Information Set Based Soft-Decoding Algorithm for Block Codes

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1 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 9 NO 4 JULY Information Set Based Soft-Decoding Algorithm for Block Codes G G de O Brante D N Muniz and W Godoy Jr Abstract In this paper we introduce a new sub-optimum soft-decoding algorithm for block codes based on information sets and erasures which showed to be very efficient in terms of bit error rate and computational complexity when compared to optimum decoding methods Our results show that the proposed algorithm performs very close to the maximum likelihood decoder in terms of bit error rate with a much lower computational complexity In addition we compared the proposed algorithm to a soft-decision Viterbi algorithm for block codes showing that the proposed method is much less complex than Viterbi For a given block code the number of candidate codewords is reduced from to in the worst case A set of variants of the proposed IS algorithm is also presented introducing an interesting trade-off between bit error rate performance and complexity Keywords Block codes Golay codes sub-optimum decoding I INTRODUÇÃO ÓDIGOS corretores de erros são projetados para Cmelhorar o desempenho das comunicações de forma a lidar com os efeitos do canal tais como ruído desvanecimento e interferências [1] Códigos introduzem bits redundantes estruturados nas sequências de dados os quais são usados para a detecção e correção de erros Eles podem ser divididos em duas importantes subcategorias: códigos de bloco e códigos convolucionais [2] Os códigos turbo podem ser derivados destes últimos Códigos são utilizados em diversas aplicações como as comunicações via satélite redes locais de computadores redes de sensores comunicações sem fio sistemas de controle e supervisão assim como muitos outros A ideia dos códigos de bloco é transformar um bloco de dígitos (um vetor de mensagem) num bloco mais longo de dígitos codificados (um vetor de código) Quando o alfabeto é composto por apenas dois elementos (0 e 1) o código é dito binário Um código de bloco notável é o código de Golay binário [3] que é um código perfeito capaz de corrigir todas as combinações de até três erros O código de Golay binário estendido que é formado pela adição de um bit de paridade ao código de Golay perfeito é um código com taxa 1/2 de mais fácil implementação (do ponto de vista dos sistemas de clock) em comparação com o código de Golay original de taxa 23/12 Em contrapartida o preço pelo melhor desempenho é um decodificador mais Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq e CAPES (Brasil) G G de O Brante Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Curitiba Paraná Brasil gbrante@ieeeorg D N Muniz Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Curitiba Paraná Brasil dai_muniz@yahoocombr W Godoy Jr Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Curitiba Paraná Brasil godoy@utfpredubr complexo uma menor taxa de codificação e portanto uma expansão da largura de banda Neste artigo apresentam-se resultados para o código de Golay embora o método proposto possa ser igualmente aplicado a qualquer outro código de bloco A decodificação dos códigos de bloco por máxima verossimilhança apesar de alcançar o desempenho ótimo é uma tarefa bastante complexa Além disso com o aumento das taxas de transmissão em comunicações o atraso na decodificação se torna um processo crítico para uma comunicação confiável Assim algoritmos de decodificação sub-ótimos tendem a ser uma boa solução para aplicações em tempo real Utilizar um algoritmo sub-ótimo no processo de decodificação significa reduzir a complexidade computacional e consequentemente o atraso de decodificação Entretanto uma perda no desempenho de taxa de erro de bit (do inglês Bit Error Rate BER) é esperada Métodos baseados em conjuntos de informação são amplamente utilizados para a decodificação sub-ótima cujos algoritmos apresentam o melhor desempenho conhecido em termos de complexidade assintótica e com a probabilidade de erro muito próxima à decodificação por máxima verossimilhança quando [4] Muitos pesquisadores têm