Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural

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1 27 a 31 de Maio de 22 Universidade de Brasília UnB Brasília, DF Brasil Jornadas Sul-Americanas de Engenharia ural IDENTIFICAÇÃO DE DANOS EM PÓRTICOS POR MEIO DAS SUAS PROPRIEDADES DINÂMICAS MEDIANTE A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DO ERRO Rúbia Borges Carneiro Graciela N. Doz José Luis V. de Brito Universidade de Brasília, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, PECC Brasília, DF, Brasil. RESUMO As estruturas, de um modo geral, sofrem durante sua vida útil processos de deterioração podendo provocar danos que, dependendo da intensidade, afetam a sua capacidade de carga e desempenho, comprometendo sua segurança. Dessa forma, faz-se necessário estabelecer um tipo de inspeção que possa avaliar as condições da estrutura no aspecto de localizar e quantificar a intensidade do dano. Neste trabalho, um método de identificação e quantificação de dano em estruturas denominado Método do Erro na Equação de Movimento apresentado por Genovese será avaliado por meio de uma análise numérica no sentido de estabelecer sua eficiência quando aplicado a pórticos hiperestáticos. Este método é baseado nas alterações produzidas pelo dano nas características dinâmicas da estrutura. Os pórticos são discretizados em elementos finitos e o dano é introduzido por meio de uma redução de inércia e área na seção transversal dos elementos.

2 1. Introdução Muitas estruturas tais como prédios de vários andares, torres, plataformas offshore etc. vão deteriorando-se de forma gradual durante a sua vida útil, apresentando zonas com perda de rigidez devido à fissuração, plastificação localizada, perda de material por desgaste e/ou corrosão. Considerando a segurança dessas estruturas, seja para evitar seu colapso no caso mais grave, como para determinar que trabalhem em condições de serviço adequadas, resulta de grande utilidade o uso de técnicas que permitam quantificar e localizar o dano estrutural. Os procedimentos correntes de avaliação do dano numa estrutura usualmente consistem em inspeções visuais e métodos destrutivos ou não destrutivos que dependem da localização do dano. Geralmente, as técnicas não destrutivas consistem em fornecer uma quantidade de energia relativamente pequena nas proximidades da localização do suposto defeito e examinar a resposta da estrutura. No entanto, esses procedimentos apresentam limitações, entre elas a dificuldade de acesso a certas partes da estrutura. Considerando essas limitações, uma alternativa melhor à avaliação de estruturas é a aplicação de um método baseado na utilização de índices globais. Qualquer perigo de perda de integridade passa a ser detectado mediante a avaliação de parâmetros globais em alguns poucos pontos facilmente acessíveis da estrutura. Neste sentido, os ensaios de vibração e a análise modal permitem medir as propriedades dinâmicas globais para poder avaliar, indiretamente, a integridade estrutural. Estudos indicam que determinadas propriedades dinâmicas de uma estrutura se modificam com sua deterioração. Essas propriedades são as freqüências naturais de vibração, o amortecimento e os modos de vibração, as quais são determinadas em função da geometria, distribuição de massa, rigidez e condições de contorno. Uma vez obtidas as propriedades de uma estrutura danificada quer por análise experimental, quer por análise numérica estabelece-se um conjunto de dados, que ao serem processados juntamente com a situação da estrutura intacta, podem informar sobre a localização e a quantidade de dano. Parte-se da constatação que um dano, local ou global, produzido numa estrutura implica em redução de rigidez e num decremento na energia armazenada. Visto que a resposta dinâmica é governada pelos parâmetros do sistema (rigidez, massa e amortecimento), mudanças nos mesmos irão produzir variações na resposta dinâmica caracterizada pelos parâmetros modais (freqüências naturais, formas modais e valores de amortecimentos modais). Como cada modo de vibração tem uma distribuição de energia diferente, qualquer dano afetará os modos de forma diferente, dependendo da sua localização e severidade. Muitos métodos de identificação de danos em estruturas baseados nas alterações de suas características dinâmicas têm sido desenvolvidos nos últimos anos por vários autores. Um dos primeiros artigos que trata da identificação de danos em estruturas foi escrito por Adams et al. [1], os quais mostraram como os modos de vibração obtidos experimentalmente através da excitação em um único ponto da estrutura, juntamente com um modelo teórico, poderiam indicar a localização e magnitude do dano. A análise teórica envolveu o uso de receptâncias. O método foi aplicado a vários tipos de estruturas unidimensionais, cujos resultados comprovaram a eficiência do método na localização e quantificação dos danos. A presença do dano em uma estrutura produz alterações em suas freqüências naturais de vibração. Considerando esse fato, Chondros e Dimarogonas [2] desenvolveram um método para identificar e estimar a profundidade de fissuras em estruturas soldadas, utilizando um modelo de viga em balanço e biengastada, estabelecendo uma relação entre a posição e a profundidade da fissura com as variações nas freqüências. A fissura foi modelada como uma flexibilidade local. Allemang e Brown [3] e Lieven e Ewins [4] definiram os índices MAC (Modal Assurance Criterion) e COMAC (Coordinate Modal Assurance Criterion) respectivamente, que proporcionaram uma medida da diferença entre dois conjuntos de modos de vibração, podendo serem usados para identificar a existência de danos ou a localização destes. A diferença entre esses índices é que o COMAC é uma medida pontual e o MAC uma medida global da diferença entre os modos de vibração. 1

