Modelo de identificação de dano estrutural baseado na variação das características modais de uma estrutura

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1 Modelo de identificação de dano estrutural baseado na variação das características modais de uma estrutura Flávio de Souza Barbosa NUMEC - Núcleo de Pesquisa em Métodos Computacionais em Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Juiz de Fora - MG - Brasil Carlos Cristiano Hasenclever Borges cchb@lncc.br Laboratório Nacional de Computação Científica Petrópolis - RJ - Brasil Alexandre Abrahão Cury acury@numec.ufjf.br NUMEC - Núcleo de Pesquisa em Métodos Computacionais em Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Juiz de Fora - MG - Brasil Resumo. Sistemas estruturais estão sujeitos a um processo de deterioração que se dá por combinação de falhas de projeto, cargas não esperadas, problemas construtivos ou degradação gradual e natural ao longo da vida útil da estrutura. Este processo de deterioração gera regiões danificadas cujas principais características são perdas localizadas na rigidez da estrutura. A avaliação destas perdas localizadas de rigidez pode ser realizada através da análise da evolução das freqüências naturais e modos de vibração da estrutura, conforme se observa em diversas publicações que abordam este tema. Inicialmente, este trabalho analisa a sensibilidade das características vibracionais de uma estrutura em relação à variação geométrica e quantitativa de danos, através de simulações computacionais via Método dos Elementos Finitos (MEF). Avalia-se o efeito da localização e magnitude de danos na variação das freqüências naturais de uma estrutura, obtendo-se um perfil da sensibilidade de dados vibracionais. Em uma segunda etapa, verificam-se a eficiência e a robustez de uma técnica de detecção de danos em estruturas baseada na energia de deformação à flexão dos modos próprios de vibração através de experimentos numéricos. Palavras-chave: Identificação de Danos, Análise Dinâmica, Simulação Numérica

2 . INTRODUÇÃO Sistemas estruturais estão sujeitos a um processo de deterioração que se dá por combinação de falhas de projeto, problemas construtivos ou degradação gradual e natural ao longo da vida útil da estrutura. Este processo de deterioração gera regiões danificadas cujas principais características são as perdas localizadas na rigidez da estrutura. Obviamente, estruturas deterioradas têm um impacto econômico e social significativo, pois podem representar a interdição de uma ponte ou a interrupção do funcionamento de uma plataforma de exploração de petróleo, dentre outros problemas. Por estes motivos, a detecção de danos em sistemas estruturais tornou-se um desafio, através do qual se procura estabelecer técnicas experimentais e analíticas mais adequadas e precisas para uma melhor avaliação do estado de conservação estrutural. Por não afetarem estruturalmente as construções, os processos não-destrutivos estão sendo desenvolvidos e ganhando cada vez mais confiabilidade com os resultados alcançados, destacando-se aqui os métodos de detecção de danos através de análise dinâmica estrutural (Doebling et al, 996). A avaliação de dano em estruturas por meio de dados vibracionais medidos tem recebido considerável atenção devido as suas aplicações práticas (Doebling et al, 996) e (Barbosa et al, 2). O problema envolve a detecção e localização de danos, a determinação do nível de dano em um local determinado previamente ou, de uma forma mais completa, a localização e avaliação do nível de dano presente em uma determinada estrutura. Inicialmente, este trabalho analisa a sensibilidade das características vibracionais de uma estrutura em relação à variação geométrica e quantitativa de danos, através de simulações computacionais via Método dos Elementos Finitos (MEF). Avalia-se o efeito da localização e magnitude de danos na variação das freqüências naturais de uma estrutura, obtendo-se um perfil da sensibilidade de dados vibracionais. Em uma segunda etapa, verificam-se a eficiência e a robustez de uma técnica de detecção de danos em estruturas baseada na energia de deformação à flexão dos modos próprios de vibração através de experimentos numéricos. 2. METODOLOGIA 2. Modelagem computacional Analisa-se neste trabalho uma viga bi-apoiada que tem seu comportamento dinâmico avaliado numericamente utilizando o MEF aplicado a uma discretização por elementos de pórtico plano. O(s) dano(s) foi(ram) introduzido(s) na modelagem através de redução do módulo de elasticidade do material constituinte do(s) elemento(s) considerado(s) danificado(s). O estudo do efeito do dano é realizado de duas formas, caracterizando as duas etapas do trabalho: pela análise direta da evolução das freqüências naturais da estrutura discretizada e pela aplicação do Método do Indicador de Dano (MID) (Cornwell et al, 999) aos modos próprios de vibração da estrutura. Estas duas análises são abordadas nas seções que seguem. 2.2 Influência dos danos na evolução das freqüências naturais de uma estrutura As propriedades dinâmicas inerentes aos sistemas estruturais sem amortecimento, a saber, as freqüências naturais e modos de vibração, ficam definidas pelo problema de autovalor (Zienkiewicz et al, 2) e (Clough et al, 993) descrito pela equação a seguir. (K w 2 im)φ i =, (i =, 2,...,n) ()