aplicado conjuntos de informação para resolver problemas em criptografia [5]-[8] O sistema criptográfico de chave pública de McEliece [5] foi uma das primeiras tentativas de utilização de códigos de bloco em criptografia A importância desse trabalho estimulou muitos outros dentre os quais podemos citar Lee & Brickel [6] Leon [7] e Stern [8] Este artigo apresenta uma nova versão de um algoritmo sub-ótimo de decisão suave baseado em conjuntos de informação e apagamentos Esta nova versão é uma modificação do algoritmo apresentado em [9] Este novo método sub-ótimo que tem um desempenho muito bom em termos de BER é comparado a algoritmos de decodificação ótimos como o decodificador por máxima verossimilhança (do inglês Maximum Likelihood Decoder MLD) e o algoritmo de Viterbi [10] Portanto além da introdução desse novo algoritmo de decisão suave também foi implementado o algoritmo de Viterbi para códigos de bloco A representação da treliça para códigos de bloco foi inicialmente estudada por Bahl Cocke Jelinek e Raviv [11] e treliças mínimas para códigos de bloco foram estudadas por muitos outros com atenção especial para os trabalhos de Wolf [12] Forney [13] Muder [14] Massey [15] Kschischang e Sorokine [16] e McEliece [17] Muitas das características delineadas nesses diferentes artigos sobre a treliça mínima podem ser encontradas em [17] A principal contribuição desse artigo é a introdução de um

2 464 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 9 NO 4 JULY 2011 novo algoritmo de decisão suave com desempenho muito próximo ao MLD com uma complexidade computacional muito menor O MLD compara cada palavra recebida a palavras candidatas enquanto o algoritmo proposto reduz o número de palavras candidatas para no pior caso Além disso um critério de parada é calculado em tempo real para cada palavra candidata indicando se esta candidata é a melhor estimativa da mensagem original ou não Como será mostrado na Seção V em alta relação sinal-ruído (do inglês Signal-to- Noise Ratio SNR) na maioria das vezes este critério encerra a decodificação após comparar a palavra código recebida com apenas uma palavra candidata Ademais algumas variações do algoritmo proposto também são apresentadas reduzindo ainda mais o número de palavras candidatas Como consequência há uma perda de desempenho em termos de BER Dessa forma estabelece-se uma relação de proporcionalidade inversa entre BER e complexidade computacional O restante deste artigo está organizado da seguinte forma A Seção II introduz os conceitos fundamentais relacionados a esse trabalho; a Seção III apresenta o algoritmo de decisão suave proposto assim como suas variações; a Seção IV descreve o algoritmo de Viterbi para códigos de bloco; na Seção V são apresentados alguns resultados de simulação e a Seção VI contém conclusões e sugestões para trabalhos futuros II CONCEITOS FUNDAMENTAIS Nesta seção são definidos alguns conceitos fundamentais necessários para o desenvolvimento desse trabalho Seja um código de blocos binário com matriz geradora e matriz de paridade e seja uma palavra código pertencente a A palavra código passa por um modulador que gera as formas de onda apropriadas Essas formas de onda são representadas por vetores (ou sequências) no espaço de sinais Suponha que a palavra código é transmitida por um canal de comunicação e que a sequência é recebida Seja a distância Euclidiana usual A tarefa do decodificador é encontrar a palavra código tal que para todo Dessa forma a palavra código é a palavra decodificada Da mesma forma também é possível obter uma sequência de decisão abrupta e uma sequência de confiabilidade a partir de Quando a sequência de decisão abrupta é a única informação que o decodificador recebe do demodulador dizse que o sistema opera no modo de decisão abrupta Por outro lado quando o decodificador também possui a informação de verossimilhança (sequência ) dos símbolos recebidos diz-se que o sistema opera no modo de decisão suave [18] Diversos trabalhos [18]-[23] mostram que a eficiência da decodificação pode ser melhorada quando o algoritmo de decodificação leva em conta a informação de verossimilhança Muitas vezes é mais conveniente escrever