Teoria dos Jogos: As origens e os fundamentos da Teoria dos Jogos. Sinopse: A teoria dos jogos é a aplicação da lógica matemática no processo de

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1 Teoria dos Jogos: As origens e os fundamentos da Teoria dos Jogos Alecsandra Neri de Almeida UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Paulo Novembro/2006 Sinopse: A teoria dos jogos é a aplicação da lógica matemática no processo de tomada de decisões nos jogos, utilizada, na economia, na política, na guerra e caracterizadas, como nos jogos, por conflitos de interesse determinando a melhor estratégia para cada jogador. Introdução A teoria dos jogos tem a finalidade de prever os movimentos dos outros jogadores, sejam eles concorrentes ou aliados, através dessa teoria os jogadores se posicionam da melhor forma para obter o resultado desejado. O objetivo da teoria dos jogos é entender a lógica na hora da decisão e ajudar a responder se é possível haver colaboração entre os jogadores, em quais circunstâncias o mais racional é não colaborar e quais estratégias devem ser adotadas para garantir a colaboração entre os jogadores. A teoria dos jogos, por meio da matemática, equaciona os conflitos, onde o foco são as estratégias utilizadas pelos jogadores. O objetivo desse trabalho é estudar a origem da Teoria dos Jogos e apresentar brevemente seus fundamentos e aplicações. As Origens da teoria dos Jogos Devido à falta de interesse científico, até 1920, não haviam análises técnicas adequadas para estudar estratégias de jogos. Os jogos de tabuleiros, dados, cartas, ou em geral, os jogos de salão, divertem a humanidade desde a formação das primeiras civilizações, por colocarem as pessoas em situações nas quais vencer ou perder dependem das escolhas feitas no início das partidas, sendo assim, o jogo se tornou uma ferramenta para o desenvolvimento das pessoas, mas só despertou interesse após muito tempo, com o surgimento da teoria da probabilidade. Os estudos sobre a teoria da probabilidade tiveram inicio com o filósofo, matemático e físico francês Blase Pascal, juntamente com o matemático francês Fermat, através desses estudos desenvolveram a teoria da probabilidade em jogos de azar utilizando regras matemáticas. Em seguida Antoine Augustin Cournot ( ), matemático francês, com estudo da análise do ponto de equilíbrio nas estratégias de jogos, formalizou um conceito especifico de equilíbrio, ou seja, aplicados em casos particulares, que mais tarde foi generalizado por John Forbes Nash Jr. Mas o marco inicial da teoria dos jogos foi quando John Von Neumann ( ), matemático húngaro-americano, provou o teorema minimax, segundo este teorema há sempre uma solução racional para um conflito bem definido entre dois indivíduos cujos interesses são completamente opostos, teorema deixado aberto pelo matemático francês Émile Borel ( ). A solução foi publicada no artigo Zur Theorie der Gesellschaftsspiele (Sobre a Teoria dos Jogos de Estratégia, 1928), nesse período Oskar Morgenstern ( ), economista alemão, estava por publicar o livro Implicações Quantitativas do