3 Com relação à avaliação das condições estruturais de pontes a partir das variações nas características dinâmicas, muitos trabalhos foram desenvolvidos. Kato e Shimada [5] realizaram ensaios em uma ponte de concreto protendido, a fim de observar as variações nas características dinâmicas devido à deterioração dos cabos de protensão. Os resultados indicaram que as freqüências de vibração diminuíam com o aumento da deterioração. Com isso, os autores concluíram que é possível verificar qualquer alteração nos cabos de protensão a partir de medidas de vibração. Salane e Baldwin [6], após realizarem ensaios de vibração numa ponte real e num modelo reduzido, verificaram que as freqüências de vibração sofrem pequenas variações devido à deterioração e que as alterações nos modos de vibração são melhores indicadores da localização do dano. Usando as variações nos modos de vibração provocadas pela presença de dano numa estrutura, Pandey et al. [7] propõem a medida da curvatura dos modos de vibração para identificar a localização do dano. Para um modelo de viga em balanço, os autores mostram que a maior diferença entre a curvatura dos modos de vibração da viga sem dano e da viga danificada são localizadas na região do dano e, conseqüentemente, podem ser usadas para localizar o dano na estrutura. A localização de danos em estruturas determinada a partir de uma interpretação das variações nas freqüências naturais, provenientes de uma perturbação na equação de movimento do sistema, foi estudada por Hearn e Testa [8]. A dependência das freqüências e dos coeficientes de amortecimento com o dano também foi discutida. O método foi testado em um pórtico com quatro componentes de aço, ensaiado em laboratório, cujos resultados permitiram a localização correta do dano. Baseado no critério de análise proposto por Hearn e Testa [8], Ferrufino [9] em sua dissertação de mestrado, propõe um método que permite a localização e estimativa da intensidade do dano. Neste caso, o método foi aplicado a uma viga biapoiada e a um pórtico com três componentes, modelados por elementos de pórtico plano, cujas freqüências e modos de vibração foram obtidos numericamente nas etapas de pré e pós dano. Outros autores desenvolveram estudos baseados nas variações da freqüências de vibração produzida pelo dano. Chen et al. [1] utilizaram dois modelos de vigas simplesmente apoiadas, dimensionadas para simular o comportamento de pontes reais, a fim de estabelecer uma relação entre o nível de dano presente na estrutura e as variações que ocorrem em suas freqüência de vibração e, além disso, determinar se os danos poderiam ser localizados apenas observando as variações nos modos de vibração. Os resultados obtidos indicaram que as variações que ocorrem nas freqüências de vibração são insuficientes para serem usadas como indicadores de danos em pontes, e que apenas observando as variações nos modos de vibração, não foi possível identificar a localização do dano. Kaminski [11], também baseado no critério proposto por Hearn e Testa [8] e no método proposto por Ferrufino [9], desenvolveu um método de identificação de danos e realizou uma análise experimental e numérica de um modelo de viga em balanço localizando e quantificando corretamente o dano. Ratcliffe [12] também usou as variações nos modos de vibração para identificar a localização de danos, desenvolvendo um método semelhante ao proposto por Pandey et al. [7], onde a principal diferença é que um operador Laplaciano, que representa a curvatura, é calculado apenas para os modos de vibração da estrutura danificada. Ratcliffe utilizou um modelo de elementos finitos de uma viga em balanço e uma viga livre-live, os quais foram estudados com diferentes níveis de danos, obtendo, no caso dos danos mais severos, a localização correta do mesmo. Mais recentemente, Genovese [13] apresentou o Método da Função de Erro na Equação de Movimento. Este método parte do princípio de que a equação de movimento é uma equação de equilíbrio de forças. Trocando-se nesta equação os modos e freqüências de vibração provenientes da viga sem dano pelos da viga com dano, a equação altera-se e não mais está em equilíbrio. Este 2