a palavra código como uma sequência de -1 s e +1 s em vez de 0 s e 1 s Portanto a partir de agora consideraremos o primeiro caso ao longo deste artigo salvo quando indicado de outra forma Definição 1 A Região de Voronoi de uma sequência é definida como o conjunto de vetores que estão mais próximos de [9] ou seja: (1) Definição 2 A operação híbrida entre uma sequência e uma sequência é definida por [9][24]: onde é o produto termo a termo entre e (2) Propriedade 1 A operação apenas modifica o sinal do elemento de se o elemento correspondente de for igual a 1 A confiabilidade dos símbolos na sequência é a mesma da sequência Teorema 1 Considere uma sequência uma palavra código e a palavra código zero Então se e somente se [9] Um critério de aceitação eficiente foi proposto em [9] [24] que é descrito pelo seguinte teorema Teorema 2 Considere um código de distância de Hamming mínima uma palavra código e uma sequência Então a palavra código é considerada a melhor palavra código candidata para decodificar se a seguinte condição for satisfeita: (3) onde é o conjunto de índices tal que os componentes da sequência tenham os maiores valores absolutos (os mais positivos ou os mais negativos) Corolário 1 A sequência palavra código zero se: pertence à região de Voronoi da (4) Este critério pode ser utilizado como uma regra de parada para o processo de decodificação quando uma palavra código é a mais próxima da palavra recebida [9] Definição 3 Um conjunto de informação é definido como o conjunto de qualquer combinação de posições de uma palavra código que pode ser independentemente especificada III ALGORITMO PROPOSTO Nessa seção uma nova versão do algoritmo proposto em [9] é apresentado Nessa nova versão uma série de inversões matriciais necessárias no algoritmo anterior é substituída por simples apagamentos (inversões de bit) em um vetor binário

3 DE OLIVEIRA BRANTE et al: INFORMATION SET BASED 465 Essa estratégia é similar a um caso particular do algoritmo criptográfico de Lee & Brickell [6] entretanto um critério de parada adicional conforme definido no Corolário 1 é utilizado para reduzir o número de operações computacionais Portanto o método se torna consideravelmente menos complexo do que o proposto em [9] tornando possível sua operação em tempo real A seguir a Seção III-A apresenta o processo de decodificação através de um exemplo e a Seção III-B descreve alguns métodos para reduzir o número de palavras candidatas o que é interessante para códigos de maior comprimento A Algoritmo de Decodificação por Decisão Suave baseado em Conjuntos de Informação e Apagamentos Como um exemplo vamos considerar o código com a seguinte matriz geradora: onde e Se a informação a ser transmitida for por exemplo o vetor de informação esse vetor pode ser simplesmente multiplicado pela matriz geradora tal que : Então suponha que é modulado em BPSK transmitido por um canal AWGN com variância do ruído igual a tal que o vetor recebido seja: Note que os bits mais confiáveis são aqueles das posições e 7 Após a decodificação abrupta desses bits obtém-se a seguinte sequência : A matriz parcial denotada por é formada pelas mesmas colunas e 7 de (as colunas definidas pelas posições dos bits mais confiáveis em ): Então deve-se determinar se é possível obter a matriz inversa a partir de o que significa que seu determinante deve ser ímpar (diferente de zero em modulo-2) Caso isso não seja possível devemos escolher outro conjunto de bits a partir da palavra codificada recebida A nova matriz geradora denotada por é dada por: (5) Caso não seja possível obter a partir de (em outras palavras quando o determinante de for par) diz-se que é possível obter um novo conjunto de informação Para o caso particular aqui considerado: Portanto a primeira palavra candidata é: A partir dos resultados do Corolário 1 é possível encerrar o processo de decodificação caso essa primeira candidata pertença à região de Voronoi da palavra codificada zero Se a regra de parada da equação (4) for satisfeita a palavra código é declarada como a palavra transmitida e o processo de decodificação se finaliza Caso contrário outras palavras candidatas são escolhidas inserindo-se