2 comportamento do Máximo, no qual discute qual deveria ser a unidade de análise econômica: o individualismo ou a interação social. Chegando à conclusão que os indivíduos interagem, então a sua racionalidade é relativa, se a racionalidade do individuo não é plena então a sua maximização também não será. A obra de Morgenstern expõe que o máximo depende diretamente da interação entre os indivíduos e indiretamente do meio no qual os indivíduos interagem. Por isso Morgenstern e Von Neumann juntaram os seus trabalhos e publicaram, em 1944, a obra: The Theory of Games and Economics Behavior (Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, 1944), que além de desenvolver uma teoria de jogos para mais participantes afirmam que o comportamento da economia depende, fundamentalmente, da interação entre os agentes, já que ele afeta diretamente a elaboração de estratégias e tomadas de decisão dos produtores e dos consumidores. Neste período começou a utilização das primeiras idéias sobre teoria dos jogos, cientificamente, com a finalidade de descobrir a melhor forma de jogar onde os participantes dependiam de habilidade e de sorte (jogos de azar), sendo a teoria dos jogos passada a ser uma ferramenta da matemática aplicada. Em ataque a proposição de Von Neumann de procurar a melhor jogada, Borel publica a obra: Aplicações para jogos da Sorte, onde discute a determinação da estratégia mista, pois Borel desiste de procurar a fórmula perfeita para jogos, segundo ele, as jogadas ótimas são difíceis de serem descobertas em jogos reais e, mesmo se encontrada as pessoas deixariam de jogar. Em 1950, John Forbes Nash Junior, matemático estadunidense que conquistou o prêmio Nobel de economia em 1994, um dos principais nomes da história da Teoria dos Jogos, formado pela Universidade de Princeton, em 1950, com a tese Non- Cooperative Games (Jogos Não-Cooperativos, publicada em 1951) que lhe valeu mais tarde a indicação para o Nobel. Nesta tese, Nash provou a existência de ao menos um ponto de equilíbrio em jogos de estratégias para múltiplos jogadores, mas para que ocorra o equilíbrio é necessário que os jogadores se comportem racionalmente e não se comuniquem antes do jogo para evitar acordos. Em principio o equilíbrio de Nash era utilizado para jogos de informação completa, mas, com trabalhos posteriores de Harsanyi e Selten, o mesmo passou a ser aplicado, também, em jogos de informação incompleta, a principal contribuição desses autores foi mostrar que a teoria dos jogos de informação completa pode ser estendida para cobrir certas situações importantes nas quais a informação é incompleta. A partir desses trabalhos começaram a surgir novas técnicas de solução de jogos e a serem aplicadas em diferentes áreas de estudo, como economia, biologia e ciências políticas. Nash não fez a Teoria dos jogos, mas modificou-a, pois Neumann utilizava suas teses para trabalho unitário, já Nash fez seu trabalho valer em grupo, modificando a economia mundial, hoje muitas pessoas utilizam seus estudos e nem sabem que ele ainda é vivo, ministra aulas e é ganhador do Prêmio Nobel de Economia por não haver prêmio Nobel em Matemática. Entre 1949 e 1953, além deste trabalho, escreveu mais artigos ligados à teoria dos jogos o chamado programa de Nash para solução de jogos estratégicos: The Bargaining Problem (O Problema da Barganha, 1949); Equilibrium Points in N-Person Games (Pontos de Equilíbrio em Jogos de N-Pessoas, 1950) e Two-Person Cooperative Games (Jogos Cooperativos de Duas Pessoas, 1953). Também escreveu artigos de matemática pura sobre variedades algébricas, em 1951 e de arquitetura de computadores, em Contudo, Nash tinha problemas de esquizofrenia que se agravou ao extremo, afastou-se das pesquisas e submeteu-se a um tratamento rigoroso durante alguns anos. Depois da estabilização do seu quadro mental volta a ministrar aulas no departamento de matemática de Princeton. Em dezembro de 1994, recebe a medalha com a efígie de Alfred Nobel, das mãos do rei da Suécia. Sua vida conturbada foi tema

3 de biografia escrita por Sylvia Nasar que originou o filme Uma Mente Brilhante, que recebeu o Oscar de Teorema do Minimax O teorema minimax provado por John Von Neumann é a peça principal da maior parte do trabalho matemático em economia e em atividades onde os atos das decisões são racionais. Segundo o teorema minimax há sempre uma solução racional para um conflito entre dois indivíduos cujos interesses são completamente opostos, ou seja, o que é ganho pelo um lado é perdido pelo outro. Esse é um exemplo da chamada situação de soma zero, uma vez que os ganhos dos dois jogadores somam zero. A combinação de estratégias, na qual o máximo dos mínimos é igual ao mínimo dos máximos, chama-se ponto de equilíbrio do jogo, pois ao escolherem essas estratégias, os jogadores garantem para si um ganho mínimo independente do que o adversário venha a escolher. Trabalhando com estratégias puras, utilizamos o critério maximin para definir os valores máximo e mínimo do jogo. Em um jogo de dois jogadores com soma zero é racional para cada jogador escolher a estratégia que maximiza seu ganho mínimo ou que minimize o ganho máximo do adversário, conforme figura 1. X Y A B A 3,-3-1,1 Fig. 1 Matriz B -1,1 4,-4 estratégia pura. jogo de soma zero, Agora, considerando o uso de estratégias mistas, ou seja, aumentando as possibilidades de escolha, podemos usar o mesmo critério para definir os novos valores máximo e mínimo. Por exemplo, dois jogadores, na disputa por par ou ímpar, cada um com duas alternativas de escolha. O ganho será representado por 1 e perda por -1. O jogador Par obterá ganho se ambos fizerem a mesma escolha, e neste caso ímpar receberá -1 e se as escolhas forem diferentes, os ganhos invertem-se, conforme figura 2. Jogador 1 PAR IMPAR Jogador 2 PAR 1, -1-1, 1 IMPAR -1, 1 1, -1 Figura 2 Matriz jogo de soma zero, estratégia mista.