4 desequilíbrio permite localizar e posteriormente quantificar o dano na estrutura. Este método foi aplicado neste trabalho para avaliar numericamente danos introduzidos em pórticos. 2. Método do erro na equação de movimento O método do erro na equação de movimento apresentado por Genovese [13] permite identificar o dano em uma estrutura através de duas etapas, sendo estas, a localização e a quantificação do mesmo. A localização do dano é feita observando o erro presente na equação de movimento, Equação (1), quando se utilizam os parâmetros da estrutura intacta, isto é, a matriz de rigidez e massa, e os modos e freqüências de vibração da estrutura danificada. E = K φ - Λ M φ (1) onde K= matriz de rigidez global da estrutura; φ = matriz dos modos de vibração da estrutura danificada; Λ = matriz diagonal com as freqüências de vibração da estrutura danificada; M = matriz de massa global da estrutura; E = matriz cujos valores representam o erro na equação de movimento devido ao dano. Cada coluna de E representa o vetor de erro referente a um modo de vibração. O maior valor de cada coluna indica a região danificada para um determinado modo de vibração. Quanto à quantificação do dano, esta consiste basicamente em minimizar o erro na equação de movimento por meio de um processo iterativo. Nesta etapa é introduzido um fator p que multiplicará apenas a matriz de rigidez do elemento danificado antes da montagem da matriz de rigidez global da estrutura conforme representado esquematicamente pela Equação (2). Admite-se que o dano altera de forma insignificante a matriz de massa do sistema quando comparada às alterações na matriz de rigidez (Adams et al [1] e Hearn e Testa [8]), por isso p multiplicará apenas a matriz de rigidez. K ' '( k p) = EI k EI k EI + p k ED (2) onde k EI = matriz de rigidez do elemento intacto; k ED = matriz de rigidez do elemento danificado. Ou seja, K (p) = K EI + p K ED (3) O processo iterativo consiste em variar o valor de p entre e 1, onde representa a perda total de rigidez do elemento e 1 a rigidez do elemento intacto, para se obter o mínimo da norma da matriz E = f(p) dentro desse intervalo. E(p) = K (p) φ Λ M φ (4) 3

5 3. Análise numérica O objetivo deste trabalho foi o de localizar e quantificar numericamente danos em pórticos através do método do erro na equação de movimento. Primeiramente, determinaram-se as propriedades dinâmicas, freqüências e modos naturais de vibração, por intermédio do programa computacional Matlab. Então, utilizou-se o método do erro com o intuito de localizar e quantificar o dano nas estruturas. As estruturas foram discretizadas em elementos finitos e a matriz de rigidez do elemento utilizada considera a deformação por corte, sendo escrita da seguinte forma: [k] = EA / L - EA / L 12EI/L 3 (1+φ) 6EI/L 2 (1+φ) 2EI/L 3 (1+φ) 6EI/L 2 (1+φ) 6EI/L 2 (1+φ) EI(4+φ)/L(1+φ) -6EI/L 2 (1+φ) EI(2-φ)/L (1+φ) -EA / L EA / L 2EI/L 3 (1+φ) -6EI/L 2 (1+φ) 12EI/L3(1+φ) -6EI/L 2 (1+φ) 6EI/L 2 (1+φ) EI(2-φ)/L (1+φ) -6EI/L 2 (1+φ) EI(4+φ)/L (1+φ) (5) onde:[k] = matriz de rigidez do elemento de pórtico; φ = 12EI / GA S L 2 : constante de correção ao corte; A S = A/F S : área de corte; G = módulo de elasticidade transversal; F S : constante de deformação por corte; A = área da seção transversal; E = módulo de elasticidade do material; I = momento de inércia da seção transversal; L = comprimento do elemento. A matriz de massa utilizada é apresentada na Equação (6), na qual se desprezaram os termos relativos à inércia rotacional a fim de eliminar os graus de liberdade à rotação via condensação estática. [m] = ρal/ (6) onde:[m] = matriz de massa do elemento de pórtico; ρ = massa específica do material; A = área da seção transversal; L = comprimento do elemento. Dois modelos de pórticos foram analisados. O primeiro, pórtico I, composto por três barras de aço de um metro cada, com seção transversal I, discretizado em 3 elementos de 1 cm de comprimento cada. As condições de contorno foram de engaste-engaste. Foi introduzido um dano no quinto elemento, que reduziu a área da seção transversal de 14,5 cm 2 para 11,9 cm 2 e o momento de inércia de 31,7 cm 4 para 22 cm 4. Correspondendo a uma redução de área de 18% e uma redução de momento de inércia de 3%. A Figura (1) ilustra as dimensões, a discretização e a localização do dano inserido no pórtico I: 4

