 2 β 2 2π α2 = 1 2π [ Acosα 1 + v γ1 β 1 v γ2 β 2 + Acosα 2 + Acosα 1 + β 1 Acos2α 1 + β 1 + α 2 ] = V III. egulador de tensão com carga não-linear Estudamos, agora, um circuito constituído por uma fonte de tensão v I, um load resistor e um MOSFET de canal n em série, que pode ser visto na Figura 10. Figura 10: egulador de tensão com resistência não-linear. Sendo o MOSFET caracterizado pela relação não linear: 0 [ ] se v GS < V t i DS = K (V GS V t )v DS v2 DS 2 se v GS V t e v DS < v GS V t K 2 (v GS V t ) 2 sev GS V t e v DS v GS V t e impondo V GS = V DS, evitamos a região de tríodo do MOSFET e podemos aplicar o modelo SCS( switch current source ) do MOSFET: Prosseguimos a análise pelo método de pequenos sinais: 10 (50)

11 1 - Começamos por encontrar o ponto de operação DC do MOSFET, analisando para isso o circuito com as fontes de pequenos sinais a zero( v i = 0 ). Pela análise básica do método dos nós, obtemos: { II + I = 0 I I DS = 0 Analisemos cada um dos dois estados possíveis do MOSFET: Circuito aberto: Neste caso, o circuito a analisar é o seguinte: { II + V I V DS = 0 V I V DS I DS = 0 (51) e vemos de imediato que I DS = 0 (52) V DS = V 0 = V I (53) Este segmento do MOSFET é válido para V GS = V DS < V t, logo para V I < V t. Fonte de Corrente controlada por tensão( VCCS ): Nesta situação, o circuito a analisar é o que segue e vemos que V DS = V I K 2 (V DS V t ) 2 V DS = V t 1 1 K ± 2 + 2K (V I V t) K I DS = K 2 (V DS V t ) 2 (54) Escolhemos apenas a solução positiva da raiz porque este segmento do comportamento do MOSFET é válido para v DS V t, logo V I V t. 11

12 Figura 11: Variação de v DS com v I. Juntando os resultados para ambos os segmentos de operação do MOSFET, traçámos a variação de v DS com v I, variando este entre 0 e 10 V, e o gráfico obtido encontra-se na Figura Assumimos agora a tensão V I tal que o MOSFET se encontra no segmento de fonte de corrente e substituímos o circuito de largos sinais pelo seu equivalente de pequenos sinais. Para isso, linearizamos o comportamento de cada elemento não linear em resposta a pequenos sinais. Ora, por expansão em série de Taylor, vamos de imediato que os modelos lineares são os seguintes: Figura 12: Modelos linearizados de pequenos sinais de cada elemento no circuito. Assim, o modelo de pequenos sinais do circuito é o presente na figura 13. ou, tendo em conta que V GS = V DS Figura 13: Modelo de pequenos sinais do circuito. é o ponto de operação DC do MOSFET, assumido constante, podemos reescrever o circuito de pequenos sinais como Figura 14: Modelo de pequenos sinais do circuito. com d = 1 K(V DS V t ) (55) 12

13 Logo, verificamos que, para V I V t, v ds = v o = v i d d + = i ds = v o d = v i d + v i K(V DS V t ) + 1 (56) (57) Concretizações Numéricas Concretizamos, agora, os resultados anteriores numericamente. Os parâmetros característicos do circuito a utilizar são os seguintes: = 1 kω (58) V t = 1 V (59) K = 22 ma.v 2 (60) v I = V I + v i (V ) (61) A = 200 mv (62) v i = Asin(ωt) (V ) (63) ω = 2π 10 3 rad.s 1 (64) A partir dos resultados anteriores e variando V I entre 6 e 10 V, com incrementos de 1V, calculámos os sucessivos pontos de funcionamento em repouso do MOSFET, obtendo os valores de I D e V DS na tabela 1. V I (V) V DS (V) I DS (ma) Tabela 1: Sucessivos pontos de funcionamento do circuito para vários valores de tensão V I. Sendo o circuito um regulador de tensão, o seu propósito será diminuir a componente alterna da tensão aos terminais do transistor relativamente àquela aos terminais da fonte. Para verificar, vamos comparar o valor relativo máximo da componente alterna na fonte max(v i) V I e no transistor max(v ds) V DS, e por fim comparar as componentes absolutas da corrente alterna a entrada e à saída v ds Para V I = 6 V, estes quocientes valem: max(v i ) V i = max(v ds ) V DS = v ds v i = v i. (65) Para V I = 10 V, os valores obtidos são: max(v i ) V i = 0.02 max(v ds ) V DS = v ds v i = (66) Podemos então verificar que a atenuação da corrente alterna se verifica tanto em termos relativos como em termos absolutos, e que esta foi ligeiramente maior para uma componente contínua relativamente maior do que a alterna. Podemos, então, concluir que este circuito funciona como um regulador de tensão. 3) Procedimento e esultados Experimentais Ia). Circuito rectificador de meia onda-polarização Directa Montámos, numa breadboard, o circuito rectificador de meia onda atrás descrito, visualizando o sinal v i no canal 1 do osciloscópio e o sinal v o no canal 2. Gerámos o sinal v i num gerador de sinais com A = 2.5 V e ω = 2π 10 3 rad.s 1. 13