3 onde K é a matriz de rigidez da estrutura; M é a matriz de massa da estrutura; w i são as freqüências naturais em (rad/s) associadas aos modos de vibração φ i e n é o número de modos considerados na análise da estrutura. Assumindo-se que a introdução de danos na modelagem (ver seção 2.) afeta diretamente a matriz de rigidez da estrutura sem alterar a matriz de massa do sistema, a variação nos dados vibracionais pode, então, servir como indicativo na avaliação da variação da rigidez estrutural causada por um processo de danificação. Por meio de um procedimento sistemático, avalia-se a variação nas freqüências naturais de uma estrutura danificada em relação à posição e ao nível da ocorrência do dano numa estrutura. Inicialmente, avalia-se a influência da posição do dano mantendo-se o nível constante e, posteriormente, faz-se a análise da influência no grau de danificação, mantendo-se constante a posição onde ocorre o dano. Com isso, tem-se um perfil da sensibilidade de dados vibracionais em relação tanto à localização, quanto ao nível de dano de uma estrutura, o que permitirá uma melhor análise de técnicas de avaliação de dano baseadas em dados vibracionais. 2.3 Método do Indicador de Dano - MID - para vigas Este método já foi utilizado no campo da Engenharia (Cornwell et al, 999), (Alvandi et al, 22) e da biomecânica (Vilela et al, 23) e é aplicado aos resultados obtidos de uma identificação modal, quer seja de uma modelagem via MEF, quer seja de valores extraídos de medições. É baseado na análise da variação da energia de deformação à flexão dos modos próprios da estrutura antes e após alguma variação de rigidez de algum elemento estrutural. Normalmente, estas variações de rigidez advêm do o sugimento de danos e/ou fissuras. Para uma viga de comportamento elástico tem-se: U = 2 L ( ) 2 2 v EI(x) dx (2) onde U é a energia de deformação, EI(x) a rigidez a flexão, L o comprimento e v o deslocamento transversal da viga. Considerando-se o i-ésimo modo próprio de vibração da estrutura, a energia de deformação associada se escreve: U i = 2 L EI(x) ( ) 2 2 φ i dx (3) A energia de deformação para um elemento j de uma viga discretizada se escreve tornandose a integral descrita na Eq.(3) no domínio do elemento: U ij = 2 aj+ EI(x) ( ) 2 2 φ i dx (4) onde e + são os limites do elemento j. Definindo-se a fração entre a energia de deformação da viga e a energia de deformação do elemento j, escreve-se: sendo F ij = U ij U i n e i= F ij = (5) (6)

4 onde n é o número de modos utilizados. As expressões podem ser escritas de forma análoga para o caso de uma viga danificada: F ij = U ij U i (7) U i = 2 L ( ) EI 2 φ 2 i (x) dx (8) U ij = 2 aj+ ( ) EI 2 φ 2 i (x) dx (9) onde o sobrescrito ( ) denota o caso danificado. Para casos de pequenos danos a aproximação de primeira ordem fornece: F ij = F ij +termos de ordem superior () Obtém-se então, dividindo-se Fij por F ij e desprezando os termos de ordem superior: aj+ EIj (x) 2 φ i dx/ ( L EI (x) 2 φ i )dx = U ij/u i U ij /U i = aj+ EI j (x) ( ) 2 φ i dx/ ( L EI(x) 2 φ i )dx Utilizando-se o teorema do valor médio generalizado para uma função f contínua e uma função g não negativa e integrável, tem-se: ˆx [a,b] / b = U ij/u i U ij /U i = a f(x)g(x)dx = f(ˆx) b Aplicando este teorema na Eq. () tem-se: ÊIj aj+ 2 φ i dx/êi L ÊI j = EI ˆ aj+ 2 φ i j a () g(x)dx (2) dx/êi L ( 2 φ i )dx x ( 2 ) 2 φ i dx Considerando-se um dano pequeno e localizado, pode-se simplificar a Eq. (3) por: aj+ EI ˆ 2 φ i j dx/ L 2 φ i dx EI β j = ˆ j ÊIj aj+ 2 φ i = n i= dx/ L ( 2 φ i )dx Considerando-se o valor médio para o número de modos naturais utilizados obtém-se: aj+ n 2 φ i dx/ L 2 φ i dx aj+ 2 φ i dx/ L ( 2 φ i ) dx onde β j é o indicador de dano do elemento j. Para se dar um tratamento estatístico aos valores obtidos para β, pode-se definir a variável Z j como sendo: (3) (4) (5) Z j = β j β σ β (6) onde β e σ β são, respectivamente, o valor-médio e o desvio-padrão de β.