6 Figura 1 Pórtico I discretizado, com dano no elemento 5. O pórtico II apresenta dois vãos. As seções transversais e o material são os mesmos do pórtico I. No entanto, na discretização do pórtico II foram empregados 6 elementos de 1 cm de comprimento cada. Foram introduzidos, separadamente, danos nos elementos 4 e 47. Em cada caso, foram introduzidas duas porcentagens diferentes de dano, correspondendo à redução de inércia de 3% e 5%. A Figura (2) apresenta o pórtico II, com suas dimensões, discretização e posição dos danos: Figura 2 Pórtico II discretizado, com indicação dos danos nos elementos 4 e 47. A seguir são apresentadas na Tabela 1 as características dos pórticos utilizados neste estudo e na Tabela 2 as propriedades geométricas alteradas nos elementos danificados. Tabela 1 Propriedades geométricas e do material dos pórticos I e II Momento de Inércia 31.7 cm 4 Área da seção transversal 14.5 cm 2 Módulo de elasticidade 2.7 x 1 6 kgf/cm 2 Coeficiente de Poisson.29 Massa específica do aço x kgf s 4 cm Tabela 2 Propriedades geométricas alteradas nos elementos danificados Momento de Inércia Redução de Momento de Área da seção transversal Redução de Área Inércia 22 cm 4 3 % 11,9 cm 2 18 % 15,85 cm 4 5 % 7,25 cm 2 5 % 5

7 Os cinco primeiros modos de vibração do pórtico sem dano se encontram nas Figuras 3 a 7 e os valores das cinco primeiras freqüências naturais de vibração do pórtico I intacto e danificado estão apresentados na Tabela 3. 1 Freq No Freq No Figura 3-1 º Modo de vibração do pórtico I Figura 4-2 º Modo de vibração do pórtico I 1 Freq No Freq No Figura 5-3 º Modo de vibração do pórtico I Figura 6-4 º Modo de vibração do pórtico I Freq No Figura 7-5 º Modo de vibração do pórtico I 6

8 Tabela 3 Freqüência Natural (Hz) do pórtico I intacto e danificado no elemento 5 Pórtico I 1 ª Freq. 2 ª Freq. 3 ª Freq. 4 ª Freq. 5 ª Freq. Intacto 37,57 145,83 232,41 245,34 484,72 Com dano no 37,56 145,68 231,75 245,16 484,22 elemento 5 Os modos de vibração utilizados na Equação [1] foram obtidos com condensação estática. Os resultados obtidos da aplicação do método do erro na equação de movimento são apresentados na Figura 8. O procedimento de localização apontou o dano, considerando graus de liberdade axiais e verticais. Pode-se observar certa quantidade de interferência nas proximidades do elemento danificado causada pela condensação estática utilizada no procedimento numérico. A localização foi feita para os cinco primeiros modos de vibração. Os primeiros cinco gráficos indicam cada um desses modos. Com o intuito de melhorar os resultados, ou seja, diminuir o espalhamento e ressaltar o local do dano, foi adotada uma metodologia de multiplicação das funções erro obtidas para os cinco modos de vibração, considerando-se o grau de liberdade vertical. O último gráfico apresenta o resultado dessa metodologia onde se constata que o dano pode ser melhor identificado. Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 Multiplicação Nós Figura 8 - Localização do dano no elemento 5, do pórtico I, com 3% de redução de inércia. O método apontou o mínimo da norma da função Erro para p igual a,82, correspondendo à perda de rigidez de 18%, que se encontra no intervalo de redução de área de 17,93% e de inércia de 3,6%. 2.8 x 1 4 Quantificação do Dano Grau de liberdade: Axial Vertical Norm a do Vetor Erro Fator p Figura 9 - Quantificação do dano no elemento 5 do pórtico I. (p =,82). 7