4 Equilíbrio de Nash Nash conheceu a teoria dos jogos através de John Von Neumann e Oskar Morgenstern, que só haviam conseguido resolver os jogos não-cooperativos no caso de rivalidades puras, lucro zero. Nash mudou esse conceito transformando rivalidade em lucro mútuo. Nash demonstrou um teorema que generalizou o teorema do minimax para o caso de jogos sem soma zero envolvendo dois ou mais jogadores e para jogadores em competição direta; desenvolveu os chamados jogos não cooperativos. Um jogo cooperativo é um jogo em que os jogadores podem fazer compromissos obrigatórios, ao contrário de um jogo não cooperativo. O teorema de Nash é aplicado em qualquer jogo não cooperativo para n pessoas, de soma zero ou não, no qual cada jogador dispõe de um número finito de estratégias puras e tem, pelo menos, um conjunto de estratégias de equilíbrio. Um conjunto de estratégias constitui um equilibro de Nash se a escolha de cada jogador for ótima dada à escolha de todos os outros jogadores, o qual implica em não arrependimento. O teorema de Nash refere-se a jogos não cooperativos, mas pode haver mais vantagem para os jogadores se concordarem em cooperar, pelo menos parcialmente do que insistirem em enfrentarem-se uns aos outros, podendo melhorar os respectivos ganhos e atribuir ganhos indiretos aos outros jogadores a troco de poderem influenciar nas suas ações. Nash formulou a noção do equilíbrio, que carrega seu nome e que revolucionou a economia e outras ciências, suas contribuições à teoria dos jogos levaram-o a receber o premio Nobel em Dilema do Prisioneiro O dilema do prisioneiro é um famoso problema da teoria dos jogos, que retrata uma situação em que dois criminosos são presos por cometerem um crime, a policia tem evidências para mantê-los presos por um ano, porém não para condená-los, os presos são colocados em celas separadas, para que não haja acordos prévios. O dilema do prisioneiro é um jogo não cooperativo, mas poderia ser modelado como cooperativo se fosse permitido que os dois criminosos não somente se comunicassem como também fizessem compromissos obrigatórios. As decisões são simultâneas e um não sabe nada sobre a decisão do outro. O dilema do prisioneiro mostra que, em cada decisão, o prisioneiro pode satisfazer o seu próprio interesse, não confessar, ou atender ao interesse do grupo, confessar. A Figura 3 demonstra as possibilidades de ganhos e perdas desse jogo. A Confessa B Não confessar A Confessa 1 ano para A 1 ano para B A fica livre 3 anos para B B Não confessar 3 anos para A B fica livre 2 anos para A 2 anos para B Figura 3 - Matriz Dilema dos Prisioneiros

5 Para qualquer um dos prisioneiros, o melhor resultado possível é não confessar e seu parceiro ficar calado. E até mesmo se seu parceiro trair, o prisioneiro ainda lucra por não cooperar também, já que ficando em silêncio pegará três anos de cadeia, enquanto que, confessando, só pegará dois. Em outras palavras, seja qual for à opção do parceiro, o prisioneiro se sai melhor traindo. O único problema é que ambos chegarão a essa conclusão: a escolha racional é trair. Essa lógica vai, desta forma, proporcionar a ambos dois anos de cadeia. Se os dois confessassem, haveria um ganho maior para todos, mas a otimização dos resultados não é o que acontece. Aplicações da Teoria dos Jogos Biologia Todos nós evoluímos, por um processo conhecido por seleção natural, conforme teoria proposta por Charles Darwin e aceita como a melhor explicação cientifica. Um gene não consegui construir uma perna sozinho, para isso é necessária à cooperação de outros genes, além do meio externo, como: fonte de alimento. Nenhum gene ou agentes do meio externo pode, isoladamente, ser responsável pela formação de um bebê. Em cada espécie é deixado um número de descendentes, onde alguns sobrevivem mais do que outros, pois se adaptam melhor a um determinado ambiente, sendo assim têm maior êxito reprodutivo, eliminando dessa forma os desvantajosos para essa mesma condição. Os jogos na Biologia são interpretados como uma medida de adaptação, porém menos voltado para o equilíbrio e sim para aquilo que pode ser mantido pela forças evolucionárias. Este é o equilíbrio mais bem conhecido na biologia como Estratégia evolucionária estável ou (EEE), que foi criada por John Maynard Smith, embora não tenha feito nenhuma relação com equilíbrio de Nash, cada Estratégia evolucinária estável esta em um equilíbrio de Nash. Os comportamentos humanos, incluindo os que aparentam ser atos de altruísmo puro, são originados por fatores geneticamente egoístas, segundo John L. Casti, em Cinco Regras de ouro, pois os genes que originam os indivíduos trabalham no corpo de forma egoísta. Dawkis, em o Gene Egoísta, analisa os conceitos de comportamento altruísta e egoísta, ou seja, a definição genética do interesse próprio. Cada gene trabalha em um ambiente diferente e contam com a cooperação de outros, os genes passam de geração em geração e nem todos trabalham no mesmo ambiente com os mesmo genes, por isso as pessoas não são copias idênticas de seus genitores. Os conceitos da teoria dos jogos são aplicados ao processo evolutivo como o de organismo máquinas, que diz respeito às estratégias adaptativamente estável. Segundo, Dawkins, os indivíduos são escravos dos genes (máquinas) onde se joga o sucesso diferencial destes nas gerações seguintes. As estratégias comportamentais indicam as taxas, matematicamente, da representação de réplicas na genética das populações descendentes. A chave da evolução é deslocada para essa cumplicidade entre um gene e um comportamento social vantajoso, portanto comparada aos conceitos na teoria dos jogos. Os organismos também desenvolvem estratégias com que traem os genes, estratégia que contribuem para a sobrevivência e são confiadas, ao próprio material genético.