5 3. APLICAÇÃO A aplicação da metodologia apresentada demanda a implementação computacional de 2 (dois) programas: din24.m - programa desenvolvido para análise modal de pórtico plano; dano.m - implementação computacional das Eq. (5) e Eq. (6) (equações do MID). Ambos os programas foram desenvolvidos em ambiente MATLAB. O programa din24.m fornecerá os dados necessários para a primeira parte do trabalho, em que se estuda a sensibilidade das características modais frente ao efeito do dano, bem como servirá de suporte na determinação das formas modais utilizadas como dados de entrada do programa dano.m. Conforme já ressaltado na metodologia, analisa-se neste trabalho uma viga bi-apoiada discretizada em elementos de pórtico plano mostrada na Fig m PONTOS NODAIS 2 m ELEMENTO Figura : Viga bi-apoiada discretizada em elementos de pórtico plano A Figura 2 mostra as características geométricas da seção transversal bem como as características físicas do material que constitui a viga. d t f t f b f t w Perfil I 5" x 63,3 Módulo de Elasticidade = 2 GPa Massa Específica = 785 kg/m³ Área da Seção Transversal = 8,6 cm² 4 Momento de Inércia = 858 cm d = 38, cm b = 4, cm f t =,58 cm t =,4 cm f w Figura 2: Características geométricas da seção transversal da viga As freqüências naturais obtidas para a viga analisada através da Eq. () variam a medida em que se modifica o elemento danificado na modelagem computacional. Para um dano provocado de 2,5% (redução de 2,5% do módulo de elasticidade do material constituinte do elemento danificado), pode-se construir o gráfico mostrado na Fig. 3, no qual no eixo horizontal tem-se o elemento onde foi provocado o dano e no eixo vertical tem-se a razão entre a freqüência natural obtida para a estrutura danificada (Wd i ) e a freqüência natural para a estrutura sã - W i - (sem elementos danificados). Este procedimento foi aplicado às 3 primeiras freqüências naturais da viga, resultando nas 3 séries mostradas na Fig. 3. Em função da simetria do problema, apresentam-se os resultados apenas para a metade da viga. A partir destas análises preliminares é possível avaliar quais as regiões mais sensíveis à presença de danos e quais as freqüências naturais mais afetadas. Neste caso fica claro que o dano no elemento 2 influencia de forma mais efetiva à primeira e à terceira freqüências naturais. Identifica-se também que a segunda freqüência natural é a mais influenciada pela presença de dano nos elementos 6 e 7.

6 Wdi / Wi Freqüência Freqüência 2 Freqüência Elementos Figura 3: Relação entre as freqüências danificadas e naturais da viga Sabendo-se que os elementos e 2 são, respectivamente, aqueles que mais e menos influenciam a primeira freqüência natural da viga, faz-se agora uma análise quantitativa, variando-se o nível de dano para estes elementos. Na Figura 4 tem-se a evolução da primeira freqüência natural da viga a medida em que o dano nos elementos (Fig. 4a) e 2 (Fig. 4b) variam entre zero (estrutura sã) e 5%. A Figura 4c mostra os gráficos da Fig. 4a e Fig. 4b juntos. Estas figuras deixam claro que as freqüências naturais da estrutura variam relativamente pouco quando se aumenta o nível de danos provocados, o que pode dificultar uma relação direta com as freqüências naturais, sobretudo para o caso de dados vibracionais extraídos de análises experimentais, no qual pequenas variações de freqüências podem ser atribuídas a problemas inerentes às medições. Curvas análogas às da Fig. 4 podem ser obtidas para as demais freqüências naturais. Uma vez obtido o perfil de sensibilidade das características modais da estrutura analisada frente ao efeito do dano, passa-se, agora, para uma análise via MID. O MID foi aplicado à viga mostrada na Fig., inicialmente, em 3 situações distintas: Estrutura com dano de 2,5% no elemento ; Estrutura com dano de 2,5% no elemento 2; Estrutura com dano de 2,5% nos elementos e 2. Utilizando-se apenas os resultados obtidos para o primeiro modo de vibração (obtido com maior exatidão), apresenta-se o gráfico da Fig. 5, no qual se observa que o MID detectou todos os elementos onde foram provocados os danos, mesmo o elemento, verificado como sendo aquele que menos influencia na variação da primeira freqüência natural quando o mesmo está submetido a dano. Aplicando-se o MID ao modelo da Fig. e variando-se o nível de dano entre e 5% no elemento (Fig. 6a), no qual se tem a menor sensibilidade para a primeira freqüência natural, obteve-se valores de β crescentes com o nível de dano no elemento. A mesma análise foi feita com o elemento 2 (mais sensível para a primeira freqüência natural), obtendo-se o gráfico da Fig. 6b, em que também se obteve uma relação linear entre o dano provocado e a amplitude de β.