14 Figura 15: Sinais v i e v o visualizados para o circuito rectificador com o díodo polarizado directamente. O registo visualizado no osciloscópio apresenta-se na figura 15. A partir deste resultado gráfico e dos valores medidos no multímetro, obtivémos os resultados experimentais na tabela 2. Quantidade Valor Erro Desv. Precisão( % ) Desv. ao Esperado( % ) ( Ω ) % 0.6% v1 max ( V ) % 0.0% v0 max ( V ) % 0.0% id max ( A ) % 0.0% < v0 > DC ( V ) % 2.2% âng. Cond. (rad ) % 7.3% Tabela 2: esultados experimentais para o rectificador de meia onda polarizado directamente. Como se pode ver pela tabela 2 verificamos que a maioria dos valores experimentais são coerentes com os valores teoricos dentro do erro experimental, com excepção do ângulo de Cond. (PATICIO EXPLICA). Ib). Circuito rectificador de meia onda-polarização eversa Trocámos, depois, as ligações aos terminais do díodo como indicado na figura 5. Obtivémos os sinais visiveis no osciloscópio presentes na figura 16 Figura 16: Sinais v i e v o visualizados para o circuito rectificador com o díodo em polarização reversa. e, a partir deldes, os resultados experimentais na tabela 3. Comparando os valores da Tabela 3 verificamos também que a maioria dos valores experimentais são coerentes com os valores teoricos dentro do erro experimental. O único parâmetro que não se encontra coberto pelo erro é o valor de v0 maximo, cujo desvio minimo se poderá dever a resistências internas nos aparelhos que não foram consideradas no modelo teorico. 14

15 Quantidade Valor Erro Desv. Precisão( % ) Desv. ao Esperado( % ) v1 max ( V ) % 0.0% v0 max ( V ) % 5.3% id max ( A ) % 3.2% < v0 > DC ( V ) % 1.7% âng. Cond. (rad ) % 0.1% Tabela 3: esultados experimentais para o rectificador de meia onda polarizado inversamente. II. Circuito limitador Montámos, na breadboard, o circuito limitador atrás descrito, visualizando o sinal v i = Asin(ωt) (V ) no canal 1 do osciloscópio e o sinal v o no canal 2. Gerámos o sinal v i num gerador de sinais com A = 5 V e ω = 2π 10 3 rad.s 1. O registo visualizado no osciloscópio apresenta-se na figura 17. Figura 17: Sinais v i e v o visualizados para o circuito limitador. A partir deste registo e dos valores medidos no multímetro, obtivémos os resultados experimentais na tabela 4. Quantidade Valor Erro Desv. Precisão( % ) Desv. ao Esperado( % ) v1 max ( V ) % 0.0% v0 max ( V ) % 16.7% v0 min ( V ) % 0.0% α 1 (rad ) % 7.9% α 2 (rad ) % 0.7% β1 (rad ) % 0.7% β2(rad ) % 0.2% < v0 > DC ( V ) % 1.1% Tabela 4: esultados experimentais para o rectificador de meia onda polarizado directamente. Comparando os valores da Tabela 4 verificamos também que a maioria dos valores experimentais são aproximadamente coerentes com os valores teoricos dentro do erro experimental. Assim os desvios que existem podem ser justificados pelo mesmo argumento utilizado anteriormente de que não considerámos as resistências internas das fontes e dos aparelhos de medição. Outra possibilidade para esta disparidade também poderá ser o facto de termos utilizado um modelo linear por troços para o comportamento do diodo, o que tem sempre um erro associado. Quando se varia a frequência de 1 Hz a 1 khz a frequência torna-se maior pelo que o declive aumenta e a onda tenderá para uma onda quadrada. III. egulador de tensão com carga não-linear Montámos o circuito da figura 10 na breadboard, usando para isso o gerador de funções LFG-1310( para gerar v i ) e a fonte de tensão GPC-2030( para gerar V I ),com = 1kΩ. Utliizámos o transistor MOSFET VN2222L com todos os restantes parâmetros característicos do circuito como atrás indicados e V I = 10 V. 15