6 Economia A Teoria dos Jogos foi desenvolvida John Von Neumann com o objetivo de analisar a forma como agentes econômicos ou sociais definem suas estratégias no mercado, para avaliar as prováveis decisões que esses agentes tomarão. Essa teoria constituiu significativo avanço nas ciências econômicas e sociais, pois permite se examinar a conduta do jogador, agente econômico, em interação com os demais agentes, e não só de forma isolada. John Nash contribuiu aprofundando os estudos de equilíbrio entre os agentes econômicos, aplicando a teoria, também, em ambientes não cooperativos. Os economistas têm usado a teoria dos jogos, para analisar fenômenos econômicos, utilizando um conjunto particular de estratégias conhecida como equilíbrio de jogo, que é baseado na racionalidade. É uma ferramenta que se posicionou no processo de concorrência da economia de mercado, ajudando na tomada de decisões, indicando através de estratégias, aquela que indica a maximização do benefício, levando em conta todas as reações possíveis dos concorrentes. Escolhe-se a estratégia do maximin, maximização do ganho mínimo, oposta pela estratégia do minimax, minimização do ganho máximo, pela qual se deverá posicionar o adversário. O resultado de cada combinação de estratégias, por dois jogadores ou empresas é chamado ganho. A aplicação dos jogos em economia, visa a eficácia da ação das decisões consideradas individuais, ou em grupos de interesses, para a conquista de mercados com ou sem a cooperação de outros participantes sobre o mercado. A teoria dos jogos, tal como num jogo, dispõe os seus competidores, na lógica de monos situações, ou ao contrário, naqueles de oligos situações, de acordo com os mecanismos da teoria econômica tradicional.

7 Conclusão Esse artigo aborda algumas situações relacionada a teoria dos jogos e suas aplicações, bem como seu contexto histórico e A teoria dos jogos é um assunto complexo no campo de estudos de situações de conflitos, tomada de decisões e desenvolvimeto de estratégias, que surpreende a cada nova aplicação. Essa teoria demonstra a importância do comportamento humano na hora de tomar uma decisão e o quanto é relevante trabalhar em equipe mesmo em situação de pressão. A matemática é a principal ferramenta desses estudos, e a teoria dos jogos é um tema da matemática aplica, que foi reformulada causando uma revolução mundial nos estudos da economia.

8 Referências Bibliográficas ABRANTES, Maria Luísa - A Teoria dos Jogos e os Oligopólios, 2004, 1º edição, 120p. ANDRADE, Eduardo Leopoldino de Introdução à pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para Análise de decisões. Ed. Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 2ª. ed., CAST, John L. - Cinco Regras de Ouro. DAWKINS, Richard. O gene egoísta. Ed. Itatiaia Ltda. FIANI, Ronaldo; Teoria dos Jogos, Editora campus, p RASMUSEN, Eric Games and Information, Third editon An Introduction to Game Theory Basil Blackwell Revista Estudo CEPE Centro de estudos e pesquisas econômicas. UNISC Universidade universidade de Santa Cruz do Sul pt.wikipedia.org/wiki/teoria_dos_jogos