7 Freqüência (rad/s) Freqüência (rad/s) Progressão do Dano (%) Progressão do Dano (%) (a) Dano no elemento (b) Dano no elemento Freqüência (rad/s) Elemento 2 Elemento Progressão do Dano (%) (c) Dano nos elementos e 2 Figura 4: Variação da a freqüência natural devido à progressão de danos nos elementos e Dano em Dano em 2 Dano em e 2 3 Z Elementos Figura 5: Representação do dano de 2,5% nos elementos e 2

8 Estas análises mostram que os valores de β obtidos no MID podem se relacionar diretamente não só com a posição do dano, como também com seu grau de intensidade. Finalizando as análises via MID, faz-se mais três testes buscando verificar a robustez do método: Viga com dano de,5% nos elementos 2, 7,, 5, 9 e 23 (Fig. 7a). O resultado obtido para Z (Eq.6) nesta análise é mostrado na Fig. 7b; Viga com dano de,5% nos elementos 9 e 23 e com dano de,% nos elementos 2 e 6 (Fig. 8a). O resultado obtido para Z (Eq.6) nesta análise é mostrado na Fig. 8b; Viga com dano de,5% nos elementos 2, 3, 4,, 2, 3, 2, 22 e 23 (Fig. 9a). O resultado obtido para Z (Eq.6) nesta análise é mostrado na Fig. 9b; De uma forma geral, observa-se nestes testes que o MID não só localizou os elementos danificados, como também obteve valores de Z (Eq.6) proporcionais ao nível de dano provocado β β Progressão do Dano (%) (a) Progressão do dano no elemento Progressão do Dano (%) (b) Progressão do dano no elemento 2 Figura 6: Progressão do dano nos elementos e 2 4. CONCLUSÕES A análise sistemática indicou que a mudança dos valores dos dados vibracionais está relacionada com a localização de ocorrência do dano na estrutura. Conjuntamente, para os níveis de dano analisados, a análise direta da variação dos dados vibracionais pode ser pouco relevante, dificultando a avaliação do dano estrutural. Testes foram feitos em um modelo de detecção de dano que se baseou na análise da variação da energia de deformação de flexão do primeiro modo de vibração da estrutura sem dano e danificada. O método mostrou-se bastante robusto, obtendo a localização e uma idéia da quantificação do dano estrutural em qualquer parte da estrutura, mesmo em regiões que pouco afetam as características modais.

9 .5.5 Z (a) Croquis da viga Elementos (b) Representação do dano Figura 7: Aplicação de dano de,5% nos elementos 2, 7,, 5, 9 e 23 da viga Z (a) Croquis da viga Elementos (b) Representação do dano Figura 8: Aplicação de dano de,5% nos elementos 9 e 23 e,% nos elementos 2 e 6 da viga Z (a) Croquis da viga Elementos (b) Representação do dano Figura 9: Aplicação de dano de,5% nos elementos 2, 3, 4,, 2, 3, 2, 22 e 23 da viga

10 Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), à FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e à UFJF (Universidade Federal de Juiz de Fora) pelo auxílio financeiro e ao LNCC (Laboratório Nacional de Computação Científica) pelo suporte de softwares. REFERÊNCIAS Alvandi, A., Cremona, C., 22, Reliability of bridge integrity assessment by dynamica testing, First European Workshop on Structural Health Monitoring, Ecole Normale Supérieure de Cachan. Barbosa, H.J.C, Borges, C.C.H., 2, A Genetic Algorithm for Damage Identification in Framed Structures Using Vibration Data, IX International Symposium on Dynamic Problems of Mechanics, pp 47-52, Florianópolis, SC.. Clough, R.W., Penzien, J., 993, Dynamic of Structures, McGraw-Hill. Cornwell, P.J., Doebling, S.W., Farrar, C.R., 999, Application of the Strain Energy Damage Detection Method to Plate-Like Structures, Journal of Sound and Vibration, vol.224, n.2, pp Doebling, S.W., Farrar, C.R., Prime, M.B., Shevitz, D.W., 996, Damage identification and health monitoring of structural and mechanical systems from changes in their vibration characteristics: a literature review, Technical Report LA-37-MS, Los Alamos National Laboratory, New Mexico. Vilela J., Ribeiro H. C., Guevara-Jr. N.O., Barbosa F. S., Barra L. P. S., 23, Investigação do processo de ósseo-integração de implantes dentários através de respostas dinâmicas, XXIV CILAMCE Iberian Latin American Congress on Computational Methods, Ouro Preto, MG Brasil. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., 2, The Finite Element Method, Butterworth-Hienemann.