16 Começámos por ligar apenas a fonte de tensão V I = 10 V, registando os pontos de operação DC, V DS, V I e V, nos vários elementos do circuito com o multímetro. Ligámos o gerador de sinais com os parâmetros indicados e medimos as tensões incrementais v ds e v i por observação no osciloscópio. Os resultados anteriores resumem-se na tabela 5. Quantidade Valor Erro Desv. Precisão( % ) Desv. ao Esperado( % ) V DS ( V ) % 2.1% V I ( V ) % 0.0% V ( V ) % 1.2% v ds ( V ) % 0.4% v i ( V ) % 0.0% Tabela 5: esultados experimentais para o regulador de tensão com MOSFET. Nesta última fase, também obtivemos resultados experimentais coerentes com os resultados teóricos contudo verificámos que a medição de V apresenta um desvio à exactidão de 1.3% e um desvio à precisão de 0.2 %, esta pequena descrepância pode ser justificado por perdas nos fios de ligação, problemas nos cabos BNC ou devido às resistências internas dos dispositivos que forma considerados ideais nos cálculos teóricos. Quantidade Valor Erro Desv. Precisão( % ) Desv. ao Esperado( % ) v ds /v i % 0.4% v i /V I % 0.0% v ds /V DS % 3% Tabela 6: esultados experimentais para os quocientes. Como podemos verficar na tabela 6 os quocientes pedidos apresentam um desvio à precisão superior ao desvio à exactidão pelo que os erros de medição cobrem os desvios em relação ao valor teórico. Sendo este circuito um regulador de tensão, o seu objectivo será reduzir a componente alterna da tensão de entrada v I, pelo que como o esperado o quociente de ganho de tensão alterna à saida ( v ds v i ) obtido foi bastante pequeno e inferior à unidade. Para além da diminuição em termos absolutos da componente alterna da saída em relação à entrada também verificámos uma diminuição relativa pois v ds V DS < v i V I. Verificámos então que o circuito funciona efectivamente como um regulador de tensão. 16

17 4) Conclusão Com esta experiência pudemos verificar se os modelos teóricos do comportamento do diodo e do transistor MOSFET se adequavam ou não aos resultados experimentais. Na análise de resultados verificamos que os valores experimentais obtidos nas montagens que utilizavam diodos se encontravam por vezes desviadas do valor teórico. Este desvio pode ser então explicado ou por uma subestimativa do erro devido a maus contactos entre os fios ou a componentes com deficiencias ( como por exemplo o cabo BNC). Este erro poderá também advir do facto de os aparelhos possuirem resistências internas não consideradas, quer nas fontes de tensão, aparelhos de medição, ou mesmo no próprio diodo (cujo modelo poderia ter contabilizado um diodo em série com a sua resistência interna). Por fim a aproximação do diodo por um modelo linear por troços também não é a mais exacta, pois na realidade a caracteristica do diodo segue uma exponencial variável com a temperatura. Na última parte da experiência, respeitante ao regulador de tensão, verificámos que practicamente todos os valores se encontravam coerentes com os valores teóricos esperados dentro dos erros experimentais. Os desvios poderão ser explicados, como referido acima, ou pelas resistências internas dos aparelhos ou por imprecisões no modelo, sendo que as resistências não contabilizadas serão mais prováveis. eferências [1] Anant Agarwal and Jeffrey H. Lang., Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits( Elsevier, July 2005 ). [2] Manuel Medeiros da Silva, Introdução aos Circuitos Eléctricos e Electrónicos 2 a ed.( Fundação Calouste Gulbenkian, 2001 ). 17