9 Para o pórtico II, os cinco primeiros modos de vibração do pórtico sem dano encontram-se nas Figuras 1 a 14, enquanto os valores das cinco primeiras freqüências naturais de vibração sem dano e com dano de 3% no elemento 4 são apresentadas na Tabela 4. Freq No Freq No Figura 1-1 º Modo de vibração do pórtico II Figura 11-2 º Modo de vibração do pórtico II Freq No Freq No Figura 12-3 º Modo de vibração do pórtico II Figura 13-4 º Modo de vibração do pórtico II Freq No Figura 14-5 º Modo de vibração do pórtico II Tabela 4 Freqüência Natural (Hz) do pórtico II intacto e danificado no elemento 4 com 3% de redução de inércia. Pórtico II 1 ª Freq. 2 ª Freq. 3 ª Freq. 4 ª Freq. 5 ª Freq. Intacto 28,98 5,98 133,89 165,5 26,63 Com 3% de redução de inércia no elemento 4 29,5 5,79 133,83 165,36 26,46 8

10 Foi utilizada neste caso a mesma metodologia do pórtico anterior. Os resultados obtidos são apresentados na Figura 15, no qual se verifica que o método do erro conseguiu localizar corretamente o dano para os cinco primeiros modos de vibração. Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 Multiplicação Nós Figura 15 - Localização do dano no elemento 4, do pórtico II, com 3% de redução de inércia. A Figura 16 apresenta o resultado da quantificação do dano no elemento 4 do pórtico II. O método apontou o mínimo da norma da função Erro para p igual a,77, correspondendo à perda de rigidez de 23%, que se encontra no intervalo de redução de área de 17,93% e de inércia de 3%. 82 Quantificação do Dano N o rm a do V e to r E rro Fator p Figura 16 - Quantificação do dano no elemento 4 do pórtico II. Redução de inércia de 3%. (p=,77). Pa ra o caso do dano correspondente a 5% de redução de inércia no elemento 4, a Tabela 5 apresenta as cinco primeiras freqüências naturais de vibração. Constata-se discreta variação das freqüências em relação ao caso anterior. 9

11 Tabela 5 Freqüência Natural (Hz) do pórtico II intacto e danificado no elemento 4 com 5% de redução de inércia. Pórtico II 1 ª Freq. 2 ª Freq. 3 ª Freq. 4 ª Freq. 5 ª Freq. Intacto 28,98 5,98 133,89 165,5 26,63 Com 5% de redução de inércia no elemento 4 29,16 5,92 133,73 165,32 26,34 Os resultados obtidos da aplicação do método do erro para a localização do dano são apresentados na Figura 17. Novamente, pode-se verificar a correta localização do dano para todos os modos analisados. Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 Multiplicação Nós Figura 17 - Localização do dano no elemento 4, pórtico II, com 5% de redução de inércia. O resultado da quantificação é apresentado na Figura 18, na qual observa-se que o mínimo da função erro ocorre para o valor de p de,41, correspondendo à perda de rigidez de 59%. Esse valor excede um pouco as porcentagens de redução de inércia e de área que são de 5%. 8 Q uantifica ção do D ano 79 Norma do Vetor Erro Fator p Figura 18 - Quantificação do dano no elemento 4 do pórtico II. Redução de inércia de 5%. ( p =,41). 1

12 Para o dano no elemento 47 correspondente a 3% de redução de inércia, os valores das cinco primeiras freqüências são apresentados na Tabela 6 e os resultados obtidos, pelo método erro, para a localização do dano na Figura 19. Novamente, verifica-se a correta localização do dano. Tabela 6 Freqüência Natural (Hz) do pórtico II intacto e danificado no elemento 47 com 3% de redução de inércia. Pórtico II 1 a Freq. 2 a Freq. 3 a Freq. 4 a Freq. 5 a Freq. Intacto 28,98 5,98 133,89 165,5 26,63 Com 3% de redução de inércia no elemento 47 28,99 51,7 133,55 165,21 26,26 Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 Multiplicação Nós Figura 19 - Localização do dano no elemento 47, pórtico II, com redução de inércia de 3%. O resultado da quantificação, indicado na Figura 2, determinou, neste caso, o valor de,87 para p, correspondendo à perda de rigidez de 13%. Inferior ao intervalo dos valores de redução de área de 18% e de inércia de 3%. 88 Quantificação do Dano 86 Norm a do V etor E rro Fator p Figura 2 - Quantificação do dano no elemento 47 do pórtico II. Redução de inércia de 3%. ( p =,87) 11