apagamentos (inversões de bit) nas posições de o que é um caso particular o algoritmo de Lee & Brickell: Usando a mesma abordagem utilizada para a palavra código candidata a regra de parada da equação (4) é testada após cada inversão de bit e caso a regra seja satisfeita para uma dada candidata o processo decodificação se encerra Se nenhuma das palavras código candidatas ( e ) se encaixa na regra de parada então o decodificador deve escolher a melhor candidata por máxima verossimilhança Note que esse algoritmo tem complexidade muito menor em comparação ao MLD Isso é devido ao fato de que o algoritmo proposto compara a palavra código recebida com apenas palavras candidatas no pior caso enquanto o MLD analisa um conjunto de palavras código a cada vez O procedimento formal do algoritmo baseado em conjuntos de informação denominado por algoritmo de IS dada uma sequência recebida qualquer está descrito conforme segue: Algoritmo 1 Decodificação no algoritmo de IS

4 466 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 9 NO 4 JULY Pegue a sequência dos bits mais confiáveis a partir de e determine 2 É possível gerar um novo conjunto de informação ( possui inversa e pode ser calculada)? Não Escolha outra sequência de bits e reexecute o passo (2) 3 Determine a palavra código candidata a partir de e 4 Calcule e armazene 5 Aplique o critério de parada em e 6 A equação (4) é satisfeita? Sim A palavra código transmitida é Vá para o passo (8) 7 É possível inserir um novo apagamento em? Sim Insira um novo apagamento em e volte para o passo (3) 8 Escolha a melhor palavra código candidata por MLD (a palavra código com o menor ) Se o vetor obtido após a determinação dos bits mais confiáveis a partir da sequência recebida não gera uma matriz que possua inversa então outro vetor deve ser obtido por meio de uma nova combinação de bits Entretanto na maioria das vezes o vetor original já dá origem a uma matriz invertível Por exemplo considere o código de Golay para o qual um máximo de 13 palavras código candidatas deve ser gerado a partir de A Fig 1 mostra que em 51% das vezes o primeiro conjunto de palavras candidatas obtidos a partir do vetor original já é suficiente B Modificações no Algoritmo baseado em Conjuntos de Informação A partir de observações nas simulações computacionais realizadas é possível notar que o critério de parada do Corolário 1 tem um comportamento bastante interessante Na medida em que a SNR aumenta a probabilidade da primeira palavra candidata ser a estimativa correta da palavra transmitida aumenta consideravelmente conforme será mais bem explicado na Seção V Portanto é razoável assumir que um subconjunto das palavras código candidatas poderia apresentar um desempenho semelhante em termos de taxa de erro de bit Note que ao reduzir o número de palavras candidatas a probabilidade que nenhuma delas se encaixe no critério de parada aumenta e a decodificação por MLD dentro desse subconjunto pode se tornar necessária Assim aumentase a probabilidade de uma decodificação incorreta ao se reduzir a complexidade computacional De forma a investigar o impacto em se considerar apenas um subconjunto de palavras código quatro estratégias foram formuladas: IS-1: Apenas 1/2 das palavras código candidatas são selecionadas; IS-2: Apenas 2/3 das palavras código candidatas são selecionadas; IS-3 Apenas a primeira palavra código candidata é selecionada; IS-4: Selecionar as posições que correspondem aos símbolos BPSK recebidos com magnitude abaixo de 90% do símbolo com a maior magnitude entre os mais confiáveis Ao selecionar menos de palavras código (estratégias IS-1 e IS-2) investiga-se a relação entre tempo computacional do algoritmo e uma perda na capacidade de correção de erros Além disso ao selecionar apenas a primeira palavra código (estratégia IS-3) a necessidade de inversão de bits para formar as demais candidatas deixa de existir Por fim selecionando apenas bits que estão abaixo de um certo limiar de confiabilidade (estratégia IS-4) utiliza-se a informação do canal para adaptar o algoritmo Figura 1 Probabilidade de se obter uma inversa a partir de em função do número de diferentes conjuntos de combinações