13 Para a porcentagem de redução de inércia de 5% no elemento 47, a Tabela 7 apresenta as cinco primeiras freqüências de vibração, enquanto que os resultados obtidos para a localização do dano são mostrados na Figura 21. Tabela 7 Freqüência Natural (Hz) do pórtico II intacto e danificado no elemento 47 com 5% de redução de inércia. Pórtico II 1 a Freq. 2 a Freq. 3 a Freq. 4 a Freq. 5 a Freq. Intacto 28,98 5,98 133,89 165,5 26,63 Com 5% de redução de inércia no elemento 47 29,4 51,21 133,64 165,15 25,8 Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 Multiplicação Nós Figura 21 - Localização do dano no elemento 47, do pórtico II, com redução de inércia de 5%.. Para este caso, o resultado da quantificação determinou p igual a,43, vide Figura 22, correspondendo à perda de rigidez de 57%, superior ao valor de redução de inércia e de área de 5% introduzidos no elemento Q ua ntifica çã o d o D a no Norm a do V etor E rro Fator p Figura 22 - Quantificação do dano no elemento 47 do pórtico II. Redução de inércia de 5%. ( p =,43) 12

14 4. Conclusões O dano provoca alteração nos modos e nas freqüências naturais de vibração das estruturas. A redução nas freqüências de vibração foi observada nos exemplos estudados. Dependendo da posição e da severidade do dano, essas alterações podem ser muito pequenas. No entanto, elas podem ser reveladas por meio de métodos de detecção de danos. O método do erro na equação de movimento, empregado neste trabalho, apresentou bons resultados. Indicou corretamente a posição do dano nos pórticos analisados numericamente. Os resultados foram melhorados com a multiplicação das curvas, tornando a localização ainda mais clara. A quantificação obtida pelo método do erro também apresentou bons resultados, apesar de em alguns casos ter indicado valores fora dos limites esperados de redução da área da seção transversal e do momento de inércia. Referências Bibliográficas [1] Adams, R.D., Cawley, P., Pye, C.I., e Stone B.I. (1978). A vibration technique for nondestructively assessing the integrity of structures. Journal of Mechanical Engineering Science, vol. 2, n.2, pp.93. [2] Chondros, T.G. e Dimarogonas, A.D. (198). Identification of cracks in welded joints of complex structures, Journal of Sound and Vibration, vol.69, n. 4, pp [3] Allemang, R.J., Brown, D.L. (1982). A correlation coefficient for modal vector analysis, Proc. 1 st Int. Modal Analysis Conference, vol.1, pp [4] Lieven, N. A., Ewins, D.J. (1988) Spatial correlation of mode shapes, the coordiante modal assurance criterion (COMAC). Proc., 6 th. Int. Modal Anal. Conf., Soc. for Experimental Mech., Bethel, Conn, pp [5] Kato, M. e Shimada, S. (1986). Vibration of PC bridge during failure process, Journal of Structural Engineering, vol. 112, n. 7, pp [6] Salane, H. J. e Baldwin Jr., W. (199). Identification of modal properties of bridges. Journal of Structural Engineering, vol. 116, n. 7, pp [7] Pandey, A.K., Biswas, M., Samman, M.M.(1991). Damage detection from changes in curvature mode shapes. Journal of Sound and Vibrations, vol. 145, n. 2, pp [8] Hearn, G., Testa, R.B. (1991). Modal analysis for damage detection in structures, Journal of Structural Engineering, vol. 117, n. 1, pp [9] Ferrufino, J.E. (1993). Identificação de dano em estruturas pela variação das características modais. Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pp.77. [1] Chen, H.L., Spyrakos, C.C., Venkatesh, G. (1995) Evaluating structural deterioration by dynamic response Journal of Structural Engineering vol. 121, n. 8, pp [11] Kaminsky Jr, I. (1996) Análise experimental para identificação de dano em estruturas através de ensaios dinâmicos. Dissertação de mestrado, CPGEC, UFRGS, Porto Alegre, Brasil, p

15 [12] Ratcliffe, C.P. (1997). Damage detection using a modified Laplacian Operator on mode shape Data. Journal of Sound and Vibrations, vol. 24, n. 3, pp [13] Genovese, M. E. (2). Localização e Quantificação de Danos em uras por meio das suas características dinâmicas. Dissertação de Mestrado, PECC, UnB, Brasília, p