de bits a partir da palavra código recebida Finalmente o fato do algoritmo utilizar inversões matriciais para calcular a primeira palavra candidata não é uma restrição de complexidade no caso de códigos binários Conforme demonstrado em [25] existem métodos eficazes e com complexidade reduzida para se realizar a inversão de matrizes binárias IV ALGORITMO DE VITERBI PARA CÓDIGO DE BLOCO Uma vez que os códigos convolucionais podem ser representados por máquinas de estados finitos eles também podem ser representados por treliças regulares cuja construção é simples Por sua vez os códigos de bloco também podem ser representados por treliças [17] entretanto sua estrutura é bastante irregular Além disso no caso de códigos de bloco um dos problemas reside em como encontrar uma treliça que represente esses códigos o que nem sempre é uma tarefa óbvia Um método eficiente para se obter essas treliças é através do algoritmo de Wolf [12] Este método utiliza a matriz de paridade do código para criar os estados e fases da treliça Outros métodos para a construção da treliça a partir de códigos de bloco podem ser encontrados em [11] [13]-[17] [26] O algoritmo de Wolf é descrito por duas regras simples [12]

5 DE OLIVEIRA BRANTE et al: INFORMATION SET BASED 467 que preveem que a treliça para qualquer código terá fases e estados Para o código de Golay a treliça é composta por 23 fases e 2048 estados Para o código de Golay a treliça tem 24 fases e 4096 estados Note que o tamanho da treliça construída pelo algoritmo de Wolf cresce exponencialmente com o tamanho do código embora sua implementação seja bastante simples e possa ser generalizada para qualquer código de bloco com apenas um parâmetro de entrada: sua matriz de paridade Utilizando a treliça do código de blocos o algoritmo de Viterbi funciona da mesma maneira que no caso dos códigos convolucionais levando à palavra código mais próxima da palavra transmitida [2] O algoritmo de Viterbi é um método bastante eficiente pois atinge o mesmo desempenho do MLD Neste trabalho o algoritmo de Viterbi de decisão suave é comparado ao algoritmo proposto V RESULTADOS Nesta seção o algoritmo proposto apresentado na Seção III é comparado ao MLD e ao algoritmo de Viterbi em termos da BER pela relação sinal-ruído A SNR é definida como onde é a energia por bit de informação e é a densidade de potência espectral unilateral do ruído Os bits codificados são modulados em BPSK e transmitidos por um canal AWGN Nos resultados de simulação apresentados palavras código são transmitidas para cada valor de SNR A Fig 2 compara o desempenho do algoritmo proposto do MLD e do algoritmo de Viterbi para o caso dos códigos de Golay e Pode-se observar que em termos de BER não há perda notável de desempenho do algoritmo proposto em comparação com o MLD ou com o algoritmo de Viterbi Quanto ao critério de parada conforme definido na Seção III a Tab I mostra seu efeito na decodificação do código de Golay A partir da tabela podemos observar que a primeira palavra código candidata é a palavra escolhida na maioria das vezes encerrando o processo de decodificação e dessa maneira reduzindo a complexidade computacional uma vez que as outras doze palavras código candidatas não precisam ser geradas nem analisadas TABELA I CRITÉRIO DE PARADA Figura 2 Taxa de erro de bit (BER) em função da relação sinal-ruído (SNR) para o algoritmo proposto MLD e algoritmo de Viterbi Os resultados são apresentados para os códigos de Golay e McEliece discute em [17] que a construção da treliça proposta por Wolf é isomorfa às outras construções propostas em [11] [14] [15] e que esta é mínima quanto ao número de arestas Entretanto outra construção para a treliça mínima para o código de Golay é proposta em [27] a chamada treliça tailbiting Esta treliça apresenta menos estados que as propostas em [12] [14] [15] [17] e permite que a decodificação seja mais eficiente Portanto essa representação pode ser mais interessante para implementações práticas do algoritmo de Viterbi Não obstante a complexidade do algoritmo de Viterbi cresce exponencialmente com O mesmo ocorre com o MLD Portanto o método proposto é menos complexo que o algoritmo de Viterbi uma vez que sua complexidade cresce linearmente com o valor de As Figs 3 e 4 comparam o desempenho das quatro estratégias simplificadas propostas na Seção III-B ao desempenho do algoritmo IS regular proposto na Seção III-A A partir das figuras pode-se observar que a estratégia IS-3 tem o pior desempenho Isto se deve ao fato desse método considerar apenas a primeira palavra código candidata o que claramente não é suficiente Pode-se também notar que a estratégia IS-1 que considera apenas metade das palavras candidatas perde em desempenho quando comparada aos dois demais métodos (IS-2 e IS-4) Escolher apenas 2/3 das palavras código candidatas (IS-2) e a estratégia adaptativa (IS- 4) são bastante similares em termos de BER Portanto resta saber qual dessas estratégias considera o menor número de

6 468 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 9 NO 4 JULY 2011 palavras candidatas A Tab II mostra o número médio de palavras candidatas considerado pelas estratégias IS-2 e IS-4 em função da SNR para o código de Golay A partir da tabela se observa que a estratégia IS-4 sempre considera menos candidatas que a estratégia IS-2 com a diferença aumentando conforme aumenta a SNR Dessa forma pode-se dizer que a estratégia IS-4 é consideravelmente menos complexa que as outras A partir das Figs 3 e 4 também se nota que a estratégia IS-4 perde apenas alguns décimos de db quando comparada ao algoritmo IS regular conforme proposto na Seção III-A e que considera palavras código candidatas (nesse caso em particular o algoritmo IS regular considera 13 candidatas para cada valor de SNR) Figura 3 Taxa de erro de bit (BER) em função da relação sinal-ruído (SNR) para os algoritmos IS modificados para o código de Golay Figura 4 Taxa de erro de bit (BER) em função da relação sinal-ruído (SNR) para os algoritmos IS modificados para o código de Golay TABELA II NÚMERO MÉDIO DE PALAVRAS CÓDIGO CANDIDATAS POR VALOR DE SNR PARA O CÓDIGO DE GOLAY Os resultados dessa seção mostram que o algoritmo IS tem desempenho muito próximo do ótimo em termos de BER Em termos de complexidade computacional conforme discutido na Seção IV o custo do IS cresce linearmente com enquanto a complexidade do MLD e do algoritmo de Viterbi cresce exponencialmente com VI CONCLUSÕES Neste trabalho apresentou-se um novo algoritmo sub-ótimo de decisão suave baseado em conjuntos de informação e apagamentos denominado IS que leva a um desempenho em termos de BER muito similar ao MLD com menor complexidade computacional Como este algoritmo é subótimo ele é muito mais rápido que o algoritmo de Viterbi e o MLD para códigos de bloco Uma série de variantes do algoritmo IS proposto também foi apresentada que estabelece uma relação interessante entre desempenho e complexidade Além disso a complexidade do algoritmo proposto cresce linearmente com o valor de levando a um decodificar muito mais rápido que o MLD ou o algoritmo de Viterbi cuja complexidade cresce exponencialmente com Como trabalhos futuros pretende-se comparar o algoritmo proposto com outros algoritmos de decisão suave para códigos de bloco como o algoritmo de Chase [18] e também comparar o algoritmo de Viterbi operando com outras representações de treliças para os códigos de Golay [27]-[29]

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professora e pesquisadora na Universidade do Oeste de Santa Catarina (UNOESC) Joaçaba Brasil Suas áreas de interesse incluem códigos corretores de erros comunicações sem fio transmissões e processamento de sinais Walter Godoy Júnior nasceu em Araçatuba SP Brasil em 1950 Concluiu o doutorado em engenharia elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) em 1990 É professor titular na Universidade Tecnológica Federal do Paraná onde atua no Departamento de Eletrônica (DAELN) e no Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial (CPGEI) Orientou várias dissertações de mestrado e teses de doutorado Atua nas áreas de códigos controladores de erros modulação codificada marca d 'agua digital segurança em comunicação de dados e redes de computadores Coordena o convênio entre a UTFPR e UFPR com a Universidade de Las Villas Santa Clara Cuba projeto 087/09